自考历年线性代数考试试题及答案解析精选第一部分选择题(共28分)一、 单项选择题[本大题共14小题,每小题2分,共28分]在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分.1、设行列式=m, =n,则行列式等于[] A 、m+n B 、-(m+n) C 、n -m D 、m -n2、设矩阵A=,则A -1等于[]A 、B 、C 、D 、3、设矩阵A=,A *是A 的伴随矩阵,则A *中位于[1,2]的元素是[] A 、–6 B 、6 C 、2 D 、–24、设A 是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有[] A 、A=0 B 、BC 时A=0 C 、A0时B=C D 、|A|0时B=C5、已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关,则秩[A T ]等于[] A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、设两个向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βs 均线性相关,则[]A 、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B 、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1[α1+β1]+λ2[α2+β2]+…+λs [αs +βs ]=0C 、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1[α1-β1]+λ2[α2-β2]+…+λs [αs -βs ]=0D 、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 和不全为0的数μ1,μ2,…,μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7、设矩阵A 的秩为r,则A 中[]A 、全部r -1阶子式都不为0B 、全部r -1阶子式全为0C 、至少有一个r 阶子式不等于0D 、全部r 阶子式都不为08、设Ax=b 是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下面结论错误的是[]A 、η1+η2是Ax=0的一个解B 、η1+η2是Ax=b 的一个解C 、η1-η2是Ax=0的一个解D 、2η1-η2是Ax=b 的一个解 9、设n 阶方阵A 不可逆,则必有[]A 、秩(A)<nB 、秩(A)=n -1C 、A=0D 、方程组Ax=0只有零解 10、设A 是一个n(≥3)阶方阵,下面陈述中正确的是[]A 、如存在数λ和向量α使A α=λα,则α是A 的属于特点值λ的特点向量B 、如存在数λ和非零向量α,使(λE -A)α=0,则λ是A 的特点值C 、A 的2个不同的特点值能够有同一个特点向量D 、如λ1,λ2,λ3是A 的3个互不相同的特点值,α1,α2,α3依次是A 的属于λ1,λ2,λ3的特点向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11、设λ0是矩阵A 的特点方程的3重根,A 的属于λ0的线性无关的特点向量的个数为k,则必有[]A 、k ≤3B 、k<3C 、k=3D 、k>3 12、设A 是正交矩阵,则下面结论错误的是[] A 、|A|2必为1 B 、|A|必为1C 、A -1=A TD 、A 的行[列]向量组是正交单位向量组 13、设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B=C T AC 、则[] A 、A 和B 相似 B 、A 和B 不等价C 、A 和B 有相同的特点值D 、A 和B 合同14、下面矩阵中是正定矩阵的为[] A 、 B 、 C 、 D 、 第二部分非选择题[共72分]二、填空题[本大题共10小题,每小题2分,共20分]不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内.错填或不填均无分. 15、 、16、设A=,B=、则A+2B= 、17、设A=(a ij )3×3,|A|=2,A ij 表示|A|中元素a ij 的代数余子式[i,j=1,2,3],则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= 、18、设向量[2,-3,5]和向量[-4,6,a]线性相关,则a= 、19、设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 、20、设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r(<n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 、21、设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β和α-β的内积[α+β,α-β]= 、22、设3阶矩阵A 的行列式|A|=8,已知A 有2个特点值-1和4,则另一特点值为 、23、设矩阵A=,已知α=是它的一个特点向量,则α所对应的特点值为 、 24、设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 、三、计算题[本大题共7小题,每小题6分,共42分] 25、设A=,B=、求[1]AB T ；[2]|4A|、 26、试计算行列式、27、设矩阵A=,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB=A+2B 、 28、给定向量组α1=,α2=,α3=,α4=、试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数. 29、设矩阵A=、 求:[1]秩[A]；[2]A 的列向量组的一个最大线性无关组.30、设矩阵A=的全部特点值为1,1和-8、求正交矩阵T 和对角矩阵D,使T -1AT=D 、 31、试用配方法化下面二次型为标准形 f(x 1,x 2,x 3)=,并写出所用的满秩线性变换.四、证明题[本大题共2小题,每小题5分,共10分]32、设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且[E -A]-1=E+A+A 2、33、设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系、试证明[1]η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； [2]η0,η1,η2线性无关. 答案:一、单项选择题[本大题共14小题,每小题2分,共28分]1、D2、B3、B4、D5、C6、D7、C8、A9、A 10、B 11、A 12、B 13、D 14、C 二、填空题[本大题共10空,每空2分,共20分] 15、6 16、 17、4 18、–1019、η1+c(η2-η1)[或η2+c(η2-η1)],c 为任意常数 20、n -r 21、–5 22、–2 23、1 24、三、计算题[本大题共7小题,每小题6分,共42分] 25、解[1]AB T = =、[2]|4A|=43|A|=64|A|,而|A|=、所以|4A|=64·[-2]=-128 26、解= =27、解AB=A+2B 即[A -2E]B=A,而 [A -2E]-1=所以B=(A -2E)-1A==28、解一所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为[2,1,1]、 解二考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3, 即方程组有唯一解[2,1,1]T ,组合系数为[2,1,1]、29、解对矩阵A施行初等行变换A=B、[1]秩[B]=3,所以秩[A]=秩[B]=3、[2]由于A和B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组.[A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是]30、解A的属于特点值λ=1的2个线性无关的特点向量为ξ1=[2,-1,0]T,ξ2=[2,0,1]T、经正交标准化,得η1=,η2=、λ=-8的一个特点向量为ξ3=,经单位化得η3=所求正交矩阵为T=、对角矩阵D=[也可取T=、]31、解f(x1,x2,x3)=[x1+2x2-2x3]2-2x22+4x2x3-7x32=[x1+2x2-2x3]2-2[x2-x3]2-5x32、设,即,因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩.经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形y 12-2y22-5y32、四、证明题[本大题共2小题,每小题5分,共10分]32、证由于[E-A][E+A+A2]=E-A3=E,所以E-A可逆,且[E-A]-1=E+A+A2、33、证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0、[1]Aη1=A[η+ξ1]=Aη+Aξ1=b,同理Aη2=b,所以η1,η2是Ax=b的2个解.[2]考虑l0η+l1η1+l2η2=0,即[l0+l1+l2]η+l1ξ1+l2ξ2=0、则l0+l1+l2=0,否则η将是Ax=0的解,矛盾.所以l 1ξ1+l2ξ2=0、又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l=0、所以η0,η1,η2线性无关.线性代数期末考试题一、填空题[将正确答案填在题中横线上.每小题2分,共10分]1、若,则__________.2、若齐次线性方程组只有零解,则应满足 .3、已知矩阵,满足,则和分别是阶矩阵.4、矩阵的行向量组线性 .5、阶方阵满足,则 .二、判断正误[正确的在括号内填”√”,错误的在括号内填”×”.每小题2分,共10分]1、若行列式中每个元素都大于零,则.[]2、零向量一定能够表示成任意一组向量的线性组合.[]3、向量组中,假如和对应的分量成比例,则向量组线性相关.[]4、,则.[]5、若为可逆矩阵的特点值,则的特点值为.<>三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内.每小题2分,共10分)1、设为阶矩阵,且,则[].①②③④42、维向量组[3≤s≤n]线性无关的充要条件是[].①中任意两个向量都线性无关②中存在一个向量不能用其它向量线性表示③中任一个向量都不能用其它向量线性表示④中不含零向量3、下面命题中正确的是<>.①任意个维向量线性相关②任意个维向量线性无关③任意个维向量线性相关④任意个维向量线性无关4、设,均为n阶方阵,下面结论正确的是<>.①若,均可逆,则可逆②若,均可逆,则可逆③若可逆,则可逆④若可逆,则,均可逆5、若是线性方程组的基础解系,则是的[]①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分,共63分)1、计算行列式.解·2、设,且求.解、,3、设且矩阵满足关系式求.4、问取何值时,下面向量组线性相关?.5、为何值时,线性方程组有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解.①当且时,方程组有唯一解；②当时方程组无解③当时,有无穷多组解,通解为6、设求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其它向量用该极大无关组线性表示.7、设,求的特点值及对应的特点向量.五、证明题(7分)若是阶方阵,且证明.其中为单位矩阵.×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1、52、3、4、相关5、二、判断正误1、×2、√3、√4、√5、×三、单项选择题1、③2、③3、③4、②5、①四、计算题1、2、,3、4、当或时,向量组线性相关.5、①当且时,方程组有唯一解；②当时方程组无解③当时,有无穷多组解,通解为6、则,其中构成极大无关组,7、特点值,对于λ1＝1,,特点向量为五、证明题∴,∵【线性代数】复习提纲第一部分:基本要求[计算方面]四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算[如有行和、列和相等]；矩阵的运算[包含加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算]；求矩阵的秩、逆[两种方法]；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解[包含唯一、无穷多解]；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特点值和特点向量；讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换[正交矩阵]将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性.第二部分:基本知识一、行列式1、行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式.[1]它表示全部可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；[2]展开式共有n!项,其中符号正负各半；2、行列式的计算一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则；N阶[n>=3]行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行[列]的各元素和其对应的代数余子式乘积的和.方法:选取比较简单的一行[列],保保留一个非零元素,其它元素化为0,利用定理展开降阶.特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；[2]行列式值为0的几种情况:Ⅰ行列式某行[列]元素全为0；Ⅱ行列式某行[列]的对应元素相同；Ⅲ行列式某行[列]的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式.二、矩阵1、矩阵的基本概念[表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等]；2、矩阵的运算[1]加减、数乘、乘法运算的条件、结果；[2]关于乘法的几个结论:①矩阵乘法通常不满足交换律[若AB＝BA,称A、B是可交换矩阵]；②矩阵乘法通常不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3、矩阵的秩[1]定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；[2]秩的求法通常不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数[每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵].求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩.4、逆矩阵[1]定义:A、B为n阶方阵,若AB＝BA＝I,称A可逆,B是A的逆矩阵[满足半边也成立]；[2]性质: (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)'；(AB的逆矩阵,您懂的)[注意顺序][3]可逆的条件:①|A|≠0；②r(A)=n;③A->I;[4]逆的求解伴随矩阵法A^-1=(1/|A|)A*；(A*A的伴随矩阵~)②初等变换法[A:I]->(施行初等变换)[I:A^-1]5、用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B,则X=[A^-1]B；XB=A,则X=B(A^-1)；AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1)三、线性方程组1、线性方程组解的判定定理:(1)r(A,b)≠r(A)无解；(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n有无穷多组解；特别地:对齐次线性方程组AX=0(1)r(A)=n只有零解；(2)r(A)<n有非零解；再特别,若为方阵,(1)|A|≠0只有零解(2)|A|=0有非零解2、齐次线性方程组[1]解的情况:r(A)=n,[或系数行列式D≠0]只有零解；r(A)<n,[或系数行列式D＝0]有无穷多组非零解.[2]解的结构:X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r.[3]求解的方法和步骤:①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；②写出对应同解方程组；③移项,利用自由未知数表示全部未知数；④表示出基础解系；⑤写出通解.3、非齐次线性方程组[1]解的情况:利用判定定理.[2]解的结构: X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r.[3]无穷多组解的求解方法和步骤: 和齐次线性方程组相同.[4]唯一解的解法:有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法[初等变换法].四、向量组1、N维向量的定义注:向量实际上就是特殊的矩阵[行矩阵和列矩阵].2、向量的运算:[1]加减、数乘运算[和矩阵运算相同]；[2]向量内积α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；[3]向量长度|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√根号)[4]向量单位化(1/|α|)α；5]向量组的正交化[施密特方法]设α1,α2,…,αn线性无关,则β1=α1,β2=α2-[α2’β1/β1’β]*β1,β3=α3-[α3’β1/β1’β1]*β1-[α3’β2/β2’β2]*β2,……….3、线性组合[1]定义若β=k1α1+k2α2+…+knαn,则称β是向量组α1,α2,…,αn的一个线性组合,或称β能够用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示.[2]判别方法将向量组合成矩阵,记A＝(α1,α2,…,αn),B=(α1,α2,…,αn,β)若r(A)=r(B),则β能够用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示；若r(A)≠r(B),则β不能够用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示.[3]求线性表示表达式的方法:将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数.4、向量组的线性相关性[1]线性相关和线性无关的定义设k1α1+k2α2+…+knαn=0 若k1,k2,…,kn不全为0,称线性相关；若k1,k2,…,kn全为0,称线性无关.[2]判别方法:①r(α1,α2,…,αn)<n,线性相关；r(α1,α2,…,αn)=n,线性无关.②若有n个n维向量,可用行列式判别: n阶行列式aij＝0,线性相关[≠0无关](行列式太不好打了)5、极大无关组和向量组的秩[1]定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩[2]求法设A＝(α1,α2,…,αn),将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组.五、矩阵的特点值和特点向量1、定义对方阵A,若存在非零向量X和数λ使AX＝λX,则称λ是矩阵A的特点值,向量X称为矩阵A的对应于特点值λ的特点向量.2、特点值和特点向量的求解: 求出特点方程|λI-A|=0的根即为特点值,将特点值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X＝0中求出方程组的全部非零解即为特点向量.3、重要结论:[1]A可逆的充要条件是A的特点值不等于0；[2]A和A的转置矩阵A'有相同的特点值；[3]不同特点值对应的特点向量线性无关.六、矩阵的相似1、定义对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称A和B相似.2、求A和对角矩阵∧相似的方法和步骤[求P和∧]:求出全部特点值；求出全部特点向量；若所得线性无关特点向量个数和矩阵阶数相同,则A可对角化[否则不能对角化],将这n个线性无关特点向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特点值构成对角阵即为∧.3、求通过正交变换Q和实对称矩阵A相似的对角阵:方法和步骤和通常矩阵相同,只是第三歩要将所得特点向量正交化且单位化.七、二次型1、定义n元二次多项式f(x1,x2,…,xn)=∑aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j),则称为二交型的标准型.i,j=12、二次型标准化: 配方法和正交变换法.正交变换法步骤和上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q^-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换.3、二次型或对称矩阵的正定性:[1]定义[略]；[2]正定的充要条件:①A为正定的充要条件是A的全部特点值都大于0；②A为正定的充要条件是A的全部顺序主子式都大于0高等教育自学考试试题部分说明:本卷中,A T表示矩阵A的转置,αT表示向量α的转置,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,A-1表示方阵A的逆矩阵,r[A]表示矩阵A的秩、一、单项选择题[本大题共10小题,每小题2分,共30分]在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设行列式[]A、B、1C、2D、2、设A,B,C为同阶可逆方阵,则[ABC]-1=[]A、A-1B-1C-1B、C-1B-1A-1C、C-1A-1B-1D、A-1C-1B-13、设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A=[α1,α2,α3,α4]、假如|A|=2,则|-2A|=[]A 、-32B 、-4C 、4D 、32 4、设α1,α2,α3,α4是三维实向量,则[]A 、α1,α2,α3,α4一定线性无关B 、α1一定可由α2,α3,α4线性表出C 、α1,α2,α3,α4一定线性相关D 、α1,α2,α3一定线性无关 5、向量组α1=[1,0,0],α2=[1,1,0],α3=[1,1,1]的秩为[] A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、设A 是4×6矩阵,r[A]=2,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是[]A 、1B 、2C 、3D 、47、设A 是m ×n 矩阵,已知Ax=0只有零解,则以下结论正确的是[] A 、m ≥n B 、Ax=b[其中b 是m 维实向量]必有唯一解 C 、r[A]=m D 、Ax=0存在基础解系 8、设矩阵A=,则以下向量中是A 的特点向量的是[] A 、[1,1,1]T B 、[1,1,3]T C 、[1,1,0]T D 、[1,0,-3]T9、设矩阵A=的三个特点值分别为λ1,λ2,λ3,则λ1+λ2+λ3=[] A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 10、三元二次型f[x 1,x 2,x 3]=的矩阵为[] A 、 B 、 C 、 D 、二、填空题[本大题共10小题,每小题2分,共20分] 请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分. 11、行列式=_________、 12、设A=,则A -1=_________、13、设方阵A 满足A 3-2A+E=0,则[A 2-2E]-1=_________、14、实数向量空间V={[x 1,x 2,x 3]|x 1+x 2+x 3=0}的维数是_________、15、设α1,α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解、则A[5α2-4α1]=_________、 16、设A 是m ×n 实矩阵,若r[A T A]=5,则r[A]=_________、 17、设线性方程组有无穷多个解,则a=_________、18、设n 阶矩阵A 有一个特点值3,则|-3E+A|=_________、19、设向量α=[1,2,-2],β=[2,a,3],且α和β正交,则a=_________、 20、二次型的秩为_________、三、计算题[本大题共6小题,每小题9分,共54分] 21、计算4阶行列式D=、22、设A=,判断A 是否可逆,若可逆,求其逆矩阵A -1、 23、设向量α=[3,2],求[αT α]101、24、设向量组α1=[1,2,3,6],α2=[1,-1,2,4],α3=[-1,1,-2,-8],α4=[1,2,3,2]、 [1]求该向量组的一个极大线性无关组；[2]将其它向量表示为该极大线性无关组的线性组合、 线性代数试题 课程代码:04184一、单项选择题[本大题共20小题,每小题1分,共20分]在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、已知2阶行列式=m, =n,则=[]A、m-nB、n-mC、m+nD、-[m+n]2、设A,B,C均为n阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=[]A、ACBB、CABC、CBAD、BCA3、设A为3阶方阵,B为4阶方阵,且行列式|A|=1,|B|=-2,则行列式||B|A|之值为[]A、-8B、-2C、2D、84、已知A=,B=,P=,Q=,则B=[]A、PAB、APC、QAD、AQ5、已知A是一个3×4矩阵,下面命题中正确的是[]A、若矩阵A中全部3阶子式都为0,则秩[A]=2B、若A中存在2阶子式不为0,则秩[A]=2C、若秩[A]=2,则A中全部3阶子式都为0D、若秩[A]=2,则A中全部2阶子式都不为06、下面命题中错误．．的是[]A、只含有一个零向量的向量组线性相关B、由3个2维向量组成的向量组线性相关C、由一个非零向量组成的向量组线性相关D、两个成比例的向量组成的向量组线性相关7、已知向量组α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,β线性相关,则[]A、α1必能由α2,α3,β线性表出B、α2必能由α1,α3,β线性表出C、α3必能由α1,α2,β线性表出D、β必能由α1,α2,α3线性表出8、设A为m×n矩阵,m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A 的秩[]A、小于mB、等于mC、小于nD、等于n9、设A为可逆矩阵,则和A必有相同特点值的矩阵为[]A、A TB、A2C、A-1D、A*10、二次型f[x1,x2,x3]=的正惯性指数为[]A、0B、1C、2D、3二、填空题[本大题共10小题,每小题2分,共20分]请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.11、行列式的值为_________________________、12、设矩阵A=,B=,则A T B=____________________________、13、设4维向量[3,-1,0,2]T,β=[3,1,-1,4]T,若向量γ满足2γ=3β,则γ=__________、14、设A为n阶可逆矩阵,且|A|=,则|A-1|=___________________________、15、设A为n阶矩阵,B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则|A|=__________________、16、齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为________________、17、设n阶可逆矩阵A的一个特点值是-3,则矩阵必有一个特点值为_____________、18、设矩阵A=的特点值为4,1,-2,则数x=________________________、19、已知A=是正交矩阵,则a+b=_______________________________.20、二次型f[x1,x2,x3]=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________.三、计算题[本大题共6小题,每小题9分,共54分] 21、计算行列式D=的值.22、已知矩阵B=[2,1,3],C=[1,2,3],求[1]A=B T C ；[2]A 2.23、设向量组求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其它向量.24、已知矩阵A=,B=、[1]求A -1；[2]解矩阵方程AX=B.25、问a 为何值时,线性方程组有惟一解?有无穷多解?并在有解时求出其解[在有无穷多解时,要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解].26、设矩阵A=的三个特点值分别为1,2,5,求正的常数a 的值及可逆矩阵P,使P -1AP=.四、证明题[本题6分]27、设A,B,A+B 均为n 阶正交矩阵,证明[A+B]-1=A -1+B -1. 全国2016年7月高等教育自学考试试卷说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A 的秩；|A|表示A 的行列式；E 表示单位矩阵.1、设3阶方阵A=[α1,α2,α3],其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量, 若|B|=|[α1+2α2,α2,α3]|=6,则|A|=[]A 、-12 B 、-6C 、6 D 、122、计算行列式[]A 、-180 B 、-120C 、120 D 、1803、设A=,则|2A *|=[]A 、-8 B 、-4C 、4 D 、8 4、设α1,α2,α3,α4都是3维向量,则必有A 、α1,α2,α3,α4线性无关B 、α1,α2,α3,α4线性相关C 、α1可由α2,α3,α4线性表示D 、α1不可由α2,α3,α4线性表示5、若A 为6阶方阵,齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,则R(A)=[]A 、2 B3C 、4 D 、56、设A 、B 为同阶矩阵,且R(A)=R(B),则[]A 、A 和B 相似 B 、|A|=|B|C 、A 和B 等价 D 、A 和B 合同7、设A 为3阶方阵,其特点值分别为2,l,0则|A+2E|=[]A 、0 B 、2C 、3 D 、24 8、若A 、B 相似,则下面说法错误．．的是[]A 、A 和B 等价 B 、A 和 B 合同C 、|A|=|B|D 、A 和B 有相同特点9、若向量α=(1,-2,1)和β=(2,3,t)正交,则t=[]A 、-2 B 、0C 、2 D 、4 10、设3阶实对称矩阵A 的特点值分别为2,l,0,则[]A 、A 正定 B 、A 半正定C 、A 负定 D 、A 半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1l 、设A=,B=,则AB=________、12、设A 为3阶方阵,且|A|=3,则|3A -l |=________、 13、三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________、14、设α=(-1,2,2),则和α反方向的单位向量是______、15、设A 为5阶方阵,且R(A)=3,则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______、 16、设A 为3阶方阵,特点值分别为-2,,l,则|5A -1|=_______、17、若A 、B 为同阶方阵,且Bx=0只有零解,若R(A)=3,则R(AB)=________、 18、二次型f(x 1,x 2,x 3)= -2x 1x 2+-x 2x 3所对应的矩阵是________、19、设3元非齐次线性方程组Ax=b 有解α1=,α2=,且R(A)=2,则Ax=b 的通解是________、20、设α=,则A=ααT 的非零特点值是_____、三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21、计算5阶行列式D=22、设矩阵X 满足方程X=求X 、 23、求非齐次线性方程组 的结构解、24、求向量组α1=[1,2,3,4],α2=[0,-1,2,3],α3=[2,3,8,11], α4=[2,3,6,8]的秩、25、已知A=的一个特点向量=[1,1,-1]T ,求a,b 及所对应的特点值,并写出对应于这个特点值的全部特点向量、26、用正交变换化二次型f(x 1,x 2,x 3)=为标准形,并写出所用的正交变换、 四、证明题[本大题共1小题,6分]27、设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系、证明α1,α1+α2,α2+α3也是Ax=0的基础解系、全国2016年10月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码:04184说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩、一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分. 1、设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=<> A 、-8B 、-2C 、2 D 、8 2、设矩阵A=,B=(1,1),则AB=<> A 、0B 、(1,-1)C 、 D 、3、设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下面矩阵中为反对称矩阵的是<> A 、AB-BAB 、AB+BAC 、ABD 、BA4、设矩阵A 的伴随矩阵A *=,则A -1=<> A 、 B 、 C 、 D 、5、下面矩阵中不是．．初等矩阵的是<> A 、 B 、 C 、 D 、6、设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有<>A 、A+B 可逆B 、AB 可逆C 、A-B 可逆D 、AB+BA 可逆 7、设向量组α1=(1,2),α2=(0,2),β=(4,2),则<> A 、α1,α2,β线性无关B 、β不能由α1,α2线性表示C 、β可由α1,α2线性表示,但表示法不惟一D 、β可由α1,α2线性表示,且表示法惟一8、设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特点值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为<>A 、0B 、1C 、2D 、3 9、设齐次线性方程组有非零解,则为<> A 、-1B 、0C 、1 D 、210、设二次型f(x)=x TAx 正定,则下面结论中正确的是<>A 、对任意n 维列向量x,x T Ax 都大于零B 、f 的标准形的系数都大于或等于零C 、A 的特点值都大于零D 、A 的全部子式都大于零 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.11、行列式的值为_________、12、已知A=,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________、13、设矩阵A=,P=,则AP3=_________、14、设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_________、15、已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2),α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________、16、已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3,α1,α2,α3为该方程组的3个解,且则该线性方程组的通解是_________、17、已知P是3阶正交矩,向量_________、18、设2是矩阵A的一个特点值,则矩阵3A必有一个特点值为_________、19、和矩阵A=相似的对角矩阵为_________、20、设矩阵A=,若二次型f=x T Ax正定,则实数k的取值范围是_________、三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21、求行列式D=22、设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X、23、若向量组的秩为2,求k的值、24、设矩阵(1)求A-1;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出、25、已知3阶矩阵A的特点值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩、(2)矩阵B的特点值及和B相似的对角矩阵、26、求二次型f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形、四、证明题(本题6分)27、设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特点值只能是、。
