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数学期望的引例
Mathematical Expectation 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 7 1 2 2 1 1 90 85 80 75 60 7 7 7 7 7 79.3
1 所以 k 2
1 xdx k 4 2k 1 2
3 1
f X ( x)
f ( x , y )dy
1 xydy 2 x 2 1
3
1
所以
2 x f X ( x) 0
x [0,1] 其它
y [1, 3] 时
fY ( y )
连续型随机变量
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则
若广义积分 X 的数学期望
xf ( x )dx 绝对收敛, 则称此积分为
即
E( X )
x f ( x)dx
数学期望的计算
例 已知随机变量X的密度函数为
1 f ( x) 1 x 2 0
1
（３）另解
E( X )
3
xf ( x , y )dxdy
3 1
1
0
1
dx
1
1 x xydy 2
1
无需求 边缘分布密度函数
0
2 x 2 xdx 3
E (Y )
1
yf ( x , y )dxdy
3
1
dy
0
1 y xydx 2
解 E( X )
1
x 1 x 1
求数学期望。
xf ( x)dx
1
x 0 dx x
1
1
1 x2
dx
1
x 0 dx
0
数学期望的意义
E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的 可能值以其相应概率的加权平均。 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值
pk xk
pk xk
k
数学期望的计算
例 已知随机变量X的分布律： X P 4 5 6 1/4
1/4
1/2
求数学期望E（X）
解
1 1 1 E( X ) 4 5 6 5 4 2 4
E( X ) p1x1 p2 x2 p3 x3
连续型随机变量的数学期望E(X)
3
1
y 13 y dy 4 6
随机变量的函数的数学期望
定理 1：一维情形
设 Y g( X ) 是随机变量 X的函数, 离散型 P{X xk } pk , k 1, 2,
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk
k 1
连续型
概率密度为f ( x)
所以
E sin X
2 0
1 sin xdx 0 2
随机变量的函数的数学期望
定理 2：二维情形 设 Z g( X ,Y ) 是随机变量 X， Y的函数, 离散型
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1, 2,
E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
x
在E(X)附近摆动
x E( X )
数学期望又可以称为期望值(Expected Value)， 均值(Mean)
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E( X ,Y ) (E( X ), E(Y ))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E( X ) xi P{X xi } xi pi. xi pij E(Y ) y j P{Y y j } y j p. j y j pij
kxy f ( x, y ) 0
(1) 求k
x [0,1], y [1, 3] 其它
(2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).
解
得
(1)由
3
1 0
f ( x , y )dxdy 1
k ydy
1
(2) x [0,1] 时
E (Y ) E[ g( X )]
g( x ) f ( x )dx
例
已知 X 服从 0,2 上的均匀分布，求
Y sin X 的数学期望。
解
E (Y ) E sin X sin x f x dx
因为
1 , 0 x 2 ； f x 2 其它。 0,
f ( x, y )dx
1 1 1 xydx y 2 0 4
y [1, 3] 其它
3
1 1
1
（３）
y f y ( y) 4 0
E( X ) E (Y )
xf X ( x )dx yfY ( y )dy
0 3
2 x 2 xdx 3 y 13 y dy 4 6
以频率为权重的加权平均
数学期望E(X)
Mathematical Expectation 离散型随机变量 定义 设离散型随机变量的概率分布为
若级数 pk xk 绝对收敛， 则称此级数为
k
P( X xk ) pk
k 1, 2,
随机变量X的数学期望，记作E（X），即
E( X ) p1 x1 p2 x2
j j j i i i i j
(X,Y)为二维连续型随机变量
E( X )
x f X ( x)dx
x f ( x, y)dxdy,
E (Y )
y fY ( y)dy
y f ( x, y)dxdy.
例 设(X,Y)的联合密度为
i j
连续型
联合概率密度为 f ( x, y )
E[ g ( X , Y )]
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
例
设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为
2 x, (0 x 1) f1 ( x) 0, 其它
求E（XY） 解
e ( y 5) , ( y 5) f 2 ( y) 其它 0,
