全等中的基本模型
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模块一平移型全等
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把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形.
常见平移模型
【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．
求证：CF DE =
【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥
∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中
AC BD AE BF
=??
=? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =??
∠=∠??=?
∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =
【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =
求证：AFC DEB △≌△
如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．
图1
F E
D
C B
A
图2
F
E D
(C )
B A
图3
F
E
D
C
B A
模块二 对称型全等
夯实基础
能力提升
F E
D C B A
常见轴对称模型
【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD
和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ）
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．
【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．
求证：AM AN =．
夯实基础
能力提升
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E D N M C B A 43
2
1
E
D
C
B
A D O F
E C
B
A
常见旋转模型：
【引例】如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB
△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数．
【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=
∴10
18010018
ACB ∠=??=? ∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △ ∴100A'CB'∠=?
∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=? ∴100218020BCA'∠=??-?=?
【教师铺垫】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三
角形．请你证明：
⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.
能力提升
夯实基础
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模块三 旋转型全等
A'B'C
B
A
M D N
E
C B
F
A
【例4】 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M 、N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，
△AMN 是等边三角形．
⑴当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
⑵当把△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
图2
图3
图1
M
N
M
N N M
A B
C
D
E A
B
C D E A
B
C E
D
【例5】 如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．
⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
⑵当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线 （如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，求证：AG ⊥CE ．
P
H
G G
G
图1
图3
图2
F
A
B
C
E
F A
B
C D
E
A
B
C D
E
F D
辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段. 添辅助线的作用：凸显和集散
1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.
2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.
3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.
4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.
5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.
【例6】 如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，
DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .
⑴说明BE =CF 的理由；
⑵如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.
能力提升
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模块四 辅助线添加初步
G
D
A
B
C E
F
【例7】 如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =?∠，
把一块含30?角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；
②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
图3
图2
图1
F
F
F
E
E
E
D
D
D
C C
C
B
B B
A
A
A
【例8】 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．
求证：BC EF ∥．
探索创新
A B
C
D E
F
N
M
训练1. 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O .
求证：AO 平分DAE ∠.
训练2. 如图，BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD
的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =．
求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．
训练3. 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =， M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．
训练4. 如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED =，点F 是CD 的中点．求证：AF CD ⊥．
F E
D
C B
A
思维拓展训练(选讲)
A B C D
E O
Q P E
D
C
B A M E D
C B A
题型一 平移型全等 巩固练习
【练习1】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作
DE AC ⊥，BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．
⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论
是否成立？请说明理由．
(2)
(1)
A
B
C
D
E F G
G
F
E
D
C B
A
题型二 对称型全等 巩固练习
【练习2】 如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，90ABC ADE ∠=∠=?，BC 与DE 相交于点F ，连
接CD 、EB ． ⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举； ⑵求证：CF=EF ．
实战演练
F E D C B A
题型三 旋转型全等 巩固练习
【练习3】 如图，在Rt ABC △中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、
分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=?，那 么DBF ∠=__________．
【练习4】 如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，
AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何 关系？请说明理由．
题型四 辅助线添加初步 巩固练习 【练习5】 如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在
一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转．
⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量
BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；
⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相
交于点M ，线段BD 的延长线与G 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
③
②①
O
O
C
B D
A
F
G
E
N
M
E
G
F
A
D
B
C
C
A(G)
F B
A O H F
E
D A