二项分布及其应用 习题 简单

例1 一大批电子管中有10%已损坏，若我们从这批电子管中随机地选取20只来组成一个线路，问这个线路能正常工作（20个电子管全好）的概率？
解：因这批电子管数量很大，因此可近似地把选取20只管作为进行独立试验。

把选得好管作为成功，其概率为0.9，故所求的概率为：
1216.09.09.0)9.0,20;20(20
202020≈=⋅=C b
例2 设每颗子弹打中飞机的概率为0.01，问在500发中打中飞机的最可能次数是多少？并求相应的概率。

解：设X 表示打中的次数，则 {}17635
.0)99.0()01.0(55,01.5)1()
01.0,500(~49555500≈⋅⋅====+C X P m p n B X
例3 若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10000个这类人参加人寿保险。

试求在未来一年中在这些保险者里面，①有40个人死亡的概率；②死亡人数不超过70个的概率。

解：作为初步的近似，可利用Bernoulli 概型；n=10000，p=0.005；设X 为未来一年中死亡人数，则：
()005.0,10000~B X
① {}9960404010000
)995.0()005.0(40C X P ==; ②
∑=-=≤700
1000010000
)995.0()005.0()70(k k k k C X P .。

二项分布及其应用一、选择题（共12小题；共60分）1. 抛掷两颗骰子，至少有一个点或点出现时，就说这次试验成功，则在次试验中，成功次数的期望是A. B. C. D.2. 设随机变量服从二项分布，则A. ，B. ，C. ，D. ，3. 在某次试验中，事件出现的概率为，则在次试验中出现次的概率为A. B.C. D.4. 某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的个机械元件情况如下：使用时间天个数若以频率为概率，先从该批次机械元件中随机抽取个，则至少有个元件的使用寿命在天以上的概率为A. B. C. D.5. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列，第次摸取红球，如果为数列的前项和，那么的概率为第次摸取白球A. B.C. D.6. 位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位于点的概率是A. B.C. D.7. 已知离散型随机变量服从二项分布且，，则与的值分别为A. B. C. D.8. 一袋中有个白球，个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现次时停止，设停止时共取了次球，则等于A. B. C. D.9. 已知随机变量服从二项分布，则A. B. C. D.10. 每次试验的成功率为，重复进行次试验，其中前次都未成功后，其余次都成功的概率为A. B. C. D.11. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是A. B. C. D.12. 已知随机变量，若，则，分别是A. 和B. 和C. 和D. 和二、填空题（共5小题；共25分）13. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则乙以的比分获胜的概率为．14. 甲从学校乘车回家，途中有个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为．15. 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的位申请人中恰有人申请A片区房源的概率为．16. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为，现有次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完次投篮机会的概率是，则的值是．17. 小波玩一种闯关游戏，有次挑战机会，若连续二次挑战胜利停止挑战，闯关成功；否则，闯关失败．若小波每次挑战胜利的概率均为，且各次挑战相互独立，那么小波恰好挑战次闯关成功的概率为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选一名下岗人员，求此人参加过培训的概率；（2）任选名下岗人员，记为人中参加过培训的人数，求的分布列．19. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的棵大树中．（1）至少有棵成活的概率；（2）两种大树各成活棵的概率．20. 一个口袋中装有大小相同的个白球和个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有次摸到红球即停止．（1）求恰好摸次停止的概率；（2）记次之内（含次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列．21. 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得分，答错得分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，，，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分．（1）求随机变量分布列；（2）用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求．22. 某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为，．（1）求直方图中的值；（2）如果年上缴税收不少于万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从企业中任选个，这个企业年上缴税收少于万元的个数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）答案第一部分1. D2. B3. D4. D 【解析】由表可知元件使用寿命在天以上的频率为，则所求概率为．5. B【解析】由知，在次摸球中有次摸取红球，次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则的概率为．6. B 【解析】如图，由题可知，质点必须向右移动次，向上移动次才能位于点，问题相当于次重复试验向右恰好发生次的概率．所求概率为．7. A8. D 【解析】“”表示第次取到红球，前次有次取到红球，次取到白球，因此．9. D 【解析】因为随机变量服从二项分布，所以．10. C11. C 【解析】根据题意，学生发球次数为即一次发球成功的概率为，即，发球次数为即二次发球成功的概率，发球次数为的概率，则，依题意有，则，解可得，或，结合的实际意义，可得，即．12. B第二部分13.14.【解析】设甲在途中遇红灯次数为，因为在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，所以，所以．15.【解析】每位申请人申请房源为一次试验，这是次独立重复试验，设申请A片区房源记为，则，所以恰有人申请A片区的概率为．16.17.【解析】依题意挑战次闯关成功是第三、四次挑战胜利，第二次挑战失利，第一次挑战胜利与失利均可，故挑战次闯关成功的概率为．第三部分18. （1）任选一名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．解法一：任选一名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是．所以该人参加过培训的概率是．解法二：任选一名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是．该人参加过两项培训的概率是．所以该人参加过培训的概率是．（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以人中参加过培训的人数服从二项分布，，，，，，即的分布列是19. （1）设表示第棵甲种大树成活，，表示第棵乙种大树成活，，则，，，相互独立，且，．至少有棵成活的概率为（2）由独立重复试验的概率公式知，所求概率为20. （1）设事件“恰好摸次停止”的概率为，则．（2）由题意，得，，，，，所以的分布列为21. （1）解法一：由题意知，的可能取值为，，，，且，，，．所以的分布列为解法二：根据题设可知．因此的分布列为，，，，．（2）解法一：用表示“甲得分，乙得分”这一事件，用表示“甲得分，乙得分”这一事件，所以，且，互斥，又．由互斥事件的概率公式得．解法二：用表示“甲队得分”这一事件，用表示“乙队得分”这一事件，，，，．由于事件，为互斥事件，故．．22. （1）由直方图可得：.所以 .（2）企业上缴税收不少于万元的频率为：.由 .得个企业中有个可以申请政策优惠．（3）的可能取值为，，，， .由直方图可知，每个企业上缴税收少于万元的概率为 .，，，，.所以的分布列为：.（或）。

高中数学二项分布例题二项分布适用于一系列独立重复试验，每次试验只有两种结果，通常称为“成功”和“失败”。

设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1p，进行n次试验后，成功的次数X遵循二项分布，其概率质量函数为：P(X = k) = C(n, k) p^k (1 p)^(n k)其中，C(n, k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。

例题一：简单二项分布的应用在一项产品质量检验中，某种产品合格率为80%。

若随机抽取10件产品，求其中恰好8件合格的概率。

解：此问题可以看作进行10次独立试验，每次试验成功的概率p 为0.8，失败的概率为0.2，n为10，k为8。

根据二项分布的概率质量函数，可以计算如下：P(X = 8) = C(10, 8) (0.8)^8 (0.2)^2计算组合数C(10, 8) = 45，带入公式后得：P(X = 8) = 45 (0.8)^8 (0.2)^2 ≈ 0.1937。

恰好8件合格的概率约为19.37%。

例题二：计算不超过某个成功次数的概率在一场考试中，某学生在过去的测试中，答对题目的概率为0.7。

若该学生参加5次测试，求至少有3次答对的概率。

解：求至少有3次答对的概率，可以通过计算0到2次答对的概率并用1减去得到：P(X ≥ 3) = 1 P(X ≤ 2)计算P(X ≤ 2)：P(X = 0) = C(5, 0) (0.7)^0 (0.3)^5 = 1 1 0.00243 ≈ 0.0024。

P(X = 1) = C(5, 1) (0.7)^1 (0.3)^4 = 5 0.7 0.0081 ≈ 0.028.P(X = 2) = C(5, 2) (0.7)^2 (0.3)^3 = 10 (0.49) 0.027 ≈ 0.1323。

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0.0024 + 0.028 + 0.1323 ≈ 0.1627。

二项分布经典例题二项分布是概率统计中的经典概率分布之一，常用于描述二元试验中成功次数的概率分布。

下面我们来看一个经典的例题，通过解答这个例题，可以更深入地理解二项分布的应用。

例题：某制造公司生产一种产品，每天生产的产品中有5%是次品。

现在从该公司的生产线上随机抽取10个产品进行检验，问至少有2个次品的概率是多少？解析：根据题目要求，我们需要计算至少有2个次品的概率。

这就意味着我们需要计算出有2个、3个、4个...一直到全部10个产品都是次品的概率，然后将这些概率相加即可得到答案。

首先，我们来计算有2个次品的概率。

根据二项分布的公式，概率密度函数为P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n表示试验次数，k表示成功次数，p表示单次试验的成功概率。

在这个例题中，n=10，k=2，p=0.05。

所以有2个次品的概率为P(X=2) = C(10,2) * (0.05)^2 * (1-0.05)^(10-2) = 0.387420489。

接下来，我们继续计算有3个次品的概率。

同样地，我们可以利用二项分布的公式计算出概率为P(X=3) = C(10,3) * (0.05)^3 *(1-0.05)^(10-3) = 0.282429536。

依此类推，我们可以计算出有4个次品的概率为P(X=4) =0.156920249，有5个次品的概率为P(X=5) = 0.058399961，有6个次品的概率为P(X=6) = 0.015365716，有7个次品的概率为P(X=7) = 0.002812757，有8个次品的概率为P(X=8) = 0.000355036，有9个次品的概率为P(X=9) = 0.000029531，有10个次品的概率为P(X=10) = 0.000001488。

最后，将以上各个概率相加，即可得到至少有2个次品的概率为0.903409091。

通过这个例题的计算，我们可以发现二项分布在描述二元试验中成功次数的概率分布时非常有用。

二项分布题目一、一个篮球运动员投篮的命中率为0.6，他独立进行5次投篮，恰有3次投中的概率是多少？（答案：C）A. 0.12B. 0.23C. 0.26D. 0.35二、某药品对某种疾病的治愈率为0.8，现有10位患者独立使用该药品，恰有8位被治愈的概率是多少？（答案：B）A. 0.10B. 0.17C. 0.40D. 0.60三、一枚硬币投掷的正面概率为0.5，独立投掷8次，出现4次正面的概率是多少？（答案：A）A. 0.27B. 0.35C. 0.50D. 0.65四、某种电子产品的合格率为0.95，现随机抽取20个进行检验，恰有1个不合格的概率是多少？（答案：D）A. 0.01B. 0.05C. 0.10D. 0.19五、一个骰子投掷的点数大于3的概率为0.5，独立投掷6次，出现3次点数大于3的概率是多少？（答案：C）A. 0.10B. 0.15C. 0.25D. 0.35六、某品牌手机的故障率为0.05，现随机售出100部手机，恰有2部出现故障的概率是多少？（答案：B）A. 0.01B. 0.18C. 0.50D. 0.82七、一个学生做题的正确率为0.7，他独立做10道题，恰有7道做对的概率是多少？（答案：A）A. 0.20B. 0.25C. 0.30D. 0.35八、某种疫苗的接种成功率为0.9，现有50人独立接种该疫苗，恰有45人接种成功的概率是多少？（答案：D）A. 0.01B. 0.05C. 0.10D. 0.18九、一个网站的用户点击广告的概率为0.2，独立有1000次用户访问，恰有200次点击广告的概率是多少？（答案：C）A. 0.01B. 0.05C. 几乎为零（实际值极小）D. 0.20十、某种植物的种子发芽率为0.8，现随机播种10粒种子，恰有8粒发芽的概率是多少？（答案：B）A. 0.10B. 0.20C. 0.40D. 0.60。

课时作业68二项分布及其应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)11.已知随机变量E 服从二项分布 匕B(6,3),即P(E= 2)等于()-13 - 80 C ----- D ----- C.2432431解析：已知 匕 B(6, 3), P( S= k)= C n p k q n -k ,当 2, n = 6, p=1 时，有p(2)=C 2(1)2(1—3)6-2=243.答案：D1 12. 甲射击命中目标的概率是1,乙命中目标的概率是1,丙命中 1目标的概率是4.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 ()八3厂2 代4 B.3 4 7 C.5D.10解析：设甲命中目标为事件A ,乙命中目标为事件B ,丙命中目 标为事件C ,则击中目标表示事件A , B , C 中至少有一个发生.又 P( A -B ・C) = P( A) P( B ) P( C ) =[1- P(A)] [1 - P(B)] [1 - P(C)]A. 316 B. 1 2433 二击中的概率 P = 1 — P(A-B -C) = 4. 答案：A93. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 寸，下11 8雨的概率为30■，既吹东风又下雨的概率为30，则在吹东风的条件下， F 雨的概率为()9A.ii2 C.2解析：设A = “该地区四月份下雨”，B = “四月份吹东风”， 则P (A) = 30, P(B )=3o , P(AB )= 30,_8"一-P(AB) 30 8 故 P(A|B)== J = 9.30 答案：D4.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()A . 0.85B . 0.819 2C . 0.8D . 0.75解析：P = C 3x 0.83X 0.2 + C 4 X 0.84 = 0.8 1答案：B5.—个均匀小正方体的六个面中，三个面上标注数1,两个面30'8 D.8上标注数2, —个面上标注数3,将这个小正方体抛掷2次，则向上 的数之和为3的概率为（）A.1 6 Cl 设第i 次向上的数是1为事件A i ，第i 次向上的数是2为1 1B i , i = 1,2,贝S P(A i )= P(A 2)= 2，P(B i )= P(B 2)= 3,则所求的概率为 P(A i B 2) + P(A 2 B i ) = P(A i )P(B 2)+ P(A 2)P(B i ) = 2 X 3 + 2X卜 g答案：C 6.甲、乙两个围棋队各5名队员，按事先排好的顺序进行擂台 赛，双方i 号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的2号队员再与对方 的获胜队员赛，负者又被淘汰，一直进行下去，直到有一方队员全部 被淘汰时，另一方获胜，若每个队员的实力相当，则甲方有 4名队员 被淘汰且最后战胜乙方的概率是（ ）35D .256解析：每淘汰一名队员，进行一场比赛，共进行了九场比赛，其 中前8场甲、乙各胜四局，第九局甲胜，其概率为P = C 8XN 4X ?j 4x i35 256 答案：D解析:A. 7i5i3 .i8 i8二、填空题（每小题5分，共i5分）7. 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第 1 1一次闭合后出现红灯的概率是1，两次闭合都出现红灯的概率为 £•在2 6 第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率为 ___________ .解析：设事件A :第一次闭合后出现红灯；事件 B :第二次闭合 1 出现红灯.则P(A) = 2，P(AB) = 6,故满足条件的P (B|A )=¥AB = 6 =2 1 3.1答案：1 8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下 1 一电梯的概率均为3，用E 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则 P(片 4) = ________ .解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是 5 1 1 2次独立重复试验，故 匕B(5, 3)，即有P(S= k)= c 5(3)k x (3)5-k , k = 0,1,2,3,4,5.1 2 10故 P(片 4)= C 4(1)4 x (3)1=243.9. ________________ 将一枚均匀的硬币抛掷 6次，则正面出现的次数比反面出现 的次数多的概率为 .答案:10243解析：由题意知正面出现的次数多，包含4次正面，5次正面和6次正面三种情况，故其概率P = c 6x 少x (1)2 + c 6x gfx 刖+三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程)10. (15分)甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共 赛三场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比 2 1 1赛中，甲胜乙的概率为2，甲胜丙的概率为1乙胜丙的概率为1，3 4 5(1) 求甲获第一名且丙获第二名的概率； (2) 设在该次比赛中，甲得分为 £求E 的分布列. 解：(1)甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙. 2 1 1二甲获第一的概率为§x 4= 61 4丙获第二，则丙胜乙，其概率为 1-5=5-1 4 2•••甲获第一名且丙获第二名的概率为6x 4= 15-⑵E 可能取的值为0,3,6-甲两场比赛皆输的概率为2 1 1 P ( = 0)=(1- 3)(1 - 4)=4-甲两场只胜一场的概率为6_ 11 答案:11322 11 2 7p(片3)=3X(r+-x(1- 3)=豆2 1 1 甲两场皆胜的概率为P( E=6)=§x4=g.•••E的分布列为11. (20分)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都从0~9 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求：(1) 任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2) 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.解：设第i次按对密码为事件A i(i = 1,2),则A= A1 U(71A2)表示不超过2次按对密码.(1) T事件A1与A 1A2互斥，由概率的加法公式得1 9x 1 1P(A)= p(A1)+ p( A 1A2)= 10+ 10X9=5.(2) 用B表示最后一位按偶数的事件，则1 4 x 1 2P(A|B)= P(A1 |B) + P( A A|B) = 5 + 市=5.创新应用12. (20分)(2013辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是3,答对每道乙类题的概率都是5,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望.解：⑴设事件A= “张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有7 = “张同学所取的3道题都是甲类题”.C? 1 3因为P（A）=C6O =6 所以P（A）=1-P（A）=5（2）X所有的可能取值为0,1,23P（X=0）= C（5）（）（5）2 •= 125；13 1 2 1 1 0 3 0 2 24 28P（X= 1=C2 0 0 5+ C2®0（5）2 5=质;23 2 2 0 1 1 3 1 2 14 57P（X= 2）= C2（5）® 5+ 浊）（5）5 = 1525；2 3 2 2 o 4 36P（X= 3）= C2（5）（5）5=議；所以X的分布列为：所以E(X) = 0X盒+ 1磊+ 2卷+ 3鶴=2.。

二项分布的应用实例二项分布是概率论中常见的一种离散概率分布，通常用于描述在一系列独立重复的同类事件中，成功事件发生的次数的概率分布。

在现实生活中，二项分布有着广泛的应用，例如在工程、医学、经济等领域都能看到它的身影。

本文将通过几个具体的实例来展示二项分布的应用。

### 实例一：质量检验某工厂生产的零件合格率为0.95，现在需要抽取100个零件进行质量检验。

假设每个零件的质量独立且相同，符合二项分布。

现在我们可以利用二项分布来计算以下问题：1. 至少有95个零件合格的概率是多少？2. 恰好有90个零件合格的概率是多少？根据二项分布的概率公式，可以计算出以上两个问题的答案。

通过计算，我们可以得出在这种情况下的概率分布情况，帮助工厂更好地了解质量检验的结果。

### 实例二：市场营销某产品的点击率为0.1，现在需要进行1000次广告投放，希望点击次数超过100次的概率是多少？这个问题同样可以通过二项分布来解决。

我们可以利用二项分布的概率公式，计算出点击次数超过100次的概率，从而评估广告投放的效果。

### 实例三：医学实验在进行药物临床试验时，需要一定数量的患者来参与。

假设某药物的治愈率为0.8，现在需要招募10名患者进行试验，成功治愈的患者数量符合二项分布。

通过二项分布的计算，可以得出在这种情况下成功治愈患者数量的概率分布，帮助医生评估药物的疗效。

### 实例四：投资风险某投资人投资某股票的成功率为0.6，现在进行了10次投资，希望成功次数超过6次的概率是多少？通过二项分布的计算，可以帮助投资人评估投资风险，从而制定更合理的投资策略。

通过以上几个实例，我们可以看到二项分布在不同领域的应用。

无论是质量检验、市场营销、医学实验还是投资风险评估，二项分布都能提供一种有效的概率分布描述方法，帮助我们更好地理解和分析问题，做出科学的决策。

因此，掌握二项分布的应用是非常重要的，可以在实际问题中发挥重要作用。

《二项分布及其应用》练习题一、单选题1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%， 已知一学生语文不及格，则他数学也不及格的概率是 ( ) A ．0.2 B ．0.33 C ．0.5 D ．0.62．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．353．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A = ( )A ．18B ．14C ．25D ．124．已知P (B )>0，A 1A 2＝∅，则下列成立的是( )A ．P (A 1|B )>0 B ．P (A 1∪A 2|B )＝P (A 1|B )＋P (A 2|B )C ．P (A 12A )≠0D ．()12P A A ＝15．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的命题是( )A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥事件C ．A 与B 不相互独立D ．A 与B 是相互独立事件 6．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A ．12p pB ．1221(1)(1)p p p p -+-C ．121p p -D ．121(1)(1)p p ---7．袋中有大小相同的3个红球，7个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是 ( )A ．15B ．13C ．38D ．378．已知()13P B A =，()25P A =，则()P AB 等于( ) A ．56 B ．910C ．215D ．1159．设A,B 为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)=13，P(A)=23，则P(B|A)= ( )A ．B ．C ．D ．10．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在已知第一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是A ．14B ．34C ．12 D ．1811．下列说法正确的是( )A ．()()PB A P AB < B ．()()()P B P B A P A =是可能的 C ．()()()P AB P A P B =⋅ D ．()0P A A =12．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A ．56B ．34C ．23D ．1313．有一匹叫Harry 的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天,在30场下雨天的比赛中，Harry 赢了15场．如果明天下雨，Harry 参加赛马的胜率是A ．15B ．12 C ．34D ．310 14．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ）A ．35B ．110C ．59D ．2515．一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A 1表示第一次摸得白球,A 2表示第二次摸得白球,则事件A 1与2A 是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件16．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( ) A ．0.02 B ．0.08 C ．0.18 D ．0.7217．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A ．119B ．1718 C ．419D ．21718．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是( )A ．34B ．23C ．12 D ．1319．若()34P A =，()12P B A =，则()P A B ⋂等于( ) A ．23 B ．38 C ．13 D ．5820．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A ．49B ．29 C ．23 D ．1321．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．12p pB ．1221(1)(1)p p p p -+-C ．121p p -D ．121(1)(1)p p ---二、填空题22．以集合{}2,4,6,7,8,11,12,13A＝中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是______．23．如图,J A ,J B 两个开关串联再与开关J C 并联,在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.5,计算在这段时间内线路正常工作的概率为___.24．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．25．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为__________． 26．已知A 、B 、C 相互独立，如果()16P AB =，()18P BC =，()18P ABC =，()P AB =_________. 27．一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球，则后两次也摸得白球的概率为________． 28．某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A ＝_______，()P A B ＝__________三、解答题29．现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立,假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列.30．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

高中数学二项分布及其应用知识点+练习二项分布及其应用要求层次重难点条件概率A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．事件的独立性A n 次独立重复试验与二项分布B（一） 知识内容条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．（二）典例分析：【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ）A ．35B ．23C ．59D ．13【例2】 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是条件概率事件的独立性独立重复实验二项分布高考要求例题精讲知识框架二项分布及其应用板块一：条件概率1，10设A=“刮风”，B=“下雨”，求()()，．P B A P A B【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率．【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则()_____P B A=．【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为．【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_____．【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，求(|)P B A．P A B与(|)【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率?【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的—数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率．【例10】袋中装有21n-个白球，2n个黑球，一次取出n个球，发现都是同一种颜色的，问这种颜色是黑色的概率是多少?【例11】 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）⑴已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率； ⑶已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率．【例12】 有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品．现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：⑴先取出的零件是一等品的概率；⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率．（保留三位有效数字）【例13】 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，⑴求先抽到的一份是女生表的概率p ．⑵己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q ．（一） 知识内容事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．（二）典例分析：板块二：事件的独立性cba【例14】 判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．⑵一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐子，再从筐子中任意取出1个，取出的是梨”．⑶甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．【例15】 从甲口袋摸出一个红球的概率是13，从乙口袋中摸出一个红球的概率是12，则23是（ ）A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有一个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率【例16】 猎人在距离100m 处射击一只野兔，其命中率为12．如果第一次射击未命中，则猎人进行第二次射击，但距离为150m ；如果第二次又未命中，则猎人进行第三次射击，但在射击瞬间距离野兔为200m ．已知猎人命中率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率．【例17】 如图，开关电路中，某段时间内，开关a b c 、、开或关的概率均为12，且是相互独立的，求这段时间内灯亮的概率．【例18】 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29． 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率．【例19】 椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012，，的概率分别为0.4，0.5，0.1 ⑴ 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例20】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．【例21】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例22】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例23】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16．现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．【例24】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率；⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率．【例25】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35，试求：⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率．【例26】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．⑴求乙投球的命中率p；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例27】一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿灯的路口，每个信号灯彼此独立工作，且红绿灯信号显示时间相等．以X表示该汽车首次遇到红灯时已通过的路口个数，求X的分布列以及该汽车首次遇到红灯时至少通过两个路口的概率．【例28】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？⑶2人至少有1人射中的概率？⑷2人至多有1人射中的概率？【例29】（07福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：⑴甲试跳三次，第三次才成功的概率；⑵甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；⑶甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．【例30】A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为12，X为比赛需要的场数，求X的分布列及比赛至少要进行6场的概率．【例31】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲、乙分别所需化验次数的分布列以及方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率．【例32】 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P ）和所需费预防措施 甲 乙 丙 丁P0.9 0.8 0.7 0.6 费用（万元）90 60 30 10 120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例33】 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c ，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．⑴ 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵ 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）（一） 知识内容板块三：独立重复试验与二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n nP k p p -=-(0,1,2,,)k n =．2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =． 于是得到由于表中的第二行恰好是二项展开式0()C C C C n n n n n n q p p q p q p q p q +=++++各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．（二）典例分析：【例1】 某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）【例2】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）【例3】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）【例4】 甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）A ．827B ．6481C ．49D ．89【例5】 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（ ）A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.9728【例6】 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例7】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，则家具城返还顾客现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．【例8】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率．【例9】一个口袋中装有n个红球（5n≥且*n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p；⑵若5n=，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？【例10】已知随机变量ξ服从二项分布，1~(4)3Bξ，，则(2)Pξ=等于____【例11】已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6)3Bξ，，则(2)Pξ=等于（）A．316 B．4243C．13243D．80243【例12】从一批由9件正品、3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．【例13】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是13，从B中摸出一个红球的概率为p．⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布．⑵若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p的值．【例14】设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于6581，求事件A在一次试验中发生的概率．【例15】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．如果每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射l枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字）．【例16】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数ξ的概率分布列及至少有一件次品的概率．【例17】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．【例18】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例19】设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1tp eλ-=-，其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正的常数，试讨论飞机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．【例20】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例21】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列；⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．【例22】一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2次的概率相同．令既约分数ij为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求i j+．【例23】某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；【例24】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920，，层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，求至少有两位乘客在20层下的概率．【例25】10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得()k k n≤次红球的概率．【例26】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工．设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01．试求：⑴若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；⑵若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高．【例27】A B，是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12．观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率．（结果保留四位有效数字）【例28】已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）【变式】若甲、乙投篮的命中率都是0.5p=，求投篮n次甲胜乙的概率．（1n n∈N，≥）【例29】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．【例30】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率．【例31】 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人；⑶双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利． 问：对系队来说，哪一种方案最有利？（一） 知识内容二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．（二）典例分析：【例32】 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是______．【例33】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）A ．20B ．25C ．30D ．40【例34】 已知~()X B n p ，，()8E X =，() 1.6D X =，则n 与p 的值分别为（ ） A ．10和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．100和0.8【例35】 某服务部门有n 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（ ）A ．(1)np p -B ．npC ．nD ．(1)p p -【例36】 已知随机变量X 服从参数为60.4，的二项分布，则它的期望()E X =_______，方差()D X =_____．【例37】 已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，则二项分布的参数n ，p 的值板块四：二项分布的期望与分别为__________、_________．【例38】一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）【例39】已知(100.8)X B，，求()E X与()D X．【例40】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20 B．25 C．30 D．40【例41】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121 352，，．⑴现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．【例42】抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．⑴求一次试验中成功的概率；⑵求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差．【例43】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？【例44】某批数量较大的商品的次品率是5%，从中任意地连续取出10件，X为所含次品的个数，求()E X．【例45】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人%的选择相互之间没有影响．⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布和期望．【例46】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布及期望．【例47】某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m n≤）个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．【例48】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410-．10.999⑴求一投保人在一年度内出险的概率p；⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．【例49】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）．⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率．。

可编辑修改精选全文完整版二项分布概率例题及解析二项式概型答题高分策略、模板例析如下：二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→将k值代入求解概率→写出二项分布的分布列.若离散型随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),即其均值和方差的求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式.例1：某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后第2位):(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.思路分析:直接代入公式求解,其中第(2)问可以利用对立事件求概率.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X~B(5,4/5),故其分布列为反思：弄清“5次中有2次准确且第3次准确”表示的意义是求解第(3)问的关键,它表示第3次准确,其他4次有1次是准确的.总结：(1)独立重复实验的条件:①每次试验在相同条件下可重复进行;②各次试验是相互独立的;③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样,用独立重复试验的概率公式计算更简单.(2)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.例2：一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为1/2,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?思路分析:(1)X可能的取值为10,20,100,-200,运用几何概率公式得出相应的概率,得出分布列.(2)利用对立事件求解得出P(A1A2A3)=P(A1)∪P(A2)∪P(A3)=1/8,即可得出1-P(A1A2A3).。