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有限元法小结

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First-order interpolation
Second-order interpolation
A1.5
Elements in ABAQUS
• 自由度数目 Degrees of freedom – The primary variables that exist at the nodes of an element are the degrees of freedom in the finite element analysis. – Examples of degrees of freedom are: • Displacements 位移 • Rotations 转角 • Temperature 温度 • Electrical potential 电势
truss elements
A1.4
Elements in ABAQUS
• Number of nodes 节点数(interpolation) – An element’s number of nodes determines how the nodal degrees of freedom will be interpolated over the domain of the element. – ABAQUS includes elements with both first- and second-order interpolation. 插值函数阶数可以为一 次或者两次

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弹塑性有限元——线弹性有限元
1）塑性区应力和应变之间为非线性关系，所以在弹塑性有限元
法中，求解的是一个非线性问题。
2）弹塑性问题的应力与应变的关系不是一一对应的，塑性应变
的大小不仅决定于当时的应力状态，而且还决定于加载历史（加 载+卸载）。
3）由于塑性理论中关于塑性应力—应变关系和硬化假设有多种
Firstorder interpolation Full integration Reduced integration
Secondorder interpolation
全积分
Full integration：完全积分
所谓完全积分是指当单元具有规则形状时，所用的高斯积分点可 以对单元刚度矩阵中的多项式进行精确的积分。线性单元如果要 完全积分，则在每个方向需要两个积分点。二次单元如果要完全 积分，则在每个方向需要三个积分点。
3）材料非线性
在Property功能模块中设置非线性的材料属性。
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弹塑性有限元法
金属塑性成形过程弹性和塑性变形共存，因此弹塑性 有限元法对金属塑性成形问题的分析有重要的实际应 用价值。

精压等过程变形体质点的位移和转动较小，应变与位 移的关系基本为线性，可视为小变形弹塑性问题； 板料成形、锻造、挤压、金属捻线成形过程变形体质 点的位移或转动较大，应变与位移的关系为非线性， 属大变形弹塑性问题。
Elements in ABAQUS
A1.2
Elements in ABAQUS
• ABAQUS单元库中提供广泛的单元类型，适应不同的结构和几何特征 The wide range of elements in the ABAQUS element library provides flexibility in modeling different geometries and structures. – Each element can be characterized by considering the following: 单元特性： • Family 单元类型 • Number of nodes 节点数 • Degrees of freedom 自由度数 • Formulation 公式 • Integration 积分
触问题是最常见的边界条件非线性问题。
3）材料非线性。材料的应力—应变关系曲线是非线性的，
或模型中涉及到材料失效或与应变率相关的材料属性，又 称为物理非线性。
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非线性问题的处理方法
1）几何非线性
在step功能模块中打开几何非线性开关（即Nlgeom设 为ON）即可；
2）边界条件非线性
对于接触问题，可以在interaction功能模块中定义相 关参数；
V S1
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* i i
* i i
线性分析和非线性分析
什么是线性分析？
如果在分析过程中，外载荷与模型相应之间为线性关 系，去掉外载荷后，模型能够恢复至初始状态，这就 是一个线性分析，其特点是：
1）几何方程的应变和位移的关系是线性的； 2）物理方程的应力和应变的关系是线性的； 3）根据变形前的状态建立的平衡方程是线性的； 4）可以满足叠加原理。
CPE8PH: Continuum, Plane strain, 8-node, Pore pressure, Hybrid
DC3D4: Diffusion (heat transfer), Continuum, 3-D, 4-node
DC1D2E: Diffusion (heat transfer), Continuum, 1-D, 2-node, Electrical
理论，采用不同的理论就会得到不同的弹塑性矩阵表达式，由此 得到不同的有限元计算公式。
4）对于金属塑性成形常常涉及的大变形有限弹塑性问题，含有
物理和几何两个方面的非线性性质，即在发生塑性变形的同时， 物质质点的空间位置及性质尺寸要发生很大的变化，且应变、应 力与位移成非线性关系（有限变形理论）。 18
A1.6
Elements in ABAQUS
•公式 Formulation –The mathematical formulation used to describe the behavior of an element is another broad category that is used to classify elements. –Examples of different element formulations: •Plane strain 平面应变 •Plane stress 平面应力 •Hybrid elements 杂交单元 •Incompatible-mode elements 非协调元 •Small-strain shells 小应变壳元 •Finite-strain shells 有限应变壳元 •Thick shells 厚壳 •Thin shells 薄壳
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缩减积分
Reduced integration：缩减积分
缩减积分单元比完全积分单元在每个方向上少用一个积分点。缩 减积分线性单元只在单元中心有一个积分点。只有四边形和六面 体单元才能采用缩减积分；而所有的楔形、四面体和三角形实体 单元采用完全积分。
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A1.11
Elements in ABAQUS
虚功原理（principle of virtual work）
物体受到的外力和物体内部的内力在几何许可的虚
位移上所做的虚功相等 —— 虚功原理。
几何许可的虚位移：不违背几何方程和几何边界条
件的可能位移。
在约束条件允许的范围 内，弹性体内质点可能 发生的任意微小位移
虚功原理是力学中的一个普遍原理，它不仅可用于线弹 性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等材料非线 性问题。
其他
刚塑性有限元法——塑性变形很多，弹性变形
可忽略不计（体积成形过程）
温度场数值模拟 流动场数值模拟
凝固模拟技术基本环节
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等参单元
对于形状比较复杂的结构，需要寻找适当的方法将规则
形状的单元转化为其边界为曲线或曲面的相应单元。
有限单元法中最普遍采用的变换方法就是等参变换，即
单元几何形状的变换和单元内的场函数采用相同数目的 节点参数及相同的插值函数进行变换。方法：将局部 （自然）坐标中几何形状规则的单元转化成总体（笛卡 尔）坐标中几何形状扭曲的单元，以满足对一般求解域 进行离散化的需要。
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虚功原理
设物体处于平衡状态，给物体内各点以任意的虚位移
δu，它仅是坐标 x 的函数，同时在位移边界上满足 δu=0。
根据虚功原理，外力（包括体力F和面力t）在虚位移
所作的虚功等于因虚位移引起的虚应变能。即下式所 示。

V
* ij ij
dv F u dv t u ds
A1.8
Elements in ABAQUS
• Full integration: 完全积分 • The minimum integration order required for exact integration of the strain energy for an undistorted element with linear material properties. • Reduced integration: 简缩积分 • The integration rule that is one order less than the full integration rule.
• Element naming conventions: examples 单元命名约定
B21: Beam, 2-D, 1st-order interpolation S8RT: Shell, 8-node, Reduced integration, Temperature
CAX8R: Continuum, Axisymmetric, 8-node, Reduced integration
采用等参变换的单元称之为等参单元。
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等参单元
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加权余量法和变分法
对于应用微分方程和边界条件所表达的物理问题，往
往难于求得场函数的精确解，因此，常采用近似函数 来表示未知的场函数；

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材料力学有限元法知识点总结

材料力学有限元法知识点总结

材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。

有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。

本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。

1. 有限元法基础概念有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。

它包含以下几个基础概念：1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。

1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。

1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。

根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。

1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。

1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。

2. 有限元法的数学原理有限元法的数学原理主要基于以下两个方面：2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。

它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。

2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。

这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。

有限元法课程总结12

有限元法课程总结12

有限元法课程总结摘要：阐述有限元发展的大致历程。

有限元法的基本思想，以及有限元在土木工程中的运用。

并以自己对有限单元法的了解，结合自己的所学、所悟，简述有限单元法的Matlab语言实现的一点体会。

关键词：有限元（FEM）；Matlab程序；总结1有限元法的发展历程1960年，Clough[1]在求解平面弹性问题时，第一次提出了“有限单元法”的概念，从此，有限元诞生并成为一门新兴的学科。

有限元法(FEM)是计算力学中的一种重要的方法, 它是20 世纪50 年代末60 年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。

有限元法最初应用在工程科学技术中, 用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。

对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题, 有限元法则是一种有效的分析方法。

有限元法作为一种离散化的数值解法，也已成为应用数学的一个新的分支。

有限元法概念浅显，容易掌握，可以在不同的水平上建立起对该法的理解，既可以通过非常直观的物理解释，也可以建立基于严格的数学分析的理论。

它不仅对结构物的复杂几何形状有很强的适应性，也能应用于结构物的各种物理问题，如静力问题、动力问题、非线性问题、热应力问题等。

还能处理非均质材料、各向异性材料，以及复杂边界条件等难题。

因此，有限元法已经被公认为是工程分析的有效工具，受到普遍重视。

到目前为止，有一大批的有限元分析软件，如ANSYS，ABAQUS等。

现在这些大型有限元通用软件已经可以解决比较复杂的问题了。

2 有限元法的基本思想有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

计算固体力学第三章_1

计算固体力学第三章_1

TSINGHUA UNIVERSITY
8. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.
TSINGHUA UNIVERSITY
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3 协调模型分析
1. 建立协调模型的一般方法
大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量 原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模 型”（Conforming model)。
每个节点有三个转动 分量和三个位移分量.
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如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单 元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析 的目的是找出杆端应力集中最高的位置.
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有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维， 板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
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有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当 的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总 数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的 主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省 计算费用.
一点的位移列阵： 一点的应变列阵：
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵： 一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)
有限元法及应用总结

有限元法及应用总结

有限元法及应用总结有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数学建模方法，用于求解连续介质的力学问题。

它通过将连续介质分割为有限数量的小单元，通过离散化的方式将连续问题转化为离散问题，然后通过数值计算方法进行求解。

有限元法的基本步骤是：建立初始网格、选择合适的单元类型和数学模型、建立有限元方程、求解有限元方程组、计算和评估结果。

1.建立初始网格：将连续介质分割为离散的小单元。

可以根据问题的特点选择不同形状的单元，如三角形、四边形、六边形等。

初始网格的密度应根据问题的要求进行合理的选择。

2.选择合适的单元类型和数学模型：根据问题的情况，选择合适的数学模型，如线性模型、非线性模型、静力学模型、动力学模型等。

同时，根据问题的要求选择合适的单元类型，如三角形单元、四边形单元等。

3.建立有限元方程：根据选择的数学模型，使用变分原理或其他方法建立有限元方程。

有限元方程通常是一个矩阵方程，包含未知变量和已知条件，通过求解该方程可以得到问题的解。

4.求解有限元方程组：将有限元方程组转换为代数方程组，使用数值计算方法求解。

常用的求解方法有直接解法和迭代解法，如高斯消元法、LU分解法、共轭梯度法等。

根据问题的特点选择合适的求解方法。

5.计算和评估结果：得到问题的解后，可以通过计算和评估结果来验证数值解的准确性和可靠性。

常见的评估方法有误差分析、收敛性分析、模型验证等。

有限元法的应用非常广泛，涉及机械、土木、航空航天、电子、生物医学等多个领域。

通过有限元法可以模拟和分析各类结构的力学行为和变形特性，以及流体、热传导等物理问题。

在机械工程中，有限元法可以用于模拟零件的变形、应力和疲劳行为，优化结构设计，确定最佳工艺参数等。

在土木工程中，可以用于模拟建筑物、桥梁、隧道等结构的稳定性和强度，评估结构的安全性。

在航空航天工程中，可以用于模拟飞机、航天器的疲劳和破坏行为，优化材料和结构设计。

在电子工程中，有限元法可以用于模拟芯片、电路板的热分布和应力分布，优化散热和布线设计。