天津大学 场论初步

x
f (r ) y f ( r ) z f (r ) , f (r ) y r z r f (r ) f (r ) f (r ) grad f (r ) j k i z P y z x r 1 f (r ) ( x i y j z k ) o r y 1 x f (r ) r f (r ) r 0 r
由于
div r div( x i y j z k ) 3 xyz xyz grad grad e e ( yz i xz j xy k )
所以 n (3 , 2 , 2) 3 2 2 方向余弦为 cos , cos , cos 17 17 17 u u u 而 yz 9, 6, 6 M M x y M z M
u 所以 n
M
u u u ( cos cos cos ) x y z
在任一点M(x, y, z)的散度为
证明： 由奥-高公式 A d S P d y d z Q d z d x Rdx d y
S S
P Q R ( )dv x y z
又由中值定理得
P Q R P Q R V ( ) dV x y z x y z M *
指向数量场 在点 M 处的法向量，
M
u(M) 增大的一方.
u C
矢量场 grad u 称为由数量场u产生的梯度场. 注：
运算公式
(2) (Cu) Cu
(4) (uv) uv vu
u vu uv (5) ( ) v v2
例3.
处矢径 r 的模 , 试证

曲面
f (x, y, z) c （常数）
称为 f 的等值面。若 f x , f y , f z 不同时为零，那么 n
等值面上的一个单位法向量，并且有
f grad f 及 grad f f n 。
n
n
fxi fy j fzk 为
fx2 fy2 fz2
这说明， f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方 向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 grad f 的方向， 于是，沿着与梯度方向相同的方向， f 的函数值增加最快。而沿着与 梯度方向相反的方向， f 的方向导数取到最小值 grad f ，于是，沿 着与梯度方向相反的方向，函数值减少最快。
如果 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么 0说明从曲面内 的流出量大于流入量，此时在 内必有产生流体的源头（源）； 0 说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在 内必有排泄流体的漏 洞（汇）。
要判断场中一点 M (x, y, z) 是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇
的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面 （定向为外侧），考察
为场中的定向曲面，称曲面积分
a dS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面的通量。
设 M 为这个场中任一点。称
P (M ) Q (M ) R (M )
x
y
z
为向量场 a 在 M 点的散度，记为 diva(M ) 。
定义 14.5.1 设
a(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
其中 vx , vy , vz 具有连续偏导数。设 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 是场中一点。如果在 M 0
点有旋涡，流体以角速度 旋转（这里 在旋涡的轴线上，且方向与

并对用户调查及访谈、用户模型建立及行为分析、可用性研究方法等具备较扎实的基础。
二、考试内容及比例
1. 工业设计历史沿革及设计理念的发展：20％
2. 工业设计的内涵：10％
3. 工业设计中人－物－环境－社会关系的协调方法：20％
4. 人机界面设计：10％
5. 设计调查的基本特点 10％
6. 用户认知行为研究 15％
基因工程
数据库、计算机组成原理及计算 机网络
数据结构、算法基础与面向对象 程序设计 先秦诸子哲学 科学技术哲学 中国近现代史 科学社会主义理论
生命科学学院 海洋科学与技术学院
生物学 海洋科学 海洋技术 海洋环境科工程（专业学位）
电子与通信工程（专业学位） 计算机技术（专业学位）
医学科学与工程基础
课程编号：50101
课程名称：力学综合
力学学科按一级学科进行复试，其中主要包括一般力学，固体力学，流体力学等三个专业的
内容。考生可以按自己的需求进行选择
一、考试的总体要求 · 一般力学： 考察学生对理论力学基本概念、基本理论和基本方法的掌握程度。要求运用力学的基本理论 和基本方法熟练进行研究对象的受力分析、静力学合成与平衡问题求解;运动分析、各运动 量的求解;动力学分析及动力学综合问题的求解。 · 固体力学： 能运用材料力学知识分析解决工程结构模型简单的强度、刚度问题。 · 流体力学： 对流体力学的基本物理现象、基本概念和基本定律有正确的理解。对具体的流体问题能正确 判断流体及运动的基本类型。 二、考试的内容： · 一般力学： 1)静力学：受力分析、物系的平衡问题。 2)运动学：点的合成运动、刚体的平面运动及运动学综合应用问题。 3)动力学：应用普遍定理求解动力学问题中的力和运动综合问题。 · 固体力学： 1)了解常用材料拉、压、扭下的基本力学性能和测试方法； 2)能熟练地作出杆件在各种变形下的内力图，计算其应力及变形，并进行强度和刚度分析。 3)能利用材料力学的基本知识计算基本组合变形问题的应力及变形，并应用第三或第四强度 理论进行校核 · 流体力学： 1） 流体的基本方程：连续性方程、运动方程、能量方程。 2） Navier-Stokes 方程组精确解：平行平板间的定常流动等。 3） 层流边界层：边界层微分方程、边界层厚度、边界层动量积分关系式。 三、试卷题型及比例 计算、理论分析题为主，有少量选择、填空题 四、 考试形式及时间 考试形式：笔试。考试时间：1.5 小时。

散度(Divergence) 散度
定义2 定义 设向量场 A( x , y , z ) ∈ C 1 ( )
则 A( x, y, z) = P( x, y, z) i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z) k
的散度定义为
3
P Q R div A = + + = A x y z
12
定理4 定理 设G ∈ R 是单连域，A(M)∈C (G), 是单连域，
3
1
则以下四个命题等价： 则以下四个命题等价： 等价
是无旋场， A 是无旋场，即 rot A = × A = O; 沿G内任意简单闭曲线 C 的环量 内任意简单闭曲线
∫ A ds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz = 0
c c
是一保守场，即在G内线积分 A是一保守场，即在 内线积分
∫
( B)
( A)
与路径无关； A ds 与路径无关；
13
是一有势场，即在G内存在 A是一有势场，即在 内存在 u ， 使 du = Pdx + Qdy + Rdz .
以下我们只对定理4的 空间的情况 空间的情况定理 以下我们只对定理 的2D空间的情况定理 4′ 作证明.它可以看作是 公式的推论. 作证明 它可以看作是 Green 公式的推论
B
P
Q
17
若如右图两曲线除 A,B 两点外还有其它交点 两点外还有其它交点, 则 外还有其它交点 可从A出发另作一条曲线 可从 出发另作一条曲线 弧ARB, 使其与弧 APB和 和 均不相交, 弧 AQB 均不相交 从而
B
P
Q R
A
于是证得了线积分只与始终点有关， 于是证得了线积分只与始终点有关，而与 与路径无关. 与路径无关

为 “源” M 0.
被吸收 M0 , 则
在点 A
S div A( M 0 ) 是流量对体积 V 的变化率,
A dS .
A
M 0 的流量密度.
量的流体流出这一点, 则称这一点
若
称这点为 “汇”. 若在每一点都有
则称 . div A 0, 为 “无源场” A
为 V 上的一个向量场.
R Q P R Q P F ( x, y, z ) i + j+ k y z z x x y 为 A 的旋度. A F 是由向量场 派生出来的一个向量
例如电力线、
注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.
§4 场论初步
场的概念
梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
梯度场
在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 是由数量函数 它
u( x , 所定义的向量函数 y, z )
( u v ) u v .
( u v ) u(v ) (u)v .
特别地有 3. 若
(u2 ) 2u(u) . r ( x , y , z ) , ( x , y , z ) , 则 d dr .
f f (u) , u u( x , y, z ) , 则 f f ( u) u . f f ( u1 , u2 ,, um ) , ui ui ( x , y , z ) , m f f ui . i 1 ui
§4 场论初步
场的概念
梯度场
散度场
旋度场

e3
顺时针为负
置换符号说明： i、j 、k取值不同值时， εijk取1 或-1（6个），其余分量（21个）为零。即：
e2 e1 逆时针为正
ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1
ε 132 = ε 213 = ε 321 = −1
置换法则：任意2个自由指标对换后差一个负号 正负取值规律：按右图中，逆时针取值为正，顺时针取值为负。
a = ax i + a y j + az k
任意一点M的矢径 矢径微分
r = xi + yj + z k
M z y o x
a
dr = dxi + dyj + dzk
dr × a = 0
r
叉积为零：
这就是向量线的微分方程(Differential Equation) 在直角坐标系(System Of Rectangular Coordinates)当中表示为
可以列表表示：
e1
′ e1
e2
e3
α 11 α12 α13 α 21 α22 α23
α 31 α 32 α 33
ei′ = α ij e j ei = α ji e ′j
e′ 2
′ e3
上述关系可简写为：
同理，老坐标的单位向量可用新坐标的单位向量表示：
根据上述单位向量的性质和关系可导出：
ei ⋅ e j = e′ ⋅ e′j i
a ⋅ bc = (a ⋅ b)c = (b ⋅ a )c = c (a ⋅ b)
ab ⋅ cd = a (b ⋅ c )d = (b ⋅ c )ad = ad (c ⋅ b) c ⋅ ab ⋅ d = (c ⋅ a )(b ⋅ d ) = (b ⋅ d )(c ⋅ a )

yz zx，
函数u在点M处最大的方向导数和它的方向。
梯度的性质：
1 grad (u v ) gradu gradv; 2 grad (u v ) ugradv vgradu; 3 gradf (u ) f (u ) gradu.
2、散度
设有一个稳定流动的流体速度场
Ax dx Ay dy Az dz
C
可以改写为以下形式：
C S
其物理意义是：向量场 A 沿闭曲线C的环量等于
展布在以C为边界的曲面S上每一点绕法线的旋 度之和。
A( P) l ds rot A( P) ndS.
Green公式,Guass公式,Stokes公式之 间的关系
S V
奥-高公式的物理意义：向量场通过闭曲面的总 流量等于闭曲面所围成的体内的每一点的散度的 总和。
奥-高公式表述了流量和散度之间的关系。流 量刻画的是向量场的整体性质，而散度刻画 的是向量场的局部性质。此二者之间存在密 切关系。
3 3 3 例2、求向量场 A( x , y , z ) x i y j z k
设 l (cos , cos , cos ) 是射线l的单位向
量，则 f f f f ( , , ) (cos , cos , cos ) l x y z gradf ( P ) l gradf ( P ) l cos gradf ( P ) cos .
结论：梯度方向是函数f(x,y,z)在点P变化率最 大的方向,即函数值增加或减少最快的方向。
等值面：曲面f(x,y,z)=C(C为常数）称为等值面。
场f(x,y,z)中过点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 有且仅有一 个等值面，等值面在 P0 的法线方程为

示作用在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为
u
w
v
图 1.1、矢量加法的平行四边形法则
W | F || u | cos

其中 F 、| u |分别表示矢量 F 、 u 的大小，θ表示矢量 F 与矢量 u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。




点积的定义： 设 u ，v 为两个任意不为零的矢量， 设| u |， | v |分别为其大小 （也称为模） 。 θ为这两个矢量之间的夹角，则 u 与 v 的点积为
张 量 分 析 及 场 论 Tensor Analysis and Field Theory
刘长根第一章 张量代数 ..................................................................................................................... 1 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij .......................................................................................... 1 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、 关系 ........................................................................ 5 1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9 1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12 1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14 1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16 1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17 1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21 习题一 ................................................................................................................................. 36 第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39 2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39 2.2 场 ................................................................................................................................... 43 2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45 2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49 2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53 2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56 2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58 2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62 2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69 习题二 ................................................................................................................................. 75 第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77 3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77 3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80 3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82