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我们以前所学过的角都是大于0度，小于或等于360 度的角.
生活中很多实例不在0°～360°范围内. 像体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转
体1 080º.
本节课我们进一步研究更广泛的角.
地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？
角
这就是这节课我们所要学习的内容——角
1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点) 2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角
思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否 也可以推广?
提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对 于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负 来表示.
任意角定义：
逆时针
注意角的
顺时针
旋转方向和 旋转量.
正角：按逆时针方向旋转形成的角
任 负角：按顺时针方向旋转形成的角
意 角
零角：一条射线从起始位置OA 没有作任何旋转，终止位置OB与
角的终边可能落在哪些位置？
提示：如图，可以是坐标轴、
y
第一象限、第二象限、
第三象限、第四象限
o
x
象限角 1.角的顶点与原点重合; 2.角的始边重合于x轴的非负半轴; 则角的终边（除端点外）在第几象限，就是第 几象限角.
象限角的图形表示
终边
y 终边
ⅡⅠ
x Ⅰ Ⅱ
O ⅢⅣ
始边 Ⅲ Ⅳ
终边
§2 角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作 角. 顶点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形叫作角.
B 终边
顶点
O
A 始边
2.角是如何度量的? 角的单位是度.规定:周角的 为1 1度的角.
360
3.我们学过哪些角?它们的大小是多少? 锐角:大于0度小于90度 直角：等于90度 钝角:大于90度小于180度 平角：等于180度 周角：等于360度
起始位置OA重合
记法：角 或 ,可简记为 .
说明：
1.角的正负由旋转方向决定. 2.角可以任意大小，其数值的大小由旋转次数 及终边位置决定.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
探究点2 象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角
坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的
始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，
思考2：所有与30°角终边相同的角，连同30°角 在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S 吗？
提示：集合 S= β β=30o +k 360o,k Z
提醒：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在 内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素 显然都与30°角终边相同.
终边相同的角的表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成 一个集合：
(4)k的两层含义： ①特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角； ②一般性：表示了所有与终边α重合的角的集合.
(5)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一 定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差 360°的整数倍.
例1 判定下列各角是第几象限角： （1）-60°. （2）606°. （3） -950°12'.
4.在0°～360°范围内,找出与-990°15′角终边相 同的角,并判定它是第几象限角.
解 : 因为-990°15′= 89°45′-3×360°, 所以在0°～360°范围内, 与-990°15′角终边相同的
角是89°45′, 它是第一象限角.
5范围内,终边在x轴上的角 有两个0°,180°.
与270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成
集合S1=
90 k 360 ,k Z ;
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2= 270 k 360 ,k Z .
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2= 90 k 360 ,k∈Z ∪
{β| β=270°+k×360°,k∈Z} ={β| β=90°+k×180°,k∈Z}.
探究点3 终边相同的角 思考1：在坐标轴上画出
30°,390°,-330°, 它 们有什么共同点和内在 联系？
y
-330° 390°
O
30° x
提示：终边相同，且
30°=30°+ 0×360°
390°=30°+360°=30°+1×360° -330°=30°-360°=30°-1×360°
390°,-330°两个角都可以表示成30°角与k个周角的 和,其中k为整数.
例3 写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中
适合不等式-360°≤ β ＜720° 的元素β 写出来.
解：S =｛β 丨 β=k×360°+60°,k∈Z｝. S 中适合-360°≤ β ＜720°的元素是:
60°-1×360° =-300°, 60°+0×360°=60°, 60°+1×360°=420°.
终边
提示：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反 映角的大小.
思考2：如图所示的角α、 角β是第几象限角？怎样 判断一个角是第几象限角？
提示：角α是第一象限角，角β是第三象限角.判 断方法是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边 与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限， 就说该角是第几象限角.
坐标轴上的角
S= _{_β__|_β__=_α__+_k_×__3_6_0_°__,_k_∈__Z_}_. 即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角 α与周角的整数倍的和.
注意: (1)k∈Z. (2)α是任意角.
(3)k×360°与α 之间是“+”号， 如k×360°30°,应看成k×360°+（-30°）.
与0°角终边相同的角构成的集合
S1={β| β=k×360°, k∈Z };
与180°角终边相同的角构成的集合
S2={β| β=180°+k×360°,k∈Z } ={β| β=180°+2k×180°,k∈Z }.
S=S1∪S2={β|β=k×180°, k∈Z }.
回顾本节课的收获
1.理解角的概念推广的必要性. 2.理解任意角和象限角的概念. 3.掌握所有与角α终边相同的角的表示方法.
的概念.（重点）
3.掌握所有与角α终边相同的角的表示方法.
（难点）
探究点1 任意角的概念 思考1：下面的角度如何表示？ （１）你的手表慢了５分钟，想将它校准， 分针应该旋转多少度？ 顺时针旋转30度 （２）假如你的手表快了2.5小时，想将它校 准，分针应该旋转多少度？ 逆时针旋转900度
注意：旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式.
解:（1）因为-60°角的终边在第四象限， 所以它是第四象限角.
（2）因为606°=360°+246°,
所以606°与246°角的终边重合，而246°的终边在第
三象限，所以606°是第三象限角.
（3）因为-950°12' = （-2）×360°-230°12',
而-230°12'的终边在第二象限，所以-950°12 '是
第二象限角. 方法总结:判断一个角所在象限或不同角之间的终边 关系，只要把它们化为 β + k·360°,k∈Z，（0°≤ β ＜360°），然后只要考查β 的相关问题即可.
例2 在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集
合（用0°～360°的角表示).
解: 在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这
个角不属于任何象限.
例如：角的终边落在x轴或y轴上. 按终边的位置分类
第一象限角
第二象限角 象限角 第三象限角
角
第四象限角
坐标轴上的角
想一想 1.锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角. 2.第一象限的角是否都是锐角？
答：第一象限的角并不都是锐角. 3.小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角 或负角.
1.已知下列各角：①-120°；②-240°；③180°； ④495°，其中是第二象限角的是( D ) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 2.若β是第四象限角，则180°-β是第__三__象限角.
3.与600°角终边相同的角可表示为( B ) A.k·360°＋220°(k∈Z) B.k·360°＋240°(k∈Z) C.k·360°＋60°(k∈Z) D.k·360°＋260°(k∈Z)
