《高数》下第十一章练习题

高数下十一章重点总结+例题第十一章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法。

3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

5.知道散度与旋度的概念，并会计算。

6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3.两类曲面积分的计算方法；4.高斯公式、斯托克斯公式；5.两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

【教学难点】1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

6.两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；8.两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系；9.高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；10.两类曲线积分与两类曲面积分的应用；11.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

【教学课时分配】(14学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6第7次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量.把曲线分成n 小段, ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n (?s i 也表示弧长); 任取(ξi , ηi )∈?s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi , ηi )?s i ; 整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ?≈=∑),(1ηξμ;令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }→0, 则整个物质曲线的质量为 i i i ni s M ?==→∑),(lim 10ηξμλ.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界.，将L 任意分成n 个弧段: ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n , 并用?s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段?s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i ni s f ?=∑),(1ηξ; 令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }, 如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L ),(?, 即i i i ni L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性: 当f (x , y )在光滑曲线弧L 上连续时, 对弧长的曲线积分ds y x f L ),(?是存在的. 以后我们总假定f (x , y )在L 上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L ),(?μ的值, 其中μ(x , y )为线密度.对弧长的曲线积分的推广:i i i i ni s f ds z y x f ?==→Γ∑?),,(lim ),,(10ζηξλ. 如果L (或Γ)是分段光滑的, 则规定函数在L (或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2, 则规定ds y x f ds y x f ds y x f L L LL ),(),(),(2121+=+.闭曲线积分: 如果L 是闭曲线, 那么函数f (x , y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作ds y x f L ),(?.对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c 1、c 2为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121+=+;性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则ds y x f ds y x f ds y x f L LL ),(),(),(21+=;性质3设在L 上f (x , y )≤g (x , y ), 则??≤L L ds y x g ds y x f ),(),(. 特别地, 有≤L L ds y x f ds y x f |),(||),(|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f (x , y ), 则曲线形构件L 的质量为L ds y x f ),(.另一方面, 若曲线L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β),则质量元素为dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψ?ψ?'+'=,曲线的质量为?'+'βαψ?ψ?dt t t t t f )()()]( ),([22.即'+'=βαψ?ψ?dt t t t t f ds y x f L)()()]( ),([),(22.定理设f (x , y )在曲线弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β), 其中?(t )、ψ(t )在[α, β]上具有一阶连续导数, 且?'2(t )+ψ'2(t )≠0, 则曲线积分dsy x f L ),(?存在, 且dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψ?ψ?βα'+'=??(α<β).应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β. 讨论:(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =x , y =ψ(x )(a ≤x ≤b ),dx x x x f ds y x f baL ??'+=)(1)](,[),(2ψψ.(2)若曲线L 的方程为x =?(y )(c ≤y ≤d ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =?(y ), y =y (c ≤y ≤d ),dy y y y f ds y x f dcL ??+'=1)(]),([),(2??.(3)若曲Γ的方程为x =?(t ), y =ψ(t ), z =ω(t )(α≤t ≤β), 则ds z y x f ),,(?Γ=?提示:dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψ?ωψ?βα'+'+'=??Γ.例1 计算ds y L, 其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧.解曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此'+=1222)(1dx x x ds y L ?+=10241dx x x )155(121-=.例2 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为μ=1).解取坐标系如图所示, 则?=L ds y I 2. 曲线L 的参数方程为x =R cos θ, y =R sin θ (-α≤θ<α). 于是 ?=L ds y I 2?-+-=ααθθθθd R R R 2222)cos ()sin (sin-=ααθθd R 23sin =R 3(α-sin α cos α).例3 计算曲线积分ds z y x )(222++?Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=, 于是ds z y x )(222++?Γ?++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=.小结用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。

高等数学测试（第十一章）一. 选择题（每题3分，共30分） 1.下列级数收敛的是（ ）A.135(21)25(31)n n n ∞=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-∑ B. 212n n n ∞=+∑ C. 1πsin n n ∞=∑D. n ∞= 2.下列级数条件收敛的是（ ）A.15(1)4nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑B. 1(1)n n ∞=-∑C.13(1)5n n n ∞=-∑D. 1(1)n n ∞=-∑3.设a为常数，则级数21sin n a n ∞=⎛ ⎝∑（ ）A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与a 无关4．下列命题正确的是 ( ) A.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必发散 B.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必发散 C.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必收敛 D.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必收敛5.若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数（ ）A. 1n n u ∞=∑收敛 B. 1(1)nn n u ∞=-∑收敛 C. 11n n n u u ∞+=∑收敛 D. 112n n n u u ∞+=+∑收敛 6.设0n u >，若1nn u∞=∑发散，1(1)nnn u∞=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）A. 211n n u∞-=∑收敛，21nn u∞=∑发散 B.211n n u∞-=∑发散，21nn u∞=∑收敛C.2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 D. 2121()n n n u u ∞-=-∑收敛7.设10(1,2,)n u n n ≤≤=，则下列级数中一定收敛的是（ ）A. 1n n u ∞=∑ B. 1(1)n n n u ∞=-∑C.n ∞=D. 21(1)n n n u ∞=-∑8.若幂级数∑∞=-1)1(n n nx a在1-=x 处收敛,则该级数在点3=x 处 （ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 一定发散D. 可能收敛也可能发散 9. 设幂级数∑∞=+0)1(n n nx a在2-=x 处条件收敛，则它在2=x 处（ ）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性不确定 10. 级数13nn n a ∞=∑收敛，则级数1(1)2n nn n a ∞=-∑（ ） A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性不确定二. 填空题（每题4分，共20分）11.级数0(ln3)2n nn ∞=∑的和为___________. 12.若lim n n u →∞=∞，则1111n n n u u ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ .13.幂级数1(1)nn n x∞=+∑的和函数为________________.14.函数112x +展开式为x 的幂级数为________________. 15.幂级数2024n nn x n ∞=+∑收敛区间为________.三.计算题（每题10分，共50分）16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间. 17. 求幂级数21(2)4nn n x n ∞=-∑的收敛域. （不考虑端点情况）18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间.答案：一.选择题1—5 A B C B D 6—10 D D D A C二. 填空题11. 3ln 22-. 12. 11u . 13. ()2212x x x --. 14. ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<--0212121n n n n x x . 15. 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 三.计算题16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间（不考虑端点情况）. 【解析】因为()()()()()()()()22221221411n 22lim !!2!1!12lim lim x x n x n n x n n u u l n n n n nn n =++=++==∞→+∞→+∞→. 当142<=x l ，即21<x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=绝对收敛； 当142>=x l ，即21>x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=发散； 故级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间为2121<<-x .17. 求幂级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域. 【解析】令2x t -=级数化为214n n n t n ∞=∑，这是缺项幂级数，讨论正项级数21||4nnn t n ∞=∑， 而222112||41lim lim (1)4||4n n n n n n n nu t n l t u n t +++→∞→∞==⨯=+，当211,4l t =<即||2t <时级数214nn n t n ∞=∑绝对收敛；当211,4l t =>即||2t >时级数214nn n t n ∞=∑发散；当211,4l t ==即2t =±时级数化为11n n∞=∑是发散的；故级数214n n n t n ∞=∑收敛域为(2,2)-，由2x t -=得级数21(2)4nnn x n ∞=-∑收敛域为(0,4). 18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式.【解析】()()()()()()∑∑∞=∞=<<--=-=+='='0202211,1111arctan n n nn nn x x x x x x f .则()()()()()1,121111200200020<+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=+∞=∞=∞=∑⎰∑⎰∑⎰x x n dt t dt t dt t f x f n n nx nn n xn n n x. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.【解析】令2x t -=，则2x t =+，11111111()(2)(5)3256151125f x t tt t t t ⎛⎫==-=- ⎪++++⎝⎭++； 又因01()1nn x x ∞==-+∑，所以001()(1)(22)2212n n n n n n t t t ∞∞===-=--<<+∑∑； 001()(1)(55)5515n n n n n n t t t t ∞∞===-=--<<+∑∑； 故0011()(1)(1)62155n nn n n n n n t t f x ∞∞===---∑∑ 11011(1)(22)3235n n n n n t t ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑ 11011(1)(2)(04)3235n n n n n x x ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑. 20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间. 【解析】令t x =-2，则()3ln 29393t t t ex f ⋅=⋅==+.而()+∞∞-∈=∑∞=,,!0x n x e n nx.所以()()()()()()()()()+∞∞-∈-=-=+∞∞-∈===∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=,,2!3ln 92!3ln 9,,!3ln 9!3ln 930x x n x n t t n n t x f n n n n n n n n n n nx.。

第十一章自测题参考答案一、填空题： 1.()⎰Γ++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量2.()⎰⎰∑++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量3.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()⎰⎰101,dy y x f dx ， ()⎰⎰-110,dy y x f dx ， 09.()⎰-Lds x x y x P 22,二、选择题：1.C2.C3.A4.A5.D 三、计算题：1.解 由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以⎰Lds x 2=⎰Lds y 2=⎰Lds z 2，故⎰L ds x 2=()⎰++ds z y x 22231=3223223131a a a ds a L ππ=⋅=⎰. 2.解 原式=()[](){}⎰+---π20sin cos 1cos 12dt t t t()⎰+=π202sin sindt t t =π202sin 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =π 3.解 记222:y x a z S --=，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+原式=()dxdy y z x z y x a y x D222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--++⎰⎰ =()⎰⎰--⋅--++Ddxdy yx a y x a y x a2222221注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知⎰⎰--Ddxdy yx a x 222=⎰⎰--Ddxdy yx a y 222=0，所以原式=⎰⎰Ddxdy a=2aa π⋅=3a π.4.解 利用高斯公式原式=()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 2其中Ω为S 所围成的空间区域。

由Ω关于坐标平面的对称性知⎰⎰⎰Ωxdxdydz =⎰⎰⎰Ωydxdydz =0，所以，原式=⎰⎰⎰Ωzdxdydz 2=⎰⎰⎰+1222y x D zdz dxdy xy=()⎰⎰--xyD dxdy y x 221=()⎰⎰-12201ρρρθπd d=2412ππ=⋅5.解 原式=()()[]()⎰+--π202222sin cos 1cos 1dt t a t a t a=()⎰-π20253cos 12dt t a =⎰π20253sin 8dt at=du u a⎰π53sin 16=315256a 6.解 ()()()()()x f y x Q y x f e y x P x -=+=,,,要使曲线积分与路径无关，当且仅当xQ y P ∂∂=∂∂，即()()x f x f e x '-=+ 解此微分方程可得()x xe Cex f 21-=-，又()210=f ，所以C =1,故()x x e e x f 21-=- 现在计算从()0,0A 到()1,1B 的曲线积分的值.由于积分与路径无关，故选取有向折线________CB AC +进行积分，其中()0,1C 。

高等数学下册第十一章习题答案详解1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0LP x y x =⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明：(,)d (,0)d bLaP x y x P x x =⎰⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d bLaP x y x P x x =⎰⎰3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）22()d Lxy x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周()222x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；（3）d d Ly x x y +⎰,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π2的一段弧； （4）22()d ()d Lx y x x y y x y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）； （5）2d d d x x z y y z +-⎰Γ,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0到π的一段弧；（6） 322d 3d ()d x x zy y xy z ++-⎰Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线；（7）d d d x y y z -+⎰Γ,其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里AB C 、、依次为点1,0,0（）、010（，，）、(001)，，；（8）22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π220π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x xz y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415L x xy x y xy yx x x x x x x xxx x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰4. 计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 分别是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； （4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y=⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰5. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由(,0)a 沿椭圆移动到0,Bb （）,求力所做的功. 解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6. 计算对坐标的曲线积分：（1）d xyz z ⎰Γ,Γ为2221x y z ++=与z y =相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ卦限；（2）222222(-)d ()d ()d y z x z x y x y z +-+-⎰Γ,Γ为2221x y z ++=在第Ⅰ卦限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分. 方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos x ty tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π2π2202π202π0222d cos sin sin cos d 2sin cos d 2sin 2d 21cos 4d 22πxyz z t t t t t t t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233yz x z x y x y zt t t t tt t tt t Γ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y z y z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰ 习题11-31. 应用格林公式计算下列积分：（1）(24)d (356)d Lx y x x y y -+++-⎰,其中L 为三顶点分别为()()0,0,3,0和(32)，的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin e )d (sin 2e )d x x Lx y x xy x y x x x y y +-+-⎰,其中L 为正向星形线222333x y a +=0a >（）；（3）3222(2cos )d (12sin 3)d Lxy y x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22πx y =上由点0,0（）到点π,12⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧； （4）22()d (sin )d Lxy x x y y --+⎰,其中L 是圆周22y x x =-上由点0,0（）到()1,1的一段弧；（5）(e sin )d (e cos )d x x Ly my x y m y -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(),0a 到0,0（）经过圆22x y ax +=上半部分的路线（a 为正数）.图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Qx∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ， 则2cos 2sin 2e x P x x x x y y∂=+-∂，2cos 2sin 2e x Qx x x x y x∂=+-∂．从而P Qy x∂∂=∂∂，由格林公式得．()()222d dcos2sin e sin2ed d++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x xLDx yx y x xy x y x x yQ Px yx y(3)如图11-5所示，记OA，AB，BO围成的区域为D．（其中BO=-L）图11-5P=2xy3-y2cos x，Q=1-2y sin x+3x2y2262cosPxy y xy∂=-∂，262cosQxy y xx∂=-∂由格林公式有：d d d d0L OA AB DQ PP x Q y x yx y-++∂∂⎛⎫-+==⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π2122001222d d d dd d d dππd d12sin3243d12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅⎪⎝⎭⎛⎫=-+⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L OA ABOA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy yyy y(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO DQ PP x Q y x yx y而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x，即，0∂∂-=∂∂Q P x y 于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LLBA OB P x Q y x yx y x y x y x yx y x y x y x y y x x y x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x P y m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m a P x Q y P x Q y m a xm m m a xm a2. 设a 为正常数，利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1） 星形线 33cos ,sin ;x a t y a t == （2） 双纽线 22cos2;r a θ= （3） 圆 22x y ax ++=解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ． 于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y xa a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 3. 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： （1）(1,1)(0,0)()(d d )x y x y --⎰；（2）(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰；（3）(1,2)2(1,1)d d y x x yx +⎰沿在右半平面的路径； （4）(6,8)(1,0)⎰.证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y∂=-∂，2123Qxy y x∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xyy x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Qy x∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q ，且P Qy x∂∂==∂∂分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,811,0801529x y =+⎡=+⎣=⎰⎰⎰4．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个函数(),u x y :（1）()()2d 2d x y x x y y +++；（2）22d d xy x x y +;（3）223238d 812e d yx y xy x x x y y y ++++（）（）； （4）222cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-（）（）. 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x y x y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Qx y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Qx xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyyy y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x y x∂=-∂， 有P Qy x∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰5.证明：22xdx ydyx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数。

第十一章 曲线积分与曲面积分试题一．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。

ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。

x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ；y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。

用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。

d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。

αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。

011.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。

dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。

第十一章无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然( ) (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是( ).(A) 1(1);210n n nn ∞=-+∑(B)11n n -∞= (C) 111(1)();2nn n ∞-=-∑(D)11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ，则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑( )(A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ).(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑，其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰，则1()2S -等于( ) (A) 1;2- (B) 1;4- (C) 1;4 (D) 12.二、 填空题1、 设14n n u ∞==∑，则111()22n nn u ∞=-=∑( ) 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为( )3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为( )三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n x n n f x f x x -'=+，n 为正整数，且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、 设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1α>时，级数1nn x α∞=∑收敛. 四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1） 求()211n n n a a n∞+=+∑ （2） 试证：对任意常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n nλλ∞∞+==<∑∑ 第十一章无穷级数测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B. 二、1、1；2、()4,2-；3、32；4、2π3；5、cos1sin1-. 三、1、答案：[)0,6.2、答案：53ln 284- 提示：原式为级数()211n n x n ∞=-∑的和函数在12x =点的值.而()22221121211n n nn n n x x x n n n ∞∞∞====--+-∑∑∑,分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可. 3、答案：110(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞+=--⎡⎫=∈-⎪⎢+⎣⎭∑()1(1)(1)20!1n n n fn n ++--=⋅+. 提示: ()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42xn n n n x x x x n ∞=⎛⎫+=++--∞<<+∞ ⎪⎝⎭∑提示：()2011112!1!2!2nnn n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑，而()1011e ,e 1!!xn xn n n x x x n n ∞∞====-∑∑5、答案：()()[)1e ln 1,1,1xn n f x x x ∞==--∈-∑提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为()e xn x f x n=()111e e x xn n n n x x f x n n∞∞∞=====∑∑∑，记1()n x S x n ∞==∑，则可得()ln(1)S x x =--6、提示:设()1n n f x x nx =+-,则()()0,0n f x x '>>,故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正根.而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,00110n x x n n -<=<,故当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n nλλ∞∞+==<∑∑第十章曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于( ) (A) 1;- (B) 0; (C) 1; (D) 2.2、设闭曲线c 为1x y +=的正向，则曲线积分d d cy x x yx y-++⎰的值等于( )(A) 0; (B)2; (C) 4; (D) 6.3、设∑为封闭柱面()22203x y a z +=≤≤，其向外的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ=，则()cos cos cos d x y z s αβγ∑++⎰⎰等于( )(A) 29π;a (B) 26π;;a (C) 23π;a (D) 0.4、设曲线c 为22220x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩，则d cx s ⎰等于( )(A) 23;a (B) 0; (C) 2;a (D)213a . 5、设∑为下半球z =Ω是由∑和0z =所围成的空间闭区域，则d d z x y ∑⎰⎰不等于( )(A) d ;v Ω-⎰⎰⎰(B) 2πd dr θ⎰⎰;(C) 2πd d ;r θ-⎰⎰(D)()d d z x y x y ∑++⎰⎰.二、填空题1、设c 是圆周222x y a+=，则()2d cx y s -=⎰( )2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周，则F 所做的功等于( )3、设∑是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分，则d z s ∑⎰⎰等于( )4、设∑是球面2221x y z ++=的外侧，则()23222d d xy z xy z∑++⎰⎰等于( )5、设22()d ()d 1cxf x y x f x y x -++⎰与路径无关，其中()f x '连续且(0)0f =，则()f x =( ) 三、计算与应用题 1、求()()xy sin d cos d LI ey b x y x e y ax y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰，其中,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a 沿曲线y =()0,0O 的弧.2、计算2d LI y s =⎰，其中L 为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩.3、在变力F yzi zx j xyk =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦挂线的点(),,M ξηζ，问,,ξηζ取何值时，力F 所做的功W 最大？并求出W 最大值.4、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Szs x y z ρ⎰⎰.5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面()221014y z x x =--≤≤的上侧.6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，2()d d ()d d ed d 0xSxf x y z xyf x z x z x y --=⎰⎰，其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +→=，求()f x . 答案：()e ()e 1x xf x x=- 提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d x xSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v Ω'⎡⎤=--=±+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰由S 的任意性，知2()()()e 0xxf x f x xf x '+--=，解此微分方程即可.四、证明题已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证：（1）sin sin sin sin e d e d e d e d y xy xLLx y y x x y y x ---=-⎰⎰； （2）2sin sin 5πed e d 2yx Lx y y x --⎰≤第十章曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、1、D ；2、C ；3、A ；4、B ；5、B. 二、1、3πa -；2、4π-；3、；4、4π3；5、211x+. 三、1、答案：23ππ222I a b a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭.提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式. 2、答案：32π3I a =. 提示：利用变量“对等性”22231d d d d 3LLLLI y s x s z s a s ====⎰⎰⎰⎰. 3、答案：ξηζ===max 9W abc =. 提示：直线段:,,OM x t y t z t ξηζ===，t 从0变到1，功W 为120d d d 3d OMW yz x zx y xy z t t ξηζξηζ=++==⎰⎰再求W ξηζ=在条件2222221x y z a b c++=下的最大值即可.4、答案：()3d π,,2Sz s x y z ρ=⎰⎰.提示：曲面S 在点(),,P x y z 处的法向量为{},,2x y z ，切平面方程为：022x yX Y zZ ++=， 点()0,0,0O 到平面π的距离()12222,,44x yx y z z ρ-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 5、答案：d d 2d d 3d d πI xz y z zy z x xy x y ∑=++=⎰⎰.提示：添加曲面1∑为平面xoy 上被椭圆()221014y x x +=≤≤所围的下侧，在∑和1∑所围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在1d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰的积分等于3d d Dxy x y ⎰⎰为0.6、提示： （1） 左边=()ππsin sin sin sin 0ππe d πe d πe +e d y x x x y x x ---=⎰⎰⎰，同理，右边=()πsin sin 0πe+e d x x x -⎰（2） 由（1）得sin sin ed ed yxLx y y x --⎰=()πsin sin 0πe +e d x x x -⎰，而由sin e x 和sin e x -泰勒展开式知道()π20π2sin d x x +⎰≤()πsin sin 0πe +e d x x x -⎰，而()π225π2sin d π2x x +=⎰.第九章重积分测试题一、选择题1、若区域D 是xoy 平面上以(1,1)，(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限中的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰( ).(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰;(B) 2cos sin Dx ydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D) 02、设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是xoy 平面上由20,y y x ==和1x =所围区域，则(,)f x y 等于( ).(A) xy ; (B) 2xy ; (C) 1xy + ; (D) 18xy + 3、设22222123d ,cos()d d ,cos()d d ,DDDI x y I x y x y I x y x y ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中(){}22,1D x y xy =≤+，则( ).(A) 321I I I >>; (B) 123I I I >>; (C) 213I I I >> ; (D) 312I I I >>4、设空间闭区域Ω由2221x y z ++≤及z 0≤确定，1Ω为Ω在第一挂限的部分，则( ).(A) 1d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; (B) 1d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;(C)1d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; (D) 1d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、设空间闭区域({,,z x y z Ω=，d I z v Ω=⎰⎰⎰，则下列将I 化为累次积分中不正确的是( ).(A) 22π100d d d rI r r z θ=⎰⎰;(B) π2π240d d cos sin d I θϕϕρϕρ=⋅⎰⎰;(C) 12221πd π(2)d I z z z z z =+-⎰⎰;(D) 2214d d x y I x y z +=⎰二、填空题1、设区域D 为222x y R +≤，则2222d d D x y I x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰的值等于( )2、设(){}22,1D x y x y =≤+，则2221lim ln(1)d d πx y r De x y x y r -→++⎰⎰的值等于( )3、积分222d e d yxI x y -=⎰⎰的值等于( )4、积分2222222()d x y z R I f x y z v ++=++⎰⎰⎰≤可化为定积分0()d Rx x ϕ⎰，则()x ϕ等于( )5、积分22221()d x y z I ax by v ++=+⎰⎰⎰≤的值等于( )三、计算与应用题 1、求)d d DI y x y =⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围的平面区域. 2、求{}22max ,ed d x y DI x y=⎰⎰，其中(){},1,1D x y x y =≤≤≤≤00.3、计算22()d I x y z v Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面与平面4z =所围的立体.4、计算()d I x z v Ω=+⎰⎰⎰，Ω由z =z =.5、计算112111224d e d d e d y yxxyI y x y x =+⎰⎰⎰.6、设有一高度为()h t （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？四、证明题设函数()f x 在[]0,1上连续，并设1()d f x x A =⎰，证明11201d ()()d 2x I x f x f y y A ==⎰⎰.第九章重积分测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、A ；4、C ；5、B. 二、1、22222πR 4x y a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2、1；3、()411e 2--；4、224π()x f x ；5、()224π+15a b .三、 1、答案：()163π-29I =. 提示:将D 看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可. 2、答案：e 1I =-提示：为确定{}22max ,x y ，必须将D 分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可. 3、答案：256π3I =提示:旋转曲面的方程为222x y z +=,用柱面坐标计算22π4202d d ()d r I r r z z θ=+⎰⎰⎰即可.4、答案：π8I =. 提示:d 0x v Ω=⎰⎰⎰,ππ12240d 4d d cos sin d z v θϕρϕρϕρΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5、答案：3e 8I =-提示：交换积分次序.6、答案：100t =小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积222()31()()2πd d d ()4h t x y h t h t z V zx y h t ⎡⎤+-⎣⎦==⎰⎰⎰≤；再求出雪堆的侧面积22221()213πd ()12x y h t S x y h t +==⎰⎰≤； 由题意d 0.9d V S t=-，所以d ()13d 10h t t =-，解出()h t 并令其等于0，则可得结果. 四、提示：交换积分次序， 并利用1111001d ()()d d ()()d d ()()d 2yxy f x f y x x f x f y y x f x f y y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.第八章多元函数微分法及应用测试题一、选择题1、已知函数()f x 在[]1,1-上连续,那么sin cos ()xyf t dt x ∂=∂⎰( ).(A)(sin )(cos )f x f y - (B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y - (C) (sin )cos f x x ; (D) (cos )sin f y y2、在矩形域00:,D x x y y δδ-<-<，(,)(,)0x y f x y f x y =≡是(,)f x y c ≡（常数）的（）.(A) 充要条件； (B)充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件 3、若函数(,)f x y 在区域D 内的二阶偏导数都存在，则（）（A ）(,)(,)xy yx f x y f x y =在D 内成立；（B ）(,),(,)x y f x y f x y 在D 内连续；（C ）(,)f x y 在D 内可微分；（D ）以上结论都不对4、42002lim3x y xyx y →→+的值为（）(A)∞；(B) 不存在； (C)23； (D) 0. 5、设有三元函数ln e1xzxy z y -+=，据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（）.（A ）只能确定一个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),y y x z =； （C ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),x x y z =； （D ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =.二、填空题1、设(,)cos()(1)arctan2xy f x y e x y π=+-,则(1,1)x f 的值为（）. 2、设(,)f x y 具有连续偏导数，且(1,1)1,(1,1),(1,1)x y f f a f b ''===，令[]{}(),,(,)x f x f x f x x ϕ=，则(1)ϕ'的值为（）.3、设2(,,)x f x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-=（）.4、曲线222320x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩在点()1,1,1M 处的切线方程为（）.5、函数22223326u x y z xy x y z =++++--在点()0,0,0O 处沿（）方向的方向导数最大？ 三、计算和应用题1、设()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y -+++为某一函数(,)f x y 的全微分，求a 和b 的值2、设()()ky x g y x y x f z +++-=,，g f ,具有二阶连续偏导数，且0≡/''g ，如果222222242f yzy x z x z ''=∂∂+∂∂∂+∂∂，求常数k 的值. 3、在椭球2222221x y z a b c++=内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体积最大?4、设(,)y g x z =，而z 是由方程(,)0f x z xy -=所确定的,x y 的函数，求d d zx5、设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy +=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为(){}22,75D x y xy xy =≤+-，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+（1） 设()000,M x y 为区域D 上一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式.（2） 现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置.四、 证明题设(,)F u v 可微，试证曲面(,)0x a y bF z c z c--=--上任一点处的切平面都通过定点. 第八章多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、1、C ；2、A ；3、D ；4、B ；5、D.二、1、πe 2-；2、23(1)a b b b +++；3、1；4、111101x y z ---==-；5、326o gradu i j k =--. 三、1、答案：2,2a b ==-.提示：利用xyyx f f ''''=这一条件. 2、答案：1k =-. 提示:g f f xz'+'+'=∂∂21，g k f f y z '+'+'-=∂∂21， g f f f x z ''+''+''+''=∂∂221211222，g k f f f yz ''+''+''-''=∂∂2221211222， g k f f y x z''+''+''-=∂∂∂22112，()g k k f y z y x z xz ''+++''=∂∂+∂∂∂+∂∂222222222142， 又因为0≡/''g ，所以0212=++k k ，1-=k .3,,. 提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为(),,x y z ，则求体积8V xyz =在条件2222221x y z a b c++=下的极值就可. 4、答案：1221122d d f yf xf g z x f xf g ''''++='''-. 5、答案：故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.提示：由全微分的定义知0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f fx f y e f g xy x 221⋅'+⋅'='y f x e f g xyy 221⋅'+⋅'='0)0,0(='x g 0)0,0(='y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xy xy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xy xy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''='' 2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xy xy xy xy y'+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' A=2)0,1(2)0,0(22-='=''f g x 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy 2)0,1(2)0,0(22-='=''=f g C y 032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.6、答案:00(,)g x y ==攀登起点的位置: ()()125,5,5,5M M --.提示: 沿梯度方向的方向导数最大,方向导数的最大值即为梯度的模. 然后再求(,)g x y 在条件22750x y xy --+=下的极大值点就可.四、答案: 通过定点(),,M a b c .第六章微分方程测试题一、选择题1、设()y f x =是240y y y '''-+=的解,若0()0f x >且0()0f x '=,则在0x 点()f x ( ). (A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在0x 某邻域内单增; (D) 在0x 某邻域内单减.2、微分方程2448xy y y e'''-+=的一个特解应具有形式 ( ) (,,,a b c d 为常数).(A) 2;xce (B) 22;xdx e (C) 2;xcxe (D) 22().xbx cx e + 3、微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为( ). (A) *2(sin ecos );y ax bx c x d x x =++++ (B) *2(sin ecos );y x ax bx c d x x =++++ (C) *2sin ;y ax bx c d x =+++ (D) *2ecos .y ax bx c x =+++4、设线性无关的函数123,,y y y 都是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解为( ).(A) 11223;c y c y y ++(B) ()1122123;c y c y c c y +-+ (C) ()11221231;c y c y c c y +--- (D) ()11221231.c y c y c c y ++--5、方程0xy y '+=满足(1)2y =的特解为( ).(A) 21;xy = (B) 22;x y = (C) 2;xy = (D) 1.xy = 二、填空题1、已知微分方程23exy y y -'''--=有一个特解1e 4xy x *-=-,则其通解为( ). 2、以12e ,e x x y y x --==为特解的二阶常系数齐次微分方程是( ). 3、若连续函数()f x 满足()0()e xf t f x dt =⎰，则()f x 等于( ).4、已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y xy xα∆∆=++，其中α是比x ∆(0)x ∆→高阶的无穷小，且(0)πy =，则(1)y 等于( ). 5、2e xy y y x '''++=的通解为( ).三、计算和应用题1、 设2e(1)e xx y x =++是二阶常系数线性微分方程e x y y y αβγ'''++=的一个特解，求该微分方程的通解.2、 设函数()y y x =在(),-∞+∞内具有二阶导数，且()0,y x x y '≠=是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程()322d d sin 0d d xx y x y y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭变换为()y y x =所满足的微分方程;(2) 求变换后的微分方程满足条件3(0)0,(0)2y y '==的解. 3、已知22123e e ,e e ,e e e x x x x x x x y x y x y x --=+=+=+-都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程 4、 已知连续函数()f x 满足320()()d e 3xx tf x f t =+⎰，求()f x . 5、 已知连续函数()f x 满足()10()()d e 2()d xx f x x u f u u x f xu u +-=+⎰⎰，求()f x .6、设函数()f x 在[)1,+∞上连续恒正，若曲线()y f x =，直线()1,1x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2π()(1)3t f t f ⎡⎤-⎣⎦，试求()y f x =所满足的微分方程，并求该方程满足2(2)9f =的特解. 四、证明题证明方程()y y f x ''+=（其中()f x 连续）的通解为()120cos sin ()sin d xy c x c x f t x t t =++-⎰，其中为任意常数.第六章微分方程测试题答案与提示一、1、A ；2、B ；3、A ；4、D ；5、C. 二、1、3121e e e 4xxx c c x --+-；2、20y y y '''++=；3、ln(1)x +；4、π4πe ；5、()()121e 1e 4x x y c c x x -=++-. 三、1、答案：2212e e e (1)e x x x x c c x ++++. 提示：将2e(1)e xx y x =++代入原方程，比较同类项系数，求出,,αβγ的值，然后再去求解微分方程. 2、答案: (1)sin y y x ''-=;(2) 1e e sin 2x x y x -=--. 3、答案: 2e 2e xxy y y x '''--=-.提示: 21312e ,=e x x y y y y --=-是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为20y y y '''--=, 设非齐次线性微分方程为2()y y y f x '''--=,再将其中任意个非齐次特解代入,得出()e 2e xxf x x =-.4、答案: 32()3e 2e x xf x =-. 5、答案: 21()12e 2x f x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 提示：作代换xu t =，则12()d 2()dt xx f xu u f t =⎰⎰.6、答案:3()1xf x x =+. 提示：依题意可得：221π()(1)π()d 3t t f t f f x x ⎡⎤-=⎣⎦⎰，然后两边求导. 四、略.第五章定积分及应用测试题一、选择题1、设()f x 连续，0()d ,0,0stI tf tx x t s =>>⎰，则I 的值是( ).（A ）依赖于s 和t ；（B ）是一个常数；（C ）不依赖于s 但依赖于t ；（D ）依赖于s 但不依赖于t . 2、下列积分中,等于零的是( ). (A)12212cos ln(1)d x x x -+⎰(B)233(1)e d x x x -+⎰(C) 4222sin cos d 1x xx x ππ-+⎰(C) 211(d x x -⎰3、设在[],a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>， 令()[]()1231()d ,(),()()2baS f x x S f b b a S f a f b b a ==-=+-⎰，则( ).(A) 321S S S >>; (B) 312S S S >>; (C) 213S S S >> ; (D) 132S S S >>.4、已知sin πd 2x x x +∞=⎰，则220sin d x x x +∞⎰的值等于( ). (A) π;2(B) π; (C) 2π;4 (D) π-1.5、设()f x 在0处可导，且(0)0f =，则极限02()dt limxx f x t x→-⎰的值等于( ).(A)不存在； (B) 0; (C) (0);f ' (D) 1(0).2f ' 二、填空题 1、设()f x 连续，31()dt x f t x -=⎰，则(7)f 等于( ).2、定积分3π43π4(1arctan x x -+⎰的值为( ).3、定积分11()e d xx x x -+⎰的值为( ).4、若积分(21)d 4aax x --=-⎰,则常数a 的值等于( ).5、曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的面积值等于( ). 三、计算和应用题 1、已知(π)1f =，且[]0()()sin d 3f x f x x x π''+=⎰，求(0)f .2、计算21x x x --⎰3、设2π20sin ()d 12cos t f x t x t x =++⎰，求(1)(0)f f4、 计算π320sin d sin cos xx x x+⎰.5、设3e e()ln ()d xf x x f x x =+⎰，求()f x .6、设()f x 可导，(0)1f =，且[]10()()d f x xf xt t +⎰与x 无关，求()f x .四、证明题设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b ()0f x '>，证明存在唯一的(),a b ξ∈使曲线()y f x =和(),y f x a ξ==所围面积1S 是()y f x =和(),y f x b ξ==所围面积2S 的3倍.第五章定积分及应用测试题答案与提示一、1、D ；2、C ；3、B ；4、A ；5、D. 二、1、112；2、2；3、2；4、2；5、3712.三、1、答案：(0)2f =. 提示：用分部积分.2、答案：4π-.提示：利用奇偶对称性. 3、答案：1.提示：分别求出(0)f 和(1)f 的值即可. 4、答案：()1π14-. 提示：πππ3333222000sin cos 1sin cos d d d sin cos sin cos 2sin cos x x x xx x x x x x x x x+==+++⎰⎰⎰.5、答案：ln 4()x f x x x=-. 6、答案：()e xf x -=. 提示：令()[]1100()()d ()()d ()()d xF x f x xf xt t f x x f xt t f x x f u u =+=+=+⎰⎰⎰，由()0F x '=得()()0f x f x '+=，所以e ()0xf x '⎡⎤=⎣⎦.四、提示：()()()10,,()()d tt a b S t t a f t f x x ∀∈=--⎰，()()2()d ,btS t f x x b t =--⎰令()()12()3t S t S t ϕ=-，用零点定理和单调性证明即可.第一章综合测试题一、单项选择题1、()f x 当0x x →时的左极限和右极限都存在且相等是0lim ()x x f x →存在的( )条件.(A) 充分; (B) 必要; (C) 充要; (D) 无关. 2、设22212lim()n nn n n →∞+++= ( ).(A)22212lim lim lim 0n n n nn n n →∞→∞→∞+++=; (B) ∞;(C) 21+2+1lim2n n n →∞+=; (D) 极限不存在.3、设()=232xxf x +-，则当0x →，有 ( ).(A) ()f x 与x 是等价无穷小; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小; (D) ()f x 是比x 低阶的无穷小.4、设11e 1()e 1xxf x -=+，则0x =是()f x 的( ).(A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 第二类间断点; (D) 连续点. 5、方程410x x --=至少有一个根的区间是( ).(A) 1(0,)2; (B)1(,1)2; (C) (1,2); (D)(2,3).二、填空题7、 若2211()3f x x x x +=++，则()f x =( )． 8、 已知函数2(cos ), 0() , 0x x x f x a x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩在0x =连续，则a = ()．9、n →∞( )．10、设2013sin coslim (1cos )(e 1)x x x x x x →+=+- ( )． 5、已知25lim232n a bn n →∞++=-，则a = ( )，b = ( )．三、计算与应用题 1、设0, 0(), 0x f x x x ⎧=⎨>⎩≤，20, 0(), 0x g x x x ⎧=⎨->⎩≤，求函数项级数[()]f f x ，[()],g g x [()],[()]f g x g f x .2、设21sin ,0(),0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+⎩≤，要使()f x 在(,)-∞+∞内连续，应当怎样选择数a ？3、设11e , 0()ln(1), 10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<⎩≤，求()f x 的间断点，并说明间断点所属类型． 4、计算极限tan π2lim(sin )x x x →．5、计算极限123lim()21x x x x +→∞++ 6、设()f x 的定义域是[0,1]，求函数11()()22f x f x ++-的定义域. 四、证明题证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ(,)22-内至少有一个根. 第一章综合测试题答案与提示一、1、C ；2、C ；3、B ；4、B ；5、C. 二、1、21x +；2、1；3、32；4、32；5、任意常数，6. 三、1、答案：[()] = (),f f x f x [()]0,g g x =[()]0,f g x =[()]()g f x g x =.2、答案：0a =．3、答案：0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点．4、答案： 1．5、答案：e .6、答案: 12x =. 四、提示：利用零点定理．第二章综合测试题一、单项选择题1、若 e , 0()sin 2, 0ax x f x b x x ⎧<=⎨+⎩≥在0x =处可导，则a b 、的值应为( ).(A)2,1a b ==; (B) 1,2a b ==; (C) 2,1a b =-=; (D)2,1a b ==-.2、设222, 1() 1 , 1x x x f x x ⎧-+>=⎨⎩≤ ( ).(A)不连续; (B)连续，但不可导;(C)连续，且有一阶导数; (D) 有任意阶导数.3、若()f x 为(,)l l -内的可导奇函数，则()f x ' ( ).(A) 必为(,)l l -内的奇函数; (B) 必为(,)l l -内的偶函数;(C) 必为(,)l l -内的非奇非偶函数; (D) 在(,)l l -，可能为奇函数，也可能为偶函数. 4、()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆ ( ).(A) 02()f x '; (B)0()f x '-; (C) 0()f x '; (D) 0()f x '-. 5、设()sin cos2x f x x =+，则(15)(π)f=( ). (A) 0; (B) 15112+; (C) 1-; (D)1512-.二、填空题 11、()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（充分）条件，()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（）条件． 12、 设()(1)(2)() (2)f x x x x x n n =+++≥，则(0)f '= ( )．13、设()f x 为可微函数，则当0x ∆→时，在点x 处的d y y ∆-是关于x ∆的( )无穷小. 14、已知(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩，则3π4d d t x y == ( 1-)，223 π4d d t xy == ( ) ．15、设函数()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则d d yx= ( )． 三、计算与应用题1、讨论函数1sin , 00 , 0x x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性和可导性. 2、已知22e 1, 0() 1 , 0x x f x x x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩，求()f x '.3、设()(e )e x f x y f =且()f x '存在，求d d y x. 4、设y =2d x y =.5、用对数求导法计算函数y =的导数6、求函数2cos y x =的n 阶导数. 四、证明题设)(x f 在),(+∞-∞内有定义，且,(,)x y ∀∈-∞+∞，恒有()()()f x y f x f y +=⋅，()1()f x xg x =+，其中0lim ()1x g x →=，证明()f x 在),(+∞-∞内处处可导.第二章综合测试题答案与提示一、1、A ；2、C ；3、B ；4、D ；5、B ． 二、1、充要；2、!n ；3、高阶；4、；5、1． 三、1、答案：连续不可导.2、答案：223(22)e 2, 0() 0 , 0x x x f x x x ⎧-+⎪≠'=⎨⎪=⎩． 3、答案：()d e [(e )e (e )()]d f x x x x yf f f x x''=+. 4、答案：67211d [7()]d 7y x x x-=-；2d ln 714x y x ==-． 5、答案：145[]2(2)31y x x x '=+-+-+. 6、答案: ()1π2cos(2)2n n n yx -=+. 四、提示: ,(,)x y ∀∈-∞+∞，有()[()1]()()y f x f x f x x g x =-=⋅⋅，00()limlim ()()().x x yf x f xg x f x x →→∆'==⋅=∆第三章综合测试题一、单项选择题1、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是 ( ).(A)ln(ln )x ; (B) ln x ; (C)1ln x; (D)ln(2)x -. 2、设00()()0f x f x '''==，0()0f x '''>，则( ).(A)0()f x '是()f x '的极大值; (B)0()f x 是()f x 的极大值;(C)0()f x 是()f x 的极小值; (D) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点.3、设函数()f x 在[0,1]上满足()0f x ''>，则(1)f '，(0)f '，(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是 ( ).(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-; (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->; (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->>; (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>->. 4、指出曲线2()3xf x x=-的渐近线 ( ). (A) 没有水平渐近线; (B)只有一条垂直渐近线; (C) 既有垂直渐近线，又有水平渐近线; (D) 只有水平渐近线. 5、曲线53(5)2y x =-+ ( ).(A) 有极值点5x =，但无拐点; (B) 有拐点(5,2)，但无极值点; (C) 有极值点5x =，且(5,2)是拐点; (D)既无极值点，又无拐点.二、填空题 16、设常数0k >，函数()ln exf x x k =-+在(0,)+∞内零点的个数为（）． 17、若2sin 2e 1,0() , 0 ax x x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞上连续，则a = ( )．18、曲线1ln(e )(0)y x x x=+>的渐近线方程为 ( )．19、240ln(1)ln(1)ln(1)lim x x x x x→+---= ( )． 5、若()f x 是x 的四次多项式函数，它有两个拐点(2,16),(0,0)，并且在点(2,16)处的切线平行于x 轴，那么函数()f x 的表达式是 ( )． 三、计算与应用题1、当a 为何值时，1sin sin 33y a x x =+在π3x =处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值.2、求0e ln(1)1lim arctan x x x x x→+---.3、求11cos0sin lim()x x x x-→. 4、求椭圆223x xy y -+=上纵坐标最大和最小的点.5、求数列的最大项.6、曲线弧sin (0π)y x x =<<上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径. 四、证明题设()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0f x ''≥. 证明对于(,)a b 少内任意两点12x x 、及01t ≤≤，有1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+-+≤.第三章综合测试题答案与提示一、1、B ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B ． 二、1、2；2、2-；3、1e y x =+；4、112；5、43416x x x -+． 三、1、答案：2,a =π3y=.2、答案：12-. 3、答案：13e-.4、答案：(1,2)和(1,2)--．56、答案: π(,1)2处的曲率半径最小，值为1.四、略．第四章综合测试题一、单项选择题 1、= ( ).(A) 2arctan C ; (B) arctan x C +;(C)12C ; (D) 2arccot C . 2、已知()f x 的一个原函数是2ex -，求()d xf x x '=⎰( ).(A)222ex x C --+; (B) 222e x x C -+;(C) 22e (21)x x C ---+; (D) 以上答案都不正确. 3、已知()d ()f x x F x C =+⎰，则()d f b ax x -=⎰ ( ).(A) ()F b ax C -+; (B) 1()F b ax C a--+; (C) ()aF b ax C -+; (D)1()F b ax C a-+. 4、已知曲线上任一点的二阶导数6y x ''=，且在曲线上(0,2)-处的切线为236x y -=，则这条曲线的方程为( ).(A) 322y x x =--; (B) 332360x x y +--=; (C) 32y x x =-; (D) 以上都不是. 5、若()()F x f x '=，则d ()F x =⎰( ).(A) ()f x ; (B)()F x ; (C) ()f x C +; (D)()F x C +.二、填空题 20、 设函数()f x 的二阶导数()f x ''连续，那么()d xf x x ''=⎰( ).21、 若(e )1xf x '=+，则()f x = ( ).22、已知曲线()y f x =上任意点的切线的斜率为336ax x --，且1x =-时，112y =是极大值，则()f x =( )；()f x 的极小值是 ( ).23、23ed x x x =⎰ ( ).5、[(()] d f x xf x x '+=⎰( ).三、计算与应用题 1、求不定积分d e e x x x --⎰.2、求不定积分4tan d x x ⎰.3、求不定积分e cos d ax bx x ⎰.4、求不定积分x ⎰.5、求不定积分x ⎰.6、求不定积分382d (1)x x x +⎰. 四、证明题设()F x 是()f x 的一个原函数，且(0)1F =，()2()f x x F x =，证明： 2()1dx ln(12)()4f x x C f x =++'⎰. 第四章综合测试题答案与提示一、1、A ；2、C ；3、B ；4、B ；5、D ． 二、1、()()xf x f x C '-+；2、ln (0)x x C x +>；3、323622x x x --+，8-； 4、221e (1)2x x C -+；5、()xf x C +．三、1、答案：e 11ln 2e 1xx C -++.2、答案：31tan tan 3x x x C -++ 3、答案：221e (cos sin )axa bxb bx C a b+++4、答案：C5、答案：(1)x arc C +.6、答案: 4481arctan 8(1)8x x C x +++. 四、提示：()2()f x x F x =()2()F x x F x '⇒=2ln ()F x x C ⇒=+， 由(0)1F =，得22()e()2e x x F x f x x =⇒=2()()12f x xf x x ⇒='+，2()1dx ln(12)()4f x x C f x ⇒=++'⎰. 第七章综合测试题一、单项选择题1、点(2,3,1)M -关于xOy 平面的对称点是( ).(A) (2,3,1)--; (B) (2,3,1)---; (C) (2,3,1)--; (D) (2,3,1)--. 2、已知平面通过点(,,0)k k 与(2,2,0)k k ，其中0k ≠，且垂直于xOy 平面，则该平面的一般式方程0Ax By Cz D +++=的系数必定满足( ).(A),0A B C D =-==; (B) ,0B C A D =-==;(C) ,0C A B D =-==; (D),0C A B D ===. 3、直线50584360x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩的标准方程是( ).(A)41413x y z -+==-; (B) 41413x y z --==; (C) 41413x y z -+==--; (D) 41413x y z --==-. 4、点(4,3,5)M -到x 轴的距离是的( ).(A)(B) ; (C) (D) 5、方程22214y x z -+=表示( ).(A) 旋转双曲面; (B)双叶双曲面; (C) 双曲柱面; (D)锥面.二、填空题 24、 设(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= ( ) 25、 若13a =，19b =，24a b +=，则a b -= ( ) 26、 直线73121x y z +-==-上与点(3,2,6)的距离最近的点是( ) 27、设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面4280x y z -+-=垂直，则此平面方程为 ( ) 28、曲线22222z x y z x ⎧=+⎨=-⎩关于xOy 面的投影柱面方程是( )三、计算与应用题1、设375a b a b +⊥-，472a b a b -⊥-，求(,)a b ∧. 2、设4a =, 3b =, (,)6a b π∧=，求以2a b +和3a b -为边的平行四边形的面积.3、设一平面垂直于平面0z =，并通过从点(1,1,1)-到直线10y z x -+=⎧⎨=⎩的垂线，求此平面的方程.4、求锥面z =与柱面22z x =所围立体在三个坐标面上的投影5、在平面2320x y z +-+=和平面55430x y z +-+=所确定的平面束内，求两个相互垂直的平面，其中一个平面经过点(4,3,1)- .6、光线沿直线30:10x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩投射到平面π:10x y z +++=，求反射线所在的直线方程.四、证明题设M 为ABC ∆的重心，证明：对于任意一点O ，有1()3OM OA OB OC =++. 第七章综合测试题答案与提示一、1、C ；2、A ；3、A ；4、B ；5、A ． 二、12、22；3、(3,1,0)-；4、2230x y z +-=；5、221x y +=．。