天津市九年级(上)期末数学试卷

…………线…………线2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( ) A.B.C.D.2. 下列事件中，属于不可能事件的是( )A. 通常加热到100℃时，水沸腾B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C. 掷一次骰子，向上一面的点数是6D. 任意画一个三角形，其内角和是360° 3. 用配方法解一元二次方程x 2−6x −4=0，下列变形正确的是( ) A. (x −6)2=−4+36 B. (x −6)2=4+36 C. (x −3)2=−4+9D. (x −3)2=4+94. 一元二次方程x 2+4x −3=0的两根为x 1、x 2，则x 1⋅x 2的值是( ) A. 4B. −4C. 3D. −35. 正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为( ) A. 30°B. 60°C. 120°D. 180°6. 某学校准备建一个面积为200m 2的矩形花圃，它的长比宽多10m ，设花圃的宽为x m.则可列方程为( )A. x(x −10)=200B. 2x +2 (x −10)=200C. x(x +10)=200D. 2x +2(x +10)=2007. 已知关于x 的方程x 2+mx +1=0根的判别式的值为12，则m 的值是( ) A. ±3B. 3C. 4D. ±48. 将抛物线y =5x 2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是( ) A. y =5(x +2)2+3 B. y =5(x +2)2−3 C. y =5(x −2)2+3D. y =5(x −2)2−39. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为( ) A. 120° B. 180° C. 240° D. 300°10. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………x … −1 0 1 3 … y…−3131…则下列判断中正确的是( )A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y 轴交于负半轴C. 当x =4时，y >0D. 方程ax 2+bx +c =0的正根在3与4之间11. 如图，MN 是⊙O 的直径，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠ACM =60°，B 点是AN⏜的中点，P 点是MN 上一动点，若⊙O 的半径为1，则PA +PB 的最小值为( )A. 1B. √22C. √2D. √3−112. 如图，点A 的坐标为(−3,2)，⊙A 的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为( )A. (0,2)B. (0,3)C. (−2,0)D. (−3,0)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______ ．14. 如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是AB ⏜的中点，则∠A 的大小为______(度)．15. 生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了210件，则全组共有______名同学．16. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，G 是⊙O 上的两个点，OC//AG.若∠GAC =28°，则∠BOC 的大小=______度．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 如图，从y =ax 2的图象上可以看出，当−1≤x ≤2时，y 的取值范围是______ ．18. 在RtΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =6．(1)如图①，将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，所得到与AB 交于点M ，则CM 的长= ______ ； (2)如图②，点D 是边AC 上一点D 且AD =2√3，将线段AD 绕点A 旋转，得线段AD′，点F 始终为BD′的中点，则将线段AD 绕点A 逆时针旋转______ 度时，线段CF 的长最大，最大值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。

2021~2022学年度第一学期期末考试九年级数学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列函数中，是二次函数的是（）A. B.C. D.【答案】C2. 下列图形是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B3. 已知x=1是关于x一元二次方程的一个根，则m的值是（）A. 5B. ﹣5C. ﹣4D. 4【答案】D4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（）A. 80°B. 76°C. 62°D. 52°【答案】B5. 据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）A. y＝2.4（1+2x）B. y＝2.4（1-x）2C. y＝2.4（1+x）2D. y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2【答案】C6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）A. 开口向上B. 当x＝2时，y有最小值是3C. 对称轴是D. 顶点坐标是（-2，3）【答案】D7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）A B.C. 且D. 且【答案】B8. 若是关于x的二次函数，则a的值是（）A. 1B. -5C. -1D. -5或-1【答案】B9. 抛物线上有、两点，则和的大小关系一定为（）A. B.C. D.【答案】A10. 如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P．若BC=8，AP=2，则⊙O的半径长为（）A. 5B. 6C. 10D.【答案】A11. 如图，正方形OABC顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）A. 2B.C.D.【答案】C12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 已知x1，x2是一元二次方程的两根，则_____．【答案】814. 有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字-1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为______．【答案】15. 如图，矩形ABCD中，，．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'CD'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为______．【答案】116. 在半径为2的圆中，求内接正三边形的边长为_____________．【答案】17. 一个圆锥侧面展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的底面积是___cm2．【答案】18. 如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)．【答案】（1）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）x1＝1，x2＝2．【详解】解：（1）x2+4x﹣1＝0，∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，∴△＝42﹣4×1×(﹣1)＝20＞0，则x＝＝＝﹣2，即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)，(x﹣1)(x+3)﹣5(x﹣1)＝0，(x﹣1)(x﹣2)＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2．20. 如图，已知△ABO中A（﹣1，3），B（﹣4，0）．（1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；（2）求第（1）问中线段AO旋转时扫过的面积．【答案】（1）如图所示，△A1B1O即为所求；见解析；（2）线段AO旋转时扫过的面积为．【详解】解：（1）根据题意，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，如图所示，△A1B1O即为所求；（2）根据勾股定理：线段AO旋转时扫过的面积为：＝．21. 如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA 的位置关系.【答案】相切【详解】试题分析：利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可试题解析：相切，理由如下：过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O=30°，OC=6，∴DC=3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．22. 五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序．为了抽签在盒中放五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，3，4，5．把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意（随机）从盒中抽取一个纸团．请思考以下问题：（1）抽到的数字有几种可能的结果？（2）抽到的数字是1的概率是多少？（3）抽到的数字会是0吗？（4）抽到的数字小于6的概率是多少？（5）抽到的数字不大于4的概率是多少？【答案】（1）有五种可能的结果（2）抽到的数字是1的概率是（3）不可能（4）抽到的数字小于6的概率是1（5）抽到的数字不大于4的概率为【小问1详解】解：共有五个数字，每个数字都有可能被抽到，所以有五种可能的结果；【小问2详解】解：数字1，2，3，4，5中，数字1只有1个，故抽到的数字是1的概率是；【小问3详解】解：数字1，2，3，4，5中，没有数字0，故不可能抽到数字0；【小问4详解】解：∵数字1，2，3，4，5均小于6，∴抽到的数字小于6的概率是1；【小问5详解】解：∵数字1，2，3，4，5中，数字不大于4有1，2，3，4，共4个，∴抽到的数字不大于4的概率是.23. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 件．（2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？【答案】（1）100；（2）y＝﹣5x+550；（3）当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．【详解】解：（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为：50+10×=100（件），故答案为：100；（2）依题意得：，∴y与x的函数关系式为y=－5x+550；（3）依题意得：y(x－50)=4000，即(－5x+550)(x－50)=4000，解得：x1=70，x2=90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．24. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点C，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若直径AB＝10，弦AC＝6，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）4．连结OD，∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，得出OD∥AC，得到∠ODE＝90°，从而得证.在Rt△AFO中，利用勾股定理：AF2＋OF2＝AO2，得出的长，四边形ODEF是矩形，从而得到的长.试题解析：连结OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD．∴DE是⊙O的切线．（2）解：作OF⊥AC，垂足为F．在Rt△AFO中，AF2＋OF2＝AO2，∴32＋OF2＝52，∴OF＝4，∵∠AED＝∠ODE＝∠OFE＝90°，∴四边形ODEF是矩形，∴DE＝OF＝4．25. 如图，已知抛物线y= - x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积；（3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标，【答案】（1）m＝2，（1，4）；（2）6；（3）（1，2）．【详解】解：（1）将点B的坐标（3，0）代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，解得：m＝2，则函数对称轴为：x＝﹣＝1，代入y= - x2+2x+3，y= 4，则顶点的坐标为（1，4）；（2）函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），AB=4，OC=3，△ABC的面积为．（3）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，故点P（1，2）．。

2022-2023学年天津二十一中九年级（上）期末数学试卷一、选择题1.如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．2.如果2是方程20x c -=的一个根，那么常数c 是（）A.2B.4C.4- D.4或4-B【分析】把2x =代入方程20x c -=，即可求解．【详解】解：∵2是方程20x c -=的一个根，∴220c -=，解得：4c =．故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．3.如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，F 是CB 延长线上一点，△ADE ≌△ABF ，则可把△ABF 看作是以点A 为旋转中心，把△ADE （）A.顺时针旋转90°后得到的图形B.顺时针旋转45°后得到的图形C.逆时针旋转90°后得到的图形D.逆时针旋转45°后得到的图形A【分析】由旋转的性质可求解．【详解】解：∵E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE≌△ABF，∴可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°后得到的图形，故选：A．【点睛】本题考查图形旋转的性质，理解基本性质是解题关键．4.掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是（）A.1B.67 C.12D.0C【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），时间确定了则概率是不变的，而频率是改变的，根据此特点可得答案．【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是1 2.故选C．【点睛】本题考查概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．5.若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（）A.23B.4C.33D.123A【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】如图：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30°，∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为24，∴AB=4，则AM=2，因而3正六边形的边心距是3.故选A ．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．6.对于二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2+4，下列说法不正确的是（）A.开口向下B.当x >1时，y 随x 的增大而减小C.函数图象与x 轴交于点（﹣1，0）和（3，0） D.当x ＝1时，y 有最小值4D【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A 、B 、D ，令0y =，解关于x 的一元二次方程则可判定C ．【详解】解：2(1)4y x =--+ ，10a =-< ，∴开口向下，故A 说法正确，不合题意；当1x时，y 随x 的增大而减小，故B 说法正确，不合题意；令0y =可得22(1)4230x x x --+=--=，解得：11x =-，23x =，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(3,0)，故C 说法正确，不合题意；∵对称轴为1x =，顶点坐标为(1,4)，∴当1x =时，y 有最大值，最大值为4，故D 不正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．7.如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(6,6)A ，(8,2)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（）A.(3,3)B.(4,3)C.(3,1)D.(12,12)A【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C 点坐标．【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴端点C 的坐标为：（3，3）．故选：A ．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．8.如图，四边形ABCD 是矩形，E 是边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中的相似三角形共有（）A.4对B.3对C.2对D.1对B 【分析】根据相似三角形的判定方法即可解决问题.【详解】解：∵∠E ＝∠E ，∠FCE ＝∠D ，∴△CEF ∽△ADF ；∵∠E 是公共角，∠B ＝∠FCE ，∴△ABE ∽△CEF ；∴△ABE ∽△ADF ．故有3对．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．9.如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC=50°，则∠CDB 大小为()A.25°B.30°C.40°D.50°A【详解】由垂径定理，得： AC BC=；∴∠CDB=∠AOC=25°；故选A ．10.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，12AD DB =，则下列结论中正确的是()A.12AE AC = B.12DE BC = C.13ADE ABC =的周长的周长 D.13ADE ABC =的面积的面积C【详解】试题分析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵AD ：DB=1：2，∴AD ：AB=1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C 正确．故选C ．考点：相似三角形的判定与性质．11.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E 是AC 上一点，AE=5，ED ⊥AB ，垂足为点D ，则AD 的长为()A.254B.6C.245D.4D【分析】先证明△ADE ∽△ACB ，得出对应边成比例，即可求出AD 的长．【详解】解：∵ED ⊥AB ，∴∠ADE=90°=∠C ，∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴AD AFAC AB =，即5810AD =，解得：AD=4．故选D ．考点：相似三角形的判定与性质．12.函数2y x px q =-++的图象与x 轴交于(,0)a ，(,0)b 两点，若1a b >>，则（）A.1p q +>B.1p q += C.1p q +< D.0pq >A【分析】结合条件和二次函数图象可知当x=1时，对应的y 值小于0，可得到关于p ，q 的关系式，可得到答案．【详解】解：∵抛物线2y x px q =-++中二次项系数为−1<0，∴抛物线开口向下．由y=-x 2+px+q 的图象与x 轴交于（a ，0）和（b ，0）且a ＞1＞b 得，当x=1时，y ＞0，∴-12+p+q ＞0，∴p+q ＞1，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数与二次方程的关系，掌握二次函数图象在x=1时，对应的y ＜0是解题的关键，注意结合图形来理解．二、填空题13.如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠B ＝75°，则∠AOC 的大小为__度．150．【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【详解】∵ =AC AC，∴∠AOC ＝2∠B ＝150°，故答案为150．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”，“1”，“2”，“4”，“5”，“5”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是______．13【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．【详解】解：掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的有2种情况，所以掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是2163=．故答案为：13【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A 的概率()P A =事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P （必然事件）1=；P （不可能事件）0=是解题的关键．15.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．2【详解】解： 扇形的弧长=0208161π⨯=2πr ，∴圆锥的底面半径为r=2．故答案为2．16.二次函数()2213y x =--+的顶点坐标是__________．（1，3）【分析】根据题目中函数的解析式可以得到此二次函数的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵y =-2（x -1）2+3，∴二次函数y =-2（x -1）2+3的图象的顶点坐标是（1，3）故答案为：（1，3）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17.如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A =55°，∠E =30°，则∠F =_____．40°【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF =∠A +∠E =85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD =180°﹣∠A =125°，然后再根据三角形外角性质求∠F ．【详解】解：∵∠A =55°，∠E =30°，∴∠EBF =∠A +∠E =85°，∵∠A +∠BCD =180°，∴∠BCD =180°﹣55°=125°，∵∠BCD =∠F +∠CBF ，∴∠F =125°﹣85°=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质；三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ΔABC 的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上．（Ⅰ）线段AB 的长等于_______________；（Ⅱ）请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足PAC PBC PCB ∠∠∠==，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．①.（Ⅰ）2；②.（Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点E F ，，连接EF 与AC 相交，得圆心O ；AB与网格线相交于点D ，连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足PAC PBC PCB ∠=∠=∠．【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可求出AB 的长（Ⅱ）先确定圆心，根据∠EAF=090取格点E 、F 并连接可得EF 为直径，与AC 相交即可确定圆心的位置，先在BO 上取点P,设点P 满足条件，再根据点D 为AB 的中点，根据垂径定理得出OD ⊥AB ，再结合已知条件ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=得出20PAC PBC PCB ∠=∠=∠= ，设PC 和DO 的延长线相交于点Q ，根据ASA 可得OPQ OPA ∆≅∆,可得OA=OQ ，从而确定点Q 在圆上，所以连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP 即可找到点P【详解】（Ⅰ）解：2AB ==故答案为2（Ⅱ）取圆与网格线的交点E F ，，连接EF ，与AC 相交于点O ，∵∠EAF=090，∴EF 为直径,∵圆心在边AC 上∴点O 即为圆心∵AB 与网格线的交点D 是AB 中点，连接OD 则OD ⊥AB ，连接OB ，∵BAC 30∠︒=,OA=OB∴∠OAB=∠OBA=030，∠DOA=∠DOB=060，在BO 上取点P ，并设点P 满足条件，∵ABC 50∠︒=∵20PAC PBC PCB ∠=∠=∠= ，∴∠APO=∠CPO=040，设PC 和DO 的延长线相交于点Q ，则∠DOA=∠DOB=∠POC=∠QOC=060∴∠AOP=∠QOP=0120，∵OP=OP,∴OPQ OPA∆≅∆∴OA=OQ,∴点Q 在圆上，∴连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ,则点P 即为所求【点睛】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．三、解答题19.（Ⅰ）解方程()()230x x --=；（Ⅱ）无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明理由．（Ⅰ）122,3x x ==；（Ⅱ）无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根，理由见解析【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：（Ⅰ）()()230x x --=∴20,30x x -=-=，解得：122,3x x ==；（Ⅱ）无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根，理由如下：()()2320x x p ---=，整理得：22560x x p -+-=，∵21,5,6a b c p ==-=-，∴()()22224546140b ac pp∆=-=---=+>，∴无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式是解题的关键．20.已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点．连接AC ，DO ．（1）如图①，求∠BOD 及∠A 的大小；（2）如图②，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，交⊙O 于点H ，若⊙O 的半径为2．求CH 的长．（1）60BOD ︒∠=，60A ︒∠=（2）23【分析】（1）直接利用半圆所对的圆心角为180︒，半圆所对的圆周角为90︒求解即可；（2）先求出COA 是等边三角形，再求出1OF AF ==，CF HF =，最后利用勾股定理求解即可．【小问1详解】∵点C ，D 是半圆O 的三等分点，且半圆所对的圆心角为180︒，圆周角为90︒∴180603BOD ︒︒∠==，290603A ︒︒∠=⨯=，∴60BOD ︒∠=，60A ︒∠=．【小问2详解】如图，连接OC ，∴OA OC =，∵60A ︒∠=，∴COA 是等边三角形，∵CFAB ⊥，∴1OF AF ==，CF HF =，∴2222213CF OC OF =-=-=，∴3CH =CH 的长为23【点睛】本题考查了圆的相关概念，涉及圆周角和圆心角、垂径定理、等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是牢记相关概念，正确作出辅助线构造直角三角形并利用勾股定理求解．21.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长（结果保留根号）；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．（1）；（2）证明见解析【分析】（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD＝AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD＝∠OAD＝90°，从而解决问题．【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP＝90°．在Rt△PAB中，AB＝2，∠P＝30°，∴BP＝2AB＝2×2＝4．由勾股定理，得AP===．（2）如图，连接OC、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACP＝180°﹣∠BCA＝90°，在Rt△APC中，D为AP的中点，∴12CD AP AD==，∴∠4＝∠3，∵OC＝OA，∴∠1＝∠2，∵∠2+∠4＝∠PAB＝90°，∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，即OC⊥CD，∴直线CD是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识．熟练掌握切线的性质及判定方法是解题的关键.22.如图，一幅长8cm 、宽6cm 的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的38．求彩条的宽度．水平彩条宽度为1cm ，竖直彩条的宽度为2cm ．【分析】水平彩条宽度为xcm ，则竖直彩条的宽度为2xcm ，由面积关系列出方程，解方程即可．【详解】解：设水平彩条宽度为xcm ，则竖直彩条的宽度为2xcm ，由题意得：38622868x x x x +⨯-⨯=⨯⨯，整理得：21090x x -+=，解得：1x =，或9x =（不合题意舍去），∴1x =，22x =，答：水平彩条宽度为1cm ，则竖直彩条的宽度为2cm ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、矩形的面积；由题意列出方程是解题的关键．23.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？销售单价为35元时，半月内获得的利润最大，最大利润是4500元【分析】设销售单价为x 元，销售利润为y 元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：设销售单价为x 元，销售利润为y 元，根据题意得：()()204002030y x x =---⎡⎤⎣⎦()()20100020x x =--220140020000x x =-+-()220354500x =--+200-< ，∴当35x =时，y 有最大值，最大值为4500，所以，销售单价为35元时，半月内获得的利润最大，最大利润是4500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能够构建二次函数解决最值问题．24.在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点()0,0O ，点()6,0A ，点()0,8B ．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ，记旋转角为()090αα︒<<︒．（1）如图1，当30α=︒时，求点D 的坐标；（2）如图2，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；（3）当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标．（1）(6-，3)；（2）(65，185；（3）(12,8)【分析】（1）过点D 作DG x ⊥轴于G ，由旋转的性质得出6AD AO ==，30OAD α=∠=︒，8DE OB ==，由直角三角形的性质得出132DG AD ==，AG ==，得出6OG OA AG =-=-，即可得出点D 的坐标为(6-，3)；（2）过点D 作DG x ⊥轴于G ，DHAE ⊥于H ，则GA DH =，HA DG =，由勾股定理得出10AE ===，由面积法求出245DH =，得出65OG OA GA OA DH =-=-=，由勾股定理得出185DG =，即可得出点D 的坐标为(65，18)5；（3）连接AE ，作EG x ⊥轴于G ，由旋转的性质得出DAE AOC ∠=∠，AD AO =，由等腰三角形的性质得出AOC ADO ∠=∠，得出DAE ADO ∠=∠，证出//AE OC ，由平行线的性质的GAE AOD ∠=∠，证出DAE GAE ∠=∠，证明()AEG AED AAS ∆≅∆，得出6AG AD ==，8EG ED ==，得出12OG OA AG =+=，即可得出答案．【详解】解：（1）过点D 作DG x ⊥轴于G ，如图所示：点(6,0)A ，点(0,8)B ．6OA ∴=，8OB =，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，6AD AO ∴==，30OAD α=∠=︒，8DE OB ==，在Rt ADG ∆中，132DG AD ==，AG ==6OG OA AG ∴=-=-，∴点D 的坐标为(6-，3)；（2）过点D 作DG x ⊥轴于G ，DH AE ⊥于H ，如图所示：则GA DH =，HA DG =，8DE OB == ，90ADE AOB ∠=∠=︒，10AE ∴===， 1122AE DH AD DE ⨯=⨯，6824105AD DE DH AE ⨯⨯∴===，246655OG OA GA OA DH ∴=-=-=-=，185DG ===，∴点D 的坐标为(65，185；（3）连接AE ，作EG x ⊥轴于G，如图所示：由旋转的性质得：DAE AOC ∠=∠，AD AO =，AOC ADO ∴∠=∠，DAE ADO ∴∠=∠，//AE OC ∴，GAE AOD ∴∠=∠，DAE GAE ∴∠=∠，在AEG ∆和AED ∆中，90AGE ADE GAE DAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEG AED AAS ∴∆≅∆，6AG AD ∴==，8EG ED ==，12OG OA AG ∴=+=，∴点E 的坐标为(12,8)．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30︒角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．25.如图，抛物线y =﹣12x 2+mx +n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．(1)抛物线的解析式为：y =﹣12x 2+32x +2(2)存在，P 1（32，4），P 2（32，52），P 3（32，﹣52）(3)当点E 运动到（2，1）时，四边形CDBF 的面积最大，S 四边形CDBF 的面积最大=132．【分析】（1）将点A 、C 的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m 、n 的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD 的值，以点C 为圆心，CD 为半径作弧交对称轴于P 1；以点D 为圆心CD 为半径作圆交对称轴于点P 2，P 3；作CH 垂直于对称轴与点H ，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B 点的坐标，从而可求出BC 的解析式，从而可设设E 点的坐标，进而可表示出F 的坐标，由四边形CDBF 的面积=S △BCD +S △CEF +S △BEF 可求出S 与a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y =﹣12x 2+mx +n 经过A （﹣1，0），C （0，2）．解得：322m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y =﹣12x 2+32x +2；（2）∵y =﹣12x 2+32x +2，∴y =﹣12（x ﹣32）2+258，∴抛物线的对称轴是x =32．∴OD =32．∵C （0，2），∴OC =2．在Rt △OCD 中，由勾股定理，得CD =52．∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=CP 2=CP 3=CD ．作CH ⊥x 轴于H ，∴HP 1=HD =2，∴DP 1=4．∴P 1（32，4），P 2（32，52），P 3（32，﹣52）；（3）当y =0时，0=﹣12x 2+32x +2，∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0）．设直线BC 的解析式为y =kx +b ，由图像，得240b k b =⎧⎨+=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：y =﹣12x +2．如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，﹣12a +2），F （a ，﹣12a 2+32a +2），∴EF =﹣12a 2+32a +2﹣（﹣12a +2）=﹣12a 2+2a （0≤x ≤4）．∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =12BD •OC +12EF •CM +12EF •BN ，=12×52×2+12a （﹣12a 2+2a ）+12（4﹣a ）（﹣12a 2+2a ），=﹣a 2+4a +52（0≤x ≤4）．=﹣（a ﹣2）2+132∴a =2时，S 四边形CDBF 的面积最大=132，∴E （2，1）．【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值。

天津市滨海新区2022年九年级上学期《数学》期末试卷及答案一、选择题本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（）A. B. C. D. 【答案】A【详解】一元二次方程化成一般形式为：它的二次项系数和一次项系数分别是5，-4故选：A ．2. 抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）A. 向上，轴B. 向上，轴C. 向下，轴D. 向下，轴【答案】B【详解】 ，所以抛物线开口向上，，所以对称轴为 ，对称轴为轴．故选：B ．2514x x -=54-，45-，51-，1-4，2514x x -=25410x x --=∴213y x =x y x y 13a = 0b = 02bx a =-=y3. 下列语句描述的事件为随机事件的是（）A. 通常加热到时，水沸腾B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C. 任意画一个三角形，其内角和是D. 从三张扑克牌J ，Q ，K 中取出一张是A【答案】B 【详解】A. 通常加热到时，水沸腾是必然事件，不符合题意；B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意；C. 任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，不符合题意；D. 从三张扑克牌J ，Q ，K 中取出一张是A 是不可能事件，不符合题意．故选：B ．4. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】C【详解】A ．此图案是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B ．此图案仅是中心对称图形，不符合题意；C ．此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；D ．此图案既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．100C ︒360︒100C ︒360︒5. 抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）A. （3，5）B. （﹣3，5）C. （3，﹣5）D. （﹣3，﹣5）【答案】B【详解】抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5），故选B ．6. 下列各点中与点关于原点对称的是（）A. B. C. D. 【答案】B【详解】与点关于原点对称的点的坐标是：．故选：B ．7. 不透明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出个球，摸出红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【详解】红球数量为5个，总的球数量为8个，∴从中随机摸出一球为红球的概率是．故选：D ．(2,1)A -(2,1)(2,1)-(2,1)--(1,2)-(2,1)A -(2,1)-185833858588. 如图，在中，，，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【详解】在中，，故选：A ．9. 如图，在中，，，则的度数是（）A. B. C. D. 【答案】DO e »»=A B A C 75C ∠=︒A ∠30°40︒50︒60︒O e »»=A B A C 75C ∠=︒75B C ∴∠=∠=︒180A B C ∠+∠+∠=︒ 18030A B C ∴∠=︒-∠-∠=︒O e OA BC ⊥50AOC ∠=︒ADB ∠50︒30°20︒25︒【详解】连接OB，，，，故选：D ．10. 如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米【答案】C 【详解】设道路的宽为x,根据题意得20x+33x−x 2=20×33−510整理得x 2−53x+150=0解得x=50(舍去)或x=3所以道路宽为3米.故选C.OA BC ⊥ 50AOC ∠=︒50AOB ∴∠=︒1252ADB AOB ∴∠=∠=︒11. 如图，在△中，，，点是的内心，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【详解】∵点是的内心，∴BO 平分，CO 平分，∴，，∴．故选A ．12. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标为，其中，．下列结论：①，②，③中，正确的结论有（）ABC 60ABC ∠=︒50∠=°ACB O ABC V BOC ∠125︒120︒130︒135︒O ABC V ABC ∠ACB ∠1230C CBO AB ∠=∠=︒1225B BCO AC ∠=∠=︒012518CBO BCO BOC ∠=︒-∠=∠-︒20y ax bx c a =++≠（）(1,2)-x 12x x ，121x --＜＜201x ＜＜420a b c -+＜20a b -＜284b a ac +＞A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【详解】根据题意得：当x=-2时，y ＜0，∴，故①正确；∵二次函数的图象与轴交点的横坐标为，其中，．开口向下，∴抛物线的对称轴，a ＜0，∴，∴，故②正确；∵二次函数的图象经过点，且对称轴在直线x=-1的右侧，∴抛物线的顶点的纵坐标大于2，∴，∵a＜0，∴，∴，故③正确；∴正确的有①②③，共3个．故选：D420a b c -+＜20y ax bx c a =++≠（）x 12x x ，121x --＜＜201x ＜＜12bx a =->-2b a >20a b -＜20y ax bx c a =++≠（）(1,2)-2424ac b a ->248ac b a -<284b a ac +＞二、填空题本大题共6小题，每小题3分，共18分．13. 抛物线可以由抛物线先向左平移个单位，再向下平移___________个单位得到的．【答案】3【详解】抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位得到的函数图象的解析式为：．故答案为：3．14. 在数学考试中，单项选择题（每个题目只有4个备选答案）是试卷的重要组成部分，当你遇到完全不会做的选择题时，如果你随便选择一个答案，那么你答对的概率为_________．【答案】【详解】根据题意得：答对的概率为．故答案为：15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．【答案】【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴∆，解得<2．故答案为：k<2．()223y x =+-2y x =22y x =()223y x =+-141414x 22230x x k ++-=k 2k ＜()224230k =--＞k16. 中，，则的内切圆的半径长是_________．【答案】2【详解】设△ABC 的内切圆为⊙O，内切圆的半径为r ，∵AB＝13，AC ＝5，BC ＝12，∴AB 2＝AC 2+ BC 2，根据勾股定理的逆定理得△ABC 是直角三角形，∠C=90°，∴，根据三角形的面积公式可得：，∴15r=30，即r=2，故答案为：2．17. 当或（）时，代数式的值相等，则时，代数式的值为_________．【答案】3【详解】由抛物线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∵当或（）时，代数式的值相等，∴当或（）时，抛物线的函数值相等，∴以a 、b 为横坐标的点关于直线x=2对称，∴，ABC V 13,5,12AB AC BC ===ABC V 1302ABC S AC BC =⋅=V 1115131215222ABC AOC AOB BOC S S S S r r r r =++=⨯+⨯+⨯=V V V V x a =x b =a b ¹243x x -+x a b =+243x x -+()224321y x x x =-+=--x a =x b =a b ¹243x x -+x a =x b =a b ¹243y x x =-+22a b +=∴a+b=4，∵，∴x=4，当x=4时，，即时，代数式的值为3．故答案为：318. 如图，为边长为的等边三角形，点分别为和的中点，点为内部一点，且，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．（1）当三点共线时，线段的长度为_________；（2）在旋转过程中，线段的最小值为_________．【答案】①. ②. 1【详解】（1）是等边三角形,边长为，，为的中点，x a b =+244433y =-⨯+=x a b =+243x x -+ABC V 6DE ，AC BCF ABC V 2DF =BF BF B 60︒BG EG B F D 、、BFEG 2ABC ∆ 66AB AC ∴==D Q AC,,，，点、、三点共线，，，线段的长度为；(2)如图,作线段的中点,连接,作,连接,将线段绕点按逆时针方向旋转得到,连接,此时的值最小，是等边三角形,边长为，， ，点为的中点，点为的中点，点为的中点，，，，,，，132AD CD AC ∴===BD AC ⊥90ADB ∴∠=︒BD ∴=== B F D 2DF =2BF BD DF ∴=-=-∴BF 2-AB H DH 2DF =BF BF B 60︒BG EG EG ABC ∆ 66AB AC ∴==60ABC ∠=︒ D AC E BC H AB BD AC ∴⊥132BE BC ==132BH AB ==90ADB ∴∠=︒BH BE =132DH AB ∴==，，由旋转可知: ,，，，在和中，，，，在旋转过程中,线段的最小值为1.三、解答题本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19. （1）因式分解法解方程：；（2）配方法解方程：．【答案】（1）；（2）【详解】（1），解：提公因式，得，于是得，．2DF = 321HF DH DF ∴=-=-=BF BG =60FBC ∠=︒60ABC FBG ∴∠=∠=︒HBF EBG ∴∠=∠BHF ∆BEG ∆BH BEHBF EBGBF BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BHF BEG SAS ∴∆≅∆1HF EG ∴==∴EG 220x x -=21090x x ++=121=02x x =，12=9=1x x --，220x x -=2-10x x =（）02-10x x ==或121=02x x =，（2），解：移项，得，配方，得，，由此可得，．20. 如图，在半径为的中，弦的长为．（1）求的度数；（2）求点到的距离．【答案】（1） （2）到的距离为【小问1详解】解：在，，∵，∴为等边三角形，∴；【小问2详解】过点 作于点，21090x x ++=210=9x x +﹣22210+5=-95x x ++25=16x +（）54x +=±12=9=1x x --，4O e AB 4AOB ∠O AB 60AOB ∠=︒OAB O e 4OA OB ==4AB =OAB V 60AOB ∠=︒O OC AB ⊥C在，于点，∴，∵ ，∴，在中，，，∴，∴到的距离为21. 甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有数字和，乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有数字，和．从两个口袋中各随机取一个小球．请用画树状图或列表的方法求：（1）取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是多少？（2）取出的个小球上的数字全是偶数的概率是多少？【答案】（1） （2）【小问1详解】解：根据题意，可以画出如下的树状图O e OC AB ⊥C 12AC AB =4AB =2AC =Rt OAC △4AO =2AC =OC ==O AB 2123345221216所有可能出现的结果共有种等可能结果，取出个小球上的数字之和是奇数有种，∴取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是；【小问2详解】解：取出个小球上的数字全是偶数有种，∴取出的个小球上的数字全是偶数的概率是．【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．22. 已知：内接于，．（1）如图①，点在上，若，求和的大小；（2）如图②，点在外，是的直径，与⊙相切于点，若，求的大小．【答案】（1） （2）62323162=21216ABD △O e »»AB AD =C e O 60BCD ∠=︒ABD ∠ADB ∠C e O BD e O BC O B 50BCD ∠=︒CDA ∠30ABD ADB ∠=∠=︒85CDA ∠=︒【小问1详解】解：∵四边形内接于，，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：∵与相切于点，∴，∴∵在中，，∴∵是的直径，∴，∵，∴，，∴．23. 某村种的水稻2018年平均每公顷产8000kg ，2020年平均每公顷产9680kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．ABCD O e 60BCD ∠=︒180120BAD BCD ∠=︒-∠=︒»»=AB AD AB AD =1(180)302ABD ADB BAD ∠=∠=︒-∠=︒BC O e B BD BC ⊥90CBD ∠=︒Rt BCD ∆50BCD ∠=︒9040BDC BCD ∠=︒-∠=︒BD O e 90BAD ∠=︒»»=AB AD AB AD =190452ABD ADB ∴∠=∠=⨯︒=︒454085CDA ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x ．（1）用含的代数式表示：①2019年种的水稻平均每公顷的产量为_________kg ；②2020年种的水稻平均每公顷的产量为_________kg ；（2）根据题意，列出相应方程_________；（3）解这个方程，得_________；（4）检验：_________；（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为_________%．【答案】（1），（2）（3）（4）当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去（5）10【小问1详解】解：根据题意，①2019年种的水稻平均每公顷的产量为kg ；②2020年种的水稻平均每公顷的产量为kg ；故答案为：；；【小问2详解】解：由题意，可列出方程：；x ()80001x +()280001x +()2800019680x +=120.1 2.1x x ==-，()80001x +()280001x +()80001x +()280001x +()2800019680x +=故答案为：；【小问3详解】解：，解得：；故答案为：；【小问4详解】解：检验：当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去；故答案为：当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去；【小问5详解】解：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为；故答案为：10；24. 四边形和四边形均为正方形，正方形绕点A 顺时针旋转．（1）正方形绕点A 顺时针旋转到如图①位置时，且三点在同一直线上，则和的数量关系是_________；和的位置关系是_________；（2）正方形绕点A 顺时针旋转到如图②位置时，且点落在线段上．①求证：；②若，求的长；的()2800019680x +=()2800019680x +=120.1 2.1x x ==-，120.1 2.1x x ==-，0.110%x ==ABCD AEFG AEFG AEFG D A E 、、DG BE DG BE AEFG F DG ABE ADG V V ≌10,2AB DF ==BF（3）如图③，若，，正方形绕点A 顺时针旋转过程中，取的中点，连接，记的面积为S ，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1），（2）①见解析；②（3）【小问1详解】根据题意，得：∵四边形和四边形均为正方形∴，，和中∴∴，如图，延长DG ，交BE 于点K∵10AB =6AG =AEFG DG M CM CDM V DG BE =DG BE ⊥14BF =1040S ≤≤90DAB BAE ∠=∠=︒ABCD AEFG AD AB =AG AE =90BAE ∠=︒DAG △BAE V 90AD ABDAB BAE AG AE=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()DAG BAE SAS V V ≌DG BE =ADG ABE ∠=∠90BAE ∠=︒∴∴∴故答案为：，【小问2详解】①∵四边形和均为正方形，∴∴，即在和中∴；②∵∴，∵∴点三点在一条直线上设正方形边长为，则，在中，由勾股定理得，即，整理得：，解得：．90ABE AEB ∠+∠=︒()18090DKE ABE AEB ∠=︒-∠+∠=︒DG BE⊥DG BE =DG BE⊥ABCD AEFG =90AB AD AE AG BAD EAG ===，，∠∠BAD EAD EAG EAD ∠-∠=∠-∠BAE DAG∠=∠ABE △ADG V =AB ADBAE DAGAE AG=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS V V ≌ABE ADGV V ≌90AEB AGD ∠=∠=︒90AEF ∠=︒,,B E F AEFG x 2DG BE x ==+Rt ADG V 222AD AG DG =+()22210=2x x ++22480x x +-=()1268x x ==-，舍∴；【小问3详解】如图，过点G 作，交延长线于点Q ，过点M 作∴∵点为的中点∴为的中位线∴∵，，正方形形∴，∵∴∴当点G 在直线AB 左侧时，∴当点G 在直线AB 右侧时，∴8614BF BE EF =+=+=GQ DA ⊥DA MP DA ⊥//MP GQ M DG MP DQG V 12DP DQ =10AB =6AG =ABCDcos 6cos AQ AG GAQ GAQ =⨯∠=⨯∠10DA CD AB ===0GAQ ∠≥0cos 1GAQ ≤∠≤06AQ ≤≤10DQ DA AQ AQ=-=-410DQ ≤≤10DQ DA AQ AQ=+=+1016DQ ≤≤综上，∴∵ ∴．25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点是第一象限的抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点作于点．①若，求点坐标；②过点作轴于点，交于点，连接，当的周长取得最大值时，抛物线上是否存在一点，使，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）①点D 的坐标为(2，3)；②存在，点P 的坐标为，，【小问1详解】解：把两点代入抛物线则，416DQ ≤≤28DP ≤≤152S CD DP DP =⨯=1040S ≤≤23y ax bx =++x ()3,0A ()1,0B -y C AC D D DE AC ⊥E DE CE =D D DH x ⊥H AC F 、DC DA DEF V P PAC ACD S S =△△P 2y x 2x 3=-++315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭()()3,01,0A B -，23y ax bx =++933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得．∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：①连接CD ，当x ＝0时，y ＝3，即OC ＝3，∵OC＝OA ＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC 为等腰直角三角形，∠CAO＝45°．∵DE⊥AC，DE ＝CE ，∴△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE＝45°，∴∠DCE＝∠OAC＝45°，即CD∥OA．∴点C 和D 的纵坐标都等于3．把y ＝3代入抛物线解析式得，，解得（舍去），，∴点D 的坐标为（2，3）．12a b =-⎧⎨=⎩2y x 2x 3=-++2y x 2x 3=-++2233x x -++=10x =22x =②∵DF⊥x 轴，∴DH⊥OA，∵∠CAO＝45°，∴∠AFH＝45°，∵DE⊥AC，∠DFE＝∠AFH＝45°，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴则△DEF 的周长等于．∵，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3．设点D 的坐标为，，则．∴当时，DF 取得最大值，此时△DEF 的周长取得最大值．点D 的坐标为．∵，∴点P 和D 到直线AC 的距离相等．容易得知点P 和D 重合时符合题意，此时P 的坐标为．作直线l 和k 都和直线AC 平行，且到直线AC 的距离都相等，则直线l 的解析式为DE EF DF=)1DE EF DF DF ++=+()()3,00,3A C ，()2,23m m m -++(),3F m m -+()22239233324DF m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭32m =315,24⎛⎫⎪⎝⎭PAC ACD S S =△△315,24⎛⎫⎪⎝⎭，直线k 的解析式为．联立直线与抛物线得，解得，则点P 的坐标为，．综上所述：符合题意得点P 的坐标为，，．214y x=-+34y x =-+34y x =-+2y x 2x 3=-++23922x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12x x ==315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭。

2022-2023学年天津市南开中学九年级（上）期末数学试卷1. 下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A.B.C.D.2. 下列事件中，是随机事件的是( )A. 画一个三角形，其内角和是B. 明天太阳从西方升起C. 任意选择电视的某一频道，正在播放动画片D. 在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天3. 如图，过原点O 的直线与反比例函数的图象相交于点A 、B ，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的解析式为( )A. B. C. D.4. 一个不透明布袋里共有4个球只有编号不同，编号为1，2，3，从中任意摸出一个球，记下编号后不放回，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是( )A.B.C.D.5.如图，在中，，，，，则AC 的长为( )A. 14B. 12C. 10D. 96. 某种药品经过了两次降价，从每盒54元降到每盒42元．若平均每次降低的百分率都为x，则根据题意，可得方程( )A. B. C. D.7. 在中，，，，是它的内切圆．则的半径为( )A. 1B. 2C. 3D.8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，那么、、的大小关系是( )A. B. C. D.9. 若双曲线的一个分支位于第三象限，则k的取值范围是( )A. B. C. D.10. 如图，，，将绕点O顺时针旋转角度得到，旋转角为若点落在AB上，则旋转角的大小是( )A.B.C.D.11. 已知，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是( )A. B.C. D.12. 如图，已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论：①；②关于x的一元二次方程的根是，；③当时，y随x增大而减小；④；⑤y最大值其中正确的有个．( )A. 2B. 3C. 4D. 513. 若方程的两根为、，则______.14. 以方程的两根分别为腰和底的等腰三角形的周长为______.15. 已知两个相似三角形的周长比为，若较大三角形的面积等于，则较小三角形面积等于__________.16. 如图，在正十边形中，连接、，则______17. 如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，，，则阴影部分面积为______.18. 如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A，B，C三个格点，线段AB的长度为______；用无刻度的直尺，在上找一点D，使点D平分保留画图痕迹19. 将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是______；先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍数的概率．20. 已知：正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，当时，求反比例函数的值；当时，反比例函数的取值范围是______；当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是______.21. 如图，在中，CD是AB边上的高，且求的度数；若，的面积为2，求的面积．22. 已知AB是的直径，点C在上．如图1，点D在上，且，若，求；如图2，过点C作的切线，交BA的延长线于点E，若的直径为6，，求23. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于64元，设每件商品的售价上涨x元为整数时，月销售利润为y元．分析数量关系填表：每台售价元606162…月销售量台300290280…______求y与x之间的函数解析式和x的取值范围；当售价定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大？最大利润是多少？24. 平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标轴上，点，P是射线OB上一点，将绕点A顺时针旋转，得，Q是点P旋转后的对应点．如图当时，求点Q的坐标；如图，设点，的面积为求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；当时，求点Q的坐标直接写出结果即可25. 已知：抛物线：交x轴于点A，点A在点B的左侧，交y轴于点C，抛物线经过点A，与x轴的另一个交点为，交y轴于点求抛物线的函数表达式；为抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PC，当时，求点P的坐标；为抛物线上一动点，过点M作直线轴，交抛物线于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．2.【答案】C【解析】解：A、画一个三角形，其内角和是，是必然事件，不符合题意；B、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；C、任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，是随机事件，符合题意；D、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天，是必然事件，不符合题意；故选：根据事件发生的可能性大小判断即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.【答案】C【解析】解：因为A、B是反比例函数和正比例函数的交点，所以A、B关于原点对称，由图可知，A点坐标为，设反比例函数解析式为，将代入解析式得：，可得函数解析式为故选：根据中心对称的性质求出A点的坐标，再用待定系数法求函数解析式．从图中观察出A、B两点关于原点对称是解题的关键．另外对待定系数法因该有正确的认识：先设出某个未知的系数，然后根据已知条件求出未知系数的方法叫待定系数法．4.【答案】B【解析】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有6种，两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是，故选：画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有6种，再由概率公式求解即可．本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5.【答案】D【解析】解：，，即，，故选：利用平行线分线段成比例计算出EC，然后计算即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6.【答案】A【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，故选：设平均每次降价的百分率为x，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的54元降至42元，可列方程．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键知道经过了两次降价，降价前和降价后的价格，可列方程．7.【答案】B【解析】解：，，由勾股定理得：，如图，连接OA、OB、OC、OF，由是的内切圆．可以设，，，，答：R的值是故选：根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积得出，代入求出即可．本题主要考查对正方形的判定，三角形的内切圆与内心，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．8.【答案】A【解析】解：，，是正数，反比例函数的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，，，都在反比例函数图象上，，，故选：先判断出是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小判断出、、的大小关系，然后即可选取答案．本题考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内，本题先判断出比例系数是正数是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：双曲线的一个分支位于第三象限，，解得，故选：反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x的增大而减小．本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数，当时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．10.【答案】D【解析】解：，，，绕点O顺时针旋转角度得到，，，，，即旋转角的大小可以是，故选：由，，得出，由旋转的性质可得，进而求出的度数，即可得出旋转角的大小．本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的两个三角形是全等三角形及等腰三角形的性质是解决问11.【答案】D【解析】本题考查了尺规作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用等线段代换得到，利用线段的垂直平分线的性质和基本作图进行判断．解：A、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；B、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；C、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；D、由图可知，故能得出，故此选项正确.故选：12.【答案】C【解析】解：抛物线开口向下，，抛物线的对称轴为直线，，抛物线与y轴的交点在x轴上方，，，所以①正确；抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，关于x的一元二次方程的根是，3，所以②正确；抛物线的对称轴为直线，且开口向下，当时，y随x的增大而减小，故③不正确；当时，，，而，，即，，即，当时，函数有最大值，函数有最大值，所以⑤正确．故选：利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；由函数的性质可判断③；由于时，，再利用得到，则可对④⑤进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．13.【答案】【解析】解：方程的两根为、，，，则原式故答案为：利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值．此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．14.【答案】7【解析】解：解方程，得，，当1为腰，3为底时，不能构成等腰三角形；当3为腰，1为底时，能构成等腰三角形，周长为故周长为故答案为：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．15.【答案】【解析】解：两个相似三角形的周长之比为2：3，两个相似三角形的相似比是2：3，两个相似三角形的面积比是4：9，又较大三角形的面积等于，较小三角形的面积为，故答案为：根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．16.【答案】54【解析】解：如图，连接，，正十边形的各边都相等，，故答案为：找出正十边形的圆心O，连接，，再由圆周角定理即可得出结论．本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．17.【答案】【解析】解：连接BC，，，，又，是等边三角形，为OB的中点，，，，，解得：，故阴影部分的面积为：故答案为：根据题意得出是等边三角形，进而得出，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO的长，进而结合扇形面积求出答案．此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO的长是解题关键．18.【答案】【解析】解：，故答案为：；如图，点D即为所求．利用勾股定理求解即可；作线段AC的垂直平分线交于点D，点D即为所求．本题考查作图-复杂作图，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】【解析】解：从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是；故答案为：；列表格如下：十位个位A234A11121314 221222324331323334441424344共得到16个数，其中是3的倍数的是12，21，24，33，42，共5个，这个两位数是3的倍数牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌中是小于3的有2张，再利用概率公式可得答案；首先列出树状图，然后再确定组成的两位数，进一步分析是3的倍数的数的个数，进而可得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】或或【解析】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，这个交点的横坐标，即这个交点的坐标为，，反比例函数的关系式为，当时，，即当时，反比例函数的值为；当时，，当时，，由反比例函数的图象可知，当时，即图象在第三象限，，当时，即图象在第一象限，，当时，反比例函数的取值范围是或，故答案为：或；由对称性可知正比例函数的图象与反比例函数的图象交点，，所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是或，故答案为：或求出交点坐标，再求出反比例函数的关系式，代入计算即可得出答案；求出当，时，相应的反比例函数的值，再根据反比例函数图象得出答案即可；根据对称性求出两个交点坐标，根据两个函数图象及交点坐标得出答案．本题考查反比例函数、一次函数图象的交点坐标，理解反比例函数、一次函数的图象和性质是正确解答的前提．21.【答案】解：是AB边上的高，，，：：BD，∽，，又，，又，，；由可知，∽，AD：：BD，，：：：3，即，的面积：的面积：9，的面积为2，的面积为18，的面积为【解析】由垂直的定义得，相似三角的判定方法证明∽，其性质得，，最后余角的性质，角的和差求出的度数为，继而可得结论；根据相似三角形的性质可得的面积：的面积：9，求出的面积即可得出的面积．本题综合考查了垂直的定义，余角的性质，相似三角形的判定与性质，角的和差等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质．22.【答案】解：如图①，连接OC，，，，，，，；如图②，连接OC，BC，是的直径，，，，，，，，是的切线，，，，，【解析】如图①，连接OC，根据等腰三角形的性质得到，，根据圆周角定理即可得到结论；如图②，连接OC，BC，根据圆周角定理得到，求得，得到，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论．本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23.【答案】【解析】解：，，以此类推可得每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，所以当每件商品的售价上涨x元为整数时，则月销售量为，故答案为：；由题意得：，每件售价不能高于64元，，与x之间的函数解析式为为整数；由知，，，，当时，y有最大值，最大值为6240，此时，答：当售价定为64时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，最大利润是6240元．由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，由此填空即可；由销售利润=每件商品的利润上涨的钱数，根据每件售价不能高于64元，可得自变量的取值；利用公式法结合得到的函数解析式可得二次函数的最值．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．24.【答案】解：如图，过P点作轴，垂足为G，过Q点作轴，垂足为四边形OABC是正方形，，在中，，绕点A顺时针旋转，得，，，，，，≌，；如图，过P点作轴，垂足为绕点A顺时针旋转，得，，，，，在中，根据勾股定理，，整理得，当S取最小值时，有，；理由如下：如图，绕点A旋转得到，，，点P在OB的延长线上．由解得：，，，同：，，，，【解析】如图，过P点作轴，垂足为G，过Q点作轴，垂足为证明即可求点Q的坐标；如图，过P点作轴，垂足为根据勾股定理可得，整理得由，进而可求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；根据，可得因为，说明点P在OB的延长线上．可得联立方程组可得BP和OP的长，结合进而可求点Q的坐标．本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质-旋转、二元一次方程组、三角形的面积、勾股定理、特殊角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．属于中考几何压轴题．25.【答案】解：当时，，解得，，则设抛物线的解析式为，把代入得，解得，所以抛物线的解析式为，即；当时，，则抛物线的对称轴为直线，设，则，，，，，即，整理得，解得，，点P的坐标为或；抛物线与抛物线经过的另一个交点为F，如图2，解方程得，，则，设，则，当时，，此时时，MN有最大值；当时，，此时时，MN有最大值21；所以点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为【解析】通过解方程得设交点式，然后把D点坐标代入求出a的值即可得到得抛物线的解析式；先求出和抛物线的对称轴为直线，则设，利用两点间的距离公式和勾股定理得到，然后解方程求出t即可得到点P的坐标；抛物线与抛物线经过的另一个交点为F，如图2，先通过解方程得，设，则，讨论：当时，；当时，，然后分别利用二次函数的性质求出两种情况下的MN的最大值，再比较大小即可得到点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．。

天津市河北区2022年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.答案：D答案解析：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2. 下列事件中，是必然事件的是（）A. 掷一枚硬币，正面朝上B. 购买一张彩票，一定中奖C. 任意画一个三角形，它的内角和等于180度D. 存在一个实数，它的平方是负数答案：C【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．根据定义即可解决．答案解析：A ．掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；B ．购买一张彩票，一定中奖是随机事件；C ．任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件；D ．存在一个实数，它的平方是负数是不可能事件；故选：C ．3. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ）A. x 2+2x+1=0B. x 2+x+2=0C. x 2﹣1=0D. x 2﹣2x﹣1=0答案：B答案解析：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B ．4. 抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A. (3，4)B. (－3，4)C. (3，－4)D. (2，4)答案：A答案解析：根据 的顶点坐标为 ，易得抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐2()y a x h k =-+(,)h k标是（3，4）.故选A.5. 抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ）A. 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B. 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C. 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D. 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度答案：D答案解析：抛物线y=x 2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选D ．6. 如图，在Rt ABC 中，BAC ＝，将ABC 绕点A 顺时针旋转后得到A （点B 的对应点是点，点C 的对应点是点），连接C ．若C ＝，则B 的大小是（ ）A. 32°B. 64°C. 77°D. 87°答案：C 答案解析：根据旋转可得：，则，∆∠90 ∆90 ∆B C ''B 'C 'C '∠C 'B '32o ∠90AC AC CAC ='∠'=︒，45ACC AC C ∠'=∠'=︒则 ，则，则根据旋转图形的性质可得：．故选：C.7. 如图，⊙O 是∆ABC 的外接圆，半径为，若，则的度数为（）A. 30°B. 25°C. 15°D. 10°答案：A答案解析：连接OB 和OC ，∵圆O 半径为2，BC=2，∴△OBC 为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，故选A．453213B C A AC C CC B ''∠'=∠'-∠'=︒-︒=︒180180901377AB C B AC B C A ''''∠''=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒77B AB C ∠=∠''=︒2cm 2cm BC =A ∠8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( )A. B. C. D. 答案：C 答案解析：根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，根据圆周角定理可知∠D=0.5∠AOC，因此∠B+∠D=∠AOC+0.5∠AOC=180°，解得：∠AOC=120°，因此∠ADC=60°．故选：C ．9. 在等腰三角形ABC 中，AC=BC=2，D 是AB 边上一点，以AD 为直径的⊙O 恰好与BC 相切于点C ，则BD 的长为（ ）A. 1B.C. 2D.45︒50︒60︒75︒答案：B答案解析：如图，连接OC，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，∴∠COB＝2∠B，∵⊙O与BC相切于点C，∴∠OCB＝90°，∴∠COB+∠B＝2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝30°，BC，∴OB＝2OC故选：B．10. 已知二次函数y ＝a （x+1）（x﹣m）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x<-1时，y 随x 的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）①当x ＞2时，y 随x 的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a ＜0；③若（﹣2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④若图象上两点（，y 1），（+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，则1＜m≤．A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①③④答案：D答案解析：①：∵二次函数y ＝a （x+1）（x﹣m）（a 为非零常数，1＜m ＜2），∴x 1＝﹣1，x 2＝m ，x 1＜x 2，又∵当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴a＜0，开口向下，∴当x ＞2＞x 2时，y 随x 的增大而减小，故①正确；②：∵二次函数y ＝a （x+1）（x﹣m）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴a＜0，若图象经过点（0，1），则1＝a （0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m ＜2，141432∴﹣1＜a ＜﹣ ，故②错误；③：又∵对称轴为直线x ＝，1＜m ＜2，∴0＜＜ ，∴若（﹣2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y 1＜y 2，故③正确；④若图象上两点（，y 1），（+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，1＜m ＜2，∴该函数与x 轴的两个交点为（﹣1，0），（m ，0），∴0＜≤，解得1＜m≤ ，故④正确；∴①③④正确；②错误．故选：D ．二、填空题本大题共8个小题，每小题3分，共24分．11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为__________．答案：答案解析：∵点与点关于原点对称，∴点的坐标为；故答案为：1212m-+12m-+12141412m-+1432()2,1A -B B ()2,1-()2,1A -B B ()2,1-()2,1-12. 大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是______．答案：答案解析：背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，共有5种情况，“中”只有一种情况，随机抽取一张，背面恰好写着“中”字的概率是．故答案为：．13. 如图，设A(-2，y 1)、B(1，y 2)、C(2，y 3)是抛物线y=-(x+1)2+m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________(用“>”连接)．答案：y 1>y 2>y 3答案解析：由抛物线的解析式可知，其对称轴为x=-1∵点A 和点B 以及点C 的横坐标分别为-2,1，2∴点C 距离x=-1最远，点A 距离x=-1最近又∵抛物线的开口向下∴y 1＞y 2＞y 3，故答案为：y 1＞y 2＞y 3.15151514. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．答案：2答案解析：扇形的弧长==2πr，∴圆锥的底面半径为r=2．故答案为2．15. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O 是这段弧的圆心，C 是上一点，．垂足为D ，，，则这段弯路的半径是______m ．答案：答案解析：设这段弯路的半径是rm ，，则OA=OC=rm ，，∵OC⊥AB， ∴， 在Rt△AOD 中，由勾股定理得：，解得：，则这段弯路的半径是100m ，故答案为100。

天津市红桥区2022-2023学年九年级上学期期末练习数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．解方程24x =的结果为（ ） A ．2x = B ．4x =C ．12x =-，22x =D ．14x =-，24x =【答案】C【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：24x =， 解得：12x =-，22x =，故选：C ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：A 、B 、C 是轴对称图形，D 是中心对称图形． 故选D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．3．一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ） A ．至少有1个球是黑球 B ．至少有1个球是白球 C ．至少有2个球是黑球 D ．至少有2个球是白球【答案】A【分析】根据题意列举所有可能，即可求解．【详解】解：一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，可以是3个黑球，2个黑球和1个白球，1个黑球和2个白球， ∴至少有1个球是黑球， 故选：A ．【点睛】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能是解题的关键． 4．若1x =是关于x 的一元二次方程220x x m +-=的一个根，则m 的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．1- D ．1【答案】B【分析】根据一元二次方程根的定义，将1x =代入方程，得到关于m 的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：∴1x =是关于x 的一元二次方程220x x m +-=的一个根， ∴120m +-= 解得：3m =， 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．5．方程220x x +-=的两个根为（ ） A ．1221x x =-=， B ．1212x x =-=， C ．12 21x x =-=-， D ．1212x x ==，【答案】A【分析】根据解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答. 【详解】解：220x x +-=，(2)(1)0x x +-= ，20x +=或10x -=，12 21x x =-=，，故选：A.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键.6．如图，AB 是∴O 的直径，C 、D 是∴O 上的两点，若∴CAB ＝65°，则∴ADC 的度数为（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65°【答案】A【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∴ACB =90°，然后根据∴CAB =65°求得∴ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 【详解】解：∴AB 是直径， ∴∴ACB =90°， ∴∴CAB =65°，∴∴ABC =90°-∴CAB =25°， ∴∴ADC =∴ABC =25°， 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．7．将抛物线22y x =-向右平移1个单位，新的函数解析式为（ ） A ．2(1)2y x =-- B ．2(1)2y x =+-C ．2(2)1y x =++D ．22()1y x =-+【答案】A【分析】由平移的规律即可求得答案．【详解】解：将抛物线22y x =-向右平移1个单位，则函数解析式变为2(1)2y x =--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．8．若一个正六边形的边长为2，则其外接圆与内切圆的半径分别为（ ）A ．2，1B ．2C 2D ．3，则AOB 是等边三角形，3，9．若点()12,A y -，()21,B y -，31,2C y ⎛⎫⎪⎝⎭都在二次函数22y x x =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．231y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<BC=，AB的弦心距为3，则OC 10．如图，点C是∴O的弦AB上一点．若6AC=，2的长为（）A．3B．4C D故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．11．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC △.若点,,A D E 在同一条直线上，则BAD ∠的度数是（ ）A ．65︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】D【分析】由旋转的性质可得∴ABC=∴CDE ，再结合的邻补角的定义可得∴ABC+∴ADC=180°，根据四边形的内角和定理和∴BCD=90°，即可求出∴BAD 的度数． 【详解】解：∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AED ， ∴∴ABC=∴CDE ，∴BCD=90° ∴∴CDE +∴ADC=180°， ∴∴ABC+∴ADC=180°， 在四边形ABCD 中，∴ABC+∴BAD+∴ADC∴BCD=180° ∴∴BAD=90° 故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，以及四边形的内角和定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．12．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：有下列结论：∴抛物线的开口向下；∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0；∴抛物线的对称轴为直线12x =；∴函数2y ax bx c =++的最大值为254．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．不透明袋子中装有7个球，其中有4个红球、3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是______．【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．14．若关于x 的一元二次方程21202x x k +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．15．若1x ，2x 是一元二次方程2630x x --=的两个根，则12+x x 的值为______．16．某村种的水稻2020年平均每公顷产8000kg ，2022年平均每公顷产9680kg ，则该村水稻每公顷产量的年平均增长率为______． 【答案】10%【分析】设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x ，根据题意得，()2800019680x +=解得：120.110%, 2.1x x ===-（舍去） ∴该村水稻每公顷产量的年平均增长率为10%， 故答案为：10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 17．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到A B C ''△，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '．若点B '恰好落在AB 边上，则点A 到直线A C '的距离等于______．AQ A C 于,Q 得出sin 60AQ AC ，AQA C 于,Q224,23,AB AC AB BC =60B ∠由旋转的性质可知，BC B C '=，A CB '∠，60B A B C ，∴B BC '△是等边三角形，60,BCB∴30ACB ，60,A CA3sin 60233.2AQ AC∴A 到A C '的距离为3． 故答案为：3．18．当0m x ≤≤时，二次函数263y x x =---的最大值与最小值之和为2，则m 的值为______（写出所有满足条件的m 的值）． 226336yx x x ，抛物线开口向下，对称轴为直线 3，19．解下列关于x的方程．(1)2-=；x x230(2)2430--=．x x20．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、2-、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______；（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．21．已知ABC 内接于O ，AB AC =，72ABC ∠=︒，D 是O 上的点．(1)如图∴，求ADC ∠和BDC ∠的大小；(2)如图∴，OD AC ⊥，垂足为E ，求ODC ∠的大小．【答案】(1)108︒，36BDC ∠=︒(2)54︒【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补得出ADC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出CAB ∠，根据同弧所对的圆周角相等得出BDC ∠，即可求解；是O的内接四边形，︒．∆内接于O，AB为O的直径，过点O作AB的垂线，与AC相交于点E，22．已知ABC与过点C的O的切线相交于点D.(∴)如图∴，若67ABC ∠=︒，求D ∠的大小；(∴)如图∴，若EO EC =，2AB =，求CD 的长.323．如图，计划用总长为43m的篱笆（图中虚线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，其中x．边AB是墙（可利用的墙的长度为21m），中间共留两个1m的小门，设篱笆BC长为m(1)AB的长为______（m）（用含x的代数式表示）；(2)若矩形鸡舍ABCD的面积为2150m，求篱笆BC的长；(3)求矩形鸡舍ABCD面积的最大值及此时篱笆BC的长．-【答案】(1)453x(2)10m(3)矩形鸡舍ABCD面积的最大值为2168m，此时篱笆BC的长为8m【分析】（1）根据题意列出对应的代数式即可；24．在平面直角坐标系中，O 为原点，点1,0A ，点B 在y 轴的正半轴上，且30ABO ∠=︒，把ABO 绕点O 顺时针旋转，得A B O ''△，记旋转角为α．(1)如图∴，当30α=︒时，求点B '的坐标；α=︒时，设直线AA'与直线BB'相交于点M，求点M的坐标．(2)如图∴，当90是ABO旋转得到的，∠=，A3B'与x轴交于点30︒，．25．若二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()2,0A -，()0,4B -，其对称轴为直线1x =，与x 轴的另一交点为C ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M 在直线AB 上，且在第四象限，过点M 作MN x ⊥轴于点N ．∴若点N 在线段OC 上，且3MN NC =，求点M 的坐标；∴以MN 为对角线作正方形MPNQ （点P 在MN 右侧），当点P 在抛物线上时，求点M 的坐标．）解：二次函数又抛物线经过点点MN x⊥(,∴-M m∴2MN=∴=NC4=3MN NC四边形点点2⎝⎭【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．试卷第21页，共21页。

2019-2020学年天津市南开区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）1.（3分）如图，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2.（3分）以下说法合理的是（）A．___做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是D．___做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是3.（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°4.（3分）抛物线y＝x^2-5x+6与x轴的交点情况是（）A．有两个交点B．只有一个交点C．没有交点D．无法判断5.（3分）已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（）A．18平方厘米B．8平方厘米C．27平方厘米D．36平方厘米6.（3分）如图，⊙O是△___的外接圆，⊙O的半径为3，∠A＝45°，则弧BC的长是（）A．πB．π/2C．π/3D．π/47.（3分）若点A（x1，2），B（x2，5）都是反比例函数y＝k/x的图象上的点，则下列结论中正确的是（）A．x1＜x2B．x1＜＜x2C．x2＜x1＜D．x2＜＜x18.（3分）正比例函数y＝x与反比例函数y＝k/x的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（）A．1B．2C．4D．89.（3分）已知当x＞0时，反比例函数y＝k/x的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x^2-2(k+1)x+k^2-1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定10.（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，下列说法中正确的是（）A．OA：OA′＝1：3B．OA：AA′＝1：2C．OA：AA′＝1：3D．OA′：AA′＝1：311.在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H。

九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．109．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm211．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 718．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm，即OP＝6，∴点P在⊙O上．故选：B．2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不中心对称图形，故本选项不合题意；D、不中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π【分析】根据弧长公式l＝，计算即可．【解答】解：弧长＝＝，故选：D．4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列表法展示所以36种等可能的结果数，找出向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，然后根据概率公式进行计算．【解答】解：列表如下：共有6×6＝36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率＝＝．故选：D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，∴△ABC∽△DEF，∴＝，即＝，解得，DE＝，故选：B．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD＝20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC＝OA，即可求得∠ACO的度数【解答】解：∵AB为⊙O的直径，C为的中点，∴OC⊥AD，∵∠BAD＝20°，∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝70°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝＝＝55°，故选：C．7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．10【分析】直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则把y＝﹣4x+1代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△＝0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：x2+2x+k＝﹣4x+1，即x2+6x+（k﹣1）＝0，则△＝36﹣4（k﹣1）＝0，解得：k＝10．故选：D．9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意；故选：A．10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm2【分析】作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，由正六边形和等边三角形的性质求出GH＝PG+PQ+QH ＝9cm，由等边三角形的面积公式即可得出答案．【解答】解：如图所示：作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，如图所示：∵△GHM是等边三角形，∴∠MGH＝∠GHM＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠ABC＝120°，正六边形ABCDEF是轴对称图形，∵G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△GHM是等边三角形，∴AG＝BH＝3cm，∠MGH＝∠GHM＝60°，∠AGH＝∠FGM＝60°，∴∠BAF+∠AGH＝180°，∴AB∥GH，∵作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，∴PQ＝AB＝6cm，∠PAG＝90°﹣60°＝30°，∴PG＝AG＝cm，同理：QH＝cm，∴GH＝PG+PQ+QH＝9cm，∴△GHM的面积＝GH2＝cm2；故选：A．11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝α，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，∴AB＝AD，∠BAD＝α，∴∠B＝＝90°﹣，故选：C．12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．【解答】解：当0≤t≤2时，S＝＝，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当2＜t≤4时，S＝﹣＝，即S与t是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C符合题意，故选：C．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．【解答】解：∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，∴随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是，故答案为．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件AC2＝DC•BC（答案不唯一）．【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD＝∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠B或∠ADC＝∠BAC；②AC2＝DC•BC；故答案为：AC2＝DC•BC（答案不唯一）．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为4．【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为，可求出AB的长，则DB的长可求出．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴＝，∴＝，∵AD＝4，∴AB＝4．∴DB＝AB﹣AD＝4﹣4．故答案为：4﹣4．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为20cm．【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到CA＝CE，DE＝DB，然后三角形周长的定义得到△PDC 的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PB＝PA＝10cm，∵CA与CE为⊙的切线，∴CA＝CE，同理得到DE＝DB，∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC∴△PDC的周长＝PA+PB＝20cm，故答案为20cm．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为﹣1 ．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．【解答】解：根据图表可以得到，点（﹣2，7）与（4，7）是对称点，点（﹣1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x＝1，∴横坐标是2的点与（0，﹣1）是对称点，∴m＝﹣1．18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为﹣1 ．【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣7x﹣30＝0，（x﹣10）（x+3）＝0，x﹣10＝0，x+3＝0，x1＝10，x2＝﹣3．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】解：（1）如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，所有两次摸出的小球标号相同的概率为＝；（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种，所以其概率为．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案；（2）首先连接OE，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：（1）连接OD，∵OA为半径的圆与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ADO＝25°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；（2）连接OF，OD，由（1）得：OD∥AC，∴∠AFO＝∠FOD，∵OA＝OF，点F为的中点，∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵OA＝OD＝2，∴OB＝2OD＝4，∴AB＝OA+OB＝6．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，可得，由此即可解决问题；（Ⅱ）由PB∥DC，可得，可得PA的长．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵，∴，又∵BF＝15，∴，∴；（Ⅱ）解：能．∵四边形ABCD是平行四边形，∴PB∥DC，AB＝DC＝8，∴，∴，∴PA＝．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；（2）设AB＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得：x（100﹣2x）＝450解得：x1＝5，x2＝45当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100﹣2x＝10＜20答：AD的长为10m；（2）设AB＝xm，则S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，（0＜x≤70）∴x＝50时，S的最大值是1250．答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由图形得∠BAE＝∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA＝∠BAD+45°，可得∠BAE＝∠CDA，根据∠B＝∠C＝45°，证明两个三角形相似；（2）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠BAD+45°，∠CDA＝∠BAD+45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；（2）解：成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，则CE＝BH，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°．连接HD，在△EAD和△HAD中，，∴△EAD≌△HAD（SAS）．∴DH＝DE．又∠HBD＝∠ABH+∠ABD＝90°，∴BD2+BH2＝HD2，即BD2+CE2＝DE2．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x 轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，∴＝，∴．∴PE+PA的最小值是3．。

2020-2021学年天津市南开区九年级上学期数学期末试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键．2. 下列事件中，是随机事件的是（）A. 画一个三角形，其内角和是180°B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5C. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片D. 明天太阳从东方升起【答案】B【解析】【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，据此逐项判断即可．【详解】解：、画一个三角形，其内角和是，是必然事件；A180、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5，属于随机事件；B、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；C 、明天太阳从东方升起，是必然事件；D 故选：B ．【点睛】本题主要考查随机事件的概念：随机事件是可能发生，也可能不发生的事件．3. 对于反比例函数y=，下列判断正确的是( ) 3xA. 图象经过点(-1，3)B. 图象在第二、四象限C. 不论x 为何值，y>0D. 图象所在的第一象限内，y 随x 的增大而减小【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质：当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，k y x=在每一象限内y 随x 的增大而减小，以及凡是反比例函数经过的点横纵坐标之积进行分k =析即可．【详解】A 、，该选项错误；133k -⨯=-≠B 、∵，∴图象在第一、三象限，该选项错误；30k =>C 、∵，∴当时，，该选项错误；30k =>0x >0y >D 、∵，∴图象所在的第一象限内，y 随x 的增大而减小，该选项正确； 30k =>故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：（1）k y x=反比例函数的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．4. 如图，四边形ABCD 是正方形，点E 、F 分别在线段BC 、DC 上，∠BAE＝25°，若线段AE 绕点A 逆时针旋转后与线段AF 重合，则旋转的角度是（ ）A. 25°B. 40°C. 90°D. 50° 【答案】B【解析】【分析】证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL ），可得∠BAE＝∠DAF＝25°，求出∠EAF 即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD ，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°由旋转不变性可知：AE ＝AF ，在Rt△ABE 和Rt△ADF 中，， AB AD AE AF =⎧⎨=⎩∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL ），∴∠BAE＝∠DAF＝25°，∴∠EAF＝90°﹣25°﹣25°＝40°，∴旋转角为40°，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，求出Rt△ABE 和Rt△ADF 全等是解题的关键，也是本题的难点．5. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则AC 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，解比例方程可求出EC ，最后即AD AE DB EC=可求出AC ． 【详解】∵DE∥BC， ∴，即， AD AE DB EC =643EC=解得：EC ＝2，∴AC＝AE+EC ＝4+2＝6；故选C ．【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理及推论和比例的基本性质是解决此题的关键．6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ）A. ∠ADCB. ∠ABDC. ∠BACD. ∠BAD【答案】D【解析】 【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD＝∠BAD，得出∠ACD+∠BAD＝90°，即可得出答案．【详解】解：连接BC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠ACD+∠BAD＝90°，故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确掌握圆周角定理是解题的关键．7. 已知是反比例函数上的三点，若，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 2y x=123x x x <<，则下列关系式不正确的是 （ ）213y y y <<A. B. C. D. 120x x <130x x <230x x <120x x +<【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数和x 1＜x 2＜x 3，y 2＜y 1＜y 3，可得点A ，B 在第三象限，点C 2y x=在第一象限，得出x 1＜x 2＜0＜x 3，再选择即可．【详解】解：∵反比例函数中，2＞0， 2y x=∴在每一象限内，y 随x 的增大而减小，∵x 1＜x 2＜x 3，y 2＜y 1＜y 3，∴点A ，B 在第三象限，点C 在第一象限，∴x 1＜x 2＜0＜x 3，∴x 1•x 2＞0，x 1•x 3＜0，x 2•x 3＜0，x 1＋x 2＜0，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题是逆用，难度有点大．8. 已知k 1＜0＜k 2，则函数y=k 1x 和的图像大致是（ ） 2k y x =A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】∵k 1＜0＜k 2，∴直线过二、四象限，并且经过原点；双曲线位于一、三象限．故选D ．9. 如图，切于点切于点交于点，下列结论中不一定成PA O ,A PB O B PO ，O C 立的是（ ）A. B. 平分PA PB =PO APB ∠C.D.AB OP ⊥2PAB APO ∠=∠【答案】D【解析】 【分析】利用切线长定理证明△PAG≌△PBG 即可得出．【详解】解：连接OA ，OB ，AB ，AB 交PO 于点G ，由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA ＝PB ，又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，从而AB⊥OP．因此A ．B ．C 都正确．无法得出AB ＝PA ＝PB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质，关键是利用切线长定理解答．10. 已知二次函数y ＝x 2﹣（m﹣2）x ＋4图象的顶点在坐标轴上，则m 的值一定不是（ ）A. 2B. 6C. ﹣2D. 0【答案】D【解析】【分析】先把二次函数的解析式化为顶点式，再利用该函数图象的顶点在坐标轴上，可以得到关于 的方程，解方程从而可得答案． m 【详解】解：∵二次函数 ()()22222244,24m m y x m x x --⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭∴该函数的顶点坐标为 ()222,4,22m m ⎡⎤---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∵二次函数图象的顶点在坐标轴上， ()224y x m x =--+∴或， 202-=m ()22404m --+=当时， 202-=m 2,m =当时， ()22404m --+=()2216,m -=或24m ∴-=24,m -=-或6m ∴=2,m =-综上：或或2m =6m = 2.m =-故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标在坐标轴上的坐标特点是解题的关键．11. 如图，⊙O 的半径为1，点 O 到直线 的距离为2，点 P 是直线上的一个动点，PA 切⊙O a a 于点 A ，则 PA 的最小值是（ ）A. 1 C. 2【答案】B【解析】 【分析】因为PA 为切线，所以△OPA 是直角三角形．又OA 为半径为定值，所以当OP 最小时，PA 最小．根据垂线段最短，知OP=2时PA 最小．运用勾股定理求解．【详解】解：作OP⊥a 于P 点，则OP=2．根据题意，在Rt△OPA 中，故选：B ．【点睛】此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA 最小时点P 的位置是解题的关键，难度中等偏上．12. 如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），直线y 2＝mx ＋n （m≠0）与抛物线交于A 、B 两点，结合图象分析下列结论：①2a＋b ＝0；②abc＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）．其中正确的是（ ）A. ①②③B. ②④C. ①③④D. ①③⑤【答案】C【解析】 【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a ＜0，由对称轴位置可得b ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c ＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据函数图象得当1＜x ＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对④进行判断；根据抛物线的对称性对⑤进行判断．【详解】∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴抛物线的对称轴为直线x ＝＝1， 2b a∴2a＋b ＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴x＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 与直线y 2＝mx ＋n （m≠0）交于A （1，3），B 点（4，0）， ∴当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，所以④正确．∵抛物线与x 轴的一个交点为（4，0），而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣2，0），所以⑤错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识，考查知识点较多，解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分13. 已知，则________． 45a b =a b=【答案】 54【解析】【分析】由分式的基本性质进行化简，即可得到答案． 【详解】解：由，得． 45a b =54a b =故答案为：． 54【点睛】本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质进行解题．14. 现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是__________．【答案】．12【解析】【分析】找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7；能组成三角形的结果有2个（2、6、7，4、6、7，）， ∴能构成三角形的概率为 2142=故答案为．12【点睛】本题考查了树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=． m n 15. 下列y 关于x 的函数中，y 随x 的增大而增大的有_____．（填序号）①y＝﹣2x+1，②y ，③y＝（x+2）2+1（x ＞0），④y＝﹣2（x﹣3）2﹣1（x ＜0） 1x =【答案】③④【解析】【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断.【详解】解：y 随x 的增大而增大的函数有③④，故答案为③④．【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质，解决本题的关键是熟练掌握一次函数,二次函数,反比例函数图像性质.16. 如图，菱形的顶点C 的坐标为，顶点A 在x 轴的正半轴上.反比例函数OABC (3,4)的图象经过顶点B ，则k 的值为__． (0)k y x x=>【答案】32【解析】【分析】根据点C 的坐标以及菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值．【详解】∵C（3，4），，∴CB=OC=5，则点B 的横坐标为3+5=8，故B 的坐标为：（8，4），将点B 的坐标代入y=得， k x 4=， k 8解得：k=32．故答案为32．【点睛】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B 的坐标．17. 如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以点A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形ABF ，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和π）．【答案】π 43【解析】 【分析】设正六边形的中心为点O ，连接OD 、OE ，作OH⊥DE 于H ，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH 和正六边形ABCDEF 的面积，再求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF 的面积，即可得出结果．【详解】解：设正六边形的中心为点O ，连接OD 、OE ，作OH⊥DE 于H ，如图所示：∠DOE＝＝60°， 3606∴OD＝OE ＝DE ＝2，∴正六边形ABCDEF 的面积＝＝， 12∠A＝， ()621801206-⨯︒=︒∴扇形ABF 的面积， 2120243603ππ⨯==∴图中阴影部分的面积， 43π=-故答案为：． 43π【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．18. 如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，请借助网格，仅用无刻度的直尺在网格中作出△ABC 的高AH ，并简要说明作图方法（不要求证明）：_____．【答案】取格点M ，N ，分别连接BM ，CN ，BM ，CN 交于点E ，连接AE 并延长交BC 于点H ，则AH 即为所求．【解析】【分析】取格点M ，N ，分别连接BM ，CN ，BM ，CN 交于点E ，连接AE 并延长交BC 于点H ，根据三角形的三条高线交于一点可得AH 即为所求．【详解】如图，取格点M ，N ，分别连接BM ，CN ，BM ，CN 交于点E ，连接AE 并延长交BC 于点H ，则AH 即为所求．∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴AH⊥BC．故答案为：取格点M ，N ，分别连接BM ，CN ，BM ，CN 交于点E ，连接AE 并延长交BC 于点H ，则AH 即为所求．【点睛】本题考查了作图—基本作图，解题关键是掌握三角形的三条高线交于一点．三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，放在一个口袋中，随机的摸出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球．（1）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果，并回答两次摸球出现的所有可能结果共有几种．（2）求两次摸出的球的标号相同的概率；（2）求两次摸出的球的标号的和等于4的概率．【答案】（1）树状图见解析，两次摸球出现的所有可能结果共有16种；（2）；（3） 14316【解析】【分析】（1）画出树状图，然后统计一下所有情况即可；（2）根据树状图，统计出两次摸出的球的标号相同种数，利用概率公式列式计算即可得解；（3）根据树状图两次摸出的球的标号的和等于4有3次，根据概率公式列式进行计算即可得解．【详解】解：（1）画树状图如下：两次摸球出现的所有可能结果共有16种；（2）两次摸出的球的标号相同有4种， 所以，（两次摸出的球的标号相同）； P 41164==（3）两次摸出的球的标号的和等于4有3次， 所以，（两次摸出的球的标号的和等于4）． P 316=【点睛】本题考查画树状图，求概率问题，掌握树状图的画法，审清抽出后是否放回，会用树状图统计总体情况，与需要的具体情况，会用概率公式求出现的机会．20. 如图，A 、B 是双曲线上的点，点A 的坐标是（1，4），B 是线段AC 的中点． k y x=（1）求k 的值；（2）求△OAC 的面积．【答案】（1）4；（2）6．【解析】【分析】（1）将点A 的坐标代入求出k 的值；（2）根据中点得出点B 的纵坐标为2，然后求出横坐标，得出点B 和点C 的坐标求出三角形的面积．【详解】解：（1）将A （1，4）代入 得 k=4； k y x=（2）作AD⊥x 轴于点D ，BE⊥x 轴于点E ，∴AD//BE，∵A（1，4），∴AD=4，OD=1．又∵B 为AC 的中点，∴E 为DC 的中点，∴，CE=DE 122BE AD ==∴B 点的纵坐标为2，则有B 点坐标为（2，2）．∴DE=CE=2-1=1，即OC=3，∴C（3，0）∴△OAC 的面积是 =6． 1342⨯⨯【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．21. 如图，在等边三角形ABC 中，点E 为CB 边上一点（与点C 不重合），点F 是AC 边上一点，若AB ＝5，BE ＝2，∠AEF＝60°，求AF 的长度．【答案】 195【解析】【分析】先利用等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝5，再利用三角形外角性质得∠BAE＝∠CEF，则可判断△ABE∽△ECF，于是可利用相似比计算出CF 的长，然后计算AC﹣CF 即可．【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝5，∵BE＝2，∴CE＝3，∵∠AEC＝∠BAE＋∠B，即∠AEF＋∠CEF＝∠BAE＋∠B，而∠AEF＝60°，∠B＝60°，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECF， ∴＝，即＝， BE CF AB EC 2CF 53∴CF＝， 65∴AF＝AC﹣CF＝5﹣＝． 65195【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、相似比、线段的和差等知识，解答本题的关键是通过已知条件找到△ABE∽△ECF．22. 在△ABC 中，，以边AB 上一点O 为圆心，OA 为半径的圈与BC 相切于点D ，90︒∠=C 分别交AB ，AC 于点E ，F（I ）如图①，连接AD ，若，求∠B 的大小；25CAD ︒∠=（Ⅱ）如图②，若点F 为的中点，的半径为2，求AB 的长． AD O【答案】(1)∠B=40°；(2)AB= 6.【解析】【分析】（1）连接OD ，由在△ABC 中, ∠C=90°，BC 是切线,易得AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO ,继而求得答案;（2）首先连接OF,OD,由AC∥OD 得∠OFA=∠FOD ,由点F 为弧AD 的中点,易得△AOF 是等边三角形,继而求得答案.【详解】解:(1)如解图①,连接OD,∵BC 切⊙O 于点D,∴∠ODB=90°,∵∠C=90°,∴AC∥OD,∴∠CAD=∠ADO,∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,∵∠ODB=90°,∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;(2)如解图②,连接OF,OD,∵AC∥OD,∴∠OFA=∠FOD,∵点F为弧AD的中点,∴∠AOF=∠FOD,∴∠OFA=∠AOF,∴AF=OA,∵OA=OF,∴△AOF为等边三角形,∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,∴∠B=30°,∵在Rt△ODB中,OD=2,∴OB=4,∴AB=AO＋OB=2＋4=6.【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△AOF为等边三角形是解（2）的关键.23. 如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2，平行于墙的边为xm．若x不小于17m，（1）求出s关于x的函数关系式；（2）求s的最大值与最小值．【答案】（1）S ＝﹣x 2＋x （17≤x≤27）；（2）最大值是m 2，最小值是238m 2 1245220258【解析】 【分析】（1）由于平行于墙的边为xm ，则垂直于墙的一面长为（45﹣x）m ，由面积公式12写出S 与x 的函数关系式，进而求出x 的取值范围；（2）根据二次函数的性质，即可求得当x 取何值时，这个花园的面积有最大值，最大值是多少，根据|27﹣|＜|17﹣|，得到x ＝17时，S 最小，把x ＝17代入解析式求出最小452452值．【详解】解：（1）平行于墙的边为xm ，矩形菜园的面积为ym 2．则垂直于墙的一面长为（45﹣x）m ，12根据题意得：S ＝x （45﹣x）＝﹣x 2＋x （17≤x≤27）； 1212452（2）∵S＝﹣x 2＋x ＝﹣（x 2﹣45）＝﹣（x﹣）2＋（17≤x≤27）， 12452121245220258∵17≤x≤27，a ＝﹣＜0，12∴当x ＝m 时，S 取得最大值，此时S ＝m 2， 45220258∵|27﹣|＜|17﹣|， 452452∴x＝17m 时，S 取得最小值，此时S ＝238m 2， 答：S 的最大值是m 2，最小值是238m 2． 20258【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二次函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．24. 平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A ，C 在坐标轴上，点B （，），P 是66射线OB 上一点，将绕点A 顺时针旋转90°，得，Q 是点P 旋转后的对应点.AOP ABQ（1）如图（1）当OP = 时，求点Q 的坐标；（2）如图（2），设点P （，）（），的面积为S. 求S 与的函数关系x y 06x <<APQ △x 式，并写出当S 取最小值时，点P 的坐标；（3）当BP+BQ = 时，求点Q 的坐标（直接写出结果即可）【答案】（1）；（2），；（3）．(8,4)Q 2618S x x =-+(3,3)P (13,1)Q -【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质、解直角三角形可得，，再根据2OG PG ==4AG =三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，由此2,4AH PG QH AG ====8OH =即可得出答案；（2）先根据正方形的性质得出，，再根据旋转的性质、勾股定理可得OG PG x ==x y =，，然后根据直角三角形的面积公式可得S 与2221236AP x x =-+,90AP AQ PAQ =∠=︒x 的函数关系式，最后利用二次函数的解析式即可得点P 的坐标；（3）先根据旋转的性质、正方形的性质得出，，从而得出点P BP OP +=OB =在OB 的延长线上，再根据线段的和差可得，然后同（1）的方法可得OP BP ==，，最后根据三角形全等的性质、线段的和差可得7OG PG ===APG QAH ≅ ，由此即可得出答案．1,13QH OH ==【详解】（1）如图1，过P 点作轴于点G ，过Q 点作轴于点HPG x ⊥QHx ⊥∵四边形OABC 是正方形∴45AOB ∠=︒∵(6,6)B ∴6OA =在中，， Rt OPG sin 452PG OP =⋅︒==2OG PG ==∴4AG OA OG =-=∵绕点A 顺时针旋转得到AOP 90︒ABQ ∴， ,AQ AP BQ OP ==PAG BAQ ∠=∠90APG PAG QAH BAQ ∠+∠=∠+∠=︒APG QAH ∴∠=∠在和中，APG QAH 90AGP QHA APG QAH AP QA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()APG QAH AAS ≅ ∴2,4AH PG QH AG ====∴628OH OA AH =+=+=则点Q 的坐标为；(8,4)Q （2）如图2，过P 点作轴于点GPG x ⊥∵绕点A 顺时针旋转得到AOP 90︒ABQ ∴,90AP AQ PAQ =∠=︒∵(,),45P x y POG ∠=︒∴，OG PG x ==x y =∴6AG OA OG x =-=-在中，由勾股定理得：Rt APG △22222(6)AP AG PG x x =+=-+整理得：2221236AP x x =-+∴ 226181122AP AQ A x P S x =⋅==-+整理得：2(3)9S x =-+06x << 由二次函数的性质可知，当时，S 随x 的增大而减小；当时，S 随x 的∴03x <≤36x <<增大而增大则当时，S 取得最小值，最小值为93x =此时3==y x 故点P 的坐标为；(3,3)P （3）∵绕点A 顺时针旋转得到AOP 90︒ABQ ∴OP BQ =∵BP BQ +=∴BP OP +=∵四边形OABC 是正方形，且边长6OA AB ==对角线∴OB ==<∴点P 在OB 的延长线上∴2BP OP OP OB OP OP +=-+=-=解得OP =BP OP OB ∴=-=如图3，过P 点作轴于点G ，过Q 点作轴于点H PG x ⊥QHx ⊥同（1）可得：， 7OG PG ===APG QAH ≅ ，761QH AG OG OA ∴==-=-=7AH PG ==6713OH OA AH ∴=+=+=则点Q 的坐标为．(13,1)Q -【点睛】 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、解直角三角形、三角形全等的判定定理与性质、二次函数的性质等知识点，较难的是题（3），正确得出点P 的位置是解题关键．25. 在平面直角坐标系中，设二次函数，其中；22y x x a a =---0a >（1）若函数y 的图象经过点（1，﹣2），求函数y 的解析式；（2）若抛物线与x 轴的两交点坐标为A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴的交点为C ，满足OC ＝2OB 时，求的值．a （3）已知点和在函数y 的图象上，若m ＜n ，求的取值范围．0(,)P x m (1,)Q n 0x 【答案】（1）；（2）；（3）；2y x x 2=--2a =001x <<【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）由二次函数图象上点的坐标特征，得点A 、B 、C 的坐标，根据OC ＝2OB ，求的值；a （3）根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）函数 的图象经过点（1，﹣2），得 22y x x a a =---22a a --=-整理得：，∴ 得：或；(2)(1)0a a +-=2a =-1a =又由题知，，∴ ；0a >1a =∴ 函数y 的解析式：；2y x x 2=--（2）当时，整理得：；0y =220x x a a ---=()(1)0x a x a +--=解得：或；1x a =-21x a =+图象与x 轴的交点是A ，B ，(,0)a -(1,0)a +当时，，即C ；0x =2y a a =--2(0,)a a --∵OC＝2OB ， ∴；221a a a --=+∵，0a >∴，22(1)a a a +=+整理得：，∴ ，220a a --=(2)(1)0a a -+=解得：或（舍去）；2a =1a =-∴；2a =（3）当P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随x 的增大而减小，（1，n ）与（0，n ）关于对称轴对称，由m ＜n ，得： 0＜≤；0x 12当时P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得＜＜1，120x 综上所述：当m ＜n 时，的取值范围：0＜＜1；0x 0x ∴ 的取值范围：0＜＜1．0x 0x 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式及基本性质，重点理解对称轴的应用及对应一元二次方程的求解．。

2021-2022学年天津市河东区九年级（上）期末数学试卷1.方程x2=x的解是( )A. x=1B. x=0C. x1=−1，x2=0D. x1=1，x2=02.方程(x+1)(x+2)=0化为一般形式后，常数项为( )A. 6B. −8C. 2D. −43.点P(3,−2)关于原点O的对称点P′的坐标是( )A. (3,−2)B. (−3,2)C. (−3,−2)D. (2,3)4.下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是( )A. B. C. D.5.对于二次函数y=−2(x+3)2的图象，下列说法正确的是( )A. 开口向上B. 对称轴是直线x=−3C. 当x>−4时，y随x的增大而减小D. 顶点坐标为(−2,−3)6.把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是( )A. y=5(x−2)2+3B. y=5(x+2)2−3C. y=5(x+2)2+3D. y=5(x−2)2−37.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB=30∘，BC=4.5，则AB的长度为( )A. 6B. 3C. 9D. 128.下列说法正确的是( )A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是13B. 某种彩票中奖的概率是1，那么买10000张这种彩票一定会中奖10000C. 掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率9.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是(−1,0)，现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90∘，则旋转后点C的坐标是( )A. (2,−3)B. (−2,3)C. (−2,2)D. (−3,2)10.若点(−3,y1)，B(2,y2)，C(5,y3)都在反比例函数y=a 2+1x(a为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y2<y3<y1D. y1<y3<y211.反比例函数y=−4x与一次函数y=x−2在同一坐标系中的大致图象可能是( )A. B. C. D.12.抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的图象过点(3,0)，对称轴为直线x=1，有下列四个结论：①abc>0；②a−b+c=0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1=0有实数根．其中正确的为( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④13.若m是方程2x2−3x−2=0的一个根，则−6m2+9m−13的值为______.14.一个袋中有形状材料均相同的白球2个、红球3个，任意摸一个球是红球的概率______.15.如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为______.16.抛物线y=−x2+2x−1的图象与x轴交点的个数是______.17.有七张正面分别标有数字−3，−2，−1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程ax2−2(a−1)x+(a−3)=0有两个不相等的实数根，且使反比例函数y=3−ax的图象分布在一、三象限的概率是______.⏜上一动点，以BC为边作正方形BCDE(使BC⏜在18.如图，点C是半圆AB正方形内)，连OE，若AB=4cm，则OE的最大值为______cm.19.解方程．(1)x2−3x=0；(2)2x(3x−2)=2−3x.20.随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．(1)请用列表法或画树状图法，求两位老师所有可能出现的支付方式；(2)求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率．21.如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE=25∘，求∠C的度数；(2)若AB=AC，CE=2，直接写出AC的长．22.已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(−3,0)，(2,−5).(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P(−2,3)是否在这个二次函数的图象上？23.某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整数).(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？24.将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D 分别是对应点，连接BG.(1)如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE.①求证：BE平分∠AEC.②取BC的中点P，连接PH，求证：PH//CG.③若BC=2AB=2，求BG的长．(2)若点A，E，D第二次在同一直线上，BC=2AB=4，直接写出点D到BG的距离．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B.且点A(0,5)，B(5,0)，点P为抛物线上的一动点．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，若点P在AC的上方，作PD平行于y轴交AB于点D，连接PA，PC，当S四边形APCD =245S△AOE时，求点P坐标；(3)设抛物线的对称轴与AB交于点M，点Q在直线AB上，当以点M、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：x2=x，移项得x2−x=0，提公因式得x(x−1)=0，解得x1=1，x2=0.故选：D.利用提公因式法解方程即可．本题主要考查了解一元二次方程．解题的关键是因式分解的应用．2.【答案】C【解析】解：(x+1)(x+2)=0，x2+3x+2=0，常数项为2，故选：C.首先利用多项式乘法计算方程的左边，可化为x2+3x+2=0，进而可得到常数项．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c= 0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3.【答案】B【解析】解：点P(3,−2)关于原点O的对称点P′的坐标是(−3,2).故选：B.根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．4.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．根据中心对称图形的定义旋转180∘后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】B【解析】解：由y=−2(x+3)2得抛物线开口向下，对称轴为直线x=−3，顶点坐标为(−3,0)，x≤−3时y随x增大而增大，x>−3时y随x增大而减小．故选：B.根据抛物线的性质由a=−2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为(−3,0)，对称轴为直线x=−3，当x>−3时，y随的增大而减小．本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式y=a(x−ℎ)2的性质．6.【答案】C【解析】解：将抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数解析式是：y= 5(x+2)2+3.故选：C.按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．7.【答案】C【解析】解：如图，连接AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∵∠CAB=∠CDB=30∘，BC=4.5，∴AB=2BC=9，连接AC，由圆周角定理得∠ACB=90∘，∠CAB=∠CDB=30∘，再由含30∘角的直角三角形的性质求解即可．本题考查了圆周角定理、含30∘角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8.【答案】D【解析】解：A.掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是1，此选项错误，不符合题意；6，那么买10000张这种彩票不一定会中奖，原命题说法是错误的，B.某种彩票中奖的概率是110000此选项不符合题意；，“一枚硬币正面朝上，一C.连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率是14，此选项错误，不符合题意；枚硬币反面朝上”的概率是12D.通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此选项符合题意；故选：D.根据概率的意义以及随机事件和必然事件的定义对各选项分析判断即可得解．本题主要考查概率公式和列表法与树状图法，解题的关键是掌握概率的意义与概率公式及树状图法与列表法求概率．9.【答案】B【解析】解：观察图像，可知C′(−2,3)，故选：B.利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′可得结论．本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．10.【答案】D【解析】解：∵a2+1>0，(a为常数)的图象在第一、三象限，∴反比例函数y=a2+1x∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵5>2>0，∴0<y3<y2，∵−3<0，∴y1<0，∴y1<y3<y2，故选：D.根据反比例函数的图象与性质即可得出答案．本题考查了反比例函数图象上点的特征，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．11.【答案】C与一次函数y=x−2可知，反比例函数的图象在二、四象限，【解析】解：由反比例函数y=−4x一次函数的图象通过一、三、四象限，故选：C.根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限，据此即可选C.本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．12.【答案】D【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴x=−b=1，2a∴b=−2a>0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴的交点(3,0)，对称轴为直线x=1，∴抛物线x轴的另一个交点在(−1,0)，∴当x=−1时，y=a−b+c=0，即②正确；由图象无法判断y的最大值，故③错误；方程ax2+bx+c+1=0的根的个数，可看作二次函数y=ax2+bx+c与y=−1的图象的交点个数，由图象可知，必然有2个交点，即方程ax2+bx+c+1=0有2个不相等的实数根．故④正确．故选：D.由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系；当x=−1时，y=a−b+c；然后由图象确定当y=−1时，x的值有2个．本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，函数思想，数形结合等．关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y 轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右，(简称：左同右异)；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c).13.【答案】−19【解析】解：∵m是方程2x2−3x−2=0的一个根，∴2m2−3m−2=0，∴2m2−3m=2，∴−6m2+9m−13=−3(2m2−3m)−13=−3×2−13=−19故答案为：−19.由已知可得2m2−3m−2=0，再化简所求代数为−6m2+9m−13=−3(2m2−3m)−13，即可求解．本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．14.【答案】35【解析】解：从袋中任意摸一个球共有5种等可能结果，其中任意摸一个球是红球的有3种结果，，所以任意摸一个球是红球的概率为35.故答案为：35根据概率公式求解即可．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．15.【答案】8π5【解析】解：连接OB，OD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E=∠A=180∘−360∘5=108∘.∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA=∠ODE=90∘，∴∠BOD=(5−2)×180∘−90∘−108∘−108∘−90∘=144∘，∴劣弧BD的长为144π×2180=85π，故答案为：85π.根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠A，根据切线的性质可求出∠OBA、∠ODE，从而可求出∠BOD 的度数，根据弧长的公式即可得到结论．本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．16.【答案】1【解析】解：∵y=−x2+2x−1中Δ=22−4=0，∴抛物线与x轴有1个交点，故答案为：1.通过判别式Δ求解．本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握抛物线与x轴交点个数与Δ之间的关系．17.【答案】27【解析】解：令Δ=[−2(a−1)]2−4a(a−3)=4a+4>0且a≠0，解得：a>−1且a≠0，∴使关于x的一元二次方程ax2−2(a−1)x+(a−3)=0有两个不相等的实数根的数有1，2，3.∵反比例函数y=3−ax的图象分布在一、三象限，∴3−a>0，∴a<3，∴符合题意的数字为1，2，0，−1，−2，−3，∴满足一元二次方程和反比例函数图像的要求的a值只有1，2，∴该事件的概率为27.故答案为：27.令根的判别式Δ>0可求出使关于x的一元二次方程ax2−2(a−1)x+(a−3)=0有两个不相等的实数根的a的值，利用反比例函数的性质得出a<3，求得符合题意的数字为1，2，再利用随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可求出结论．本题考查了概率公式、根的判别式以及反比例函数的性质，利用根的判别式Δ>0及反比例函数的性质，找出使得事件成立的a的值是解题的关键．18.【答案】(2√2+2)【解析】解：如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，∵四边形BCDE是正方形，∴∠BCD=∠CBE=90∘，CD=BC=BE=DE，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∴∠BCD+∠OCB=∠CBE+∠OBC，即∠OCD=∠OBE，∴△OCD≌△OBE(SAS)，∴OE=OD，根据旋转的性质，观察图形可知当DO⊥AB时，DO最长，即OE最长，∵∠MCB=12∠MOB=12×90∘=45∘，∴∠DCM=∠BCM=45∘，∵四边形BCDE是正方形，∴C、M、E共线，∠DEM=∠BEM，在△EMD和△EMB中，{DE=BC∠MED=∠MEB ME=ME，∴△MED≌△MEB(SAS)，∴DM=BM=√OM2+OB2=√22+22=2√2(cm)，∴OD的最大值=2√2+2，即OE的最大值=2√2+2；故答案为：(2√2+2)cm.如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，通过△OCD≌△OBE(SAS)，可得OE=OD，通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，此时OE最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，先证明△MED≌△MEB，得MD=BM.再利用勾股定理计算即可．本题考查正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是OD取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论，属于中考常考题型．x(x−3)=0，∴x=0或x−3=0，∴x1=0，x2=3；(2)2x(3x−2)=2−3x，2x(3x−2)+(3x−2)=0，则(3x−2)(2x+1)=0，∴3x−2=0或2x+1=0，解得x1=2，x2=−1.3【解析】利用因式分解法解方程．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.【答案】解：(1)把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表如下：1种，.∴马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为19【解析】(1)把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果；(2)共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可．此题考查的是列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90∘，∵∠ADE=25∘，∴∠AOE=2∠ADE=50∘，∴∠C=90∘−∠AOE=90∘−50∘=40∘；(2)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90∘，∴∠AOC+∠C=90∘，∴3∠C=90∘，∴∠C=30∘，∴OA=12OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=12(r+2)解得：r=2，∴OA=r=2，∴AC=√3OA=2√3.【解析】(1)连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；(2)根据直角三角形的性质先求出半径，然后利用含30度角的直角三角形的性质解答即可．此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．22.【答案】解：(1)由题意得，{9a −3b +3=04a +2b +3=−5， 解得，{a =−1b =−2， 则二次函数的解析式为y =−x 2−2x +3；(2)当x =−2时，y =−(−2)2−2×(−2)+3=3，∴点P(−2,3)在这个二次函数的图象上．【解析】(1)根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a ，b ，得到此二次函数的解析式；(2)把x =−2代入函数解析式计算，判断即可．本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．23.【答案】解：(1)y 与x 的函数关系式为y ={−10x +700(40≤x ≤60)5x −200(60<x ≤70)； (2)设获得的利润为w 元，①当40≤x ≤60时，w =(x −30)(−10x +700)=−10(x −50)2+4000，∵−10<0，∴当x =50时，w 有最大值，最大值为4000元；②当60<x ≤70时，w =(x −30)(5x −200)−150(x −60)=5(x −50)2+2500，∵5>0，∴当60<x ≤70时，w 随x 的增大而增大，∴当x =70时，w 有最大，最大值为5(70−50)2+2500=4500(元)，∴4500>4000，综上所述，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．【解析】解：(1)设线段AB 的表达式为y =kx +b(40≤x ≤60)，将点(40,300)、(60,100)代入上式，得{300=40k +b 100=60k +b， 解得{k =−10b =700， ∴线段AB 的表达式为y =−10x +700(40≤x ≤60)，设线段BC 的表达式为y =mx +n(60<x ≤70)，将点(60,100)、(70,150)代入上式，得{60k +b =10070k +b =150， 解得{k =5b =−200， ∴线段BC 的表达式为y =5x −200(60<x ≤70)，∴y 与x 的函数关系式为y ={−10x +700(40≤x ≤60)5x −200(60<x ≤70)； (2)见答案；本题考查了二次函数在实际生活中的应用.(1)先设出一次函数关系式，分40≤x ≤60和60<x ≤70两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；(2)设获得的利润为w 元，分①当40≤x ≤60时和②当60<x ≤70时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．24.【答案】(1)①证明：∵矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，∴CB =CE ，∴∠EBC =∠BEC ，又∵AD//BC ，∴∠EBC =∠BEA ，∴∠BEA =∠BEC ，∴BE 平分∠AEC ；②证明：如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，∵BE 平分∠AEC ，BA ⊥AE ，BQ ⊥CE ，∴AB =BQ ，∴CG =BQ ，∵∠BQH =∠GCH =90∘，BQ =AB =CG ，∠BHQ =∠GHC ，∴△BHQ ≌△GHC(AAS)，∴BH =GH ，即点H 是BG 中点，又∵点P 是BC 中点，∴PH//CG ；③解：如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，∵BC =2AB =2，∴BQ =1，∴∠BCQ =30∘，∵∠ECG =90∘，∴∠GCM =60∘，∵CG =AB =CD =1，∴GM =√32，CM =12， ∴BG =√BM 2+MG 2=√(52)2+(√32)2=√7；(2)解：如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP ⊥BC 交BC 的延长线于P ，GN ⊥DC 交DC 的延长线于N ，∵BC =2AB =4，∴AB =2，∵将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，∴CE =BC =4，CD =AB =2，∵点A ，E ，D 第二次在同一直线上，∴∠CDE =90∘，∴CD =12CE ，∴∠DEC =30∘，∴∠DCE =60∘，∴∠NCG =30∘，CG =2，∴NG =1，PG =√3，∴S △DBG =S △DBC +S △DCG +S △BCG =5+2√3，BG =√BP 2+PG 2=2√7，∴DM =2S △DBG BG =5√77+2√217. 【解析】(1)①根据旋转的性质得到CB =CE ，求得∠EBC =∠BEC ，根据平行线的性质得到∠EBC =∠BEA ，于是得到结论；②如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，根据角平分线的性质得到AB =BQ ，求得CG =BQ ，根据全等三角形的性质得到BH =GH ，根据三角形的中位线定理即可得到结论；③如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，解直角三角形即可得到结论．(2)如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP ⊥BC 交BC 的延长线于P ，GN ⊥DC 交DC 的延长线于N ，根据旋转的性质得到CE =BC =4，CD =AB =2，解直角三角形得到NG =1，PG =√3，根据三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．25.【答案】解：(1)将点A(0,5)，B(5,0)分别代入y =−x 2+bx +c 得，{−25+5b +c =0c =5， ∴{b =4c =5， ∴二次函数的解析式为y =−x 2+4x +5；(2)∵AC//x 轴，点A(0,5)，∴当y =5时，−x 2+4x +5=5，∴x 1=0，x 2=4，∴C(4,5)，∴AC =4，设直线AB 的解析式为y =mx +n ，将A(0,5)，B(5,0)分别代入y =mx +n 得，{n =55m +n =0， 解得{m =−1n =5， ∴直线AB 的解析式为y =−x +5；设点P 的横坐标为t ，则P(t,−t 2+4t +5)，D(t,−t +5)，∴PD =(−t 2+4t +5)−(−t +5)=−t 2+5t ，∵AC =4，∴S 四边形APCD =12AC ×PD =12×4×(−t 2+5t)=−2t 2+10t ，函数y =−x 2+4x +5，当y =0时，有−x 2+4x +5=0，∴x 1=−1，x 2=5，∴E(−1,0)，∴OE =1，又∵OA =5，∴S △AOE =12OE ×OA =12×1×5=52，∵S 四边形APCD =245S △AOE， ∴−2t 2+10t =245×52=12，解得：t 1=2，t 2=3，∴P(2,9)或(3,8)；(3)∵抛物线的对称轴与y =−x +5交于点M ，∴M(2,3)，设Q(a,−a +5)，P(m,−m 2+4m +5)，若EM =PQ ，四边形EMPQ 为平行四边形，∴{a +3=m −a +5+3=−m 2+4m +5， 解得{m =2a =−1或{m =3a =0， ∴Q(−1,6)或(0,5)；若EM =PQ ，四边形EMQP 为平行四边形，同理求出Q(9,−4)；若EM 为对角线，则{a+m 2=12−a+5−m 2+4m+52=32，解得{m =−1a =−5(不合题意舍去)或{m =6a =2(不合题意舍去)， 综合以上可得出点Q 的坐标为Q(−1,6)或(0,5)或(9,−4).【解析】(1)由点A ，B 坐标用待定系数法可求出抛物线解析式；(2)设点P 的横坐标为t ，则P(t,−t 2+4t +5)，D(t,−t +5)，求出S 四边形APCD =−2t 2+10t ，S △AOE =52，由题意得出方程求出t 即可得出答案；(3)分EM 为边和为对角线两种情况进行求解：①当EM 为平行四边形的边时，由EM =PQ 建立方程求解；②当EM 为对角线时，由EM 与PQ 互相平分建立方程组求解即可．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，四边形面积的求法，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点Q 的坐标时，分类讨论是解本题的难点．。

2023-2024学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，岸只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知⊙O的直径为15cm，若直线l与⊙O只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（）A．7cm B．7.5cm C．8cm D．10cm2．（3分）2sin60°的值等于（）A．B．C．D．3．（3分）下列是与中国航天事业相关的图标，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（）A．B．1C．D．5．（3分）如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则有（）A．B．C．D．6．（3分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是（）A．43°B．35°C．34°D．44°7．（3分）一元二次方程4x2＝5x﹣1的两根之和与两根之积分别为（）A．，B．﹣，C．D．8．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别为（）A．（3，0）和（﹣1，0）B．（﹣3，0）和（1，0）C．（2，0）和（﹣4，0）D．（4，0）和（﹣2，0）9．（3分）一个扇形的半径为24cm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角为（）A．300°B．240°C．180°D．150°10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°；将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（）A．CB＝CD B．DE+DC＝BC C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC11．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB'C′，连接B'C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（）A．B．C．D．12．（3分）如图所示，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为100，小正方形面积为4，则图中∠θ的正切值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）将点P（2，6）绕原点顺时针旋转180°，点P的对应点的坐标为．14．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．15．（3分）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，，AC＝3，则∠A的度数为．16．（3分）若抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，则实数k的值可以是（写出一个即可）．17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点C、D为圆心，2为半径的两弧交于点E，点F为AB边的中点，连接EF，则EF的长为．18．（3分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，线段AB的端点A，B均落在格点上．（Ⅰ）线段AB的长等于；（Ⅱ）经过点A，B的圆交网格线于点C，在上有一点E，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．20．（8分）学生甲与学生乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：学生甲手中有5、7、9三张扑克牌，学生乙手中有6、8、10三张扑克牌．每人从手中取出一张牌进行比较，数字小的为本局获胜．（Ⅰ）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，请列举出所有情况；（Ⅱ）求学生乙本局获胜的概率．21．（10分）请你结合题意，分别画出示意图，并完成解答：（Ⅰ）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，若∠A＝30°，AC＝3，求AB的长；（Ⅱ）在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6，求∠C的正弦．22．（10分）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB 的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．（Ⅰ）求证：FG是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径长为，BF＝3，求BE的长．24．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点A出发，以1单位长度/秒的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．（Ⅰ）当点P运动到AB的中点，求此时x的值和△APQ的面积；（Ⅱ）①当0＜x＜2时，求y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤4时，求y与x之间的函数关系式；（Ⅲ）求在运动过程中△APQ面积的最大值．（直接写出结果即可）25．（10分）已知抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m），其中n，m为常数，且n≠m．（Ⅰ）若n＝﹣1，m＝3，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线的对称轴为x＝2，且抛物线经过点（1，p）．请你用含m的式子表示p，并求出p的取值范围；（Ⅲ）若n＝1，点M（m，0），抛物线与y轴负半轴交于点G，过点G作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，，点H是EF的中点，当MH的最小值是时，求y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标．2023-2024学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，岸只有一项是符合题目要求的）1．【分析】根据已知直线l与⊙O有唯一的一个交点得出直线与圆相切，即可得出d与r的关系．【解答】解：圆心O到直线l的距离为dcm，∵直线l与⊙O有唯一的一个交点，∴直线与圆相切，∵⊙O的直径为15cm，∴半径为7.5cm，∴d＝r＝7.5cm．故选：B．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据已知直线l与⊙O有唯一的一个交点得出直线与圆相切是解决问题的关键．2．【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【解答】解：2sin60°＝2×＝，故选：A．【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握sin60°的值是正确计算的关键．3．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．【分析】构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用直角三角形的30度特殊角的三角函数即可求解．【解答】解：如图：过O点作OD⊥AB，则AD＝AB＝1，∵∠OAD＝30°，∴OD＝tan30°•AD＝．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心的计算．解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关边长或角．5．【分析】根据锐角三角函数的定义逐项判断即可．【解答】解：已知在△ABC中，若∠C＝90°，那么tan A＝，则A符合题意；sin A＝，则B，D均不符合题意；cos A＝，则C不符合题意；故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．6．【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A＝∠D＝42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠D＝∠A＝42°，∴∠B＝∠APD﹣∠D＝35°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．7．【分析】先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．【解答】解：方程4x2＝5x﹣1化为一般式为4x2﹣5x+1＝0，所以方程4x2＝5x﹣1的两个根之和为，两根之积为．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．【分析】依据题意，通过解方程x2﹣2x﹣3＝0得到抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点坐标．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．故选：A．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．9．【分析】设扇形的圆心角为n，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的圆心角为n，则＝240π，解得，n＝150°，故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．10．【分析】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，则可得出结论．【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠EDC＝60°，∴∠CAD＝∠EDC＝60°，∴∠BAD＝60°，∴AB∥CD．故选：C．【点评】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质及等腰三角形的性质．11．【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD的长度，根据弧长公式即可得出答案．【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，∴，∴的长度l＝＝π．故选：B．【点评】本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．12．【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，设AC＝BD＝a，由勾股定理解得a的值，按照正切函数的定义即可求解．【解答】解：∵大正方形的面积是100，小正方形面积是4，∴大正方形的边长是10，小正方形的边长是2，设AC＝BD＝a，如图，在Rt△ABD中，由勾股定理得：a2+（2+a）2＝100，解得a＝6或﹣8（舍去），∴tanθ＝＝．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，明确相关性质及定理是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【分析】根据两点关于原点的对称的坐标特征：横纵坐标均互为相反数，即可求解．【解答】解：点P（2，6）绕原点O旋转180°后，P点的对应点与点P关于原点对称，则其坐标为（﹣2，﹣6）．故答案为：（﹣2，﹣6）．【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣旋转，熟知平面直角坐标系中关于原点对称的两点的坐标特征是解题的关键．14．【分析】用绿球的个数除以球的总数即可．【解答】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．15．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，，AC＝3，∴AB＝＝2，∵AB＝2BC，∴∠A＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．16．【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，可以得到Δ＜0，从而可以得到k的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＜0，解得，k＞9，故答案为：10（答案不唯一）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确Δ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17．【分析】延长FE交DC于点H，连接CE，根据题意可得EF∥BC，在Rt△CEH中，根据勾股定理即可求解EH，从而求出EF．【解答】解：延长FE交DC于点H，连接CE，如图：∵E为两弧交于点，点F为AB边的中点，∴EF∥BC，∵C是圆心，E在弧上，∴CE＝CB＝2，在Rt△CEH中，EH＝＝，∴EF＝2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．18．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解；（Ⅱ）取圆与格线的交点P，Q，连接PQ，则PQ是直径，连接AC，AB，得到AC，AB 的中点J，K，取格点W，Z，R，S，连接WR，SZ交于点L．连接KL交PQ于点O，作直线JO交AB于点T，连接CT，延长CT交⊙O于点E，点E即为所求．【解答】解：（1）AB＝＝，故答案为：；（Ⅱ）如图，点E即为所求．步骤：取圆与格线的交点P，Q，连接PQ，则PQ是直径，连接AC，AB，得到ACAB 的中点J，K，取格点W，Z，R，S，连接WR，SZ交于点L．连接KL交PQ于点O，作直线JO交AB于点T，连接CT，延长CT交⊙O于点E，点E即为所求．故答案为：取圆与格线的交点P，Q，连接PQ，则PQ是直径，连接AC，AB，得到ACAB 的中点J，K，取格点W，Z，R，S，连接WR，SZ交于点L．连接KL交PQ于点O，作直线JO交AB于点T，连接CT，延长CT交⊙O于点E，点E即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，题目比较难．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【分析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．【解答】解：∵（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，∴x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5解之得：x1＝2，x2＝．【点评】解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．20．【分析】（1）利用树状图展示所有9种等可能的结果数；（2）找出学生乙本局获胜的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）画树状图为：共有9种等可能的结果数；（2）学生乙本局获胜的结果数为3，所以学生乙本局获胜的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键是利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．21．【分析】（Ⅰ）由锐角的余弦定义得到cos A＝＝，即可求出AB长．（Ⅱ）过A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得到CH＝BC＝3，由勾股定理求出AH＝＝6，即可得到sin C＝＝．【解答】解：（Ⅰ）如图：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴cos A＝cos30°＝＝，∵AC＝3，∴AB＝2；（Ⅱ）如图：过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴CH＝BC＝3，∴AH＝＝6，∴sin C＝＝＝【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是掌握锐角三角函数定义．22．【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB垂足为D．，在Rt△ACD中，tan A＝tan45°＝＝1，CD＝AD，sin A＝sin45°＝＝，AC＝CD．在Rt△BCD中，tan B＝tan37°＝≈0.75，BD＝；sin B＝sin37°＝≈0.60，CB＝．∵AD+BD＝AB＝63，∴CD+＝63，解得CD≈27（m），AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2（m），CB＝≈＝45.0（m），答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于CD的方程是解题关键．23．【分析】（1）由等腰三角形的性质可证∠B＝∠C＝∠OFC，可证OF∥AB，可得结论；（2）由切线的性质可证四边形GFOE是矩形，可得OE＝GF＝2，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：如图，连接OF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，∴∠OFC＝∠B，∴OF∥AB，∵FG⊥AB，∴FG⊥OF，又∵OF是半径，∴GF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OE，∵⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，又∵AB⊥GF，OF⊥GF，∴四边形GFOE是矩形，∴GF＝OE＝EG＝2，在Rt△BFG中，由勾股定理得，BG＝＝＝1，∴BE＝BG+EG＝2+1．【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．【分析】（Ⅰ）由菱形的性质可得AB＝BC＝2，可证△ABC是等边三角形，可得AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，可证△APQ是等边三角形，即可求解；（Ⅱ）①由锐角三角函数可求QH的长，由三角形的面积公式可求解；②由锐角三角函数可求QN的长，由三角形的面积公式可求解；（Ⅲ）由二次函数的性质可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，∵点P运动到AB的中点，∴AP＝BP＝1，∴x＝＝1，∴AQ＝1，∴AP＝AQ＝1，∴△APQ是等边三角形，＝×12＝；∴S△APQ（Ⅱ）①当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于H，由题意可得BP＝AQ＝x，∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°＝∠ACD，∵sin∠BAC＝，∴HQ＝AQ•sin60°＝x，∴△APQ的面积＝y＝（2﹣x）×x＝﹣（x﹣1）2+；②当2＜x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于N，由题意可得AP＝CQ＝x﹣2，∵sin∠ACD＝＝，∴NQ＝（x﹣2），∴△APQ的面积＝y＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x﹣2）2，（Ⅲ）当0≤x≤2时，y＝﹣（x﹣1）2+；∴当x＝1时，y的最大值为；当2＜x≤4时，y＝（x﹣2）2，∴当x＝4时，y的最大值为，∴△APQ面积的最大值为．【点评】本题是四边形综合题，考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25．【分析】（1）n＝﹣1，m＝3时，抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的对称轴为直线x＝＝1，把x＝1代入y＝（x+1）（x﹣3）即得抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）可得＝2，n＝4﹣m，而抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m）经过点（1，p），知p＝（1﹣n）（1﹣m）＝（1﹣4+m）（1﹣m）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，有二次函数性质可得答案；（3）求出G（0，m），直线l为y＝m，连接GM、GH，由H是EF的中点，得GH＝EF＝，故点H在以点G为圆心，为半径的圆上，可得MG＝﹣m，①当MG≥，即m≤﹣1时，满足条件的点H在线段MG上，有MG﹣GH＝﹣m﹣＝，m＝﹣；可得抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+），﹣2m﹣1≤x≤﹣2m即是2≤x≤3，即可知y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（2，）；②当MG＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段GM的延长线上，同类可得y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（，﹣）．【解答】解：（1）n＝﹣1，m＝3时，抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴交点为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴为直线x＝＝1，把x＝1代入y＝（x+1）（x﹣3）得y＝2×（﹣2）＝﹣4；∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m）的对称轴为直线x＝，∴＝2，∴n＝4﹣m，∵抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m）经过点（1，p），∴p＝（1﹣n）（1﹣m）＝（1﹣4+m）（1﹣m）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，∵n≠m，∴m≠2，∴﹣（m﹣2）2+1＜1，∴p＜1；（3）n＝1时，y＝（x﹣1）（x﹣m），令x＝0得y＝m，∴G（0，m），直线l为y＝m，连接GM、GH，如图：∵H是EF的中点，∴GH＝EF＝，∴点H在以点G为圆心，为半径的圆上，∵M（m，0），G（0，m），∴MO＝﹣m，GO＝﹣m，在Rt△MGO中，MG＝﹣m，①当MG≥，即m≤﹣1时，满足条件的点H在线段MG上，此时MH的最小值为MG﹣GH＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣；∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+），﹣2m﹣1≤x≤﹣2m即是2≤x≤3，此时图象在对称轴直线x＝﹣右侧，开口向上，当x＝2时，y＝（2﹣1）×（2+）＝；∴y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（2，）；②当MG＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段GM的延长线上，此时MH的最小值为HG﹣MG＝﹣（﹣m）＝，解得m＝﹣；∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+），﹣2m﹣1≤x≤﹣2m即是0≤x≤1，此时图象包含顶点（，﹣），开口向上，∴y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（，﹣）；综上所述，y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（2，）或（，﹣）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数图象与系数的关系，动点问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用。

天津市海河中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．9π③320b c -<；④2am bm a b +≥+（m 为实数）．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为____．14．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．15．将抛物线22y x =-向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是________．16．已知关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是___． 17．如图，O e 是ABC V 的内切圆，若58A ∠=︒，则BOC ∠=________．18．如图，在Rt OAB V 中，90,8,10AOB OA AB ∠=︒==，O e 的半径为4，点P 是AB 上的一动点，过点P 作O e 的一条切线PQ ，Q 为切点，则PQ 的最小值为________．三、解答题19．解下列方程：(1)2230x x --=(2)2(3)7(3)x x x -=-(1)求AB 的长；(2)设AE x =，则DE =________，EF =________（用含x 的表达式表示）；(3)求矩形CDEF 的面积的最大值．24．在平面直角坐标系中，点()4,0A ，点()0,4B 分别是坐标轴上的点，连接AB ．把ABOV 绕点B 逆时针旋转得A BO ''△．点A ，O 旋转后的对应点为A '，O '．记旋转角为α．(1)如图①，当点O '落在AB 边上时，求α的值和点O '的坐标；(2)如图②，当60α=︒时，求AA '的长和点O '的坐标；(3)连接AO '，直接写出在旋转过程中AO A ''△面积的最大值． 25．已知点A (2，－3)是二次函数2(21)2y x m x m =+--图象上的点．(1)求二次函数图象的顶点坐标：(2)当14x -≤≤时，求函数的最大值与最小值的差：(3)当3t x t +≤≤时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t 的值．。