考研数学概率论浙大内部课件(盛骤)随机过程

( X (t1 ), X (t2 ),L X (tn ) ) 服从n维正态分布， 则称 { X (t ), t ∈ T } 是正态过程
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
则{ X (t ), t ∈ ( −∞, +∞ )} 是一随机过程。
解：对任意固定的t , X (t )是随机变量，取值为cosπ t和t
此随机过程的样本函数只有两个，即X 1 (t ) = cosπ t , X 2 (t ) = t
X (t )
X 2 (t )
P ( X (t ) = cosπ t ) = P ( X (t ) = t ) = 1 2
X 1 (t )
1
2
3
4
t
5
例2：考虑 X (t ) = α cos(ω t + Θ), t ∈ ( −∞, +∞ ) , 式中α 和ω 是 正常数,Θ是在(0, 2π )上服从均匀分布的随机变量, 这是一个随机过程。 对每一固定的时刻t , X (t ) = α cos (ω t + Θ)是随机变量Θ的函数, 从而也是随机变量。它的状态空间是[-α , α ]. 在(0, 2π )内随机取一数θ , 相应的就得到一个样本函数 x(t ) = α cos (ω t + θ ), 这族样本函数的差异在于它们相位θ的不同, 故这一过程称为随机相位正弦波。
0 x < −1 1 故F ( x;1) = −1 ≤ x < 1 2 1 x ≥1
1 出现H 解：X (0) = 0 出现T
−1 出现H X (1) = 1 出现T
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例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：
cos π t 出现H X (t ) = t ∈ ( −∞, +∞ )，设P( H ) = P(T ) = 1 , 2 出现T t 试确定X (t )的： (1) 一维分布函数 F ( x;0)，F ( x;1); (2) 二维分布函数 F ( x1 , x2 ;0,1); X 2 (t ) X (t ) 出现H
e → X (e), 即X —— 一维随机变量
e → ( X (e), Y (e)), 即( X , Y ) ——二维随机变量
e → ( X 1 (e), X 2 (e),L X n (e)), 即( X 1 , X 2 ,L , X n ) ——n维随机变量
e → ( X 1 (e), X 2 (e),L), 即( X 1 , X 2 ,L) ——随机序列
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例4：设某城市的120急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫。 以X (t )表示时间间隔 ( 0, t ]内接到的呼叫次数， 它是一个随机变量，且对于不同的t ≥ 0，X (t )是不同 的随机变量，于是 { X (t ), t ≥ 0} 是一随机过程，且它的 状态空间是 {0,1, 2,L} .
一般地，对任意n(n = 2,3,L)个不同的时刻，t1 , t2 ,Ltn ∈T n维随机变量 ( X (t1 ), X (t2 ),L X (tn ) )的分布函数：xi ∈ R, i = 1, 2,Ln
{FX ( x1, x2 ,L xn ; t1, t2 ,Ltn )
称为随机变量{ X (t ), t ∈T }的n维分布函数
FX ( x1 , x2 ,L xn；t1 , t2 ,Ltn ) = P { X (t1 ) ≤ x1 , X (t2 ) ≤ x2 ,L X (tn ) ≤ xn }， ti ∈T } 称为{ X (t ), t ∈T }的n维分布函数族
一般地，FX ( x1 , x2 ,L xn ; t1 , t2 ,L tn ), n = 1, 2,L ti ∈ T } { 称为随机过程 { X (t ), t ∈ T }的有限维分布函数族 它完全确定了随机过程的统计特性
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
n
随机过程的分类： 随机过程的分类：
随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T 可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随 机变量和连续型随机变量两种： 1. 2. 3. 4. 连续参数连续型的随机过程，如例2，例3 连续参数离散型的随机过程，如例1，例4 离散参数离散型的随机过程，如例5 离散参数连续型的随机过程，
T 为参数集，对固定的e和t , X (e, t )称为过程的状态； X (e, t )所有可能的值的全体称为状态空间；
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今后将X (e, t )简记为X (t )
例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：
cosπ t 当出现H X (t ) = 当出现T t
t ∈ ( −∞, +∞ )，其中P( H ) = P(T ) = 1 2
又设任意t1 , t2 ∈ T RXX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] − − − − − (自)相关函数 C XX (t1 , t2 ) = Cov[ X (t1 ), X (t2 )] = E {[ X (t1 ) − µ X (t1 )][ X (t2 ) − µ X (t2 )]} − − − − − (自)协方差函数
1 6
, i = 1, 2,3, 4,5, 6
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数, Yn , n ≥ 1} 也是 { 一随机过程，它的状态空间仍是 {1, 2,3, 4,5, 6}。 下面分别给出它们的一条样本函数：
xn yn
6 5 4 3 2 1
(1)
xn
6 5 4 3 2 1
n
(2)
yn
定义：设T 是一无限实数集，X (e, t ), e ∈ S , t ∈ T } 是对应于e和t的实数， { 即为定义在S 和T 上的二元函数。 则称 { X (e, t ), e ∈ S , t ∈ T } 是随机过程； 若此函数对任意固定的t ∈ T , X ( e, t ) 是一个随机变量，
对于随机过程 { X (e, t ), e ∈ S , t ∈ T } 进行一次试验，即e给定， 它是t的函数，称为随机过程的样本函数。
例子如下：对于随机相位正弦波， 若只在时间集T = { t , 2 t ,L n t ,L} 上观察X (t )，就得到 随机序列{ X 1 , X 2 ,L , X n ,L} , X n = X (n t )是连续型随机变量。
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§2 随机过程的统计描述
分布函数 两种描述 特征数
(一) 随机过程的分布函数族 设随机过程 { X (t ), t ∈ T } , 对每一固定的t ∈ T , FX ( x, t ) = P { X (t ) ≤ x}，x ∈ R，称为随机过程 { X (t ), t ∈ T }的一维分布函数 { FX ( x, t ), t ∈ T } 称为一维分布函数族
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例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：
cos π t 出现H X (t ) = t ∈ ( −∞, +∞ )，设P( H ) = P(T ) = 1 , 2 出现T t 试确定X (t )的： (1) 一维分布函数 F ( x;0)，F ( x;1); (2) 二维分布函数 F ( x1 , x2 ;0,1); 0 x<0 1 故F ( x; 0) = 0 ≤ x <1 2 1 x ≥1
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例3：设X (t ) = Vcosω t t ∈ ( −∞, +∞ ) 其中ω 是常数； V 在[0,1]上服从均匀分布,则X (t )是一个随机过程。 对每一固定的t，X (t ) = Vcosω t是随机变量V 乘以常 数cosω t，故也是随机变量,对[0,1]上随机变量取一v值, 就得到相应的一个样本函数x(t ) = vcosω t.
定义： 随机过程 { X (t ), t ∈ T }，如果对每一t ∈ T , E[ X 2 (t )]都存在， 则称X (t )是二阶矩过程， 二阶矩过程的均值函数和相关函数总是存在的。
定义：
{ X (t ), t ∈ T } 是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n ≥ 1及任意t1 , t2 ,L tn ∈ T ,
2 ψ X ( t ) = RX ( t , t )
各数字特征之间的关系如下：
C X ( t1 , t2 ) = RX ( t1 , t2 ) − µ X ( t1 ) µ X ( t2 )
σ
2 X
( t ) = C X ( t , t ) = RX ( t , t ) − µ ( t )2 X15源自( )()(
)
a = cosω ⋅ π = 0, 2ω
( ) P { X ( π ) = 0} = 1 2ω
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(二) 随机过程的数字特征 二
给定随机过程 { X (t ), t ∈ T } ,
2 σ X (t ) = DX (t ) = E {[ X (t ) − µ X (t )]2 } ---方差函数 2 σ X (t ) = σ X (t ) ---标准差函数 2 µ X (t ) = E[ X (t )] − − − − − 均值函数 ψ X (t ) = E[ X 2 (t )] − − − − − 均方值函数
X 1 (t )
(1, −1) ( X (0), X (1) ) = ( 0, 1) 出现T
1
0 x1 < 1且x2 < 1 x1 < −1或x2 < 0 故F ( x1 , x2 ; 0,1) = 1 x1 ≥ 1且x2 ≥ 1 1 其他 2
2
3
4
t
x2
x1
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例2：设随机过程X (t ) = Vcosω t , t ∈ ( −∞, +∞ )，V 在[0,1]上均匀分布 求在t = 0, π , 3π , π , π 时X (t )的密度函数。 4ω 4ω ω 2ω 解：对给定的t , 若cosω t ≠ 0, 记a = cosω t， 则X (t ) = aV 的密度函数为： 1 0 < x <1 a f X ( x; t ) = fV x ⋅ 1 = a a a 其他 0 1 0 < x < 1 a = cosω ⋅ 0 = 1 于是 f X ( x;0 ) = 0 其他 2 π = 2 0< x< 2 π = 2 , f X x; a = cosω ⋅ 4ω 4ω 2 0 其他 2 3π = − 2 , f x; 3π = 2 − 2 < x < 0 a = cosω ⋅ X 4ω 4ω 2 0 其他 π = 1 − 1 < x < 0 π = −1, f X x; a = cosω ⋅ ω 其他 ω 0