圆的一般方程(轨迹问题)

的方程与专题复习(直线与圆.圆与圆的位置关系.轨迹问题)知识梳理浙江省诸暨市学勉屮学(311811)郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳1.圆的定义：平而内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心，定长为半径.2.圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x-r/)2+(y-/7)2 =r2(r>0), 其屮圆心坐标为(％),半径为r；当a = O,h = O时，即圆心在原点时圆的标准方程为x2 + y2 =厂2 ；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3.圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，x2 + y2 + Dx + + F = 0(D2 + E2 - 4F >0)；②圆的一般方程的特点：(1) x2,y2项系数相等且不为()；(2)没有小这样的二次项③二元二次方程Ax2+Bxy + Cy2 +Dx + £y + F = 0表示圆的必要条件是4=C H 0 且B = Q；二元二次方程+ Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是A = C^0且3 = 0 且D2 +E2-4AF>04.圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量0将变量x, y联系起来的一个方程.[x = r cos e①鬪心在原点，半径为厂的圆的参数方程是：｛.八(0为参数);[y = rsin^/ 、\x = a + r cos 0②圆心在(a,b),半径为旷的圆的参数方程是：｛(〃为参数);[y = b + rsin05.圆方程之间的互化x2 +y2 +Dx + Ey + F =0(D2 +E2-4F>0)配方(E、2D2 + E2 -4F< D<=>X + —+x + —即圆心< 2丿L 2丿4 1 22厂=丄S +E： -4F o 利用(rcos0)2 +(rsin^)2 = r2得j“ °十'°°"矽为参数)2 \y = b + rsind6.确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一燉方程及参数方程都冇三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。

高考数学轨迹方程的求解知识点归纳整理|圆的轨迹方程例题符合一定条的动点所形成的图形，或者说，符合一定条的点的全体所组成的集合，叫做满足该条的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条，也就是符合给定条的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条的动点轨迹方程。

圆的方程●圆的方程的三种形式 （1）圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2，方程表示圆心为(a,b)，半径为r 的圆. （2）圆的一般方程对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0①当D 2+E 2-4F ＞0时，表示圆心为（-D 2,-E 2），半径为12②当D 2+E 2-4F=0时，表示一个点（-D 2，-E2）；③当D 2+E 2-4F ＜0时，它不表示任何图形.（3）圆的参数方程x a rcos ,y b rsin θθ=+⎧⎨=+⎩，圆心(a,b ），半径r ＞0，θ∈R. ●点与圆的位置关系圆的标准方程（x-a ）2+(y-b)2=r 2,圆心A （a,b ），半径r ，若点M （x 0,y 0）在圆上，则(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆外，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆内，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2. ●确定圆的方程的方法（1）确定圆的方程的主要方法是待定系数法.如果选择标准方程，一般步骤为： ①根据题意，设所求圆的标准方程为（x-a ）2+(y-b)2=r 2; ②根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；③解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求方程. 求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量. (2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法.设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由三个条件得到关于D 、E 、F 的一个三元一次方程组，解方程组,求出参数D 、E 、F 的值即可.(3)以A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)为直径的两端点的圆的方程为（x-x 1）(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. （4）在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. ●与圆有关的最值问题（1）求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代 数式的几何意义进行转化.如①形如m=y bx a--的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by 的最值问题，可转化为直线在y 轴上的截距的最值问题；③形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题. (2)特别要记住下面两个代数式的几何意义：yx表示点（x,y ）与原点（0,0）连线的直线斜率表示点（x,y ）与原点的距离. 1.方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )A.14＜m＜1 B.m＞1 C.m＜14D.m＜14或m＞1解析：若方程表示圆，则(4m)2+(-2)2-4×5m＞0，解得m＜14或m＞1.答案：D2.若点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则a的取值范围是( )A.|a|B.|a|＜1C.|a|D.|a|≤1解析：点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则(4a-1+1)2+(3a+2-2)2≤25，即|a|≤1. 答案：D3.圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析：圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2，0)关于y=x对称的点的坐标为(0,-2)，所以，所求圆的方程是x2+(y+2)2=5.答案：D4.已知x、y满足x2+y2-4x-6y+12=0，则x2+y2的最小值为__________.解析：点（x,y）在圆(x-2)2+(y-3)2=1上，故点(x,y)到原点距离的平方即x2+y2的最小值为2答案：5.已知圆x2+y2+kx+2y=-k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为__________.答案：(0,-1)自我诊断①若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a的值为__________.答案：3自我诊断②以点A（-3，0），B（0，-3），C（157，247）为顶点的三角形与圆x2+y2=R2（R＞0）没有公共点，则圆半径R的取值范围是（）)∪,+∞) B.( ) )∪(3,+∞)D.(,3)2解析：如图，若圆与△ABC没有公共点，需考虑两种情况，①圆在三角形内部；②圆在三角形外部.当圆在三角形内部时，圆与BC；当圆在三角形外部时，圆过点C，所以选A.答案：A题型一圆的方程的求法【例1】根据下列条件求圆的方程：（1）经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）圆心在直线y=-4x上，且与直线l:x+y-1=0相切于点P（3，-2）；（3）过三点A（1，12），B（7，10），C（-9，2）.规律方法：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质而求出圆的基本量；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 创新预测1根据下列条件求圆的方程：（1）已知一圆过P（4，-2）、Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为（2，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为题型二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求yx的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求x2+y2的最大值和最小值.规律方法：化x、y满足的关系式为(x-2)2+y2=3，明确yx、y-x、x2+y2的几何意义，数形结合求解.创新预测2已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y2x1++的最大值和最小值.（2）求x-2y的最大值和最小值.（3）求点P（x,y）到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.题型三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.\规律方法：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.创新预测3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程.题型四与圆有关的实际应用问题【例4】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A、B两地距离为10 km，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.规律方法：审清题意，根据题意求轨迹方程.求方程前必须建立平面直角坐标系，否则曲线就不能转化为方程，坐标系选取得当，可使运算过程简单，所得方程也较简单.创新预测4 设有一个半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进.A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇.设A、B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问:两人在何处相遇？精品作业自我测评·技能备考一、选择题：每小题6分，共36分.1.（2009·许昌模拟）P（x,y）是圆x2+y2=1与直线x+y+2m=0(m＞0)的公共点，则直线008=0的倾斜角的最大值为( )A.45°B.60°C.90°D.135°答案：A2.（2009·天津汉沽模拟）已知两点A(-2,0)，B(0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x=0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )C.3-2D.32 答案：A3.（2009·山东临沂模拟）若直线ax+2by-2=0(a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2-4x-2y-8=0的周长，则1a +2b的最小值为( )A.1B.5 答案：D4.（2008·山东）已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )答案：B5.（2009·湖北沙市模拟）直线l:4x-3y-12=0与x、y轴的交点分别为A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+1)2=1B.(x-1)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+1)2D.(x-1)2+(y+1)2=2 答案：A解析：A(3,0),B(0,-4)，O（0，0），∴内切圆的半径r=OA OB AB2+-=1，由图象知，圆心为(1,-1),∴方程为(x-1)2+(y+1)2=1，故选A.6.（2009·西南师大附中模拟）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.3B.2C.22D.2 答案：D二、填空题：每小题6分，共18分.7.（2009·江苏江宁高级中学3月模拟）直线ax+by=1过点A(b,a)，则以坐标原点O为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是______.答案：π解析：直线过点A(b,a)，∴ab=12，圆面积S=πr2=π(a2+b2)≥2πab=π.8.（2009·广东华南师大附属中学测试）从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为____________.答案：2解析：圆心(1,1)，则|PC|2=5，∴切线长9.（2009·浙江金华模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖，则实数a的取值范围是_____________.答案：a≤1解析：易知OP的垂直平分线即为单位圆的切线，当a≤0时，平面区域即坐标平面，显然满足题意；当a＞0时，由图象易知0＜a≤1，综上，a≤1.三、解答题：10、11题每题15分，12题16分，共46分.10.（2009·江苏通州调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a＞0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值.(2)设点P在⊙E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问：这样的⊙E是否存在？若存在，求出⊙E的标准方程；若不存，说明理由.11.（2009·江苏盐城模拟）已知以点C(t,2t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程.\12.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP ·OQ =0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程.。

2015-2016（上）狮山高中高二术科班数学学案（36）内容：4.1.2圆的一般方程（2）轨迹方程 班别： 姓名： 学习目标1、进一步熟悉圆的方程及求法2、初步体会求动点轨迹的方法和方程的思想，会用直接法和相关点法求曲线的轨迹方程 重点与难点圆的方程的求法；利用直接法和相关点法求轨迹方程学习过程一、自主学习：（知识归纳与探究）1．确定圆的几何条件确定圆的几何条件是 和 .圆心的坐标中含有 个量，故需要 个独立条件才能确定圆的方程.2．求圆的方程的方法（1）直接法：根据已知条件，求出圆心坐标和圆的半径，直接写出圆的方程.（2）待定系数法：①根据题中条件，选择圆的方程（标准方程或一般方程）；②根据条件列出方程组；③解出待定系数，代入圆的方程.二、例题学习例1．（P124 B 1）等腰ABC 的顶点(4,2)A ，底边一个端点(3,5)B ，求另一顶点C 满足的等式？【知识点提炼】轨迹方程：动点M 的坐标(,)x y 满足的等式称为点M 的轨迹方程. 问题：例题1中C 的轨迹方程是什么？其轨迹是个什么图形？例2．已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程.归纳小结：求轨迹方程的步骤：1）根据题目中条件，将动点满足的几何关系直接转化为坐标关系，再经过整理、化简得到动点的轨迹方程的方法叫做直接法.2）当动点(,)Q x y的变化而有规律地变动，可把Q点的坐标'x，'y分P x y，随另一动点(',')别用动点P的坐标x，y表示，代入Q点满足的等式，得到动点P的轨迹方程的方法叫做代入法或相关点法.三、巩固练习1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋2)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝12．圆22x x y y-++-=的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是42403．（书本P124 B4）已知点M与两个定点()()O A的距离的比为12，求点M的轨迹0,0,3,0方程。