高中数学函数的定义域教案人教版必修一

函数的定义域与值域注意事项：1.考察内容：函数的定义域与值域 2.题目难度：难度适中3.题型方面：1２道选择，4道填空，４道解答。

4.参考答案：有详细答案5.资源类型：试题/课后练习/单元测试一、选择题1.设映射x x x f 2:2+-→是集合A R =到集合B R =的映射。

若对于实数p B ∈，在A 中不存在对应的元素，则实数p 的取值范围是（ ）A 、()+∞,1B 、[)+∞,1 Ｃ、()1,∞- D 、(]1,∞-2.已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 与x 的函数关系式为A y=4x (x ＞＞0)C y=8x (x ＞＞0) 3.若()23f x x =+，(2)()g x f x +=，则()g x 的表达式为 A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x +4.设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．55.函数y=x+x1的值域是 （A ）（2，+∞） （B ）[－2，2] （C ）[2，+∞] （D ）（－∞，－2]∪[2，+∞） 6.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴ 3)5)(3()(+-+=x x x x f ，5)(-=x x g ；⑵ 11)(-+=x x x f ，)1)(1()(-+=x x x g ；⑶ x x f =)(，2)(x x g =； ⑷0)(x x f =，xx x g =)(； ⑸ 2)52()(-=x x f ，52)(-=x x g A ⑴、⑵ B ⑵、⑶ C ⑷ D ⑶、⑸7.函数y =）A.(,9]-∞B.(0,27]C.(0,9]D.(,27]-∞8.定义运算a b ，ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b，b ，a>b.例如1 2＝1，则函数y ＝1 2x的值域为A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0,1]9.函数的定义域是 （ ）A ．B ．C ．D ．10.设函数2()272f x x x =-+-，对于实数(03)m m <<，若()f x 的定义域和值域分别为[,3]m 和3[1,]m，则m 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、611 D 、81111.函数()31log f x x =+的定义域是(]1,9，则函数()()()22g x f x f x =+的值域是（ ）A ．(]2,14B 。

第2讲 函数的定义域一、教学目标1.掌握求函数定义域的方法2.掌握抽象函数定义域的求法二、知识点梳理1、函数的定义域函数的定义域是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围.2、求给出解析式函数定义域的方法（1）若)(x f 为整式，则其定义域为实数集R ；(2)若)(x f 为分式，则其定义域是使分母不为0的实数的集合；（3）若)(x f 为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；（4）若)(x f 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集；（5）0)(x x f =的定义域是}0|{≠x x ；由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束.函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

1、 解析式为整式时，x 取任何实数。

例1 、求下列函数的定义域(1)y=-5x 2， (2) y=3x+5，解：（1）x 为一切实数；（2）x 为一切实数2、当解析式为分式时，x 取分母不为零的实数.例2、求下列函数的定义域（1）y=11-x （2） y=xx 312+- 解：（1）∵x-1≠0 ∴函数的定义域是x≠1的实数。

（2）∵1+3x≠0 ∴函数的定义域是x≠-31的实数。

， 3、 当解析式为偶次根式时，x 取被开方数为非负数的实数例3、求下列函数的定义域（1）y=x -3，（2）y=42+x ，（3）y=221+x解： （1）∵3- x≥0，∴x≤3（2）∵2x+4≥0 ∴x≥-2（3）∵0221≥+x ，∴x≥-4 4、当解析式为复合表达式时，首先逐个列出不等式，求出各部分的允许取值范围，再求其公共部分。

例4、求下列函数的定义域（1）y=43--x x (2)y=x x 513- (3)y=6522+--x x x (4)y=32523+++x x 解：（1）∵⎩⎨⎧≠-≥-0403x x ∴⎩⎨⎧≠≥43x x ∴3≥x 且x≠4 . （2）∵1-5 x>0 ∴ x<51 . (3) ∵⎩⎨⎧≠≠≥∴⎩⎨⎧≠+-≥-322065022x x x x x x 且 ∴x>2且x≠3. (4) ∵322332032023-≥∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥∴⎩⎨⎧+≥+x x x x x 变式训练求下列函数的定义域① 1()||f x x x =- ② 1()11f x x =+ ③ f (x ) = 1+x +x-21④ f (x ) =24++x x ⑤ ()1f x =知识点二：求实际问题中函数的定义域求实际问题中函数定义域不仅要考虑到函数解析式本身有意义还应使实际问题有意义。

第二章--------函数的定义域函数的独立元素:解析式 定义域值域 性质 一、由函数解析式求定义域基础练习A:1.求下列函数的定义域： (1)y=lg(4x+3) (2)y=1/lg(4x+3)(3)y=(5x-4)0 (4)y=x 2/lg(4x+3)+(5x-4)02.用长为L 的铁丝弯成下部的矩形，上部分为半圆的框架（如图），若矩形的底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 的函数，写出的定义域。

例1、求下列函数的定义域变1:使解析式无意义的x 的取值范围是 变2:已知y 是x 的函数t t t t t t y x -+----+=+=222244,22其中t ∈R ，求y=f(x)的函数解析式及其定义域x x y )2lg(1-=、02)45()34lg(2-++=x x x y 、)39lg(|2|713x x y -+--=、3)12(23log )(4-=-x x f x 、xx y cos lg 2552+-=、C B 3442log 22+-+--x x xx二、由y=f(x)的定义域，求复合函数y=f(g(x))的定义域；或者反过来。

例2、设函数f(x)的定义域为[-2，9），求下列函数的定义域：(1)f(x+2) (2)f(3x) (3)f(x2) (4)f(lgx+5)(5) g(x)=f(-x)+f(x)实质：已知中间变量u=g(X)的值域，求x的范围。

变:已知函数f(x)的定义域为［－1,1），则F(x)=f(1―x)+f(1―x2)的定义域为＿＿。

例3、(1) 函数f(3x-2)的定义域是［－2,1）,则f(x)的定义域为(2)函数f(x2)的定义域是［－1,1），则f(x)的定义域为x)的定义域为 (3)函数f(x2)的定义域是［－1,1］，则f(log2______例4、已知函数f(x)=1/(x+1)，则f[f(x)]的定义域为实质:由中间变量u=g(x)的值域求f(x)的定义域变1: 函数f(2x )的定义域是［－1,1］，求f(x 2)的定义域变2:函数 的值域是{y|y ≤0或y ≥4}则此函数的定义域是＿＿＿＿＿三、含有参数的函数的定义域,利用分类讨论的思想方法 例5、求函数f(x)=lg(a x －k •2x )(a>0且a ≠1，a ≠2)的定义域。

高中数学函数及定义域教案
目标：学生能够理解函数的概念并能够找到函数的定义域
教学内容：
1. 什么是函数？
2. 函数的定义域是什么？
3. 如何找到函数的定义域？
教学步骤：
一、导入新知识
通过举例让学生了解函数的概念，比如：y=x+3，y=2x^2+1
二、讲解函数的定义域
1. 函数的定义域是指输入的自变量的取值范围
2. 定义域可以是一个区间、多个区间的并集、整个实数集等
三、示例演练
1. 对于函数y=√x，问学生这个函数的定义域是什么？
2. 引导学生找到函数的定义域并解释
四、让学生自主找出函数的定义域
给学生几个函数的例子，让他们找出函数的定义域，然后在班级中分享答案五、总结回顾
总结函数的概念和定义域的含义，确保学生掌握了相关知识点
教学方法：
1. 讲解结合举例演示，使抽象的概念更具体化
2. 学生合作讨论，促进思维碰撞和知识分享
评估与作业：
1. 设计一些函数的定义域求解题让学生独立完成
2. 要求学生写一篇关于函数及其定义域的总结报告
拓展延伸：
引导学生探讨更多复杂函数的定义域求解方法，比如组合函数、复合函数等
以上就是本节课的教案，希望能够帮助学生更好地理解函数及其定义域的概念。

如果有任何问题或建议，请随时与我联系。

祝您教学愉快！。

函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。

三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。

（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。

比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。

2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。

（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。

（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。

- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。

3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。

请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。

（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。

高中数学人教版《函数的定义域与值域》教案2023版一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解函数的定义域和值域的概念；2. 掌握求解函数的定义域和值域的方法；3. 运用所学知识解决相关问题。

二、教学重点与难点1. 教学重点：函数的定义域和值域的概念及求解方法；2. 教学难点：应用所学知识解决相关问题。

三、教学过程1. 导入新课通过提问引入函数的定义域和值域的概念，为引出本课的教学内容做铺垫。

2. 概念讲解（1）函数的定义域定义域是指函数中自变量可以取值的范围。

根据函数的定义和实际问题，确定自变量取值范围时需要考虑以下几点：- 函数中是否包含分母为零的情况；- 若函数存在根式，要求根式内的式子必须为非负数。

（2）函数的值域值域是指函数的所有可能取值所组成的集合。

要确定函数的值域，一般需要进行以下步骤：- 分析函数的性质，判断函数是增函数还是减函数；- 确定函数的最大值和最小值。

3. 求解示范通过具体的例题，讲解如何求解函数的定义域和值域。

引导学生理解求解过程，并解释每一步的原因和依据。

4. 深化训练组织学生进行一些练习，注重培养学生独立解决问题的能力。

根据学生的解答情况，及时给予指导和反馈。

5. 拓展应用提供一些拓展应用题，让学生将所学知识应用到实际问题中。

鼓励学生思考、分析和解决问题的能力，培养学生的数学建模能力。

6. 归纳总结通过学生讨论、总结，归纳总结本节课的内容，并梳理相关的思维导图或概念框架，帮助学生将知识点整合，加深记忆。

四、课堂小结本节课主要介绍了函数的定义域和值域的概念，并讲解了求解函数定义域和值域的方法。

通过练习与应用，帮助学生巩固所学知识。

五、作业布置1. 完成课后习题；2. 思考并解答一道与函数的定义域和值域相关的问题。

六、教学反思本节课的教学内容与学生的预期目标相符，通过多种教学方法的运用，调动了学生的学习积极性。

在示范求解步骤和培养学生解决实际问题的能力方面，可能还需要进一步加强。

人教版高中数学必修一教学案年级：高二上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题课型授课日期及时段函数及其表示方法□预习课□同步课■复习课□习题课教学内容函数及其表示方法【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a<x<b}=(a,b);{x|a≤x≤b}=[a，b]；{x|a<x≤b}=(a,b]；{x|a≤x<b}=[a,b)；{x|x≤b}=(-∞,b];{x|a≤x}=[a,+∞).要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。

函數的定義域與值域 【學習目標】1. 掌握求常規函數的定義域與值域的方法。

2. 瞭解特殊情形下的函數的定義域與值域的求法。

3. 以極度的熱情投入學習，體會成功的快樂。

【學習重點】基本初等函數的定義域與值域的求法。

【學習難點】複合函數的定義域與值域的求法。

[自主學習] 一、定義域：1．函數的定義域就是使函數式 的集合. 2．常見的三種題型確定定義域：① 已知函數的解析式，就是 .② 複合函數f [g(x )]的有關定義域，就要保證內函數g(x )的 域是外函數f (x )的 域. ③實際應用問題的定義域，就是要使得 有意義的引數的取值集合. 二、值域：1．函數y ＝f (x )中，與引數x 的值 的集合.2．常見函數的值域求法，常用的方法有：①觀察法；②配方法；③反函數法；④不等式法；⑤單調性法；⑥數形法；⑦判別式法；⑧有界性法；⑨換元法 例如：① 形如y ＝221x +，可採用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可採用 法或法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可採用 法；④ y ＝x －x -1，可採用 法；⑤ y ＝x －21x -，可採用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可採用 法等.[典型例析]（A ）例1. 求下列函數的定義域：（1）y=xx x -+||)1(0; (2)y=232531x x -+-; (3)y=1·1-+x x變式訓練1：求下列函數的定義域： （1）y=212)2lg(x x x -+-+(x-1)0 ;(2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;( B)例2. 設函數y=f(x)的定義域為［0，1］，求下列函數的定義域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x1); (3)y=f()31()31-++x f x ; (4)y=f(x+a)+f(x-a).小結：(B)例3. 求下列函數的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x 21-; (3)y=1e 1e +-x x .（4）y=521+-x x; (5)y=|x|21x -.小結：（C）例4已知函數f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函數的值域為［0，+∞)時的a的值；（2）若函數的值均為非負值，求函數f(a)=2-a|a+3|的值域.[當堂檢測]1.若函數)(x f y =的定義域為[-1,1]，求函數)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定義域__________。

高中数学 §1.2.1函数的定义域与值域学案 新人教A 版必修1学习目标：1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.学习重点：求一些简单函数的定义域与值域 学习难点：求一些简单函数的定义域与值域知识链接：1、函数的三要素是 、 、 .2、求函数定义域的规则：①整式： ②分式： ③偶次根式： ④零次幂式： ⑤如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的例题剖析：例1、下列函数中哪个与函数y=x 相等？ （1）y = (x )2 ; （2）y = (33x ) ; （3）y =2x ; （4）y =x x 2小结：① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 例2、 求下列函数的定义域 （用区间表示）.（1）23()2x f x x -=-； （2）()f x （3）1()2f x x =-.例3、求下列函数的值域。

（1）y=2x-5 x ∈[-1,2]； (2) y ＝53x -+； （3）2()3x f x x -=+； （4）y ＝x 2－3x ＋4；（5）y ＝x 2－3x ＋4 x ∈[-1,2]； （6）y ＝x 2－3x ＋4 x ∈[2,4] ；求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、拆分法、基本函数法. 当堂检测：1、判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一个函数，说明理由？① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1. ② ()f x = x ； ()g x .③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +. ④ ()f x = | x | ；()g x .2. 函数()1f x 的定义域是3. 函数2132x y x -=+的值域是（ ）. A. 11(,)(,)33-∞--+∞ B. 22(,)(,)33-∞+∞ C. 11(,)(,)22-∞--+∞ D. R4.求函数(0)ax by ac cx d +=≠+的值域.。

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√x x,g(x)=√x;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y=(x+2)|x |-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−1√2-x+1x的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32. ∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x ； ④y ＝2x －√x −1. 【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2. 【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。

函数的定义域教学设计1、教学分析（1）教材分析：函数的定义域是2019版新人教A版必修第一册第三章的内容，是函数的概念这一节里的重点内容，在学习本节知识前，学生已经理解了函数的概念,并对函数的三要素有了初步感知，因此本节课重点在于求解定义域，实质是解不等式。

（2）学情分析：函数的三要素是函数概念里的一节专题，其中定义域是重点，也是后面解答函数相关问题的基础。

基于学生数学基础薄弱，几近没有基础，并且在初步感知函数的概念后对定义域和值域充满了疑惑，因此本节课计划从单独的几种类型函数的定义域反复训练后再让学生自主完成2到3道综合型求函数定义域的问题加深学生对函数的理解，尽量让学生通过自己的思考总结求函数定义域的方法，这样既能激发学生学习数学的兴趣，又能提升学生的思维能力和学习能力。

如若学生反馈较好，便进一步以抽象函数定义域的问题让学生初步感知抽象函数。

2、教学目标1.进一步理解函数的定义域的概念，正确表达函数的定义域；2.会求简单函数的定义域，掌握分式、根式函数定义域的求法；3.通过合作探究、独立解答、实际应用培养学生抽象概括和分析解题的能力；4.培养学生的热爱数学，严谨科学的学习态度和价值观。

3、数学学科核心素养通过简单的题目应用到综合应用、实际应用，层层引入，由简单到复杂，由特殊到一般培养学生逻辑推理，数学运算和数据分析的数学核心素养。

4、教学重难点重点：把定义域问题转化为不等式或不等式组问题，总结归纳函数的定义域求法；难点：解不等式组。

5、教学教法本节课一是巩固学生对函数概念、三要素的理解，二是解不等式，算是一节习题课，力求充分展示数学解题过程的科学性、启发性和规律性，老师以例题讲解作为对学生思维的启发点，在练习中以学生为主，学生自主在黑板板书甚至讲解，引导学生自己总结归纳求解函数定义域的思想方法，实现课堂的有效性。

6、教学过程设计教学环节教学活动设计意图（一）唤醒旧知1、函数的三要素是什么？2、什么是函数的定义域？(视学生理解情况，适当举例从图形和集合表示中寻找函数的定义域)3、重新认识一次函数、二次函数、反比例函数（借助图像引导学生完成）函数一次函数二次函数反比例函数a＞0 a＜0对应关系定义域值域结合初中所学函数，巩固学生对函数概念的理解，贴近学生的最近发展区，引起有意注意(二) 例题讲解，习题训练探究一：教师演示，引导学生求函数定义域。

专题三 求函数的定义域、值域的常用方法 高考要求 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳(1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强题型综合训练：1、求以下函数的定义域〔1〕2log (2)y x =++ 〔2〕y =2、假设函数()y f x =的定义域是[0, 2],求函数2()()1f xg x x =-的定义域。

3、设2()lg 2x f x x +=-，求2()()2x f f x+的定义域。

4、求以下函数的值域〔1〕22y x x =+〔2〕|1||4|y x x =-++〔3〕2121x x y +=-〔4〕2y x =+5、用min(,,)a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设()min{2,2,10}x f x x x =+-(0)x ≥，求()f x 的最大值。

6、设函数21()2f x x x =++的定义域是[,1]()n n n N +∈，那么在()f x 的值域中共有多少个整数？8、实数,x y 满足22410x y x +-+=，求y x的取值X 围。

9、实数,x y 满足10x y ++=，求22x y +的最小值。

10、求以下函数的值域〔1〕)4(log 221x x y -= 〔2〕 x x y 2231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=11、〔1〕求函数x x y -+-=53 的值域。

〔2〕求函数的值域。

12、求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域。

二．教学目的：1. 能用映射的概念理解函数的概念，掌握函数符号“()=”，掌握区y f x间的概念；2. 培养学生理解抽象概念的能力。

三．教学重点、难点：函数的概念四．教学过程：（二）新课讲解：1．函数的定义：（1）传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值的集合叫做定义域，自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）近代定义：如果,A B都是非空的数集，那么A到B 的映射f：A B→就叫做A到B的函数，记作∈，原象的集合叫做函数=，其中x A()y f x∈，y B⊆）叫做函数()=的定义域，象的集合C（C By f x=的值域。

y f x()说明：①映射f：A B→，,A B都是非空的数集；②函数的三要素：定义域、值域、对应法则；③函数符号()=表示“y是x的函数”，可简记为函y f x数()g x F x。

f x，有时也用(),()④()f a的意义：自变量x取确定的值a时，对应的函数值用符号()f a表示；⑤定义域：自变量x的取值的集合，值域：函数值y的集合；⑥两个函数相同：当且仅当函数的三要素全相同。

例2．判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？（1）3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y （不是同一函数，定义域不同）（2）111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y （不是同一函数，定义域不同）（3）x x f =)( 2)(x x g = （ 不是同一函数，值域不同）（4）x x f =)( 33)(x x F =（是同一函数）（5）21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （不是同一函数，定义域、值域都不同）3．区间的概念：设,a b 是两个实数，而且a b <，规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b ，(,]a b ．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。

课题：函数的定义域目标：掌握函数的定义域的求法：①使式子有意义；②复合函数的定义域重，难点：函数的定义域的求法教学过程：一函数的定义域：①基本知识：函数的定义域_________取值集合，函数的值域取决于函数的_______和_______，研究函数问题应注意定义域优先的原则。

②求函数的定义域的主要依据：分式的分母_______________，偶次方根的被开方数____________；对数函数的真数__________;对数、指数函数的底数必须大于零且______.二、例题讲解：1、使式子有意义的x的集合例1、求下列函数的定义域∴定义域是空集，函数是虚设的函数(2)由函数式可得∴函数的定义域是{x|x=-1}，定义域是一个孤立的点(-1，0)的横坐标(3)∵x2-4≠0∴x≠±2∴函数定义域为(-∞，-2)∪(-2，+2)∪(2，+∞)(4)从函数式可知，x应满足的条件为∴函数的定义域为2、复合函数的定义域的求法：例2、设f(x)的定义域为[0，2]，求函数f(x+a)+f(x-a)(a＞0)的定义域．解：∵f(x)定义域为[0，2]所以f(x+a)+f(x-a)中x应满足又∵a＞0，若2-a≥a，则a≤1即0＜a≤1时，f(x+a)+f(x-a)的定义域为{x|a≤x≤2-a}当a＞1时，x∈评注求f(x)的定义域就是求使函数f(x)有意义的x的取值范围，定义域表示法有：不等式法，集合法，区间表示法等．三、课堂练习：1、求定义域（1）x y 11111++=（2）2322---=x x x y（3）y=24++x x (4) y=)13(log 28+-x a x(a>0且a ≠1) 2、若函数y=aax ax 12+-的定义域为_R ，则a 的范围是____________________。

3、函数f(x)=xx x -+0)1(的定义域为____________________4、已知f （x ）的定义域为[-1，2]，那么函数f(x+1)+f(x 2-1) 的定义域为_____________________.5、 知f （x ）的定义域为[0，1]，那么函数f(x 2) 的定义域为_____________________.6、 知f （x ）的定义域为[0，1]，求函数F(x)=f(x+a)+f(x-a)(-1/2<a ≤0) 的定义域。