下载文档原格式
斐波那契数列（Fibonacci sequence）及相关结论一、定义斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）1202年以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：二、通项公式1、递推公式：2、通项公式：证明一：（构造等比数列）设常数r和s满足：即：则r和s满足如下条件：由韦达定理知，r和s为一元二次方程的两个根，不妨令当n≥3时，有即上式共n-2个式子，累乘得由于，所以有将直到按照上述递推关系式进行展开有可见是首项为，公比为，末项为的等比数列求和，根据等比数列求和公式有将r和s代入得斐波那契数列的通项公式为即方法二：特征根法三、斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列前一项与后一项之比的极限为黄金分割比。
证明：由于因此，斐波那契数列前一项与后一项之比为即当n→+∞时，四、几个重要的结论1、前n项和公式：证明：由于斐波那契数列的通项公式为：其显然是两个等比数列的线性组合，因此我们可以利用等比数列的求和公式来计算斐波那契数列的前n 项和。
这里我们由定义和通项公式可以直接得到如下结论：即成立。
2、奇数项求和证明：3、偶数项求和证明：移项便得到证明。
4、平方求和证明：五、一些重要恒等式注：本内容收集整理于网络，如有错误请指正。
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3)结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
生物学中的斐波那契数列孙王杰;张若东;潘淑霞【摘要】@@ 13世纪意大利著名数学家斐波那契(Fibonacci)在1202年他的著作<算盘书(Liberabaci)>中记载着这样一个有趣的问题:1对刚出生的幼兔(公母各1只)经过1个月可长成成兔,成兔再经过1个月后可以繁殖出1对幼兔.若不计兔子的死亡数,问1年之后共有多少对兔子?这个问题用数学方法进行解决,就成为1个数列,这个数列称为Fibonacci数列.【期刊名称】《吉林医药学院学报》【年(卷),期】2006(027)001【总页数】2页(P27-28)【关键词】斐波那契数列;生物学【作者】孙王杰;张若东;潘淑霞【作者单位】吉林化工学院数理系,吉林,吉林,132022;吉林医药学院数学教研室,吉林,吉林,132001;吉林医药学院数学教研室,吉林,吉林,132001【正文语种】中文【中图分类】R28213世纪意大利著名数学家斐波那契(Fibonacci)在1202年他的著作《算盘书(Liberabaci)》中记载着这样一个有趣的问题：1对刚出生的幼兔(公母各1只)经过1个月可长成成兔，成兔再经过1个月后可以繁殖出1对幼兔。
若不计兔子的死亡数，问1年之后共有多少对兔子？这个问题用数学方法进行解决，就成为1个数列，这个数列称为Fibonacci数列。
1 数学模型对一数列{fn}，把数列中的和前面的fi(0≤i<1)关联起来的方程叫做差分方程，也叫递推关系。
首先，利用表格列出今后各月份兔群的对数(如表1)：表 1 各月份兔群的对数月份01234567……幼兔10112358……成兔011235813……总数1123581321……将兔群总数记为fn，n=0，1，2，……，观察可知，数列{fn}满足下列递推关系：这就是Fibonacci数列，它是一个十分有趣的数列，在自然科学各个领域，都有着非常广泛的应用。
2 模型的应用人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……，所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。
斐波那契数列通项公式的推导
在研究斐波那契数列的性质时，我们可以通过观察序列中的规律来寻找通项公式。
下面我将逐步推导出斐波那契数列通项公式。
首先，我们假设斐波那契数列的通项公式为Fn=a^n，其中a为待定常数。
我们希望通过递推关系式F(n)=F(n-1)+F(n-2)来求解a的值。
将n代入递推关系式中，我们得到：
a^n=a^(n-1)+a^(n-2)
我们可以对上式进行变形，将a^(n-2)提取出来：
a^n-a^(n-1)-a^(n-2)=0
进一步变形得到：
a^(n-2)*(a^2-a-1)=0
上式左边的第一项a^(n-2)不等于零，所以我们可以将方程化简为：a^2-a-1=0
这是一个关于a的二次方程，我们可以使用求根公式来求解。
根据求根公式，可以得到：
a=(1±√5)/2
根据数列的性质，我们知道斐波那契数列的项必须是实数，所以我们选择a=(1+√5)/2作为通项公式的解。
因此，斐波那契数列的通项公式为：
Fn=((1+√5)/2)^n
这就是斐波那契数列通项公式的推导过程。
通过这个公式，我们可以根据任意项的序号n来计算出对应的斐波那契数值Fn。
![[斐波那契数列]斐波那契—卢卡斯数列：斐波那契—卢卡斯数列](https://uimg.taocdn.com/ff03f3cc227916888586d7b5.webp)
[斐波那契数列]斐波那契—卢卡斯数列：斐波那契—卢卡斯数列[斐波那契数列]斐波那契—卢卡斯数列:斐波那契—卢卡斯数列篇一 : 斐波那契—卢卡斯数列:斐波那契—卢卡斯数列-定义，斐波那契—卢卡斯数卢卡斯数列_斐波那契—卢卡斯数列 -定义,)斐波那契数列1，1，2，3，5，8…，和卢卡斯数列1，3，4，7，11，18…，具有相同的性质:从第三项开始，每一项都等于前两项之和，我们称之为斐波那契—卢卡斯递推。
凡符合斐波那契—卢卡斯递推的数列就称为斐波那契—卢卡斯数列。
一般地，符合f = f+ f，f=f- f的整数数列f，都是斐波那契—卢卡斯数列。
为区别不同的斐波那契—卢卡斯数列，我们根据前两项来标定斐波那契—卢卡斯数列，如斐波那契数列:F[1,1];卢卡斯数列:F[1,3];数列1，4，5，9.，14，23…:F[1,4];特别地，常数数列0，0，0…:F[0,0]，作为下述斐波那契—卢卡斯数列群的单位元素。
别名斐波那契—卢卡斯序列，推广斐波那契数列，推广卢卡斯数列，推广兔子数列等。
斐波那契—卢卡斯数列群任意2个或2个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。
n12345678910…F[1,4]n14591423376097157…F[1,3]n13471118294776123…F[1,4]n-F[1,3]n0112358132134…F[1,4]n+F[1,3]n27916254166 107173280…卢卡斯数列_斐波那契—卢卡斯数列 -斐波那契—卢卡斯数列的性质一些等式 f+f=f*1f+f+f+…+f=f*4f+f+f+…+f=f*11f+f+f+…+f=f*29f+f+f+…+f=f*76注意:1，4，11，29，76，…是卢卡斯数列的奇数项。
数学建模方法之差分方程模型差分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它基于差分方程来描述问题，并用差分方程来求解问题。
所谓差分方程，是指用差分代替微分的方程，它是一种离散的模型。
在实际问题中，很多情况下，并不能直接通过微分方程来描述问题，而差分方程模型则可以通过离散化的方法来近似地描述问题。
差分方程模型的优点之一是可以适用于离散化的数据，对于实际问题的离散化模型建立是非常有帮助的。
差分方程模型的另一个优点是可以通过数值方法来求解，不需要进行繁琐的解析推导，因此适用于复杂问题的求解。
差分方程模型的基本形式为：yn+1 = fn(yn, yn-1, ..., yn-k)其中，yn表示第n个时刻的解，fn是一个给定的函数，表示通过前k个时刻的解来计算第n+1个时刻的解。
这个方程是离散的，通过已知的初始条件来逐步递推获得结果。
差分方程模型的适用范围非常广泛，可以用于描述和预测各种动态过程。
例如，差分方程模型可以用来描述人口增长模型、生态系统模型、传染病模型等等。
在这些例子中，差分方程模型可以通过已知的数据和初始条件来预测未来的发展趋势。
差分方程模型的建立步骤主要包括以下几个方面：1.确定问题的描述和目标：明确问题的背景和目标，确定需要建立差分方程模型的原因和用途。
2.确定模型的变量和参数：根据实际问题，确定需要用到的变量和参数。
3.确定差分方程的形式和函数：根据问题的特点和要求，选择合适的差分方程形式和函数。
这部分需要结合实际问题和数学方法来确定。
4.确定初始条件和边界条件：确定差分方程模型的初始条件和边界条件。
这部分是求解差分方程的前提条件。
5.差分方程的求解和分析：通过数值方法求解差分方程，得到数值解，并对结果进行分析和解释。
斐波那契数列通项公式推导斐波那契数列是数学中一个非常经典的数列，它的定义是从第三项开始，每一项都是前两项的和。
也就是说，斐波那契数列可以用递推的方式来定义，第n项等于第n-1项加上第n-2项。
数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13......要推导斐波那契数列的通项公式，首先需要考虑如何表示第n项。
假设第n项为F(n)，那么可以得到F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
接下来，我们尝试寻找一个形式来表示F(n)。
假设我们猜测F(n)可以表示为a^n乘以一个常数系数，即F(n) = c * a^n。
将这个表达式代入递推公式F(n) = F(n-1) + F(n-2)，可以得到c * a^n = c * a^(n-1) + c * a^(n-2)。
将等式两边同时除以c * a^(n-2)，可以得到a^2 = a + 1。
解这个方程可以得到两个根，分别为(1+√5)/2和(1-√5)/2。
因此，斐波那契数列的通项公式可以表示为F(n) = A * ((1+√5)/2)^n + B * ((1-√5)/2)^n，其中A和B是待定系数。
接下来，我们需要确定系数A和B的值。
可以通过已知的初始条件来求解。
斐波那契数列的初始条件是F(0) = 0，F(1) = 1。
将这两个条件代入通项公式，可以得到A和B的值。
最终，我们得到了斐波那契数列的通项公式：F(n) = (1/√5) *(((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n)。
这个公式可以用来直接计算斐波那契数列中任意一项的值，而不需要通过递推来计算。
斐波那契数列通项公式的推导过程并不复杂，但需要一定的数学知识和技巧。
通过这个公式，我们可以更加方便地计算斐波那契数列中任意项的值，也能更深入地理解斐波那契数列的性质和规律。
希望通过这篇文章的介绍，读者能对斐波那契数列有更深入的了解。
第41卷第4期2021年4月绍兴文理学院学报J0URNAL0F SHA0XING UNIVERSITYVol.41No.4Apr.2021doi：10.16169/j.issn.1008-293x.k.2021.04.014孙建新.一般差分方程的求解方法［J］.绍兴文理学院学报(自然科学),2021,41(4):110-116.一般差分方程的求解方法孙建新(绍兴文理学院数学系，浙江绍兴312000)摘要：差分方程的求解在数学建模中有重要应用，但是求解计算量大、过程复杂.研究差分方程的求解很有必要.本文建立了与常微分方程求解平行的方法，列举了若干差分方程本身特有的十种方法,对每种解法给出相应的应用实例.关键词：差分方程;和分法;特征根法;递推法中图分类号：015文献标志码：A文章编号：1008-293X(2021)04-0110-07收稿日期：2020-06-23作者简介:孙建新(1946—),男，浙江绍兴人，绍兴文理学院数理信息学院副教授，研究方向:离散数学与建模等.E-mail:sunjianxin2@0引言文献［1］和［2］,分别讨论了齐次差分方程与非齐次差分方程的解法,并指出使用阶乘幂可带来方便.本文将列举差分方程的最常见的十种解法.1主要结果所谓差分方程，就是“含有未知离散函数的至少一阶差分的等式”.因为差分算子可以等价地用位移算子代替,且离散函数也可以按习惯等价地用带下标的数列表示,所以差分方程的表达形式大致有四种:(1)匕(A)/(n)=g(n),k e Z*;(2)P k(E)/(n)=h(n),k e Z+;(3)匕(A)f n=g n,k e Z*;(4)P k(E)f n=h n,k e Z*.差分方程的解法有的是与微分方程的解法是平行的，例如微分方程有直接积分法,那么差分方程就有直接和分法；微分方程有分部积分法，那么差分方程就有分部和分法;微分方程有变量代换法,差分方程也有变量代换法；其它如分拆法、级数展开法,以及线性方程的特征根法,无论是微分方程还是差分方程都适用.差分方程的解法有的是与微分方程的解法不同的，例如微分方程相当于步长为0,但是差分方程的步长不是0,但是可以变动步长；又如差分方程可以使用递推法求解,而微分方程却不行;特别地，差分方程的假借法是一种仅仅适用于离散函数的特殊解法,它也不适用于微分方程的求解.2求解方法下面将一般差分方程常见的十种求解方法第4期孙建新:一般差分方程的求解方法111介绍于下:2.1和分法若函数的差分为“和分表”上的函数或“拟初等函数”，则可以直接和分求出原函数.例1求差分方程A x H=n,3的解.⑷4解=A"1n,3=4+c.例2求差分方程A x n=1/n-3的解.一11解X n=A一1(1/n3)=A-T1^+ C3—1—1=-----------,2+C.2n T2例3求差分方程A轴二3-的解.解仏=A-1(3")=3一1+c=；"+c.例4求差分方程A%=ln(1+-10的解解X"=A-1ln(1+—0=A-1ln("^0=ln(n)+c.例5求差分方程A X"=sin,(n)的解.解X"=A一1sin,(n)=-cos-(n)+c.例6求差分方程A2x n=cos(n)的解.cos［n-；］解注意到A-1sin(n)=--------------1-----；2sin2sin［n一斗jA-1cos(n)二一'20.可得2sin2.r1)sin I n—A A-1()\2丿A X n=A cos(n)=-------------------C［；r r1j)a-1l2丿x-=A------1—+C1-cos(n—1)71j+C1n+C2-2.2分拆法若函数的差分可以分拆为若干“和分表”上的函数或“拟初等函数”，则可用分拆法.例7求差分方程(n-3+ 1)(n-3一1)的解.A Xn,3因为(n，3+1)(n-3-1)解n T44X n=A-n,3n,3-1,所以n,3-----------------------+c2("一1)T21+2(n—1)例8求差分方程An T44ch(n)的解.+c.,2X n=e n+e-n解因为ch(n)2，所以n-ne+eX"=A「l2-"e+c.=+2(e-1)2(e-1—1)例9求差分方程A X"=2sin I n+的解.X n解因为2sin(n+j=sin(n)+cos(n),所以A一1(sin(n)+cos(n))一…r一丄］、•r一丄］cos1"2丿sin l"2丿2吋2j2吋1j.r1j r1jl2丿l2丿+2sin r2j c112绍兴文理学院学报( 自然科学)第 41 卷例10求差分方程△轴二sin]f j 的解.解 因为 sin 20 = 2 - ±cos( n ),所以x = A -11----------cos( n ) |n 12 2 丿2. 3分部和分法若求乘积的和分，则可用分部和分法.公式为△ -1( =/•&- a -1( E f ・、g ).例11求差分方程a x n = n , 2 • a n 的解.解 因为A -1 a " = a "/(a - 1),所以x ” = A -1 (n , 2 • A a "/(a - 1))-A -1 f ------1 a " • A n , 2n ,2・a a 一1n ,2・”a a 一1n ,2・”aa 一1n ,2°”a -A -112n • A a nf (a - 1) 2- △ -11 a-严 A2 ”-2n -------a —- a "(a - 1) 2a-1.( a 2 a ”+ A -11 2 厂 A nf (a- 1) 2n , 2 • a n 2n - a n+12A a n+2+ -------------------a － 1(a － 1 ) 2 (a － 1 )例12求差分方程A x n =n • cos ( n ) 的解.解 因为12A -1 cos( n ) = sin I n， 所以x ” = A -11 n • Asin I n12• ( 1n • sin I n -丄 cos (n )丄++ c.4sin 2例13求差分方程A x ”=n ( n ) 的解. 解 因为 A -1 cos , (n ) = sin , (n ),所以x ” = A -1 (n ■ A sin , (n ))=n • sin , (n ) 一 A 1 (sin , (n + 1) • A n ) =n • sin , (n ) + cos , (n + 1) + c.例14 求差分方程A x ” = 2” • sin , (n ) 的解.解 因为A -12”= 2”,所以x ” = A -1 (2” • sin , (n ))=A -1 (sin , (n ) • A 2”)=2” • sin , (n ) - A -1 (2”*1 • A sin , (n ))=2” • sin , (n ) - A -1 (A2"+1 • cos , (n ))=2” • sin , (n ) - 2”+1 • cos , (n )+ A -1 (2”+2 - A cos , (n ))=2” • sin , (n ) - 2 • 2” • cos , (n )-4 • A -1 (2” • sin , (n ))=2” • sin , (n ) - 2”+1 • cos , (n ) - 4 x ”.整理可得2” • sin , (n ) - 2”+1 • cos , (n )2.4步长变动法若求复合函数的和分，可使用步长变动法.法则 1 设y =/{"} ,"=g (x ).若h = A " =g (x + 1) - g (x ) ,△/(u )=/(u + h ) _/(u ) =h (u ).贝」代u ) = Ah 1 {h (u ) }-法则 2 设y =/{u } ,u = g (x ).若l = % = g (x ) - g (x - 1),乂/( u ) = /( u ) -/( u - l ) =H ( u ).则/(u ) = v -1 {H (u ) }.法则3因为A h x M (h) = M • x !ih),所以第4期孙建新:一般差分方程的求解方法113兀!k+1(h){%!k(h)}=(k*1)h*c-法则4因为V;x!k")=kl-x[S所以k*1(l)V3k(l)}=-------------*c.I'J(k+1)l法则5若h=A u,则A h1{a“•(a Au-1)}=法则6若h=V u,贝」V-1{a u-(1-a-V)}法则7若h=A u，则ua c.u a c.sin(u)+c；法则8若h=A u,则A{sin〉sin]u+T}}=-cos(u)+c；若h=V u，则V-{sin•sin(u -y0}=-y cos(u)+c例15求差分方程A x n=cos(2n-1)的解.解取u=2n-1，则h=A u=A(2n)=2，所以A{cos(u)}=sin(u D2sin(1)*csin(2n-2)=2sin(1)*c例16求差分方程A暂=2s(4n-1)的解.解取u=n,2,则h=A u=A(n,2)=2n,所以由法则5有誓=A-1{2n!2(4n-1)}=A1{2u(2Au-1)} =2u*c=2n!2+c.例17求差分方程A x n=sin(n)cos(n2)的解.解因为u=[u+20-2=n2-n=n,2h=A u=A(n,2)=2n,所以x n=A1{sin(n)cos(n2)}一J.(h)(h))h12丿I20/=1(u)*c=1(n)*c.=sin(u)*c=sin(n,2)+c.例18求差分方程A=sin,(2n)的解.解若取u=2n，则h=A u=A(2n)=2，所以叫=A-1{sin!(2n)}=a,{sin,(u)}=-cos,(u)+c=—cos,(2n)+c.2.5递推法利用差分关系以及初始条件递推得出一般解的方法.例19求差分方程％*1=a n k x n的解.解x n*1=a n k x H=a n A a(n-1)k x n-12k=a(n!2)兀n-1=…=a(n,J k X u-r*1n k n k=a(n,n)兀n-n*1=a(n')兀「即叫=广1((n- 1)!)例20求差分方程初值问题A2%=n,2，衍=1,%1=2的解.解由A2x n=n,2可得X n*2-2X n*1*=n,2，即X n*2-X n*1=X n*1-X n*n,2=X n-X n-1+(n—1),2*n,2=.…二兀1-兀0+°+°+2,2+n(n*1),3 3,2+.八*n,2=2—1+ 乂k,2=1*-----------------.•k=1•3即=**(n*1),3叫*2=叫*1*1*3-相当于(n-1),3%=兀n-1*1*3-递推可得114绍兴文理学院学报(自然科学)第41卷(n一1),3X"=X"-1+ 1+ 3=X"-2+2(n一2),3(n一1),3++=…332.6变量代换法若能找到新的离散函数其差分关系更为简单,则可用变量代换法.例21求差分方程x”+1=^2—X"的解.n+1解原方程可化为(n+1)x”+1=2-X".令y”=nX”，则有y”+1=2y”.于是"X"==2"-b]=2"-1(1X1).解得2"-1x”=X1-n例22求差分方程X n+1=2"+2X"的解.n解原方程可化为X"+'=2X".令y-=X",+1则有y-+1=2y”.于是y”=2"-1y1=2"-1X1.解得X"=n y-=n2"1X1.n=1,2,….2.7待定函数法若能估计差分方程的解的函数类型，则可以使用待定函数法.例23求差分方程A X"=kX"的解.解可设X"=a".于是A+1X—―A a―a a―(a1)a―k x—―k a.即得a—1=k,a=k+1.所以X"=a"+c=(k+1)"+c.例24求差分方程A X"— (x")r-X",x0—3的解.其中r护0.解A X"=X"+1-X"=(X")'-X".即X"+1=(X")r可设X"=a b\于是有b n+x b A b n b-r r A b na=a=(a)=a.可得b=r,X"=a"又由初始条件x0—3,得到a r°—a'=a=3.于是方程的特解为X"-3r".特别地，对于r—2,有A X"—(X")2—X", X0—3的解为X"—32";而对于r―一1,有x”+1—丄，Xx0—3的解为X"—3(-1)2.8特征根法若为常系数的线性差分方程，可以采用特征根法来求解.常系数的线性差分方程将在文献[3]与[4]作专门介绍，此处仅举一例：例25求差分方程X”+2-X-+1+X-, X0—X1—1的解.解本题模型来自著名的斐波那契兔子问题.原方程可化为X"+2-X"+1-X"—0.不妨设X"-入"，代入即得入"+2一入"+1一X”—X"(A2一X-1)—0.若X—0,则X”—0为平凡解，不合题意.若X护0,则有X2一X-1—0.上式称为原差分方程对应的特征方程，其中X称为特征根.由特征方程可以求出特征根为X11+-]51-丿5一，X°=—于是X”-C]X]"+c2X2".由初值条件，可得c 与C2的方程组尸1+c2=1；c1X1+C，2X2—1.X1=X2c—------5于是原方程的解是第4期孙建新:一般差分方程的求解方法115XQ1-X2"+11+51—5 X-=,X1=,X2=.7522特别地有x0—1,x1—1 ,x2—2,x3—3,x4—5, X5=8,…2.9假借法若证明差分方程的解由已知的其它离散函数构成，则可以使用假借法.例26求差分方程x”+1=—^,x0—0的解.X-+1解可设X-+1-y"，即X"=y"-1则由已知方y”+1y”程可得-Z Z:0(-1)心畀;+；)T A-1n-k k=0J-0J!(k-J)!=k(一1)k-ln(1+〃)z Z厂0j!(k—j)!k+1例28求差分方程A X"=arcsin X的解.解由阶乘幂展开公式可得arcsin X=十(2k-1)!!12k+1=Z(2k)!!于是A-1arcsin x(2k-1)!!X"n!k+12k+s2(2k+1,)X!ry"11y"X..—-----—----------—-------------—--------------.y"可得y”+1=y--1+y”.又011y。
关于斐波那契数列差分方程模型的建立摘要本文主要对斐波那契数列差分方程模型的建立问题做了相关叙述。
针对模型建立过程中斐波那契数列的差分方程以及通项公式求解问题，首先，通过分析建立出模型；其次，利用代数方法和matlab求解该模型对应的特征方程，特征根以及方程通解各项系数，最后得到所求差分方程及通项公式。
关键词：差分方程，特征方程，特征根，通解，通项公式目录一、问题重述 ................ 错误！未定义书签。
二、问题分析 ................. 错误！未定义书签。
（1）问题1的分析 (3)（2）问题2的分析 (3)三、模型假设 ................. 错误！未定义书签。
四、定义与符号说明 ........... 错误！未定义书签。
五、模型的建立与求解 ......... 错误！未定义书签。
（1）模型建立 ............. 错误！未定义书签。
（2）模型求解 ............. 错误！未定义书签。
六、模型评价与推广 ........... 错误！未定义书签。
七、附录 ..................... 错误！未定义书签。
一、问题重述假设在某年第一月初有雌雄各一的一对小兔。
假定两个月后这对小兔长成成兔，同时（即第三个月）开始在每月月初产下雌雄各一的一对小兔，新增的小兔也按此规律繁殖。
设在第n个月月末共有n F对兔子，试建立关于n F的差分方程，并求n F的通项公式。
二、问题分析（1）问题1的分析通过对问题1分析可知，当月兔子的对数由两部分组成，一部分是上个月的兔子对数，另一部分是本月新生兔子的对数；另第一个月的兔子对数为1，第二个月兔子对数也为1。
由此容易得出：本月兔子对数=上月兔子对数+本月新生兔子对数，从而建立所求差分方程的模型。
（2）问题2的分析通过对问题2分析可知，要想求出n F的通项公式，必须求出问题1中差分方程的特征根以及其通解各项的系数。
关于斐波那契数列差分方程模型的建立
摘要
本文主要对斐波那契数列差分方程模型的建立问题做了相关叙述。
针对模型建立过程中斐波那契数列的差分方程以及通项公式求解问题，首先，通过分析建立出模型；其次，利用代数方法和matlab求解该模型对应的特征方程，特征根以及方程通解各项系数，最后得到所求差分方程及通项公式。
关键词：差分方程，特征方程，特征根，通解，通项公式
目录
一、问题重述 ................ 错误！未定义书签。
二、问题分析 ................. 错误！未定义书签。
（1）问题1的分析 (3)
（2）问题2的分析 (3)
三、模型假设 ................. 错误！未定义书签。
四、定义与符号说明 ........... 错误！未定义书签。
五、模型的建立与求解 ......... 错误！未定义书签。
（1）模型建立 ............. 错误！未定义书签。
（2）模型求解 ............. 错误！未定义书签。
六、模型评价与推广 ........... 错误！未定义书签。
七、附录 ..................... 错误！未定义书签。
一、问题重述
假设在某年第一月初有雌雄各一的一对小兔。
假定两个月后这对小兔长成成兔，同时（即第三个月）开始在每月月初产下雌雄各一的一对小兔，新增的小兔也按此规律繁殖。
设在第n个月月末共有n F对兔子，试建立关于n F的差分方程，并求n F的通项公式。
二、问题分析
（1）问题1的分析
通过对问题1分析可知，当月兔子的对数由两部分组成，一部分是上个月的兔子对数，另一部分是本月新生兔子的对数；另第一个月的兔子对数为1，第二个月兔子对数也为1。
由此容易得出：本月兔子对数=上月兔子对数+本月新生兔子对数，从而建立所求差分方程的模型。
（2）问题2的分析
通过对问题2分析可知，要想求出n F的通项公式，必须求出问题1中差分方程的特征根以及其通解各项的系数。
利用高等数学相关知识，可求出差分方程的特征根以及其通解各项的系数，进而求出n F的通项公式。
三、模型假设
（1）假设雌雄兔子同时正常成长；
（2）假设成兔和小兔同步成长，且彼此互不影响；
（3）假设所有兔子的成长环境稳定，不受外界干扰，并严格按照生长规律繁殖。
四、定义与符号说明
n表示第几个月份,(n=1,2,3...)；
n F 表示第n 个月末时兔子的对数；
λ表示特征方程的特征根；
1C ，2C 表示差分方程通解的各项系数。
五、模型的建立与求解
（1）模型建立
12,(2);121,1n n n n F F F F F -->==+⎧⎨==⎩
（2）模型求解 特征方程：
210λλ--=
方程的特征根：
1211,22
λλ+-=
=
由于特征根互异,所以差分方程的通解为
:
1211((22
n n
n F C C +=+
由121,1F F ==
，可求得：1,2C C =
=
所以：11((22n n
n F +-=
故n F
的通项公式为：1122n n
n F =
-
六、模型评价与推广
本模型能给出题目所需求的通项；但此模型基于的是我们的假设，比如：假设雌雄两兔同时出生长大，其繁殖生长不受环境影响且具有严格规律性。
这样在模型的改进方面可以考虑这些方面对模型的影响。
七、附录
Matlab源程序
（1）
clc,clear;
tic
a=1;
b=-1;
c=-1;
d=b*b-4*a*c;
x=[(-b+sqrt(d))/(2*a),(-b-sqrt(d))/(2*a)]
toc
clc,clear;
（2）
tic
syms c1c2; %定义两个符号变量
[c1,c2]=solve('(c1*(1+sqrt(5)))/2+(c2*(1-sqrt(5)))/2=1','(c1*(3+s qrt(5)))/2+(c2*(3-sqrt(5)))/2=1');%定义一个 2x1 的数组，存放c1，c2 A=[(1+sqrt(5))/2,(1-sqrt(5))/2;(3+sqrt(5))/2,(3-sqrt(5))/2];
B=[1;1];
C=A\B %可以看成将（*）式左边都除以系数矩阵A
toc。
