全等三角形模型之手拉手模型

完整版)全等三角形之手拉手模型
本文将介绍手拉手模型中的全等三角形。

所谓手拉手模型，是指有公共顶点的两个等腰三角形，顶角相等。

因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。

基本模型如下：已知，△ABB'和△ACC'都是等腰三角形，AB=AB'，AC=AC'，且∠BAB'=∠CAC'。

可以得出三个结论：结论1：△ABC≌△AB'C'(SAS)，BC=B'C'；结论2：
∠BOB'=∠BAB'；结论3：AO平分∠BOC'。

在共顶点的等腰直角三角形中，也可以应用手拉手模型。

例如，如下图所示，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且
∠BAC=∠DAE=90°。

可以证明：⑴BD=CE⑵BD⊥CE。

另外，在共顶点的等边三角形中，也可以使用手拉手模型。

如下图，点A为线段BD上一点，△ABC和△ADE均是等边
三角形。

可以求出：（1）CD=BE；（2）∠DAE＋
∠BFD=180°；（3）∠BFA=∠DFA=60°。

总之，手拉手模型在全等三角形的证明中是一个非常有用的工具，能够帮助我们更好地理解和应用三角形的性质。

全等三角形手拉手模型结论及证明过程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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《三角形证明》题型解读12 全等典型模型：“手拉手”模型【知识梳理】（一）“手拉手模型”的基本图形题型特征：△ABC 与△BDE 是等边三角形，A 、B 、D 三点在同一直线上。

解题方法：一定有以下六个结论（三组全等、一个60°、一个等边△、一组平行线） ①△ABE ≌△CBD证明过程：∵△ABC 与△BDE 是等边三角形，∴∠1=∠2=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD=120°，∵AB=BC ，BE=BD ， ∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ②△ABH ≌△CBF证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠4=∠5，∵AB=BC ，∠1=∠2，∴△ABH ≌△CBF （SAS ） ③△BHE ≌△BFD证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠6=∠7，∵BE=BD ，∠2=∠3，∴△BHE ≌△BFD （SAS ） ④∠AGC=60°证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠6=∠7，在△GFE 和△BFD 中（“8”字模型），∠3=180°-∠BFD-∠7，∠EGF=180°-∠GFE-∠6，∵∠6=∠7，∠GFE=∠BFD ，∴∠3=∠EGF ，∵∠AGC=∠EGF ，∠3=60°，∴∠AGC=∠3=60° ⑤△BHF 是等边三角形证明过程：∵△BHE ≌△BFD （SAS ），∴BH=BF ，∵∠2=60°，∴△BHF 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） ⑥HF//AD证明过程：∵△BHF 是等边三角形，∴∠8=60°，∵∠3=60°，∴∠8=∠3，∴HF//AD （二）“手拉手模型”的变化图形题型特征：△ABC 与△BDE 是等边三角形，A 、B 、D 三点不在同一直线上。

图2M N 765431H GFEDCBA765431HG F ED CBA解题方法：一定有以下三个结论（一组全等，一个60°、一个角平分线） ①△ABE ≌△CBD证明过程：∵△ABC 与△BDE 是等边三角形，∴∠1=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD （共角模型），∵AB=BC ，BE=BD ， ∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ②∠AGC=60°证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠6=∠7，在△GFE 和△BFD 中（“8”字模型），∠3=180°-∠BFD-∠7，∠EGF=180°-∠GFE-∠6，∵∠6=∠7，∠GFE=∠BFD ，∴∠3=∠EGF ，∵∠AGC=∠EGF ，∠3=60°，∴∠AGC=∠3=60° ③BG 平分∠HBF证明过程：作BM ⊥AE 于点M ，BN ⊥GD 于点N ，如图2，∵△ABE ≌△CBD ，∴∠4=∠5，∵AB=BC ，∠AMB=∠CNB=90°，∴△ABM ≌△CBN （AAS ），∴BM=BN ，∴BG 平分∠HBF （到角两边的距离相等的点，在这个角的角平分线上） （三）常见“手拉手”变化图形【典型例题】例1.如图，C 为线段AE 上一动点（不与A 、E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等 边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，以下五个结论： ①AD ＝BE ；②PQ ∥AE ；③CP ＝CQ ；④BO ＝OE ；⑤∠AOB ＝60°，恒成立的结论有（ ）。

∠ = 90°．
（1）求证： = ；
（2）求证：和垂直。
确认预判Ⅲ
• 如图，分别以△ 的边，向外作等边三角形和等边三角形，
线段与相交于点，连接．
（1）求证： = ；
（2）求∠的度数；
（3）求证：平分∠．
课程目标
∴ ∠ = ∠
∠ = ∠ = 60°
∵∠ = ∠，
∴ ∠ = ∠
∠ + ∠ + ∠ = 180°
∴ △ ≌ △
∠ + ∠ + ∠ = 180°
(2). ∵△ ≌ △
∴ ∠ = ∠ = 60°，
，
例题讲解
•
如图，已知△ 和△ 都是等腰直角三角形，∠ = ∠ = 90°，
点为边上一点．
（1）求证：△ ≅△ ；
（2）求证：△ 是直角三角形；
例题解析
（1） 证明： ∵△ 和 △ 都是等腰直角三角形，
∴ ∠ = ∠ = 45°， = ， = ，
、分别是线段、的中点．
（1）求证：＝；
（2）求∠的度数；
应用练习
• 如图，点是线段上一点，且 < ．如图，当△ 和△ 都是等
边三角形时，连接，，分别交、于点、．
(1)求证： = ；
(2)判断△ 是何特殊三角形并说明理由；
∴ =
即与的夹角为60°
解题方法
应用练习
如图，点、、在同一条直线上，△ 与△ 都是等边三角形，则下
列结论不一定成立的是（
A. △ ≅△
B. △ ≅△
C. △ ≅△
D. △ ≅△
）
应用练习
• 已知：如图，△ 、 △ 都是等边三角形，、相交于点，点