高考数学(理)一轮复习单元测试：第二章函数与导数(人教A版)

a当n为奇数且n∈N*时，
±n a 当n为偶数且n∈N*时.
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*)．
a，n为奇数，
②n
an＝

|a|

＝a，a≥0， －a，a＜0，
n为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：
＝ n am
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d 与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图 象越高(低)，其底数越大．
3．注意事项 (1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平 移、对称、翻折变换得到其图象． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合 观察两曲线动与不动及动的范围求解．
(2)若不等式 1＋2x＋4x·a>0 在 x∈(－∞，1]时恒成立，则实数 a 的取值范围
是
．
解析：从已知不等式中分离出实数 a，得 a>－14x＋12x. 因为函数 y＝14x 和 y＝12x 在 R 上都是减函数，所以当 x∈(－∞，1]时，14x≥14，12 x≥12，
跟踪训练 (1)(2017·江西三校联考)化简4 16x8y4(x＜0，y＜0)的结果为( )
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
答案：D
答案：85
考点二|指数函数的图象及应用 (思维突破) 【例2】 (1)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )

意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等)； 5．在解答题中出现，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应 用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考 查学生的分类讨论，转化化归等思想．
第二单元 │ 命题趋势
函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密 地联系在一起，是中学数学全部内容的主线，预测2012年高考在 选择题、填空题中主要考查函数的概念、性质和图象、导数的概 念及运算，解答题主要以函数为背景，与导数、不等式、数列、 甚 至 解析几 何 等知识 相 整合设 计 试题 ， 考 查函数 知 识的综 合 应．预测2012年高考试题对本部分内容的考查将以小题和大题的 形式出现，小题主要考查导数的概念、几何意义、导数的运算， 大题主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究函数 的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识 网络交汇点命题．
第二单元 │ 考纲要求
(2)指数函数 ①了解指数函数模型的实际背景． ②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算． ③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握 指数函数图象通过的特殊点． ④知道指数函数是一类重要的函数模型．
第二单元 │ 考纲要求
(3)对数函数 ①理解对数的概念及其运算性质，知道 用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数；了解对数在简化运算中的作用． ②理解对数函数的概念，理解对数函数 的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． ③知道对数函数是一类重要的函数模 型． ④了解指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝ log ax 互为反函数(a＞0 且 a≠1)．
第二单元 │ 考纲要求
常见基本初等函数的导数公式： C′＝ 0(C 为常数 ) ； (xn)′＝ nxn － 1 ， n ∈ N ＋ ； (sinx)′＝ cosx ； (cosx)′＝－sinx； 1 (ex)′＝ ex ； (ax)′＝ axln a(a ＞ 0 ，且 a≠1) ； (ln x)′＝ x ； 1 (logax)′＝xlogae(a＞0，且 a≠1)． 常用的导数运算法则： 法则 1：[u(x)± v(x)]′＝u′(x)± v′(x)． 法则 2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． ux u′xvx－uxv′x 法则 3： (v(x)≠0)． ′＝ v2x vx

第二章章末综合检测(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)(检测范围：第二章) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数f (x )＝x ＋1x ＋ax是奇函数，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析 B f (x )＝x 2＋a ＋1x ＋a x ＝x ＋ax＋a ＋1是奇函数，则a ＋1＝0, 即a ＝－1.2．函数f (x )＝11＋|x |的图象是( )解析 C 函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称． 3．(2013·昆明模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，则下列说法中正确的是( ) ①f (x )的定义域为(0，＋∞)； ②f (x )的值域为[1，＋∞)； ③f (x )是奇函数；④f (x )在(0,1)上单调递增． A ．①② B ．②③ C ．①④D ．③④解析 C ①正确；②x ＋1x ≥2， (x ＋1x )≤－1，不正确；③不正确；④u (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，则f (x )在(0,1)上递增，正确．4．已知a ＋1a ＝7，则a ＋a ＝( )A ．3B ．9C ．－3D ．±3解析 A ∵a ＋1a ＝7＞0，∴a ＞0，a ＋a ＞0. ∵(12＋a)2＝a ＋1a ＋2＝9，∴a ＋a＝3.5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝xC ．y ＝xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析 A 选项B 、D 中的函数不是奇函数，选项C 中的函数不是减函数，仅选项A 符合条件．6．对于a ＞0，a ≠1，下列说法中正确的是 ( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①②③④ B ．①③ C ．②④D ．②解析 D ①中，M ＝N ＞0，故①错；③中，由M 2＝N 2得M ＝±N ，故③错；④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2、log a N 2无意义，故④错．仅②正确．7．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为 A.14 B.12 C ．2D ．4解析 B 当a ＞1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12，与a ＞1矛盾；当0＜a ＜1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，a ＝12，符合条件．8．设f (x )＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在(1,2)内近似解的过程中得f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定解析 B ∵1.25是1和1.5的中点值，且f (1.25)·f (1.5)＜0，∴方程的根落在区间(1.25,1.5)内．9．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′x≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)解析 A 当x <1时，f ′(x )<0，此时函数递减，当x >1时，f ′(x )>0，此时函数递增，即当x ＝1时，函数取得极小值同时也取得最小值f (1)，所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，即f (0)＋f (2)>2f (1)，故选A.10．(2013·成都一模)直线y ＝2x ＋4与抛物线y ＝x 2＋1所围成封闭图形的面积是 A.103 B.163 C.323D.353解析 C 直线与抛物线在同一坐标系的图象如图，则11．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A ．3B ．4C ．6D ．5解析 A 设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，所以l ＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱形的表面积最小．S 表＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π27R，所以S ′(R )＝2πR－54πR2.令S ′(R )＝0得R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．故选A.12．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④⑤D ．③解析 D 当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋2f (3)，且f (－2)＝2，则f (2 012)＝________.解析 令x ＝－3，则f (－3＋6)＝f (－3)＋2f (3)，即f (3)＝f (－3)＋2f (3)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (3)＝0，∴f (x ＋6)＝f (x )，∴f (2 012)＝f (6×335＋2)＝f (2)＝f (－2)＝2. 【答案】 214．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－x －12，x >0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故x ∈[－4,2]． 【答案】 [－4,2]15．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________________．解析 f ′(x )＝e x －2，由f ′(x )＝e x－2＝0，得x ＝ln 2.当x >ln 2时，f ′(x )>0，当x <ln 2时，f ′(x )<0，所以当x ＝ln 2时，函数取得极小值，所以要使函数有零点，则有f (ln 2)≤0，即f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋a ≤0，即a ≤2ln 2－2，所以a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2)．【答案】 (－∞，2ln 2－2)16．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 方法一：令f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数， ∴f (3)＞f (4)＞f (5)，即a >b >c . 方法二：令f (x )＝ln x ，则ln 33为(3，ln 3)，(0,0)两点连线的斜率． 由图可知a ＞b ＞c .【答案】 a ＞b ＞c三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)设函数f (x )与g (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠±1}，f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求f (x )和g (x )的解析式． 解析 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， 所以f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ①由f (x )＋g (x )＝1x －1，得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，即f (x )－g (x )＝1－x －1＝－1x ＋1.②又f (x )＋g (x )＝1x －1， 由①，②得f (x )＝1x 2－1，g (x )＝x x 2－1. 18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(0,0)，(2,0)．(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．解析 (1)由题设可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∵f ′(x )的图象过点(0,0)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，12＋4a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝0.(2)由f ′(x )＝3x 2－6x ＞0，得x ＞2或x ＜0.∴在(－∞，0)上，f ′(x )＞0；在(0,2)上，f ′(x )＜0； 在(2，＋∞)上，f ′(x )＞0.∴f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， ∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴x 0＝2. 由f (2)＝－5，得c ＝－1.∴f (x )＝x 3－3x 2－1.19．(12分)已知a 是实数，函数f (x )＝－x 2＋ax －3在区间(0,1)与(2,4)上各有一个零点，求a 的取值范围．解析 ∵函数f (x )＝－x 2＋ax －3的图象是开口向下的抛物线，在区间(0,1)与(2,4)上与x 轴各有一个交点，∴利用图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＜0，f 1＞0，f 2＞0，f4＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－3＜0，a －4＞0，2a －7＞0，4a －19＜0，解得4＜a ＜194.故所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫4，194. 20．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠0}． 当a ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数；当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ，f (－1)≠±f (1)，∴f (x )是非奇非偶函数．(2)若f (x )在[2，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )≥0在[2，＋∞)上恒成立． 由f ′(x )＝2x －a x 2≥0，得2x ≥a x2，a ≤2x 3， 而(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.21．(12分)某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图为函数y ＝f (x )的图象，在x ∈[0,4]时为二次函数，且当x ＝4时到达顶点，在x ∈(4,20]时为一次函数，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效计算出第二次服药时间． 解析 (1)当0≤x ≤4时， 由图象可得y ＝a (x －4)2＋320.当x ＝0时，y ＝0，得a ＝－20，∴y ＝－20(x －4)2＋320； 当4＜x ≤20时，设y ＝kx ＋b ，将(4,320)，(20,0)代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－20，b ＝400，∴y ＝400－20x .综上，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－20x －42＋3200≤x ≤4，400－20x 4＜x ≤20.(2)设x 为第一次服药后经过的时间，则第一次服药的残留量f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－20x －42＋320 0≤x ≤4，400－20x4＜x ≤20.由f (x )≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，－20x －42＋320≥240或⎩⎪⎨⎪⎧4＜x ≤20，400－20x ≥240，解得2≤x ≤4或4＜x ≤8，∴2≤x ≤8.故第二次服药应在第一次服药8小时后，即当日16：00. 22．(14分)已知f (x )＝x ＋a x＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求f (x )的解析式； (2)讨论f (x )的单调性；(3)若对任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求b 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝1－a x2， ∵f ′(2)＝3，∴a ＝－8.由切点P (2，f (2))在y ＝3x ＋1上，可得b ＝9. ∴f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)f ′(x )＝1－a x2，当a ≤0时，显然f ′(x )＞0(x ≠0)， 这时f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数； 当a ＞0时，由f ′(x )＝0，得x ＝±a . 当x 变化时，f ′(x )变化情况如下表：x(－∞，－a )－ a (－a ，0)(0，a ) a(a ，＋∞)f ′(x )＋－－＋∴f (x )在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上是增函数，在(－a ，0)和(0，a )上是减函数．(3)由(2)知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14与f (1)中的较大者． 对任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤10，f 1≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2成立，从而得b ≤74.∴满足条件的b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，74.。

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。