天津市东丽区届九年级数学上学期期末考试

2016-2017学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，则取到的是一个白球的概率为（）A．B．C．D．2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．23．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C． D．4．（3分）抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3） C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）5．（3分）下列判断中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠AOB=100°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=3，DE=1，则线段BD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．28．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定9．（3分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．201010．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．1011．（3分）函数y=x2﹣2x﹣3中，当﹣2≤x≤3时，函数值y的取值范围是（）A．﹣4≤y≤5 B．0≤y≤5 C．﹣4≤y≤0 D．﹣2≤y≤312．（3分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F是BE的中点．若将△ADE绕点A旋转一周，则线段AF长度的取值范围是（）A．≤AF≤B．2≤AF≤3 C．≤AF≤3 D．≤AF≤二．填空题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=．14．（3分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=．15．（3分）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x时，y随x的增大而减小．16．（3分）圆内接正六边形的边心距为2cm，则这个正六边形的面积为cm2．17．（3分）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O 相交于点E、F，则EF的长是．18．（3分）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤a=b，你认为其中正确信息的个数有个．三、解答题（本大题共66分）19．（8分）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）20．（9分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．21．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦ED=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（Ⅰ）∠ECB=∠BAD；（Ⅱ）BE是⊙O的切线．22．（10分）已知：抛物线有=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求△ABP的面积．23．（10分）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．（10分）如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD 到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．连结AE′、BF′．（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°，AB=2时，求：①∠AE′O的度数；②BF′的长度．25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P 的横坐标为m．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．2016-2017学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，则取到的是一个白球的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵袋子中共有5个球，其中白球有3个，∴取到的是一个白球的概率为，故选：C．2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【解答】解：把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，解得m=0．故选B．3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．4．（3分）抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3） C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【解答】解：抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（﹣2，3）．故选C．5．（3分）下列判断中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【解答】解：A、等弧是能重合的两弧，长度相等的弧不一定是等弧，故选项错误；B、平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧，注意被平分的弦不是直径，故选项错误；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，正确，故选项正确；D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故选项错误．故选C．6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠AOB=100°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°【解答】解：∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，∴∠AOB=2∠ACB，∵∠AOB=100°，∴∠ACB=50°，故选B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=3，DE=1，则线段BD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．2【解答】解：由旋转的性质可知：BC=DE=1，AB=AD∵在RT△ABC中，AC=3，BC=1，∠ACB=90°，∴由勾股定理得：AB=AD==又旋转角为90°，∴∠BAD=90°，∴在RT△ADB中，BD==2即：BD的长为2故：选A8．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．9．（3分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．2010【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m+2016=m2﹣m﹣1+2017=2017．故选C．10．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．10【解答】解：解方程x2﹣4x+3=0，（x﹣1）（x﹣3）=0解得x1=3，x2=1；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选：B．11．（3分）函数y=x2﹣2x﹣3中，当﹣2≤x≤3时，函数值y的取值范围是（）A．﹣4≤y≤5 B．0≤y≤5 C．﹣4≤y≤0 D．﹣2≤y≤3【解答】解：∵y=x2﹣2x﹣3，∴抛物线对称轴为x=﹣=1，开口向上，又∵2≤x≤3，∴x=1时，函数y有最小值﹣4；x=﹣2时，函数y有最大值5，即﹣4≤y≤5．故选A．12．（3分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F是BE的中点．若将△ADE绕点A旋转一周，则线段AF长度的取值范围是（）A．≤AF≤B．2≤AF≤3 C．≤AF≤3 D．≤AF≤【解答】解：根据旋转的特性，画出E点旋转一圈的轨迹，如图．结合图形可知：①当E落在E′位置时，AF最大，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，∴AB==4，AE′==，BE′=AB﹣AE′=4﹣，∵F是BE′的中点，∴BF=BE′=，AF=AB﹣BF=4﹣=；②当E落在E″位置时，AF最小，∵BE″=AB+AE″=4+，且F是BE″的中点，∴BF=BE″=，AF=AB﹣BF=4﹣=．综合①②可知：≤AF≤．故选A．二．填空题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=3．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=3，故答案为：3．14．（3分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC= 4cm．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=AB=3cm，∴OC==4（cm）．故答案是：4cm．15．（3分）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x＜2时，y随x的增大而减小．【解答】解：在y=（x﹣2）2+3中，a=1，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为x=2，当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．故答案为：＜2．16．（3分）圆内接正六边形的边心距为2cm，则这个正六边形的面积为24 cm2．【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG=2，∠AOG=30°，∵OG=OA•cos 30°，∴OA===4cm，∴这个正六边形的面积为6××4×2=24cm2．故答案为：24．17．（3分）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O 相交于点E、F，则EF的长是4．【解答】解：如图所示，∵PC是∠APB的角平分线，∴∠APC=∠CPB，∴=，∴AC=BC；∵AB是直径，∴∠ACB=90°．即△ABC是等腰直角三角形．连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB；∴OC⊥EF，OD=OC=2．连接OE，根据勾股定理，得：DE==2，∴EF=2ED=4．故答案是：4．18．（3分）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤a=b，你认为其中正确信息的个数有4个．【解答】解：①∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣=﹣，∴3b=2a，则a=b，∴b＜0，∵图象与x轴交与y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故此选项正确；③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴b﹣b+c＞0，∴b+2c＞0，故此选项正确；④当x=﹣时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a﹣2b+4c＞0，故此选项正确．故正确的有4个．故答案为：4．三、解答题（本大题共66分）19．（8分）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）【解答】解：由原方程，得（3x+2）（x﹣2）=0，所以3x+2=0或x﹣2=0，解得x1=﹣，x2=2．20．（9分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．【解答】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，∴两个数字的积为奇数的概率为：=．21．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦ED=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（Ⅰ）∠ECB=∠BAD；（Ⅱ）BE是⊙O的切线．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ECB=∠BAD；（Ⅱ）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线．22．（10分）已知：抛物线有=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求△ABP的面积．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣5），所以y=﹣x2+4x+5，所以b=4，c=5；（2）因为y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，则P点坐标为（2，9），所以△ABP的面积=×6×9=27．23．（10分）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．【解答】解：（1）∵大长方形的周长为6m，宽为xm，∴长为m，∴y=x•=﹣（0＜x＜2），（2）由（1）可知：y和x是二次函数关系，a=﹣＜0，∴函数有最大值，m2，当x=﹣时，y最大=答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．24．（10分）如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD 到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．连结AE′、BF′．（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°，AB=2时，求：①∠AE′O的度数；②BF′的长度．【解答】解：（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，又∵OF=2OA，OE=2OD，∴OE=OF，则OE′=OF′，在△AOE′和△BOF′中，，∴△A OE′≌△BOF′∴AE′=BF′；（2）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，∴∠AOE′=90°﹣30°=60°，∴△OME′是等边三角形，又∵AM=OA，∴AE′⊥OM，则∠E′AO=90°，∴∠AOE′=90°﹣α=60°，∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°；②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°，∴∠AOF′=30°，又∵∠AOB=90°，∴∠BOF′=60°，又∵等腰直角△AOB中，OB=AB=，∴在Rt△ABE'中得到AE'=OA=，又BF'=AE'∴BF′=．25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P 的横坐标为m．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．【解答】解：（1）∵抛物线过A、C两点，∴代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，∵B点在A点右侧，∴B点坐标为（3，0），设直线BC解析式为y=kx+s，把B、C坐标代入可得，解得，∴直线BC解析式为y=﹣x+3；（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），∵P在线段OB上运动，∴M点在N点上方，∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，MN有最大值，MN的最大值为；（3）∵PM⊥x轴，∴MN∥OC，当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，当点P在线段OB上时，则有MN=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=3，此方程无实数根，当点P不在线段OB上时，则有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，∴m2﹣3m=3，解得m=或m=，综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或．。

绝密★启用前2017届天津市东丽区九年级上学期期末考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：78分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（题型注释）1、已知△和△都是等腰直角三角形，，，，是的中点．若将△绕点旋转一周，则线段长度的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A试卷第2页，共19页【解析】过点A 以AE 长为半径作圆，可知当AF 最大与最小时，E 点与AB 共线，由此可得出AF 的范围本题解析：根据旋转的特性，画出E 点旋转一圈的轨迹，如图:结合图形可知：①当E 落在E′位置时，AF 最大，∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90∘,AC=2，AD=1，∴AB==4, AE=AE ＇==, BE ＇=AB−AE′=4−，∵F 是BE′的中点，∴BF=BE′=, AF=AB−BF=4− =；②当E 落在E″位置时，AF 最小， ∵BE″=AB+AE″=4+，且F 是BE″的中点，∴BF=BE″=，AF=AB−BF=4−=.综合①②可知： ⩽AF ⩽故选A.考点：旋转的性质 2、函数中，当时，函数值的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先根据抛物线的解析式判断出其开口方向，再把原式化为顶点式的形式，求出其顶点坐标坐标，根据抛物线的对称性即可得出结论.本题解析：∵函数y="x" ²−2x-3中，a=1>0，∴此抛物线开口向上，∵此函数可化为：y=(x−1) ²-4，∴其顶点坐标为：(1,-4)，∴当x=1时此函数取得最小值y=-4；当x=-2时此函数取得最大值y=5，∴函数y的取值范围为：-4⩽y⩽5.故选A.考点：二次函数的性质3、已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长是（）A．5B．7C．5或7D．10【答案】B【解析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．本题解析：x ²-4x+3=0(x−3)(x−1)=0，x−3=0或x−1=0，所以x ₁="3,x" ₂=1，当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，所以三角形的周长为7.故答案为7.考点：解一元二次方程-因式分解法, 三角形三边关系, 等腰三角形的性质4、已知抛物线，与轴的一个交点为，则代数式的值为（）试卷第4页，共19页A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由点（m ，0）在抛物线y=x2-x-1上，可得出m2-m-1=0，将其代入m2-m+2016中即可得出结论．本题解析: ∵抛物线y=x2−x−1与x 轴的一个交点为(m,0)， ∴m2−m−1=0，∴m2−m+2016=m2−m−1+2017=2017. 故选C.考点：抛物线与x 轴的交点 5、如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转，得到△，连接，若，，则线段的长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据旋转的性质可知：DE=BC=1，AB=AD ，应用勾股定理求出AB 的长；又由旋转的性质可知：∠BAD=90°，再用勾股定理即可求出BD 的长 本题解析:解：由旋转的性质得到：,∠BAD=90°∴AC=AE=3 BC=DE=1 AB="AD" ， ∵∠ACB=90° ∴ AB="AD=" =在RT △BAD 中,根据勾股定理得：BD= ==2故选A6、如图，是⊙的弦，点在圆上，已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】直接根据圆周角定理进行解答即可.本题解析: ∵ = ∴∠ACB=故选B7、下列判断中正确的是（ ） A ．长度相等的弧是等弧B ．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C ．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D ．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【答案】C【解析】根据等弧概念对A 进行判断,根据垂径定理对B 、C 、D 选项进行逐一判断即可． 本题解析:A.能够互相重合的弧,叫等弧,不但长度相等而且半径相等.故本选项错误.B. 由垂径定理可知平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的两条弧，而不是直线,也未注明被平分的弦不是直径，故选项B 错误；C. 由垂径定理可知弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧，故选项C 正确D.由垂径定理可知平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦,而不是直线.故本选项错误。

2016-2017学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，则取到的是一个白球的概率为（）A．B．C．D．2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．23．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C． D．4．（3分）抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3） C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）5．（3分）下列判断中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠AOB=100°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=3，DE=1，则线段BD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．28．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定9．（3分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．201010．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．1011．（3分）函数y=x2﹣2x﹣3中，当﹣2≤x≤3时，函数值y的取值范围是（）A．﹣4≤y≤5 B．0≤y≤5 C．﹣4≤y≤0 D．﹣2≤y≤312．（3分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F是BE的中点．若将△ADE绕点A旋转一周，则线段AF长度的取值范围是（）A．≤AF≤B．2≤AF≤3 C．≤AF≤3 D．≤AF≤二．填空题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=．14．（3分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=．15．（3分）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x时，y随x的增大而减小．16．（3分）圆内接正六边形的边心距为2cm，则这个正六边形的面积为cm2．17．（3分）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O 相交于点E、F，则EF的长是．18．（3分）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤a=b，你认为其中正确信息的个数有个．三、解答题（本大题共66分）19．（8分）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）20．（9分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．21．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦ED=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（Ⅰ）∠ECB=∠BAD；（Ⅱ）BE是⊙O的切线．22．（10分）已知：抛物线有=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求△ABP的面积．23．（10分）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．（10分）如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD 到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．连结AE′、BF′．（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°，AB=2时，求：①∠AE′O的度数；②BF′的长度．25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P 的横坐标为m．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．2016-2017学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，则取到的是一个白球的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵袋子中共有5个球，其中白球有3个，∴取到的是一个白球的概率为，故选：C．2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【解答】解：把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，解得m=0．故选B．3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．4．（3分）抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3） C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【解答】解：抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（﹣2，3）．故选C．5．（3分）下列判断中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【解答】解：A、等弧是能重合的两弧，长度相等的弧不一定是等弧，故选项错误；B、平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧，注意被平分的弦不是直径，故选项错误；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，正确，故选项正确；D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故选项错误．故选C．6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠AOB=100°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°【解答】解：∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，∴∠AOB=2∠ACB，∵∠AOB=100°，∴∠ACB=50°，故选B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=3，DE=1，则线段BD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．2【解答】解：由旋转的性质可知：BC=DE=1，AB=AD∵在RT△ABC中，AC=3，BC=1，∠ACB=90°，∴由勾股定理得：AB=AD==又旋转角为90°，∴∠BAD=90°，∴在RT△ADB中，BD==2即：BD的长为2故：选A8．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．9．（3分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．2010【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m+2016=m2﹣m﹣1+2017=2017．故选C．10．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．10【解答】解：解方程x2﹣4x+3=0，（x﹣1）（x﹣3）=0解得x1=3，x2=1；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选：B．11．（3分）函数y=x2﹣2x﹣3中，当﹣2≤x≤3时，函数值y的取值范围是（）A．﹣4≤y≤5 B．0≤y≤5 C．﹣4≤y≤0 D．﹣2≤y≤3【解答】解：∵y=x2﹣2x﹣3，∴抛物线对称轴为x=﹣=1，开口向上，又∵2≤x≤3，∴x=1时，函数y有最小值﹣4；x=﹣2时，函数y有最大值5，即﹣4≤y≤5．故选A．12．（3分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F是BE的中点．若将△ADE绕点A旋转一周，则线段AF长度的取值范围是（）A．≤AF≤B．2≤AF≤3 C．≤AF≤3 D．≤AF≤【解答】解：根据旋转的特性，画出E点旋转一圈的轨迹，如图．结合图形可知：①当E落在E′位置时，AF最大，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，∴AB==4，AE′==，BE′=AB﹣AE′=4﹣，∵F是BE′的中点，∴BF=BE′=，AF=AB﹣BF=4﹣=；②当E落在E″位置时，AF最小，∵BE″=AB+AE″=4+，且F是BE″的中点，∴BF=BE″=，AF=AB﹣BF=4﹣=．综合①②可知：≤AF≤．故选A．二．填空题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=3．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=3，故答案为：3．14．（3分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC= 4cm．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=AB=3cm，∴OC==4（cm）．故答案是：4cm．15．（3分）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x＜2时，y随x的增大而减小．【解答】解：在y=（x﹣2）2+3中，a=1，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为x=2，当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．故答案为：＜2．16．（3分）圆内接正六边形的边心距为2cm，则这个正六边形的面积为24 cm2．【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG=2，∠AOG=30°，∵OG=OA•cos 30°，∴OA===4cm，∴这个正六边形的面积为6××4×2=24cm2．故答案为：24．17．（3分）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O 相交于点E、F，则EF的长是4．【解答】解：如图所示，∵PC是∠APB的角平分线，∴∠APC=∠CPB，∴=，∴AC=BC；∵AB是直径，∴∠ACB=90°．即△ABC是等腰直角三角形．连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB；∴OC⊥EF，OD=OC=2．连接OE，根据勾股定理，得：DE==2，∴EF=2ED=4．故答案是：4．18．（3分）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤a=b，你认为其中正确信息的个数有4个．【解答】解：①∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣=﹣，∴3b=2a，则a=b，∴b＜0，∵图象与x轴交与y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故此选项正确；③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴b﹣b+c＞0，∴b+2c＞0，故此选项正确；④当x=﹣时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a﹣2b+4c＞0，故此选项正确．故正确的有4个．故答案为：4．三、解答题（本大题共66分）19．（8分）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）【解答】解：由原方程，得（3x+2）（x﹣2）=0，所以3x+2=0或x﹣2=0，解得x1=﹣，x2=2．20．（9分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．【解答】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，∴两个数字的积为奇数的概率为：=．21．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦ED=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（Ⅰ）∠ECB=∠BAD；（Ⅱ）BE是⊙O的切线．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ECB=∠BAD；（Ⅱ）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线．22．（10分）已知：抛物线有=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求△ABP的面积．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣5），所以y=﹣x2+4x+5，所以b=4，c=5；（2）因为y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，则P点坐标为（2，9），所以△ABP的面积=×6×9=27．23．（10分）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．【解答】解：（1）∵大长方形的周长为6m，宽为xm，∴长为m，∴y=x•=﹣（0＜x＜2），（2）由（1）可知：y和x是二次函数关系，a=﹣＜0，∴函数有最大值，m2，当x=﹣时，y最大=答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．24．（10分）如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD 到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．连结AE′、BF′．（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°，AB=2时，求：①∠AE′O的度数；②BF′的长度．【解答】解：（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，又∵OF=2OA，OE=2OD，∴OE=OF，则OE′=OF′，在△AOE′和△BOF′中，，∴△A OE′≌△BOF′∴AE′=BF′；（2）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，∴∠AOE′=90°﹣30°=60°，∴△OME′是等边三角形，又∵AM=OA，∴AE′⊥OM，则∠E′AO=90°，∴∠AOE′=90°﹣α=60°，∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°；②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°，∴∠AOF′=30°，又∵∠AOB=90°，∴∠BOF′=60°，又∵等腰直角△AOB中，OB=AB=，∴在Rt△ABE'中得到AE'=OA=，又BF'=AE'∴BF′=．25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P 的横坐标为m．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．【解答】解：（1）∵抛物线过A、C两点，∴代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，∵B点在A点右侧，∴B点坐标为（3，0），设直线BC解析式为y=kx+s，把B、C坐标代入可得，解得，∴直线BC解析式为y=﹣x+3；（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），∵P在线段OB上运动，∴M点在N点上方，∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，MN有最大值，MN的最大值为；（3）∵PM⊥x轴，∴MN∥OC，当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，当点P在线段OB上时，则有MN=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=3，此方程无实数根，当点P不在线段OB上时，则有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，∴m2﹣3m=3，解得m=或m=，综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或．。

2016-2017学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，则取到的是一个白球的概率为（）A．B．C．D．2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．23．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C． D．4．（3分）抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3） C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）5．（3分）下列判断中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠AOB=100°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=3，DE=1，则线段BD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．28．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定9．（3分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．201010．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．1011．（3分）函数y=x2﹣2x﹣3中，当﹣2≤x≤3时，函数值y的取值范围是（）A．﹣4≤y≤5 B．0≤y≤5 C．﹣4≤y≤0 D．﹣2≤y≤312．（3分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F是BE的中点．若将△ADE绕点A旋转一周，则线段AF长度的取值范围是（）A．≤AF≤B．2≤AF≤3 C．≤AF≤3 D．≤AF≤二．填空题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=．14．（3分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=．15．（3分）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x时，y随x的增大而减小．16．（3分）圆内接正六边形的边心距为2cm，则这个正六边形的面积为cm2．17．（3分）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O 相交于点E、F，则EF的长是．18．（3分）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤a=b，你认为其中正确信息的个数有个．三、解答题（本大题共66分）19．（8分）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）20．（9分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．21．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦ED=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（Ⅰ）∠ECB=∠BAD；（Ⅱ）BE是⊙O的切线．22．（10分）已知：抛物线有=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求△ABP的面积．23．（10分）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．（10分）如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD 到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．连结AE′、BF′．（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°，AB=2时，求：①∠AE′O的度数；②BF′的长度．25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P 的横坐标为m．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．2016-2017学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取1个球，则取到的是一个白球的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵袋子中共有5个球，其中白球有3个，∴取到的是一个白球的概率为，故选：C．2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【解答】解：把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，解得m=0．故选B．3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．4．（3分）抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3） C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【解答】解：抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（﹣2，3）．故选C．5．（3分）下列判断中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【解答】解：A、等弧是能重合的两弧，长度相等的弧不一定是等弧，故选项错误；B、平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧，注意被平分的弦不是直径，故选项错误；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，正确，故选项正确；D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故选项错误．故选C．6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠AOB=100°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°【解答】解：∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，∴∠AOB=2∠ACB，∵∠AOB=100°，∴∠ACB=50°，故选B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=3，DE=1，则线段BD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．2【解答】解：由旋转的性质可知：BC=DE=1，AB=AD∵在RT△ABC中，AC=3，BC=1，∠ACB=90°，∴由勾股定理得：AB=AD==又旋转角为90°，∴∠BAD=90°，∴在RT△ADB中，BD==2即：BD的长为2故：选A8．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．9．（3分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．2010【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m+2016=m2﹣m﹣1+2017=2017．故选C．10．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．10【解答】解：解方程x2﹣4x+3=0，（x﹣1）（x﹣3）=0解得x1=3，x2=1；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选：B．11．（3分）函数y=x2﹣2x﹣3中，当﹣2≤x≤3时，函数值y的取值范围是（）A．﹣4≤y≤5 B．0≤y≤5 C．﹣4≤y≤0 D．﹣2≤y≤3【解答】解：∵y=x2﹣2x﹣3，∴抛物线对称轴为x=﹣=1，开口向上，又∵2≤x≤3，∴x=1时，函数y有最小值﹣4；x=﹣2时，函数y有最大值5，即﹣4≤y≤5．故选A．12．（3分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F是BE的中点．若将△ADE绕点A旋转一周，则线段AF长度的取值范围是（）A．≤AF≤B．2≤AF≤3 C．≤AF≤3 D．≤AF≤【解答】解：根据旋转的特性，画出E点旋转一圈的轨迹，如图．结合图形可知：①当E落在E′位置时，AF最大，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，∴AB==4，AE′==，BE′=AB﹣AE′=4﹣，∵F是BE′的中点，∴BF=BE′=，AF=AB﹣BF=4﹣=；②当E落在E″位置时，AF最小，∵BE″=AB+AE″=4+，且F是BE″的中点，∴BF=BE″=，AF=AB﹣BF=4﹣=．综合①②可知：≤AF≤．故选A．二．填空题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=3．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=3，故答案为：3．14．（3分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC= 4cm．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=AB=3cm，∴OC==4（cm）．故答案是：4cm．15．（3分）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x＜2时，y随x的增大而减小．【解答】解：在y=（x﹣2）2+3中，a=1，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为x=2，当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．故答案为：＜2．16．（3分）圆内接正六边形的边心距为2cm，则这个正六边形的面积为24 cm2．【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG=2，∠AOG=30°，∵OG=OA•cos 30°，∴OA===4cm，∴这个正六边形的面积为6××4×2=24cm2．故答案为：24．17．（3分）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O 相交于点E、F，则EF的长是4．【解答】解：如图所示，∵PC是∠APB的角平分线，∴∠APC=∠CPB，∴=，∴AC=BC；∵AB是直径，∴∠ACB=90°．即△ABC是等腰直角三角形．连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB；∴OC⊥EF，OD=OC=2．连接OE，根据勾股定理，得：DE==2，∴EF=2ED=4．故答案是：4．18．（3分）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤a=b，你认为其中正确信息的个数有4个．【解答】解：①∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣=﹣，∴3b=2a，则a=b，∴b＜0，∵图象与x轴交与y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故此选项正确；③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴b﹣b+c＞0，∴b+2c＞0，故此选项正确；④当x=﹣时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a﹣2b+4c＞0，故此选项正确．故正确的有4个．故答案为：4．三、解答题（本大题共66分）19．（8分）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）【解答】解：由原方程，得（3x+2）（x﹣2）=0，所以3x+2=0或x﹣2=0，解得x 1=﹣，x2=2．20．（9分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．【解答】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，∴两个数字的积为奇数的概率为：=．21．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦ED=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（Ⅰ）∠ECB=∠BAD；（Ⅱ）BE是⊙O的切线．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ECB=∠BAD；（Ⅱ）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线．22．（10分）已知：抛物线有=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求△ABP的面积．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣5），所以y=﹣x2+4x+5，所以b=4，c=5；（2）因为y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，则P点坐标为（2，9），所以△ABP的面积=×6×9=27．23．（10分）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．【解答】解：（1）∵大长方形的周长为6m，宽为xm，∴长为m，∴y=x•=﹣（0＜x＜2），（2）由（1）可知：y和x是二次函数关系，a=﹣＜0，∴函数有最大值，m2，当x=﹣时，y最大=答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．24．（10分）如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD 到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．连结AE′、BF′．（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°，AB=2时，求：①∠AE′O的度数；②BF′的长度．【解答】解：（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，又∵OF=2OA，OE=2OD，∴OE=OF，则OE′=OF′，在△AOE′和△BOF′中，，∴△A OE′≌△BOF′∴AE′=BF′；（2）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，∴∠AOE′=90°﹣30°=60°，∴△OME′是等边三角形，又∵AM=OA，∴AE′⊥OM，则∠E′AO=90°，∴∠AOE′=90°﹣α=60°，∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°；②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°，∴∠AOF′=30°，又∵∠AOB=90°，∴∠BOF′=60°，又∵等腰直角△AOB中，OB=AB=，∴在Rt△ABE'中得到AE'=OA=，又BF'=AE'∴BF′=．25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P 的横坐标为m．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．【解答】解：（1）∵抛物线过A、C两点，∴代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，∵B点在A点右侧，∴B点坐标为（3，0），设直线BC解析式为y=kx+s，把B、C坐标代入可得，解得，∴直线BC解析式为y=﹣x+3；（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），∵P在线段OB上运动，∴M点在N点上方，∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，MN有最大值，MN的最大值为；（3）∵PM⊥x轴，∴MN∥OC，当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，当点P在线段OB上时，则有MN=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=3，此方程无实数根，当点P不在线段OB上时，则有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，∴m2﹣3m=3，解得m=或m=，综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或．。