全国各地2008年数学高考真题及答案-(湖南.文)含详解
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yx2008高考湖南文科数学试题及全解全析一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知{}7,6,5,4,3,2=U ,{}7,5,4,3=M ,{}6,5,4,2=N ,则( )A .{}4,6M N = .B M N U =C .U M N C u = )( D. N N M C u = )( 【答案】B【解析】由{}7,6,5,4,3,2=U ,{}7,5,4,3=M ,{}6,5,4,2=N ,易知B 正确. 2.“21<-x ”是“3<x ”的( )A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由21<-x 得13x -<<,所以易知选A.3.已条变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( )A .4 B.3 C.2 D.1 【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形,其三个顶点分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点(1,1)时,x y +最小值是11 2.+=故选C.4.函数)0()(2≤=x x x f 的反函数是( ))0()(.1≥=-x x x f A )0()(.1≥-=-x x x f B )0()(.1≤--=-x x x f C )0()(.21≤-=-x x x f D【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),-则其反函数过点(1,1),-验证知只有答案B 满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。
15.已知直线m 、n 和平面α、β满足,,m n m ααβ⊥⊥⊥,则( ).A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n【答案】D【解析】易知D 正确.6.下面不等式成立的是( )A .322log 2log 3log 5<<B .3log 5log 2log 223<<C .5log 2log 3log 232<<D .2log 5log 3log 322<< 【答案】A【解析】由322log 21log 3log 5<<< , 故选A.7.在ABC ∆中,AB=3,AC=2,BC=10,则AB AC ⋅=( )A .23-B .32- C .32 D .23【答案】D【解析】由余弦定理得1cos ,4CAB ∠=所以1332,42AB AC ⋅=⨯⨯= 选D.8.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目,则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A .15 B .45 C .60 D .75 【答案】C【解析】用直接法:11122135353515301560,C C C C C C ++=++=或用间接法:22224635903060,C C C C -=-=故选C.9.长方体1111ABCD A BC D -的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=3,11=AA ,则顶点A 、B 间的球面距离是( )A .42π B .22π C .π2D .2π2 【答案】B【解析】112BD AC R ===R ∴设11,BD AC O = 则OAOB R ===,2AOB π⇒∠=,2l R πθ∴==故选B.10.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( )A. B.)+∞ C.(11] D.1,)+∞ 【答案】C【解析】200a ex a x c -=+ 20(1)a e x a c ⇒-=+2(1),a a e a c⇒+≥- 1111,a e c e∴-≤+=+2210,e e ⇒--≤11e ⇒≤≤ 而双曲线的离心率1,e>(11],e ∴∈故选C.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
把答案填在对应题号后的横线上。
11.已知向量)3,1(=a ,)0,2(-=b ,则||a b +=_____________________.【答案】2【解析】由(1|| 2.a b a b +=-∴+=12.从某地区则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。
【答案】60【解析】由上表得15000(2321)23060.500-⨯=⨯= 13.记nxx )12(+的展开式中第m 项的系数为m b ,若432b b =,则n =__________. 【答案】5【解析】由211(2)()2,rn rr n r r n r r n n T C x C x x---+=⋅=⋅⋅得2233222,n n n n C C --⋅=⨯⋅ 所以解得 5.n =y14.将圆122=+y x 沿x 轴正向平移1个单位后所得到圆C ,则圆C 的方程是________,若过点(3,0)的直线l 和圆C 相切,则直线l 的斜率为_____________. 【答案】22(1)1x y -+=, 3±【解析】易得圆C 的方程是22(1)1x y -+=,直线l 的倾斜角为30,150,所以直线l 的斜率为3k =±15.设[]x 表示不超过x 的最大整数,(如[]145,22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)。
对于给定的n N *∈,定义[][][),,1,)1()1()1()2)(1(+∞∈+--+---=x x x x x x n n n n C x n则328C =________; 当[)3,2∈x 时,函数x C 8的值域是_________________________。
【答案】16,3 28(,28]3【解析】328816,332C ==当2x =时,288728,21C ⨯==⨯当3x →时,[]2,x = 所以88728,323xC ⨯==⨯故函数x C 8的值域是28(,28]3.三、解答题:本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。
甲表示只要面试合格就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。
设每人 面试合格的概率都是21,且面试是否合格互不影响。
求: (I )至少有一人面试合格的概率; (II )没有人签约的概率。
解:用A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C 相互独立,且1()()().2P A P B P C ===(I )至少有一人面试合格的概率是1()P A B C -⋅⋅3171()()()1().28P A P B P C =-=-=(II )没有人签约的概率为()()()P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P BP C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 3331113()()().2228=++=17.(本小题满分12分) 已知函数x xx x f sin 2sin 2cos)(22+-=. (I )求函数)(x f 的最小正周期;(II )当)4,0(0π∈x 且524)(0=x f 时,求)6(0π+x f 的值。
解:由题设有()cos sin f x x x =+=π)4x +.(I )函数()f x 的最小正周期是2π.T =(II )由524)(0=x f 0π)45x +=即0π4sin(),45x +=因为)4,0(0π∈x ,所以0ππ(,).442x π+∈从而0π3cos().45x +===于是)6(0π+x f 00ππ))]4646x x ππ=++=++00ππ)cos cos()sin ]4646x x ππ=+++4312().552=+⨯18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形,060=∠BCD , E 是CD 的中点,PA ⊥底面ABCD ,3=PA 。
(I )证明:平面PBE ⊥平面PAB ; (II )求二面角A —BE —P 的大小。
解:解法一(I )如图所示, 连结,BD 由ABCD 是菱形且060=∠BCD 知,BCD △是等边三角形. 因为E 是CD 的中点,所以,BE CD ⊥又,AB CD //所以,BE AB ⊥又因为PA ⊥平面ABCD ,BE ⊂平面ABCD ,所以,BE PA ⊥而,AB A = PA 因此 BE ⊥平面PAB. 又BE ⊂平面PBE ,所以平面PBE ⊥平面PAB.(II )由(I )知,BE ⊥平面PAB, PB ⊂平面PAB, 所以.PB BE ⊥又,BE AB ⊥所以PBA ∠是二面角A BE P --的平面角. 在Rt PAB △中, tan 60.PA PBA PBA AB∠==∠=. 故二面角A BE P --的大小为60.解法二:如图所示,以A 为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是(000),A ,,(100),B ,,3(0),22C ,1(0),22D ,(00P (10).2E , (I)因为(0,0),2BE = 平面PAB 的一个法向量是0(010),n = ,,所以BE 和0n 共线. 从而BE ⊥平面PAB. 又因为BE ⊂平面PBE ,所以平面PBE ⊥平面PAB.(II )易知(10,0),PB BE == ,设1n 111()x y z =,,是平面PBE 的一个法向量, P A BCED则由1100n PB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,得111111000002x y x y z ⎧+⨯-=⎪⎨⨯++⨯=⎪⎩,所以111.y x =0, 故可取1n=,而平面ABE 的一个法向量是2(001).n = ,, 于是,1212121cos ,.2||||n n n n n n ⋅<>==. 故二面角A BE P --的大小为60.19.(本小题满分13分)已知椭圆的中心在原点,一个焦点是)0,2(F ,且两条准线间的距离为)4(>λλ。
(I )求椭圆的方程;(II )若存在过点A (1,0)的直线l ,使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上,求λ的取值范围。
解:(I )设椭圆的方程为22221(0).x y a b a b+=>>由条件知2,c =且22,a cλ=所以2,a λ=222 4.b a c λ=-=- 故椭圆的方程是221(4).4x y λλλ+=>- (II )依题意, 直线l 的斜率存在且不为0,记为k ,则直线l 的方程是(1).y k x =-设点(20)F ,关于直线l 的对称点为00(),F x ',y 则 00002(1)2212y x k yk x +⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=--⎪⎩, 解得02022121x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩, 因为点00()F x ',y 在椭圆上,所以222222()()11 1.4k k k λλ+++=- 即422(4)2(6)(4)0.k k λλλλλ-+-+-= 设2,k t =则22(4)2(6)(4)0.t t λλλλλ-+-+-=因为4,λ>所以2(4)0.(4)λλλ->-于是,当且仅当23[2(6)](4)()2(6)0.(4)λλλλλλλλ⎧∆=--⎪*-⎨->⎪-⎩-4, 上述方程存在正实根,即直线l 存在.解()*得16,34 6.λλ⎧≤⎪⎨⎪<<⎩所以164.3λ<≤ 即λ的取值范围是164.3λ<≤20.(本小题满分13分)数列{}n a 满足,2,021==a a 222(1cos)4sin ,1,2,3,,22n n n n a a n ππ+=++= (I )求43,a a ,并求数列{}n a 的通项公式;(II )设1321k k S a a a -=+++ ,242k k T a a a =+++ ,*2()2kk kS W k N T =∈+, 求使1k W >的所有k 的值,并说明理由。