福建省2021届高三数学毕业班第一次综合质量检测试题理

2021年高三数学上学期第一次（10月）检测试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。

满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分1. 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有() A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个2. 已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝33. 函数f (x )＝的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f(1)＝0，则实数a 的值等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．35. 设 554a log 4b log c log ===25，（3），，则（ ）A ． B.C. D ．6. 若函数是偶函数，则（ ）A ． B. C. D ．7. 求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是（ ）A ． B.C. D.8. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,则所得图象的函数解析式是( )A ．B ．C. D.9. 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝，则＝( )A ．－12B ．－14 C. 14 D. 1210.函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A. 0， B ． ，0 C ．－，0 D ．0，－第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分11 . 函数的最小值是_____12. “x ＝3”是“x 2＝9”的______条件13. 当函数取得最大值时，______14. 在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ，则当x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值是_______15. 已知：命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R.；命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分16．（本小题满分12分）设是R 上的偶函数．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）证明f （x ）在（0，+∞）上是增函数．17．（本小题满分12分）设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.（Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．注：e 为自然对数的底数．18. （本小题满分12分）设的周期，最大值，（Ⅰ）求、、的值；（Ⅱ）若为方程=0的两根，终边不共线，求的值19. （本小题满分12分）设函数（其中），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值.20. （本小题满分13分）已知函数f (x )＝(x －k )e x .（Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）求f (x )在区间[0,1]上的最小值．21. （本小题满分14分）已知函数)0()23()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f的图像如右。

2021年3月福州市高中毕业班质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3,4,5}A =，{21,}B x x k k A ==+∈∣，则A B ⋂= A. {1,3} B. {2,4} C. {3,5} D.{1,3,5}2.设复数(,)z a bi a b =+∈∈Z Z ，则满足|1|1z -的复数z 有 A. 7个 B. 5个 C. 4个 D. 3个3.“5m ”是“2450m m --”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.若抛物线2y mx =上一点(,2)t 到其焦点的距离等于 ，则 A. 14m =B. 12m = C. 2m = D. 4m = 5.已知函数()ln f x x =，则函数1()1y f x=-的图象大致为A B C D6.在ABC △中，E 为AB 边的中点，D 为AC 边上的点，BD ，CE 交于点F .若3177AF AB AC =+，则 AC AD的值为A. 2B. 3C. 4D. 57.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线P 0，P 1，…，P n ，….已知P 0是边长为1的等边三角形，P k +1是对P k 进行如下操作而得到：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(0,1,2,)k =..记P n 的周长为L n 、所围成的面积为S n .对于n N ∀∈，下列结论正确的是P 0 P 1 P 2 … P n … A. n n S L ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B. n n S L ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列 C. 0M ∃>，使n L M <D. 0M ∃>，使n S M < 8. 已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象过点(0,1)，在区间,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，把()f x 的图象向右平移π个单位长度后与原来的图象重合.设125,,26x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且12x x ≠，若()()12f x f x =，则()12f x x +的值为 A. 3- B. 1-C. 1D.3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. “一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如右所示的列联表，通过计算得到K 2的观测值为已知()2 6.6350.010P K =，()210.8280.001P K =，则下列判断正确的是 A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动” B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动” C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关10.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB ∥平面MNP 的是A B C D11.已知P 是双曲线22:145x y E -=在第一象限上一点，F 1，F 2分别是E 的左、右焦点，12PF F △的面积为152.则以下结论正确的是 A.点P 的横坐标为52B.1232F PF ππ<∠<C. 12PF F △的内切圆半径为1D. F PF ∠平分线所在的直线方程为3240x y --=12. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh 2x xe e x --=和双曲余弦函数cosh 2x xe e x -+=等.双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达·芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画.则下列结论正确的是 A. 22cosh sinh 1x x +=B. cosh y x =为偶函数，且存在最小值C. 00x ∀>，()00sinh sinh sinh x x >D. 12,x x R ∀∈，且12x x ≠，1212sinh sinh 1x x x x ->-第II 卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件40,260, 0,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩则2x y -的取值范围为 .14. 5x ⎛⎝的展开式中，1x 的系数为 . 15.在三棱锥P ABC -中，侧面P AC 与底面ABC 垂直，90BAC ∠=︒，30PCA ∠=︒，3AB =，2PA =.则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 .16.已知圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=，过点(2,0)M 的直线与圆C 交于P ，Q 两点（点Q 在第四象限）.若2QMO QPO ∠=∠，则点P 的纵坐标为 .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在①21n n S a =+；②11a =-，()21log 21n n a a n +=-；③212n n n a a a ++=，23S =-，34a =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.问题：已知单调数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足 . （1）求{}n a 的通项公式；18.（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos a b c B b C +=-. （1）求角C 的大小；（2）设CD 是ABC △的角平分线，求证：111CA CB CD+=. 19.（本小题满分12分）如图，在三棱台111ABC A B C -中，11111AA AC CC ===，2AC =，1A C AB ⊥. （1）求证：平面11ACC A ⊥11ABB A ；（2）若90BAC ∠=︒，1AB =，求二面角1A BB C --的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0) x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为1(A ，2A ，上、下顶点分别为B 1，B 2，四边形1221A B A B 的周长为 （1）求E 的方程；（2）设P 为E 上异于A 1，A 2，的动点，直线A 1P 与y 轴交于点C ，过A 1作12A D PA ∥，交y 轴于点D .试探究在x 轴上是否存在一定点Q ，使得3QC QD ⋅=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分12分）从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单.协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户帐户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%，起点金额1000万元.（注：月利率为年利率的十二分之一） 已知某公司现有2020年底结余资金1050万元.（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；万元作为公司的日常开销.将余下500万元中的x 万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余(500)x -万元作结构性存款.①求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；②假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x 万元用于投资高新项目，据专业机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得320.020.13530000x x x -++万元的收益，有20%的概率亏损0.27x 万元，有20%的概率保本.问：x 为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值.22.（本小题满分12分） 已知2()e 1xf x x =-.（1）判断()f x 的零点个数，并说明理由； （2）若()(2ln )f x a x x +，求实数a 的取值范围.2021年3月福州市高中毕业班质量检测数学参考答案及评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. C 2.B 3.B 4.A 5. D 6.C 7.D 8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 9. AC 10.ABD 11.BCD 12.BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.[2,4]- 14. 5 15. 25π 16.12四、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（本小题满分10分）【命题意图】本小题主要考查等比数列、n a 与n S 的关系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分10分. 【解答】（1）选①，即21n n S a =+（i ）则 当1n =时，1121S a =+，11a =-；（i ）（ii ）两式相减得12n n a a -=，所以{}n a 为等比数列，其中公比为2，首项为1-.所以12n n a -=-.选②，即11a =-，()21log 21n n a a n +=- 所以当2n 时，()()2121log log 2n n n n a a a a +--= 即114n n a a +-=， 所以{}*21()k a k -∈N 为等比数列，其中首项为11a =-，公比为4，所以1(21)121142k k k a ----=-⨯=-.由11a =-，()212log 1a a =，得22a =-，同理可得，121*2 24)2(k k k a k --=-⨯=-∈N . 综上，12n n a -=-选③，即212n n n a a a ++=，23S =-，34a =-.所以{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则121(1)3,4,a q a q +=-⎧⎨=-⎩解得11,2,a q =-⎧⎨=⎩或19,2,3a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩又因为{}n a 为单调数列，所以0q >，故11,2,a q =-⎧⎨=⎩所以12n n a -=-.（2）由（1）知，12n n na n --=⋅， 所以22112232(1)22,n n n T n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅2212222(2)2(1)22n n n n T n n n --=+⨯++-⋅+-⋅+⋅，两式相减得221122222n n n n T n ---=+++++-⋅()212n n n =--⋅18.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分. 【解答】解法一：（1）因为cos cos a b c B b C +=-， 由正弦定理得sin sin sin cos sin cos A B C B B C +=-， 因为sin()sin()sin B C A A π+=-=，所以sin()sin sin cos sin cos B C B C B B C ++=-， 所以2sin cos sin 0B C B +=，因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2C =-又(0,)C π∈，所以23C π=（2）因为CD 是ABC △的角平分线，且23C π=， 所以3ACD BCD π∠=∠=.在ABC △中，ABC ACD BCD S S S =+△△△，则由面积公式得1211sin sin sin 232323CA CB CA CD CD CB πππ⋅=⋅+⋅， 即CA CB CA CD CD CB ⋅=⋅+⋅. 两边同时除以CA CB CD ⋅⋅得111CA CB CD+=.解法二：（1）因为cos cos a b c B b C +=-，222222a cb a bc +-+-整理得222()22a a b c b +=-，即2220a b c ab +-+=， 所以(12cos )0ab C +=，所以1cos 2C =-， 又(0,)C π∈，所以23C π=. （2）因为CD 是ABC △的角平分线，且23C π=， 所以3ACD BCD π∠=∠=.在ABC △中，由正弦定理得2sin sin sin 3CA CB ABB A π==， 即sin sin sin sin 33CA CB AD DB B A ππ==+. 同理在CAD △和CBD △中，得sin sin 3CD AD A π=，sin sin 3CD DBB π=， 所以sin sin sin CA CD CD B A B =+，即sin sin CA CD CD B A-=， 故CA CD CD CA CB -=，即1CD CDCB CA =+，故111CA CB CD+=.力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.【解答】（1）依题意，四边形11ACC A 为等腰梯形，过1A ，1C 分别引AC 的垂线，垂足分别为D ，E ，则()1111111(21)2222AD AC AC AA =-=⨯-==，故160A AC ∠=︒. 在1ACA △中，22222111112cos 1221232AC A A AC A A AC A AC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以22211A C A A AC +=，故190AAC ∠=︒，即11A C AA ⊥. 因为1A C AB ⊥，1AB AA A ⋂=，且AB ，1AA ⊂平面11ABB A ，所以111 AC ABB A ⊥平面， 因为111 AC ACC A ⊂平面， 所以1111ACC A ABB A ⊥平面平面平面.（2）因为AB AC ⊥，1A C AB ⊥，1AC AC C ⋂=，且AC ，11AC ACC A ⊂平面，所以11 AB ACC A ⊥平面，结合（1）可知AB ，AC ，A 1D 三条直线两两垂直. 以A 为原点，分别以1,,AB AC DA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz ，如图所示，则各点坐标为(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，110,2A ⎛ ⎝⎭，130,2C ⎛ ⎝⎭.由（1）知，30,,1)n AC ⎛==-=-为平面ABB A 的法向量.(1,2,0)BC =-，110,,22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设2(,,)n x y z =为平面11BCC B 的法向量，则221,,n BC n C C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩故22120,10,2n BC x y n C C y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取2(23,n =， 所以121212311cos ,244n n n nn n ⋅-===⨯ 设二面角1A BB C --的大小为θ，则sin θ==. 20.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分12分.【解答】解法一：（1）依题意，a =由椭圆的对称性可知，四边形1221A B A B 为菱形，其周长为=.所以1b =所以E 的方程为2212x y +=. （2）设()00,P xy ，则220022y x =-，直线1AP的方程为y x =，故C⎛⎫⎝， 由12A D PA ∥知1A D的方程为y x =，故D⎛⎫⎝，假设存在(,0)Q t，使得3QC QD ⋅=，则QC QD t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎝⎝2202022y t x =+- 2202022x t x -=+-21t =-3=.解得2t =±.所以当Q 的坐标为(2,0)±时，3QC QD ⋅=解法二（1）同解法一.（2）当点P 与点B 1重合时，C 点即1(0,1)B ，而点D 即2(0,1)B -，假设存在(,0)Q t ，使得3QC QD ⋅=，则(,1)(,1)3t t -⋅--=，即213t -=，解得2t =±.以下证明当Q 为(2,0)±时，3QC QD ⋅=设()00,P x y ，则220022y x =-，直线A 1P的方程为y x =+，故C ⎛⎫ ⎝. 由12A D PA ∥知A 1D的方程为 y x =+，故D ⎛⎫ ⎝，所以QC QD t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎝⎝ 2202022y t x =+- 2020242x x -=+- 41=-3=.说明：Q 只求出(2,0)或(2,0)-，不扣分.21.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识；考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、必然与或然思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性.满分12分.【解答】（1）设恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的事件为A ，由题意知，5个股东共有45种选择，而恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的可能情况为()323544C A A ⋅+种， 所以()323544545()4128C A A P A ⋅+==.（2）①2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为： 0.0168[(55050045010050)50]12++++++⨯ 5505011500.0014 4.692+⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦（万元）. ②由条件，高新项目投资可得收益频率分布表投资收益 t 320.020.13530000x x x -++ 0 0.27x - P 0.6 0.2 0.2所以，高新项目投资所得收益的期望为：3232()0.020.1350.600.20.20.270.000020.0120.02730000x E t x x x x x x ⎛⎫=-++⨯+⨯-⨯=-++ ⎪⎝⎭所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为： 326()0.000020.0120.0270.036(500)0.018 4.6912L x x x x x x =-+++⨯-+⨯+ 320.000020.01222.69(0500)x x x =-++. ()2 '()0.00006400L x x x =--令'()0L x =，得400x =，或0x =.由'()0L x >，得0400x <<；由'()0L x <，得400500x <<.由条件可知，当400x =时，()L x 取得最大值为：(400)662.69L =（万元）.所以当400x =时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得最大值662.69万元.22.（本小题满分12分）【解答】解法一：（1）依题意，'()(2)e xf x x x =+，则当(,2)(0,)x ∈-∞-⋃+∞时，'()0f x >；当(2,0)x ∈-时，)'(0f x <所以()f x 在区间(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在区间(2,0)-上单调递减. 因为24(2)10ef -=-<，(1)e 10f =-> 所以()f x 有且只有1个零点.（2）令2()e (2ln )1xF x x a x x =-+-，则()2(2)e (2)'()(2)e (0)x x x x a a x F x x x x x x+-+=+-=>. ①若0a ，则'()0F x >，()F x 为增函数，111112ln 1ln 402222F a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=---< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不合题意； ②若0a >，令2()e (0)x h x x x =>，易知()h x 单调递增，且值域为(0,)+∞，则存在00x >，使得020e x x a =，即002ln ln x x a +=.当()00,x x ∈时，'()0F x <，()F x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，'()0F x >，()F x 单调递增.()()02min 0000()e 2ln 1ln 1x F x F x x a x x a a a ==-+-=--，令()ln 1a a a a ϕ=--，'()ln a a ϕ=-，当01a <<时，'()ln 0a a ϕ=->；当1a >时，'()ln 0a a ϕ=-<；所以()(1)0a ϕϕ=，由()0F x 得()0a ϕ，所以1a =.综上，a 的取值范围是{1}.解法二：（1）同解法一.（2）令2e xt x =，当0x >时，0t >，则ln 2ln t x x =+，故()(2ln )1ln f x a x x t a t +⇔-. 令()1ln F t t a t =--，则'()1a t a F t t t-=-=， ①若0a ，则'()0F t >，()F x 为增函数，又(1)0F =，故当01t <<时，()0F t <，不合题意. ②若0a >，则当(0,)t a ∈时，'()0F t <；当(,)t a ∈+∞时，'()0F t >；所以()F t 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，因为(1)0F =，所以若1a >，则当(1,)t a ∈时()0F t <，不合题意；若01a <<，则当(,1)t a ∈时()0F t <，不合题意；若1a =，则()(1)0F t F =，符合题意. 综上，a 的取值范围是{1}.。

十二重点中学2021届高三下学期毕业班联考〔一〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学〔理〕试题本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.一共150分.考试时间是是120分钟．第一卷选择题 (一共40分)考前须知：1．答第一卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应之答案标号涂黑；参考公式：·假如事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，满分是40分．1.集合等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出中的范围确定出，求出中的范围确定出，找出与的交集即可．【详解】由，得到，，由中，得到，即，那么，，应选：【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．2.设变量满足约束条件，那么目的函数的最大值为〔〕A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到目的函数的最大值.【详解】作出不等式组的可行域如下图，由题得目的函数为，直线的斜率为纵截距为，当目的函数经过点A()时，纵截距最小，z最大.所以.故答案为：B【点睛】此题主要考察线性规划求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能.3.以下三个命题：①命题：，那么：；②命题：，命题：，那么是成立的充分不必要条件；③在等比数列中，假设，，那么；其中真命题的个数为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对每一个命题逐一判断分析得解.【详解】①命题：，那么：，所以该命题是假命题；②命题：0≤x≤1，命题：x＜1，那么是成立的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；③在等比数列中，假设，，那么，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4,所以.所以该命题是假命题.应选:A【点睛】此题主要考察全称命题的否认，考察充要条件的判断，考察等比数列的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.4.如图是一个算法流程图，那么输出的的值是( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】分析程序中的变量，语句的作用，根据流程图的顺序，即可得出答案.【详解】由题意提供的算法流程图中的算法程序可知当S=1，k=1时，S=2<10，k=2；当S=2，k=2时，S=6<10，k=3；当S=6，k=3时，S=15>10，此时运算程序完毕，输出k=3应选B.【点睛】此题主要考察了程序框图，属于简单题.5.将函数的图象向左平移的单位后，得到函数的图象，那么等于〔〕A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将函数的图象向左平移的单位后，得到函数,所以，解之即得解.【详解】将函数的图象向左平移的单位后，得到函数,所以，因为，所以k=0时，.应选：D【点睛】此题主要考察三角函数图像的变换和三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.6.,,,那么实数的大小关系为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简得到b=2,再分析得到a<c,再证明c<2，即得解.【详解】由题得=2，因为，，所以.应选：C【点睛】此题主要考察对数函数指数函数幂函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.7.双曲线，过原点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，假设的面积为，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，得到以为直径的圆的方程为，根据三角形的面积求出的坐标，代入双曲线方程进展整理即可得解．【详解】以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，以为直径的圆的方程为，由对称性知的面积，即，即点的纵坐标为，那么由，得，因为点在双曲线上，那么，即，即，即，即，即，得，即，得，得，.那么双曲线的渐近线方程为.应选：B【点睛】此题主要考察双曲线的几何性质，考察圆的方程，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.8.函数，，那么方程的实根个数最多为〔〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】先求出函数g(x)的值域，再令g(x)=t换元得到f(t)=a,作出函数f(x)的图像，数形结合观查分析得到方程的实根个数最多为8.【详解】由题得函数的值域为，设g〔x〕=t(),作出函数f(x)的图像为：所以f(t)=a,当1≤a≤2时，直线和图像交点个数最多，有四个交点，也就是t有四个实根.且一个t≤-1，有三个t＞1.因为函数在〔0,1〕〔-1,0〕单调递减，在〔1，+∞〕，〔-∞，-1〕单调递增.所以g(x)=t, 当t在每取一个t值时，x都有两个值和它对应，因为t 最多有4个根，所以x最多有8个解.应选:C【点睛】此题主要考察函数的图像和性质的综合应用，考察利用函数的图像研究零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能.第二卷非选择题 (一共110分)二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.假设，且，那么__________．【答案】6【分析】先化简得，解方程即得a,b的值，即得解.【详解】由题得〔a+bi〕(1-2i)=8-i,化简得a+2b+(b-2a)i=8-i ,即.故答案为：6【点睛】此题主要考察复数的运算和复数相等的概念，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.10.，那么的二项展开式中，的系数为__________．【答案】80【解析】【分析】由题得a=2,再利用二项式展开式的通项求出的系数.【详解】由题得，所以=，设二项式展开式的通项为，令所以的系数为.故答案为：80【点睛】此题主要考察定积分的计算和二项式展开式的某一项的系数的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.11.圆柱的高和底面半径均为2，那么该圆柱的外接球的外表积为_____________．【答案】【分析】设球的半径为r,由题得，再求圆柱外接球的外表积.【详解】设球的半径为r,由题得故答案为：【点睛】此题主要考察圆柱外接球外表积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.12.直线：〔为参数〕，圆：〔极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度一样〕，假设圆上恰有三个点到直线的间隔为，那么实数__________．【答案】【解析】【分析】先求出直线的普通方程为2x+ay-a=0,再求出圆的方程为，根据得到方程，解方程即得a的值.【详解】由题得直线的方程为2x+ay-a=0,圆的方程为，因为圆上恰有三个点到直线的间隔为，所以，解之即得a=.故答案为：【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标与直角坐标的互化，考察直线和圆的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.13.，，是与的等比中项，那么的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先由得到x+2y=1,再对化简变形，再利用根本不等式求其最小值.【详解】由题得.所以=.当且仅当时取等.所以的最小值为.故答案为：【点睛】此题主要考察根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.14.在等腰梯形中，下底长为4，底角为，高为，为折线段上的动点，设的最小值为，假设关于的方程有两个不相等的实根，那么实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),先对Q的位置分类讨论得到，根据得到有两个不相等的实根，再利用导数和数形结合求得k的取值范围.【详解】建立坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),所以,所以点E(2，m),且0＜m＜2，又动点Q为折线上B-C-D上的点，①Q在CD上时，，②Q在BC上时，，因为0＜m＜2，所以.因为，所以，构造函数，函数在单调递减，在单调递增.所以，即k∈.故答案为：【点睛】此题主要考察平面向量的坐标运算和数量积，考察导数求函数的单调性，考察导数研究函数的零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.三、解答题：本大题6小题，一共80分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤．15.在中，内角所对的边分别为，.〔Ⅰ〕求角的大小；〔Ⅱ〕假设的面积，且，求.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用余弦定理正弦定理对化简即得. 〔Ⅱ〕先化简得到,再利用余弦定理求得，再求b+c的值.【详解】〔Ⅰ〕，，由正弦定理得，即，，,.〔Ⅱ〕,,,,, 即.【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.16.“绿水青山就是金山银山〞，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。

厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞ B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4 C.3π4 D.5π64.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.3π45.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-6.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c> B.[1,1]x ∃∈-，b c>C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.1178.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2- B.4- C.2D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n = ，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z ，再求||z .【详解】由i 1z z ⋅=+，得()i 11z -=，即()()()i 1111i i 1i 1i 122z --===------，所以||2z ==，故选：B2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】由指数函数值域求集合N ，应用集合并运算求结果.【详解】由题设{|1}N y y =>，故M N ⋃={}{}221{|2}x x y y x x -≤≤⋃=≥-.故选：A3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4C.3π4 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由231y x '=-，则0|1x y ='=-，即直线l 的斜率为1-，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l 的倾斜角为3π4.故选：C4.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3 D.3π4【答案】B 【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求()()a b a b +⋅-即可判断夹角大小.【详解】由题意22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，则a b + 与a b - 的夹角为π2.故选：B5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】当0x <时，2()21f x x x =-+，所以()()()2222219f -=--⨯-+=，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()229f f =--=-，且()00f =，所以(2)(0)9f f +=-故选：D6.已知1a xx=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.117【答案】C 【解析】【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22, ，所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92, ，即第8个数为92.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2-B.4- C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法对,x y 进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令0x y ==，得()()()()11000f f f f ⋅=-=，即()10f =，令0x =，得()()()()110f f y f y f y ⋅+=--=，得()()-=f y f y ，所以函数()f x 为偶函数，令1x y ==，得()()()2220ff f =-，令1x y ==-，得()()()()()202020f f f f f =--=-，()()2220f f ∴=，()()20f f ∴=或()()20f f =-，若()()20f f =，解得()00f =与已知()00f ≠矛盾，()()20f f ∴=-，即()()2222f f =，解得()22f =，()02f =-，令1y =，得()()()()1211f x f f x f x +⋅=+--，()()()2111f x f x f x ∴+=+--，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，∴()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4.()()202402f f ∴==-.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 错；由2π2ππ()2sin 20333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，B 对；由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2[,]333x -∈-，显然()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；由题意00ππ5π2π2π326x k x k -=+⇒=+，故01sin 22x =±，D 错.故选：BC10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同【答案】BD 【解析】【分析】根据已知平均数的关系求得28a =，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设，2021222324252324252627366a ++++++++++=-，所以28a =，甲组数据中670% 4.2⨯=，故第70百分位数为24，A 错；甲乙组数据的极差都为5，B 对；乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为252625.52+=，C 错；由上易知：甲的平均数为22.5，乙的平均数为25.5，所以甲的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，乙的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，故两组数据的方差相同，D 对.故选：BD11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可得1c =、2a =，进而有12e =，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误.【详解】由12221F F c c ==⇒=，如下图2ABF △周长为482a a =⇒=，故2223b a c =-=，所以，椭圆离心率为12e =，A 对，B 错；当AB x ⊥轴，即AB 为通径时2min 2||3b AB a==，且||24AB a <=，所以3||4AB ≤<，故||AB 可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时2BAF ∠最大，此时222222c 41os 2a a F c a BA +∠-==，且2(0,π)BAF ∈∠，故2max π)3(BAF =∠，即2BAF ∠不可能为直角，D 错.故选：AC12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且23AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 【答案】ACD 【解析】【分析】A 由线面平行的判定证明；B 设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，分析取最小值的对应情况即可判断；C 把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，取,AB GI 的中点,M H ，设π(0)2FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，结合()2FGI EKJ F ABIG V x V V --=-并应用导数研究最值；D 先分析特殊情况：ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，再借助左视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.【详解】A ：由题设//BC AD ，AD ⊂面ADEF ，BC ⊄面ADEF ，则//BC 面ADEF ，由面BCEF 面ADEF EF =，BC ⊂面BCEF ，则//BC EF ，BC ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ，则//EF 平面ABCD ，对；B ：设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，点F 到面ABCD 的距离，仅在面FAB ⊥面ABCD 时取得最大值，当EF x BC ==时tan α取最小值，即α取最小值，即二面角A EF B --取最小值，所以EF x =∈(0,)+∞，二面角先变小后变大，错；C ：当2BC =，如图，把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，分别取,AB GI 的中点,M H ，易得FH ⊥面ABCD ，3FM =，设π(02FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，()2ABCDEFFGI EKJ F ABIG V x V V V --==-=113sin (26cos )23sin 3cos 23θθθθ⨯⨯+-⨯⨯⨯cos θθθ=+，令()cos f θθθθ=+，则()2f θθθ'=+，令2()02cos cos 10f θθθ'=⇒+-=，可得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍），即π3θ=，π03θ<<，()0f θ'>，()f θ递增，ππ32θ<≤，()0f θ'<，()f θ递减，显然π3θ=是()f θ的极大值点，故max 127()2222f θ=+=.所以五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272，C 对；D ：当32BC =时，ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，此时正三棱柱内最大的求半径342r =<，故半径为2的球不能内含于五面体ABCDEF ，对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，由C 分析结果，当五面体ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知，当π3FMH ∠=时，3339,22FH IH IF ===，设FIG 的内切圆半径为1r ，则113313922222r ⨯⨯=⨯⨯，可得12r =>，另外，设等腰梯形EFMN 中圆的半径为2r ，则213π33tan434r r ==>=所以，存在x 使半径为2的球都能内含于五面体ABCDEF ，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C 通过补全几何体为棱柱，设π(02FMH θθ∠=<≤得到五面体ABCDEF 的体积关于θ的函数；对于D 从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于2为关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】35-##0.6-【解析】【分析】应用诱导公式有ππππcos cos[()]sin()4424ααα⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，即可求值.【详解】ππππ3cos cos[()sin()44245ααα⎛⎫-=+-=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．【答案】24【解析】【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.【详解】若三人选书没有要求，则有3327=种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27324-=种.故答案为：24.15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n =，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．【答案】【解析】【分析】由题设得(0,1,2)BA =，应用向量法求点面距离即可.【详解】由题设(0,1,2)BA = ，则点(1,1,1)B 到α的距离为||||BA n n ⋅==16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．【答案】①.②.(2)5【解析】【分析】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，根据已知得001||||12y x =-、2200(1)10x y -+=，即可得04x =，0||1y =，应用两点距离公式求||PA ；根据PA PB a -=确定P 的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围.【详解】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，则101||2S x =，20||S y =，所以001||||12x y -=，则001||||12y x =-，当||PB =，||||PA PB >时，00x >，即22200||(1)10PB x y =-+=，所以22001(1)(1)102x x -+-=，即200512320x x --=，可得04x =（负值舍），则0||1y =，故||PA ==若0PA PB a -=>，结合双曲线定义知：P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为22221()1()22x y a a -=-，即22224414x y a a -=-，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线1||||12x y -=有交点，即双曲线的渐近线和曲线1||||12x y -=有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，所以221115160424165a a <<⇒<<⇒<<，故4525a <<，所以实数a的取值范围为(,2)5.，(2)5【点睛】关键点点睛：第二空，注意P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，将问题化为双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12为关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．【答案】（1）2a =；（2）4.【解析】【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有sin()2sin a A B C +=，再由三角形内角性质即可求边长；（2）应用余弦定理及已知得224b c bc ++=且b c +=1bc =，最后应用面积公式求面积.【小问1详解】由题设(cos cos )2a a B b A c +=，由正弦定理有(sin cos sin cos )2sin a A B B A C +=，所以sin()2sin a A B C +=，而πA B C +=-，故sin 2sin a C C =，又sin 0C >，所以2a =.【小问2详解】由（1）及已知，有2222241cos 222b c a b c A bc bc +-+-===-，可得224b c bc ++=，又2a b c ++=+，即b c +=，所以2()541b c bc bc bc +-=-=⇒=，故13sin 24ABC S bc A ==△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）277【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得AC BD ⊥，利用线面垂直得EA BD ⊥，进而得BD ⊥平面EAC ，结合已知条件得证；（2）利用空间向量法可求【小问1详解】设AC 与BD 的交点为O ，连接OF ，因为AD BC ∥，且AB AD ⊥，所以AB BC ⊥，因为22AD =，所以1AD =，AB =，AB AD ⊥，且AB =，2BC =，AB BC ⊥，所以ABD BCA ，所以ABD BCA ∠=∠，所以BAC ABD BAC BCA ∠+∠=∠+∠，因为AB BC ⊥，所以90BAC BCA ∠+∠=︒，所以90BAC ABD ∠+∠=︒，即90BAO ABO ∠+∠=︒，所以90AOB ∠=︒，所以AO OB ⊥，即AC BD ⊥，因为EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EA BD ⊥，因为EA AC A = ，,EA AC ⊂平面EAC ，所以BD ⊥平面EAC ，又因为平面BD α⊥，且B ∉平面EAC ，所以平面//α平面EAC 【小问2详解】因为AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，所以,,AB AD EA 两两垂直，如图，以A 为原点，,,AB AD EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,1,0D ，()()(),0,0,2,2,0B E C ，所以())())0,1,0,,0,2,0,2AD BD BC BE ====，因为点F 为棱EC 的中点，所以()1,1,122BF BC BE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面FBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00BD n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0202y x y z +=++=⎪⎩，取2x =，得y z =-=，所以平面FBD的一个法向量为(2,n =-，记直线AD 与平面FBD 所成角为θ，则27sin cos ,7AD n AD n AD n θ⋅===，所以直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值为277．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由题设112()n n n n S S S S +--=-，结合已知得到12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，即可证结论；（2）由（1）得()()122121nn n n b +=--，裂项相消法求n T ，根据不等式关系得221m ->，即可确定正整数m 的最小值.【小问1详解】当2n ≥时，1111322()n n n n n n n S S S S S S S +-+-=-⇒-=-，即12n n a a +=，又2124a a ==，故12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，且12a =，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列.【小问2详解】由（1）知：2n n a =，则()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以11111111212121211111133712n n n n n n T -++=-+-+--=----+-+- ，则21211117221712m m m m T -+-+=-+>⨯-⨯，即2121722182m m m -+-⨯-⨯<-=，所以221m ->，可得m>2，而*m ∈N ，故3m ≥，正整数m 的最小值为3.20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】（1）215；（2）3835.【解析】【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【小问1详解】,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215.【小问2详解】由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．【答案】（1）1(0,2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，结合()f x 的极值点个数，得到0a >且1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同根，列不等式组求参数范围；（2）设1201x x <<<，应用分析法将问题化为证11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，再由12a =对应()f x 单调性即可证结论.【小问1详解】由题设22222(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++且0x >，若0a ≤，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，即()f x 递增，不可能有两个极值点，不符；故0a >，又()f x 有两个极值点，则1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同正根，所以()()22Δ4144120100a a a a aa ⎧=--=->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，可得102a <<，即实数a 的取值范围是1(0,2.【小问2详解】由（1）102a <<且122(1)a x x a-+=，121=x x ，不妨设1201x x <<<，则()()1212f x f x x x -=-1212121211ln ln 11x x a x a x x x x x ----+++-112212122()ln (1)(1)x x x a x x x x x --++=-121212121212ln (ln ln )21x a x a x x a x x x x x x x x -=-=--+++-，要证()()2121221f x f x a a x x a -->--，需证1212ln ln 1211x x a x x a --->--，即1212ln ln 1x x a x x a ->--，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，由（1），12a =时2212(1)(1)02ax a x a x +-+=-≥，即()0f x '≥，所以11()ln 21x f x x x -=-+在(0,)+∞上递增，又01t <<，故()(1)0f t f <=，即11ln 21t t t -<+，综上，()()2121221f x f x a a x x a -->--.【点睛】关键点点睛：第二问，设1201x x <<<，应用分析法将问题转化为证11212211ln 21x x x x x x -<+为关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．【答案】（1）24y x=（2）证明见详解；32,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),A x y ，根据已知条件列出方程化简即得；（2）（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x ⎧+++=⎨=⎩，得()42416160y d y ey +++=，结合重心公式可得证；（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，用已知条件分别表示出12,S S ，进而表示出面积为S 的表达式，然后利用导数求最值即得.【小问1详解】设(),A x y ，则线段AP 的中点坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，所以1122x AP +==，化简，得24y x =.【小问2详解】（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=---，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，即()123103y y y ++=，因为ABC 的重心的纵坐标为()12313y y y ++，所以ABC 的重心在定直线0y =上.（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线AB 的斜率不为0设直线AB ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my --=，所以12124,4y y m y y +=⋅=-，所以1121122S OP y y =⋅⋅-==，由（i ）得，()3124y y y m =-+=-，所以()22233114444x y m m ==⨯-=，即()24,4C m m -，因为()212122444AB x x m y y m =++=++=+，点C 到直线AB的距离d =，所以()22211448122S AB d m m =⋅⋅=⋅+=-，所以)221281181S S S m m =+=-=+-不妨设0m >，且A 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =-<，依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，所以()3122y y y y =-+<，即122y y -<，又因为124y y ⋅=-，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=->+=，即24m >，即218m >，所以)218116S m m=+-=，设t =，则324t >，令()()2161f t t t =-，则()()()2221611614816f t t t t t '='=-+--，因为324t >，所以()248160f t t -'=>，所以()f t 在区间32,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()323242f t f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，所以S 的取值范围为32,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】第二问：（i ）关键是把证明ABC 的重心在定直线上转化为方程根的问题，利用韦达定理以及重心公式可得.（ii ）关键是把四边形OACB 拆成两个三角形，然后用相同的变量分别表示两个三角形的面积以及变量的取值范围的确定，进而得到四边形OACB 面积的表达式，然后利用导数求最值即得.。

泉州市2021届高中毕业班质量监测（三）高三数学2021.03本试卷共22题，满分150分，共6页.考试用时120分钟.注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4. 保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 是虚数单位，则“a i =”是“21a =-”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知集合(){}*,8,,A x y x y x y N =+=∈，(){},1B x y y x =>+，则AB 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 函数cos 2sin 2y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A. -2B. 98-C. 58-D. 04. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm ）服从正态分布()2200,N σ，且()2200.1P ξ≥=，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ不．在()180,220的人数为X ，则（ ） A. ()1802200.9P ξ<<= B. () 2.4E X = C. ()0.16D X =D. ()10.488P X ≥=5. 已知单位向量a ，b 满足14a b ⋅=，且2c a b =+，则sin ,a c =（ ）A.8B.8C.8D.386. 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A.6B.112C. 6-D. 112-7. 已知32a =，b =ln 3ln 2c =，则（ ） A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. a c b >>8. 已知曲线E ：()()22480y xyx -+=，直线1x my =+与E 有且只有4个公共点，这些公共点从左到右依次为A ，B ，C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则下列结论中错误的是（ ）A. 2m >或2m <- B. 121x x <-<C. 6CD >D. AB <二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若210a =，52S S =，则（ ） A. 34S S =B. 610a =C. n S 的最大值为30D. n a 的最大值为1510. 已知函数()3()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A.2ω=B. 267ω=C. 76πϕ=D. 6πϕ=-11. 已知函数,1()1ln ,1xx f x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪≥⎩，()g x kx k =-，则（ ）A. ()f x 在R 上为增函数B. 当14k =时，方程()()f x g x =有且只有3个不同实根 C. ()f x 的值域为()1,-+∞D. 若()()1()()0x f x g x --≤，则[)1,x ∈+∞12. 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，侧棱长为2，点P ，Q 分别在半圆弧1C C ，1A A （均不含端点）上，且1C ，P ，Q ，C 在球O 上，则（ ）A. 当点P 在1C C 中点处，三棱锥1C PQC -的体积为定值B. 当点P 在1C C 中点处，过1C ，P ，Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C. 球O 的表面积的取值范围为()4,8ππD. 当点Q 在1A A 的三等分点处，球O的表面积为(11π- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()62x +展开式中，二项式系数最大的项的系数为___________.（用数字填写答案）14. 甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“四个”.此时，一男孩过来.乙对甲说：“这是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”.根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测___________次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为____________.15. 圆锥曲线光学性质（如图1所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用.如图2，一个光学装置由有公共焦点1F ，2F 的椭圆C 与双曲线'C 构成，一光线从左焦点1F 发出，依次经过'C 与C 的反射，又回到点1F 历时m 秒；若将装置中的'C 去掉，则该光线从点1F 发出，经过C 两次反射后又回到点1F 历时n 秒.若C 与'C 的离心率之比为13，则mn=__________.16. 若正数x ，y 满足()216xy x y +=，则x y +的最小值为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知数列{}n a ，{}n b 满足19a =，1109n n a a +=+，1n n b a =+. （1）证明：{}n b 是等比数列； （2）求数列(){}1lg nnb -的前n 项和nS .18. 脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的人间奇迹.某地区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯”往返村子，因而被称为“悬崖村”.当地政府把“藤梯”改成钢梯，使之成为村民的“脱贫天梯”，实现了“村民搬下来，旅游搬上去”，做到了长效脱贫.如图，为得到峭壁上的A ，B 两点的距离，钢梯的设计团队在崖底的P ，Q 两点处分别测得1APQ α∠=，1BPQ β∠=，APB θ∠=，2AQP α∠=，2BQP β∠=，且PQ s =.（1）用1α，2α，s 表示AP ；（2）已知117β=︒，2150β=︒，90.0s =米，51.3θ=︒，又经计算得250.0AP =米，求AB . 参考数据：sin130.225︒≈，cos130.974︒≈，sin51.30.780︒≈，cos51.30.625︒≈.19. 永春老醋以其色泽鲜艳，浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋.为提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于2018年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究.2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考.现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值M 的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格，若合格，再进一步检测是否为一等品.因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如下表所示.附：成品醋的品质采用指标值M 进行评价，评价标准如下表所示.（1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为X ，求X 的分布列；（2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润少（单位：元）与指标值M 的关系为[)[)[)5,0,13,1,32,0,3M y M M ⎧∈⎪=∈⎨⎪-∉⎩，若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”，则20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，二面角P AD C --是直二面角，AD 为等腰直角三角形PAD 的斜边，2AD CD ==，1AB BC ==，BD =M 为线段PC 上的动点.（1）当PM MC =时，证明：//PA 平面MBD ；（2）若平面MBD ⊥平面ABCD ，求二面角B MD C --的余弦值.21. 已知椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，折线()10x my m -=≠与C 交于M ，N 两点.（1）当2m =时，求MF NF +的值；（2）直线AM 与BN 交于点P ，证明：点P 在定直线上. 22. 已知函数()sin xf x aex x -=+-.（1）若()f x 在()0,2π单调递减，求实数a 的取值范围； （2）证明：对任意整数a ，()f x 至多1个零点.泉州市2021届高中毕业班质量监测（三）参考答案与评析高三数学三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【命题意图】本小题主要考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.【试题简析】依题意，二项式系数最大项为3333462160T C x x ==，其系数为160.故答案为160.14.【命题意图】本小题主要考查古典概型等基础知识；考查阅读理解并提取信息进行推理论证的能力；体现基础性、创新性、应用性，导向对发展理性思维与数学应用等核心素养的关注.【试题简析】记1A 为乙的第i 个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到幼的性别情况有()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，共6种，最多需要猜测5次，便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次就猜对的概率为16. 故答案为5；16. 15.【命题意图】本题考查椭圆定义、双曲线定义、离心率等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想；体现综合性、创新性，导向对发展数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.【试题简析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ， 在图2左图中，由椭圆定义可得1212BF BF a += ① 由双曲线定义可得2122AF AF a -= ② ①-②得111222AF AB BF a a ++=-， 所以1ABF △的周长为1222a a -.在图2右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点， 即直线ED 过点2F ，所以1EDF △的周长为14a ， 又因为椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为13， 所以123a a =，又两次所用时间分别为m ，n ， 而光线速度相同，所以122212226214123a a a a m n a a --===. 16.【命题意图】本小题主要考查不等式、函数与导数等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想；导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 【试题简析】令t x y =+，则()()()2216t y y t y y t y -+=-=， 所以2216t y y =+，令216 ()f y y y=+，由216'()20f y y y =-+=，解得2y =. ()0,2y ∈时，()'0f y <，()f y 单调递减，()2,y ∈+∞时，()'0f y >，()f y 单调递增；所以()f y 的最小值为()212f =，又对正数x ，y 有0t x y =+>，所以min t = 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本小题主要考查等比数列的定义与前n 项和等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.体现基础性和综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注. 【试题解析】 解法一：（1）依题意，1111n n n n b a b a +++=+ 109110101011n n n n a a a a +++===++（非零常数）.又11110b a =+=.故{}n b 为首项110b =，公比10q =的等比数列.（2）（1）由可知1110n nn b b q -==.所以(1)lg (1)lg10(1)n n n nn n c b n =-=-=-⋅.①当n 为偶数时，[](12)(34)(1)2n n S n n =-++-+++--+=； ②当n 为奇数时，[]1(12)(34)(2)(1)2n n S n n n +=-++-+++--+--=-. 故,21,2n nn S n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数.解法二：（1）同解法一；（2）由（1）可知1110n nn b b q -==.所以(1)lg (1)lg10(1)n n n nn n c b n =-=-=-⋅.211(1)2(1)(1)(1)(1)n n n S n n -=⋅-+⋅-+-⋅-+⋅- ①231(1)1(1)2(1)(1)(1)(1)n n n S n n +-=⋅-+⋅-++-⋅-+⋅- ② ①-②得212(1)(1)(1)(1)n n n S n +=-+-+--⋅-1(1)1(1)(1)1(1)n n n +⎡⎤---⎣⎦=-⋅---111(1)(1)11(1)(1)222n n n n n +++---⎛⎫=-⋅-=--+⋅- ⎪⎝⎭，故111(1)442n n n S +⎛⎫=--+⋅- ⎪⎝⎭. 18.【命题意图】本小题以“悬崖村”的脱贫事件为背景，以修建钢梯的测量为问题情境，考查正弦定理、余弦定理，解三角形等基础知识；考查抽象概括能力，空间想象能力，运算求解能力与应用意识和创新意识；考查转化与化归思想，函数与方程思想；考查基本活动经验；导向对数学抽象，数学建模，数学运算核心素养的关注.【试题解析】（1）如图，在APQ △中，根据正弦定理得()212sin sin AP PQαπαα=--，化简得()212sin sin s AP ααα⋅=+；（2）在BPQ △中，根据正弦定理得()212sin sin BP PQβπββ=--，可得()212sin 900.5200sin 1800.225s BP βββ⋅⨯===︒--，又在ABP △中，根据余弦定理得2222cos AB AP BP AP BP θ=+-⋅， 代入得2400006250022002500.62540000AB =+-⨯⨯⨯=， 所以200AB =米.19.【命题意图】本小题主要考查条件概率、独立性检验、数学期望等基础知识；考查数据处理能力、应用意识和创新意识等；考查统计与概率思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注.【试题解析】（1）依题意，已检测的不合格品样本共有20个， 其中改良前的有15个，改良后的有5个.0,1,2X =.2015522021(0)38C C P X C ⋅===； 1115522015(1)38C C P X C ⋅===； 021552201(2)19C C P X C ⋅===. 故X 的分布列为：（2）由样本估计总体的思想， 改良前成品醋利润的数学期望30551553(2) 2.85100100100⨯+⨯+-⨯=； 若要使“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”， 则改良后的利润至少应为()2.85120% 3.42⨯+=.假设改良后20个还未进行进一步检测的样本中，一等品有x 个， 则改良后的一等品有26x +个，二等品有69x -个.改良后成品醋利润的数学期望2669553(2)100100100x x +-⨯+⨯+-⨯. 依题意，2669553(2) 3.42100100100x x +-⨯+⨯+-⨯≥.求得7.5x ≥，又x N ∈，故20个还未进行进一步检测的样本中，一等品至少需要8个.20.【命题意图】本题考查空间几何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、点面距离的求法等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思想；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.【试题解析】（1）连结AC 交BD 于N ，连结MN ， 因为2AD CD ==，1AB BC ==，所以BD 为AC 的垂直平分线，则AN CN =，又因为PM MC =，所以MN 为PAC △的中位线，则//PA MN ， 又因为PA ⊄平面MBD ，MN ⊂平面MBD ， 所以//PA 平面MBD .（2）解法一：取AD 的中点O ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD，过O 作AD 的垂线作为x 轴，分别以OD ，OP 所在的直线为y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()0,1,0A -，()0,1,0D ，由已知22214AB AD BD +=+=，得AB AD ⊥，故()1,1,0B -，假设(),,0C x y ，因为(),1,0AC x y =+，()1,2,0BD =-，()1,1,0BC x y =-+，(),1,0DC x y =-，由00AC BD BC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222010x y x x y -++=⎧⎨-+-=⎩，解得81,,055C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 81,,155PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，86,,055DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则1100PC n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111850430x y z x y --=⎧⎨-=⎩，令13x =，14y =，14z =，取()13,4,4n =，因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥，所以平面MBD 的一个法向量是84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取()22,1,0n =， 假设二面角B MD C --的平面角为θ， 因为二面角B MD C --的平面角为锐角， 则二面角B MD C --的余弦值1212cos 4141n n n n θ⋅===⋅.解法二：（1）同解法一；（2）因为22214AB AD BD +=+=，得AB AD ⊥， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，故以点A 为原点，AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴，在平面PAD 内过点A 作AD 的垂线为z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,2,0D ，()0,1,1P ，84,,055C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 于是84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(0,1,1)PD =-，86,,055DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则110PD n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111430y z x y -=⎧⎨-=⎩，令13x =，14y =，14z =，取()13,4,4n =，因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥，所以平面MBD 的一个法向量是84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取()22,1,0n =， 假设二面角B MD C --的平面角为θ，则1212cos 41n n n n θ⋅===⋅ 因为二面角B MD C --.解法三：（1）同解法一；（2）以PA 所在直线为x 轴，PD所在的直线为y 轴，过P 作AB 平行线为z 轴， 则)A，()D ，()0,0,0P ，)B，8555C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 于是8,,555AC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，(0,PD =，38,555PC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则110PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110330y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =10y =，13z =-，取()142,0,3n =-， 因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥， 所以平面MBD的一个法向量是85AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，取(2n =-， 假设二面角B MD C --的平面角为θ，则12124cos 41n nn n θ-⋅===⋅ 因为二面角B MD C --的平面角为锐角，所以其大小的余弦值41.解法四：（1）同解法一；（2）取AD 的中点O ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，过O 作AD 的垂线作为x 轴，分别以OD ，OP 所在的直线为y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系， 由已知22214AB AD BD +=+=，得AB AD ⊥，故()1,1,0B -，又()0,0,1P ，()0,1,0A -，()0,1,0D ，()1,2,0BD =-，假设()00,,0C x y ，因为()00,1,0AC x y =+，()001,1,0BC x y =-+，()00,1,0DC x y =-，由00AC BD BC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得002200022010x y x x y -++=⎧⎨-+-=⎩，解得81,,055C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 81,,155PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，86,,055DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设(),,M x y z ，(),,1PM x y z=-，设81,,55PM PC λλλλ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，解得81,,155M λλλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，81,1,155DM λλλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥，则AC DM ⊥，又因为84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以8481604,,0,1,105555255AC DM λλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得13λ=，于是812,,15153M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8162,,15153DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则110DC n DM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111114304850x y x y z -=⎧⎨-+=⎩，令13x =，14y =，14z =，取()13,4,4n =，依题意可取平面MBD 的一个法向量为84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取()22,1,0n =， 假设二面角B MD C --的平面角为θ，则则121210cos 41n n n n θ⋅===⋅. 因为二面角B MD C --. 21.【命题意图】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、弦长计算、两直线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识等；考查数形结合、化归与转化等思想；体现综合性、创新性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养的关注. 【试题解析】解法一：（1）由已知可得()1,0F ，设点M 关于x 轴的对称点为1M ， 则1MF M F =，如图，不妨设直线21x y =+与椭圆相交于1M ，N 两点， 设()111,M x y ，()22,N x y ，联立2221143x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(21)4120y y ++-=，即2161290y y +-=，所以1234y y +=-，12916y y =-， 故11M F NF M N MF NF =+==+154===.（2）由已知可得()2,0A -，()2,0B ，()111,M x y ，()11,M x y -，()22,N x y ， 不妨设直线1x my =+与椭圆相交于点1M ，N ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(1)4120my y ++-=，即()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 且()121232my y y y =+. 直线AM ：11(2)2y y x x -=++， 直线BN ：22(2)2y y x x =--， 联立两直线方程，消去y 可得()()()()21211212232221y x y my x x y x y my +++=-=----， 即()()12212221112133322332332y y y my y y x x my y y y y y ++++=-=-=---+-，所以()232x x +=--，1x =，即点P 在定直线1x =上.解法二：（1）同上.（2）由已知可得()2,0A -，()2,0B ，()111,M x y ，()11,M x y -，()22,N x y ， 不妨设直线1x my =+与椭圆相交于点1M ，N ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(1)4120my y ++-=，即()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 直线AM ：11(2)2y y x x -=++， 直线BN ：22(2)2y y x x =--， 由点M 在椭圆上，可知()2211344y x =--， 所以11112324y x x y --=⋅+， 所以直线AM ：1123(2)4x y x y -=+，联立两直线方程，消去y 可得121223(2)(2)42x y x x y x -⋅+=--， 即()()1212324222y y x x x x +⋅=---， 即()()()()1212121232422211y y y y x x x x my my +⋅==-----()12212121y y m y y m y y =-++，所以22232994296344x x m m m +-⋅==---+++， 所以()232x x +=--，1x =， 即点P 在定直线1x =上.解法三：（1）同上.（2）由已知可得()2,0A -，()2,0B ，()111,M x y ，()11,M x y -，()22,N x y ， 不妨设直线1x my =+与椭圆相交于点1M ，N ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(1)4120my y ++-=，即()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 设直线1AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，则()()12121212122222y y y y k k x x x x ⋅=⋅=++++()()()121221212123339y y y y my my m y y m y y ==+++++ 2229191827364m m m -==---++， 所以直线AM ，AN 的斜率满足1214k k -⋅=， 又设直线BN 的斜率为3k ，则222223222232244y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--，所以直线AM ，BN 的斜率满足1313k k -=-， 故直线AM ：31(2)3y k x =-+，BN ：()32y k x =-，联立解得1x =， 即点P 在定直线1x =上.22.【命题意图】本小题主要考查函数与方程，不等式，导数的应用等基础知识，考查逻辑推理，运算求解能力，体现综合性，导向对发展数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注. 【试题解析】解法一： （1）'()cos 1xf x aex -=-+-.【当0a ≥时，'()0f x ≤显然成立.（无持续求解，只写这一结论，可补这1分.）2分】()f x 在()0,2π单调递减⇔对()0,2x π∈，恒有'()0f x ≤()0,2x π⇔∈，恒有()cos 1x a e x ≥-，令()[]()()cos 10,2x g x e x x π=-∈，则'()(cos 1sin )14x x g x e x x e x π⎫⎛⎫=--=--+ ⎪⎪⎝⎭⎭， 令'()0g x =，解得32x π=（或0x =，或2x π=）. 则当30,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x <，()g x 单调递减；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >，()g x 单调递增.又()()020g g π==，所以当[]0,2x π∈时，max ()0g x =. 所以0a ≥.（2）令()sin x x x ϕ=-，则'()cos 10x x ϕ=-≤，所以()x ϕ单调递减， 又因为()00ϕ=，所以0x ≥时，sin 0x x -≤；0x <时，sin 0x x ->.令()()sin xF x a ex x =+-，则()F x 与()f x 零点一致.当0x ≥时，()()()'()sin cos 10xF x ex x x =-+-≤，所以()F x 递减，()()0F x F a ≤=.当0x <时，有(sin )(1)xxa a e x x a e x <+-≤+-， 令()(1)(0)xG x a e x x =+-<，因为'()0x G x xe =->，()G x 在(),0-∞递增，所以0()(0)(10)1G x G a e a <=+-=+. 故()1a F x a <<+.综上，当0a ≥时，()F x 在0x ≥有唯一零点，在0x <恒正不存在零点； 当1a ≤-时，()10F x a <+≤，不存在零点.即对任意整数a ，()F x 至多1个零点，所以()f x 至多1个零点. 解法二：（1）同解法一. （2）当0a ≥时，()'()cos 10xf x ae x -=-+-≤恒成立，()f x 为递减函数，所以()f x 至多1个零点.令()sin x x x ϕ=-，则'()cos 10x x ϕ=-≤，所以()x ϕ单调递减， 又因为()00ϕ=，则0x ≥时，sin 0x x -≤；0x <时，sin 0x x ->. 当1a ≤-时，()sin sin xx f x ae x x e x x --=+-≤-+-.令()sin xx ex x φ-=-+-.当0x ≥时，()sin sin 0xx e x x x x φ-=-+-<-≤.当0x <时，'()cos 1xx ex φ-=+-；''()sin 1sin 0x x e x x φ-=--≤--≤，所以'()x φ在0x <时单调递减，此时()'()'01x φφ>=， 所以()x φ在0x <时单调递增，所以()()01x φφ≤=-.综上所述，当1a ≤-时，()0x φ<. 所以当1a ≤-时，()sin 0xf x ex x -≤-+-<.所以，对任意整数a ，函数()f x 至多1个零点.。

【市级联考】福建省泉州市2024届高三普通高中毕业班第一次质量检查理科综合物理试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的答案中，只有一个符合题目要求。

(共8题)第(1)题如图所示，足够长水平传送带逆时针转动的速度大小为，一小滑块从传送带左端以初速度大小滑上传送带，小滑块与传送带之间的动摩擦因数为μ，小滑块最终又返回到左端。

已知重力加速度为g，下列说法正确的是（）A．小滑块的加速度向右，大小为μgB．若，小滑块返回到左端的时间为C．若，小滑块返回到左端的时间为D．若，小滑块返回到左端的时间为第(2)题如图所示的闭合电路，电源电动势为E，内阻为r，定值电阻、，滑动变阻器最大值是10Ω。

在A、B之间接有水平放置的平行板电容器C，滑动变阻器的滑片处于中点时，平行板电容器中的带电微粒恰好静止，带电微粒电荷量的绝对值为q、质量为m，下列说法正确的是（）A．微粒带负电B．若滑片向左滑动，微粒受的电场力将变小C．若滑片向左滑动，微粒在运动的过程中电势能将增加D．若滑片向右滑动，微粒在运动的过程中电势能将增加第(3)题质量为m的物体放置在倾角的粗糙固定斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数，现用拉力F（与斜面的夹角为β）拉动物体沿斜面向上匀速运动，下列说法正确的是（ ）A．拉力最小时，物体受三个力作用B．时，即拉力沿斜面向上时，拉力F最小C．斜面对物块作用力的方向随拉力F的变化而变化D．拉力F的最小值为第(4)题如图甲所示，倾斜的传送带正以恒定速率沿顺时针方向转动，传送带的倾角为37°。

一物块以初速度从传送带的底部冲上传送带并沿传送带向上运动，其运动的图像如图乙所示，物块到传送带顶端时速度恰好为零，，。

g取，则（）A．传送带的速度为B．摩擦力方向一直与物块运动的方向相反C．物块与传送带间的动摩擦因数为0.25D．传送带转动的速率越大，物块到达传送带顶端时的速度就会越大第(5)题EUV光刻机是利用波长为13.5nm的极紫外光进行曝光来制造芯片。

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

第18题概率与统计高考考点命题分析三年高考探源考查频率概率、随机变量分布列及正态分布高考全国卷每年必有一道概率与统计解答题，该题通常以实际问题为背景，考查考生的数学建模及数据分析等核心素养，可以是较容易的题，也可以是难度较大的题，考查热点是概率的计算、随机变量的分布列、期望与方差的应用、正态分布、用样本估计总体、统计案例．2020课标全国Ⅰ19 2020课标全国Ⅲ18 2019课标全国Ⅱ18 2019课标全国I 21★★★统计与统计案例2021课标全国Ⅰ17 2021课标全国Ⅱ17 2020课标全国Ⅱ18 2020课标全国Ⅲ18 2019课标全国Ⅲ17★★★例题（2021高考全国I ）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.99.8 10.0 10.1 10.29.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5y 21S 和22S ．（1）求x ，y ，21S ，22S ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210S S y x +-≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04x y S S ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有 解：（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，（2分）10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，（4分）22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610S +++++++++==，（8分） 222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410S +++++++++==.（8分）（2）依题意，20.320.1520.1520.025y x -==⨯==，0.0360.040.007610+=（10分）2212210s s y x +-≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. （12分）1．（2022届江苏省泰州市兴化市高三4月模拟）设(),X Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为(),i j a b ，其中,i j N *∈，令(,)ij i j p P X a Y b ===，称(,)ij p i j N *∈是二维离散型随机变量(),X Y 的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：(),X Y1b 2b 3b ... 1a 1,1p 1,2p 1,3p (2)a 2,1p 2,2p 2,3p (3)a3,1p3,2p3,3p ·…… … … … …现有()n n N ∈个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X ，落入第2号盒子中的球的个数为Y ． (1)当n ＝2时，求(),X Y 的联合分布列；(2)设0(,),nk m p P X k Y m k N ====∈∑且k n ≤计算0nk k kp =∑．2．（陕西省西安市高三下学期二模）某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下： 良好以下 良好及以上 合计 男 25 女 10 合计70100(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8415.0246.63510.828会上参与全民健身活动的人越来越多，小明也有大量好友参与了“健步团”，他随机选取了其中的40人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步量性别5001~60006001~70007001~80008001~9000>9000男 1 2 3 6 8 女21062(2)如果每人一天的走路步数超过8000步就会被系统评定为“健步型”，否则为“良好型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关健步型良好型总计男女总计附：参考公式()()()()() 2n ad bcKa b c d a c b d-=++++.临界值表：()2P K k≥0.10 0.05 0.025 0.010 0k 2.706 3.841 5.024 6.635专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛．．．．．．．．．．．．，若甲连续豪两场．．．．．则专业队获胜；若甲连续输两场．．．．．则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为13；甲与丙比赛，丙赢的橱率为p，其中1132p<<．(1)若第一场比赛，业余队可以安接乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望()E X的取值范围．5．（2022届广东省广州市高三二模）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数7 11 41 1(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X ，求()1P X =；(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y ，求Y 的数学期望．6．（2022届重庆市高三质量检测）冰壶被喻为冰上的“国际象棋”，是以团队为单位在冰上进行的投掷性竞赛项目，每场比赛共10局，在每局比赛中，每个团队由多名运动员组成，轮流掷壶、刷冰、指挥．两边队员交替掷壶，可击打本方和对手冰壶，以最终离得分区圆心最近的一方冰壶数量多少计算得分，另外一方计零分，以十局总得分最高的一方获胜．冰壶运动考验参与者的体能与脑力，展现动静之美，取舍之智慧．同时由于冰壶的击打规则，后投掷一方有优势，因此前一局的得分方将作为后一局的先手掷壶．已知甲、乙两队参加冰壶比赛，在某局中若甲方先手掷壶，则该局甲方得分概率为25；若甲方后手掷壶，则该局甲方得分概率为23，每局比赛不考虑平局．在该场比赛中，前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，其中第六局乙方得分．(1)求第七局、第八局均为甲方得分的概率； (2)求当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．7．（2022届内蒙古赤峰市高三模拟）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/mm 58596061626364 65 66 67686970717273合计个数2 1 13 5 6 1931164 4 2 1 2 2 1 10065μ=σ(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）,()0.6826P X μσμσ-<≤+≥；()220.9545P X μσμσ-<≤+≥；()330.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.(2)将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品.（i ）从设备M 的生产流水线上随机抽取3件零件，计算其中次品件数Y 的数学期望()E Y ； （ii ）从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数Z 的概率分布列和数学期望()E Z . 8．（2022届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试）随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x1 2 3 4 5 6 新能源乘用车年销售y （万辆）5078126121137352(2)若用e nx y m =模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程为0.3337.71e x y =，经计算该模型和第（1）问中模型的2R （2R 为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别利用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；(3)你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由． 参考数据：设ln u y =，其中ln i i u y =． yu()()61iii x x y y =--∑()()61i ii x x u u =--∑3.63e 5.94e 6.27e144 4.78 841 5.70 37.71 380 528参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据()()123i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，，，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆnii i nii xx y ybxx==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 9．（2022届四川省攀枝花市高三第三次统一考试）2022年2月4日，北京冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看相关比赛．某机构将每天收看相关比赛的时间在2小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：冰雪运动爱好者非冰雪运动爱好者合计 女性 20 50 男性15合计 100的前提下认为性别与是否为“冰雪运动爱好者”有关？(2)将频率视为概率，现从参与调查的女性人群中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“冰雪运动爱好者”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X ． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b c -=++++，其中n a b c d =+++． ()20P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k3.8415.0246.6357.87910.828北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆.本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛，比赛规则12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）.正赛分小组赛阶段与决赛阶段；小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛(1)本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？ (2)某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队（甲乙丙丁队）实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为34、12、12、12，且每支球队晋级后每场比赛相互独立，试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率.11．（2022届山东省枣庄市高三下学期一模）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．(2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记X 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求： （i ）()0P X =；（ii ）X 的分布列及数学期望．12．（2022届湖北省高三下学期4月二模）某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为123111,,1098P P P ===． (1)求该款芯片生产在进人第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．13．（2022届广西四市高三4月教学质量检测）近期新冠病毒奥密克戎毒株全球蔓延，传染性更强、潜伏期更短、防控难度更大．为落实动态清零政策下的常态化防疫，某高中学校开展了每周的核酸抽检工作：周一至周五，每天中午13：00开始，当天安排450位师生核酸检测，五天时间全员覆盖．(1)该校教职工有410人，高二学生有620人，高三学生有610人， ①用分层抽样的方法，求高一学生每天抽检人数；②高一年级共15个班，该年级每天抽检的学生有两种安排方案，方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级．你认为哪种方案更合理，并给出理由． (2)学校开展核酸抽检的第一周，周一至周五核酸抽检用时记录如下： 第x 天12 3 4 5 用时y （小时） 1.21.21.11.01.0x y ②根据①中的计算结果，判定变量x 和y 是正相关，还是负相关，并给出可能的原因．10 3.16，相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑14．（2022届北京市通州区高三一模）某单位有A ，B 两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：,A A(),A B(),B A(),B B 选择餐厅情况（午餐，晚餐）()甲员工30天20天40天10天乙员工20天25天15天40天(1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；E X；(2)记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望()(3)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．。

2020-2021学年度第一学期八县(市)一中期中试卷高中三年数学科试卷一､选择题(每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}{}2|560|22128xA x Z x xB x =∈--≤=<<，，则A B =( )A. {}|16x x <≤B. {}23456，，，， C. {}|16x x ≤≤ D. {}10123456-，，，，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求两集合的交集即可【详解】解：由2560x x --≤得16x -≤≤，由于x ∈Z ， 所以{}{}2|5601,0,1,2,3,4,5,6A x Z x x =∈--≤-=，由22128x <<，得17x <<，所以{}{}|2212817xB x x x =<<=<< 所以A B ={}23456，，，，， 故选：B2. 已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“2a >-”，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题p 对应的a 的取值范围，利用集合的包含关系即可判断. 【详解】由函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数，因为221y x ax =++的对称轴为x a =-，开口向上，所有1a -≤，即1a ≥-，{}1a a ≥- {}2x a >-，∴p 是q 的充分不必要条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； (2)若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； (3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．3. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为( )A. ](2-∞，B. [)2，+∞C. []24-，D. []14， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f (3)1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-(3)(|1|)f x f ⇒-(3)|1|3x ⇒-， 解之可得24x -，故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ．【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.4. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中( )A. 直线AB 与直线CD 平行B. 直线AB 与直线CD 相交C. 直线AB 与直线CD 异面垂直D. 直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°【答案】D 【解析】 【分析】首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线AB 与直线CD 为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案.【详解】正方体的展开图的立体图形如图所示：由图知：直线AB 与直线CD 为异面直线，故A ，B 错误；连接CE ，DE ，因为//AB CE ，所以DCE ∠或其补角为异面直线AB 与CD 所成角. 又因为DCE 为等边三角形，所以60DCE ∠=.所以直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°，故C 错误，D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.5. 记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =( ). A. 710S = B. 723S =C. 7623S =D. 71273S =【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ．6. 已知0042m n m n >>+=，，，则41m n+的最小值为( ) A. 36 B. 16C. 8D. 4【答案】C 【解析】 【分析】 巧用“1”拼凑()41141=42m n m n m n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，应用基本不等式即得结果. 【详解】0042m n m n >>+=，，，()411411=4=82126m n m n m n m m n n ⎛⎫⎛⎫∴+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=82⎛≥+ ⎝，当且仅当16=n m m n 时即11,4m n ==时等号成立，故41m n+的最小值为8. 故选：C.7. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω，||2ϕπ<)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图像向左平移316π个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数()y f x =的图像( ) A. 关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线4x π=对称D. 关于直线4πx =-对称 【答案】A 【解析】根据函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为4π，可求得()f x 的周期T ，进而可求得ω的值，根据平移后图像关于原点对称，利用正弦函数图像与性质，即可求得ϕ的值，分别求得()f x 的对称中心、对称轴的表达式，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为函数()f x 图像相邻两条对称轴之间的距离为4π， 所以24T π=，即2T π=，所以24Tπω==，即()sin(4)f x x ϕ=+， 将函数()y f x =的图像向左平移316π个单位后，得到函数3sin[4()]16y x πϕ=++的图像，且其关于原点对称， 所以3416k πϕπ⨯+=()k ∈Z ，又||2ϕπ<，令k =1， 解得4πϕ=，即()sin(4)4f x x π=+，令4,()4x k k Z ππ+=∈，解得,()416k x k Z ππ=-∈，即对称中心为(,0)416k ππ- 令k =0，则一个对称中心为,016π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误； 令4,()42x k k Z πππ+=+∈，解得,()416k x k Z ππ=+∈，即对称轴为,()416k x k Z ππ=+∈，故C 、D 错误， 故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，解题的关键在于，根据两对称轴间距离，分析图像，可求得ω的值，再根据平移后图像，求得ϕ的值，再求解即可；易错点为平移后解析式为3sin[4()]16y x πϕ=++，注意平移要对x 进行加减，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.8. 已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为( )A. (,2021)-∞-B. (2021,2020)--C. (2021,0)-D. (2020,0)-【答案】B【分析】由题可得当(,0)x ∈-∞时，()2()0xf x f x '->，进而构造函数2()()f x g x x=，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集．【详解】解：构造2()()(0)f x g x x x =<，则243()2()()2()()x f x x f x xf x f x g x x x ''⋅-⋅-'==，因为()2()0xf x f x '->，则()0g x '<∴函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，∵不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，且()2(1)(1)(1)1f g f --==--，等价于()()()()()2220201120201f x f g x +-<=-+-，即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-．故选：B【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x=是解决本题的关键，属于中档题． 二､多选题(每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9. 已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则( ) A. 3||5z =B. 12i5z +=-C. 复数z 的实部为1-D. 复数z 对应复平面上的点在第二象限【答案】BD 【解析】 【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以5z ==，故A 错误；1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 10. 已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是( ) A. AB AC ⊥；B. 四边形ABCD 为平行四边形；C. AC 与BD 夹角的余弦值为145； D. 85AB AC +=【答案】BD 【解析】 【分析】求出向量,,,AB AC DC BD 坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断. 【详解】由(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，所以()2,3AB =-，()7,1AC =，()2,3DC =-， ()3,7BD =, 对于A ，143110AB AC ⋅=-=≠，故A 错误；对于B ，由()2,3AB =-，()2,3DC =-，则AB DC =， 即AB 与DC 平行且相等，故B 正确；对于C ，cos ,14550AC BD AC BD AC BD⋅===，故C 错误；对于D ，()||9,2AB AC +=-=D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题. 11. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是( )A. tan 2C =B. 4A π=C. b =D.ABC 的面积为6【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合题意，可求得tan C的值，根据cos sin a B b A c +=，利用正弦定理边化角，可求得A∠的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b 的值及ABC 的面积，即可得答案. 【详解】因为222sin a b c ab C +-=，所以222sin sin cos 222a b c ab C C C ab ab +-===， 所以sin tan 2cos CC C==，故A 正确； 因为cos sin a B b A c +=，利用正弦定理可得sin cos sin sin sin A B B A C +=， 因为()C A B π=-+，所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+，所以sin cos sin si sin()sin cos cos sin n A A B B A B A B A B ++==+， 即sin sin cos sin B A A B = 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠， 所以tan 1A =，又(0,)A π∈， 所以4A π=，故B 正确；因为tan 2C =，(0,)C π∈所以sin 55C C ==所以sin sin()sin cos cos sin 252510B AC A C A C =+=+=+=， 因为sin sin a b A B=，所以31010sin1032 sin2a BbA⨯===，故C错误；1125sin10326225△==⨯⨯⨯=ABCS ab C，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求法，解题的关键在于灵活应用正余弦定理及面积公式，考查计算化简的能力，属中档题.12. 已知直三棱柱111ABC A B C-中，AB BC⊥，1AB BC BB==，D是AC的中点，O为1A C的中点.点P是1BC上的动点，则下列说法正确的是()A. 当点P运动到1BC中点时，直线1A P与平面111A B C5B. 无论点P在1BC上怎么运动，都有11A P OB⊥C. 当点P运动到1BC中点时，才有1A P与1OB相交于一点，记为Q，且113PQQA=D. 无论点P在1BC上怎么运动，直线1A P与AB所成角都不可能是30°【答案】ABD【解析】【分析】构造线面角1PA E∠，由已知线段的等量关系求1tanEPPA EAE∠=的值即可判断A的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB⊥即可知B的正误；由中位线的性质有112PQQA=可知C的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =，22111152AE A B B E BB =+= ∴15tan 5PA E ∠=，故A 正确选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q 为中位线的交点 ∴根据中位线的性质有：112PQ QA =，故C 错误选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45°当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为23arctan302>=︒ ∴11B A P ∠不可能是30°，故D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小三､填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.若cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________． 【答案】45-【解析】【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果．【详解】解：若cos()4πθ-= 则214sin 2cos(2)2cos ()12124105ππθθθ=-=--=⨯-=-， 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．14. 已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =--，则n a =__________.【答案】31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，， 【解析】【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解即可 【详解】解：当1n =时，111313a S ==--=-，当2n ≥时，22131[(1)3(1)1]24n n n S n n n n a n S --=-------==-，当 1n =时，1242a -=-≠，所以31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，， 故答案为：31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，， 15. 在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC，PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【答案】52π【解析】【分析】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，利用正弦定理和勾股定理，构造出Rt QHA ，然后，利用勾股定理得出2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，进而求解可得 【详解】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，AQ AB ⊥，AQ ⊂面PAB ，AQ ∴⊥面ABC ，PAB △的外接圆直径为234QB ==，222QA QB AB ∴=-=，而2h QA ==， ABC 中，23AB AC ==120BAC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，设底面ABC 的外接圆半径为r ，则243sin AB r BCA==∠R ，则有2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，球的表面积为2452S R ππ==故答案为：52π【点睛】关键点睛：解题关键在于，构造直角三角形Rt QHA ，利用勾股定理得出2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，进而求解16. 函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln x f x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间()1,+∞上的单调性与极值，由题意可知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，数形结合可知关于t 的二次方程2240t mt m -+=有两个大于e 的实根，利用二次方程根的分布可得出关于m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】当1x >时，()ln x f x x=，()2ln 1ln x f x x -'=. 当1x e <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当x e >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，函数()y f x =在x e =处取得极小值()f e e =，又()()11f x f x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：由于关于x 的方程()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则关于t 的二次方程2240t mt m -+=有两个大于e 的实数根，由二次方程根的分布可得224160240m m m e e me m ⎧∆=->⎪>⎨⎪-+>⎩，解得()2422e m e <<-. 综上所述，实数m 的取值范围是()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭.故答案为：()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查利用方程根的个数求参数，考查了导数的应用以及一元二次方程根的分布，考查数形结合思想的应用，属于较难题.四､解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且233n n S a +=(1)求{}n a 的通项公式；(2)设3311log log n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)3n n a =；(2)1n n T n =+. 【解析】【分析】(1)利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，即可求出通项公式；(2)利用裂项相消法可求.【详解】解：(1)1n =时，11233S a +=，11a S =，13a ∴=，2n ≥时，因为()312n n S a =-，所以()11312n n S a --=-. 相减得()132n n n a a a -=-，所以13n n a a -=. 所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以1133n n n a a -=⋅=，即{}n a 通项公式为3n n a =.(2)由(1)可得()33111log log 1n n n b a a n n +==+111n n =-+. 所以12111111......12231n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：(1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；(2)对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；(3)对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.18. 在①()3cos cos cos sin C a B b A c C +=，②sin sin 2A B a c A +=，③()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为,,a b c ，3c =，而且___________.(1)求C ∠；(2)求ABC 周长的范围.【答案】条件选择见解析；(1)3π；(2)(2333⎤⎦，. 【解析】【分析】 (1)选①：由条件结合正弦定理可得()3cosCsin A B sinCsinC +=，即3tanC =，得出答案.选②：由条件结合诱导公式、正弦定理和二倍角公式可得122C sin =，从而得出答案. 选③：由条件结合正弦定理可得222a b c ab +-=，再根据余弦定理可得答案.(2)由(1)结合余弦定理可得223a b ab +-=,利用均值不等式可得周长的最大值，再利用三角形中两边之和大于第三边可得出答案.【详解】解：(1)选①：由正弦定理得()3cosC sinAcosB sinBcosA sinCsinC +=()3cosCsin A B sinCsinC +=因为0sinC tanC ≠∴=， 因为()03C C ππ∈∴=，，选②： 由正弦定理得2CsinAsin sinCsinA π-=， 因为02222c C C sinA cos sinC sin cos ≠∴==，因为02C cos ≠，所以122C sin =， 因为()03C C ππ∈∴=，，选③：因为()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=，所以()()2222a b a b a b c -+-=，即222a b c ab +-=， 所以2221cos 22a b c C ab +-==， 因为0C π<<，所以3C π=； (2)由(1)可知：3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以()()223334a b a b ab ++-=≤，所以a b +≤a b =时等号成立，所以a b c ++≤ABC 周长的最大值为又因为a b c +>=ABC 周长的取值范围为(【点睛】关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题的关键是利用正弦定理进行边化角，第(2)问中结合(1)的结果，利用余弦定理得到223a b ab +-=，先配方再利用均值不等式()()223334a b a b ab ++-=≤求出+a b 的范围，最后三角形中两边之和大于第三边得到三角形周长的范围，属于中档题.19. 已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE △沿BE 折起使2AD =，得到如图②所示的四棱锥A BCDE -.(1)求证：平面ABE ⊥平面ABC ；(2)若P 为AC 的中点，求二面角P BD A --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)17. 【解析】【分析】(1)利用题中所给的条件证明AE ED ⊥，BE DE ⊥，因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥，即可证明BC ⊥平面ABE ，进一步可得面面垂直；(2)先证明AE ⊥平面BCDE ，以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD 的一个法向量m ，平面BDA 的一个法向量n ，利用向量的夹角公式即可求解【详解】解：(1)在图①中，连接BD ，如图所示：因为四边形ABCD 为菱形，60A ∠=︒，所以ABD △是等边三角形.因为E 为AD 的中点，所以BE AE ⊥，BE DE ⊥.又2AD AB ==，所以1AE DE ==.在图②中，2AD =222AE ED AD +=，即AE ED ⊥.因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥.又BE AE E =，AE ，BE ⊂平面ABE .所以BC ⊥平面ABE .又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABE ⊥平面ABC .(2)由(1)知，AE DE ⊥，AE BE ⊥.因为BE DE E ⋂=，BE ，DE ⊂平面BCDE .所以AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0E ，()0,0,1A ，)3,0,0B ，()3,2,0C ，()0,1,0D . 因为P 为AC 的中点，所以3122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以31,1,22PB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，31,0,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBD 的一个法向量为(),,m x y z =，由00PB m PD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得31023102x y z x z ⎧--=⎪⎨⎪-=⎪⎩. 令3z =，得1x =-，3y =-(133m =-，. 设平面BDA 的一个法向量为()111n x y z =，，.因为()31BA =-，，，()011AD =-，， 由00BA n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111300x z y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令11x =，3z =3y =(133n =，，则1cos ,777m nm n m n ⋅===-⨯⨯， 所以二面角P BD A --的余弦值为17. 【点睛】思路点睛：证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义，(不常用)(2)利用面面垂直的判定定理；(3)利用性质：//αβ，βγαγ⊥⇒⊥.20. 如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.(1)若6πθ=，求观光通道l 的长度；(2)用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 【答案】(1)观光通道长(2362km +；(2)当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【解析】【分析】(1)由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD的长，从而可得结果；(2)作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin 22BE OB θθ==，则有2sin 2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin 2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】(1)因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos 33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以3CD =同理62232BC AD -==-= 所以观光通道长2362l km =++-(2)作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sinsin 22BE OB θθ==， 则有2sin 2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭ 因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5， 即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围21. 已知函数()ax f x xe =的极值为1e-. (1)求a 的值并求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)已知函数()()0mx lnx g x e m m=->，存在()0x ∈+∞，，使得()0g x ≤成立，求m 得最大值. 【答案】(1)1a =，切线方程为：2y ex e =-；(2)最大值为1e . 【解析】【分析】(1)利用切线方程的公式求解即可(2)将问题转化为mx me lnx ≤，经过放缩得mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=，转化成()()f mx f lnx ≤，再利用导数判断()f x 的最值情况，进而可求得最终答案【详解】解：(1)()f x 定义域为R因为()()1ax f x e ax ='+若0a =则()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意，舍去若0a ≠则令()0f x '=得1x a =-所以11f a e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解得1a = 经检验，1a =符合题意.因为切线斜率()()11112f e e =+='又因为()1f e =所以切点为()1e ， 所以切线方程为：()21y e x e =-+即切线方程：2y ex e =-(2)因为存在()0x ∈+∞，，使得()0g x ≤成立 则mx lnx e m≤ 即mx me lnx ≤即mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=即mx lnx mxe lnxe ≤即()()f mx f lnx ≤(*)由(1)得()()1x f x e x '=+所以()f x 在区间()1-∞-，上单调递减，在区间()1，-+∞上单调递增 因为00mx m x me lnx >>≤，，所以0lnx >，所以1x >即0mx >且0lnx >所以存在()1x ∈+∞，使得()()f mx f lnx ≤ 所以存在()1x ∈+∞，使得mx lnx ≤即()1lnx m x x≤∈+∞， 令()lnx s x x=所以()max m s x ⎡⎤≤⎣⎦ 因为()210lnx s x x '-==得x e = 所以()s x 在区间()1e ，上单调递增，在区间()e +∞，单调递减 所以()s x 的最大值为()1s e e =所以1m e≤又因为0m >，所以10m e <≤ 所以m 的最大值为1e 【点睛】关键点睛：解题的关键在于放缩得mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=，把问题转化为()()f mx f lnx ≤，考查学生的转化化归和放缩的运用，属于难题22. 已知函数()()()2ln 1002x f x ax a x x -=+->≥+，. (1)当12a =时，讨论函数()y f x =的单调性； (2)若不等式()1f x ≥在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明：()()*11111ln 1357212n n N n ++++<+∈+. 【答案】(1)在区间()02，上单调递减；在区间()2+∞，上单调递增；(2)[1，)+∞；(3)证明见解析. 【解析】【分析】(1)求出()f x 的导数，根据导数的正负即可判断单调性；(2)求出()f x 的导数，根据a 的范围讨论单调性，求出()f x 的最小值，满足()min 1f x ≥即可求出a 的取值范围；(3)由(2)可知当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立，可得11[ln(1)ln ]122k k k <+-+，即可得证. 【详解】解：(1)当12a =时，()()()221142122212x f x x x x -'=⋅-=+++， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以()y f x =在区间()0,2上单调递减；在区间()2,+∞上单调递增；(2)()2224441(2)(1)(2)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++， 当1a ≥时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时，由()0f x '>可得x >∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在⎡⎢⎣上单调递减； ①当1a ≥时，函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增， ()()01f x f ∴≥=，即不等式()1f x ≥，在[)0x ∈+∞，时恒成立，②当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得()()001f x f <=，所以不合题意，舍去. 综上可知实数a 的取值范围为[)1,+∞；(3)由(2)得当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立， 即2ln(1)2x x x +>+，12ln(1)12k k ∴+>+，*()k N ∈. 即11[ln(1)ln ]122k k k <+-+， ∴11(ln 2ln1)32<-，11(ln3ln 2)52<-，11(ln 4ln3)72<-，11[ln(1)ln ]212n n n ⋯<+-+， 将上述式子相加可得()()()111111ln 1ln1ln 13572122n n n ++++<+-=++ 原不等式得证. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，一般按如下规则转化，(1)对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≥恒成立，则()min f x m ≥；(2)对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≤恒成立，则()max f x m ≤.。