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斐波那契数列（Fibonacci sequence）及相关结论一、定义斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）1202年以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：二、通项公式1、递推公式：2、通项公式：证明一：（构造等比数列）设常数r和s满足：即：则r和s满足如下条件：由韦达定理知，r和s为一元二次方程的两个根，不妨令当n≥3时，有即上式共n-2个式子，累乘得由于，所以有将直到按照上述递推关系式进行展开有可见是首项为，公比为，末项为的等比数列求和，根据等比数列求和公式有将r和s代入得斐波那契数列的通项公式为即方法二：特征根法三、斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列前一项与后一项之比的极限为黄金分割比。
证明：由于因此，斐波那契数列前一项与后一项之比为即当n→+∞时，四、几个重要的结论1、前n项和公式：证明：由于斐波那契数列的通项公式为：其显然是两个等比数列的线性组合，因此我们可以利用等比数列的求和公式来计算斐波那契数列的前n 项和。
这里我们由定义和通项公式可以直接得到如下结论：即成立。
2、奇数项求和证明：3、偶数项求和证明：移项便得到证明。
4、平方求和证明：五、一些重要恒等式注：本内容收集整理于网络，如有错误请指正。
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3)结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
生物学中的斐波那契数列孙王杰;张若东;潘淑霞【摘要】@@ 13世纪意大利著名数学家斐波那契(Fibonacci)在1202年他的著作<算盘书(Liberabaci)>中记载着这样一个有趣的问题:1对刚出生的幼兔(公母各1只)经过1个月可长成成兔,成兔再经过1个月后可以繁殖出1对幼兔.若不计兔子的死亡数,问1年之后共有多少对兔子?这个问题用数学方法进行解决,就成为1个数列,这个数列称为Fibonacci数列.【期刊名称】《吉林医药学院学报》【年(卷),期】2006(027)001【总页数】2页(P27-28)【关键词】斐波那契数列;生物学【作者】孙王杰;张若东;潘淑霞【作者单位】吉林化工学院数理系,吉林,吉林,132022;吉林医药学院数学教研室,吉林,吉林,132001;吉林医药学院数学教研室,吉林,吉林,132001【正文语种】中文【中图分类】R28213世纪意大利著名数学家斐波那契(Fibonacci)在1202年他的著作《算盘书(Liberabaci)》中记载着这样一个有趣的问题：1对刚出生的幼兔(公母各1只)经过1个月可长成成兔，成兔再经过1个月后可以繁殖出1对幼兔。
若不计兔子的死亡数，问1年之后共有多少对兔子？这个问题用数学方法进行解决，就成为1个数列，这个数列称为Fibonacci数列。
1 数学模型对一数列{fn}，把数列中的和前面的fi(0≤i<1)关联起来的方程叫做差分方程，也叫递推关系。
首先，利用表格列出今后各月份兔群的对数(如表1)：表 1 各月份兔群的对数月份01234567……幼兔10112358……成兔011235813……总数1123581321……将兔群总数记为fn，n=0，1，2，……，观察可知，数列{fn}满足下列递推关系：这就是Fibonacci数列，它是一个十分有趣的数列，在自然科学各个领域，都有着非常广泛的应用。
2 模型的应用人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……，所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。
斐波那契数列通项公式的推导
在研究斐波那契数列的性质时，我们可以通过观察序列中的规律来寻找通项公式。
下面我将逐步推导出斐波那契数列通项公式。
首先，我们假设斐波那契数列的通项公式为Fn=a^n，其中a为待定常数。
我们希望通过递推关系式F(n)=F(n-1)+F(n-2)来求解a的值。
将n代入递推关系式中，我们得到：
a^n=a^(n-1)+a^(n-2)
我们可以对上式进行变形，将a^(n-2)提取出来：
a^n-a^(n-1)-a^(n-2)=0
进一步变形得到：
a^(n-2)*(a^2-a-1)=0
上式左边的第一项a^(n-2)不等于零，所以我们可以将方程化简为：a^2-a-1=0
这是一个关于a的二次方程，我们可以使用求根公式来求解。
根据求根公式，可以得到：
a=(1±√5)/2
根据数列的性质，我们知道斐波那契数列的项必须是实数，所以我们选择a=(1+√5)/2作为通项公式的解。
因此，斐波那契数列的通项公式为：
Fn=((1+√5)/2)^n
这就是斐波那契数列通项公式的推导过程。
通过这个公式，我们可以根据任意项的序号n来计算出对应的斐波那契数值Fn。
关于斐波那契数列差分方程模型的建立
摘要
本文主要对斐波那契数列差分方程模型的建立问题做了相关叙述。
针对模型建立过程中斐波那契数列的差分方程以及通项公式求解问题，首先，通过分析建立出模型；其次，利用代数方法和matlab求解该模型对应的特征方程，特征根以及方程通解各项系数，最后得到所求差分方程及通项公式。
关键词：差分方程，特征方程，特征根，通解，通项公式
目录
一、问题重述 ................ 错误！未定义书签。
二、问题分析 ................. 错误！未定义书签。
（1）问题1的分析 (3)
（2）问题2的分析 (3)
三、模型假设 ................. 错误！未定义书签。
四、定义与符号说明 ........... 错误！未定义书签。
五、模型的建立与求解 ......... 错误！未定义书签。
（1）模型建立 ............. 错误！未定义书签。
（2）模型求解 ............. 错误！未定义书签。
六、模型评价与推广 ........... 错误！未定义书签。
七、附录 ..................... 错误！未定义书签。
一、问题重述
假设在某年第一月初有雌雄各一的一对小兔。
假定两个月后这对小兔长成成兔，同时（即第三个月）开始在每月月初产下雌雄各一的一对小兔，新增的小兔也按此规律繁殖。
设在第n个月月末共有n F对兔子，试建立关于n F的差分方程，并求n F的通项公式。
二、问题分析
（1）问题1的分析
通过对问题1分析可知，当月兔子的对数由两部分组成，一部分是上个月的兔子对数，另一部分是本月新生兔子的对数；另第一个月的兔子对数为1，第二个月兔子对数也为1。
由此容易得出：本月兔子对数=上月兔子对数+本月新生兔子对数，从而建立所求差分方程的模型。
（2）问题2的分析
通过对问题2分析可知，要想求出n F的通项公式，必须求出问题1中差分方程的特征根以及其通解各项的系数。
利用高等数学相关知识，可求出差分方程的特征根以及其通解各项的系数，进而求出n F的通项公式。
三、模型假设
（1）假设雌雄兔子同时正常成长；
（2）假设成兔和小兔同步成长，且彼此互不影响；
（3）假设所有兔子的成长环境稳定，不受外界干扰，并严格按照生长规律繁殖。
四、定义与符号说明
n表示第几个月份,(n=1,2,3...)；
n F 表示第n 个月末时兔子的对数；
λ表示特征方程的特征根；
1C ，2C 表示差分方程通解的各项系数。
五、模型的建立与求解
（1）模型建立
12,(2);121,1n n n n F F F F F -->==+⎧⎨==⎩
（2）模型求解 特征方程：
210λλ--=
方程的特征根：
1211,22
λλ+-=
=
由于特征根互异,所以差分方程的通解为
:
1211((22
n n
n F C C +=+
由121,1F F ==
，可求得：1,2C C =
=
所以：11((22n n
n F +-=
故n F
的通项公式为：1122n n
n F =
-
六、模型评价与推广
本模型能给出题目所需求的通项；但此模型基于的是我们的假设，比如：假设雌雄两兔同时出生长大，其繁殖生长不受环境影响且具有严格规律性。
这样在模型的改进方面可以考虑这些方面对模型的影响。
七、附录
Matlab源程序
（1）
clc,clear;
tic
a=1;
b=-1;
c=-1;
d=b*b-4*a*c;
x=[(-b+sqrt(d))/(2*a),(-b-sqrt(d))/(2*a)]
toc
clc,clear;
（2）
tic
syms c1c2; %定义两个符号变量
[c1,c2]=solve('(c1*(1+sqrt(5)))/2+(c2*(1-sqrt(5)))/2=1','(c1*(3+s qrt(5)))/2+(c2*(3-sqrt(5)))/2=1');%定义一个 2x1 的数组，存放c1，c2 A=[(1+sqrt(5))/2,(1-sqrt(5))/2;(3+sqrt(5))/2,(3-sqrt(5))/2];
B=[1;1];
C=A\B %可以看成将（*）式左边都除以系数矩阵A
toc。
