第1章 代数式与恒等变形
1.1
四个公式
知识衔接
在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式
22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整
式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。 知识延展
1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2
2
2
2
+++++=++ 2 立方和公式：3
3
2
2
))((b a b ab a b a +=+-+ 3 立方差公式：3
3
2
2
))((b a b ab a b a -=++- 4 完全立方公式：3
2
2
3
3
33)(b ab b a a b a ±+±=±
注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；
（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；
（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；
（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简
例1 计算：))(()(2
2
2
b ab a b a b a +++-
变式训练：化简 6
2
2
2
2
))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+
二 利用乘法公式求值；
例2 已知0132
=+-x x ，求3
31
x x +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求2
22c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明
例3 已知0,03
3
3
=++=++c b a c b a 求证：0200920092009
=++c b a
变式训练：已知2
2
2
2
)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a
习题精练 1 化简：3
2
2
)())((b a b ab a b a +-+-+
2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12
6
2
2
+++-+++-a a a a a a a a
3 已知10=+y x 且1003
3=+y x ，求代数式22y x +的值；
4 已知2120
1,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；
5 已知)(3)(2
2
2
2
z y x z y x ++=++，求证：z y x ==
6 已知abcd d c b a 44
444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
1.2 因式分解
知识延展
一 运用公式法
立方和（差）公式：
);)((2
2
3
3
b ab a b a b a +-+=+ ))((2
2
3
3
b ab a b a b a ++-=- 二 分组分解法
1 分组后能直接提公因式
如：))(()()()()(2
2
c a b a b a c b a a bc ac ab a bc ac ab a +-=-+-=-+-=-+-
2 分组后直接应用公式 如：
)2)(2()2()44(4422222222a y x a y x a y x a y xy x a y xy x --+-=--=-+-=-+-
三 十字相乘法
1 ))(()(2
b x a x ab x b a x ++=+++ 如：)1)(6(652
-+=-+x x x x
2 ))((22112
c x a c x a c bx ax ++=++其中b c a c a c c c a a a =+==12212121,, 如：)53)(12(5762
-+=--x x x x
注意：十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察实验” 四 其它方法简介 1 添项拆项法
如：（1）)122)(122(4)12(4144142
2
2
2
2
2
2
4
4
+-++=-+=-++=+x x x x x x x x x x （2）
)
133)(1()1()1)(1(3)1()1(31331432223-+-=---+=---=+--=+-x x x x x x x x x x x x x x x
2 配方法
如：)623)(623(24)3(159961562
22-+++=-+=--++=-+x x x x x x x
3 运用求根公式法
)0,0)()((212
≥?≠--=++a x x x x a c bx ax 题型归类 一 分解因式
例1 把下列各式分解因式：
（1）22865y xy x -+ （2）122
24+--+b ab a a
（3）6222-+-+-y x y xy x （4）237392
34--+-x x x x
二 利用分解因式解方程
例2 解方程：2410542
=--x x x
变式训练：若关于x 的方程0))(())(())((=++++++++a x c x c x b x b x a x （其中c b a ,,均为正数）有两个相等实根，证明以c b a ,,为长的线段能组成一个三角形，并指出该三角形的特征。
三 利用分解因式化简分式
例3 已知0,1)3()3(692
222≠=+-+-+-x xy ay x a y xy x a 求x
y
的值；
变式训练：当x 等于x 的倒数时，求分式6
3
362
2-++÷---x x x x x x 的值
四 利用分解因式化简根式 例4 化简：2
)42()41()44122(-+--÷+--+-+a a a
a a a a a a
变式 计算：2
4623
4716
251--
++
-
习题精练 1 分解因式
（1）y x y x 62922+-- （2）12)(4)(2
-+-+y x y x
（3）23
++x x （4）24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x
2 已知0258622=+--+y x y x ，求分式y
x
x y -的值
3 已知10< 2 -+-+-x x x x 4 求满足方程y x x y 2 44412=++的所有整数解； 5 已知ab b a 32 2=+，求证：2 2447b a b a =+ 6 已知0=++c b a ，求证：03 2 2 3 =+-++b abc c b c a a 第2章 方程与不等式 2.1 一元二次方程的根系关系 知识延展 1 一元二次方程根与系数关系（韦达定理）；如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x 那么a x x a c x x a b x x ? =-=- =+212121;, 2 韦达定理的重要推论； 推论1 如果02 =++q px x 的的两个实数根是21,x x 那么 q x x p x x =-=+2121, 推论 2 以两个实数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 0)(21212=++-x x x x x x 题型归类 一 不解方程，求含有已知一元二次方程两实根的对称式的值 （1）)3)(3(21--x x （2）3 23 1x x + （3）1 12112+++x x x x （4）21x x - 变式训练 已知方程03622 =+-x x 的两实根为21,x x ，不解方程求下列各式的值； （1）2 112x x x x +； （2）221)(x x - （3）2 221x x - 例2 已知21,x x 是一元二次方程01442 =++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使3 2 )2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 （2）求使21 2 21-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值； 变式训练 已知关于x 的方程014 1)1(2 2 =++ +-k x k x 根据下列条件，分别求k 的值。 （1）方程两实数根的积为5 （2）方程两实数根21,x x 满足21x x = 三 已知方程的两实根，求作新方程 例3 已知方程0262 =+-x x 不解方程，求作一个新方程，使它的一个根为原方程两实根的和的倒数，另一个根为原方程两实根差的平方。 变式训练 不解方程0122 =--x x ，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各实根的2倍大1. 四 已知两数的和与积，求这两数 例4 已知两数和为14，积为-1，求这两个数。 变式训练 已知两个数的和为2，积等于4 1 -，求这两个数。 例5 当实数k 为何值时，一元二次方程042)32(2 =-+--k x k x ， （1）有一根为0 （2）两根互为倒数； （3）有两个异号根，且正根的绝对值较大； （4）一根大于3，一根小于3 变式训练 已知整系数方程032)3(2 =++++k x k x 有一正根和一负根，且正根的绝对值较 小，求k 的值和方程的根。 习题精练 1 已知βα,是方程01222 =--x x 的两个实数根，不解方程，求 （1）βα- （2）33βα+ （3）)12)(12(2 2 ----ββαα的值。 2 已知关于x 的方程014 1)1(2 2 =++ +-k x k x 的两实根是一个矩形的两边的长 （1）当k 取何值时，方程存在两个正实数根？ （2）当矩形对角线长是5时，求k 的值。 3 已知21,x x 是关于x 的方程0)5(52 =-+-k kx x 的两个正实数根，且满足7221=+x x ， 求实数k 的值。 4 设βα,是方程0252 =++x x 的两实根，求作以2 2 1 ,1 βα 为根的一元二次方程； 5 已知实数b a ,分别满足03112=-+a a 和032 =-+b b 且1≠ab ，试求代数式2 221a b a +的值。 6 已知关于x 的方程0)12(2 2=+-+a x a x （a 为常数）的两个实数根是21,x x 且 0,021>>x x ，求21x x -的值； 2.2 分式方程 知识延展 可化为一元二次方程的分式方程解法有两种：一种是一般解法——去分母法；另一种是特殊解法——换元法 去分母法的一般步骤如下： 1 将分母分解因式，找到最简公分母； 2 以最简公分母乘以方程两边去分母，得到一个一元二次方程； 3 解这个一元二次方程； 4 验根 题型归类 一 用一般方法——去分母法解分式方程 例1 解下列分式方程 （1） ;14211421232=-+-++x x x x （2）11 1 342392=-++-+-x x x x x （3）1 36 16116322-+--+=+++-x x x x x x x x 变式训练 解下列分式方程： 1 x x x x x x -+-=+--135245729122； 2 x x x x x ---+-=-+41 3412169662 二 灵活应用去分母法解分式方程——先通分再去分母 例2 解分式方程：7 1 618151++ +=+++x x x x 变式训练：解方程 6 1 418121-+ -=-+-x x x x 三 用特殊方法——换元法解分式方程 例3 解方程2 3 11=+-+x x x x 变式训练 解方程：0536 32 2 =+-+-x x x x 例4 解下列分式方程： （1）171 ) 1(61)1(522=+++++x x x x （2）06)1(5)1(2=+---x x x x （3）1)1(3)1(222 =--+x x x x 变式训练 解下列方程； （1）033105262222 2=+++-++x x x x x x （2）04)1 (67)1(222=--+-x x x x 习题精练 1 解方程 （1）3 35 3112-+=--+x x x x x x （2） 1221242+=+-++x x x x x 2 解分式方程 3 2411423-- -=---x x x x 3 解分式方程： 6 1 317121++ +=+++x x x x 4 用换元法解分式方程： （1）2) 1()1(2 2=-+-x x x x （2）03)1(27)1(2=+---x x x x 5 用换元法解分式方程 （1）38)1(5)1(62 2 =+++ x x x x （2）)2(3422 x x x x +=+ （3）02772222 =++-+x x x x （4）052 7)2(22 =+---x x x x 2.3 一元二次不等式 知识延展 1 一元二次不等式的定义：形如)0(02>>++a c bx ax 和)0(02><++a c bx ax 的不等式叫一元二次不等式 2 一元二次不等式的解法； （1）形如)0(02>>++a c bx ax 的解法是：在方程02=++c bx ax ，若0>?时，方程有两个不相等实根21,x x 其21x x <，则02>++c bx ax 的解集为1x x <或2x x >；若0=?时，a b x x 221- ==，则)0(02>>++a c bx ax 的解集为a b x 2-≠；若0 )0(02>>++a c bx ax 解集为一切实数 （2）形如)0(02><++a c bx ax 的解法是：在方程02=++c bx ax 中，若0>?时，方程有两个不相等实根21,x x 其21x x <，则02<++c bx ax 的解集为21x x x <<；若0=?时， a b x x 221- ==，则)0(02><++a c bx ax 的解集为空集（无实数解）；若0>++a c bx ax 解集为空集（无实数解） 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0) 的根 有两相异实根x 1， x 2(x 1 有两相等实根x 1＝x 2＝ －b 2a 没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集 {x |x ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集 {x |x 1 一 求形如)0(02>>++a c bx ax 的解 例1 解下列不等式 （1）062>--x x （2）01442 >+-x x （3）322 ->-x x 变式训练 解不等式： （1）01442 >++x x （2）042 <-+-x x 二 求形如)0(02><++a c bx ax 的解 例2 解不等式 （1）0432 <-x （2）122 >-x x （3）0432 <+-x x 变式训练 解不等式 1 0122 <--x x 2 05232<+-x x 3 08162 <+-x x 三 利用一元二次不等式与一元二次方程之间关系来解决问题 例 3 已知不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是2 02>++c ax bx 的解集。 变式训练 已知关于x 的不等式022 >-+c bx x 的解集为1- ≥++cx bx 例4 解关于x 的一元二次不等式)(012 为实数a ax x >++ 变式训练 解关于x 的一元二次不等式02 ≤++a x x （a 为常数） 四 一元二次不等式，二次函数，二次方程之间的关系 例5 画出函数122 --=x x y 的图像，利用图像说明： （1）当x 取何值时，?0=y （2）当x 取何值时，?0>y （3）当x 取何值时，?0 例6 已知不等式022 >++bx ax 的解集为3 1 21<<-x ，求b a ,的值 变式训练 已知不等式032 >++a x x 的解集是2- 例7 求k 的取值范围，使得抛物线k x k x k y 44)1(2)1(2 +-+--=在x 轴的下方； 变式训练 若不等式02 >++a x x 的解集为全体实数，求实数a 的取值范围。 习题精练 1 解下列一元二次不等式： （1）0)25)(110(<--x x （2）01642 >+-x x （3）02532 <-+-x x （4）023)23(2<--+x x 2 当x 是什么实数时，122 -+x x 有意义？ 3 当x 时什么实数时，二次函数142 +-=x x y 的值（1）等于0？（2）是正数 ？ （3）是负数？ 4 当22≤≤-x 时，求函数322 --=x x y 的最大值和最小值。 5 若012 >++p qx x p 的解集为42< 2.4 绝对值不等式 知识延展 1 和差的绝对值与绝对值的和差的关系 （1）;b a b a b a +≤+≤- （2）b a b a b a +≤-≤- 2 含有绝对值的不等式的解法 （1）最简单的含有绝对值的不等式的解法：