12届真题
1． 求下列各小题（2*5=10分）：
（1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-<
； （2）给出序列(1/)sin 6
n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解；
（4）给出二阶偏微分方程的基本类型；
（5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。
2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）：
（1）320Re i
zdz +?，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线；
（2
）11,==?积分路径由z=1出发的。
3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）：
（1）2
41x dx x +∞
-∞+?； （2）3||1z
z e dz z =?。 4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。
5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y
??-=-??（15分）。 6．利用分离变量法求解：（20分）
2222000
(),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====???-=-?????==????==???
7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分）
220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0.
x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞???-=>>?????=>??=>???
有界，
2005级
一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分）
1. 三维泊松方程是______________________________
2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。
3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。
4. 定解问题20
02||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞???==??， ，的解__________________________。
5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________；
其解存在的必要条件为____________。
6. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。
7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx
????=__________________。
8. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。则弦振动问题的边界条件为：
二、（10分）求解定解问题：
200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ?=<<>?==≥??=≤≤?
， ，，，，， ，
，0，
三、（10分）设,0x y -∞<<+∞>，求解定解问题：
540()0
()2xx xy yy y
u u u u x u x x ++=??=??=?，0，0
四、（10分）设()u u x y =，，用积分变换法求解下面问题：
210(1)1
()xy u y x y u y u x x =>>??=??=?
，，，，0 五、（12分）求拉普拉斯方程在半空间2x >内的格林函数；并求解定解问题：
02(2)()xx yy zz u u u x u y z y z y z ?++=>??=-∞<<∞?
，，，，， ， 六、（10分）求满足下面定解问题的解：
sin 200(0)()0
()()0tt xx t u u x x t u t u t u x u x ππ=+<<>??==??==?
， ，，，，0，0
2005级（B 卷）
二、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分）
1. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。则弦振动问题的
边界条件为：________________________________。
2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为__________________ 。
3. 三维泊松方程是______________________________。
4. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。
5. 定解问题20
02||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞???==??， ，的解__________________________。
6. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________；
其解存在的必要条件为____________。
7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx
????=__________________。
8. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。
二、（10分）求解定解问题：
200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ?=<<>?==≥??=≤≤?
， ，，，，， ，
，0，
三、（10分）设,0x y -∞<<+∞>，求解定解问题：
540,()0,
()2.xx xy yy y
u u u u x u x x ++=??=??=?，0，0
四、（10分）设()u u x y =，，用积分变换法求解下面问题：
210(1)10() 1.xy u y x y u y y u x x x =>>??=>??=>?
， ，，
，， ，
，0，
五、（12分）求拉普拉斯方程在半空间0x >内的格林函数；并求解定解问题：
00(0)()xx yy zz u u u x u y z y z y z ?++=>??=-∞<<∞
?， ，，，，， ，
六、（10分）求满足下面定解问题的解：
sin 00(0)()00
()()00.tt xx t u u x x t u t u t t u x u x x πππ=+<<>??==≥??==≤≤?
， ，，，，， ，0，0，
《数学物理方程》复习
1用分离变量法求解定解问题
（1）222222,0,0,(0,)(,)0,0,(,0)2,(,0)0.x t u u a x l t t x u t u l t t u x x lx u x ???=<<>?????==>??=-=???
（2）???????=-=>==><
2求解定解问题
（1）2222222212,01,|0.x y u u x x y x y u +=???+=-≤+
（2）222222222222222212(),,(,)|0,(,)|0.x y a x y b u u x y a x y b x y u x y u x y n +=+=???+=-<+
???=???
3（1）用积分变换法求定解问题
（1）???????==>>=???.
cos ),1(,)0,(,0,1,222y y u x x u y x y x y x u
（2）??
???===><<=-=.,sin 4|,0),1(,0),0(,0,10,002x u t u t u t x u a u t xx t π
4用特征线法求定解问题???
????+∞<<∞-=+∞<<∞-=>+∞<<∞-=??+???-??==x u x x u t x x u x t u t u t t t ,0|,,|,0,,0340022222 另外，请指出它在[-1，2]上的决定区域和影响区域。
5 ??
???Ω∈=>Ω?∈=>Ω∈=?-=Ω?.),(|,0,),
,(|),(,0,),,(02x x u t x t x t x u t x t x f u a u t t ?ψ （1）给出问题解的表达式；（2）证明问题解的唯一性。 6 （1） 判定方程0128=+-yy xy xx u u u 的类型，并把它化成标准型。
（2） 判定方程0253=+-yy xy xx u u u 的类型，并把它化成标准型。 7 （1）写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。
（2）设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx ????=__________________