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《我们的知识是有限的》说课教案第一章：课程介绍一、课程背景1. 讨论人类知识的局限性2. 引导学生思考和认识到学无止境二、课程目标1. 帮助学生理解人类知识的有限性2. 培养学生对学习的热爱和持续探索的精神三、教学方法1. 讲授法：讲解课程的基本概念和理论2. 讨论法：引导学生进行思考和讨论四、教学内容1. 人类知识的局限性的基本概念2. 人类知识的发展历程和现状3. 学无止境的意义和方法第二章：人类知识的局限性一、教学目标1. 让学生了解人类知识有限的根本原因2. 培养学生对未知领域的敬畏之心二、教学内容1. 人类知识有限的根本原因2. 人类知识局限性的具体表现3. 人类知识局限性对个人和社会的影响三、教学方法1. 案例分析法：通过具体案例让学生了解人类知识的局限性2. 小组讨论法：让学生分组讨论知识局限性的表现和影响四、教学活动1. 讲解人类知识有限的根本原因2. 分析人类知识局限性的具体表现3. 组织学生进行小组讨论第三章：人类知识的发展历程和现状一、教学目标1. 让学生了解人类知识的发展历程2. 使学生认识到当前人类知识的现状二、教学内容1. 人类知识的发展历程2. 当前人类知识的现状3. 人类知识发展的趋势三、教学方法1. 图像演示法：通过图片和图表展示人类知识的发展历程和现状2. 学生报告法：让学生汇报人类知识发展的趋势四、教学活动1. 展示人类知识的发展历程和现状的图片和图表2. 组织学生进行汇报和讨论第四章：学无止境的意义和方法一、教学目标1. 让学生理解学无止境的意义2. 培养学生持续学习的能力二、教学内容1. 学无止境的意义2. 持续学习的方法3. 持续学习的重要性三、教学方法1. 视频教学法：通过视频让学生了解持续学习的方法和重要性2. 小组合作法：让学生分组合作探讨学无止境的意义和方法四、教学活动1. 观看有关持续学习的视频2. 组织学生进行小组合作讨论第五章：课程总结与反思一、教学目标1. 让学生回顾课程内容，巩固知识点2. 引导学生反思自己的学习态度和方法二、教学内容1. 回顾课程的主要内容2. 反思自己的学习态度和方法3. 制定今后的学习计划1. 问答法：回答学生对课程内容的问题四、教学活动1. 回答学生对课程内容的问题第六章：案例分析知识的边界一、教学目标1. 通过具体案例分析，让学生直观感受人类知识边界的限制。
《我们的知识是有限的》教案一、教学目标1. 让学生理解知识的有限性，认识到无论是个人的知识还是人类的总知识都是有限的。
2. 培养学生对知识探索的兴趣，激发学生渴望获取更多知识。
3. 培养学生思考问题、分析问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：让学生认识到知识的有限性。
2. 教学难点：如何引导学生正确面对知识的有限性，激发学生的求知欲。
三、教学方法1. 启发式教学：通过提问、讨论等方式，引导学生思考知识的有限性。
2. 案例分析法：通过分析具体案例，使学生更加直观地理解知识的有限性。
四、教学准备1. 教材：《我们的知识是有限的》相关内容。
2. 课件：教学PPT。
3. 案例材料。
五、教学过程1. 导入：（1）教师通过提问方式引导学生思考：同学们，你们认为我们的知识是有限的还是无限的？（2）学生发表观点，教师总结：同学们的观点都很有趣，我们的知识到底是有限的还是无限的呢？今天我们就来探讨这个问题。
2. 新课导入：（1）教师简要介绍知识的有限性，引导学生理解无论是个人的知识还是人类的总知识都是有限的。
（2）学生阅读教材，了解知识的有限性。
3. 案例分析：（1）教师展示相关案例，让学生直观地理解知识的有限性。
（2）学生分析案例，思考知识有限性对个人和人类的影响。
4. 分组讨论：（1）教师将学生分成若干小组，每组讨论如何应对知识的有限性。
（2）学生发表讨论成果，教师点评并总结。
5. 课堂小结：教师总结本节课的主要内容，强调知识的有限性，并引导学生正确面对知识的有限性，激发学生的求知欲。
6. 课后作业：六、教学拓展1. 教师可以结合现实生活中的例子，让学生更加深刻地理解知识的有限性。
2. 引导学生关注前沿科技发展，了解新知识不断涌现的过程。
七、教学评估1. 课堂讨论：观察学生在讨论中的表现，评估学生对知识有限性的理解程度。
2. 课后作业：通过学生的课后短文，了解学生对知识有限性的认识和感悟。
八、教学反馈与调整1. 根据学生在课堂上的表现和作业反馈，教师应及时调整教学方法和策略。
有限区间教案教案：有限区间一、教学目标：1. 学习有限区间的概念和性质；2. 掌握有限区间的表示方法和计算方法；3. 运用有限区间理论解决实际问题。
二、教学重点：1. 有限区间的概念和性质；2. 有限区间的表示方法和计算方法。
三、教学难点：1. 有限区间的计算方法；2. 运用有限区间理论解决实际问题。
四、教学步骤和内容：1. 引入：通过举例引导学生思考什么是有限区间。
示例：假设一个杯子里有一定数量的水，我们想知道这个水的体积有多大，请问该如何表示这个体积呢？2. 解释：解释有限区间的概念和性质。
有限区间是指在某个范围内的所有数值，表示为[a, b]，其中a和b是两个实数，并满足条件a ≤ x ≤ b，其中x是属于[a, b]的任意一个数。
3. 计算：介绍有限区间的表示方法和计算方法。
a) 区间长度的计算方法：区间长度等于右端点b减去左端点a，即长度为b - a；b) 区间交集的计算方法：若区间[a, b]和[c, d]存在交集，则交集为区间[max(a, c), min(b, d)]；c) 区间并集的计算方法：区间[a, b]和[c, d]的并集为区间[min(a, c), max(b, d)]。
4. 例题：通过解题让学生加深对有限区间概念和计算方法的理解。
示例1：求区间[2, 5]和[3, 7]的交集和并集。
解答：交集为区间[3, 5]，并集为区间[2, 7]。
示例2：设一个水池里有20升水，现要将水平均分成5份，每份都要有水，请问每份有多少水？解答：每份水的量为水池总水量除以份数，即20 / 5 = 4升。
五、归纳总结：1. 有限区间是一种表示范围内的数值的方法，一般表示为[a,b]，其中a和b是两个实数；2. 有限区间的长度等于右端点减去左端点，即长度为b - a；3. 两个有限区间的交集等于左端点取较大值，右端点取较小值构成的区间；4. 两个有限区间的并集等于左端点取较小值，右端点取较大值构成的区间。
《信息安全数学基础》课中的思政建设发布时间：2022-08-15T07:04:28.157Z 来源：《时代教育》2022年7期作者：张玉丽蔡庆军柯丽珊[导读] 信息安全专业在高校中是一个较新的专业，距今成立仅仅二十余年。
张玉丽蔡庆军柯丽珊广州大学数学与信息科学学院，广东广州，510006摘要：信息安全专业在高校中是一个较新的专业，距今成立仅仅二十余年。
专业课程的设置在不断调整，随着网络技术和信息技术的发展，越来越多的新课程不断加入，同时也适当地删减了一些课程。
但该专业的数学基础类课程-《信息安全数学基础》课却一直不能缺省，而且在思政方面还需要融入更多的教学内容与思想。
本文在广州大学信息安全专业开设的《信息安全数学基础课》的教学、体会基础上，讨论了该课程的思政建设，得到了一些体会。
关键词: 《信息安全数学基础》；思政建设；网络安全0引言自2000年左右我国开设信息安全本科专业至今，已有20余年。
起初开设该专业的高校仅有几家，但随着网络技术、信息技术的快速发展，以及网络安全从业人员的需求量越来越大，越来越多的高校纷纷开设了信息安全专业。
各高校一般将信息安全专业放在师资实力较强的学院，例如有的放在数学学院（广州大学就是这样设置的），有的放在计算机学院，有的放在通信学院，甚至有些高校还放在电子商务学院。
主要是根据信息安全方向硕士、博士的培养课程来进行设置相应的本科课程。
虽然各高校开设的专业课也不完全相同，但都非常注重数学理论课程的学习，不约而同开设了几乎相同的数学内容，包括初等数论、群、环、域、概率论等。
由于信息安全专业毕业后的许多毕业生去向是政府部门中的要害部门、企业中的信息管理职位，故该专业的思想政治教育尤为重要。
十八大以来，习近平总书记多次强调高校要重视课程的思政建设。
最近几年，有关信息安全专业的思政建设方面的研究论文比较多，但主要是集中在该专业总体方面的思政建设[1-4]，几乎没有讨论《信息安全数学基础》这门课地思政建设。
构造具有8个元素的有限域思路有限域基础知识有限域定义有限域是一个元素个数有限的域，也称为有限域，有限域是一个数学概念，它有着广泛的应用，尤其在密码学中，有限域的概念非常重要。
有限域性质1.有限域的元素个数记为p，其中p是一个素数。
有限域的元素个数一定是有限素数个。
2.有限域的加法运算是封闭的，即任意两个有限域元素的和仍然是有限域的元素。
3.有限域的乘法运算是封闭的，即任意两个有限域元素的乘积仍然是有限域的元素。
4.有限域的加法满足交换律和结合律。
5.有限域的加法有一个零元素。
6.有限域的乘法满足交换律和结合律。
7.有限域的乘法有一个单位元素。
8.有限域的乘法满足分配律。
构造8个元素的有限域的思路构造具有8个元素的有限域可以使用多种方法，其中一种常用的方法是使用原根。
下面将介绍一种使用原根的方法来构造8个元素的有限域。
1.首先选择一个素数p，满足p = 1 (mod 8)，即p除以8余1。
可以选择p=17。
2.找到p的原根g，即g是一个满足g^i ≡ 1 (mod p)当且仅当i=p-1时的数。
可以选择g=3。
3.构造一个多项式f(x) = x^3 + x + 1。
4.计算f(x)在有限域GF(p)上的所有解，即f(x) ≡ 0 (mod p)在GF(p)中的解。
可以得到解x=1和x=13。
5.将解x=1和x=13构成的集合作为有限域的元素集合，即GF(17)={1,13, …}。
6.定义有限域上的加法和乘法运算：–加法定义：对任意a和b属于GF(17)，定义a+b为a和b的模p的和。
–乘法定义：对任意a和b属于GF(17)，定义a*b为a和b的模p的积。
7.检验构造的有限域是否满足有限域的性质：–检验加法封闭性：对GF(17)中任意两个元素的和进行模p运算，结果仍然在GF(17)中。
–检验乘法封闭性：对GF(17)中任意两个元素的积进行模p运算，结果仍然在GF(17)中。
–检验加法交换律和结合律：对GF(17)中任意三个元素进行加法运算，结果不受元素的顺序影响，且满足结合律。
有限域的教学设计
计算机系统与网络安全技术课题组
电子科技大学计算机科学与工程学院，四川成都 611731
一、引言
有限域是具有良好代数性质和密码学性质的一类代数结构。
最近几十年，随着密码学的发展，许多从事应用研究的数学家，开始重视有限域理论的研究和应用。
例如，有限域计算和算法分析对密码算法的效率有重要的影响。
有限域最早在密码学中的应用事用来构造具有良好性质的序列密码。
现代分组密码算法中也常用有限域上的置换来构造其核心部件，如AES 算法中的S 盒就是利用GF （256）线性变换与逆元变换的组合来构造的。
有限域在公钥密码算法中应用尤其广泛，如椭圆曲线密码算法中安全曲线的选取通常是在有限域上选取素数阶椭圆曲线。
一些新的公钥密码体制如NTRU 公钥密码体制就是建立在有限域上的多项式环上；多变量公钥密码体制的安全性基石即求解有限域上的多变量非线性方程组是NP 困难的。
有限域对于信息安全专业本科生来说比较陌生，而且前期的抽象代数的基础较弱，对于有限域的结构、性质以及计算机快速实现理解起来有一定的难度。
本知识点的重点和难点在于素域的构造、域的特征以及一般有限域的构造。
二、有限域教学设计
课程组经过几年的教学探索，总结出如下的教学思路：介绍群、环的定义，并以模n 的剩余类为例进行讲解，然后引入域的定义，再分析对于一般的整数n ，与域的定义之间的差距，从而引导学生如何添加一些条件，使得成为一个域，最后引入多项式环的定义，构造一个一般的有限域。
n Z n Z n Z 1、 抽象代数基本概念
定义1 一个非空集合G 对于G 上的一个二元运算D 来说做成一个群，如果对于任意有：
,,a b c G ∈（1）D 满足结合律，即()()a b c a b c =D D D D ；
（2）有单位元e ，使得a e G ∈e a =D D ；
（3）每一个元素均有逆元，即存在1a −G ∈，使得11a a a a e −−==D D 。
若运算D 还满足交换律，即a b b a =D D ，则称群G 为交换群。
定义2 一个非空集合R 称为一个环，如果R 有一个加法“+”和一个乘法“⋅”满足：
（1） R 是一个加法交换群； （2） 乘法运算“⋅”满足结合律；
（3） 加法和乘法满足分配律，即,,a b c R ∀∈，有，。
()a b c ab ac +=+()b c a ba ca +=+要注意的是，R 对于乘法运算并不构成群。
例1 考察集合是否为群或环。
n Z n Z 中定义了模n 加法和乘法运算。
对于加法，很显然是加法交换群。
对于乘法和加法，显然满足环的定义，而且存在单位元1，乘法满足交换律，因此是一个有单位元的交换环。
n Z n Z n Z n Z 2、 域和有限域的构造
定义3 对于一个有单位元的交换环F ，如果F 中所有的非零元均有逆元，则称F 为域，如果F 中的元素个数有限，则称F 为有限域。
再来分析集合。
主要考察中的非零元可逆的条件。
n Z n Z ,n a b Z ∀∈，若，则存在整数，使得1mod ab n ≡k 1ab kn =+；也可以等价记为存在整数k ，使得。
1ab kn +=回忆整数的性质：
若整数a ，b 互素，则存在整数k 1,k 2使得121k a k b +=。
因此，可以得出以下结论：
若整数和互素，则整数a 在中存在逆元，若整数和，满足
，则即为整数a 在中的逆元。
a n n Z
b k 1ab kn +=mod b n n Z 如果是域，则中所有的非零元均与互素，因此为素数。
n Z n Z n n 定理1 设p 为任意一个素数，则是一个有限域。
p Z 注意到在中，，均有p Z p a Z ∀∈0mod pa p ≡。
3、 上扩域的构造
p Z
定义4 设是一个未定元，记集合
x 0101[]{|,,,,}+=+++∈∈""n n n R x a a x a x a a a R n Z
在[]R x 中规定运算如下：
01010011010101()()()()(()(),+=+++++++=+++++++++⋅+++=+++=
∑""""""n n n n n m n n m n k i j k
a a x a x
b b x b x a b a b x a b x a a x a x b b x b x
c c x c x c a b 其中);.n n n i j
则[]R x 构成一个环，称之为R 上的关于x 的多项式环，称[]R x 中的元素为R 上的关于x 的多项式．
在上述定义中，令p R Z =，整数理论中的整除、互素等性质可以完全移植到多项式环中。
与整数中素数相对应的一个概念是不可约多项式。
在多项式环上，同样可以构造模多项式()f x 的剩余类集合，这个集合对于模多项式的运算构成有单位元的交换环。
若()f x 是不可约多项式，其相对应的剩余类环就构成一个有限域，其个数为，其中是n p n ()f x 的次数。
后续的课程将继续介绍有限域的特征、多项式基和正规基等概念，这些概念也是完全依托于线性代数的知识。
学生在学习本知识点的过程中，并未接触到更深层次的抽象代数理论，很容易根据上述教学思路掌握有关有限域的基础知识。
