常用对数与自然对数

对数函数知识点(一)对数函数定义对数函数是指满足以下条件的函数： - 底数为正实数且不等于1；- 函数定义域为实数集合中大于0的数； - 函数值域为实数集合。

常见的对数函数1.自然对数函数–底数为常数e（自然对数的底数），记作ln(x)或logₑ(x)。

–特点：以常数e为底的对数函数，在微积分中有广泛的应用。

2.以10为底的常用对数函数–底数为常数10，记作log₁₀(x)或log(x)。

–特点：以10为底的对数函数，在计算中常常用到。

对数函数的性质1.定义域和值域–自然对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

–以10为底的常用对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

2.基本性质–对数函数的图像总是位于一、二象限。

–对数函数的图像与直线y=x关于y=x对称。

3.特殊值–自然对数函数ln(x)当x=1时，ln(1)=0。

–以10为底的常用对数函数log(x)当x=1时，log(1)=0。

4.对数函数的性质–对数函数有唯一的反函数即指数函数。

–对数函数满足对数运算法则，如log(xy)=log(x)+log(y)。

5.对数函数的性质与图像–对数函数的图像有一个特点，就是随着自变量x的增大，函数值增长缓慢，近似于直线y=0。

–对数函数在x>1时，图像急剧上升；在0<x<1时，图像急剧下降。

应用领域•对数函数在科学计算、金融领域、生物学及工程学中有广泛的应用。

•对数函数常常用于解决指数增长与衰减问题、复杂的计算问题、百分比增长问题等。

以上为对数函数的相关知识点和详解。

对数函数作为数学中重要的函数之一，在各个领域中都有广泛的应用。

希望通过本文的介绍，能够对对数函数有更深入的了解。

对数函数的性质和图像对数函数的性质1.指数和对数的关系–对数函数是指数函数的反函数。

对于正实数a和b，有以下关系：logₐ(b) = x if and only if aˣ = b。

–例如，log₂(8) = 3，因为2³ = 8。

高一上册数学对数知识点对数是数学中一种重要的运算形式，能够将指数运算转化为对数运算，从而简化计算过程。

它在解决指数方程、评估指数函数的值以及处理复杂的数学问题方面起着重要作用。

在高中数学课程中，学习对数是必不可少的一部分。

下面我将为大家介绍高一上册数学中的几个重要的对数知识点。

一、对数的定义与性质1. 对数的定义：对于正数a（a≠1）和正数x，如果满足a^x=b （b>0），那么称x为以a为底b的对数，记作logₐb=x。

其中，a 被称为对数的底数，b被称为真数。

2. 对数的性质：（1）logₐ1=0，任何数的以自身为底的对数等于1。

（2）logₐa=1，任何数以其自身为底的对数等于1。

（3）logₐ(a*b)=logₐa+logₐb，任何两个正数的乘积的对数等于它们的对数之和。

（4）logₐ(a/b)=logₐa-logₐb，任何两个正数的商的对数等于它们的对数之差。

（5）logₐ(a^p)=p*logₐa，任何数的幂的对数等于指数与幂的底数的对数乘积。

二、常用对数与自然对数1. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，常用对数的记作logb，其中b表示真数。

常用对数的底数为10，即log₁₀b。

2. 自然对数：以自然常数e（约等于2.71828）为底的对数称为自然对数，自然对数的记作lnx，其中x表示真数。

三、对数运算的应用1. 对数方程：对数方程是指以对数形式表示的方程。

通过对数的性质，可以将一些指数方程转化为对数方程，从而更方便地解决问题。

2. 指数函数：指数函数是以指数形式表示的函数，具有形如f(x)=a^x的表达式，其中a为底数。

对数函数则是指数函数的逆运算，可以通过对数函数求解指数函数的值。

3. 对数尺度：对数尺度在测量和表达某些现象时往往更加合适。

例如在地震的震级表中，每增加一个单位的震级，地震的能量就增加10倍。

四、常用对数的换底公式1. 换底公式：对于任意正数a、b以及正整数n，换底公式为logₐb=logₐn * lognb。

高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。

设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。

其中a称为底数，b称为真数。

即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。

例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。

2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。

（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。

即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。

⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。

⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。

⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。

3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。

4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。

在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。

例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。

二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。

分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。

（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。

2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。

对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。

3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。

对 数对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一 对数的有关概念对数的概念：一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e ＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .知识点二 对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：log a N a ＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1)．知识点三 对数的性质1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．1．若3x ＝2，则x ＝log 32.( √ )2．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ )3．log a N >0(a >0且a ≠1，N >0)．( × )4．若ln N ＝12，则N ＝⎝⎛⎭⎫12e .( × )一、指数式与对数式的互化例1 将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14；(2)102＝100； (3)e a ＝16；(4)1364-＝14； (5)log 39＝2；(6)log x y ＝z (x >0且x ≠1，y >0)．解 (1)log 214＝－2. (2)log 10100＝2，即lg 100＝2.(3)log e 16＝a ，即ln 16＝a .(4)log 6414＝－13. (5)32＝9.(6)x z ＝y .反思感悟 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化：(1)log 216＝4；(2)13log 27＝－3；(3)43＝64；(4)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.解 (1)由log 216＝4，可得24＝16.(2)由13log 27＝－3，可得⎝⎛⎭⎫13－3＝27.(3)由43＝64，可得log 464＝3.(4)由⎝⎛⎭⎫14－2＝16，可得14log 16＝－2.二、利用对数式与指数式的关系求值例2 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x . 解 (1)2233364(4)x --==＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以1111636662()8(2)2x x =====(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2. 反思感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练2 (1)计算log 927；的值；(2)求下列各式中x 的值：①log 27x ＝－23；②log x 16＝－4. 解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴2x ＝3，x ＝32.设81x =，则x ＝81,43x ＝34，∴x 4＝4，x ＝16. (2)①∵log 27x ＝－23， ∴2233327(3)x --==＝3－2＝19. ②∵log x 16＝－4，∴x －4＝16，即x 4＝116＝⎝⎛⎭⎫124， ∴x ＝12. 三、利用对数性质及对数恒等式求值例3 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)71log 57.x －＝解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)771log 5log 5777775.5x ÷÷－＝＝＝＝ 反思感悟 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．(2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：log log .a N N a a N a N ＝，＝跟踪训练3 (1)设3(log 21)327x ＋＝，则x ＝ .答案 13 (2)若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1.∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.1．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( )A ．log 913＝－2 B ．13log 9＝－2 C ．13log (2)-＝9D ．log 9(－2)＝13答案 B解析 根据对数的定义，得13log 9＝－2，故选B.2．若log a x ＝1，则( )A ．x ＝1B ．a ＝1C ．x ＝aD ．x ＝10答案 C3．方程3log 2x ＝14的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9 答案 A解析 ∵3log 2x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19. 4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．138-＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与129＝3D ．log 77＝1与71＝7 答案 C5．已知log x16＝2，则x＝.答案 4解析log x16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4，又因为x>0且x≠1，所以x＝4.1．知识清单：(1)对数的概念．(2)自然对数、常用对数．(3)指数式与对数式的互化．(4)对数的性质．2．方法归纳：(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化．(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确说法的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，a x＝N才能化为对数式．2．已知－ln e2＝x，则x等于()A．－1 B．－2 C．1 D．2答案 B解析因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x，x＝－2.3．若log a 5b＝c，则下列等式正确的是()A．b5＝a c B．b＝a5c C．b＝5a c D．b＝c5a 答案 B解析由log a 5b＝c，得a c＝5b，所以b＝a5c.4．下列四个等式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2. 其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④答案 C解析①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝e e.故只有①②正确．5．若log a3＝m，log a5＝n，则a2m＋n的值是()A．15 B．75 C．45 D．225答案 C解析由log a3＝m，得a m＝3，由log a5＝n，得a n＝5，∴a2m＋n＝(a m)2·a n＝32×5＝45.6．＝.答案8解析设81＝t，则(3)t＝81,23t＝34，t2＝4，t＝8.7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么12x ＝.答案2 4解析∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴23＝x，∴12x -＝()1322-＝18＝122＝24. 8．若对数log (x －1)(2x －3)有意义，则x 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎭⎫32，2∪(2，＋∞)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x －1≠1，2x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，x ≠2，x >32，得x >32且x ≠2. 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)53＝125； (2)4－2＝116； (3)12log 8＝－3；(4)log 3127＝－3. 解 (1)∵53＝125，∴log 5125＝3.(2)∵4－2＝116，∴log 4116＝－2. (3)∵12log 8＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8. (4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127. 10．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582. ②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a 3. ③由36a ＝2得32a ＝6，所以log 26＝3a.11．方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( )A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3 答案 B解析 由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0， 解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3. 12.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72 C ．8 D.37答案 C解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫12－1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.13．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝ . 答案 －3解析 由log (1－x )(1＋x )2＝1，得(1＋x )2＝1－x ， ∴x 2＋3x ＝0，∴x ＝0或x ＝－3.注意到⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，∴x ＝－3. 14．若x 满足(log 2x )2－2log 2x －3＝0，则x ＝ .答案 8或12解析 设t ＝log 2x ，则原方程可化为t 2－2t －3＝0，解得t ＝3或t ＝－1， 所以log 2x ＝3或log 2x ＝－1，所以x ＝23＝8或x ＝2－1＝12.15．若a >0，23a ＝49，则23log a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析 因为23a ＝49，a >0， 所以a ＝3249⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫233， 设23log a ＝x ，所以⎝⎛⎭⎫23x ＝a .所以x ＝3.16．若12log x ＝m ，14log y ＝m ＋2，求x 2y 的值． 解 因为12log x ＝m ，所以⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m . 因为14log y ＝m ＋2，所以⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4. 所以x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m ＋4＝⎝⎛⎭⎫122m －(2m ＋4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.。

常用对数和自然对数转换常用对数和自然对数是数学中较为基础的两种对数，它们之间的转换可以在数学、物理等领域中提供帮助和便利。

下面介绍一下常用对数和自然对数的定义与转换方法。

常用对数是以10为底的对数，记作log10。

常用对数与我们生活中的数量级有着密切的关系，例如震级、声音的强度等都使用常用对数。

常用对数的性质与其他对数类似，例如，如果a与b均为正数，则log10(ab)=log10a+log10b。

自然对数是以e（自然常数）为底的对数，记作ln。

自然对数同样具有许多的应用，例如，在物理、统计学和天文学等领域中都可见到自然对数的使用。

自然对数也有一些特殊的的性质，例如，如果a与b 均为正数，则ln(ab)=lna+lnb。

常用对数和自然对数之间的转换可以使用以下公式进行计算：log10a=lna/ln10lna=log10a/ln e其中，e为自然常数，值为2.71828...，ln10约等于2.30259。

使用这两个公式，可以将常用对数和自然对数相互转换。

例如，如果要将常用对数log102转换成自然对数，便可以运用第一个公式，即log102=ln2/ln10使用计算器或手算，可得到log102约等于0.30103，因此ln2=log102/ln e≈0.30103/1≈0.30103同样，如果要将自然对数ln3转化成常用对数，则可以使用第二个公式：ln3=log103/ln e计算可得log103=ln3/ln10≈0.477因此，ln3转化成常用对数大约为0.477。

总之，对数在科学、商业和社会生活中都有着重要的应用。

掌握常用对数和自然对数的转换方法，可以帮助我们更好地进行数学、物理等方面的研究和分析。

对数函数知识点总结对数函数是数学中的一种重要的函数类型，广泛应用于各个科学领域。

本文将对对数函数的基本定义、性质以及应用进行总结。

1. 定义与性质对数函数是指数函数的逆运算。

设a是一个正实数且a≠1，b是任意正实数，则“以a为底b的对数”可以表示为logₐb。

其中底数a称为对数的底，b称为真数，logₐb称为对数。

对数函数通常用f(x) = logₐx表示。

对数函数具有以下基本性质：1）logₐ1 = 0：任何数以其本身为底的对数等于1。

2）logₐa = 1：任何数以其本身为底的对数等于1。

3）logₐaˣ = x：对数函数的一个基本性质是，以a为底的对数函数中，a的x次幂等于x。

即logₐaˣ = x。

4）logₐxy = logₐx + logₐy：对数函数中，底为a的对数函数中，两个数相乘的对数等于这两个数的对数之和。

即logₐxy = logₐx + logₐy。

5）logₐxⁿ = nlogₐx：对数函数中，底为a的对数函数中，以x为真数n次幂的对数等于n乘以以底为a，真数为x的对数。

即logₐxⁿ = nlogₐx。

2. 常用对数和自然对数常用对数函数是以10为底的对数函数，通常用log(x)表示，即log(x) = log₁₀x。

常用对数函数的性质和定义与之前的对数函数一致。

自然对数函数是以自然常数e(约等于2.71828)为底的对数函数，通常用ln(x)表示，即ln(x) = logₑx。

自然对数函数的性质与定义也与之前的对数函数相同。

3. 对数函数的应用对数函数在实践中有广泛的应用，下面举几个例子说明：1）指数增长与对数函数：对数函数在描述指数增长和衰减方面非常有用。

当某个变量随着时间的增加以指数形式增长或减少时，可以使用对数函数来描述其增长或减少的速度和幅度。

2）复利计算：对数函数在金融和投资领域中的应用非常重要。

例如，复利计算中，对数函数可以帮助计算利息的增长速度和总额。

自然对数与常用对数对数的概念:logarithms 1、常用对数:以10为底的对数称为常用对数，记作2、自然对数:以e=2.7 L为底的对数称为自然对数，记作3、常用对数与自然对数的关系:式中M称为模数，4、常用对数首数求法:若真数大于1，则对数的首数为正数或零，其值比1、常用对数:以10为底的对数称为常用对数，记作2、自然对数:以e=2.7 L为底的对数称为自然对数，记作3、常用对数与自然对数的关系:式中M称为模数，4、常用对数首数求法:若真数大于1，则对数的首数为正数或零，其值比整数位数少1.若真数小于1，则对数的首数为负数，其绝对值等于真数首位有效数字前面0的个数(包括小数点前的那个0).对数的尾数由对数表查出.更多对数相关知识点，请看:对数的性质与运算法则如果b^n=x，则记n=log(b)(x)。

其中，b叫做"底数"，x叫做"真数"，n叫做"以b为底的x的对数"。

log(b)(x)函数中x的定义域是x 0，零和负数没有对数;b的定义域是b 0且b?1对数的历史:对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创"对数"这种高级运算的呢?在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家--纳皮尔(Napier，1550-1617年)男爵。

在纳皮尔所处的年代，哥白尼的"太阳中心说"刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。

可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的"天文数字"，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。

纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。

当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。

在纳皮尔那个时代，"指数"这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解4.3 对数【考点梳理】重难点技巧：对数的概念考点一对数的有关概念对数的概念：一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，log e N简记为ln N.考点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.对数恒等式：log a Na＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．考点三对数的性质1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．重难点技巧：对数的运算考点四一对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．考点五 换底公式1．log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)log a N ＝1log N a (N >0，且N ≠1；a >0，且a ≠1)；(2)log n ma b ＝mn log a b (a >0，且a ≠1，b >0)；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，且a ≠1，b ≠1，c ≠1)．【题型归纳】题型一：指数式与对数式的互化1．（2021·内蒙古赤峰·高一）若26x =，44log 3y =，则2x y +的值是（ ） A ．3B ．13C ．2log 3D ．3-2．（2021·江苏高一专题练习）已知42a =，lg x a =，则x =（ ） A ．12B ．10C ．10D ．13．（2021·上海高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ） A ．e 0=1与ln 1=0B ．log 39=2与129=3 C ．1-38=12与log 812=-13D ．log 77=1与71=7题型二：对数运算性质的应用4．（2021·全国高一专题练习）下列等式成立的是（ ）A ．()222log 84log 8log 4-=-B ．222log 88log log 44= C ．322log 23log 2=D ．()222log 84log 8log 4+=+5．（2020·沧源佤族自治县民族中学高一月考）已知方程2840x x -+=的两根为a ，b ，则88log log a b +=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．236．（2021·安徽芜湖一中高一月考） 计算（1）311log 322lg 4lg 0.12535---（2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg5+⋅-++题型三：、对数换底公式的应用7．（2021·全国高一课时练习）已知x ，y ，z 都是大于1的正数，0m >，log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，则log z m 的值为（ ）A ．160B ．60C ．2003D ．3208．（2020·江苏省平潮高级中学高一期中）已知2log 3a =，2log 7b =，则42log 56=（ ）（结果用a ，b 表示） A ．31b a b+++B ．3b a b ++C ．312ba b +++D ．31b a b -++9．（2021·全国高一课时练习）设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c【双基达标】一、单选题10．（2022·全国高三专题练习）设2a ＝5b ＝m ，且112ab+=，则m 等于（ ） A ．100B ．10±C ．2log 10D ．1011．（2022·全国高三）已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则((1))=f f （ ）A ．eB ．-1C ．0D ．112．（2020·上海市川沙中学高一期中）已知32log log (0)x =，那么x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．（2021·绥德中学高一月考）若()f x 是R 上周期为3的偶函数，且当302x <≤时，()4log f x x =，则132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．12C ．12-D ．1214．（2021·山西太原市·太原五中高三月考（文））中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3010≈） A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%15．（2021·全国高三专题练习）对任何(1,)x a ∈，都有( )成立. A ．()()22log log log log a a a a x x x <<B ．()()22log log log log a a a a x x x << C ．()()22log log log log a a a a x x x <<D ．()()22log log log log a a a a x x x <<16．（2021·河北张家口·）已知关于x 的方程2lg lg 0x a x b ++=的两个实数根分别是1x 、2x ，若12100x x ⋅=，则b 的取值范围为（ ） A ．[]2,100B ．[]0,2C ．[]1,100D ．(],1-∞17．（2021·江西高安中学高一月考）已知实数a ，b 满足310a b =，下列5个关系式：①0a b <<；②0b a <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =．其中不可能成立的关系有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个18．（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））若a ＞0且a ≠1，则“MN ＞0”是“log ()log log a a a MN M N =+"的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．（2021·全国高一课时练习）对于0a >且1a ≠，下列说法正确的是（ ） ①若M N =，则log log a a M N =；②若log log a a M N =，则M N =； ③若22log log a a M N =，则M N =；④若M N =，则22log log a a M N =. A ．①②B ．②③④ C ．②D ．②③【高分突破】一：单选题20．（2020·江苏泰州·）已知ln 2a =，ln3b =，则()3ln 36e 可以用a 和b 表示为（ ）A ．23a b +-B ．422a b ++C ．223a b ++D ．233a b ++21．（2021·全国高一单元测试）有以下四个结论：①()lg lg100=；②()ln ln e 0=；③若10lg x =，则100x =；④若e ln x =，则2e x =.其中正确的是（ ） A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④22．（2021·广东金山中学高二开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上单调递增，若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]0,223．（2022·全国高三专题练习）若函数()()2ln 1f x ax x =++是奇函数，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．±1D ．024．（2022·全国高三专题练习）方程4x －2x ＋1－3＝0的解是（ ）． A ．log 32B ．1C ．log 23D ．225．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三月考）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =，已知“牛郎星”的星等是0.75，“心宿二”的星等是1.00，“牛郎星”的亮度是“心宿二”的r 倍，则与r 最接近的是(当x较小时，2101 2.3 2.7)x x x ≈++（ ） A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.2726．（2021·全国高三月考（理））已知0a >，0b >，()ln 32ln 23a b b a +==，则下列说法正确的是（ ）A ．2b a =B ．332a b b +=C ．()2ln log 3ln 1ba =+D ．ln 3ba e =27．（2021·全国高一专题练习）已知4log 3a =，5log 3b =，4log 5c =，则（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<28．（2021·江西南昌·高一期末）已知1241,1()3log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，则1(2)f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（ ） A ．1B ．2C ．3D ．1529．（2021·全国高一单元测试）1311lg 2lg 5272-⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．56B ．72C ．92D ．7330．（2021·上海高一专题练习）若a >0，a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式： ①(log a x )n ＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n ； ③log a x ＝－log a 1x ；④n a log x ＝1nlog a x ； ⑤a log xn＝log a n x . 其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、多选题31．（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）若104,1025a b ==，则下列结论正确的是（ ）A ．2a b +=B ．lg6b a ->C ．1b a -=D ．28(lg 2)ab >32．（2020·莆田第七中学高一月考）若0a >，且1a ≠，R x ∈，R y ∈，且0xy >，则下列各式不恒成立的是（ ）①2log 2log a a x x =；②2log 2log a a x x =；③()log log log a a a xy x y =+；④()log log log a a a xy x y +＝. A ．①B ．②C ．③D ．④33．（2021·全国高一专题练习）设1n 和2n 分别表示一容器中甲、乙两种细菌的个数，且甲、乙两种细菌的个数乘积为定值1010.为了方便研究，科学家用12,P P 分别来记录甲、乙两种细菌的信息，其中 1122lg ,lg P n P n ==.以下说法正确的是（ ） A ．1210P P += B ．11P ≥C ．若今天的1P 值比昨天的1P 增加1，则今天的甲细菌比昨天的甲细菌增加了10个.D ．已知lg50.7≈，假设科学家将乙菌的个数控制为5万，则此时15 5.5P << 34．（2021·全国高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是( )A ．0101=与lg 1＝0B ．1327-＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与129＝3D ．log 55＝1与51＝535．（2021·全国高一专题练习）若0x >，0y >，0n ≠，m ∈R ，则下列各式中，恒等的是（ ）A ．lg lg lg()x y x y +=+B ．lg lg lg x x y y=-C ．log log n mx x m y y n =D ．1lg lg n xx n=36．（2021·全国）若0a >，1a ≠，则下列说法不正确的是（ ） A ．若log log a a M N =，则M N =B ．若M N =，则log log a a M N = C ．若22log log a a M N =，则M N =D ．若M N =，则22log log a a M N =三、填空题37．（2021·浙江高一单元测试）已知2log 3a =，则4a =________．38．（2021·全国高一单元测试）已知一容器中有,A B 两种菌，且在任何时刻,A B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用lg A A p n =来记录A 菌个数的资料，其中A n 为A 菌的个数，现有以下几种说法：①1A p ≥；②若今天的A p 值比昨天的A p 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10； ③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5 5.5A p << (注：lg 20.3≈)． 则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)39．（2021·江苏省如东高级中学高一月考）已知4log 3x =，则332222x x x x --++的值为___________．40．（2021·长沙市明德中学高一开学考试）计算：2log 321lg2lg 52log ln1162++++=______ 41．（2021·安徽省亳州市第一中学）定义在实数集上的奇函数()f x 恒满足()()11f x f x +=-，且()1,0x ∈-时，()125x f x =+，则()2log 20f =_________________．四、解答题42．（2021·上海高一专题练习）（1）已知log 23=a ，log 25=b ，试用含a 、b 的代数式表示log 20.6；（2）已知log 32=a ，3b =5，试用含a 、b 的代数式表示log 330；（3）若24a =12.将下列各式用含a 的代数式表示： ①log 242; ②log 243.（4）已知log 32=a ，把log 296写成含a 的代数式； （5）已知lg2=a ，把log 225写成含a 的代数式.43．（2021·全国高一）44．计算（1）7111log 2422328111()log 3log 4[()]71643-+⋅+-+；（2）2215log 5log 4(lg5)lg 2(lg51)⨯++⨯+44．（2021·全国）已知222log ()log log x y x y +=+. 求（1）2x y +的最小值； （2）4911xyx y +--的最小值；（3）正数z 满足111x y z +=+，求z 的取值范围.45．（2021·全国高一课时练习）已知log a 3＝m ，log a 2＝n ． （1）求a m ＋2n 的值；（2）若0＜x ＜1，x ＋x －1＝a ，且m ＋n ＝log 32＋1，求x 2－x －2的值．46．（2021·全国高一练习）计算下列各式的值：（1）1324lglg 8lg 2452493-+； （2）22271log log 12log 421482+--.47．（2021·全国高一练习）计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.（2）57log 443log 27+lg 25-5+lg 4；（3）5log 3333322log 2-log +log 8-25.948．（2021·全国）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为a （参考数据：lg 20.3≈）.（1）写出该元素的存量y 与时间x （年）的关系；（2）经检测古生物中该元素现在的存量为25a ，请推算古生物距今大约多少年？【答案详解】1．A【详解】 因为44log 3y =，则24423y y ==，所以，22342226823x y x y +=⋅=⨯==，故23x y +=. 故选：A.2．B【详解】解：因为42a =，lg x a =， 所以12a =， 因为1lg 2x a == 则10x =．故选：B ．3．B【详解】对于A ，e 0=1可化为0=log e 1=ln 1，所以A 中互化正确； 对于B ，log 39=2可化为32=9，所以B 中互化不正确； 对于C ，1-38=12可化为log 812=-13，所以C 中互化正确；对于D ，log 77=1可化为71=7，所以D 中互化正确. 故选：B.4．C对于A ：2228log 8log 4log 14-==，故A 不正确；对于B ：32222222log 8log 83log log 214log 4log 222==≠==，故B 不正确； 对于C ：∵log log n a a M n M =,∴322log 23log 2=，故C 正确， 对于D ：()()5222222log 84log 12log 8log 4log 84log 52+=≠+=⨯==，故D 不正确，故选： C.5．D【详解】∵方程2840x x -+=的两根为a ，b ，∴4ab =， ∴28888log 42log log log log 433a b ab +====. 故选：D ．6．（1）122-；（2）3. 【详解】（1）331311113log log 3222251lg 4lg 0.1253lg 43522⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 32log 211212132222-=--=-=. （2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg5+⋅-++原式33log 312lg1031213=+-+=+-+=.7．B解：因为log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =， 所以1log 24m x =，1log 40m y =，1log 12m xyz =， 即1log log log 12m m m x y z ++=， ∴11111log log log 1212244060m m m x y z =--=--=， ∴log 60z m =．故选：B ．8．A 解：222242222222log 56log 7log 8log 73log 56log 42log 7log 6log 7log 2log 3++===+++ 将已知代入得：423log 561b a b +=++．故选：A ．9．B【详解】由log a b ·log c b ＝lg lg b a ·lg lg b c≠log c a ，故A 错； 由log a b ·log c a ＝lg lg b a ·lg lg a c ＝lg lg b c ＝log c b ，故B 正确； 对选项C ，D ，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B.10．D【详解】由等式2,5a b m m ==（0m >）两边取对数，可得2511log ,log ,log 2,log 5,m m a m b m a b ====， 所以11log 2log 5log 102,m m m a b +=+== ∴10m =.故选：D.11．D【详解】()1ln10f ==，()()()0101f f f e ===.故选：D12．B【详解】因为()32log log 0x =，所以2log 1x =，则x =2.故选：B.13．C【详解】因为()f x 是R 上周期为3的偶函数，且当302x <≤时，()4log f x x =， 所以131********f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，124411log log 422-===-，故选：C14．B【详解】 当1000S N=时，2log 1000C W =，当5000S N =时，2log 0005C W =， 因为22log 5000lg50003lg54lg 2 3.699 1.23log 1000lg1000333+-===≈≈ 所以将信噪比S N从1000提升至5000，则C 大约增加了23%， 故选：B.15．B【详解】∵(1,)x a ∈，∴1a >，log (0,1)a x ∈， ∴22(log )0log (l log 2log og )a a a a a x x x x =>>>.故选:B.16．D由题意，知1212lg lg lg x x x x a +==-，因为12100x x ⋅=，所以lg1002a =-=-. 又220t t b -+=有两个实根1lg x 、2lg x ，所以440b ∆=-≥，解得1b ≤. 故选：D.17．A【详解】由310a b =，两边取常用对数得：lg3a b =，因为0lg31<<，当0,0a b >>时，0b a <<，当0a b ==时，成立；当0,0a b <<时，0a b <<，故选：A18．B【详解】因为0MN >，故当0,0M N <<时，log ,log a a M N 没有意义，故充分性不满足； 当log ()log log a a a MN M N =+成立时，显然0,0M N >>，此时一定有0MN >，必要性满足。