幂的大小比较技巧

高考数学复习----《指、对、幂形数的大小比较问题》方法技巧与总结和真题练习方法技巧与总结（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同，如1a x 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图像交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 真题练习1．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >> 【答案】C 【解析】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>. 故答案为：C. 2．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==−=−，则（ ） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =−>−=. 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =−<−=.综上，0a b >>.［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =−−> ，则1()1m f x mx −'=−，令()0f x '=，解得110m x m −= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =−= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =−−>，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．3．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===−，，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b <<【答案】C 【解析】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+−>−，因为1()111x f x x x'=−=−++， 当(1,0)x ∈−时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+−在(0,)+∞单调递减，在(1,0)−上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099−<，故110ln ln 0.999>=−，即b c >， 所以1()(0)010f f −<=，所以91ln +01010<，故1109e 10−<，所以11011e 109<， 故a b <，设()e ln(1)(01)x g x x x x =+−<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x −+'=+=−−, 令2()e (1)+1x h x x =−，2()e (21)x h x x x '=+−，当01x <时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =−单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =−单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+−单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>−，所以a c >故选：C.方法二：比较法0.10.1a e = ， 0.110.1b =− ， ln(10.1)c =−− ， ①ln ln 0.1ln(10.1)a b −=+− ， 令 ()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+−∈则 1()1011x f x x x −'=−=<−− ， 故 ()f x 在(0,0.1] 上单调递减， 可得 (0.1)(0)0f f <=，即 ln ln 0a b −< ，所以 a b < ； ② 0.10.1ln(10.1)a c e −=+− ，令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+−∈则 ()()()1111'11x x xx x e g x xe e x x +−−=+−=−− ， 令 ()(1)(1)1x k x x x e =+−− ，所以 2()(12)0x k x x x e '=−−> ，所以 ()k x 在(0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >> ，即 ()0g x '> ， 所以 ()g x 在(0,0.1] 上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c −> ，所以 .a c >故 .c a b <<4．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b <<【答案】D【解析】22log 0.3log 10<=，<0a ∴， 122225log 0.4log 0.4log log 212=−=>=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【解析】[方法一]：构造函数 因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1c b >，所以c b >； 设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+−∈+∞， ()sin 0f x x x '=−+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432−>， 所以b a >，所以c b a >>，故选A[方法二]：不等式放缩 因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭， 取18x =得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=−>−= ⎪⎝⎭，故b a > 1114sin cos 444ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ==当114sin cos 44+=142πϕ+=，及124πϕ=−此时1sin cos 4ϕ=1cos sin 4ϕ==故1cos 4=11sin 4sin 44<=<，故b c < 所以b a >，所以c b a >>，故选A[方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==−，2410.250.25cos 1424!b =≈−+， 241sin 10.250.2544sin 1143!5!4c ==≈−+，计算得c b a >>，故选A. [方法四]：构造函数 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+−∈+∞，()sin 0f x x x '=−+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432−>，所以b a >,所以c b a >>， 故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=−>−= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>． 故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．。

十大方法玩转指对幂比较大小指数对幂比较大小是高中数学中一个非常重要的概念，在学习指数对幂比较大小时，学生可以使用以下十种方法来更好地理解和掌握这个概念。

1.化简幂的指数：使用指数的基本性质，将幂的指数化简为最简形式。

例如，将2^3与2^(2+1)比较时，将2^(2+1)化简为2^2*2^1，然后进行比较。

2.应用指数的运算法则：利用指数的运算法则，如乘法法则和乘方法则，对幂进行化简。

例如，将2^3与(2^2)^2比较时，可以利用乘法法则将(2^2)^2化简为2^4，然后进行比较。

3.求幂的值：计算出幂的具体数值，然后进行比较。

例如，将2^3与8比较时，可以计算出2^3=8，然后进行比较。

4.比较幂的指数：比较幂的指数大小，而不必计算具体数值。

例如，比较2^3与2^4时可以直接说2^4的指数更大。

5.利用幂的递增性质：利用幂的递增性质，即相同底数的幂，指数越大幂越大。

例如，比较2^3与2^4时可以直接说2^4更大。

6.利用幂的递减性质：利用幂的递减性质，即相同底数的幂，指数越小幂越小。

例如，比较2^3与2^2时可以直接说2^3更大。

7. 利用对数函数的性质：利用对数函数的性质，将幂转化为对数进行比较。

例如，比较2^3与2^4时可以利用对数函数将其转化为比较log₂(2^3)与log₂(2^4)，然后进行比较。

8.通过图像比较大小：通过绘制幂函数的图像，比较不同指数下的幂函数在数轴上的位置，进而比较幂的大小。

例如，比较2^3与2^4可以通过绘制y=2^3和y=2^4的图像，并观察图像在数轴上的位置来比较大小。

9.利用数学推理和证明：根据指数的性质和规律，运用数学推理和证明方法来比较幂的大小。

例如，通过数学归纳法证明对于任意正整数n，2^n>n。

通过以上十种方法的学习和应用，学生可以更好地理解和掌握指数对幂比较大小的方法和技巧，从而在解决相关的问题时能够灵活运用这些方法，提高数学解题的效率和准确性。

对数指数幂函数比大小技巧1. 定义对数指数幂函数是由幂函数、指数函数和对数函数组合而成的一类特殊函数。

它们在数学中具有重要的应用，尤其在比较大小时，可以通过一些技巧简化计算。

常见的对数指数幂函数包括：•幂函数y=ax b，其中a和b是常数，x是变量。

•指数函数y=a x，其中a是常数，x是变量。

•对数函数y=log a(x)，其中a是底数，x是变量。

2. 用途对数指数幂函数比大小技巧主要用于比较各种复杂的函数关系。

通过转换为对数或指数形式，可以简化计算过程，并更容易理解和分析问题。

这些技巧在实际应用中具有广泛的应用场景，例如：•经济学中的边际效益分析：通过比较两个变量之间的增长率来确定最优决策。

•物理学中的衰减和增长模型：通过比较指数衰减或增长速度来预测系统行为。

•生物学中的生长模型：通过比较不同生物体的增长率来研究种群动态。

3. 工作方式对数指数幂函数比大小技巧的工作方式主要包括以下几个步骤：步骤1：转换为对数或指数形式首先，将需要比较的函数转换为对数或指数形式。

这可以通过以下公式实现：•对数形式：y=log a(f(x))•指数形式：y=a f(x)其中，f(x)是原始函数。

步骤2：确定底数和指数根据具体情况，确定底数和指数的取值。

通常情况下，选择底数和指数使得计算更加简单，并且能够满足问题的要求。

步骤3：比较大小通过比较转换后的对数或指数形式，确定原始函数之间的大小关系。

•对于两个对数形式y1=log a(f(x1))和y2=log a(f(x2))，若x1<x2，则y1<y2。

•对于两个指数形式y1=a f(x1)和y2=a f(x2)，若x1<x2，则y1<y2。

步骤4：反向转换根据比较结果，可以将对数或指数形式重新转换为原始函数形式，得到最终的大小关系。

4. 示例以下是一些常见的对数指数幂函数比大小技巧的示例：示例1：比较幂函数和指数函数考虑两个函数y1=2x和y2=3x2，我们想要比较它们之间的大小关系。

与幂有关的比较大小问题江苏 孙翠梅在幂的运算中，经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题．对于一些幂的指数较小的问题，可以直接计算出幂进行比较；但当幂的指数较大时，若通过先计算出幂再比较大小，就会很繁琐甚至不可能，这时该如何比较呢？下面举例介绍几种常用的比较幂的大小的方法．一、比较幂的大小方法一：指数比较法利用乘方，将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．例1 已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A a ＞b ＞cB a ＞c ＞bC a ＜b ＜cD b ＞c ＞a 解：因为3181a =＝431(3)＝1243，4127b =＝341(3)＝1233，619c =＝261(3)＝1223， 因为124＞123＞122，所以1243＞1233＞1223，即a ＞b ＞c ，故选A ．方法二：底数比较法利用乘方，将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．例2 503、404、305的大小关系是（ ） A 503＜404＜305 B 305＜503＜404 C 305＜404＜503 D 404＜305＜503解：因为503＝510(3)＝10243，404＝410(4)＝10256，305＝310(5)＝10125，而125＜243＜256，所以10125＜10243＜10256，即305＜503＜404，故选B ．方法三：作商比较法当a ＞0，b ＞0时，利用“若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ”比较．例3 已知P ＝999999，Q ＝990119，那么P 、Q 的大小关系是（ ） A P ＞Q B P ＝Q C P ＜Q D 无法比较 解：因为P Q ＝999999×909911＝999(911)9⨯×909911＝99999119⨯×909911＝1， 所以P ＝Q ，故选B ．二、比较指数大小例4 已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝12，那么a 、b 、c 间的大小关系是（ ）A a ＋b ＞cB 2b ＜a ＋cC 2b ＝a ＋cD 2a ＜b ＋c 解：因为2a ＝3，2b ＝6＝2×3，2c ＝12＝22×3，而2(23)⨯＝23(23)⨯⨯，所以2(2)b ＝22a c ⋅，即22b ＝2a c +．所以2b ＝a ＋c ，故选C ．三、比较底数大小例5 已知a 、b 、c 、d 均为正数，且2a ＝2，3b ＝3，4c ＝4，5d ＝5，那么a 、b 、c 、d 中最大的数是（ ）A aB bC cD d分析：直接比较四个数的大小较繁琐，可两个两个的比较确定最大的数．解：因为236()a a =＝32＝8，326()b b =＝23＝9， 所以6a ＜6b ，于是a ＜b ．因为3412()b b =＝43＝81，4312()c c =＝34＝64， 所以12b ＞12c ，于是b ＞c ．因为3515()b b =＝53＝243，5315()d d =＝35＝125， 所以15b ＞15d ，于是b ＞d ．综合知，b 是最大的数，故选B ．。

玩转指对幂比较大小目录01方法技巧与总结02题型归纳总结题型一：直接利用单调性题型二：引入媒介值题型三：含变量问题题型四：构造函数题型五：数形结合题型六：特殊值法、估算法题型七：放缩法题型八：不定方程题型九：泰勒展开题型十：同构法题型十一：帕德逼近估算法03过关测试(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．(2)指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如a x1和a x2，利用指数函数y=a x的单调性；②指数相同，底数不同，如x a1和x a2利用幂函数y=x a单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如log a x1和log a x2利用指数函数log a x单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．(3)转化为两函数图象交点的横坐标(4)特殊值法(5)估算法(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法(7)常见函数的麦克劳林展开式：①e x=1+x+x22!+⋯+x nn!+eθx(n+1)!x n+1②sin x=x-x33!+x55!-⋯+(-1)n x2n+1(2n+1)!+o(x2n+2)③cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯+(-1)n x2n(2n)!+o(x2n)④ln(1+x)=x-x22+x33-⋯+(-1)n x n+1n+1+o(x n+1)⑤11-x=1+x+x2+⋯+x n+o(x n)⑥(1+x)n=1+nx+n(n-1)2!x2+o(x2)题型一：直接利用单调性1记a=30.2,b=0.3-0.2,c=log0.20.3，则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c 【答案】D【解析】因为b=0.3-0.2=1030.2，幂函数y=x0.2在0,+∞上单调递增，又103>3，所以1030.2>30.2>30=1，所以b>a>1，又对数函数y=log0.2x在0,+∞上单调递减，所以c=log0.20.3<log0.20.2=1，故b>a>1>c.故选：D.2(2024·全国·模拟预测)已知a=30.6，b=log25，c=log323，则实数a，b，c的大小关系是() A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b【答案】A【解析】由y=3x在R上单调递增，可得30.6>30.5=3>32，又30.65=27<25=32，则32<a=30.6<2．由y=log2x在0,+∞上单调递增，可得b=log25>log24=2．由y=log3x在0,+∞上单调递增，可得c=log323<log333=3 2．所以b>a>c，故选：A．3设a =4712，b =3534，c =ln1.6，则()A.c <a <bB.b <a <cC.c <a <bD.c <b <a【答案】D 【解析】因为47124=472=1649=20006125，35 34 4=35 3=27125=13236125，所以47 12 4>35 34 4，则47 12>3534，即a >b ，因为e 0.6 5=e 35 5=e 3>2.53=15.625，1.65=85 5=327683125<11，所以e 0.6 5>1.65，所以e 0.6>1.6，则ln e 0.6>ln1.6，即ln1.6<0.6，又b =35 34>35 1=35，所以b >c ，所以a >b >c .故选：D4(2024·宁夏银川·三模)已知a =0.20.5，b =cos2，c =lg15，则()A.a <b <cB.c <a <bC.b <c <aD.b <a <c【答案】D【解析】由题知a =0.20.5，b =cos2，c =lg15，因为f x =lg x 在定义域内单调递增，所以f 15 >f 10 ，即c =lg15>lg10=1，因为g x =0.2x 在定义域内单调递减，所以g 12<g 0 ，即0<a =0.20.5<0.20=1，因为h x =cos x 在0,π 上单调递减，所以h 2 <h π2 ，即b =cos2<cos π2=0，综上：b <0<a <1<c .故选：D题型二：引入媒介值1(2024·甘肃兰州·二模)故a =57-57，b =7535，c =log 3145，则a ，b ，c 的大小顺序是()A.b <a <cB.c <a <bC.b <c <aD.c <b <a【答案】D【解析】a =57 -57=7557>b =7535>1=log 3155>c =log 3145，所以c <b <a ，故选：D2(2024·高三·广西·开学考试)已知a =sin π6，b =20.1，c =log 23，则()A.b >c >a B.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c【答案】A 【解析】a =sinπ6=12，因为20<20.1<21，所以1<b <2，因为log22<log 23<log 22，所以12<c <1，所以b>c>a，故选：A.3(2024·全国·模拟预测)已知a=log0.30.6，b=0.50.6，c=2cos222.5°-1，那么a，b，c的大小关系为()A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c【答案】B【解析】因为0.62>0.3，所以0.6>0.312，则a=log0.30.6<log0.30.312=12，即0<a<12，0.5<b=0.50.6<0.50.5=22，即12<b=22，c=2cos222.5°-1=cos45°=22，故a<b<c 故选：B4(2024·江西上饶·模拟预测)设13a=2,b=log1213,c=12-13，则有()A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c 【答案】B【解析】由13a=2，得a=log132<log131=0，b=log1213=log23>log222=32，c=213<212<32，而c>0，所以a<c<b.故选：B题型三：含变量问题1(2024·陕西西安·统考一模)设a>b>0,a+b=1且x=-1ab,y=log1ba,z=log1a+1bab，则x,y,z的大小关系是()A.x<z<yB.z<y<xC.y<z<xD.x<y<z 【答案】A【解析】由a>b>0,a+b=1，可得0<b<12<a<1，则z=log1a +1bab=log a+babab=log1abab=-1因为0<b<1，所以log b a<log b b=1，则y=log1ba=-log b a>-log b b=-1，因为x=-1ab<-1，所以x<z<y．故选：A．2(多选题)若0<a<b<1，则()A.a b<b aB.ab+1<a+bC.a1-b<b1-aD.log a(1+b)>log b(1+a)【答案】AC【解析】A选项中，因为0<a<1，故y=a x在R上单调递减，故a b<a a，因为y=x a在0,+∞上单调递增，故a a<b a，综上，a b<a a<b a，A正确；B选项中，由于a+b-ab-1=(a-1)(1-b)<0，而已知0<a<b<1，所以B不正确；C 选项中，a 1-b <b 1-a ⇔(1-b )ln a <(1-a )ln b ⇔ln a 1-a <ln b1-b，设f (x )=ln x 1-x (0<x <1)，则f(x )=1x -1+ln x (1-x )2(0<x <1)，设g (x )=ln x +1x -1(0<x <1)，则g (x )=x -1x2<0⇒g (x )>g (1)=0⇒f (x )>0，所以f (x )在0,1 上递增，这样f (a )<f (b )，故C 正确；D 选项中，取a =19，b =13，则log a (1+b )=log 1943=log 13233，log b (1+a )=log 13109，又233=639>109>1，故log a (1+b )=log 1943<log b (1+a )=log 13109，所以D 错误.故选：AC .3(多选题)(2024·海南海口·模拟预测)已知x ，y ，z 都为正数，且2x =3y=6z ，则()A.xy >4z 2B.1x +1y <1zC.x +y >4zD.x +y <5z【答案】ACD【解析】令2x =3y=6z =k >1，则x =log 2k ，y =log 3k ，z =log 6k ，所以1x +1y =log k 2+log k 3=log k 6=1z ，B 错误；z =xy x +y <xy 2xy =xy 2(注意x ≠y >0等号不成立)，故4z 2<xy ，A 正确；z =xy x +y <(x +y )24(x +y )=x +y 4(注意x ≠y >0等号不成立)，则4z <x +y ，C 正确，由x +y -5z =log 2k +log 3k -5log 6k ，令f (x )=log 2x +log 3x -5log 6x 且x ∈(1,+∞)，则f(x )=1x 1ln2+1ln3-5ln6 =1x ⋅(ln6)2-5ln2ln3ln2ln3ln6，由(ln6)2-5ln2ln3=(ln2+ln3)2-5ln2ln3=ln 32 2-ln2ln3<(ln e )2-ln2ln3=14-ln2ln3，因为ln3>ln e =1，故14-ln2ln3<14-ln2=ln 4e2<0，综上，f (x )<0，即f (x )在x ∈(1,+∞)上单调递减，所以f (x )<f (1)=0，故log 2x +log 3x <5log 6x 恒成立，即x +y <5z ，D 正确.故选：ACD4(多选题)(2024·山西·模拟预测)已知当x >0时，11+x <ln 1+1x <1x，则()A.109<e 19<98 B.ln9<1+12+⋯+19<ln10C.10e9<9!D.C 09902+C 19912+⋯+C 99992<e【答案】ACD 【解析】因为11+x <ln 1+1x <1x ，令x =8，11+8=19<ln 1+18 =ln 98，则e 19<98，令x =9，ln 1+19 =ln 109<19，则109<e 19，A 正确；因为ln 1+1x =ln x +1x <1x ，则ln 21<1，ln 32<12，⋯，ln 109<19，以上各式相加有ln10<1+12+⋯+19，B 错误；由ln 1+1x =ln x +1x <1x得，x ln (x +1)-x ln x -1<0，即x ln (x +1)-(x -1)ln x -1<ln x ，于是ln2-1<ln1，2ln3-ln2-1<ln2，3ln4-2ln3-1<ln3，⋯，9ln10-8ln9-1<ln9，以上各式相加有9ln10-9<ln9!，即e ln109-9=109e9=10e 9<9!，C 正确；由ln 1+1x <1x 得，1+1x x <e ，因此C 0990+C 1991+⋯+C 9999=1+19 9<e ，设k ,n ∈N *,k ≤n ，C kn n k =n (n -1)(n -2)⋯(n -k +1)n k ⋅k !≤1，则C k n n k 2≤C knnk ，所以C 0990 2+C 19912+⋯+C 99992<C 0990+C 1991+⋯+C 9999<e ，D 正确．故选：ACD5(多选题)(2024·湖北·模拟预测)已知正实数a ，b ，c 满足c b <b a <1<log c a ，则一定有()A.a <1B.a <bC.b <cD.c <a【答案】AB【解析】由正实数a ，b ，c ，以及c b <1，b a <1可得c ,b ∈0,1 ，又log c a >1=log c c ，所以a <c <1．所以a b <c b ，又c b <b a ，所以a b <b a ，即b ln a <a ln b ，等价于ln a a <ln bb，构造函数f x =ln xx，x >0f x =1-ln xx 2，当x ∈0,1 时，f x =1-ln xx 2>0故f x =ln xx在0,1 上递增，从而a <b ．又取b =c 时，原式为b b <b a <1<log b a 同样成立，故CD 不正确，故选：AB题型四：构造函数1设a =log 32，b =log 43，c =23，d =log 53，则()A.a <b <c <dB.a <c <d <bC.a <d <c <bD.c <a <b <d【答案】B【解析】构造函数f x =ln xx，f x 的定义域为0,+∞ ，f x =1-ln xx2，令f x >0可得：x ∈0,e ，令f x <0可得：x ∈e ,+∞ ，所以f x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减．故f3 >f4 =f2 ，即ln33>ln44=ln22，变形可得ln2ln3<23，即log32<23，所以a<c；又3ln3=ln27>ln25=2ln5，所以23<log53，又因为log53<log43，所以c<d<b，综上，a<c<d<b，故选：B．2(2024·湖北武汉·二模)设a=15,b=2ln sin110+cos110,c=65ln65，则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b 【答案】B【解析】由已知可得b=2ln sin 110+cos110=ln sin110+cos1102=ln1+sin15，设f(x)=x-sin x，x∈(0,1)，则f (x)=1-cos x>0，所以f(x)=x-sin x在(0,1)上单调递增，所以f15>f(0)=0，即15>sin15，所以b=ln1+sin15<ln1+15，设g(x)=x-ln(x+1)，x∈(0,1)，则g (x)=1-1x+1=xx+1>0，所以g(x)=x-ln(x+1)在(0,1)上单调递增，所以g15>g(0)=0，即15>ln1+15>ln1+sin15，综上a>b，设h(x)=x-65ln(x+1)，x∈(0,1)，则h (x)=1-65x+5=5x-1x+1，当x∈0,1 5时，h (x)<0，当x∈15,1时，h (x)>0，所以h(x)=x-65ln(x+1)在0,15上单调递减，在15,1上单调递增，所以h15<h(0)=0，即15<65ln1+15=65ln65，所以a<c，所以b<a<c 故选：B.3设a=4105,b=ln1.04,c=e0.04-1，则下列关系正确的是()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a 【答案】D【解析】设f x =e x-x+1,g x =ln x-x-1，则f x =e x-1,g x =1-x x，易知x>0⇒f x >0,1>x>0⇒g x >0，且x<0⇒f x 0,x1⇒g x <0，所以f x 在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增；g x 在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，即f x ≥f0 =0⇒e x-1≥x，在x=0时取得等号，且g x ≤g1 =0⇒ln x≤x-1，在x=1时取得等号，则ln 1x≤1x-1x>0⇒ln x≥1-1x，在x=1时取得等号，所以e 0.04-1>0.04=1.04-1>ln1.04>1-11.04=4104>4105，即c >b >a .故选：D4(2024·全国·模拟预测)已知a =5050，b =4951，c =5149，则()A.b <c <aB.c <a <bC.b <a <cD.a <b <c【答案】B【解析】因为a =5050，b =4951，所以ln a =50ln50，ln b =51ln49，令f (x )=ln x x +1x >e 2 ，则f(x )=1+1x -ln x x +12，令g x =1+1x -ln x x >e 2 ，则g x =-x +1x2<0恒成立，所以g x 在e 2,+∞ 上单调递减，则g x <g e 2 =1+1e2-2<0，所以f (x )<0在e 2,+∞ 上恒成立，则f (x )上单调递减，又e 2<49<50，所以f 50 <f 49 ，即ln5051<ln4950，即50ln50<51ln49，所以ln a <ln b ，则a <b ；因为c =5149，所以ln c =49ln51，而ln a =50ln50，令h (x )=ln x x -1x >e 2 ，则h(x )=1-1x -ln x x -12，令φx =1-1x -ln x x >e 2 ，则φ x =1-xx 2<0恒成立，所以φx 在e 2,+∞ 上单调递减，则φx <φe 2 =1-1e2-2<0，所以h (x )<0在e 2,+∞ 上恒成立，则h (x )上单调递减，又e 2<50<51，所以h 51 <h 50 ，即ln5150<ln5049，即49ln51<50ln50，所以ln c <ln a ，则c <a ；综上，c <a <b .故选：B ．5已知a =log 2986-log 2985,b =1-cos 1986,c =1985，则()A.b >a >cB.b >c >aC.a >c >bD.c >b >a【答案】C【解析】设g x =log 2x +1 -x ,x ∈0,1 ，则g x =1x +1 ln2-1，当x ∈0,1ln2-1 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈1ln2-1,1 时，g x <0，g x 单调递增；又g 0 =g 1 =0，所以g x =log 2x +1 -x >0,x ∈0,1 ，所以a =log 2986-log 2985=log 21+1985 >1985=c ；0<b =1-cos 1986<1，0<1986<c =1985<1，设f x =1-cos x -x ，0<x <1，f x =sin x -1<0，所以函数f x 在区间0,1 上单调递减，所以f x =1-cos x -x <f 0 =0，所以1-cos x <x ，又0<1986<1，所以1-cos 1986<1986<1985，则b <c ，综上，a >c >b .故选：C .题型五：数形结合1(2024·高三·海南·期末)若a =ln1.1,b =1e 0.9,c =0.1，则()A.a <b <cB.c <b <aC.a <c <bD.c <a <b【答案】C【解析】设f x =ln x -x -1 ，f x =1x-1，当x ∈1,2 时，f x <0，f x 单减，故f 1.1 =ln1.1- 1.1-1 <f 1 =0，即ln1.1<0.1；设g x =e x -x +1 ，g x =e x -1，当x ∈-1,0 时，g x <0，所以g -0.9 >g 0 ，即e -0.9--0.9+1 >e 0-0+1 =0，即e -0.9>0.1；c =0.112>0.11=0.1，故a 最小，b =1e0.9,c =110=110，e 0.910<39=19683，10 10=105=100000，因为19683<100000，所以e 0.9 10<39<10 10，所以e 0.9<10，1e0.9>110，所以b >c >a 故选：C2(2024·陕西商洛·模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】设f x =sin x -x -x 2 ,x ∈0,0.2 ,f x =cos x -1+2x ，设g x =f x ,g x =-sin x +2>0，所以g x ≥g 0 =0，所以函数f x 在0,0.2 上单调递增，所以f 0.2 =sin0.2-0.2-0.22 =sin0.2-0.16>f 0 =0，即a >b .根据已知得c =12ln 32=12ln 1.20.8=12ln 1+0.21-0.2，可设h x =12ln 1+x -ln 1-x -sin x ,x ∈ 0,0.2 ，则h x =1211+x +11-x -cos x =11-x 2-cos x >0，所以函数h x 在0,0.2 上单调递增，所以h 0.2 >h 0 =0，即c >a .综上，c >a >b .故选：D .3已知a =0.80.5+0.80.7+0.80.9，b =0.60.8+0.70.8+0.80.8，c =e -815+e-1235+e -15，则()A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.b >c >a【答案】A【解析】设f x =0.8x ，画出f x 的图象，故f x 为下凸函数，当x 1≠x 2时f x 1 +f x 2 2>f x 1+x22，所以0.80.5+0.80.9>2×0.80.7，a =0.80.5+0.80.7+0.80.9>3×0.80.7.设g x =x 0.8x >0 ，画出g x 图象，故g x 为上凸函数，当x 1≠x 2时g x 1 +g x 2 2<g x 1+x22，所以b =0.60.8+0.70.8+0.80.8<3×0.70.8，同一坐标系内画出f x =0.8x 和r x =0.7x 的图象，又y =0.7x 在R 上单调递减，故0.80.7>0.70.7>0.70.8，所以a >b .设h x =ln x -1+1x 0<x <1 ，则h x =1x -1x 2<0，h x 在0,1 上单调递减，所以0<x <1时h x >h 1 =0，所以ln x >1-1x ，0.8ln0.6>451-53 =-815，所以0.60.8>e-815，同理可得0.70.8>e-1235，0.80.8>e -15，相加得0.60.8+0.70.8+0.80.8>e -815+e-1235+e -15，b >c ，所以a >b >c .故选：A4(2024·四川广安·二模)已知a，b，c均为正数，a=1+4a-2a，b2=4+b2-3b，4-c2c=log4c+3，则a，b，c的大小关系为()A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c 【答案】B【解析】a=1+4a-2a可变形为：a-4a=1-2a，b2=4+b2-3b可变形为：b-4b=2-3b，4-c2c=log4c+3可变形为：c-4c=-log4c+3，令f x =x-4x，g x =1-2x，h x =2-3x，q x =-log4x+3，且x>0，可知a,b,c分别为函数f x 与g x ，h x ，q x 的交点横坐标，当x>0时，f x 单调递增且f1 =-3，f2 =0，g x ，h x ，q x 这三个函数全部单调递减，且g1 =h1 =q1 =-1>-3，g2 =-3<0，h2 =-7< 0，q2 =-log45<-1<0，由零点存在性定理可知：a,b,c∈1,2，所以只需判断g x ，h x ，q x 这三个函数的单调性，在x∈1,2范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，由图象可知，q x =-log4x+3下降速度最慢，所以c最大，g x =-2x ln2，h x =-3x ln3，x>0时，g x >h x ，所以交点a>b，故选：B5(2024·黑龙江哈尔滨·三模)已知2a=log12a，12b=log12b，则下面正确的是()A.a>bB.a<14C.b>22D.a-b<12【答案】D【解析】令f x =2x-log12x=2x+log2x，由2a=log12a，故f a =0，由y=2x与y=log2x在0,+∞上单调递增，故f x 在0,+∞上单调递增，又f14=214+log214=214-2<0，f12 =212+log212=2-1>0，故a∈14,12，故B错误；令g x =12x-log12x=12x+log2x，由函数y=12x的图象及y=-log2x的图象可得g x 在0,+∞上只有一个零点，由12b=log12b ，故g b =0，又g 22 =12 22+log 222=12 22-12>12 1-12=0，g 12 =12 12+log 212=12 12-1<12 0-1=0，故b ∈12,22，故C 错误；有a <b ，故A 错误；a -b <22-14=22-14<3-14=12，故D 正确.故选：D .6雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli ，1654-1705年)是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：∀x >-1，n ∈N *，则(1+x )n ≥1+nx ．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知a =log 22024-log 22023，b =1-cos 12024，c =12023，则()A.b >a >cB.a >c >bC.b >c >aD.c >b >a【答案】B【解析】a =log 22024-log 22023=log 220242023，c =12023=20242023-1，令f x =log 2x ,g x =x -1，两函数图象如图所示，因为f x 、g x 均单调递增，且f 1 =g 1 ,f 2 =g 2 ，结合图象可知当x ∈1,2 时，f x >g x ，即log 2x >x -1，故log 220242023>20242023-1，故a >c ；如图，单位圆A 中，BD ⊥AC 于D ，设∠BAC =θ，0<θ<π2，则BC的长度l =θ，AD =cos θ，CD =1-cos θ，则由图易得，l >BC >CD ，即θ>1-cos θ，所以12023>12024>1-cos 12024，故c >b ；综上，a >c >b .故选：B .7(2024·高三·江苏苏州·期中)设a =15cos 15，b =sin 15，c =e -45，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A.b <a <c B.a <c <b C.b <c <a D.a <b <c【答案】D【解析】设∠AOB =α∈0,π2，作出单位圆，与x 轴交于A 点，则A 1,0 ，过点A 作AC 垂直于x 轴，交射线OB 于点C ，连接AB ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由三角函数定义可知AC =tan α，BD =sin α，AB=α，设扇形OAB 的面积为S 1，则S △OAC >S 1>S △ABO ，即12tan α>12α>12sin α，故tan α>α>sin α，因为15∈0,π2 ，所以tan 15>15>sin 15，又cos 15>0，由tan 15>15得sin 15>15cos 15，即b >a ，令f x =e x -x -1，x <0，则f x =e x -1，当x <0时，f x =e x -1<0，故f x 在-∞,0 上单调递减，所以f -45 >f 0 =0，所以e -45>15，故c >b ，综上，a <b <c .故选：D8(2024·江西南昌·三模)若12a=log2a，12 b=b2，c12=2-c，则正数a,b,c大小关系是()A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c 【答案】B【解析】由12a=log2a，则a为y=12 x与y=log2x交点的横坐标，由12b=b2，则b为y=12 x与y=x2交点的横坐标，由c 12=2-c，即c12=12c，则c为y=12 x与y=x12交点的横坐标，作出y=12x，y=log2x，y=x2，y=x12的图象如下所示，由图可知，c<b<a.故选：B题型六：特殊值法、估算法1若都不为零的实数a,b满足a>b，则()A.1a <1bB.ba+ab>2 C.e a-b>1 D.ln a>ln b【答案】C【解析】取a=1,b=-1，满足a>b，但1a>1b，A错误；当a=1,b=-1，满足a>b，但ba+ab=-2<2，B错误；因为a>b，所以a-b>0，所以e a-b>1，C正确；当a<0或b<0时，ln a,ln b无意义，故D错误．故选：C2已知a=2x，b=ln x，c=x3，若x∈0,1，则a、b、c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b 【答案】B【解析】取x=12，则a=212>1，b=ln12<0，c=123<1，所以a>c>b．故选：B．3已知a=3，b=214，c=log2e，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a 【答案】B【解析】由a4=9，b4=2，可知a>b>1，又由e2<8，从而e<22=232，可得c=log2e<32<a，因为b4-654=2-1296625<0，所以1<b<65；因为e5-26>2.75-64>0，从而e5>26，即e>26 5，由对数函数单调性可知，c=log2e>log2265=65，综上所述，a>c>b．故选：B．4(2024·陕西安康·模拟预测)若a,b,c满足2a>2b,log3c<0，则()A.1b-ac>0 B.a c>b c C.ac>bc D.a+c>bc 【答案】C【解析】由2a>2b,log3c<0，得a>b,0<c<1，所以b-a<0，所以1b-ac<0，所以A错误；令a=-1,b=-2,c=12，此时ac与b c无意义，所以B错误；因为a>b,0<c<1，所以由不等式的性质可得ac>bc，所以C正确；令a=-2,b=-3,c=12，则a+c=-32=bc，所以D错误.故选：C.题型七：放缩法1(2024·全国·模拟预测)已知a=e π10，b=1+sin9π10，c=1.16，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a 【答案】C【解析】令f x =e x-x-1x≥0，则f x =e x-1≥0恒成立，所以f x 在0,+∞单调递增，所以当x>0时，f x >f0 =0，即e x>x+1x>0；令g x =x-sin x x≥0，则g x =1-cos x≥0恒成立，所以g x 在0,+∞单调递增，所以当x>0时，g x >g0 =0，即sin x<x(x>0)；由诱导公式得b=1+sin 9π10=1+sinπ10，所以b=1+sin π10<1+π10<eπ10，因此a>b；因为a=e π10<e410=e0.4，c=1.16= 1.1150.4，故只需比较e与1.115的大小，由二项式定理得，1.115=(1+0.1)15>1+C115×(0.1)1+C215×(0.1)2>3>e，所以c>a．综上，c>a>b.故选：C2(2024·全国·模拟预测)已知a =13log 512，b =sin π10，c =1734，则()A.a <b <c B.c <b <aC.b <c <aD.a <c <b【答案】B 【解析】因为a =13log 512=16log 5144>16log 5125=12，b =sin π10<sin π6=12，所以b <a ．因为b =sin π10>sin π10cos π10=12sin π5>12sin π6=14，c =1734=1343 14<1256 14=14，所以c <b ．综上可知，c <b <a ．故选：B ．3(2024·全国·模拟预测)已知a =lg2,b =lg5，则下列不等式中不成立的是()A.0<ab <1 B.2a -b >12C.a +b >2D.1a +1b>4【答案】C【解析】因为a =lg2,b =lg5，所以a +b =lg2+lg5=lg10=1，对于A ，易得0<a <1,0<b <1，所以0<ab <1，故A 成立.对于B ，因为a -b =lg 25>lg 110=-1，所以2a -b >2-1=12，故B 成立.对于C ，(a +b )2=1+2ab ≤1+a +b =2，当且仅当a =b =12时，等号成立，显然等号不成立，所以a +b <2，故C 不成立.对于D ，因为a +b =1且a ≠b ，所以1a +1b =(a +b )1a +1b =2+b a +ab >2+2b a ⋅a b=4，故D 成立.故选：C .4(2024·江西宜春·模拟预测)若a =e -310，b =0.3e 0.3，c =1310ln1.3，则()A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >cD.c >b >a【答案】A【解析】显然a =e -310>0，b =0.3e 0.3>0，因为b a=0.3e 0.3e-310=0.3e 0.6<0.3e <0.9<1，所以a >b ；又因为b =0.3e 0.3=e 0.3ln e 0.3，c =1310ln1.3=1.3ln1.3，令g x =e x -x -1，x >0．则g x =e x -1>0，可知g (x )在0,+∞ 上单调递增，则g 0.3 >g 0 =0，可得e 0.3>1+0.3=1.3>1e，令f (x )=x ln x ，x >1e ，则f x =ln x +1>0在1e ,+∞ 内恒成立，可知f (x )在1e ,+∞ 内单调递增，则f e 0.3 >f 1.3 ，即e 0.3ln e 0.3>1.3ln1.3，所以b >c ；综上所述：a >b >c ．故选：A ．5(2024·内蒙古呼和浩特·二模)设a =log 615，b =log 820，c =log 20122024，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <b <a【答案】D【解析】a =log 615=log 6156×6=log 652+1，b =log 820=log 8208×8 =log 852+1，c =log 20122024=log 201220242012×2012 =log 2012506503+1，因为log 652>log 852，所以a >b ，因为log 852>log 82=13，log 2012506503<log 201210=log 2012100013<log 2012201213=13，所以b >c ，所以c <b <a .故选：D .6下列大小关系正确的是()A.2ln2<ln2 B.22.2>2.22C.3.32>23.3D.3.34<43.3【答案】C【解析】对于A ，由于2>1,0<ln2<1，所以2>ln2>0,2 2>ln2 2，故2ln2>ln2，故A 错误；对于BCD ，设f x =ln x x ，则f x =1-ln xx 2，当x >e 时，f x <0，此时f x 单调递减，当0<x <e 时，f x >0，此时f x 单调递增，因此f 2.2 >f 2 ,f 3.3 >f 4 ，即ln2.22.2>ln22⇒2ln2.2>2.2ln2⇒22.2<2.22，故B 错误；ln3.33.3>ln44⇒4ln3.3>3.3ln4⇒2ln3.3>3.3ln2⇒3.32>23.3，故C 正确；ln3.33.3>ln44⇒4ln3.3>3.3ln4⇒3.34>43.3，故D 错误.故选：C题型八：不定方程1已知a 、b 、c 是正实数，且e 2a -2e a +b +e b +c =0，则a 、b 、c 的大小关系不可能为()A.a =b =cB.a >b >cC.b >c >aD.b >a >c【答案】D【解析】因为e2a-2e a+b+e b+c=0，a、b、c是正实数，所以e2a-e a+b+e b+c-e a+b=e a e a-e b+e b e c-e a=0，因为a,b,c>0，所以e a>1,e b>1,e c>1，对于A，若a=b=c，则e a-e b=e c-e a=0，满足题意；对于B，若a>b>c，则e a-e b>0,e c-e a<0，满足题意；对于C，若b>c>a，则e a-e b<0,e c-e a>0，满足题意；对于D，若b>a>c，则e a-e b<0,e c-e a<0，不满足题意．故选：D．2设实数a，b满足1001a+1010b=2023a，1014a+1016b=2024b，则a，b的大小关系为() A.a>b B.a=b C.a<b D.无法比较【答案】C【解析】假设a≥b，则1010a≥1010b，1014a≥1014b，由1001a+1010b=2023a得1001a+1010a≥2023a⇒10012023a+10102023a≥1，因函数f(x)=10012023x+10102023x在R上单调递减，又f(1)=10012023+10102023=20112023<1，则f(a)≥1>f(1)，所以a<1；由1014a+1016b=2024b得1014b+1016b≤2024b⇒10142024b+10162024b≤1，因函数g(x)=10142024x+10162024x在R上单调递减，又g(1)=10142024+10162024=20302024>1，则g(b)≤1<g(1)，所以b>1；即有a<1<b与假设a≥b矛盾，所以a<b，故选：C3已知实数a、b，满足a=log23+log64，3a+4a=5b，则关于a、b下列判断正确的是() A.a<b<2 B.b<a<2 C.2<a<b D.2<b<a【答案】D【解析】先比较a与2的大小，因为log23>1，所以(log23)2>log23，所以a-2=log23+log64-2=log23+21+log23-2=(log23)2-log231+log23>0，即a>2，故排除A，B，再比较b与2的大小，易得，当b=2时，由3a+4a=5b，得a=2与a>2矛盾，舍去，故a>2，则有3a+4a=5b，得b>2，令f(x)=3x+4x-5x，x>2，令t=x-2，则x=t+2，故g(t)=9×3t+16×4t-25×5t<25⋅4t-25⋅5t<0，故3a+4a=5b<5a，从而2<b<a．故选：D．4已知实数a，b满足a=log34+log129，5a+12a=13b，则下列判断正确的是() A.a>b>2 B.b>a>2 C.2>b>a D.a>2>b 【答案】A【解析】∵a=log34+log129=log34+log39log312=log34+21+log34，故a-2=log34+21+log34-2=(log34)2-log341+log34，∵log34>log33=1，∴(log34)2>log34，故a-2>0，即a>2，∵5a+12a=13b，且a>2，∴13b>52+122=132，∴b>2，令g(x)=5x+12x-13x(x>2)，则g(x)=52⋅5x-2+122⋅12x-2-132⋅13x-2<(52+122)⋅12x-2-169⋅13x-2<0，故13b=5a+12a<13a，即a>b，故a>b>2，故选：A．5若a<4且4a=a4，b<5且5b=b5，c<6且6c=c6，则()A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b 【答案】B【解析】令f(x)=ln xx(x>0)，则f′(x)=1-ln xx2．由f′(x)>0得：0<x<e．∴函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减．∵4a=a4，5b=b5，6c=c6，∴a ln4=4ln a，b ln5=5ln b，c ln6=6ln c，∴f(4)=ln44=ln aa=f(a)，f(5)=ln55=ln bb=f(b)，f(6)=ln66=ln cc=f(c)．∵6>5>4>e，∴f(6)<f(5)<f(4)，∴f(c)<f(b)<f(a)，又∵c<6，b<5，a<4，∴c，a，b都小于e，∴c<b<a．故选：B．题型九：泰勒展开1已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则()【答案】A【解析】设x=0.25，则a=3132=1-0.2522，b=cos14≈1-0.2522+0.2544!，c=4sin14=sin1414≈1-0.2523!+0.2545!，计算得c>b>a，故选A．2设a=e0.2-1,b=ln1.2,c=15，则a,b,c的大小关系为．(从小到大顺序排)【答案】b<c<a【解析】a=e0.2-1>1+0.2-1=0.2=c，由函数切线放缩ln(1+x)<x得b=ln1+0.2<0.2=c，因此a>c>b．故答案为：b <c <a3设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln0.9，则()A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.a <c <b【答案】C【解析】a =0.1e 0.1≈0.11+0.1+(0.01)22=0.1105，b =19≈0.1111c =-ln0.9=ln 109=ln 1+19 ≈19-1922=0.1049∴c <a <b 故选C4a =2ln1.01,b =ln1.02,c = 1.04-1，则()A.a <b <c B.b <c <aC.c <a <bD.a <c <b【答案】B【解析】a =2ln1.01=2ln (1+0.01)≈20.01-(0.01)22+(0.01)33=0.0199，b =ln (1+0.02)≈0.02-(0.02)22=0.0198，c = 1.04-1=(1+0.04)12-1≈1+12×0.04+12-12 (0.04)22-1=0.02-0.00002=0.0198∴b <c <a ，故选B5(2024·全国·模拟预测)已知a =0.99，b =0.9999，c =sin9则()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a【答案】C【解析】由已知，a =0.99=1-110 10-1，b =0.9999=1-1100 100-1，设f x =1-x 1x-1=eln 1-x 1x-1=e1x -1 ln 1-x，x ∈0,1 ，则fx =e 1x -1 ln 1-x ⋅1x -1ln 1-x，其中1x -1ln 1-x =-1x 2ln 1-x +1x -1 ⋅-11-x =-ln 1-x +x x2，令g x =ln 1-x +x ，则g x =-11-x +1=xx -1，当x ∈0,1 时，g x <0，∴g x 在0,1 上单调递减，g x <g 0 =0，∴当x ∈0,1 时，1x -1 ln 1-x>0，f x >0，f x 在0,1 上单调递增，∴f 110 >f 1100 ，即1-110 10-1>1-1100 100-1，∴有a >b .对于c 与a ，c =sin9=sin 3π-9 >sin 9.42-9 >sin0.4，将sin0.4泰勒展开，得sin0.4>0.4-0.433!>0.3893，a =1-0.1 9<C 09-0.1 0+C 19-0.1 1+C 29-0.1 2+C 39-0.1 3+C 49-0.1 4=1-0.9+0.36-0.084+0.0126=0.3886<0.3893<c ，∴a <c .综上所述，a ，b ，c 的大小关系为c >a >b .故选：C .题型十：同构法1(多选题)(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a <b 2，故选项C 正确．当a ,b ∈(0,1)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a >log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．2(多选题)已知a>0，b>0且满足ab-2b+b ln ab=e，则下列结论一定正确的是() A.ab>e B.ab<e C.ab>e2 D.ab<e2【答案】AD【解析】等式ab-2b+b ln ab=e，等号两边同除以b，可得a-2+ln ab=e b，所以a+ln a=eb-ln b+2，所以a+ln a=eb+1-ln b+1，所以a+ln a=eb+ln eb+1，构造函数a+ln a=eb+ln eb+1，则f a =f eb+1，显然，函数f x =x+ln x在定义域0,+∞内是增函数，所以a>eb，即ab>e．而ab-e=b2-ln ab，而ab>e，故2-ln ab>0，故ab<e2，故D正确.故选：AD．3(2024·高三·浙江·开学考试)已知a>1,b>0，若a+log2a=b+log2b，则()A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2【答案】D【解析】当a=4时，a+log2a=b+log2b=4⇒b+log2b-4=0，函数g x =x+log2x-4是正实数集的上的增函数，因为g2 g4 =-1×2<0，因此b∈2,4⇒2b∈4,8，显然a<2b，因此选项A不正确；当a=16时，a+log2a=b+log2b=8⇒b+log2b-8=0，函数h x =x+log2x-8是正实数集的上的增函数，因为h4 g8 =-2×3<0，因此b∈4,8⇒2b∈8,16，显然a>2b，因此选项B不正确；因为a>1，所以log2a>0由a+log2a=a+2log2a>a+log2a⇒b+log2b>a+log2a，构造函数f x =x+log2x x>0，显然该函数单调递增，由b+log2b>a+log2a⇒f b >f a⇒b>a⇒b2>a，因此选项C不正确，选项D正确，故选：D4(2024·重庆·模拟预测)已知正实数a,b满足2a=8b+log2ba,则()A.a=bB.a<3bC. a=3bD.a>3b 【答案】B【解析】由2a=8b+log2ba可得2a-23b=log2b-log2a=log2(3b)-log2a-log23,因log23>1，则有2a-23b<log2(3b)-log2a,即2a+log2a<23b+log2(3b),(*)设f(x)=2x+log2x，则(*)即f a <f3b，因f(x)在(0,+∞)上为增函数，故可得：a<3b.。

“六法”比较指数幂大小对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．1．转化法例1 比较12(3-+与231)的大小．解：∵2231)1)-+==，∴11222(31)]1---+==．又∵011<<，∴函数1)x y =在定义域R 上是减函数．2311)<，即2132(31)-+<． 评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．２．图象法例2 比较0.7a 与0.8a的大小．解：设函数0.7x y =与0.8x y =，则这两个函数的图象关系如图．当x a =，且0a >时，0.80.7a a >；当x a =，且0a <时，0.80.7a a <；当0x a ==时，0.80.7a a =．评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．媒介法例3 比较124.1-，345.6，1313⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小． 解：∵1313004215.6 5.61 4.1 4.103-⎛⎫>==>>>- ⎪⎝⎭，∴13134215.6 4.13-⎛⎫>>- ⎪⎝⎭． 评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．４．作商法例４ 比较a b a b 与b aa b （0a b >>）的大小． 解：∵a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又∵0a b >>，∴1a b>，0a b ->． ∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1a b b a a b a b>．∴a b b a a b a b >． 评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．5．作差法例5 设0m n >>，0a >，且1a ≠，试比较m m a a-+与n n a a -+的大小． 解：()()m m n n m m n n a a a a a a a a ----+-+=+--()()m n m n a a a a --=-+-(1)(1)(1)()n m n m m n m n n m a a a a a a a -----=-+-=--．（1）当1a >时，∵0m n ->，∴10m n a-->． 又∵1n a >，1m a-<，从而0n m a a -->． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．（2）当01a <<时，∵1m n a-<，即10m n a --<． 又∵0m n >>，∴1n a <，1m a->，故0n m a a -<． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．综上所述，m m n n a a a a --+>+．评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．6．分类讨论法例6 比较221x a +与22x a +（0a >，且1a ≠）的大小．分析：解答此题既要讨论幂指数221x +与22x +的大小关系，又要讨论底数a 与１的大小关系．解：（１）令22212x x +>+，得1x >，或1x <-．①当1a >时，由22212x x +>+，从而有22212x x a a ++>；②当01a <<时，22212x x aa ++<． （2）令22212x x +=+，得1x =±，22212x x aa ++=． （3）令22212x x +<+，得11x -<<．①当1a >时，由22212x x +<+，从而有22212x x a a ++<；②当01a <<时，22212x x a a ++>．评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．。

在比较指数、对数、幂函数值的大小时，我们需要根据函数的特性来进行分析。

首先，指数函数的值随着自变量的增加而增加，对数函数的值随着自变量的增加而增加，幂函数的值则取决于幂的符号和自变量的值。

其次，对于两个自变量相同的函数值比较，一般来说，如果底数相同，那么指数函数值最大，对数函数次之，幂函数最小；如果底数不同，则需要通过计算来进行比较。

此外，对于两个自变量不同的函数值比较，一般来说，如果底数相同，那么自变量较大的函数值较大；如果底数不同，则需要通过计算来进行比较。

最后，需要注意的是，对于一些特殊的函数值，例如0或负数，需要根据具体情况来进行判断。

综上所述，在比较指数、对数、幂函数值的大小时，需要根据函数的特性、自变量的值以及底数等因素来进行综合考虑。

幂的运算性质
同底数幂的乘法：底数不变，指数相加幂的乘方；同底数幂的除法：底数不变，指数相减幂的乘方；幂的指数乘方：等于各因数分别乘方的积商的乘方；分式乘方：分子分母分别乘方，指数不变。

幂的大小比较方法
计算比较法
先通过幂的计算，然后根据结果的大小，来进行比较的。

底数比较法
在指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小。

指数比较法
在底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。

求差比较法
将两个幂相减，根据其差与0的比较情况，来确定两个幂的大小。

求商比较法
将两个幂相除，然后通过商与1的大小关系，比较两个幂的大小。

乘方比较法
将两个幂乘方后化为同指数幂，通过进行比较结果，来确定两个幂的大小。

定值比较法
通过选一个与两个幂中一个幂相接近的幂作定值，然后用两个幂与所选取的定值相比较，由此来确定两个幂的大小。

幂的大小比较七法
冯忠
幂的大小比较是《整式的乘除》一章的一个难点，为了帮助同学们更好地进行学习，这里归纳出七种方法，供大家学习时参考。

一. 计算比较法
此法是先通过幂的计算，然后根据结果的大小，来进行比较的。

例1. 比较与的大小。

解：因为
所以
二. 底数比较法
此方法是在指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小。

例2. 比较和的大小。

解：因为，且
所以
三. 指数比较法
此方法是在底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。

例3. 比较和的大小。

解：因为，且
所以
四. 求差比较法
此方法是将两个幂相减，根据其差与0的比较情况，来确定两个幂的大小。

例4. 比较和的大小。

解：因为
所以
五. 求商比较法
此方法是将两个幂相除，然后通过商与1的大小关系，比较两个幂的大小。

例5. 比较和的大小。

解：因为
所以
六. 乘方比较法
此方法是将两个幂乘方后化为同指数幂，通过进行比较结果，来确定两个幂的大小。

例6. 已知，比较a、b的大小。

解：因为
，即
所以
七. 定值比较法
此方法是通过选一个与两个幂中一个幂相接近的幂作定值，然后用两个幂与所选取的定值相比较，由此来确定两个幂的大小。

例7. 比较与的大小。

解：取与相接近的幂做定值
因为
又，所以。