中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型六 二次函数与几何图形综合题课件

回归教材重难点06 二次函数与几何的综合本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。

（2022年辽宁省朝阳市中考数学试卷第25题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y＝0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM＝BM，PM＝PB和BP＝BM，结合图象，进一步得出结果．【解答】解：（1）由题意得，，∴，∴y＝x2+2x﹣3，当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0）；（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣3，设点P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，＝；∴当m＝﹣时，PQ最大（3）如图1，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，作PD⊥y轴于D，∴CD＝PD＝PC•sin∠OCB＝＝t，当BM＝PM时，∴∠MPB＝∠OBC＝45°，∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°，∴四边形OMPD是矩形，∴OM＝PD＝t，由BM+OM＝OB得，∴2t＝3，∴t＝，∴P（﹣，﹣），∴N（﹣3，﹣），如图2，当PM＝PB时，作PD⊥y轴于D，作PE⊥x轴于E，∴BM＝2BE，可得四边形PDOE是矩形，∴OE＝PD＝t，∴BE＝3﹣t，∴t＝2（3﹣t），∴t＝2，∴P（﹣2，﹣1），∴N（﹣2，1），如图3，当PB＝MB时，3﹣＝t，∴t＝6﹣3，∴P（3，3﹣3），∴N（0，3﹣3），综上所述：N（﹣3，﹣）或（﹣2，1）或（0，3﹣3）．点评：本题考察了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形。

函数与几何综合1．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．4．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．6．如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．9．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．11．如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．12．两条抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同．（1）求抛物线C2的解析式；（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q 顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x 轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n 与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF 的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．19．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝x+n．①求抛物线的解析式．②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．25．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．27．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．28．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．29．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？30．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．31．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）32．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．参考答案与试题解析一．解答题（共32小题）1．【分析】（1）C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；（2）作点C关于C1对称轴的对称点C′（﹣1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解；（3）S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+，即可求解．【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，∵﹣＜0，故x＝，S△MOC最大值为．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．2．【分析】（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；（3）分当时、当时两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°，在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°，∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90°∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA∵∠PGA＝∠ACB＝90°∴①当时，△PAG∽△BAC，∴＝，解得x1＝1，x2＝0，（舍去）∴点P的纵坐标为×12+×1+3＝6，∴点P为（1，6）；②当时，△PAG∽△ABC，∴＝3，解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），∴此时无符合条件的点P综上所述，存在点P（1，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用等知识点，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．【分析】（1）待定系数法将已知点的坐标分别代入得方程组并解方程组即可求得抛物线的表达式；（2）先求得C1（0，1），再由待定系数法求得直线C1B解析式y＝﹣x+1，设M（t，+1），得S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，由二次函数性质即可得到结论；（3）以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形要分两种情况进行讨论：①C1C为边，②C1C为对角线．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：∴该抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1．（2）在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝0，y＝﹣1，∴C（0，﹣1）∵点C关于x轴的对称点为C1，∴C1（0，1），设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B（2，0），C1（0，1）分别代入得，解得，∴直线C1B解析式为y＝﹣x+1，设M（t，+1），则E（t，0），F（0，+1）∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝，此时，M（1，）；即点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大．（3）由题意，C（0，﹣1），C1（0，1），以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P（m，m+1），Q（m，﹣m﹣1），∴|（﹣m﹣1）﹣（m+1）|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0（舍），P1（4，3），Q1（4，5）；P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）；P3（2，2），Q3（2，0）②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为（0，0），∴PQ的中点为（0，0），设P（m，m+1），则Q（﹣m，+m﹣1）∴（m+1）+（+m﹣1）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P4（﹣2，0），Q4（2，0）；综上所述，点P和点Q的坐标为：P1（4，3），Q1（4，5）或P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）或P3（2，2），Q3（2，0）或P4（﹣2，0），Q4（2，0）．【点评】本题属于中考压轴题类型，主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的最值运用，平行四边形性质等，解题关键要正确表示线段的长度，掌握分类讨论的方法．4．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；（2）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×＝2，即可求解；（3）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；（4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BD＝BC＝×＝2，y D＝BD sin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y＝x+3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．5．【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣2，5），B（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，求出C′H的长，可得∠C′BH＝60°，求出DH的长，则D坐标可求；（3）由题意可知△C′CB为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．证出△BCQ≌△C′CP，可得BP垂直平分CC′，则D点在直线BP上，可求出直线BP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）由题意得：解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为（1，）．（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．∴∠BCP＝∠C′CQ，∴△BCP≌△C′CQ（SAS），∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴．∴∠CBP＝30°，设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×，∴点E的坐标为（0，﹣）．设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝﹣．综上所述，直线BP的函数表达式为或．【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．6．【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，c＝3，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；（3）存在点F，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由题意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．7．【分析】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；（2）由题意先求出D点坐标为（2，3），求出直线AC的解析式，设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），则EF＝﹣a2+3a，四边形CEDF的面积可表示为，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；（3）当△PCQ∽△CAP时，可得∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ＝∠OCA＝45°，则PQ∥AC，∠BCO＝∠PCA，过点P 作PM⊥AC交AC于点M，可求出PM、PA、OP的长，用待定系数法可求出函数解析式．【解答】解：（1）由题意得：，∴b＝2，c＝3，（2）①如图1，∵点C关于直线x＝1的对称点为点D，∴CD∥OA，∴3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴D（2，3），∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（﹣1，0），A（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），∴EF＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，四边形CEDF的面积＝S△EFC+S△EFD＝＝＝﹣a2+3a＝，∴当a＝时，四边形CEDF的面积有最大值，最大值为．②当△PCQ∽△CAP时，∴∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ，∴PQ∥AC，∵C（0，3），A（3，0），∴OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝∠PCQ＝45°，∴∠BCO＝∠PCA，如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，∴，设PM＝b，则CM＝3b，AM＝b，∵，∴，∴，∴，∴，∴，设直线l的解析式为y＝﹣x+n，∴，∴．∴直线l的解析式为y＝﹣x+．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．8．【分析】（1）把点A、C坐标及对称轴x＝2代入二次函数表达式，即可求解；（2）求出直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），由S△AOC＝＝6，×＝3，即可求解；（3）分△DEO∽△AOC、△BED∽△AOC两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由已知得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6；（2）联立，解得：x＝﹣，直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），S△AOC＝＝6，由题意得：×＝3，解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），∴m＝﹣2；（3）∵OA＝2，OC＝6，∴，①当△DEB∽△AOC时，则，如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，则Rt△BEG∽Rt△EDF，则，则BG＝3EF，设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，∵点E在二次函数上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），则点E（4，﹣6）；②当△BED∽△AOC时，，过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，则Rt△BEN∽Rt△EDM，则，则NB＝EM，设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2，则﹣q＝（p﹣2），解得：p＝或（舍去）；故点E坐标为（4，﹣6）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．9．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，。

专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值，最小值为的长，易知，，的最小值是.2.答案： (1)(2)(3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.，,.设点P的坐标为,则点D的坐标为，.，又，当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将，分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将，分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为，, ，或解析： (1) 将代入, 得,将，分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将，分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得，①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.。

2020年中考数学二轮专题——二次函数与几何图形综合（压轴）题型一、基础过关1. (2019宿迁)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO.求点P的坐标；(3)如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM＋DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．第1题图2. (2019贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P 的坐标及PD的最大值．第2题图二、能力提升1. (2019菏泽)如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－2)，点A 的坐标是(2，0)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝－1.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积；(3)在(2)的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图三、满分冲关1. (2019襄阳)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为x＝1的抛物线过B , C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接A C.(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P 为第一象限内抛物线上一点，当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标； (3)抛物线上是否存在一点Q (点C 除外)，使以点Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2、(2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．3、(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点分别为A (－3，0)、B (1，0)，与y 轴交于点D (0，3)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)连接AD 、CD ，若点E 为抛物线上一动点(点E 与顶点C 不重合)，当△ADE 与△ACD 面积相等时，求点E 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一动点(点P 与顶点C 不重合)，过点P 向CD 所在的直线作垂线，垂足为点Q ，以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ACH 相似时，求点P 的坐标．第1题图备用图参考答案一、基础过关1. 解：(1)把A (1，0)，C (0，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3， ∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3；(2)如解图，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′C ，作AD ⊥A ′C 于点D ， ∴点A ′的坐标为(－1，0)， 则AA ′＝2，OC ＝3，A ′C ＝10， ∵S △A ′AC ＝12AA ′·OC ＝12A ′C ·AD ，∴AD ＝AA ′·OC A ′C ＝3105，在Rt △A ′AD 中，∵A ′D 2＋AD 2＝A ′A 2， ∴A ′D 2＋(3105)2＝22.解得A ′D ＝105(负值已舍去)， ∴DC ＝4105，∴tan ∠ACA ′＝AD DC ＝34. 由对称可得∠ACD ＝2∠ACO ，则∠P AB ＝∠ACA ′， 设P (a ，a 2＋2a －3)，①如解图，当点P 在x 轴的上方时，作P 1H 1⊥x 轴于点H 1， ∴tan ∠P 1AB ＝P 1H 1AH 1＝a 2＋2a －31－a ＝34，解得a 1＝1(舍)，a 2＝－154，把a ＝－154代入得P (－154，5716)；②如解图，当点P 在x 轴的下方时，作P 2H 2⊥x 轴于点H 2， ∴tan ∠P 2AB ＝P 2H 2AH 2＝－a 2－2a ＋31－a ＝34，解得a 3＝1(舍)，a 4＝－94，把a ＝－94代入得P (－94，－3916)，综上所述，点P 的坐标为(－154，5716)或(－94，－3916)；第1题解图(3)是．设Q (m ，m 2＋2m －3)，则－3＜m ＜1. 设直线AQ 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，把A (1，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)，代入解析式解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝m ＋3b 1＝m －3， ∴y ＝(m ＋3)x －m －3， 当x ＝－1时，y ＝－2m －6， 设直线BQ 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，把B (－3，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)代入y ＝k 2x ＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝m －1b 2＝3m －3，∴y ＝(m －1)x ＋3m －3， 当x ＝－1时，y ＝2m －2， ∴DM ＝2m ＋6，DN ＝－2m ＋2， ∴DM ＋DN ＝2m ＋6－2m ＋2＝8. 2. 解：(1)∵B (－1，0)， ∴OB ＝1.又∵OA ＝OC ＝4OB ， ∴OA ＝OC ＝4， ∴A (4，0)，C (0，－4)；(2)将A 、B 、C 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝0a －b ＋c ＝0c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3c ＝－4， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x －4；(3)如解图，过点P 作PE ⊥x 轴交AC 于点E ， ∴PE ∥y 轴． ∵OA ＝OC ，∴∠PED ＝∠OCA ＝45°， ∴△DEP 为等腰直角三角形， ∴PD ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PD 取得最大值， 易得直线AC 的解析式为y ＝x －4， 设P (x ，x 2－3x －4)，则E (x ，x －4)，则PE ＝(x －4)－(x 2－3x －4)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∵0＜x ＜4，∴当x ＝2时，PE 取得最大值，最大值为4， 此时PD 取得最大值，最大值为4×22＝22，∴点P 的坐标为(2，－6)．第2题解图二、能力提升1. 解：(1)∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－4，0)．∴设抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋4)(x －2)，将点C (0，－2)代入得－8a ＝－2，解得a ＝14.∴抛物线的函数表达式为y ＝14(x ＋4)(x －2)＝14x 2＋12x －2；(2)设点P 的坐标为(x ，14x 2＋12x －2)，则点D 的坐标为(x ，0)，设BC 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ， 将B (－4，0)，C (0，－2)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝－2， ∴BC 所在直线的表达式为y ＝－12x －2.∴点E 的坐标为(x ，－12x －2)．∴PE ＝14x 2＋x .∵PE ＝14OD ，∴14x 2＋x ＝－14x ，即14x 2＋54x ＝0， 解得x ＝－5或x ＝0(舍)． ∴PE ＝54，BD ＝1，∴S △PBE ＝12PE ·BD ＝12×54×1＝58；(3)存在．①当DM ＝DB ＝1时，如解图①，过点M 作MF ⊥x 轴于点F ， 设M (m ，－12m －2)，则MF ＝－12m －2，DF ＝－m －5，∵MF 2＋DF 2＝DM 2，∴(－12m －2)2＋(－m －5)2＝1，解得m ＝－285或m ＝－4(舍去)．∴点M 的坐标为(－285，45)；第1题解图①②当BD ＝BM ＝1时，如解图②，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， ∵DE ⊥x 轴， ∴DE ∥MN ，∴BN ∶BD ＝BM ∶BE ，∴BN ∶1＝1∶BE . ∵E (－5，12)，∴DE ＝12，∴BE ＝52， ∴BN ∶1＝1∶52，解得BN ＝255. ∴点M 的横坐标为－4－255，将x ＝－4－255代入y ＝－12x －2，得y ＝55，即点M 的坐标为(－4－255，55)．综上所述，点M 的坐标为(－285，45)或(－4－255，55)．第1题解图②三、满分冲关1. 解：(1)A (－4，0)，B (6，0)，C (0，3)，抛物线的解析式为y ＝－18x 2＋14x ＋3；【解法提示】令y ＝－12x ＋3＝0，解得x ＝6，令x ＝0，得y ＝3，∴B (6，0)，C (0，3)．∵抛物线的对称轴为x ＝1，且过点B 、A ，∴抛物线与x 轴的另一交点A 坐标为(－4，0)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋4)(x －6)，将点C (0，3)代入得－24a ＝3，解得a ＝－18.∴y ＝－18(x ＋4)(x －6)＝－18x 2＋14x ＋3(2)如解图①，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点Q ，过点P 作PH ⊥BC 于点H . ∵OC ＝3，OB ＝6， ∴BC ＝OC 2＋OB 2＝3 5. 又∵∠HQP ＝∠GQB ， ∴∠HPQ ＝∠CBO ， ∴sin ∠HPQ ＝sin ∠CBO ＝55. 故点P 到直线BC 的距离最大，即PQ 最大． 设P (m ，－18m 2＋14m ＋3)，Q (m ，－12m ＋3)，∴PQ ＝－18m 2＋14m ＋3－(－12m ＋3)＝－18(m －3)2＋98.∵－18＜0，∴当m ＝3时，PQ 有最大值为98.∴P (3，218)；第1题解图①(3)存在．由(1)得A (－4，0)、B (6，0)、C (0，3)， ∴AB ＝10，AC ＝32＋42＝5. 分为两种情况分类讨论：①当△ABC ∽△AQB 时，如解图②所示． ∴AC AB ＝ABAQ，∠CAB ＝∠BAQ . ∴AQ ＝AB 2AC ＝1025＝20，过点Q 作QD ⊥x 轴，垂足为点D ， ∴QD ＝AQ ·sin ∠BAQ ＝20×35＝12，AD ＝AQ ·cos ∠BAQ ＝20×45＝16.∴Q (12，－12)．第1题解图②②当△ABC ∽△BQA 时，如解图③所示， ∴AB BQ ＝ACAB，∠CAB ＝∠ABQ . ∴BQ ＝AB 2AC＝20，过点Q 作QE ⊥x 轴，垂足为E ，同理可得QE ＝BQ ·sin ∠ABQ ＝20×35＝12，BE ＝BQ ·cos ∠ABQ ＝20×45＝16， ∴Q (－10，－12)．综上所述，点Q 的坐标是(12，－12)或(－10，－12)．第1题解图③2、解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4， 令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)．易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4，∵OA ＝OB ，∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来，∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形，∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形，∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值，设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)， 则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92， ∴当x ＝6时，PE 有最大值92， 此时PF 有最大值924， ∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52， ∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924； ②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524， 则此时PE ＝2PF ＝52， 将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中， 解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)， 当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172， ∴sin ∠P AD ＝524172＝53434； 当点P 的坐标为(10，－72)时， AP ＝102＋（－72－4）2＝252， ∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210. 综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.3、1. 解：(1)把点A 、B 、D 的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5， 解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1， 解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)， 综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， 即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同， 同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ）， 解得x ＝3＋m －n 2，即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)， 则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2， 同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25，当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52， 即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)； 当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)， 综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．第1题解图②。

中考数学 二轮专项复习：二次函数与几何综合（含答案）1.如图,已知直线y 1=21x +b 和抛物线y 2=-45x 2+ax +b 都经过点B （0,1）和点C ,过点C 作CM ⊥x轴于点M ,且CM =25.第1题图（1）求出抛物线的解析式;（2）动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OM 向点M运动,过点P 作PE ⊥x 轴分别交抛物线和直线于点E ,F .当点P 运动多少秒时,四边形EFMC 为菱形?（3）在（2）的条件下,在直线AC 上是否存在一点Q ,使得以点E 、F 、Q 为顶点的三角形与△AMC 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）把B (0,1)代入y 1=21x +b ,得b =1,∴y 1=21x +1,把y =25代入y 1=21x +1得x =3, ∴C （3,25）,把B (0,1),C （3,25）代入y 2=-45x 2+ax +b 得,⎪⎩⎪⎨⎧=++-=2534451b a b ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==4171a b , ∴y 2=-45x 2+417x +1.（2）∵四边形EFMC 为菱形, 则EF =FM =CM =25, 设P (t ,0),则EP =-45t 2+417t +1,FP =21t +1,MP =3-t ,则EF =EP -FP =-45t 2+417t +1-21t -1=-45t 2+415t , FM =10545222+-=+t t PM PF ,∴-45t 2+415t=25①,105452+-t t =25②, 解①得t =1或t =2,解②得t =1或t =3,要使①,②同时成立,则t =1, 当点P 运动1秒时,四边形EFMC 为菱形; （3）存在,点Q 的坐标为（2,2）或（6,4）. 【解法提示】由（2）可知t =1,∴点F 的横坐标为1, 将x =1代入y 1=21x +1中,得y 1=23, 将x =1代入y 2=-45x 2+417x +1中,得y 2=4. ∴点E （1,4）,F （1,23）, 将y =0代入y 1=21x +1中,得x =-2,∴点A 的坐标为（-2,0）, ①如解图,过点E 作EQ 1⊥CF ,∵四边形EFMC 为菱形,∴∠ECF =∠ACM ,FE =EC ,∴∠EFC =∠ECF =∠ACM ,又∵∠EQ 1F =∠AMC =90°,∴△EQ 1F ∽△AMC ,∵EF =EC ,EQ 1⊥CF ,∴Q 1为CF 的中点,∵F （1,23）,C （3,25）, ∴点Q 1的坐标为（2,2）;第1题解图②如解图,过点E 作EQ 2//x 轴,交直线BC 于点Q 2,∵EQ 2//x 轴,∴∠EQ 2F =∠CAM ,∠Q 2EF =∠FP A =90°,∴∠Q 2EF =∠AMC =90°,∴△EQ 2F ∽△MAC ,又∵E （1,4）,∴设Q 2（x ,4）, 将y =4代入y 1=21x +1,得x =6, ∴点Q 2的坐标为（6,4）;综上所述,点Q 的坐标为（2,2）或（6,4）.2.如图，一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)．第2题图（1）求二次函数的解析式；（2）若抛物线上存在点P ，使S △BDC ＝S △PBC ，求出P 点坐标(不与已知点重合)；（3）在x 轴上存在点N ，平面内存在点M ，使得B 、N 、C 、M 为顶点构成矩形，请直接写出M 点坐标．解：（1）将x ＝0代入y ＝21x ＋1中，得：y ＝1， ∴B (0，1)，将B (0，1)，D (1，0)的坐标代入y ＝21x 2＋bx ＋c 得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=0211c b c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=123c b ， ∴二次函数的解析式为y ＝21x 2－23x ＋1； （2）如解图①，过点D 作DF ∥y 轴交AC 于点F ，过点P 作PG ∥y 轴交AC 于点G ，第2题解图①将x ＝1代入直线BC 的解析式得：y ＝23，即F (1，23)， 设点P (x ，21x 2－23x ＋1)， 则G (x ，21x ＋1)， ∴GP ＝⎪⎭⎫⎝⎛+--+123211212x x x ＝x x 2212+-.∵△PBC 的面积＝△DBC 的面积， ∴DF ＝GP ，即x x 2212+-＝23， 当x x 2212+-＝-23时，解得x ＝2＋7或x ＝2－7，∴点P 的坐标为(2＋7，277+)或(2－7，277-)， 当x x 2212+-＝23时，解得x ＝3或x ＝1(舍去)，∴点P 的坐标为(3，1)，综上所述，点P 的坐标为(3，1)或(2＋7，277+)或(2－7，277-)； （3）点M 的坐标为(3，4)，(1，4)，(23，－2)或(29，2)． 【解法提示】如解图②所示：当∠CBN ＝90°时，则BN 的解析式为y ＝－2x ＋1，将直线BC 的解析式与抛物线的解析式联立得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=123211212x x y x y ，解得⎩⎨⎧==10y x ，或⎩⎨⎧==34y x ，∴点C 的坐标为(4，3)，将y ＝0代入直线BN 的解析式得：－2x ＋1＝0，解得x ＝21，∴点N 的坐标为(21，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNMC 为矩形，∴202421x +=+，21230y +=+， 解得x ＝29，y ＝2，∴点M 的坐标为(29，2)；第2题解图②如解图③所示：当∠CNM ＝90°时，第2题解图③设CN 的解析式为y ＝－2x ＋n ，将点C 的坐标代入得：－8＋n ＝3， 解得n ＝11，∴CN 的解析式为y ＝－2x ＋11， 将y ＝0代入得－2x ＋11＝0， 解得x ＝211， ∴点N 的坐标为(211，0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BMNC 为矩形， ∴2422110x +=+，23201y +=+，解得x ＝23，y ＝－2，∴点M 的坐标为(23，－2)； 如解图④所示：当∠BNC ＝90°时，过点C 作CF ⊥x 轴，垂足为F ，第2题解图④设ON ＝a ，则NF ＝4－a ，∵∠BNO ＋∠OBN ＝90°，∠BNO ＋∠CNF ＝90°，∴∠OBN ＝∠CNF ， 又∵∠BON ＝∠CFN ， ∴△BON ∽△NFC ， ∴NF OB CF ON =，即3a ＝a-41，解得：a ＝1或a ＝3， 当a ＝1时，点N 的坐标为(1，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNCM 为矩形， ∴21240x +=+，20231y+=+， 解得x ＝3，y ＝4， ∴点M 的坐标为(3，4)；当a ＝3时，点N 的坐标为(3，0 )，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNCM 为矩形， ∴23240x +=+，20231y+=+， 解得x ＝1，y ＝4， ∴点M 的坐标为(1，4)，综上所述，点M 的坐标为(3，4)，(1，4)，(23，－2)或(29，2)．3. 如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线y =ax 2-bx +5与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交点为C ,直线y =-x -2经过点A ,交抛物线于点D ,交y 轴于点E ,连接CD ,并且∠ADC =45°.第3题图（1）求抛物线的解析式;（2）过点A 的直线AF 与抛物线的另一个交点为F ,sin ∠BAF =55,求点F 的坐标; （3）在（2）的条件下,点P 是直线AF 下方抛物线上一点,过点P 作PQ ⊥AF ,垂足为Q ,若PE =EQ ,求点P 的坐标.解：（1）当x =0时,y =ax 2+bx-5=-5,则C （0,-5）, 当y =0时,-x -2=0,则A （-2,0）, 当x =0时,y =-x -2=0,则E （0,-2）, ∴OA =OE ,∴△OAE 为等腰直角三角形,∴∠OAE =45°, ∵∠ADC =45°, ∴CD //x 轴,∴△CDE 为等腰直角三角形, ∴CD =CE =3,∴D （3,-5）,把A （-2,0）,D （3,-5）代入y =ax 2+bx -5,得⎩⎨⎧-=-+=--55390524b a b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2321b a ,∴抛物线的解析式为y =21x 2-23x -5；（2）设直线AF 交y 轴于G ,如解图①, 在Rt △AOG 中,sin ∠OAG =5155==AG OG ,第3题解图①G设OG=t,AG=5t,∴OA=22)5(tt-=2t,∴2t=2,解得t=1,∴G（0,1）,易得直线AG的解析式为y=21x+1,联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=523211212xxyxy,解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=462yxyx或,∴点F的坐标为（6,4）;（3）作EM⊥PQ于M,如解图②,∵PQ⊥AF,∴设PQ的解析式为y=-2x+m,第3题解图②∵EM//AF,∴EM的解析式为y=21x-2,联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=mxyxy2121,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=54515252mymx,则Q （54515252+-m m ，）,设点P 的坐标为（a ,b ）,∵EQ =EP ,∴QM =PM ,∴M 点的坐标为[21(a +52m -52),21(b +5451+m )], 把M [21(a +52m -52),21(b +5451+m )]代入y =21x -2 得41(a +52m -52)-2=21(b +5451+m ), ∴b =21a -5,即P （a ,21a -5）,把P （a ,21a -5）代入y =21x 2-23x -5得21a 2-23a -5=21a -5,解得a 1=0,a 2=4, ∴P 点坐标为（0,-5）或（4,-3）.类型二 等腰三角形的存在性问题4. 如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴交x 轴于点D .第4题图（1）求抛物线的解析式； （2）求sin ∠ABC 的值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 中，得 ⎩⎨⎧－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝32c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2； （2）令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，0)，在Rt △BOC 中，BC ＝22OB OC +＝2242+＝52， ∴sin ∠ABC ＝BC OC＝522＝55；（3）存在，点P 坐标为(23，25)或(23，－25)或(23，4)．【解法提示】由抛物线y ＝－21x 2＋23x ＋2得对称轴为直线x ＝23， ∴点D 的坐标为(23，0)． ∴CD ＝22OD OC +＝22232⎪⎭⎫⎝⎛+＝25.∵点P 在对称轴x ＝23上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴当点D 为顶点时，有DP ＝CD ＝25， 此时点P 的坐标为(23，25)或(23，－25)；当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ， ∵DG ＝2， ∴PG ＝2，PD ＝4， ∴点P 的坐标为(32，4)．第4题解图综上所述，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，点P 的坐标为(32，25)或(32，－25)或(32，4)．5.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线()02≠++=a c bx ax y 与直线3333+=x y 交于A 和E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3354，两点，与x 轴交于点B （3,0），与y 轴交于点C （0，3-），对称轴与x 轴交于点D ，顶点为点H .（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一动点，且位于直线AE 下方，过点P 作PM ∥y 轴交直线AE 于点M ，求线段PM 的最大值；（3）如图②，连接CD ，将（1）中抛物线沿射线CD 平移得到新抛物线y ’，y ’经过点D ，y ’的顶点为点F ，在直线HF 上，是否存在点Q ，使△DHQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.图① 图②第5题图解：：（1）将点B （3,0）、C （0，3-）、E （4，335）的坐标代入c bx ax y ++=2中，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-==++3354163039c b a c c b a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-==333233c b a ， ∴抛物线的解析式为3332332--=x x y ； （2）令y =0，即03332332=--x x ，解得x 1=-1,x 2=3, ∴点A （-1,0），设直线AE 的解析式为t kx y +=，将点A 、E 的坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-33540t k t k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3333t k ， ∴直线AE 的解析式为3333+=x y ， 设点P 的坐标为（m ，3332332--m m ）， 则点M 的坐标为（m ，3333+m ），且-1＜m ＜4. ∴PM =（3333+m ）-（3332332--m m ） =3343332++-m m =1232523332+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m ， ∵33-＜0，1＜m ＜4. ∴当m =23时，PM 有最大值，其最大值为12325；（1）存在，由（1）易得H （1，334-），D （1,0）， ∵将（1）中抛物线沿射线CD 平移得到新抛物线y'，y'经过点D ，y'的顶点为点F ， ∴F （2，33-）， 易得直线HF 的解析式为3373-=x y ，设点Q 的坐标为（n ，3373-n ）， ∴DQ 2=()35216433731222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-n n n n ， HQ 2=()48433433731222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-n n n n ， DH 2=3163342=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，当DQ =HQ 时，DQ 2=HQ 2，则3521642+-n n =4842+-n n ， 解得35=n ，∴点Q （33235-，）； 当DQ =DH 时，DQ 2=DH 2，则3521642+-n n =316， 解得n =3或1， ∵点H 与点Q 不重合， ∴n =1（舍去），∴Q （3323，）；当HQ =DH 时，HQ 2=DH 2，则4842+-n n =316， 解得n =3321+或3321-， ∴Q （3321+，3342-）或Q （3321-，3342--）； 综上所述，存在点Q ，使得△DHQ 为等腰三角形，点Q 的坐标为（33235-，）或（3323，）或（3321+，3342-）或（3321-，3342--）. 类型三 直角三角形的存在性问题6. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .第6题图(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．解：（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=-3012c c b a a b，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n ，把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得⎩⎨⎧==+-303n n m ，解得⎩⎨⎧==31n m ， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3； （2）如解图，连接MA ，第6题解图∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2. ∴M (－1，2);（3）设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2， PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2； ②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即：4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．7. 如图,抛物线y ＝－43x 2＋bx ＋c 经过A (3,0),C (－1,0)两点,与y 轴交于B 点．第7题图备用图（1）求抛物线的解析式;（2） D 为第一象限抛物线上的一点,连接CD 交AB 于点E ,当CE ＝2ED 时,求点D 的坐标; （3）点P 以每秒3个单位长度的速度从点O 出发,沿O →B →A 匀速运动,同时点Q 以每秒1个单位长度的速度从点C 出发,沿C →A 匀速运动,运动时间为t 秒,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,是否存在t ,使以A 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形,若存在,直接写出t 的值;若不存在,说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝c bx x ++-234经过A (3,0)、C (-1,0)两点,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++⨯-034033342c b c b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==438c b ,∴抛物线的解析式为y ＝438342++-x x ; （2）如解图,作DF ∥AC 交AB 于点F ,第7题解图∴∠EAC ＝∠EFD ,∠ECA ＝∠EDF , ∴△ACE ∽△FDE , ∴FD AC ＝DE CE ＝DE 2DE ＝12, ∵AC ＝4,∴FD ＝2,设D (x ,y ),则F (x -2,y ), 令x ＝0,得y ＝4, ∴B (0,4),过点F 作FM ⊥x 轴于点M , ∴△AMF ∽△AOB , ∴AM OA ＝FM OB , ∴3－（x －2）3＝y 4＝－43x 2＋83x ＋44,解得x 1＝1,x 2＝2, ∴y 1＝163,y 2＝4, ∴D 1(1,163),D 2(2,4);（3）存在．t 1＝－1＋136,t 2＝1,t 3＝74,t 4＝114. 【解法提示】∵当P 在OB 上时,OP ＝3t ,CQ ＝t , ∴AQ ＝4-t ,要使△APQ 是直角三角形,则需①∠AQP ＝90°,此时点Q 与点O 重合,CQ ＝1,则t ＝1; ②∠APQ ＝90°,此时△PQO ∽△APO , ∴OQ OP ＝OPOA ,即(3t )2＝(1-t )·3,解得t 1＝13－16,t 2＝－13－16(负根舍去)．当点P 在AB 上,在Rt △AOB 中,OA ＝3,OB ＝4,易得AB ＝5, 则此时AP ＝9-3t ,AQ ＝4-t , ③当∠PQA ＝90°时,则PQ ⊥AO ,∴cos ∠P AQ ＝QA AP ＝OA AB ,即4－t 9－3t ＝35,解得t ＝74;④当∠QP A＝90°时,则△APQ∽△AOB,∴APAO＝AQAB,即9－3t3＝4－t5,解得t＝114.综上所述,t的值为1或13－16或74或114.8.如图，抛物线cbxaxy++=2与x轴交于点A（-3,0），B（1,0），与y轴交于点C（0,3），顶点为D.（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如图①，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图②，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②第8题图解：（1）∵A，B，C三点在抛物线上，∴,321339⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=cbaccbacba，解得∴抛物线的表达式y＝－x2－2x＋3，∵y＝－x2－2x＋3=()412++-x，∴点D的坐标为（-1,4）；（2）如解图①，作点C关于x轴的对称点M，则M(0，－3)，连接DM，DM与x轴的交点为E，连接CE，此时△CDE的周长最小，第8题解图①设直线DM 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将D (－1，4)，M (0，－3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧-==+-34b b k ，解得⎩⎨⎧-=-=37b k ， ∴直线DM 的解析式为y ＝－7x －3， 令y ＝0，则y ＝－7x －3＝0， 解得x ＝－37，∴点E 的坐标为(－37，0)． （3）存在．由（1）知，OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°， ∴∠CAB ＝45°，如解图②，第8题解图②①当∠AFP ＝90°时，即∠AF 1P 1＝90°，∴点P 1既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 1与点B 重合，点P 1的坐标为(1，0)； ②当∠F AP ＝90°时，即∠F 2AP 2＝90°，则∠P 2AO ＝45°，设AP 2与y 轴的交点为点N ，∴OA ＝ON ＝3，则N (0，－3)， ∴直线AP 2的解析式为y ＝－x －3，联立抛物线与直线AP 2的解析式，得方程组⎩⎨⎧+--=--=3232x x y x y ， 解得⎩⎨⎧=-=03y x 或⎩⎨⎧-==52y x ，∵A (－3，0)， ∴P 2(2，－5)；③当∠APF ＝90°时，即∠AP 3F 3＝90°，点P 3既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 3与点B 重合，点P 3的坐标为(1，0)．综上所述，抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，其坐标为P (1，0)或(2，－5)．类型四 特殊四边形的存在性问题9. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E . (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE 的一条直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．第9题图解：（1）∵点A (－2，0)与点B 关于直线x ＝1对称，∴B (4，0)，将点A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-40416024c c b a c b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=4121c b a ，∴抛物线的解析式为y ＝21-x 2＋x ＋4；（2）不存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17，理由如下：∵B (4，0)，C (0，4)， ∴BC 的解析式为y ＝－x ＋4，如解图，过点F 作x 轴垂线，交BC 于G ，设F 点的坐标为(m ，21-m 2＋m ＋4)，则G (m ，-m ＋4)，∴FG ＝(21-m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝21-m 2＋2m ，∴S 四边形ABFC ＝S △ABC ＋S △BCF ＝21AB ·y C ＋21FG ·(x B －x C )＝21×6×4＋12×4(21-m 2＋2m )＝17，整理得m 2－4m ＋5＝0， ∵b 2－4ac ＝16－4×1×5＝－4<0. ∴方程无解， ∴F 点不存在；第9题解图（3）当x ＝1时，21-x 2＋x ＋4＝29，即D (1，29)．当x ＝1时，－x ＋4＝3，即E (1，3)， ∴DE ＝92－3＝32.设Q 点坐标为(m ，－12m 2＋m ＋4)，则P (m ，－m ＋4)． ∴|PQ |＝|(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)|＝|－12m 2＋2m |. 由PQ ∥DE ，PQ ＝DE 得|－12m 2＋2m |＝32，∴－12m 2＋2m ＝32或－12m 2＋2m ＝－32，解得m 1＝1(PQ 与DE 重合，舍去)，m 2＝3或m 3＝2＋7，m 4＝2－7.∴P 点坐标为(3，1)或(2＋7，2－7)或(2－7，2＋7)．10．如图，经过点A （3,3）的抛物线bx ax y +=2与x 轴交于点B （4,0）和原点O ，P 为二次函数上一动点，过P 作x 轴垂线，垂足为D (x'，0)(x'>0)，并与直线OA 交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）当点P 在线段OA 上方时，过P 作x 轴的平行线与线段OA 相交于点E ，求△PCE 周长的最大值及此时P 点的坐标；（3）当PC ＝CO 时，求P 点坐标．第10题图解：（1）∵A （3,3），B （4,0）两点在抛物线bx ax y +=2上，∴,4160393⎩⎨⎧+=+=b a b a 解得,41⎩⎨⎧=-=b a ∴抛物线的表达式为x x y 42+-=；（2）如解图①，设点P 的坐标为(x ，－x 2＋4x )，第10题解图①∵点A 坐标为(3，3)；∴∠AOB ＝45°，∴OD ＝CD ＝x ，∴PC ＝PD －CD ＝－x 2＋4x －x ＝－x 2＋3x ，∵PE ∥x 轴，∴△PCE是等腰直角三角形，∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．∵PE与线段OA相交，∴0≤x≤1，由PC＝－x2＋3x＝－(x－32)2＋94可知，抛物线的对称轴为直线x＝32，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，∴PE＝2，CE＝，∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋，∴△PCE周长的最大值为4＋，把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，∴点P的坐标为(1，3)；（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，D2第10题解图②①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC12x，∵P1C1＝OC1，∴－x2＋3x2x，解得x1＝32x2＝0(舍去)．把x＝32代入y＝－x2＋4x得，y＝－(32)2＋4(32)＝1＋2，∴P1(32，1＋2)，②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC22x，∵P2C2＝OC2，∴x2－3x2x，解得x1＝32x2＝0(舍去)，把x ＝3＋2代入y ＝－x 2＋4x 得y ＝－(3＋2)2＋4(3＋2)＝1－22，∴P 2(3＋2，1－22)．综上所述，P 点坐标为(3－2，1＋22)或(3＋2，1－22)．11.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A (－1，0)、C (0，5)、D (1，8)在抛物线上，M 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△MCB 的面积；（3）在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第11题图解：（1）∵A (－1，0)，C (0，5)，D (1，8)三点在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，∴⎪⎩⎪⎨⎧++==+-=c b a c c b a 850，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=541c b a ， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；（2）如解图，过点M 作MN ∥y 轴交BC 于点N ， ∴S △MCB ＝S △MCN ＋S △MNB ＝12MN ·OB .∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－5)(x＋1)＝－(x－2)2＋9，∴M(2，9)，B(5，0)，由B，C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y＝－x＋5，当x＝2时，y＝－2＋5＝3，则N(2，3)，则MN＝9－3＝6，则S△MCB＝12×6×5＝15；第11题解图（3）在抛物线上存在点P，使△P AB的面积等于△MCB的面积．∵A(－1，0)，B(5，0)，∴AB＝6，∵S△P AB＝S△MCB，∴12×6×|y P|＝15，∴|y P|＝5，即y P＝±5.当y P＝5时，－x2＋4x＋5＝5，解得x1＝0，x2＝4；当y P＝－5时，－x2＋4x＋5＝－5，解得x3＝2＋14，x4＝2－14.故在抛物线上存在点P1(0，5)，P2(4，5)，P3(2＋14，－5)，P4(2－14，－5)，使△P AB的面积等于△MCB的面积．。

专题辅导——二次函数综合题【题型解读】二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等.类型一线段问题方法总结1. 确定线段长两点之间的距离可以根据两点坐标表示线段长度，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），则AB=.在求这类问题时首先应该明白与x 轴平行的直线上的点的纵坐标都相同，且两点间的距离是横坐标相减的绝对值；与y轴平行的直线上的点的横坐标都相同，且两点间的距离是纵坐标相减的绝对值.2. 线段数量关系问题根据前面所得的线段长，结合题干中线段间的数量关系，利用勾股定理或相似三角形对应边成比例，列出方程求解即可.（注意排除不符合题意的数值）3. 求线段最大值问题根据前面所得的线段长的关系式，构建二次函数模型，利用二次函数性质求最值，可得到线段长的最大值（注意自变量的取值范围）；求两条线段和的最小值时，常用“将军饮马”模型.考点例析例1如图1，抛物线y=x2+2x-8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x=m（-4<m<0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD.当OD⊥AC时，求线段DE的长.图1 图2解析：（1）令y=0，得x2+2x-8=0，解得x1=-4，x2=2.所以点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（2，0）.令x=0，得y=x2+2x-8=-8.所以点C的坐标为（0，-8）.（2）设直线AC的解析式为y=kx+b.将A（-4，0），C（0，-8）代入y=kx+b，得408k bb-+=⎧⎨=-⎩，，解得28kb=-⎧⎨=-⎩，.所以直线AC的解析式为y=-2x-8.设E（m，m2+2m-8），则D（m，-2m-8），所以DE=-2m-8-（m2+2m-8）=-m2-4m.如图2，设DE交x轴于点F，则F（m，0），所以FO=-m.所以AF=m-（-4）=m+4，FD=2m+8.因为OD⊥AC，EF⊥OA，所以⊥ODC=⊥COA=⊥OFD=90°.所以⊥ACO+⊥COD=⊥DOF+⊥COD=90°.所以⊥ACO=⊥DOF.所以⊥ACO⊥⊥DOF.所以OAFD=OCFO.所以OC•FD=OA•FO，即8（2m+8）=4（-m），解得m=-165.所以DE=-m2-4m=-2165⎛⎫- ⎪⎝⎭-4×165⎛⎫-⎪⎝⎭=6425.跟踪训练1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值.第1题图类型二角度问题方法总结如果要证明两角相等，可通过平行线、等边对等角、轴对称或相似三角形求解；如果要构造一个45°的角，可通过等腰直角三角形、同弧所对圆周角等于90°圆心角的一半、平分直角等解决；在二倍角的问题中，可利用等腰三角形顶角的外角等于底角2倍，构造2倍角，再利用正切三角函数计算.考点例析例2如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，-4）.（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上且满足⊥PCB=⊥CBD，求点P的坐标.图3 图4解析：（1）由顶点D的坐标为（1，-4），设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4.将A（-1，0）代入y=a（x-1）2-4，得a（-1-1）2-4=0，解得a=1.所以该抛物线的解析式为y=（x-1）2-4=x2-2x-3.（2）因为抛物线对称轴为x=1，A（-1，0），所以点B的坐标为（3，0）.设直线BD的解析式为y=kx+d.将B（3，0），D（1，-4）代入y=kx+d，得304k dk d+=⎧⎨+=-⎩，，解得26kd=⎧⎨=-⎩，.所以直线BD的解析式为y=2x-6.如图4，过点C作CP1⊥BD，交抛物线于点P1.由y=x2-2x-3，得C（0，-3）.所以直线CP1的解析式为y=2x-3.联立22323y x xy x⎧=--⎨=-⎩，，解得113xy=⎧⎨=-⎩，；2245xy=⎧⎨=⎩，.所以P1（4，5）.如图4，过点B作y轴的平行线与过点C作x轴的平行线交于点G.因为OB=OC，⊥BOC=⊥OBG=⊥OCG=90°，所以四边形OBGC是正方形.所以OC=GC=BG=3，⊥COE=⊥G =90°，⊥OCB=⊥GCB=45°.设CP1与x轴交于点E.令2x-3=0，解得x=32.所以E32⎛⎫⎪⎝⎭，.在x轴下方作⊥BCF=⊥BCE，交BG于点F，交抛物线于点P2.所以⊥OCB-⊥BCE=⊥GCB-⊥BCF，即⊥OCE=⊥GCF.所以⊥OCE⊥⊥GCF.所以EO=FG=32.所以BF=BG-FG=3-32=32.所以F332⎛⎫-⎪⎝⎭，.设直线CF的解析式为y=e x+f.将C（0，-3），F332⎛⎫-⎪⎝⎭，代入y=ex+f，得3332fe f=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，，解得123ef⎧=⎪⎨⎪=-⎩，.所以直线CF的解析式为y=12x-3.联立223132y x xy x⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，，解得113xy=⎧⎨=-⎩，；225274xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，.所以P25724⎛⎫-⎪⎝⎭，.综上所述，点P的坐标为（4，5）或5724⎛⎫-⎪⎝⎭，.跟踪训练2.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A，D（4，3）两点，与y轴交于点E.（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若Q是y轴上的点，且⊥ADQ=45°，求点Q的坐标.第2题图类型三面积问题方法总结在平面直角坐标系内，如果三角形的一边与坐标轴平行或重合，就把这边作三角形的底边，直接用面积公式计算；如果三角形的三边都不与坐标轴平行或重合，可用“铅垂高”法.如图，过⊥ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫⊥ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在⊥ABC内部线段的长度叫⊥ABC的“铅垂高”（h），则S⊥ABC=12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.求图形面积之最时，常利用二次函数的最值性质解决.考点例析例3如图5，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=13x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为M.（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；（2）E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当⊥EAB的面积等于252时，求点E的坐标.图5 图6解析：（1）令y =-12x +3=0，解得x =6.所以A （6，0）. 因为抛物线y =13x 2+bx +c 经过坐标原点，所以c =0. 将A （6，0）代入y =13x 2+bx ，得13×62+6b =0，解得b =-2.所以抛物线的解析式为y =13x 2-2x .由y =13x 2-2x =13（x -3）2-3，得点M 的坐标为（3，-3）.（2）如图6，过点E 作EH ∥y 轴交AB 于点H .设点E 的坐标为2123x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则点H 的坐标为132x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，所以S ⊥E A B =12OA •EH =12×62113223x x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=252，解得x 1=1，x 2=72.所以点E 的坐标为513⎛⎫- ⎪⎝⎭，或735212⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 跟踪训练3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C .（1）b = ，c = ；（2）若点D 在该二次函数的图象上，且S ⊥ABD =2S ⊥ABC ，求点D 的坐标；（3）若P 是该二次函数图象上位于x 轴上方的一点，且S ⊥APC =S ⊥APB ，直接写出点P 的坐标.第3题图类型四 相似三角形存在性问题方法总结当两个三角形相似时，求动点的坐标是常见的题型，此时两个三角形的对应关系并不确定，通常分为两种情况讨论，根据相似三角形对应边成比例求线段长，从而求得动点的坐标.考点例析例4 如图7，抛物线y =ax 2-2x +c （a ≠0）与x 轴交于A ，B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，-3），抛物线的顶点为D .（1）求抛物线的解析式；（2）已知M 是x 轴上的动点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以A ，M ，G 为顶点的三角形与⊥BCD 相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.图7解析：（1）将B （3，0），C （0，-3）代入y =ax 2-2x +c ，得9603a c c -+=⎧⎨=-⎩，，解得13a c =⎧⎨=-⎩，.所以抛物线的解析式为y =x 2-2x -3.（2）当y =0时，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3.所以A （-1，0）. 由y =x 2-2x -3=（x -1）2-4，得抛物线顶点D 的坐标为（1，-4）.由C （0，-3），B （3，0），D （1，-4），得BD 2=22+42=20，CD 2=12+12=2，BC 2=32+32=18，所以BD 2=CD 2+BC 2.所以⊥BCD 是直角三角形，且⊥BCD =90°.设点M 的坐标为（m ，0），则点G 的坐标为（m ，m 2-2m -3）.由题意，得⊥AMG =⊥BCD =90°，所以要使以A ，M ，G 为顶点的三角形与⊥BCD 相似，需要满足条件AMMG=BC CD 或AM MG =CDBC. ⊥当m <-1时，2123m m m ----或2123m m m ----，解得m 1=83，m 2=-1或m 1=0，m 2=-1.都舍去； ⊥当-1<m ≤3时，()()2123m m m -----或()()2123m m m -----，解得m 1=83，m 2=-1（舍去）或m 1=0，m 2=-1（舍去）.所以M 803⎛⎫⎪⎝⎭，或（0，0）. ⊥当m >3时，()2123m m m ----或()2123m m m ----，解得m 1=103，m 2=-1（舍去）或m 1=6，m 2=-1（舍去）.所以M 1003⎛⎫⎪⎝⎭，或（6，0）.综上所述，存在点M，点M的坐标为83⎛⎫⎪⎝⎭，或（0，0）或103⎛⎫⎪⎝⎭，或（6，0）.跟踪训练4.如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为D.（1）求抛物线的解析式；（2）P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以P，Q，E为顶点的三角形与⊥BOC 相似，求出点P的坐标.第4题图类型五平行四边形存在性问题方法总结已知平行四边形的三个顶点，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质可以确定第四个顶点；已知平行四边形的两个顶点，通过平移或者过中点作直线可以确定另外两个顶点.矩形的存在性问题应转化为直角三角形的存在性问题来解决.菱形的存在性问题应转化为等腰三角形的存在性问题来解决.正方形的存在性问题应转化为等腰直角三角形的存在性问题来解决.例5 如图8，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，5）.（1）求该抛物线的解析式；（2）若M是抛物线上一点，N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.① ② ③图8 图9解析：（1）将A （-1，0），C （0，5）代入y =-x 2+bx +c ，得105b c c --+=⎧⎨=⎩，，解得45b c =⎧⎨=⎩，.所以抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5.（2）由y =-x 2+4x +5=-（x -2）2+9，得对称轴为x =2，所以B （5，0）. 设M （s ，-s 2+4s +5），N （2，t ）.（ⅰ）如图9-①，以MN ，BC 为对角线，则MN 与BC 的中点重合，所以225022450522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，，解得33s t =⎧⎨=-⎩，.所以M （3，8）.（ⅱ）如图9-②，以MB ，NC 为对角线，则MB 与NC 的中点重合，所以252022450522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，，解得321s t =-⎧⎨=-⎩，.所以M （-3，-16）.（ⅲ）如图9-③，以MC ，NB 为对角线，则MC 与NB 的中点重合，所以202522455022s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，，解得711s t =⎧⎨=-⎩，.所以M （7，-16）.综上所述，存在点M ，点M 的坐标为（3，8）或（-3，-16）或（7，-16）.跟踪训练5.如图，一次函数y的图象与坐标轴交于点A ，B ，二次函数y2+bx +c 的图象过A ，B 两点.（1）求二次函数的解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第5题图类型六特殊三角形存在性问题方法总结探究等腰三角形存在性问题，常用“两圆一线”法，即分别以定长线段的两端点为圆心，以定长为半径画两个圆，再作定长线段的垂直平分线，则圆上各点及垂直平分线上各点都是符合题意的等腰三角形的第三个顶点（三个顶点在同一直线上的除外）；探究直角三角形存在性问题，常用“一圆两线”法，即以定长线段为直径画圆，再分别过定长线段的两端点作这条线段的垂线，则圆上各点及垂线上各点都是符合题意的直角三角形的第三个顶点（三个顶点在同一直线上的除外）.考点例析例6如图10，抛物线y=ax2+bx+3过点A（-1，0），点B（3，0），顶点为C.（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若⊥DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标.图10 图11解析：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得309330a ba b-+=⎧⎨++=⎩，，解得12.ab=-⎧⎨=⎩，所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.由y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，得点C的坐标为（1，4）.（2）如图11，设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E.因为A（-1，0），C（1，4），所以OA=1，OE=1，CE=4.所以OA=OE，AC因为OF ⊥AB ，CE ⊥AB ，所以OF ⊥CE .所以OF =12CE =2，F 为AC 的中点. 因为⊥DAC 是以AC 为底的等腰三角形，所以DF ⊥AC . 因为FO ⊥AD ，所以⊥AFO ⊥⊥FDO .所以OA OF =OF OD ，即12=2OD，解得OD =4.所以D （4，0）. 设直线CD 的解析式为y =kx +m .将C （1，4），D （4，0）代入y =kx +m ，得440k m k m +=⎧⎨+=⎩，，解得4316.3k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线CD 的解析式为y =-43x+163.联立24163323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，，解得1114x y =⎧⎨=⎩，；2273209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，.所以P 72039⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 跟踪训练6.如图，直线y =x +2与抛物线y =ax 2+bx +6（a ≠0）相交于点A 1522⎛⎫⎪⎝⎭，和点B （4，m ）.点F 在线段AB 上运动（不与点A ，B 重合），过点F 作直线FC ⊥x 轴于点P ，交抛物线于点C . （1）求抛物线的解析式；（2）连接AC ，是否存在点F ，使⊥F AC 是直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由.第6题图参考答案1. 解：（1）将A （-1，0），B （4，0）代入y =ax 2+bx +4，得4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解得13.a b =-⎧⎨=⎩，所以抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4.（2）当x =0时，y =-x 2+3x +4=4，所以C （0，4）. 设直线BC 的解析式为y =kx +c .将B（4，0），C（0，4）代入y=kx+c，得404k cc+=⎧⎨=⎩，，解得14kc=-⎧⎨=⎩，.所以直线BC的解析式为y=-x+4.（3）由A（-1，0），B（4，0），得抛物线的对称轴为x=3 2 .如图，连接BC交对称轴于点P，连接P A，此时P A+PC的值最小，最小值为线段BC的长，BC此时点P的坐标为35 22⎛⎫ ⎪⎝⎭，.第1题图2. 解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（6，0），设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6）.将D（4，3）代入y=a（x+2）（x-6），得a（4+2）×（4-6）=3，解得a=-14.所以抛物线的解析式为y=-14（x+2）（x-6）=-14x2+x+3.设直线l的解析式为y=kx+m.将A（-2，0），D（4，3）代入y=kx+m，得2043k mk m-+=⎧⎨+=⎩，，解得121.km⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l的解析式为y=12x+1.（2）如图，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则⊥ADQ=45°.由D（4，3），T（-5，6），得直线DT的解析式为y=-13x+133.所以Q133⎛⎫⎪⎝⎭，.作点T关于AD的对称点T′（1，-6），则直线DT′的解析式为y=3x-9.设连接DT′交y轴于点Q′，则⊥ADQ′=45°.所以Q′（0，-9）.综上所述，点Q的坐标为133⎛⎫⎪⎝⎭，或（0，-9）.第2题图3. 解：（1）-2-3解析：将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，得10930b cb c-+=⎧⎨++=⎩，，解得23.bc=-⎧⎨=-⎩，（2）如图①，连接BC.由（1），得二次函数的解析式为y=x2-2x-3.令x=0，则y=x2-2x-3=-3，所以C（0，-3）.所以S⊥ABC=12AB•OC=12×（3+1）×3=6.设D（m，m2-2m-3）.因为S⊥ABD=2S⊥ABC，所以12AB•|y D|=2×6，即12×4×|m2-2m-3|=12，解得m1m2=1所以点D的坐标为()1或().（3）点P的坐标为（4，5）.解析：设P（n，n2-2n-3）.因为点P在抛物线位于x轴上方的部分，所以n<-1或n>3.当点P在点A左侧时，即n<-1，可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，所以S⊥APC<S⊥APB，此情况不成立；当点P在点B右侧时，即n>3，因为⊥APC和⊥APB都以AP为底，若要面积相等，则点B和点C到AP 的距离相等，即BC⊥AP，如图②.设直线BC的解析式为y=kx+p.将B（3，0），C（0，-3）代入y=kx+p，得303k pp+=⎧⎨=-⎩，，解得13kp=⎧⎨=-⎩，.则设直线AP的解析式为y=x+q.将A（-1，0）代入y=x+q，得-1+q=0，解得q=1.所以直线AP的解析式为y=x+1.将P（n，n2-2n-3）代入y=x+1，得n2-2n-3=n+1，解得n1=4，n2=-1（舍去）.所以点P的坐标为（4，5）.①②第3题图4. 解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代入y=ax2+bx+3，得309330a ba b++=⎧⎨-+=⎩，，解得12ab.=-⎧⎨=-⎩，所以抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.（2）令x=0，则y=3，所以C（0，3）.所以OC=OB=3.所以⊥BOC是等腰直角三角形.由抛物线的解析式y=-x2-2x+3，得抛物线对称轴为x=-1.因为以P，Q，E为顶点的三角形与⊥BOC相似，所以⊥PQE是等腰直角三角形.由B（-3，0），C（0，3），得直线BC的解析式为y=x+3.当x=-1时，y=-1+3=2，所以E（-1，2）.设点P的坐标为（m，-m2-2m+3）（m<-1）.（ⅰ）如图①，当P为直角顶点时，过点P作PH⊥ED，垂足为H，则⊥PHE=90°，⊥PEH=45°，PH=HE，即-1-m＝-m2-2m+3-2，解得m1=-2，m2=1（舍去）.所以点P的坐标为（-2，3）.（ⅱ）如图②，当Q为直角顶点时，PQ=EQ，即-1-m=-m2-2m+3-2，解得m1=-2，m2=1（舍去）.所以点P 的坐标为（-2，3）.（ⅲ）如图③，当E为直角顶点时，PE=EQ，PE∥x轴，则点P，E纵坐标相等，所以-m2-2m+3=2，解得m1=-1，m2=-（舍去）.所以点P的坐标为()1-.综上所述，点P的坐标为（-2，3）或()12-.①②③第4题图5. 解：（1）在y=3xx=0，得y=.令y=0，得x=3.所以A（3，0），B(0，.将A （3，0），B (0-，代入y=3x 2+bx +c，得30b c c ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以二次函数的解析式为y2x.（2）由y=2xx -1）2，得抛物线对称轴为x =1.所以C (2-，. 设P （1，m ），Q 2n ⎛⎝. （ⅰ）如图①，以BC ，PQ 为对角线，BC 与PQ 的中点重合，所以202122332nm ++⎧=⎪⎪=，解得1m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩.所以P 1⎛ ⎝⎭，，Q 1⎛ ⎝⎭，.此时四边形BQCP 是平行四边形. 由P 13⎛-⎝⎭，，B (0，C (2，得PB 2=PC 2=43，所以PB =PC .所以BQCP 是菱形.所以Q 1⎛ ⎝⎭. （ⅱ）如图②，以BP ，CQ 为对角线，BP 与CQ 的中点重合，所以201222332n++⎧=⎪⎪=，解得01m n =⎧⎨=-⎩，.所以P （1，0），Q （-1，0）.此时四边形BCPQ 是平行四边形.由P （1，0），B (0，C (2，，得BC 2=PC 2=4，所以BC =PC .所以BCPQ 是菱形.所以Q （-1，0）.（ⅲ）如图⊥，以BQ ，CP 为对角线，BQ 与CP 的中点重合，由（ⅱ）对称，得P （1，0），Q （3，0）.综上所述，存在点Q ，点Q的坐标为1⎛ ⎝⎭，或（-1，0）或（3，0）.① ② ③第5题图6. 解：（1）将B （4，m ）代入y =x +2，得m =4+2=6，所以B （4，6）.将A 1522⎛⎫⎪⎝⎭，，B （4，6）代入y =ax 2+bx +6，得1156********a b a b ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，，解得28.a b =⎧⎨=-⎩，所以抛物线的解析式为y =2x 2-8x +6.（2）设F （n ，n +2）.如图，直线AB 与x 轴交于点M ，则M （-2，0）；直线AB 与y 轴交于点N ，则N （0，2）.所以OM =ON =2.所以⊥ONM =45°.因为FC ⊥y 轴，所以C （n ，2n 2-8n +6），⊥AFC =⊥ONM =45°.（ⅰ）若A 为直角顶点，即⊥F AC =90°，过点A 作AD ⊥FC 于点D ，如图①. 在Rt⊥F AC 中，⊥AFC =45°，所以AF =AC .所以DF =DC .所以AD =12FC ，即n -12=12()22286n n n ⎡⎤+--+⎣⎦，解得n 1=3，n 2=12（舍去）.所以F （3，5）. （ⅱ）若C 为直角顶点，即⊥FCA =90°，则AC ⊥x 轴，如图②. 在Rt⊥F AC 中，⊥AFC =45°，所以AC =CF ，即n -12=（n +2）-（2n 2-8n +6），解得n 1=72，n 2=12（舍去）.所以F 71122⎛⎫⎪⎝⎭，.综上所述，存在点F ，点F 的坐标为（3，5）或71122⎛⎫ ⎪⎝⎭，.① ②第6题图。

2020中考数学 二轮突破 二次函数与几何综合（含答案）二次函数与三角形判定1. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于C (0，－3)，顶点为D .(1)求抛物线表达式；(2)点N 为抛物线对称轴上一动点，若以B 、N 、C 为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N 的坐标．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过A (－1，0)、C (0，－3)，∴⎩⎨⎧-==+-301c c b ，解得⎩⎨⎧-=-=32c b ， ∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)由(1)知抛物线对称轴为x ＝－b 2a ＝1，则设N (1，n )，易知B (3，0)，则BN ＝4＋n 2，NC ＝()231n --+，BC ＝32， 如解图，连接NC 、NB ，①若∠BNC ＝90°，则BC 2＝BN 2＋NC 2，即18＝4＋n 2＋1＋9＋6n ＋n 2，∴n 2＋3n －2＝0，∴解得n ＝－3±172， ∴N (1，2173+-)或N (1，2173--)； ②若∠NBC ＝90°，则NC 2＝BN 2＋BC 2，即1＋9＋6n ＋n 2＝4＋n 2＋18， 第1题解图∴n ＝2，∴N (1，2)；③若∠NCB ＝90°，则BN 2＝NC 2＋BC 2，即4＋n 2＝1＋9＋6n ＋n 2＋18，∴n ＝－4，∴N (1，－4)．综上，当N (1，2173+-)或N (1，2173--)或N (1，2)或N (1，－4)时，以B 、N 、C 为顶点的三角形为直角三角形．2. 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m －1过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，顶点为D ，我们称由抛物线的顶点和与x 轴的两个交点组成的三角形为该抛物线的“顶点三角形”．(1)求m 的值；(2)判断该“顶点△ADO ”的形状，并说明理由；(3)将此抛物线平移后，经过点C (1，0)，且“顶点三角形”为等边三角形，求平移后的抛物线表达式．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m －1经过坐标原点，∴把(0，0)代入表达式得m －1＝0，∴m ＝1；(2)该“顶点△ADO ”为等腰直角三角形．理由如下：如解图①，∵m ＝1，∴抛物线表达式为y ＝－x 2＋2x ，变形为y ＝－(x －1)2＋1，∴点D 坐标为(1，1)，∴OD ＝ 2.把y ＝0代入表达式得，x 1＝0，x 2＝2，∴A 点坐标为(2，0)，∴AD ＝2，OA ＝2，∴OD ＝AD ，OA 2＝OD 2＋AD 2，∴∠ADO ＝90°，∴△ADO 为等腰直角三角形；图① 图②第2题解图(3)如解图②，设所求抛物线表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，∵抛物线经过点C (1，0)，∴b ＋c ＝1①，设点D ′为平移后抛物线顶点，∴D ′(b 2，4c ＋b 24)，∵tan ∠D ′CE ＝tan60°＝4c ＋b 24b 2－1＝3②，①②两式联立，解得b ＝23＋2，c ＝－23－1，(b ＝2，c ＝－1舍去) ∴平移后抛物线的表达式为y ＝－x 2＋(23＋2)x －1－2 3.3. 已知抛物线y ＝－x 2＋2x －3.(1)说明抛物线与x 轴的交点情况以及抛物线在坐标系中经过的象限；(2)将抛物线y＝－x2＋2x－3平移，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点，且点B的坐标为(2，0)，顶点为点M.若△ABM恰好是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的表达式．解：(1)∵b2－4ac＝4－12＝－8<0，∴抛物线与x轴没有交点；∵a＝－1<0，∴抛物线开口向下，∴抛物线过第三、四象限；(2)∵抛物线是轴对称图形，∴MA＝MB，若△ABM恰好是直角三角形，则MA⊥MB，设M(a，b)，则平移后抛物线的表达式为y＝－(x－a)2＋b，如解图，①当点A1在点B左侧时，过点M1作M1C1⊥x轴于点C1，则BC1＝M1C1＝2－a＝b，第3题解图∴y＝－(x－a)2＋2－a，把(2，0)代入y＝－(x－a)2＋2－a，得0＝－(2－a)2＋2－a，即a2－3a＋2＝0，解得a1＝1，a2＝2(不符合题意，舍去)，∴平移后抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1；②当点A2在点B右侧时，过点M2作M2C2⊥x轴于点C2，则BC2＝M2C2＝a－2＝b，∴y＝－(x－a)2＋a－2，把(2，0)代入y＝－(x－a)2＋a－2，得0＝－(2－a)2＋a－2，即a2－5a＋6＝0，解得a1＝3，a2＝2(不符合题意，舍去)，∴平移后抛物线的表达式为y＝－(x－3)2＋1.综上所述，平移后抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1或y＝－(x－3)2＋1.二次函数与三角形相似1.在平面直角坐标系中，直线y＝－3x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线C交x轴于另一点M(－3，0)．(1)求抛物线C的表达式；(2)求抛物线C关于y轴的对称图形C′的顶点D的坐标；(3)若点A′是点A关于原点的对称点，则在x轴上是否存在点P，使得△P AD与△A′BO相似，若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．【思维教练】(1)要求抛物线C的表达式，根据题意过A、B、M三点可考虑运用待定系数法求得，又根据已知A、B分别为y＝－3x＋3与x轴、y轴的交点，可考虑运用“分别令0法”求得A、B坐标，从而求得抛物线表达式；(2)要求C′的顶点D的坐标，可考虑先求出C′的函数表达式，根据已知C′与C关于y轴对称，可运用数形结合思想得到对称以后C′图象上各点与C图象上对应各点相比，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解；(3)要求使得△P AD∽△A′BO的点P坐标，可考虑当△P AD与△A′BO相似时，对应边成比例，根据比例关系式，求出AP的长，根据题意对应边不确定，则需要分情况讨论．解：(1)设抛物线C的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵直线y＝－3x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，令y＝0，得x＝1，令x＝0，得y＝3，∴A 点坐标为(1，0)，B 点坐标为(0，3)．又∵抛物线经过A 、B 、M 三点，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++03930c b a c c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)抛物线C 关于y 轴的对称图形C ′的表达式为y ＝－(－x )2－2×(－x )＋3＝－x 2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4.∴该抛物线C ′的顶点D 的坐标为(1，4)；(3)点A ′的坐标为(－1，0)，第1题解图若△P AD 与△A ′BO 相似，①如解图，当DA AP ＝BO OA ′＝3时，AP ＝43，P 点坐标为(－13，0)或(73，0)；②如解图，当AP DA ＝BO OA ′＝3时，AP ＝12，P 点坐标为(－11，0)或(13，0)；∴当△P AD 与△A ′BO 相似时，P 点坐标为(－13，0)或(73，0)或(－11，0)或(13，0)．2. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)、B (0，2)、C (1，0)．(1)求抛物线表达式；(2)求抛物线顶点坐标；(3)在线段AB 上是否存在点Q ，使得△ACQ 与△AOB 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵抛物线过点A (3，0)、C (1，0)，则可设抛物线表达式为y ＝a (x －3)(x －1)，将点B (0，2)代入可得a (0－3)(0－1)＝2，解得a ＝23，∴抛物线表达式为y ＝23(x －3)(x －1)＝23x 2－83x ＋2；(2)∵y ＝23x 2－83x ＋2＝23(x －2)2－23，∴抛物线的顶点为(2，23)；(3)存在．①如解图，过点C 作x 轴的垂线交AB 于点Q 1，第2题解图此时∠Q 1CA ＝∠BOA ＝90°，∠Q 1AC ＝∠BAO ，∴△ACQ 1∽△AOB ，∵C (1，0)，∴对于直线y ＝－23x ＋2，当x ＝1时，y ＝43，∴Q 1(1，43)；②如解图，过点C 作CQ 2⊥AB 于点Q 2，此时∠CQ 2A ＝∠BOA ＝90°，∠Q 2AC ＝∠OAB ，∴△ACQ 2∽△ABO ，过Q 2作Q 2M ⊥AC 于点M ，则△CMQ 2∽△Q 2MA,∴CM Q 2M ＝Q 2M AM ，即Q 2M 2＝CM ·AM ， 设点Q 2(x ，－23x ＋2)，则CM ＝x －1，AM ＝3－x ，Q 2M ＝－23x ＋2，∴(－23x ＋2)2＝(x －1)(3－x )，解得x 1＝3(与A 点重合，舍去)，x 2＝2113，∴Q 2(2113，1213)，综上所述，存在点Q 1(1，43)、Q 2(2113，1213)使△ACQ 与△AOB 相似．二次函数与四边形判定1. 已知抛物线L ：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点M (2，－3)，与y 轴交于点C (0，－3)．(1)求抛物线L 的表达式；(2)试判断抛物线L 与x 轴交点的情况；(3)平移该抛物线，设平移后的抛物线为L ′，抛物线L ′的顶点记为P ，它的对称轴与x 轴交于点Q ，已知点N (2，－8)，怎样平移才能使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？解：(1)抛物线L ：y ＝x 2＋bx ＋c 经过C (0，－3)，M (2，－3)两点，代入得 ⎩⎨⎧-=++-=3243c b c ，解得⎩⎨⎧-=-=32c b ， ∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)令x 2－2x －3＝0，则b 2－4ac ＝(－2)2－4×(－3)＝16>0，∴抛物线L 与x 轴有两个不同的交点；(3)由题意得，M (2，－3)，N (2，－8)，∴MN ∥y 轴，MN ＝5.∵PQ ∥MN ∥y 轴，∴当PQ ＝MN ＝5时，四边形MNPQ 为平行四边形．∴设点Q (m ，0)，则点P 的坐标为(m ，－5)，如解图，要使以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形，只需PN ＝MN ＝5，∴（m －2）2＋(－5+8)2＝52，解得m 1＝6，m 2＝－2.∴点P (6，－5)或(－2，－5)．∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， 第1题解图∴抛物线L 的顶点坐标为(1，－4)，∴① 当P (6，－5)时，6－1＝5，－5－(－4)＝－1.∴将原抛物线先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L ′；② 当P (－2，－5)时，－2－1＝－3，－5－(－4)＝ －1.∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L ′.2. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)与x 轴交于点A (－3，0)和点B (5，0)，与y 轴交于点C (0，154).(1)求抛物线的函数表达式；(2)求该抛物线的对称轴；(3)连接AC ，设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ，是否存在这样的点E ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)根据题意，设抛物线表达式为y ＝a (x ＋3)(x －5)，∵抛物线经过点C (0，154)，∴154＝a ×3×(－5)，解得a ＝－14，∴抛物线的表达式为y ＝－14(x ＋3)(x －5)＝－14x 2＋12x ＋154；(2)由(1)得y ＝－14x 2＋12x ＋154，则抛物线的对称轴为x ＝－b 2a ＝－12－24＝1，∴该抛物线的对称轴为直线x ＝1；(3)存在.∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，∴AC ∥EF ，且AC ＝EF ，如解图.第2题解图① 当点E 在x 轴上方时，过点E 作EG ⊥x 轴于点G .∵AC ∥EF ， ∴∠CAO ＝∠EFG .又∵∠COA ＝∠EGF ＝90°，AC ＝EF ，∴△CAO ≌△EFG ，∴EG ＝CO ＝154，即y E ＝154，∴154＝－14x 2E ＋12x E ＋154，解得x E ＝2(x E ＝0时与C 点重合，舍去)，∴E 点坐标为(2，154)；②当点E ′在x 轴下方时，过点E ′ 作E ′G ′⊥x 轴于点G ′，同理可求得E ′(31＋1，－154).综上所述，存在满足条件的点E 的坐标为(2，154)或(31＋1，－154).3.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过点A(－1，0)、B (0，1)，且与x 轴有唯一交点.(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的表达式；(2)若将(1)中的抛物线沿y 轴向下平移m 个单位后与x 轴的两个交点分别为C 、D (点C 在点D 的左边)，当∠CBD ＝90°时，求m 的值；(3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E ，使以C 、D 、B 、E 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-04102ac b c c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===121c b a ，∴二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x ＋1；(2)由题可知，平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x ＋1－m ，∵∠CBD ＝90°，点A 是CD 的中点，AB ＝2，∴AC ＝AD ＝AB ＝2，∴C (－1－2，0)，D (－1＋2，0)，将点C 的坐标代入y ＝x 2＋2x ＋1－m ，解得m ＝2；(3)存在.由(2)可知，平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x －1.分两种情况讨论：①当CD 为对角线时，如解图，第3题解图连接BA 并延长至点E ，使AE ＝BA ，连接CE 、DE .可得点E 的坐标为(－2，－1)，在抛物线y ＝x 2＋2x －1中，当x ＝－2时，y ＝－1，∴点E 在平移后的抛物线上，且BE ＝CD ，∴存在点E (－2，－1)，使四边形BDEC 是矩形；②当BD 或BC 为对角线时，由∠CBD ＝90°可知，不存在满足题意的点E .综上所述，平移后的抛物线上存在点E (－2，－1)，使以点C 、D 、B 、E 为顶点的四边形是矩形.二次函数与图形面积1. 已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)、B (1，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于x 轴的对称点为F ，若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，求m 、n 的值．解：(1)将点A (4，0)、B (1，3)代入抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 得⎩⎨⎧=++-=++-310416c b c b ，解得⎩⎨⎧==04c b ， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x ；(2)对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－()124-⨯＝2，顶点坐标为(2，4)； (3)抛物线的对称轴为直线x ＝2，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，则点P 关于直线l 的对称点为E (4－m ，n )，点E 关于x 轴的对称点为F (4－m ，－n )，若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，则S 四边形OP AF ＝S △AOF ＋S △AOP ＝12×4×(－n )＋12×4×(－n )＝－4n ＝20，得n ＝－5，将(m ，－5)代入y ＝－x 2＋4x ，解得m ＝5或m ＝－1.∵点P (m ，n )在第四象限，∴m ＝5，n ＝－5.2. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点O 、B (1，3)、C (2，2)，与x 轴交于另一点N .(1)求抛物线的表达式；(2)连接BC ，若点A 为BC 所在直线与y 轴的交点，在抛物线上是否存在点P ，使得S △OAP ＝815S △ONP ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)将0(0，0)、B (1，3)、C (2，2)三点的坐标分别代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==++=++02243c c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=052c b a ，∴所求抛物线的表达式为y ＝－2x 2＋5x ；(2)存在，设BC 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ，将点B 、C 的坐标代入可得⎩⎨⎧+=+=bk b k 223，解得⎩⎨⎧=-=41b k ，则y ＝－x ＋4. 把x ＝0代入y ＝－x ＋4得y ＝4，∴点A (0，4)，把y ＝0代入y ＝－2x 2＋5x 得x ＝0或x ＝52，∴点N (52，0)，设点P 的坐标为(x ，y )，S △OAP ＝12OA ·x ＝2x ，S △ONP ＝12ON ·y ＝12×52·(－2x 2＋5x )＝54(－2x 2＋5x )， 由S △OAP ＝815S △ONP ，即2x ＝815·54(－2x 2＋5x ) 解得x ＝0(舍去)或x ＝1，当x ＝1时，y ＝3，∴存在点P ，其坐标为(1，3)．。

重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。

所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。

专题02 图形变化规律一．圆点类图形变化1．（2020•绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是119．解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，……∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．故答案为：119．2．（2020•日照）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（）A．59B．65C．70D．71解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝．故选：C．3．（2020•大庆）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为440．解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：3＝1×3；第2个图需要黑色棋子的个数为：8＝2×4；第3个图需要黑色棋子的个数为：15＝3×5；第4个图需要黑色棋子的个数为：24＝4×6；…发现规律：第n个图需要黑色棋子的个数为：n（n+2）；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20（20+2）＝440．故答案为：440．4．（2020•德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n﹣1个图案有2（1+2+…+n+1）+2（n﹣2）＝n2+5n﹣2枚棋子，第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．二．三角形类图形变化5．（2020•白银模拟）如图，用火柴棒按如图所示的方式搭一行三角形，搭1个三角形需3枝火柴棒，搭2个三角形需5枝火柴棒，搭3个三角形需7枝火柴棒，照这样的规律搭下去，搭2020个三角形需要火柴棒4041枝．解：第一个三角形需要3枝火柴棒；第二个三角形需要（3+2）枝火柴棒；第3个三角形需要（3+2×2）枝火柴棒．…第n个三角形需要[3+（n﹣1）×2]＝2n+1枝火柴棒．所以，第2020个三角形需要火柴棒＝2×2020+1＝4041（枝）．故答案为：4041．6．（2020•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形（用含n的代数式表示）．解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．7．（2020•重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，…∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．8．（2020•温州模拟）如图，第1个图形有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形，……，则第2019个图形中有8073个三角形．解：由图可得，第1个图形有1个三角形，第2个图形中有1+4＝5个三角形，第3个图形中有1+4+4＝1+4×2＝9个三角形，……，则第2019个图形中有：1+4×（2019﹣1）＝8073个三角形，故答案为：8073．三．正方形类图形变化9．（2020•聊城）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150B．200C．355D．505解：由图形可知：第1个图形12块白色小正方形，第2个图形19个白色小正方形，第3个图形26个白色小正方形则图ⓝ的白色小正方形地砖有（7n+5）块，当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．故选：C．10．（2020•娄底模拟）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个（）A．400B．401C．402D．403解：第1个图形面积为1的小正方形有9个，第2个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，第3个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，…第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝5n+4个，根据题意得：5n+4＝2019，解得：n＝403．故选：D．11．（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多2n+3个小正方形．解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝（2n+3）个小正方形．故答案为：2n+3．12．（2020•渌口区模拟）如图：已知正方形的边长为a，将此正方形按照下面的方法进行剪拼：第一次，先沿正方形的对边中点连线剪开，然后对接为一个长方形，则此长方形的周长为4a；第二次，再沿长方形的对边（长方形的宽）中点连线剪开，对接为新的长方形，如此继续下去，第n次得到的长方形的周长为2n﹣1•4a+2×（）n a．解：第1个长方形的周长为4a+2×a，第2个长方形的周长为2×4a+2×a，第3个长方形的周长为2×8a+2×a，……∴第n个长方形的周长为2n﹣1•4a+2×（）n a，故答案为：4a+2×a，2n﹣1•4a+2×（）n a．四．旋转跳跃类图形变化13．（2020•江西模拟）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点时，他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第20次“移位”后，他所处顶点的编号是（）A．1B．2C．3D．4解：根据题意，小宇从编号为2的顶点开始，第1次移位到点4，第2次移位到达点3，第3次移位到达点1，第4次移位到达点2，…，依此类推，4次移位后回到出发点，20÷4＝5．所以第20次移位为第5个循环组的第4次移位，到达点2．故选：B．14．（2020•常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时p是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．15．（2020•嵊州市模拟）如图1，现有8枚棋子呈一直线摆放，依次编号为①～⑧．小明进行隔子跳，想把它跳成4叠，每2枚棋子一叠，隔子跳规则为：只能靠跳跃，每一步跳跃只能是把一枚棋子跳过两枚棋子与另一枚棋子相叠，如图2中的（1）或（2）（可随意选择跳跃方向）一枚棋子最多只能跳一次．若小明只通过4步便跳跃成功，那么他的第一步跳跃可以为（）A．①叠到④上面B．②叠到⑤上面C．④叠到⑦上面D．⑤叠到⑧上面解：A、①叠到④上面，③只能叠到⑤上面，②不能按规则跳，故选项错误；B、②叠到⑤上面，④只能叠到⑥上面，③不能按规则跳，故选项错误；C、④叠到⑦上面，⑥能叠到②上面，①能叠到③上面，⑤能叠到⑧上面，故选项正确；D、⑤叠到⑧上面，⑦只能叠到③上面，⑥不能按规则跳，故选项错误．故选：C．16．（2020•赤峰）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．解：第一次落点为A1处，点A1表示的数为1；第二次落点为OA1的中点A2，点A2表示的数为；第三次落点为OA2的中点A3，点A3表示的数为（）2；…则点A2020表示的数为（）2019，即点A2020表示的数为；故答案为：．五．复合图形变化17．（2020•莒县二模）如图，∠AOB为锐角，在射线OA上依次截取A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A n A n+1，在射线OB 上依次截取B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝B n B n+1，记S n为△A n B n B n+1的面积（n为正整数），若S3＝7，S4＝10，则S2019＝（）A．4039B．4041C．6055D．6058解：过A3作A3C⊥OB于C，过A4作A4D⊥OB于D，过A2019作A2019E⊥OB于E，如图所示：则△OA3C∽△OA4D∽△OA2019E，设OA1＝a，A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A n A n+1＝1个单位，∵S3＝7，S4＝10，B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝B n B n+1，∴＝，即＝，解得：a＝，∴＝，即＝，∴A2019E＝6055，∴S2019＝6055，故选：C．18．（2020•郓城县一模）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2020B2020C2020D2020的边长是（）A．（）2017B．（）2018C．（）2019D．（）2020解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则B2C2＝＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形A n B n∁n D n的边长是：（）n﹣1，则正方形A2020B2020C2020D2020的边长为：（）2019，故选：C．19．（2020•周村区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB 上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点M n，N n，P n分别在P n﹣1N n﹣1，BN n﹣1，BP n﹣1上，且四边形M n N n﹣1N n P n是正方形，则线段BN2020的长度是．解：∵N1P1∥AC，∴△B1N1P1∽△BCA，∴＝，设N1P1＝x，则＝，解得：x＝，∴BN1＝BC﹣CN1＝4﹣＝，同理，∵N2P2∥AC，∴△P1N1B∽△P2N2B，设P2N2＝y，∴＝，解得：y＝，∴BN2＝﹣＝＝．同理，BN3＝＝，∴线段BN2020的长度是．故答案为：．20．（2020•锦州一模）如图，∠MON＝30°，点A1在ON上，点C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON于点B1，以A1B1和B1C1为邻边作矩形A1B1C1D1，点A1，A2关于点B1对称，A2C2∥A1C1交OM于点C2，C2B2⊥ON于点B2，以A2B2和B2C2为邻边作矩形A2B2C2D2，连接D1D2，点A2，A3关于点B2对称，A3C3∥A2C2交OM 于点C3，C3B3⊥ON于点B3，以A3B3和B3C3为邻边作矩形A3B3C3D3，连接D2D3，……依此规律继续下去，则D n D n+1＝2n﹣1•．解：由题意D1D2＝＝＝20，D2D3＝＝2＝21•，D3D4＝＝4＝22•，…∴D n D n+1＝2n﹣1•，故答案为2n﹣1•．。

题型6 二次函数综合题题型解读1.考查类型：①二次函数与线段和差问题；②二次函数与图形面积问题；③二次函数与特殊三角形判定问题；④二次函数与特殊四边形判定问题；⑤二次函数与三角形相似、全等问题；2.考查内容：①中考查多与找点关于直线的对称点，再根据两点之间线段最短确定所求点有关；②中考查多与割补法求面积有关；③中考查多与特殊三角形的性质有关，直角三角形通常用到勾股定理计算，直角三角形与等腰三角形在判定时均应考虑分类讨论，以免漏解；④中考查多与特殊四边形的判定及性质有关，同样做题时要考虑各种情况，命题时常与分类讨论思想结合；⑤中考查多与三角形相似或全等的判定及性质有关；3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，作出适当的辅助线，联系相应的判定或性质求解．类型一二次函数与线段和差问题1.如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC 上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)求AD的长；(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．2.如图，直线y ＝5x ＋5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 的图象交x 轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值； (3)若点H 为二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x 轴，y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标．温馨提示：在直角坐标系中，若点P ，Q 的坐标分别为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，当PQ 平行x 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ ＝|x 1－x 2|求出；当PQ 平行y 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ ＝|y 1－y 2|求出．3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋14与y 轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称．(1)填空，点B 的坐标是________；(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b(其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC.求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点C ′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标．4.已知二次函数y ＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k(k ＞0)． (1)当k ＝12时，求这个二次函数的顶点坐标；(2)求证：关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0(k ＞0)有两个不相等的实根；(3)如图，该二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点的左侧)，与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP ＝1，直线AP 交BC 于点Q. 求证：1OA 2＋1AB 2＝1AQ2.类型二 二次函数与图形面积问题5.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a ，b 的值；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．6.已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx 与抛物线交于A ，B 两点．(1)写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O 为线段AB 的中点时，求k 的值及A ，B 两点的坐标；(3)是否存在实数k 使得△ABC 的面积为3102？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．7.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，与y 轴交于点C.(1)直接写出抛物线的函数解析式；(2)以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E.若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC 的长；(3)将抛物线向上平移32个单位长度(如图②)，若动点P(x ，y)在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点．(1)求二次函数的表达式；(2)长度为22的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；(3)直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF＝S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(9，0)和C(0，4)，CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．(1)求出该二次函数的表达式以及点D的坐标；(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0＜t≤6)得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S.求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．类型三二次函数与特殊三角形判定问题10.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．11.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a≠0)的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且BO ＝OC ＝3AO ，直线y ＝－13x ＋1与y 轴交于点D.(1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO∽△EBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．12.如图，抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B(3，0)两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C(0，3)，已知对称轴x ＝1. (1)求抛物线L 的解析式；(2)将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内(包括△OBC 的边界)，求h 的取值范围；(3)设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x ＝－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．图①图②13.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接．．写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q. (1)求点A ，点B ，点C 的坐标； (2)求直线BD 的解析式；(3)当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形； (4)在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．类型四 二次函数与特殊四边形判定问题15.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD. (1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式； (2)点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P 作PF⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．备用图16.如图，抛物线与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，5)．有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F.(1)求抛物线解析式．(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝1010，求点Q的坐标．(3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．17.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．18.如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A 、C 、M 、N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝a(x ＋1)2－3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C(0，－83)，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P 、Q 两点，点Q 在y 轴的右侧．(1)求a 的值及点A 、B 的坐标；(2)当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l 的函数表达式；(3)当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否成为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．类型五二次函数与三角形相似、全等问题20.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1) 求抛物线的解析式及点C的坐标；(2) 求证：△ABC是直角三角形；(3) 若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F ，使△FOE≌△FCE，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB 与直线l 交于点Q.试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．类型一 二次函数与线段和差问题1. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，B(10，8)， ∴A(10，0)，∵E(6，8)，O(0，0)，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(10，0)、E(6，8)和O(0，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＋c ＝062a ＋6b ＋c ＝8c ＝0，解得⎪⎨⎪⎧a ＝－13b ＝103，∴抛物线的解析式y ＝－13x 2＋103x.(2)由题意可知：AD ＝ED ，BE ＝|10－6|＝4，AB ＝8，设AD 为x ，则ED ＝x ，BD ＝AB －AD ＝8－x ， 在Rt △BDE 中， ED 2＝EB 2＋BD 2， 即x 2＝42＋(8－x)2， 解得x ＝5，即AD ＝5.(3)由(2)可知，D 点的坐标是(10，5)，∴△PAD 的周长l ＝PA ＋PD ＋AD ＝PA ＋PD ＋5，∵抛物线的对称轴是线段OA 的垂直平分线，点P 是抛物线对称轴上的一动点， ∴PO ＝PA ，因此，l ＝PA ＋PD ＋5＝PO ＋PD ＋5， ∴当PO ＋PD 最小时l 最小，∴当点P 移动到直线OD 与抛物线对称轴的交点处时PO ＋PD 最小， 设直线OD 的解析式为y ＝kx ，将D 点的坐标(10，5)代入得： 5＝10 k ，求得k ＝12，∴直线OD 的解析式为y ＝12x ，当x ＝5时，y ＝52，∴P 点的坐标是(5，52)．2. 解：(1)∵直线y ＝5x ＋5与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ， ∴A(－1，0)，C(0，5)．∵抛物线y ＝ax 2＋4x ＋c 过点A(－1，0)，C(0，5)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5a －4＋c ＝0， 解得c ＝5，a ＝－1，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2＋4x ＋5.第2题解图①(2)如解图①，∵抛物线y ＝－x 2＋4x ＋5与x 轴交于A ，B 两点， ∴解－x 2＋4x ＋5＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝5. ∵点B 在x 轴正半轴， ∴B(5，0)．设过B(5，0), C(0，5)的直线BC 解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝0b ＝5， 解得k ＝－1，b ＝5，∴直线BC 表达式为y ＝－x ＋5. ∵DN ⊥x 轴，∴DN ∥y 轴．∵点N 在BC 上，点D 在抛物线上，设N(x ，y 1)，D(x ，y 2)， ∴N(x ，－x ＋5)，D(x ，－x 2＋4x ＋5)． ∴DN ＝－x 2＋4x ＋5－(－x ＋5)＝－x 2＋5x ＝－(x －52)2＋254.当x ＝52时，DN 有最大值254；(3)如解图②，作点H 关于y 轴的对称点H′，点M 关于x 轴的对称点M′，连接H′M′，分别交x 轴，y轴于点F 、E ，则四边形HEFM 的最小周长为HM ＋HE ＋EF ＋FM ＝HM ＋H′M′.∵y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9， ∴H(2，9)，第2题解图②∴H ′(－2，9)， 当x ＝4时，y ＝5， ∴M(4，5)， ∴M ′(4，－5)．设直线H′M′的解析式为y ＝k′x ＋b′，则⎩⎪⎨⎪⎧－2k′＋b′＝94k ′＋b′＝－5， 解得⎩⎨⎧k′＝－73b′＝133，∴直线H′M′的解析式为 y ＝－73x ＋133.当y ＝0时，x ＝137，13当x ＝0时，y ＝133， ∴E(0，133)．3. 解：(1)由y ＝x 2＋14得：A(0，14)∵B 、O 关于A 对称， ∴B(0，12)(2)如解图①，∵直线BC 过点B(0，12)，第3题解图①∴直线BC 解析式为 y ＝kx ＋12.∴C(－12k ，0)，又∵P 是直线l 上一点， ∴可设P(－12k，a)．过点P 作PN ⊥y 轴，垂足为N ，连接PB ，则在Rt △PNB 中，由勾股定理得： PB 2＝PN 2＋NB 2， ∵PB ＝PC ＝a ， ∴a 2＝(－12k )2＋(a －12)2，解得a ＝14k 2＋14，∴P 点坐标为(－12k ，14k 2＋14)，当x ＝－12k 时，y ＝14k 2＋14，第3题解图②(3)如解图②，由C′在y 轴上，可知∠CBP ＝∠C′BP ， ∵PB ＝PC ，∴∠CBP ＝∠PCB ， ∵PC ∥C ′B ，∴∠PCB ＝∠ABC ，∴∠C ′BP ＝∠CBP ＝∠ABC ＝60°， ∴△PBC 为等边三角形， ∵OB ＝12，∴BC ＝1，OC ＝32， ∴PC ＝1， ∴P(32，1)． 4. (1)解：当k ＝12时，y ＝x 2－2x ＋34，∵⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－－22×1＝14ac －b 24a ＝4×1×34－（－2）24×1＝－14， ∴顶点坐标为(1，－14)，(2)证明：∵b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4(k 2＋k) ＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4k ＝1， ∵1＞0，∴原方程一定有两个不相等的实根．(3)证明：由题意得，A(k ，0)，B(k ＋1，0)，C(0，k 2＋k)， 设PA 的解析式为：y ＝mx ＋n ，代入P(0，－1)，A(k ，0)， 解得m ＝1k ，n ＝－1，于是y ＝1kx －1，设BC 的解析式为：y ＝sx ＋t ，代入B(k ＋1，0)，C(0，k 2＋k)，解得s ＝－k ，t ＝k 2＋k ，于是y ＝－kx ＋k 2＋k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1k x －1y ＝－kx ＋k 2＋k ，解得Q 点坐标为(k ＋k 2k 2＋1，kk 2＋1)，运用勾股定理得AQ 2＝(k ＋k 2k 2＋1－k)2＋(k k 2＋1)2＝k 2k 2＋1，∵OA 2＝k 2，AB 2＝(k ＋1－k)2＝1 ∴1OA 2＋1AB 2＝k 2＋1k 2＝1AQ 2， ∴1OA 2＋1AB 2＝1AQ 2. 类型二 二次函数与图形面积问题∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝3. (2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，设点C(x ，－12x 2＋3x)，则S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x)＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)． ∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.第5题解图①6. 解：(1)令x ＝0，得y ＝ax 2＋bx －3＝－3， ∴C(0，－3)，把(－1，0)和(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝09a ＋3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x －3y ＝kx ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝k ＋2＋k 2＋4k ＋162y 1＝k 2＋2k ＋k k 2＋4k ＋162，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝k ＋2－k 2＋4k ＋162y 2＝k 2＋2k －k k 2＋4k ＋162，∵O 是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝0，即k ＋2＋k 2＋4k ＋162＋k ＋2－k 2＋4k ＋162＝0，解得k ＝－2，∴⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝－23 ， ⎩⎨⎧x 2＝－3y 2＝23，(3)不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.理由如下：假设存在实数k 使得△ABC 的面积为3102，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x －3y ＝kx ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝k ＋2＋k 2＋4k ＋162y 1＝k 2＋2k ＋k k 2＋4k ＋162，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝k ＋2－k 2＋4k ＋162y 2＝k 2＋2k －k k 2＋4k ＋162， 则A(k ＋2－k 2＋4k ＋162，k 2＋2k －k k 2＋4k ＋162)，B(k ＋2＋k 2＋4k ＋162，k 2＋2k ＋k k 2＋4k ＋162)，∴S △ABC ＝12OC(x B －x A )＝3102，∴3×k 2＋4k ＋16＝310，∴k 2＋4k ＋16＝10，即k 2＋4k ＋6＝0，∵b 2－4ac ＝16－24<0， ∴此方程无解，故不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.7. 解：(1)y ＝23x 2＋43x －2.【解法提示】∵抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －2＝0a ＋b －2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝23b ＝43，∴抛物线的函数解析式为y ＝23x 2＋43x －2，(2)由抛物线解析式知：C(0，－2)，∴E(0，2)，∵AB ＝4，M 为AB 中点， ∴OM ＝1，∴MC ＝OC 2＋OM 2＝5，∵∠EDC ＝∠MOC, ∠DCE ＝∠OCM ， ∴△CMO ∽△CED, ∴CD CO ＝CE CM ， ∴CD 2＝45，∴CD ＝855.(3)y ＝23x 2＋43x －2＝23(x ＋1)2－83，∵抛物线向上平移32个单位长度，∴平移后抛物线解析式为y ＝23(x ＋1)2－83＋32，即y ＝23(x ＋1)2－76，第7题解图如解图，过点D 作DH ⊥y 轴，过点P 作PG ⊥y 轴，连接PD ，PE ，设点P 的横坐标为x. ∵△CMO ∽△CDH, ∴CM CD ＝OM HD ＝CO CH ， 即5855＝1DH ＝2CH ， ∴DH ＝85，CH ＝165，∴OH ＝CH －CO ＝165－2＝65，∴EH ＝OE －OH ＝2－65＝45，∴S △PDE ＝S 梯形DPGH ＋S △DHE －S △PEG＝12(85－x)[65－23(x ＋1)2＋76] ＋12×85×45－12(－x)[2－23(x ＋1)2＋76] ＝－45[23(x ＋1)2－76]＋25x ＋85＝－815x 2－23x ＋2＝－815(x ＋58)2＋5324∵点P 位于平移后的抛物线上且位于第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧23（x ＋1）2－76＜0x ＜0，解得x 的取值范围为－1－72＜x ＜0. 即：S ＝－815(x ＋58)2＋5324(－1－72＜x ＜0)，∴当x ＝－58时，△PDE 的面积最大为5324.8. 解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数y ＝x 2＋bx 图象上，将x ＝3，y ＝3代入得9＋3b ＝3， 解得b ＝－2，∴二次函数表达式为y ＝x 2－2x.第8题解图①(2)如解图①所示，过点P 作PB ⊥QQ 1于点B ，∵PQ ＝22，且在直线y ＝x 上， ∴PB ＝QB ＝2 ，设P(a ，a)，则Q(a ＋2，a ＋2)，则P 1(a ，a 2－2a)，Q 1(a ＋2，(a ＋2)2－2(a ＋2))，即Q 1(a ＋2，a 2＋2a)，所以四边形PQQ 1P 1的面积为： S ＝2×（a －a 2＋2a ）＋（a ＋2－a 2－2a ）2＝－2a 2＋2a ＋2 ＝－2(a －12)2＋52，当Q 运动到点A 时，OP ＝OQ －PQ ＝2，a ＝1.∴a 的取值范围为0＜a ＜1.∴当a ＝12时，四边形PQQ 1P 1的面积最大，最大值为52.(3)存在，点E 的坐标为E 1(43，43)，E 2(143，143)，如解图②所示，连接OM ，∵点M 为抛物线顶点， ∴M(1，－1)，又∵OA 所在直线为y ＝x ， ∴OM ⊥OA ，即∠AOM ＝90°，在△AOF 和△AOM 中，以OA 为底，当面积相等时，则两三角形OA 边上的高相等，又∵OM ⊥OA ，且OM ＝2，∴可作两条与OA 互相平行且距离为2的直线，如解图②所示，在直线HD 、MC 上的点F 均满足S △AOF ＝S △AOM ，∴只需满足E 点的对称点F 在这两条直线上即可，如解图②，过点A 作AC ⊥MC 于点C ，易求四边形OACM 为矩形，AM 为该矩形的一条对角线，取AM 中点O′，过O′作AM 垂线，交OA 于点E 1，交MC 于点F 1，OA ＝32，∴AM ＝OA 2＋OM 2＝25，∴AO ′＝5，则△AO′E 1∽△AOM ， ∴AO′AO ＝AE 1AM ＝AO －OE 1AM ， ∴532＝32－OE 125，第8题解图②解得OE 1＝423，∵点E 1在y ＝x 上， ∴E 1(43，43)，同理可得HF 2＝GE 2＝423，又∵OG ＝2OA ＝62， ∴OE 2＝62－423＝1423，∴ E 2(143，143)．综上所述，符合条件的E 点的坐标为：E 1(43，43)、E 2(143，143)．9. 解：(1)把A(－3，0)，B(9，0)，C(0，4)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得 ⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝081a ＋9b ＋c ＝0c ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－427b ＝89c ＝4，∴二次函数的表达式为y ＝－427x 2＋89x ＋4，由题意得－427x 2＋89x ＋4＝4，解得x 1＝0，x 2＝6，∴点D 的坐标为(6，4)．(2)∵－b2a ＝－89－827＝3，4ac －b 24a ＝－6427－6481－1627＝163，∴顶点F 的坐标为(3，163)，如解图①易知FO 1＝OC ＝4，A 1O 1＝AO ＝3，FH ＝163－4＝43.第9题解图①∵GH ∥AE ，∴GH ∥A 1O 1， ∴GH A 1O 1＝FHFO 1， 即GH 3＝434， ∴GH ＝1，∴S 四边形A 1O 1HG ＝S △FA 1O 1－S △FGH ＝12×3×4－12×1×43＝163.(3)如解图②，当0＜t ≤3时，OO 2＝t ，△OO 2G ∽△OED ， ∴GO 2DE ＝OO 2OE ， ∴GO 24＝t6， ∴GO 2＝23t ，∴S ＝12×t ×23t ＝13t 2(0＜t ≤3)；第9题解图②第9题解图③如解图③，当3＜t ≤6时，设A 2C 2与OD 交于点M ，作MG ⊥CD ，延长GM 交x 轴于点H ，则GH ⊥x轴．易知△C 2MD ∽△A 2MO ，△DMG ∽△OMH ，△ODE ∽△ONO 2，C 2D ＝6－t ，OA 2＝t －3，O 2O ＝t ，GH ＝4，O 2E ＝6－t ，∴GM MH ＝DM OM ＝C 2D OA 2，NO 2DE ＝OO 2OE ， ∴4－MH MH ＝6－t t －3，NO 24＝t6， ∴MH ＝4（t －3）3，NO 2＝23t ，∴S 四边形A 2O 2NM ＝S △ODE －S △OA 2M －S 梯形NO 2ED ＝12－12(t －3)×4（t －3）3－（2t3＋4）（6－t ）2＝12－23t 2＋4t －6－2t ＋t 23－12＋2t＝－13t 2＋4t －6(3＜t ≤6)．综上所述，S 与t 之间的函数表达式为S ＝⎩⎨⎧13t 2（0＜t ≤3）－13t 2＋4t －6（3＜t ≤6）.类型三 二次函数与特殊三角形判定问题10. 解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，第10题解图∴抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. ∵对称轴为x ＝－1，抛物线经过 A(1，0)，∴B(－3，0)．把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得，⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3.(2)如解图，设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，连接AM ， ∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC.∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点． 把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2. ∴点M(－1，2)．(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10. ①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2， 即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2； ②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2， 即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18.解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．11. (1)解：当x ＝0时，y ＝ax 2＋bx －3＝－3， ∴C(0，－3)，即OC ＝3， ∵OB ＝OC ＝3OA ， ∴OB ＝3，OA ＝1， ∴A(－1，0)，B(3，0)，将点A(－1，0)，点B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝09a ＋3b －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)证明：由y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4可得E(1，－4)， 当x ＝0时，由直线y ＝－13x ＋1得y ＝1，∴D(0，1)，即OD ＝1， ∴BD ＝OD 2＋OB 2＝10， ∴CE ＝2，BE ＝25，BC ＝32， ∴在△ODB 和△CEB 中， 有DB EB ＝DO EC ＝BO BC ＝22， ∴△DBO ∽△EBC.(3)解：存在点P ，使得△PBC 是等腰三角形，点P 的坐标分别为：P 1(1，－1)，P 2(1，－3＋17)，P 3(1，－3－17)，P 4(1，14)，P 5(1，－14)．【解法提示】如解图，过点P 作PG ⊥y 轴于G ，设抛物线对称轴与x 轴的交点为M ，设P(1，a)， 则PG ＝1，GC ＝a ＋3，PM ＝a ，∴PC 2＝1＋(a ＋3)2，PB 2＝4＋a 2，CB 2＝3(2)2＝18， 当P 是等腰三角形顶点时，PC 2＝PB 2， 即1＋(a ＋3)2＝4＋a 2， 解得a ＝－1， ∴P 1(1，－1)；当C 是等腰三角形顶点时，PC 2＝CB 2， 即1＋(a ＋3)2＝18，第11题解图解得a 1＝－3＋17，a 2＝－3－17 ∴P 2(1，－3＋17)， P 3(1，－3－17)；当B 是等腰三角形顶点时，PB 2＝CB 2， 即4＋a 2＝18，解得a 1＝14，a 2＝－14， ∴P 4(1，14)，P 5(1，－14)．∴存在点P ，使得△PBC 是等腰三角形，点P 的坐标分别为：P 1(1，－1)，P 2(1，－3＋17)，P 3(1，－3－17)，P 4(1，14)，P 5(1，－14)．12. 解：(1)解法一：把C(0，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得c ＝3， 把B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3， 得9a ＋3b ＋3＝0，又∵－b2a ＝1，∴a ＝－1，b ＝2，∴抛物线L 的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋3.解法二：设所求抛物线L 的解析式为：y ＝m(x －1)2＋n ，把B(3，0)，C(0，3)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋n ＝0m ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝4，∴抛物线L 的解析式是y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)第12题解图①解法一：由y ＝－(x －1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)，如解图①，过点D 作y 轴的平行线分别交CB ，OB 于点E 、F ， 则EF OC ＝BFBO，∴EF ＝2， ∴4－2≤h ≤4，即2≤h ≤4.(3)能，设P(x ，－x 2＋2x ＋3)，如解图②，过点P 分别作x 轴、直线l 的垂线，第12题解图②垂足分别是点M ，N ， ∵∠PMB ＝∠PNQ ＝90°， ∵∠QPB ＝90°，∠BPM ＝∠QPN ，PB ＝PQ ， ∴△PMB ≌△PNQ(AAS )，∴PM ＝PN.①当点P 在x 轴上方时，－x 2＋2x ＋3＝x ＋3， 即x 2－x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1， ∴P 1(0，3)，P 2(1，4)；②当点P 在x 轴下方时，－x 2＋2x ＋3＝－(x ＋3)，即x 2－3x －6＝0，解得x ＝3±（－3）2－4×1×（－6）2＝3±332，∴P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)，∴满足条件的点P 有四个点，分别是P 1(0，3)，P 2(1，4)，P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)．13. 解：(1)把B(3，0)，C(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n(m ≠0)， 将点B(3，0)，C(0，3)分别代入得，⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3， 设M(a ，a 2－4a ＋3)，则N(a ，－a ＋3)， MN ＝－a ＋3－(a 2－4a ＋3) ＝－a ＋3－a 2＋4a －3 ＝－a 2＋3a ＝－(a －32)2＋94.对于y ＝x 2－4x ＋3，令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A(1，0)，B(3，0)，∵M 是抛物线在x 轴下方的动点， ∴1＜a ＜3， 又∵1＜32＜3，∴当a ＝32时，MN 的最大值为94.(3)存在，点P 的坐标分别为：P 1(2，32＋172)，P 2(2，32－172)，P 3(2，142)、P 4(2，－142)、P 5(2，12)．【解法提示】当线段MN 最长时，N(32，32)，设此时直线MN 与x 轴交于点D ，又点B(3，0)， 则BN 2＝DN 2＋DB 2＝(32)2＋(3－32)2＝92.(i )当BN 为腰长时，又分两种情形： ①当点N 为等腰三角形顶角的顶点时，以点N 为圆心，BN 的长为半径画圆，与抛物线的对称轴有两个交点P 1，P 2，如解图． 由抛物线y ＝x 2－4x ＋3知，其对称轴为直线x ＝2， ∴P 1E 2＋NE 2＝P 1N 2＝BN 2，即(2－32)2＋NE 2＝92，解得NE ＝172.∴此时P 1(2，32＋172)，P 2(2，32－172)；第13题解图②当点B 为等腰三角形顶角的顶点时，以点B 为圆心，BN 的长为半径画圆，与抛物线的对称轴也有两个交点P 3、P 4， 同理可得P 3(2，142)，P 4(2，－142)； (ii )当BN 为底边时，作线段BN 的中垂线与对称轴交于一点P 5，如解图． 由点N(32，32)，B(3，0)，得线段BN 的中点F(94，34)，设过点F ，且与BC 垂直的直线P 5F 的解析式为y ＝x ＋q ， 则94＋q ＝34，解得q ＝－32， ∴直线P 5F 的解析式为y ＝x －32，当x ＝2时，y ＝2－32＝12，∴点P 5(2，12)．综上所述，存在满足题意的点P 共有五个，即P 1(2，32＋172)，P 2(2，32－172)，P 3(2，142)，P 4(2，－142)，P 5(2，12)． 14. 解：(1)当y ＝0时，－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝4，x 2＝－1，则A(－1，0)，B(4，0)，当x ＝0时，y ＝2，则C(0，2)．(2)依题意知点D 坐标为 (0，－2)，设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将D(0，－2)和B (4，0)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－24k ＋b ＝0 ，解得k ＝12，b ＝－2，∴直线BD 的解析式为y ＝12x －2.(3)易知CD ∥QM ，若CD ＝QM ，则四边形CQMD 为平行四边形． ∵P(m ，0)，∴y Q ＝－12m 2＋32m ＋2，y M ＝12m －2，则QM ＝(－12m 2＋32m ＋2)－(12m －2)，∵CD ＝4，∴(－12m 2＋32m ＋2)－(12m －2)＝4，解得m ＝2或m ＝0(舍去)，故当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形． (4)存在，设点Q 的坐标为(m ，－12m 2＋32m ＋2)，则BQ 2＝(4－m)2＋(－12m 2＋32m ＋2)2，DQ 2＝m 2＋[(－12m 2＋32m ＋2)＋2]2, BD 2＝42＋22＝20.①当以点B 为直角三角形的直角顶点时，则有DQ 2＝BQ 2＋BD 2， ∴m 2＋[(－12m 2＋32m ＋2)＋2]2＝(4－m)2＋(－12m 2＋32m ＋2)2＋20，解得m 1＝3, m 2＝4.∴点Q 的坐标为(3，2)，(4，0)(舍去)；②当以点D 为直角三角形的直角顶点时，则有BQ 2＝DQ 2＋BD 2. ∴(4－m)2＋(－12m 2＋32m ＋2)2＝m 2＋[(－12m 2＋32m ＋2)＋2]2＋20，解得m 3＝－1, m 4＝8.∴点Q 的坐标为(－1，0)，(8，－18)，综上所述，所求点Q 的坐标为(3，2)，(－1，0)，(8，－18)． 类型四 二次函数与特殊四边形判定问题15. 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)两点，第15题解图①∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3， ∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)如解图①，连接PC ，PE.对称轴x ＝－b 2a ＝－22×（－1）＝1，当x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4，∴点D 的坐标为(1，4)，设直线BD 的解析式为：y ＝mx ＋n ，将B(3，0)、D(1，4)分别代入表达式，⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0m ＋n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝6，则直线BD 的解析式为y ＝－2x＋6，设P 的坐标为(x 0，－2x 0＋6)，∴由勾股定理可得PC 2＝x 20＋[3－(－2x 0＋6)]2，PE 2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋6)2， ∵PC ＝PE ，∴x 20＋(3＋2x 0－6)2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋6)2， 解得x 0＝2，y 0＝－2×2＋6＝2， ∴P 的坐标为(2，2)．(也可证△DCB ，△DEB 为直角三角形，则P 为斜边BD 的中点，或先求CE 的垂直平分线的函数关系式，则点P 是CE 的垂直平分线与BD 的交点)(3)依题意设M 的坐标为(a ，0)，则G 坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)．第15题解图②如解图②，以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，必有FM ＝MG ， ∴|2－a|＝|－a 2＋2a ＋3|， ① 2－a ＝－(－a 2＋2a ＋3)， 解得a ＝1±212，② 2－a ＝－a 2＋2a ＋3， 解得a ＝3±132，∴M 点的坐标为(1－212，0)，(1＋212，0)，(3－132，0)，(3＋132，0)．16. 解：(1)根据题意得，A(－5，0)，B(3，0)在x 轴上， 设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋5)(x －3)． ∵抛物线过点(0，5)， ∴a ＝－13.∴抛物线的解析式为y ＝－13(x ＋5)(x －3)＝－13x 2－23x ＋5.(2)如解图，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，∵OA ＝5，OC ＝5， ∴∠CAO ＝45°.设AF 的长为m ，则DF ＝22m ，ME ＝AE ＝m ＋1. ∴sin ∠AMF ＝DFMF， ∴MF ＝DFsin ∠AMF＝10×22m 10＝5m. 在Rt △MEF 中，FM 2＝ME 2＋EF 2，∴(5m)2＝(m ＋1)2＋12，第16题解图解得m 1＝1，m 2＝－12(不符合题意，舍去)．∴AF ＝1，∴点Q 的横坐标为－4. 又∵点Q 在抛物线 y ＝－13x 2－23x ＋5上，∴Q(－4，73)．(3)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋n(k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－5k ＋n ＝0n ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1n ＝5，∴直线AC 的解析式为y ＝x ＋5.由题知，点Q ，N ，F 及点P ，M ，E 的横坐标分别相同． 设F(t ，0)，E(t ＋1，0)，点M ，N 均在直线y ＝x ＋5上， ∴N(t ，t ＋5)，M(t ＋1，t ＋6)，∵点P ，Q 在抛物线y ＝－13x 2－23x ＋5上，∴Q(t ，－13t 2－23t ＋5)，P(t ＋1，－13t 2－43t ＋4)，在矩形平移过程中，以P 、Q 、N 、M 为顶点的平行四边形有两种情况：①点Q 、P 在直线AC 的同侧时，QN ＝PM. ∴(－13t 2－23t ＋5)－(t ＋5)＝(－13t 2－43t ＋4)－(t ＋6)，解得t ＝－3. ∴M(－2，3)．②点Q ，P 在直线AC 的异侧时，QN ＝MP. ∴(－13t 2－23t ＋5)－(t ＋5)＝(t ＋6)－(－13t 2－43t ＋4)，解得t 1＝－3＋6，t 2＝－3－6，∴M(－2＋6，3＋6)或(－2－6，3－6)．∴符合条件的点M 是(－2，3)，(－2＋6，3＋6)或(－2－6，3－6)． 17. 解：(1)∵平行四边形ABOC 绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A 的坐标是(0，4)，∴点A′的坐标为(4，0)，设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将点A(0，4)， C(－1，0)，A ′(4，0)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0c ＝416a ＋4b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3c ＝4，∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4.第17题解图①(2)如解图①，连接AA′，设直线AA′的解析式为y ＝kx ＋b ，将A(0，4)，A ′(4，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝44k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝4，∴直线AA′的解析式为y ＝－x ＋4，过M 作ME ⊥x 轴，交直线AA′于点E ，则E(x ，－x ＋4)， 设点M 的坐标为：(x ，－x 2＋3x ＋4)，则S △AMA ′＝S △AME ＋S △A ′ME ＝12ME·OA′＝12×4×[－x 2＋3x ＋4－(－x ＋4)]＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8，∴当x ＝2时，△AMA ′的面积最大，最大值S △AMA ′＝8，∴M 的坐标为(2，6)．(3)设点P 的坐标为(x ，－x 2＋3x ＋4)，当P ，N ，B ，Q 构成平行四边形时， ∵平行四边形ABOC 中，点A 、C 的坐标分别是(0，4)、(－1，0)， ∴点B 的坐标为(1，4)，∵点Q 坐标为(1，0)，P 为抛物线上一动点，N 为x 轴上的一动点，如解图②，第17题解图②①当BQ 为边时，PN ∥BQ ，PN ＝BQ ， ∵BQ ＝4，∴－x 2＋3x ＋4＝±4，当－x 2＋3x ＋4＝4时，解得 x 1＝0，x 2＝3，∴P 1(0，4)，P 2(3，4)当－x 2＋3x ＋4＝－4时，解得 x 3＝3＋412，x 4＝3－412，∴P 3(3＋412，－4)，P 4(3－412，－4)；②当PQ 为对角线时，BP ∥QN 即BP ∥x 轴，BP ＝QN ，此时P 与P 1，P 2重合． 当这个平行四边形为矩形时，即P 1(0，4)，P 2(3，4)时，N 1(0，0)，N 2(3，0)． 综上可得：点P 的坐标为：P 1(0，4)，P 2(3，4)，P 3(3＋412，－4)，P 4(3－412，－4)．当这个平行四边形为矩形时，点N 的坐标为(0，0)或(3，0)．18. 解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，将点A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝025a ＋5b ＋c ＝0c ＝－52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2c ＝－52， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x －52.(2)由题意知，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，如解图，则P 点即为所求．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b 1＝0b 1＝－52，解得⎩⎨⎧k ＝12b1＝－52，第18题解图∴直线BC 的解析式为 y ＝12x －52. ∵抛物线y ＝12x 2－2x －52的对称轴是x ＝2，∴当x ＝2时，y ＝12x －52＝12×2－52＝－32，∴点P 的坐标是(2，－32)．(3)存在．(i )当存在的点N 在x 轴的下方时，如解图所示， ∵四边形ACNM 是平行四边形， ∴CN ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x ＝2对称， ∵C 点的坐标为(0，－52)，∴点N 的坐标为(4，－52)；(ii )当存在的点N′在x 轴上方时，如解图所示，作N′H ⊥x 轴于点H ， ∵四边形ACM′N′是平行四边形，∴AC ＝M′N′，∠N ′M ′H ＝∠CAO ，∠AOC ＝∠M′HN′， ∴Rt △CAO ≌Rt △N ′M ′H(AAS )， ∴N ′H ＝OC.∵点C 的坐标为(0，－52)，∴N ′H ＝52，即N′点的纵坐标为52，∴12x 2－2x －52＝52， 解得x 1＝2＋14，x 2＝2－14.∴点N′的坐标为(2－14，52)或(2＋14，52)．综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为 (4，－52)，(2＋14，52)，(2－14，52)．19. 解：(1)把点C(0，－83)代入y ＝a(x ＋1)2－3，得－83＝a －3，解得a ＝13，∴y ＝13(x ＋1)2－3，当y ＝0时，有13(x ＋1)2－3＝0，∴x 1＝2，x 2＝－4，第19题解图①∴A(－4，0)，B(2，0)． (2)如解图①，连接CH ， ∵A(－4，0)，B(2，0)， C(0，－83)，D(－1，－3)， H(－1，0)，∴S 四边形ABCD ＝S △AHD ＋S △HCD ＋S △BHC ＝12×3×3＋12×3×1＋12×3×83＝10，根据条件分析，直线l 只能与边AD 或边BC 相交，有以下两种情况： (i )如解图①，当直线l 与边AD 相交于点M 1时，则S △AHM 1＝310×10＝3，∴12×3×(－yM 1)＝3， ∴yM 1＝－2，∵A(－4，0)，D(－1，－3)，∴直线AD 的解析式为y ＝－x －4， ∴M 1(－2，－2)，过点H(－1，0)和M 1(－2，－2)的直线l 的解析式为y ＝2x ＋2；第19题解图②(ii )如解图②，当直线l 与边BC 相交与点M 2时，同理可得点M 2(12，－2)，过点H(－1，0)和M 2(12，－2)的直线l 的解析式为y ＝－43x －43.综上所述：直线l 的函数表达式为y ＝2x ＋2或y ＝－43x －43.(3)以DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形．设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)且过点H(－1，0)的直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∴－k ＋b ＝0， ∴b ＝k ， ∴y ＝kx ＋k. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k y ＝13x 2＋23x －83， 得13x 2＋(23－k)x －k －83＝0， ∴x 1＋x 2＝－2＋3k ，y 1＋y 2＝kx 1＋k ＋kx 2＋k ＝3k 2， ∵点M 是线段PQ 的中点，∴由中点坐标公式得点M(32k －1，32k 2)．第19题解图③假设存在这样的N 点如解图③，直线DN ∥PQ ，设直线DN 的解析式为y ＝kx ＋k －3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －3y ＝13x 2＋23x －83， 解得x 1＝－1(舍去)，x 2＝3k －1， ∴N(3k －1，3k 2－3)， ∵四边形DMPN 是菱形， ∴DN ＝DM ， ∴DN 2＝DM 2，即 (3k)2＋(3k 2)2 ＝(3k 2)2＋(32k 2＋3)2，整理得：3k 4－k 2－4＝0，即(k 2＋1)(3k 2－4)＝0， ∵k 2＋1＞0， ∴3k 2－4＝0， 解得k ＝±233，∵k ＜0， ∴k ＝－233，∴N(－23－1，1)，∴以DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形，此时点N 的坐标为(－23－1，1)． 类型五 二次函数与三角形相似、全等问题20. (1)【思路分析】已知抛物线的顶点坐标，利用顶点式代入抛物线上的点O ，求出抛物线解析式，再与直线解析式联立得方程组，即可求得点C 的坐标．解：由题可知，抛物线的顶点为A(1，1)，设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2＋1(a ≠0)， ∵抛物线经过原点O(0，0)，∴将O(0，0)代入，得0＝a(0－1)2＋1， 解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)2＋1＝－x 2＋2x. ∵直线y ＝x －2与抛物线交于B 、C 两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2y ＝－x 2＋2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3).(2)【思路分析】要证明△ABC 是直角三角形，分别计算三角形各边的长度，利用勾股定理的逆定理即可判断．证明：由(1)知，A(1，1)，B(2，0)，C(－1，－3)，第20题解图①如解图①，由两点距离公式，则AF ＝2，CF ＝4，CD ＝3，BD ＝3，BE ＝1，AE ＝1， 在Rt △ABE 中，AB ＝AE 2＋BE 2＝2， 在Rt △BCD 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝32， 在Rt △ACF 中，AC ＝AF 2＋CF 2＝25， 在△ABC 中，AB 2＋BC 2＝(2)2＋(32)2＝20， AC 2＝(25)2＝20，第20题解图②∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形.(3)【思路分析】要求是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，由题知，N 点在x 轴上，M 点在抛物线上，可设出N 点坐标，得到由未知数x 表示的M 点坐标，由(2)知△ABC 的边长，利用三角形相似，列出比例关系式求得N 点坐标．由于N 点的位置不定，需进行分类讨论．解：存在．设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， 由(2)知，AB ＝2，BC ＝32， 分两种情况讨论：①若点N 在点B 右侧，即x ＞2，x 与－x 2＋2x 异号，如解图③，△ONM 与△ABC 相似，则M 1N 1ON 1＝AB BC 或M 2N 2ON 2＝BC AB， 即x 2－2x x ＝232 或x 2－2x x ＝322，解两方程可得x 的值为x 1＝73，x 2＝5，x 3＝0(舍去)．∴N 的坐标为(73，0)或(5，0)；第20题解图③第20题解图④②若点N 在点B 左侧，即x ＜2，x 与－x 2＋2x 同号，如解图④，△ONM 与△ABC 相似，则M 3N 3ON 3＝AB BC 或 M 4N 4ON 4＝BC AB， 即－x 2＋2x x ＝232 或 x 2－2x －x ＝322，解两方程可得x 的值为x 1＝53，x 2＝－1，x 3＝0(舍去)，∴N 的坐标为(53，0)或(－1，0)．综上所述，存在满足条件的点N 的坐标为(73，0)或(5，0)或(53，0)或(－1，0)．21. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，将A 、D 两点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b －8＝036a ＋6b －8＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－3，∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－3x －8.∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，又∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(－2，0)，∴点B 的坐标为(8，0)，设直线l 的函数表达式为y ＝kx ，∵点D(6，－8)在直线l 上，代入得6k ＝－8，解得k ＝－43， ∴直线l 的函数表达式为y ＝－43x. ∵点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，∴点E 的横坐标为3，纵坐标为－43×3＝－4， 即点E 的坐标为(3，－4)．(2)抛物线上存在点F ，使△FOE ≌△FCE.点F 的坐标为(3－17，－4)，(3＋17，－4)．【解法提示】假设存在，由全等的性质得FO ＝FC ，∴点F 的纵坐标y F ＝12y c ， 令抛物线的解析式y ＝12x 2－3x －8中x ＝0，则y ＝－8， ∴C(0，－8)，即y C ＝－8，∴y F ＝－4，将y F ＝－4代入抛物线解析式得12x 2－3x －8＝－4， 解得x 1＝3＋17，x 2＝3－17，∴F 坐标为(3＋17，－4)，(3－17，－4)，∴抛物线上存在点F 使得△FOE ≌△FCE.(3)需分两种情况进行讨论：①当OP ＝OQ 时，△OPQ 是等腰三角形，第21题解图①∵点E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝32＋（－4）2＝5，如解图①，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ， 则OM OP ＝OE OQ， ∴OM ＝OE ＝5，∴点M 的坐标为(0，－5)，设直线ME 的函数表达式为y ＝k 1x －5，将点E(3，－4)代入得3k 1－5＝－4，解得k 1＝13， ∴直线ME 的函数表达式为y ＝13x －5， 令y ＝0，得13x －5＝0， 解得x ＝15，∴点H 的坐标为(15，0)．又OP OM ＝OB OH ， ∴－m 5＝815， ∴m ＝－83；第21题解图②②当QO ＝QP 时，△OPQ 是等腰三角形，延长CE ，交x 轴于点N ，如解图②，当x ＝0时，y ＝12x 2－3x －8＝－8， ∴点C 的坐标为(0，－8)，∴CE ＝32＋（8－4）2＝5，又∵OE ＝32＋42＝5，∴OE ＝CE ，∴∠1＝∠2，∵QO ＝QP ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE ∥PB ，。

函数与几何综合1．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x 轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．4．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．6．如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．9．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．11．如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB 交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．12．两条抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同．（1）求抛物线C2的解析式；（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN 交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A （0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x 轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y 轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．19．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝x+n．①求抛物线的解析式．②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．△PAM22．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A （2，0）．（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A 的交点；（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．25．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A （﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC ＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．27．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．28．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．29．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m 为何值时PN有最大值，最大值是多少？30．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．31．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）32．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．参考答案与试题解析一．解答题（共32小题）1．【分析】（1）C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；（2）作点C关于C1对称轴的对称点C′（﹣1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解；（3）S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+，即可求解．【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，∵﹣＜0，故x＝，S△MOC最大值为．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．2．【分析】（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；（3）分当时、当时两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°，在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°，∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90°∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA∵∠PGA＝∠ACB＝90°∴①当时，△PAG∽△BAC，∴＝，解得x1＝1，x2＝0，（舍去）∴点P的纵坐标为×12+×1+3＝6，∴点P为（1，6）；②当时，△PAG∽△ABC，∴＝3，解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），∴此时无符合条件的点P综上所述，存在点P（1，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用等知识点，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．【分析】（1）待定系数法将已知点的坐标分别代入得方程组并解方程组即可求得抛物线的表达式；（2）先求得C1（0，1），再由待定系数法求得直线C1B解析式y＝﹣x+1，设M（t，+1），得S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，由二次函数性质即可得到结论；（3）以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形要分两种情况进行讨论：①C1C为边，②C1C为对角线．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：∴该抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1．（2）在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝0，y＝﹣1，∴C（0，﹣1）∵点C关于x轴的对称点为C1，∴C1（0，1），设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B（2，0），C1（0，1）分别代入得，解得，∴直线C1B解析式为y＝﹣x+1，设M（t，+1），则E（t，0），F（0，+1）∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝，此时，M（1，）；即点M为线段C1B中点时，S矩形最大．MFOE（3）由题意，C（0，﹣1），C1（0，1），以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P（m，m+1），Q（m，﹣m﹣1），∴|（﹣m﹣1）﹣（m+1）|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0（舍），P1（4，3），Q1（4，5）；P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）；P3（2，2），Q3（2，0）②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为（0，0），∴PQ的中点为（0，0），设P（m，m+1），则Q（﹣m，+m﹣1）∴（m+1）+（+m﹣1）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P4（﹣2，0），Q4（2，0）；综上所述，点P和点Q的坐标为：P1（4，3），Q1（4，5）或P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）或P3（2，2），Q3（2，0）或P4（﹣2，0），Q4（2，0）．【点评】本题属于中考压轴题类型，主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的最值运用，平行四边形性质等，解题关键要正确表示线段的长度，掌握分类讨论的方法．4．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；（2）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×＝2，即可求解；（3）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；（4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BD＝BC＝×＝2，y D＝BD sin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y＝x+3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．5．【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣2，5），B（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y ＝ax2+bx+c得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，求出C′H的长，可得∠C′BH＝60°，求出DH的长，则D坐标可求；（3）由题意可知△C′CB为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．证出△BCQ≌△C′CP，可得BP垂直平分CC′，则D 点在直线BP上，可求出直线BP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）由题意得：解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为（1，）．（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．∴∠BCP＝∠C′CQ，∴△BCP≌△C′CQ（SAS），∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴．∴∠CBP＝30°，设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×，∴点E的坐标为（0，﹣）．设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝﹣．综上所述，直线BP的函数表达式为或．【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．6．【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，c＝3，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；（3）存在点F，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由题意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．7．【分析】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；（2）由题意先求出D点坐标为（2，3），求出直线AC的解析式，设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），则EF＝﹣a2+3a，四边形CEDF的面积可表示为，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；（3）当△PCQ∽△CAP时，可得∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ＝∠OCA＝45°，则PQ∥AC，∠BCO＝∠PCA，过点P作PM⊥AC交AC于点M，可求出PM、PA、OP的长，用待定系数法可求出函数解析式．【解答】解：（1）由题意得：，∴b＝2，c＝3，（2）①如图1，∵点C关于直线x＝1的对称点为点D，∴CD∥OA，∴3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴D（2，3），∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（﹣1，0），A（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），∴EF＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，四边形CEDF的面积＝S△EFC+S△EFD＝＝＝﹣a2+3a＝，∴当a＝时，四边形CEDF的面积有最大值，最大值为．②当△PCQ∽△CAP时，∴∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ，∴PQ∥AC，∵C（0，3），A（3，0），∴OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝∠PCQ＝45°，∴∠BCO＝∠PCA，如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，∴，设PM＝b，则CM＝3b，AM＝b，∵，∴，∴，∴，∴，∴，设直线l的解析式为y＝﹣x+n，∴，∴．∴直线l的解析式为y＝﹣x+．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．8．【分析】（1）把点A、C坐标及对称轴x＝2代入二次函数表达式，即可求解；（2）求出直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），由S△AOC＝＝6，×＝3，即可求解；（3）分△DEO∽△AOC、△BED∽△AOC两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由已知得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6；（2）联立，解得：x＝﹣，直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），S△AOC＝＝6，由题意得：×＝3，解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），∴m＝﹣2；（3）∵OA＝2，OC＝6，∴，①当△DEB∽△AOC时，则，如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，则Rt△BEG∽Rt△EDF，则，则BG＝3EF，设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，∵点E在二次函数上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），则点E（4，﹣6）；②当△BED∽△AOC时，，过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，则Rt△BEN∽Rt△EDM，则，则NB＝EM，设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2，则﹣q＝（p﹣2），解得：p＝或（舍去）；故点E坐标为（4，﹣6）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．9．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP ＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x 轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°。

题型六二次函数与几何图形综合题种类一二次函数与图形判断1． (2017·陕西 )在同向来角坐标系中，抛物线C1： y＝ ax2－ 2x－ 3 与抛物线 C2： y＝ x2＋mx＋ n 对于 y轴对称， C2与 x 轴交于 A 、B 两点，此中点 A 在点 B 的左边．(1)求抛物线 C1，C2的函数表达式；(2)求 A 、 B 两点的坐标；(3) 在抛物线 C1上能否存在一点P，在抛物线 C2上能否存在一点Q，使得以 AB 为边，且以 A、 B、 P、 Q 四点为极点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、 Q 两点的坐标；若不存在，请说明原因 .2．(2017·随州 )在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－ a 为抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a、b、c 为常数， a≠ 0) 的“梦想直线”；有一个极点在抛物线上，还有一个极点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形” ．已知抛物线y＝－232433与其“梦想直线”交于 A 、B 两点 (点 A 在点 B 的3x －3x＋ 2左边 )，与 x 轴负半轴交于点 C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的分析式为 __________ ，点 A 的坐标为 __________ ，点B 的坐标为 __________；(2) 如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将△ ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为N，若△ AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3) 当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，能否存在点F，使得以点 A 、C、 E、 F 为极点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、 F 的坐标；若不存在，请说明原因．( 2017·许昌模拟 )已知：如图，抛物线 y＝ ax2－ 2ax＋c(a ≠0)与 y 轴交于点 C(0 ， 4)，与 x 轴交于点 A 、 B ，点 A 的坐标为 (4， 0)．(1)求该抛物线的分析式；(2)点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QE∥AC ，交 BC 于点 E，连结 CQ.当△ CQE 的面积最大时，求点 Q 的坐标；(3)若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为(2， 0)．问：能否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，恳求出点P 的坐标；若不存在，请说明原因.44．(2016 ·河南 )如图①，直线 y ＝－ 3x ＋n 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 C(0， 4)，抛物线 y＝ 2x 2＋ bx ＋ c 经过点 A ，交 y 轴于点 B(0 ，－ 2)．点 P 为抛物线上一个动点，过点 P 作 x 轴3的垂线 PD ，过点 B 作 BD ⊥PD 于点 D ，连结 PB ，设点 P 的横坐标为 m.(1) 求抛物线的分析式；(2) 当 △BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3) 如图②，将 △ BDP 绕点 B 逆时针旋转，获得 △ BD ′ P ，′且旋转角∠ PBP ′＝∠ OAC ，当点 P 的对应点 P ′落在座标轴上时，请直接写出点P 的坐标 .种类二二次函数与图形面积11． (2017·盐城 )如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ 2x＋2 与x 轴交于点 A ，与y 轴交于点C，抛物线1y＝－ 2x2＋bx＋c经过A、C 两点，与x 轴的另一交点为点 B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点；①连结 BC 、CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，△ CDE 的面积为S1，△ BCE 的面积为S2，求S1的最大值；S2②过点 D 作 DF⊥ AC ，垂足为点 F，连结 CD ，能否存在点 D，使得△CDF 中的某个角恰巧等于∠ BAC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明原因．2． (2017·安顺 )如图甲，直线y＝－ x＋ 3 与 x 轴、 y 轴分别交于点2两点的抛物线y＝ x ＋ bx＋c 与 x 轴的另一个交点为 A ，极点为P.B 、点C，经过 B 、 C(1)求该抛物线的分析式；(2)在该抛物线的对称轴上能否存在点M ，使以 C，P，M 为极点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出全部切合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明原因；(3) 当0＜ x＜ 3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供绘图探究 ).3． (2017·周口模拟 )如图，抛物线 y＝ ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于点 A(1 ，0)和点 B，与 y 轴交于点 C，且其对称轴 l 为 x＝－ 1，点 P 是抛物线上 B， C 之间的一个动点(点 P 不与点 B，C重合 )．(1)直接写出抛物线的分析式；(2)小唐研究点 P 的地点时发现：当动点 N 在对称轴 l 上时，存在 PB⊥ NB ，且 PB＝NB的关系，恳求出点P 的坐标；(3) 能否存在点P 使得四边形PBAC 的面积最大？若存在，恳求出四边形PBAC 面积的最大值；若不存在，请说明原因.4． (2017·濮阳模拟 )如图①，已知抛物线 y＝ ax2＋ bx－ 3 的对称轴为 x＝ 1，与 x 轴分别交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，一次函数 y＝x＋ 1 经过 A ，且与 y 轴交于点 D.(1) 求该抛物线的分析式．(2) 如图②，点P 为抛物线B、 C 两点间部分上的随意一点( 不含 B， C 横坐标为t，设四边形DCPB 的面积为S，求出 S 与 t 的函数关系式，并确立取最大值？最大值是多少？两点 )，设点 P 的t 为什么值时， S(3)如图③，将△ ODB 沿直线 y＝ x＋ 1 平移获得△O′ D′，B设′ O′ B与′抛物线交于点 E，连结 ED′，若 ED′恰巧将△ O′D′的B′面积分为 1∶ 2 两部分，请直接写出此时平移的距离．种类三二次函数与线段问题1． (2017·南宁 )如图，已知抛物线y＝ ax2－ 23ax－9a 与坐标轴交于A，B，C 三点，其中 C(0，3)，∠BAC 的均分线 AE 交 y 轴于点 D，交 BC 于点 E，过点 D 的直线 l 与射线 AC ， AB 分别交于点 M ，N.(1)直接写出 a 的值、点 A 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 点 P 为抛物线的对称轴上一动点，若△ PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；1 1(3)证明：当直线 l 绕点 D 旋转时，AM＋AN均为定值，并求出该定值．2．(2017·焦作模拟 )如图①，直线 y＝34x＋m 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B(0 ，－ 1)，抛物线 y＝12x2＋ bx＋ c 经过点 B ，点 C 的横坐标为 4.(1)请直接写出抛物线的分析式；(2)如图②，点 D 在抛物线上， DE∥ y 轴交直线 AB 于点 E，且四边形 DFEG 为矩形，设点 D 的横坐标为x(0＜ x＜ 4)，矩形 DFEG 的周长为l ，求 l 与 x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点 M 旋转 90°或 180 °，获得△A 1O1B1，点 A 、O、B 的对应点分别是点 A 1、O1、B 1.若△ A 1O1B1的两个极点恰巧落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转 180°时点 A 1的横坐标 .3． (2017·武汉 )已知点 A( －1， 1)， B(4 ， 6)在抛物线 y＝ ax2＋ bx 上．(1)求抛物线的分析式；(2)如图①，点 F 的坐标为 (0，m)(m ＞ 2)，直线 AF 交抛物线于另一点G，过点 G 作 x 轴的垂线，垂足为H. 设抛物线与x 轴的正半轴交于点E，连结 FH 、 AE ，求证： FH∥ AE ；(3) 如图②，直线AB 分别交 x 轴、 y 轴于 C、 D 两点．点P 从点 C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度为每秒 2个单位长度；同时点 Q 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度．点 M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点，当运动到 t 秒时， QM ＝2PM ，直接写出t 的值 .种类四二次函数与三角形相像1． (2016·南宁 )如图，已知抛物线经过原点 O，极点为 A(1 ，1)，且与直线 y＝ x－ 2 交于 B ，C 两点．(1)求抛物线的分析式及点 C 的坐标；(2)求证：△ ABC 是直角三角形；(3) 若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点N作MN⊥ x轴与抛物线交于点M ，则能否存在以O， M ，N 为极点的三角形与△ ABC相像？若存在，恳求出点N 的坐标；若不存在，请说明原因 .2． (2017·平顶山模拟 )如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋ 1 与直线y＝－ ax＋ c 订交于坐标轴上点 A( － 3， 0)， C(0， 1)两点．(1) 直线的表达式为__________；抛物线的表达式为(2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；__________ ；垂直 x 轴于点 E，交直线AC于点F，(3)P 为抛物线上一动点，且A 、 N 为极点的三角形与△ ACO P 在第四象限内，过点相像，请直接写出点P作PNP的坐标.垂直x 轴于点N，使得以P、3．如图①，二次函数y＝ ax2＋ bx＋ 33经过 A(3 ， 0)， G(－ 1， 0)两点．(1)求这个二次函数的分析式；(2) 若点 M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ ABM面积的最大值；23(3)抛物线的对称轴交 x 轴于点 P，过点 E(0 ，3 )作 x 轴的平行线，交 AB 于点 F，能否存在着点Q，使得△ FEQ∽△ BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 .4． (2017·海南 )抛物线 y＝ ax2＋ bx＋ 3 经过点 A(1 ，0)和点 B(5 ，0)．(1) 求该抛物线所对应的函数分析式；(2) 该抛物线与直线y＝错误 ! x＋ 3 订交于C、 D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于轴下方，直线PM ∥ y 轴，分别与x 轴和直线 CD 交于点 M、 N.①连结 PC、PD，如图①，在点 P 运动过程中，△ PCD 的面积能否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明原因；②连结 PB，过点 C 作 CQ⊥ PM ，垂足为点Q，如图②，能否存在点P，使得△ CNQx 与△ PBM相像？若存在，求出知足条件的点P 的坐标；若不存在，说明原因.题型六 第 23 题二次函数与几何图形综合题种类一二次函数与图形判断1．解： (1) ∵ C 1、C 2 对于 y 轴对称，∴ C 1 与 C 2 的交点必定在 y 轴上，且 C 1 与 C 2 的形状、大小均同样，∴a ＝ 1， n ＝－ 3，∴ C 1 的对称轴为 x ＝ 1，∴ C 2 的对称轴为 x ＝－ 1，∴ m ＝ 2，∴ C 1 的函数表示式为 y ＝x 2 －2x － 3，C 2 的函数表达式为 y ＝ x 2＋ 2x －3；(2) 在 C 2 的函数表达式为 y ＝ x 2＋ 2x －3 中，令 y ＝ 0 可得 x 2＋ 2x － 3＝ 0，解得 x ＝－ 3 或x ＝ 1，∴ A( － 3， 0)， B(1， 0)；(3) 存在．设 P(a ， b)，则 Q(a ＋ 4， b)或(a －4， b)， ①当 Q(a ＋4， b)时，得：a 2－ 2a － 3＝ (a ＋ 4)2＋ 2(a ＋ 4)－ 3， 解得 a ＝－ 2，∴ b ＝ a 2－ 2a － 3＝ 4＋ 4－3＝ 5，∴ P 1( －2， 5)， Q 1(2， 5)．②当 Q(a －4， b)时，得：22a － 2a － 3＝ (a － 4) ＋ 2(a － 4)－ 3，∴ b ＝ 4－ 4－ 3＝－ 3，∴ P 2(2，－ 3)， Q 2(－ 2，－ 3)．综上所述，所求点的坐标为P 1(－ 2， 5)， Q 1(2， 5)；P 2(2，－ 3)， Q 2(－ 2，－ 3).2．解： (1) ∵抛物线 y ＝－ 23 24 3 3，3 x － 3 x ＋2∴其梦想直线的分析式为y ＝－ 23 3 x ＋ 2 3 3，2 3 2 3y ＝－ 3 x ＋ 3x ＝－ 2x ＝ 1联立梦想直线与抛物线分析式可得 2 3 2，解得 或 ，y ＝－ － 4 3 y ＝ 2 3 y ＝ 03 x3 x ＋ 2 3∴ A( － 2， 2 3)， B(1 ， 0)；(2) 当点 N 在 y 轴上时，△ AMN 为梦想三角形，如解图①，过 A 作 AD ⊥ y 轴于点 D ，则 AD ＝ 2，在 y ＝－ 2 3 3x 2－ 43 3x ＋ 2 3中，令 y ＝0 可求得 x ＝－ 3 或 x ＝ 1，∴ C( － 3， 0)，且 A( －2， 2 3)，∴AC ＝ （－ 2＋3）2＋（ 2 3）2＝ 13，由翻折的性质可知 AN ＝ AC ＝ 13，在 Rt △ AND 中，由勾股定理可得 DN ＝ AN 2－AD 2＝ 13－ 4＝ 3，∵OD ＝2 3，∴ ON ＝2 3－3 或 ON ＝ 2 3＋3，当 ON ＝ 2 3＋ 3 时，则 MN ＞ OD ＞CM ，与 MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为 (0， 2 3－3)；当 M 点在 y 轴上时，则 M 与 O 重合，过 N 作 NP ⊥ x 轴于点 P ，如解图②，在 Rt △ AMD中， AD ＝ 2，OD ＝ 2 3，∴ tan ∠DAM＝MD ＝3，∴∠DAM＝ 60°，AD∵ AD ∥ x 轴，∴∠ AMC ＝∠ DAM ＝ 60°，又由折叠可知∠ NMA ＝∠ AMC ＝ 60°，∴∠ NMP ＝ 60°，且 MN ＝CM ＝ 3，∴ MP ＝1MN ＝3， NP ＝ 3MN ＝3 3，22223 3 3∴此时 N 点坐标为 (2， 2 )；N 点坐标为 (0， 2 3－ 3)或 ( 3 3 3 综上可知 2，2 )； (3) ①当 AC 为平行四边形的边时，如解图③，过 F 作对称轴的垂线 FH ，过 A 作 AK ⊥ x轴于点 K ，则有 AC ∥EF 且 AC ＝EF ，∴∠ ACK ＝∠ EFH ，∠ ACK ＝∠ EFH在△ ACK 和△ EFH 中， ∠ AKC ＝∠ EHF ，AC ＝EF∴△ ACK ≌△ EFH( AAS)， ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝2 3，∵抛物线对称轴为 x ＝－ 1，∴ F 点的横坐标为 0或－2，∵点 F 在直线 AB 上，∴当 F 点横坐标为0 时，则 F(0，233)，此时点 E 在直线 AB 下方，∴ E 到 x 轴的距离为 EH － OF ＝2 3－23＝4 3，即 E 点纵坐标为－43，∴ E(－ 1，－3 33433)；当 F 点的横坐标为－ 2 时，则 F 与 A 重合，不合题意，舍去；②当 AC 为平行四边形的对角线时，∵ C( － 3， 0)，且 A( －2， 2 3)，5∴线段 AC 的中点坐标为(－，3)，设 E(－ 1， t)， F(x， y)，则 x－ 1＝2× (－52)， y＋ t ＝2 3，∴ x＝－ 4，y＝ 2 3－ t，代入直线 AB 分析式可得23－ t＝－233× (－ 4)＋233，解得 t＝－433，∴E(－1，－4 31033 )， F(－ 4，3)；综上可知存在知足条件的点F，此时 E(－ 1，－4323－1，－43 3)、F(0，3)或 E(3)、F(－1034，3).0＝16a－ 8a＋c a＝－12，3．解：(1)由题意，得，解得4＝c c＝4∴所求抛物线的分析式为y＝－1x2＋ x＋4；2(2)设点 Q 的坐标为 (m， 0)，如解图①，过点 E 作 EG⊥ x 轴于点 G.12＝－ 2， x2＝ 4，由－ x ＋ x＋4＝ 0，得 x12∴点 B 的坐标为 (－ 2， 0)，∴ AB ＝6， BQ＝ m＋ 2，∵QE∥ AC ，∴△ BQE ∽△ BAC ，∴EG＝BQ，即EG＝m＋2，∴ EG＝2m＋4，COBA463∴ S△CQE＝ S△CBQ－ S△EBQ＝111(m＋ 2)(4 －2m＋ 4)＝－12＋28＝BQ·CO－2BQ·EG＝33m3m＋223－1(m－ 1)2＋ 3，3又∵－ 2≤ m≤ 4，∴当 m＝ 1 时， S△CQE有最大值3，此时 Q(1 ，0)；图①图②(3)存在．在△ ODF 中．(ⅰ)若 DO＝DF，∵A(4 ， 0)，D(2 ， 0)，∴ AD ＝ OD＝DF ＝ 2，又∵在 Rt △AOC 中， OA ＝ OC ＝4，∴∠ OAC ＝ 45°， ∴∠ DFA ＝∠ OAC ＝ 45°，∴∠ ADF ＝ 90°，此时，点 F 的坐标为 (2， 2)，12由－ x ＋ x ＋4＝ 2，2得 x 1＝ 1＋ 5， x 2＝ 1－ 5，此时，点 P 的坐标为 P(1＋5，2)或 P(1－5， 2)；( ⅱ)若 FO ＝ FD ，如解图②，过点 F 作 FM ⊥ x 轴于点 M ， 由等腰三角形的性质得： OM ＝ MD ＝ 1，∴ AM ＝ 3， ∴在等腰直角△ AMF 中， MF ＝ AM ＝ 3，∴ F(1， 3)，12由－ x ＋ x ＋4＝ 3，得 x 1 ＝1＋ 3， x 2＝ 1－ 3，2此时，点 P 的坐标为： P(1＋3， 3)或 P(1－ 3， 3)；( ⅲ)若 OD ＝ OF ，∵ OA ＝ OC ＝4，且∠ AOC ＝ 90°， ∴ AC ＝ 4 2，∴点 O 到 AC 的距离为 2 2，而 OF ＝ OD ＝ 2＜ 2 2，与 OF ≥ 2 2矛盾，∴ AC 上不存在点使得 OF ＝ OD ＝ 2，此时，不存在这样的直线 l ，使得△ ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线 l ，使得△ ODF 是等腰三角形． 所求点 P 的坐标为 (1＋5， 2)或 (1－ 5， 2)或 (1＋ 3， 3)或 (1－ 3， 3).44．解： (1) ∵点 C(0， 4)在直线 y ＝－ 3x ＋ n 上，4∴ n ＝ 4，∴ y ＝－ 3x ＋ 4，令 y ＝ 0，解得 x ＝ 3，∴ A(3 ， 0)，2 2∵抛物线 y ＝ 3x ＋bx ＋ c 经过点 A ，交 y 轴于点 B(0，－ 2)，∴ c ＝－ 2， 6＋3b － 2＝ 0，解得 b ＝－43，2 24∴抛物线的分析式为y ＝ 3x － 3x －2；(2) ∵点 P 的横坐标为 m ，且点 P 在抛物线上，2 2 4∴P(m ， 3m －3m － 2)，∵ PD ⊥ x 轴， BD ⊥ PD ，∴点 D 坐标为 (m ，－ 2)， ∴ |BD|＝ |m|， |PD|＝ |2m 2－ 4m － 2＋ 2|，33当△ BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝ BD ，224 22 4∴ |m|＝ |m －m － 2＋ 2|＝ | m － m|.3333∴ m 2＝(2m 2－ 4m)2，解得： m 1＝ 0(舍去 )， m 2＝ 7， m 3＝ 1，3322∴当△ BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为7或1；2 2(3) ∵∠ PBP ′＝∠ OAC ，OA ＝ 3，OC ＝ 4，∴ AC ＝ 5，∴ sin ∠PBP ′＝ 45， cos ∠PBP ′＝ 35，①当点 P ′落在 x 轴上时，如解图①，过点D ′作 D ′N⊥ x 轴，垂足为 N ，交 BD 于点 M ，∠ DBD ′＝∠ ND ′P ′＝∠ PBP ′，由旋转知， P ′ D ′＝ PD ＝ 2m 2－ 4m ，33在 Rt △ P ′D ′ N 中， cos ∠ ND ′ P ′＝ ND ′3＝ cos ∠PBP ′＝，P ′ D ′5∴ ND ′＝ 3(2m 2－ 4m)，5 33在 Rt △ BD ′ M 中， BD ′＝－ m ， sin ∠ DBD ′＝D ′M 4＝ sin ∠ PBP ′＝ ，BD ′5∴D ′M ＝－4m ，∴ ND ′－ MD ′＝ 2，5∴ 3(2m 2－4m)－ (－ 4m)＝ 2， 5 3 3 5解得 m ＝ 5(舍去 )或 m ＝－5，如解图②，同①的方法得， ND ′＝ 3(2m 2－4m)，MD ′＝ 4m ，5 3 35 ND ′＋ MD ′＝ 2， ∴ 3(2m 2－4m)＋ 4m ＝ 2， 5 3 3 5∴ m ＝ 5或 m ＝－ 5(舍去 )，∴P(－ 5，4－4 5＋45＋ 4)或 P( 5， 3)，3②当点 P ′落在 y 轴上时，如解图③，过点 D ′作 D ′M⊥ x 轴，交 BD 于 M ，过点 P ′作 P ′N⊥ y 轴，交 MD ′的延伸线于点 N ，∴∠ DBD ′＝∠ ND ′P ′＝∠ PBP ′，同①的方法得： P ′N＝ 4(2m 2－4 m)，BM ＝ 3m ，5 3 3 5∵ P ′N ＝BM ，4224 3∴ 5(3m －3m)＝ 5m ，25解得 m ＝或 m ＝ 0( 舍去 )，25 11 ∴ P( 8 ， 32)，∴ P(－ 5， 4 5＋4－4 5＋425 113 )或 P( 5， 3)或 P(8 ， 32).种类二 二次函数与图形面积1．解： (1)依据题意得 A( － 4， 0)， C(0， 2)， ∵抛物线 y ＝－ 1x 2＋ bx ＋ c 经过 A 、 C 两点，2 0＝－ 1× 16－ 4b ＋c b ＝－ 3∴ 2， 解得 2， 2＝ c c ＝ 21 2 3x ＋ 2；∴ y ＝－ x－22(2) ①令 y ＝ 0，∴－12x2－32x ＋ 2＝ 0，解得 x 1＝－ 4， x 2＝ 1，∴ B(1 ， 0)，如解图①，过 D 作 DM ∥ y 轴交 AC 于 M ，过 B 作 BN ⊥ x 轴交 AC 于 N ，∴ DM ∥BN ，∴△ DME ∽△ BNE ，∴S 1＝ DE＝DM，S 2 BEBN1 2 31设 D(a ，－ a －a ＋ 2)，∴ M(a ， a ＋ 2)，2221－ 125 DM 2a － 2aS＝ ＝＝∵ B(1 ， 0)，∴ N(1， ) ，∴S 2 BN522－ 1(a ＋ 2)2＋ 4；55∴当 a ＝－ 2 时，S 1有最大值，最大值是 4；S 25 ②∵ A( － 4， 0)， B(1 ，0)， C(0， 2)，∴AC ＝2 5，BC ＝ 5， AB ＝5，∵ AC 2＋ BC 2＝ AB 2，3∴△ ABC 是以∠ ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点 P ，∴ P(－ 2， 0)，∴ PA ＝ PC ＝ PB ＝ 5，∴∠ CPO ＝2∠ BAC ，2∴ tan ∠ CPO ＝ tan(2∠ BAC) ＝ 4 3，如解图②，过D 作 x 轴的平行线交 y 轴于 R ，交 AC 的延伸线于 G ，状况一：∠ DCF ＝ 2∠ BAC ＝∠ DGC ＋∠ CDG ，∴∠ CDG ＝∠ BAC ，∴ tan ∠ CDG ＝ tan ∠ BAC ＝12，即RCDR ＝12，令 D(a ，－ 1a 2－ 3a ＋ 2)，∴ DR ＝－ a ， RC ＝－ 1a 2－ 3a ，2222123a－ a －22 1∴ － a ＝2，解得 a 1＝ 0(舍去 )， a 2＝－ 2，∴ x D ＝－ 2，状况二：∠ FDC ＝ 2∠BAC ，∴ tan ∠ FDC ＝ 4，3设 FC ＝ 4k ，∴ DF ＝3k ， DC ＝ 5k ， ∵tan ∠ DGC ＝ FG3k＝12，∴ FG ＝6k ，∴ CG ＝ 2k ，DG ＝ 3 5k ，∴ RC ＝25 4 55 k ， RG ＝ 5 k ，4 5 11 5DR ＝ 3 5k － 5 k ＝ 5k ，11 5∴DR＝5 k ＝ － a ，解得 a ＝ 0(舍去 )， a ＝－ 29，RC2 5 1 23 1 211a5 k － a －2 2∴点 D 的横坐标为－ 2 或－ 2911.2．解： (1) ∵直线 y ＝－ x ＋3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B 、点 C ，∴ B(3 ， 0)，C(0， 3)，把 B 、C 坐标代入抛物线分析式可得9＋3b ＋ c ＝ 0，c ＝ 3b ＝－ 4解得 ，c ＝3∴抛物线的分析式为y ＝ x 2－ 4x ＋3；(2) ∵ y ＝ x 2－ 4x ＋ 3＝(x － 2)2－ 1， ∴抛物线对称轴为 x ＝ 2， P(2，－ 1)，设 M(2 ， t) ，且 C(0 ， 3)，∴MC ＝ 22＋（ t－ 3）2＝ t2－6t＋ 13， MP ＝ |t＋ 1|，PC＝ 22＋（－ 1－3）2＝ 2 5，∵△ CPM 为等腰三角形，∴有 MC ＝MP 、 MC＝ PC 和 MP＝PC 三种状况，①当 MC ＝MP 时，则有233t － 6t＋ 13＝|t＋1|，解得 t＝，此时 M(2 ， )；22②当 MC ＝PC 时，则有t2－6t＋ 13＝ 25，解得 t＝－ 1(与 P 点重合，舍去 )或 t＝ 7，此时 M(2 ， 7)；③当 MP ＝PC 时，则有 |t＋ 1|＝ 25，解得 t＝－ 1＋25或 t＝－ 1－ 25，此时 M(2 ，－ 1＋ 25)或 (2，－ 1－ 2 5)；3综上可知存在知足条件的点M ，其坐标为 (2，2)或 (2，7)或(2，－ 1＋ 2 5)或 (2，－ 1－ 2 5)；(3) 如解图，在0＜x＜ 3 对应的抛物线上任取一点E，过 E 作 EF⊥ x 轴，交 BC 于点 F，交 x 轴于点 D，设 E(x， x2－ 4x＋ 3)，则 F(x，－ x＋ 3)，∵0＜ x＜ 3，∴EF＝－ x＋ 3－ (x 2－ 4x＋ 3)＝－ x2＋ 3x，11EF·BD ＝1EF·OB＝12＋ 3x)＝－3 3 2＋∴ S△CBE＝ S△EFC＋ S△EFB＝EF·OD＋22× 3(－ x(x－2)222 27，8∴当 x＝3时，△ CBE 的面积最大，此时 E 点坐标为 (3，－3)，224即当 E 点坐标为33( ，－)时，△ CBE 的面积最大 . 243．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l为x＝－1，∴B(－3，0)，a＋ b－3＝ 0a＝ 1∴，解得，9a－ 3b－3＝ 0b＝ 2∴抛物线的分析式为 y＝ x2＋ 2x－3；(2) 如解图①，过点P 作 PM ⊥ x 轴于点 M ，设抛物线对称轴 l 交 x 轴于点 Q.∵ PB ⊥NB ，∴∠ PBN ＝ 90°，∴∠ PBM ＋∠ NBQ ＝ 90°.∵∠ PMB ＝ 90°，∴∠ PBM ＋∠ BPM ＝ 90°， ∴∠ BPM ＝∠ NBQ.又∵∠ BMP ＝∠ BQN ＝ 90°，PB ＝NB ，∴△ BPM ≌△ NBQ ，∴ PM ＝ BQ. ∵抛物线 y ＝ x 2＋ 2x －3 与 x 轴交于点 A(1 ， 0)和点 B ，且对称轴为 x ＝－ 1，∴点 B 的坐标为 (－ 3， 0)，点 Q 的坐标为 (－ 1， 0)，∴ BQ ＝ 2，∴ PM ＝ BQ ＝2.2∵点 P 是抛物线 y ＝ x ＋ 2x － 3 上 B 、 C 之间的一个动点，22将 y ＝－ 2 代入 y ＝x ＋2x － 3，得－ 2＝ x ＋ 2x － 3， 解得 x 1＝－ 1－ 2， x 2＝－ 1＋ 2(舍去 )，(3) 存在．如解图②，连结 AC ，PC.可设点 P 的坐标为 (x ，y)( －3＜ x ＜ 0)，则 y ＝ x 2＋ 2x － 3，∵点 A(1 ， 0)，∴ OA ＝1.∵点 C 是抛物线与 y 轴的交点，∴令 x ＝ 0，得 y ＝－ 3，即点 C(0，－ 3)，∴ OC ＝ 3.由 (2) 可知 S 四边形 PBAC ＝ S △BPM ＋ S 四边形 PMOC ＋ S △AOC ＝1 1 12 BM ·PM ＋ (PM ＋ OC)·OM ＋ OA ·OC22＝ 1(x ＋ 3)(－ y)＋ 1(－ y ＋ 3)( － x)＋ 1× 1×3＝－ 3y － 3x ＋ 3，2222 2223 23 3 3 3275将 y ＝ x ＋ 2x － 3代入可得 S 四边形 PBAC ＝－ (x＋ 2x － 3)－ x ＋ ＝－2(x ＋ ) ＋8.22 2 23∵－ ＜ 0，－ 3＜ x ＜0，∴当 x ＝－ 3时， S 四边形PBAC有最大值75，此时， y ＝ x 2＋ 2x －3＝－15.2843 1575∴当点 P 的坐标为 (－ 2，－ 4 )时，四边形 PBAC 的面积最大，最大值为 8 .4．解： (1) 把 y ＝0 代入直线的分析式得 x ＋ 1＝ 0，解得 x ＝－ 1，∴ A( － 1，0)． ∵抛物线的对称轴为 x ＝ 1，∴ B 的坐标为 (3， 0)． 将 x ＝ 0 代入抛物线的分析式得 y ＝－ 3，∴ C(0，－ 3)．设抛物线的分析式为y ＝ a(x ＋ 1)(x － 3)，将 C(0 ，－ 3)代入得－ 3a ＝－ 3，解得 a ＝ 1，∴抛物线的分析式为 y ＝ (x ＋ 1)(x － 3)＝ x 2－ 2x － 3； (2) 如解图①，连结 OP.将 x＝ 0 代入直线AD 的分析式得y＝1，∴ OD＝ 1.2∵S 四边形DCPB＝ S△ODB＋ S△OBP＋ S△OCP，1×12＋2t1× 3× t，整理得S＝－329∴ S＝3× 1＋×3× (－ t＋ 3)＋2t＋ t＋ 6，2222配方得：S＝－332＋75，(t－)8 22∴当 t＝3时， S 获得最大值，最大值为75；28(3)如解图②，设点 D′的坐标为 (a， a＋ 1)，O′ (a， a)．当△ D′O′E的面积∶△ D′EB′面积＝的 1∶ 2 时，则 O′E∶ EB ′＝ 1∶ 2.∵O′B ′＝ OB ＝ 3，∴ O′ E＝ 1，∴ E(a＋ 1， a)．将点 E 的坐标代入抛物线的分析式得 (a＋1)2－2(a＋1)－ 3＝ a，整理得： a2－ a－ 4＝ 0，解得a＝1＋ 17或a＝1－ 17，22∴ O′的坐标为 (1＋ 171＋ 171－ 17，1－ 17，2)或 (22) ，2∴OO′＝2＋34或 OO′＝34－ 2，22∴△ DOB 平移的距离为2＋34或34－ 2，22当△ D′O′E的面积∶△ D′ EB ′的面积＝ 2∶ 1 时，则 O′E∶ EB′＝ 2∶ 1.∵O′B ′＝ OB ＝ 3，∴ O′ E＝ 2，∴ E(a＋ 2， a)．将点 E 的坐标代入抛物线的分析式得：(a＋ 2)2－ 2(a＋ 2)－ 3＝ a，整理得： a2＋a－ 3＝ 0，解得 a＝－1＋ 13－1－ 13或 a＝2.2－1＋ 13－1＋ 13－ 1－ 13 －1－ 13)．∴ O′的坐标为 (，2)或 (2，22∴ OO′＝－2＋26或 OO′＝2＋ 26.22－2＋262＋ 26.∴△ DOB 平移的距离为2或2综上所述，当△ D′O′沿B′DA 方向平移2＋34或2＋26单位长度，或沿AD 方向平22移 34－－2＋261∶2 两部分 . 2或个单位长度时， ED′恰巧将△ O′D′的B′面积分为22种类三二次函数与线段问题1 1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a＝3，解得a＝－3.令 y＝ 0，得 ax2－ 2 3ax－ 9a＝0，∵a≠ 0，∴ x2－2 3x － 9＝ 0，解得 x＝－ 3或 x＝ 3 3.∴点 A 的坐标为 (－3，0)，点 B 的坐标为 (33， 0)，∴抛物线的对称轴为x＝3；(2)解：∵ OA ＝ 3， OC＝3，∴tan∠ CAO ＝ 3，∴∠ CAO ＝ 60°.∵ AE 为∠ BAC 的均分线，∴∠DAO ＝30°，3∴ DO ＝3 AO ＝ 1，∴点 D 的坐标为 (0， 1)，设点 P 的坐标为 (3， a)．∴AD 2＝ 4， AP 2＝ 12＋a2，DP2＝3＋ (a－ 1)2.当 AD ＝ PA 时， 4＝ 12＋ a2，方程无解．当 AD ＝ DP 时， 4＝ 3＋ (a－ 1)2，解得 a＝ 0 或 a＝2，∴点 P 的坐标为 ( 3， 0)或 (3， 2)．当 AP＝ DP 时， 12＋a2＝ 3＋ (a－ 1)2，解得 a＝－ 4.∴点 P 的坐标为 ( 3，－ 4)．综上所述，点P 的坐标为 ( 3， 0)或 ( 3，－ 4)或 (3， 2);(3) 证明：设直线AC 的分析式为y＝ mx＋ 3，将点 A 的坐标代入得－3m＋ 3＝ 0，解得m＝3，∴直线 AC 的分析式为y＝3x ＋ 3.设直线 MN 的分析式为y＝ kx ＋ 1.把 y＝ 0 代入 y＝ kx＋ 1，得 kx＋ 1＝ 0，解得： x＝－1，k∴点 N 的坐标为 (－1， 0)，∴ AN ＝－1＋3＝ 3k－1. k k k将 y＝3x＋ 3 与 y＝ kx ＋1 联立，解得 x＝2，k－ 3∴点 M 的横坐标为2.k－3如解图，过点M 作 MG ⊥ x 轴，垂足为 G.则 AG ＝2＋ 3.k－ 3∵∠ MAG ＝60°，∠ AGM ＝ 90°，∴ AM ＝2AG ＝4＋223k－ 2 k－ 33＝.k－ 3∴ 1 ＋ 1 ＝ k－ 3 ＋k＝ k－ 3 ＋2k＝ 3k－ 3 ＝ 3（ 3k－ 1）＝AM AN 2 3k－23k－1 2 3k－ 2 2 3k －2 2 3k－ 22（ 3k－ 1）32.32．解：(1)∵直线l：y＝4x＋m经过点B(0，－1)，∴m＝－1，∴直线 l 的分析式为y＝34x－ 1，3∵直线 l ： y ＝ 4x － 1 经过点 C ，且点 C 的横坐标为 4，∴ y ＝ 3× 4－1＝ 2，4∵抛物线 y ＝ 1x 2＋ bx ＋c 经过点 C(4， 2)和点 B(0 ，－ 1)，21× 42＋ 4b ＋ c ＝ 25∴2，解得 b ＝－ 4，c ＝－ 1c ＝－ 1∴抛物线的分析式为1 2 5 x －1；y ＝ x －2434(2) 令 y ＝ 0，则 x － 1＝ 0，解得 x ＝ ，43∴点 A 的坐标为 (4， 0)，∴ OA ＝4，33在 Rt △ OAB 中， OB ＝1，∴ AB ＝OA 2＋ OB 2＝ （4） 2＋ 12＝ 5，3 3 ∵ DE ∥ y 轴，∴∠ ABO ＝∠ DEF ，OB 3在矩形 DFEG 中， EF ＝ DE ·cos ∠DEF ＝ DE ·＝ DE ，AB5OA 4DE ，DF ＝ DE ·sin ∠ DEF ＝ DE · ＝AB 5∴ l ＝2(DF ＋ EF) ＝ 2×( 4＋3)DE ＝ 14DE ，5 55∵点 D 的横坐标为t(0＜ t ＜ 4)，1 253t － 1)， ∴ D(t ，t － t －1) ，E(t ， 24 4∴ DE ＝ (34t － 1)－ (12t 2－ 54t － 1)＝－ 12t 2＋ 2t ，∴ l ＝1412＝－7 228 5 × (－ t ＋ 2t)t ＋5t ，25∵ l ＝－ 7(t －2) 2＋28，且－ 7＜0，555∴当 t ＝ 2 时， l 有最大值 285；(3) “落点”的个数有 4 个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．如解图③，设A 1 的横坐标为 m ，则 O 1 的横坐标为 m ＋ 4，3 1 25 1 4 2 5 4∴m －m － 1＝ (m ＋ )－ (m ＋ )－ 1，242 3 4 3解得 m ＝ 127，如解图④，设 A 1 的横坐标为 m ，则 B 1 的横坐标为 m ＋ 4，B 1 的纵坐标比 A 1 的纵坐标大3 1，1 25 1 4 2 5 4 4，∴m －m － 1＋ 1＝ (m ＋ ) － (m ＋)－ 1，解得 m ＝ 2423433∴旋转 180°时点 A 1 的横坐标为7 或 4 .12 33．(1) 解：将点 A( － 1， 1)， B(4 ， 6)代入 y ＝ ax 2＋ bx 中，1 a － b ＝1a ＝ 2得，解得， 16a ＋ 4b ＝ 61b ＝－ 2 ∴抛物线的分析式为y ＝12x2－12x ；(2) 证明：设直线 AF 的分析式为 y ＝ kx ＋ m ， 将点 A( －1， 1)代入 y ＝ kx ＋ m 中，即－ k ＋ m ＝ 1， ∴ k ＝ m － 1， ∴直线 AF 的分析式为y ＝ (m － 1)x ＋ m.联立直线 AF 和抛物线分析式成方程组，y ＝（ m － 1） x ＋ mx 1＝－ 1 x 2＝ 2m1 2 1，解得 ， 2，y ＝ x － xy 1＝ 1 y 2＝ 2m－ m 2 2∴点 G 的坐标为 (2m ， 2m 2－ m)．∵ GH ⊥ x 轴，∴点 H 的坐标为 (2m ， 0)．1 2 11∵抛物线的分析式为 y ＝ 2x － 2x ＝2x(x － 1)， ∴点 E 的坐标为 (1， 0) ．设直线 AE 的分析式为 y ＝ k 1x ＋ b 1，－ k 1＋ b 1＝ 1k 1＝－ 1将 A( － 1， 1)， E(1 ， 0)代入 y ＝ k 1x ＋b 1 中，得2，解得1，k 1＋ b 1＝ 0 b 1＝2∴直线 AE 的分析式为y ＝－1 1 .x ＋22设直线 FH 的分析式为 y ＝ k 2x ＋ b 2，b 2＝ mk 2＝－ 1将 F(0， m)、 H(2m ， 0)代入 y ＝ k 2x ＋b 2 中，得，解得：2，2mk 2＋ b 2＝ 0b 2＝ m∴直线 FH 的分析式为y ＝－ 1x ＋ m.∴FH ∥ AE ；2(3) 解：设直线 AB 的分析式为 y ＝ k 0x ＋b 0，将 A( －1， 1)， B(4， 6)代入 y ＝k 0x ＋ b 0 中，－ k 0＋ b 0＝ 1 k 0 ＝1，解得 ，4k 0＋ b 0＝ 6 b 0 ＝2∴直线 AB 的分析式为 y ＝ x ＋ 2.当运动时间为 t 秒时，点 P 的坐标为 (t －2， t) ，点 Q 的坐标为 (t ， 0)．当点 M 在线段 PQ 上时，过点 P 作 PP ′⊥x 轴于点 P ′，过点 M 作 MM ′ ⊥ x 轴于点 M ′，则 △ PQP ′∽△ MQM ′ ，如解图所示．∵ QM ＝2PM ， ∴ QM ′＝ MM ′＝ 2，QP ′ PP ′ 342∴QM ′＝ ，MM ′＝t ，334 2∴点 M 的坐标为 (t －3， 3t)，又∵点 M 在抛物线1 21 y ＝ x － x 上，222 1 4 21 4∴t ＝(t － ) －(t － )，32323解得 t ＝ 15± 113，6当点 M 在线段 QP 的延伸线上时，同理可得出点 M 的坐标为 (t － 4， 2t)，∵点 M 在抛物线1 2 1x 上， y ＝ x －2 2 1 × (t － 4) 2 1 ∴ 2t ＝－ (t － 4)，22解得 t ＝ 13± 89.2综上所述：当运动时间为15－ 113秒、 15＋ 113秒、13－ 89秒或 13＋ 89秒时， QM＝6 6 2 22PM.种类四二次函数与三角形相像1．(1) 解：∵极点坐标为 (1， 1)，2又∵抛物线过原点，∴ 0＝ a(0－ 1)2＋ 1，解得 a ＝－ 1，∴抛物线的分析式为 y ＝－ (x － 1)2＋ 1，即 y ＝－ x 2＋ 2x ，y ＝－ x 2＋ 2x联立抛物线和直线分析式可得，y ＝ x － 2解得 x ＝2 x ＝－ 1或 ，y ＝ 0 y ＝－ 3∴ B(2 ， 0)，C( － 1，－ 3)；(2) 证明：如解图，分别过 A 、C 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于 D 、 E 两点，则 AD ＝ OD ＝ BD ＝ 1， BE ＝ OB ＋ OE ＝ 2＋ 1＝ 3， EC ＝3， ∴∠ ABO ＝∠ CBO ＝ 45°，即∠ ABC ＝90°， ∴△ ABC 是直角三角形；(3) 解：假定存在知足条件的点N ，设 N(x ， 0)，则 M(x ，－ x 2＋ 2x)，∴ ON ＝ |x|，MN ＝ |－ x 2＋ 2x|，由 (2) 在 Rt △ ABD 和 Rt △ CEB 中，可分别求得 AB ＝ 2， BC ＝ 3 2， ∵ MN ⊥x 轴于点 N∴∠ MNO ＝∠ ABC ＝90°，∴当△ MNO 和△ ABC 相像时有MN ＝ON或MN＝ON，AB BC BC AB①当MN＝ ON 时，则有|－x 2＋2x|＝|x|，即 |x|× |－ x ＋2|＝ 1 |x|，AB BC 2 3 23∵当 x ＝ 0 时 M 、 O 、 N 不可以组成三角形，∴ x ≠ 0，1 1 5 7 ， ∴ |－ x ＋ 2|＝ ，即－ x ＋2＝ ± ，解得 x ＝ 或 x ＝3333此时 N 点坐标为 (5， 0)或 (7， 0)，33②当MN＝ ON 时，则有 |－ x 2＋ 2x| ＝ |x| ，即 |x|× |－ x ＋2|＝ 3|x|，BC AB 3 2 2∴ |－ x ＋ 2|＝3，即－ x ＋2＝ ±3，解得 x ＝5 或 x ＝－ 1，此时 N 点坐标为 (－1， 0)或 (5， 0)，综上可知存在知足条件的N 点，其坐标为 (5，0)或(7， 0)或 (－ 1， 0)或 (5， 0).3 33a ＋ c ＝ 0 a ＝－ 132．解： (1) 把 A 、 C 两点坐标代入直线 y ＝－ ax ＋c 可得，解得 ，c ＝1c ＝ 1∴直线的表达式为1y ＝ x ＋ 1，3把 A 点坐标和 a ＝－1代入抛物线分析式可得 9× (－1)－ 3b ＋ 1＝ 0，解得 b ＝－ 2，333 ∴抛物线的表达式为y ＝－12 2x ＋ 1；x －3 3(2) ∵点 D 为抛物线在第二象限部分上的一点，1 2 2 1t ＋ 1)，∴可设 D(t ，－ t － t ＋ 1)，则 F(t ，3 33∴DF ＝－1 22 1 1 2 13 2 3 .3t － t ＋ 1－ ( t ＋ 1)＝－ 3 t － t ＝－3(t ＋ ) ＋3324∵－ 1＜ 0，∴当 t ＝－ 3时， DF 有最大值，最大值为3，此时 D 点坐标为 (－3， 5)；3242 422(3) 设 P(m ，－ 3m － 3m ＋ 1) ，如解图，1∵ P 在第四象限，∴ m ＞ 0，－122m ＋ 1＜0， m －3 3122∴ AN ＝ m ＋ 3，PN ＝ m＋ m － 1，3 3∵∠ AOC ＝∠ ANP ＝ 90°，∴当以 P 、A 、N 为极点的三角形与△ ACO 相像时有△ AOC ∽△ PNA 和△ AOC ∽△ ANP ，①当△ AOC ∽△ PNA 时，则有OC ＝AO，即1 ＝3， NA PNm ＋ 3 1 2 2m － 13m ＋3解得 m ＝－ 3 或 m ＝ 10，经查验当 m ＝－ 3 时， m ＋ 3＝ 0(舍去 )， ∴ m ＝ 10，此时 P 点坐标为 (10，－ 39)；②当△ AOC ∽△ ANP 时，则有 OC ＝ AO ，即1＝ 3 ，NP AN 1 2 2 m － 1 m ＋ 3 3m ＋3解得 m ＝ 2 或 m ＝－ 3，经查验当 m ＝－ 3 时， m ＋ 3＝0( 舍去 )，5∴ m ＝ 2，此时 P 点坐标为 (2，－ 3)；综上可知 P 点坐标为 (10，－ 39)或 (2，－5).39a＋ 3b＋ 3 3＝0，a＝－ 3 3．解：(1)将A、G点坐标代入函数分析式，得，解得，a－ b＋3 3＝ 0b＝ 2 3∴抛物线的分析式为y＝－3x2＋ 2 3x＋ 3 3；(2)如解图①，作 ME ∥ y 轴交 AB 于 E 点，当 x＝ 0 时， y＝ 3 3，即 B 点坐标为 (0， 3 3)，直线 AB 的分析式为 y＝－ 3x ＋ 3 3，设 M(n ，－3n2＋ 2 3n＋ 3 3)， E(n，－3n＋ 33)，ME ＝－3n2＋ 2 3n＋ 33－(－3n＋33)＝－3n2＋33n，1123n)× 3＝－3332273，S△ABM＝ME·AO ＝ ( －3n ＋ 32(n－ ) ＋82223273当 n＝2时，△ ABM 面积的最大值是8；(3)存在；原因以下： OE＝23，AP＝2，OP＝1，BE＝ 3 3－2 3＝7 3，333当 y＝233时，－ 3x＋ 3 3＝233，解得 x＝73，即 EF＝73，将△ BEP 绕点 E 顺时针方向旋转 90°，获得△ B′EC(如解图② )，∵ OB ⊥ EF，∴点 B′在直线 EF 上，∵ C 点横坐标绝对值等于EO 长度， C 点纵坐标绝对值等于EO－PO 长度，∴C 点坐标为 (－2 3，2 3－ 1)，33如解图，过 F 作 FQ∥B′C，交 EC 于点 Q，则△ FEQ∽△ B′EC，由BE＝B′E3，＝CE＝EF EF EQ2 3可得 Q 的坐标为 (－3，－3 )；依据对称性可得，Q 对于直线 EF 的对称点 Q′(－2，5333 )也切合条件 .4．解：(1)∵抛物线y＝ ax2＋ bx＋ 3 经过点 A(1 ，0) 和点 B(5 ， 0)，3∴a＋ b＋3＝ 0a＝5，解得，25a＋ 5b＋ 3＝ 018b＝－5∴该抛物线对应的函数分析式为y ＝3 x 2－18 x ＋ 3；5 5 (2) ①∵点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，3 2 18 t ＋ 3)(1＜ t ＜ 5)， ∴可设 P(t ， t － 5 5 ∵直线 PM ∥ y 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M 、 N ，3∴ M(t ， 0)，N(t ，5t ＋ 3)，33 2 18 3 7 2 147 ， ∴ PN ＝ t ＋ 3－ ( t － 5 t ＋ 3)＝－ (t － ) ＋ 20 55 5 2 3联立直线 CD 与抛物线分析式可得y ＝ 5x ＋ 3 ，y ＝ 3 x 2 － 185 5 x ＋ 3x ＝0x ＝ 7 36， 解得或 y ＝ 3y ＝ 5 ∴ C(0， 3)，D(7 ， 365)，分别过 C 、 D 作直线 PN 的垂线，垂足分别为 E 、 F ，如解图①，则 CE ＝ t ，DF ＝ 7－ t ，∴ S △ PCD ＝ S △ PCN ＋ S △ PDN ＝ 12PN ·CE ＋ 12PN ·DF ＝ 72PN ＝ 72[ － 35(t － 72)2＋ 14720] ＝－ 2110(t － 72)2＋102940，∴当 t ＝ 7时，△ PCD 的面积最大，最大值为 1029 ； 2 40②存在．∵∠ CQN ＝∠ PMB ＝ 90°，∴当△ CNQ 与△ PBM 相像时，有NQ ＝ PM 或 NQ ＝ BM 两种状况，CQ BM CQ PM ∵ CQ ⊥ PN ，垂足为 Q ，3 ∴ Q(t ， 3)，且 C(0， 3)， N(t ， t ＋ 3)，5 ∴ CQ ＝ t ， NQ ＝3t ＋ 3－ 3＝ 3 t ，∴ NQ ＝ 3，5 5 CQ 5∵ P(t ，3t 2－18t ＋ 3)， M(t ， 0)， B(5 ， 0)，553 2 － 18 3 2 18 t － 3， ∴ BM ＝ 5－ t ， PM ＝ 0－ ( t5 t ＋ 3)＝－ t ＋ 55 5当NQ ＝ PM 时，则 PM ＝ 3BM ，即－ 3t 2＋18t － 3＝ 3(5－ t) ，解得 t ＝ 2 或 t ＝ 5(舍去 )，此 CQBM5555 时 P(2，－ 9)；5当 NQ ＝ BM 3 3 3 2 18 t － 3)，解得 t ＝ 34 CQ PM时，则 BM ＝ PM ，即 5－ t ＝ (－ t ＋ 5或 t ＝5(舍去 )，此 5 5 5 9 34 55时 P( 9 ，－ 27)；综上可知存在知足条件的点 P ，其坐标为 (2，－ 95)或 (349，－ 5527).。

中考数学二次函数与几何图形综合题注：二次函数与几何图形综合题每年24题必考，设问2～3问，分值10分，其中涉及二次函数图象平移变换4次，中心对称变换3次，轴对称变换1次．类型一二次函数与特殊三角形判定(2016、2012.24)【类型解读】二次函数与三角形判定近10年考查2次，涉及等腰三角形(1次)、等腰直角三角形(2次)的判定，均涉及求抛物线表达式，考查形式包含：①已知抛物线表达式中的常数项和图象上两点坐标求表达式，判定抛物线与x轴的交点个数，求使等腰直角三角形成立的抛物线平移方式(2016)；②求使等腰直角三角形成立的抛物线表达式(2012.(2))．1.抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)．(1)求抛物线C1的表达式及顶点坐标；(2)将抛物线C1向左或向右平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C.若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△P AC为等边三角形，求m的值．2.在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2＋bx－5经过点A(－1，0)、B(5，0)，顶点为M.(1)求抛物线L的表达式；(2)求抛物线L的对称轴和顶点M的坐标；(3)若抛物线L′与抛物线L关于y轴对称，在抛物线L′的对称轴上是否存在一点P，使得以点B、M、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c过点A(－1，7)，B(4，2)，其顶点为C.(1)求抛物线L的表达式及点C的坐标；(2)若点M为抛物线L上一点，抛物线L关于点M所在直线x＝m对称的抛物线为L′，点C的对应点为C′，在抛物线上是否存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知抛物线C1：y＝x2－2x－3的顶点为M，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求点A和点M的坐标；(2)点P是x轴负半轴上一点，将抛物线C1绕点P旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，当以点C，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，求点P的坐标．类型二二次函数与特殊四边形判定(2017、2015、2014、2010～2012.24)【类型解读】二次函数与特殊四边形判定近10年考查6次，涉及平行四边形(4次)、矩形(1次)、菱形(1次)的判定，考查形式包含：①已知两点和关于y轴对称的两条抛物线上各一点，且以这四点为顶点构成平行四边形，求两点坐标(2017)；②求满足过原点和以原点为对称中心的矩形上两个顶点的抛物线的表达式(2012)；③已知其中三个顶点坐标，求使平行四边形成立的点坐标(2011)；④已知其中两个顶点坐标，求使平行四边形成立的点(2010)．其中2015年和2014年涉及图形面积(详见P169类型三)．【满分技法】链接至P47、P50“满分技法”．1.已知抛物线L：y＝ax2－52x＋c经过点A(0，2)、B(5，2)，且与x轴交于C、D两点(点C在点D左侧)．(1)求点C、D的坐标；(2)判断△ABC的形状；(3)把抛物线L向左或向右平移，使平移后的抛物线L′与x轴的一个交点为E，是否存在以A、B、C、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出抛物线L′的表达式及平移方式；若不存在，请说明理由．2.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点(1，0)和(3，0)，且过点M(0，3)，顶点为点A.(1)求二次函数的表达式及顶点A的坐标；(2)若将该二次函数的图象绕坐标轴上一点P旋转180°，点A、M的对应点分别为点A′、M′.当以A、M、A′、M′为顶点的四边形是菱形时，求点P的坐标．3.(2019西工大附中模拟)已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，且a≠0)与x轴分别交于A(－2，0)、B(2，0)两点，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线C1的表达式；针对训练(2)将C1平移后得到抛物线C2，点D、E在抛物线C2上(点E在点D的上方)，若以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形，求抛物线C2的表达式．4.在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(－1，4)，且与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线L1的表达式；(2)将抛物线L1向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线L2，求抛物线L2的表达式；(3)是否在抛物线L1上存在点P，在抛物线L2上存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是以OC为边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三二次函数与图形面积(2018、2015、2014.24)【类型解读】二次函数与图形面积近10年考查3次，涉及面积计算、面积定值、面积相等，考查形式：①平移后抛物线与坐标轴所围成的图形面积与原抛物线与坐标轴所围成的图形面积相等(2018)；②已知抛物线上四点和其关于原点对称的抛物线上四点，求这八个点中的四个为顶点的平行四边形中不是菱形的平行四边形的面积(2015)；③求使已知抛物线上两点坐标与平移后抛物线上两点坐标构成的平行四边形中满足面积为定值的抛物线平移方式(2014)．【满分技法】链接至P47、P52类型三“满分技法”．1. (2018陕西副题24题10分)已知抛物线L ：y ＝mx 2－8x ＋3m 与x 轴相交于A 和B (－1，0)两点，并与y 轴相交于点C .抛物线L ′与L 关于坐标原点对称，点A 、B 在L ′上的对应点分别为A ′、B ′.(1)求抛物线L 的函数表达式；(2)在抛物线L ′上是否存在点P ，使得△P A ′A 的面积等于△CB ′B 的面积？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2. (2019西安高新一中模拟)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx －4的图象L 经过A (－1，0)、C (2，－6)两点，顶点为M .(1)求该二次函数的表达式和顶点M 的坐标；(2)设图象L 的对称轴为直线l ，点D (m ，n )(－1<m <2)是图象L 上一动点，当△ACD 的面积为278时，点针对训练D 关于直线l 的对称点为点E ，能否在图象L 和直线l 上分别找到点P 、Q ，使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．第2题图3. (2019西安铁一中模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A (1，0)，B (0，2)，抛物线y ＝12x 2＋bx －2的图象经过点C . (1)求抛物线的表达式；(2)沿x 轴水平平移该抛物线，设平移后抛物线的对称轴所在直线为l .若直线l 恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分，求平移后抛物线的表达式．第3题图4. (2015陕西副题24题10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．已知A (－3，0)，该抛物线的对称轴为直线x ＝－12. (1)求该抛物线的函数表达式；(2)求点B 、C 的坐标；(3)假设将线段BC 平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x 轴上．如若将点B 、C 平移后的对应点分别记为点D 、E ，求以B 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积的最大值．第4题图5.已知抛物线C1：y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A、B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C(0，3)，对称轴为直线x＝1.(1)求抛物线C1的函数表达式；(2)将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2，求抛物线C2的函数表达式；(3)已知点D是第一象限内抛物线C1上的一点，过点D作DP⊥x轴交抛物线C2于点P，连接AP、AD、CP、CD，设点D的横坐标为m，四边形DCP A的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．类型四二次函数与三角形相似(2019、2013.24)【类型解读】二次函数与三角形相似近10年考查2次，考查形式：①关于原点对称的抛物线上存在一点使得两直角三角形相似，求该点坐标(2019)；②求使相似三角形成立的点所在抛物线的表达式(2013)．【满分技法】链接至P47、P52类型四“满分技法”．针对训练1. (2019西工大附中模拟)如图，已知抛物线w1经过点A(－1，0)，B(2，0)，C(0，2)，点D为OC中点，连接AC、BD，并延长BD交AC于点E.(1)求抛物线w1的表达式；(2)若抛物线w1与抛物线w2关于y轴对称，在抛物线w2位于第二象限的部分上取一点Q，过点Q作QF⊥x轴，垂足为点F，是否存在这样的点F，使得△QFO与△CDE相似？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. (2019陕西副题24题10分)在平面直角坐标系中，抛物线L 经过点A (－1，0), B (3，0), C (1，－2).(1) 求抛物线L 的表达式；(2)连接AC 、BC .以点D (1，2)为位似中心，画△A ′B ′C ′，使它与△ABC 位似，且相似比为2，A ′、B ′、C ′分别是点A 、B 、C 的对应点．试判定是否存在满足条件的点A ′、B ′在抛物线L 上？若存在，求点A ′、 B ′的坐标；若不存在，请说明理由．3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴为直线x ＝52，且OB ＝2OC .连接BC ，点D 是线段OB 上一点(不与点O 、B 重合)，过点D 作x 轴的垂线，交BC 于点M ，交抛物线于点N .(1)求抛物线的表达式；(2)当线段MN 最大时，求点M 的坐标；(3)连接BN ，以B 、D 、N 为顶点的三角形是否能够与△OBC 相似？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．第3题图4. (2019陕师大附中模拟)已知抛物线C1：y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左边，与y轴交于点C，顶点为点D.(1)求A、B、D三个点的坐标；(2)判断△BCD的形状；(3)将抛物线C1向上(或向下)平移，使得平移后的抛物线C2与y轴交于点E，试问是否存在点E使得以E、B、C为顶点的三角形和△ABC相似(不包含全等)？若存在，请求出新抛物线C2的顶点坐标；若不存在，请说明理由．类型五二次函数与线段最值【类型解读】二次函数与线段最值近10年真题虽然未考查，但在2017年副题24题第(2)问和2017～2018中考说明中均有涉及，另外通过大量调研一线名师，均觉得有必要设此类型进行拓展．1. (2019西安铁一中模拟)抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－3，0)，点C的坐标为(0，－3)，对称轴为直线x＝－1.(1)求该抛物线的表达式；(2)若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD∥y轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．2.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，图象经过B(－3，0)、C(0，3)两点，且与x轴交于点A.(1)求二次函数的表达式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最小，求出点M的坐标；(3)若点P为抛物线对称轴上的一个动点，请求出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．第2题图3. (2019赤峰)如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点E，使EC＋ED的值最小，求EC＋ED的最小值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB.若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．第3题图参考答案类型一 二次函数与特殊三角形判定1. 解：(1)∵抛物线C 1经过原点，与x 轴的另一个交点为(2，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝04＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝0， ∴抛物线C 1的表达式为y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，顶点坐标为(1，－1)；(2)如解图，连接BC ，BP ，第1题解图①当将抛物线C 1向右平移m (m ＞0)个单位时，得到抛物线C 2的表达式为y ＝(x －m )2－2(x －m )， ∵抛物线C 2交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C.∴C (0，m 2＋2m )，B (2＋m ，0)，由抛物线对称性可知AP ＝BP ，∵△P AC 为等边三角形，∴AP ＝BP ＝CP ，∠APC ＝60°，∴C ，A ，B 三点在以点P 为圆心，P A 为半径的圆上，∴∠CBO ＝12∠CP A ＝30°， ∴BC ＝2OC ，∴由勾股定理得OB ＝BC 2－OC 2＝3OC ， ∴3(m 2＋2m )＝m ＋2，解得m 1＝33，m 2＝－2(舍去)， ∴m ＝33； ②当将抛物线C 1向左平移m (m ＞0)个单位时，得到抛物线C 2的表达式为y ＝(x ＋m )2－2(x ＋m )， ∵抛物线C 2交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C.∴C (0，m 2－2m )，B (2－m ，0)，同①可得，3(m 2－2m )＝2－m ，解得m 1＝－33(舍去)，m 2＝2.综上所述，m 的值为33或2. 2. 解：(1)将点A (－1，0)、B (5，0)代入抛物线L ：y ＝ax 2＋bx －5，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －5＝025a ＋5b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4， ∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－4x －5；(2)∵抛物线L 的表达式为y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9，∴抛物线L 的对称轴为直线x ＝2，顶点M 的坐标为(2，－9)；(3)存在．∵抛物线L ′与抛物线L 关于y 轴对称，∴抛物线L ′的表达式为y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，∴抛物线L ′的对称轴为直线x ＝－2，∴设点P 的坐标为(－2，m )，∵以点B 、M 、P 为顶点的三角形是等腰三角形， BP ＝49＋m 2， BM ＝（5－2）2＋92＝310， PM ＝16＋（m ＋9）2，①当BP ＝BM 时，即49＋m 2＝310，解得m 1＝41，m 2＝－41，∴P 1(－2，41)，P 2(－2，－41)；②当BM ＝PM 时， 即310＝16＋（m ＋9）2，解得m 1＝－9＋74，m 2＝－9－74，∴P 3(－2，－9＋74)，P 4(－2，－9－74)；③当BP ＝PM 时，即49＋m 2＝16＋（m ＋9）2，解得m ＝－83， ∴P 5(－2，－83)． 综上所述，存在满足条件的点P ，其坐标为(－2，41)、(－2，－41)、(－2，－9＋74)、(－2，－9－74)或(－2，－83)． 3. 解：(1)将点A (－1，7)，B (4，2)代入抛物线L ：y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝716＋4b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝2， ∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－4x ＋2，∵y ＝x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2，∴点C 的坐标为(2，－2)；(2)存在．∵点M 在抛物线L ：y ＝x 2－4x ＋2上，∴M (m ，m 2－4m ＋2)，∵点C 的坐标为(2，－2)，抛物线L 关于点M 所在直线x ＝m 对称的抛物线为L ′，∴点C 的对应点C ′的坐标为(2m －2，－2)，∵点C ′、C 关于直线x ＝m 对称，点M 在直线x ＝m 上，∴△CMC ′为等腰三角形，要使△CMC ′为等腰直角三角形，则m 2－4m ＋2－(－2)＝12|2m －4|， 即m 2－4m ＋4＝|m －2|，当m 2－4m ＋4＝m －2时，解得m ＝3或m ＝2(舍去)，此时点M 的坐标为(3，－1)；当m 2－4m ＋4＝2－m 时，解得m ＝1或m ＝2(舍去)，此时点M 的坐标为(1，－1)．综上所述，存在满足条件的点M ，且当点M 的坐标为(3，－1)或(1，－1)时，△CMC ′为等腰直角三角形．4. 解：(1)∵抛物线C 1的表达式为y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴点M 的坐标为(1，－4)．令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∵点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标是(－1，0)；(2)∵将抛物线C 1绕点P 旋转180°后得到抛物线C 2，∴抛物线C 2的顶点N 的纵坐标是4，∵点P 是x 轴负半轴上一点，∴顶点N 的横坐标小于0，∴以点C 、M 、N 为顶点的三角形是直角三角形时，分∠MCN ＝90°和∠MNC ＝90°两种情况讨论：①如解图①，当∠MCN ＝90°时，设点N 的坐标为(m ，4)(m ＜0)，过点N 作NE ⊥x 轴于点E ，则点E 的坐标为(m ，0)，点C 的坐标为(m －2，0)，则NM 2＝(m －1)2＋64，CN 2＝20，CM 2＝(m －3)2＋16，∵NM 2＝CN 2＋CM 2，即(m －1)2＋64＝20＋(m －3)2＋16，解得m ＝－5，∴点N 的坐标为(－5，4)，∵点M 、N 关于点P 对称，∴点P 的坐标为(－2，0)；第4题解图①②如解图②，当∠MNC ＝90°时，设点N 的坐标为(n ，4)(n ＜0)，过点N 作NE ⊥x 轴于点E ，则点E 的坐标为(n ，0)，点C 的坐标为(n －2，0)，则NM 2＝(n －1)2＋64，CN 2＝20，CM 2＝(n －3)2＋16，∴CM 2＝CN 2＋NM 2，即(n －3)2＋16＝20＋(n －1)2＋64，解得n ＝－15，∴点N 的坐标为(－15，4)，∵点M 、N 关于点P 对称，∴点P 的坐标为(－7，0)．第4题解图②综上所述，符合条件的点P 的坐标为(－2，0)或(－7，0)．类型二 二次函数与特殊四边形判定1. 解：(1)将A (0，2)、B (5，2)代入y ＝ax 2－52x ＋c ， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝225a －252＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12c ＝2. ∴抛物线L 的表达式为y ＝12x 2－52x ＋2，令y ＝0，即12x 2－52x ＋2＝0， 解得x 1＝1，x 2＝4.∴C (1，0)，D (4，0)；(2)∵A (0，2)、B (5，2)、C (1，0)，∴AB ＝5，AC ＝12＋（－2）2＝5，BC ＝（5－1）2＋22＝25，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形；(3)存在．设抛物线L ′的表达式为y ＝12(x ＋m )2 －52(x ＋m )＋2， ∵以A 、B 、C 、E 为顶点的四边形为平行四边形，且点E 在x 轴上，∴CE ∥AB ，CE ＝AB ＝5，∵C (1，0)，∴点E 的坐标为(6，0)或(－4，0)，①当点E 的坐标为(6，0)时，12(6＋m )2 －52(6＋m )＋2＝0， 解得m 1＝－2，m 2＝－5.此时抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2－92x ＋9或y ＝12x 2－152x ＋27； ②当点E 的坐标为(－4，0)时，12(－4＋m )2 －52(－4＋m )＋2＝0， 解得m 1＝5，m 2＝8.此时抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2＋52x ＋2或y ＝12x 2＋112x ＋14. 综上所述，当m ＝－2时，即将抛物线L 向右平移2个单位，新抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2－92x ＋9；当m ＝－5时，即将抛物线L 向右平移5个单位，新抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2－152x ＋27；当m ＝5时，即将抛物线L 向左平移5个单位，新抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2＋52x ＋2；当m ＝8时，即将抛物线L 向左平移8个单位，新抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2＋112x ＋14. 2. 解：(1)设y ＝a (x －1)(x －3)，将(0，3)代入，得a ＝1，∴二次函数的表达式为y ＝(x －1)(x －3)，即y ＝x 2－4x ＋3，将其表示成顶点式为y ＝(x －2)2－1，∴顶点A 的坐标为(2，－1)；(2)由旋转的性质可知，AP ＝A ′P ，MP ＝M ′P ，∴以A 、M 、A ′、M ′为顶点的四边形是平行四边形，∴当∠APM ＝90°时，以A 、M 、A ′、M ′为顶点的四边形是菱形． 如解图，①当点P 在y 轴上时，∠APM ＝90°，则AP ⊥y 轴， 此时点P 的坐标为P 1(0，－1)；②当点P 在x 轴上时，设P (m ，0)，则AP 2＝(2－m )2＋12，PM 2＝m 2＋32，AM 2＝20，根据勾股定理得AP 2＋PM 2＝AM 2，即(2－m )2＋12＋32＋m 2＝20，解得m 1＝3，m 2＝－1，此时点P 的坐标为P 2(3，0)或P 3(－1，0)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(3，0)或(－1，0)或(0，－1)．第2题解图3. 解：(1)将A (－2，0)、B (2，0)、C (0，2)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝0c ＝2，∴抛物线C 1的表达式为y ＝－12x 2＋2； (2)分两种情况讨论：①当BC 为对角线时，则D (0，0)、E (2，2)，设抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋m 1x ＋n 1， 将点D (0，0)、E (2，2)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1＝0－2＋2m 1＋n 1＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝2n 1＝0， 此时抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋2x ； ②当BC 为边时，有两种情况：a ．D (4，2)、E (2，4)，设抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋m 2x ＋n 2， 将点D (4，2)、E (2，4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－8＋4m 2＋n 2＝2－2＋2m 2＋n 2＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2n 2＝2， 此时抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋2； b ．D (0，－2)、E (－2，0)，设抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋m 3x ＋n 3， 将点D (0，－2)、E (－2，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧n 3＝－2－2－2m 3＋n 3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m 3＝－2n 3＝－2， 此时抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2－2x －2. 综上所述，当以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形为正方形时，抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋2x 或y ＝－12x 2＋2x ＋2或y ＝－12x 2－2x －2. 4. 解：(1)设抛物线L 1的表达式为y ＝a (x ＋1)2＋4，将点C (0，3)代入得a ＋4＝3，解得a ＝－1，∴抛物线L 1的表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3；(2)把抛物线L 1向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，即将点A 向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时得到的抛物线L 2的顶点坐标为(2，2)，∴抛物线L 2的表达式为y ＝－(x －2)2＋2＝－x 2＋4x －2;(3)存在．如解图，∵以点O 、C 、P 、Q 为顶点的平行四边形以OC 为边，∴PQ ＝OC ，且PQ ∥OC ，∵OC ＝3，且OC ⊥x 轴，∴设点P (x ，－x 2－2x ＋3)，点Q (x ，－x 2＋4x －2)，∴PQ ＝|－x 2－2x ＋3－(－x 2＋4x －2)|＝|－6x ＋5|＝3，当－6x ＋5＝3时，解得x ＝13， ∴－(13)2－2×13＋3＝209， －(13)2＋4×13－2＝－79， 此时点P 1(13，209)，Q 1(13，－79)； 当－6x ＋5＝－3时，解得x ＝43， ∴－(43)2－2×43＋3＝－139，－(43)2＋4×43－2＝149， 此时点P 2(43，－139)，Q 2(43，149)． 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(13，209)或(43，－139)．第4题解图类型三 二次函数与图形面积1. 解：(1)将B (－1，0)代入y ＝mx 2－8x ＋3m ，得m ＋8＋3m ＝0，解得m ＝－2，∴抛物线L 的函数表达式为y ＝－2x 2－8x －6; (3分)(2)存在．在L 中，令x ＝0，则y ＝－6，∴C (0，－6)．令y ＝0，则－2x 2－8x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝－3，∴A (－3，0)．∵抛物线L ′与L 关于坐标原点对称，∴A ′(3，0)，B ′(1，0)．∴AA ′＝6，BB ′＝2，OC ＝6.(5分)设L ′上的点P 在L 上的对应点为P ′，P ′的纵坐标为n ，由对称性，可得S △P ′A ′A ＝S △P A ′A .要使S △P ′A ′A ＝S △CB ′B ，则12·AA ′·|n |＝12·B ′B ·O C. ∴|n |＝2，n ＝±2.(7分)令y ＝2，则－2x 2－8x －6＝2.解得x ＝－2.令y ＝－2，则－2x 2－8x －6＝－2.解得x ＝－2＋2或x ＝－2－ 2.∴P ′的坐标为(－2，2)，(－2＋2，－2)或(－2－2，－2)．由对称性可得P 的坐标为(2，－2)，(2－2，2)或(2＋2，2)．(10分)2. 解：(1)将点A 、C 坐标代入二次函数y ＝ax 2＋bx －4的表达式中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝04a ＋2b －4＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， ∴该二次函数表达式为y ＝x 2－3x －4，∵y ＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254， ∴顶点M (32，－254)； (2)能．∵点D (m ，n )(－1<m <2)，∴点D 在AC 下方的抛物线上，如解图，过点D 作DF ∥y 轴交AC 于点F ，设直线AC 的表达式为y ＝cx ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧－c ＋d ＝02c ＋d ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2d ＝－2， ∴直线AC 的表达式为y ＝－2x －2，则F (m ，－2m －2)，∴DF ＝－2m －2－n ＝－2m －2－(m 2－3m －4)＝－m 2＋m ＋2，∵S △ACD ＝12DF ·(x C －x A )＝278， ∴[2－(－1)]×(－m 2＋m ＋2)＝2×278， 解得m ＝12， ∴n ＝－214， ∴D (12，－214)，E (52，－214)， ∴DE ＝2.分两种情况讨论：①如解图①，DE 为平行四边形的边，则PQ ∥DE ，且PQ ＝DE ＝2，∴点P 的横坐标为32－2＝－12或32＋2＝72， ∴P 1(－12，－94)或P 2(72，－94)；第2题解图①②如解图②，DE 为平行四边形的对角线，则PQ 平分DE ，又∵点Q 在直线l 上，∴点P 也在直线l 上，∴点P 与顶点M 重合，∴P (32，－254)．第2题解图②综上所述，存在符合条件的点P ，点P 的坐标为(－12，－94)或(72，－94)或(32，－254). 3. 解：(1)如解图①，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则∠CAD ＋∠ACD ＝90°.第3题解图①∵∠OBA ＋∠OAB ＝90°，∠OAB ＋∠CAD ＝90°，∴∠OAB ＝∠ACD ，∠OBA ＝∠CA D.在△AOB 与△CDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OAB ＝∠DCA AB ＝CA ∠OBA ＝∠DAC，∴△AOB ≌△CDA (ASA)．∵A (0，1)，B (0，2)，∴OA ＝1，OB ＝2，∴CD ＝OA ＝1，AD ＝OB ＝2，∴OD ＝OA ＋AD ＝3，∴C (3，1)．∵点C (3，1)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2的图象上， ∴1＝12×9＋3b －2， 解得b ＝－12. ∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－12x －2； (2)在Rt △AOB 中，OA ＝1，OB ＝2，由勾股定理得AB ＝ 5.∴S △ABC ＝12AB 2＝52. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋t ，∵B (0，2)，C (3，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝23k ＋t ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13t ＝2， ∴直线BC 的解析式为y ＝－13x ＋2.同理求得直线AC 的解析式为y ＝12x －12. 如解图②，设直线l 与BC 、AC 分别交于点E 、F ，第3题解图②设点E (x ，－13x ＋2)(x ＜3)，则点F (x ，12x －12)， ∴EF ＝(－13x ＋2)－(12x －12)＝52－56x . 在△CEF 中，EF 边上的高h 为OD －x ＝3－x .由题意得S △CEF ＝12S △ABC ， 即12EF ·h ＝12S △ABC ， ∴12×(52－56x )(3－x )＝12×52， 整理得(3－x )2＝3，解得x ＝3－ 3 或x ＝3＋ 3 (不合题意，舍去)，∴当直线l 为x ＝3－ 3 时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分．又∵平移前的抛物线表达式为y ＝12(x －12)2－178，顶点为(12，－178)， ∴平移后的抛物线顶点为(3－3，－178)， ∴平移后的抛物线的表达式为y ＝12(x －3＋3)2－178. 4. 解：(1)∵所求抛物线的对称轴为直线x ＝－12，且过A (－3，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝－129－3b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝－6 ，(2分) ∴所求抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋x －6；(3分)(2)令x ＝0，得y ＝－6，∴C (0，－6),令y ＝0，得x 2＋x －6＝0，∴x1＝2，x2＝－3(舍)，∴B(2，0)；(5分)(3)由平移性质可知，BC∥DE且BC＝DE.∴以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形. (6分)如解图，符合条件的四边形有三个：第4题解图▱BCE1D1、▱BCE2D2、▱BCE3D3.∴S▱BCE1D1＝OC·BD1，S▱BCE2D2＝OC·BE2，S▱BCE3D3＝OC·BE3. ∵BE2>BD1，BE2>BE3，∴▱BCE2D2的面积最大. (8分)令y＝6，得x2＋x－6＝6.∴x1＝3(舍去)，x2＝－4.∴D2(－4，6)，E2(－6，0).∴BE2＝2－(－6)＝8.∴S▱BCE2D2＝OC·BE2＝6×8＝48.∴四边形BCED面积的最大值为48.(10分)5.解：(1)∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴x＝－b2×（－1）＝1，解得b＝2，∵抛物线过点C(0，3)，∴c＝3，∴抛物线C1的表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)∵抛物线C2是由抛物线C1沿x轴翻折得到的，∴抛物线C2的开口方向向上，开口大小与抛物线C1相同，且抛物线C2的顶点与抛物线C1的顶点关于x轴对称．∵抛物线C1：y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4)，则抛物线C2的顶点坐标为(1，－4)，∴抛物线C2的函数表达式为y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3；(3)如解图，令y＝－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∵点A在点B的右侧，∴点A的坐标为(3，0)，∵点D是第一象限内抛物线C1上的一个动点，∴设点D的坐标为(m，－m2＋2m＋3)(0<m<3)，∵DP⊥x轴，交抛物线C2于点P，∴点P的坐标为(m，m2－2m－3)，∴DP＝(－m2＋2m＋3)－(m2－2m－3)＝－2m2＋4m＋6，设DP交x轴于点E，则S＝S△CDP＋S△ADP＝12DP·OA＝12(－2m2＋4m＋6)×3＝－3m2＋6m＋9.∵S＝－3m2＋6m＋9＝－3(m－1)2＋12，0<m<3，∴当m＝1时，S有最大值，最大值为12.第5题解图类型四二次函数与三角形相似1.解：(1)设抛物线w1的表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，将C(0，2)代入y＝a(x＋1)(x－2)，解得a＝－1.∴抛物线w1的表达式为y＝－x2＋x＋2；(2)存在．∵抛物线w1与w2关于y轴对称，∴抛物线w2的表达式为y＝－x2－x＋2，∵点D是OC的中点，OC＝2，∴OD＝1，∵OA＝OD＝1，OC＝OB＝2，∠AOC＝∠DOB，∴△AOC≌△DOB，∴∠ACO＝∠DBO，∵∠CDE＝∠BDO，∴△DOB∽△DEC，∴OD OB ＝DE CE ＝12， ∠CED ＝∠BOD ＝90°，又∵∠QFO ＝90°，∴设Q (x ，y )(－2<x <0)，分两种情况讨论：①当△QFO ∽△DEC 时，∴QF OF ＝DE CE ＝12＝y －x， ∴y ＝－12x ，则Q (x ，－12x )， ∴－12x ＝－x 2－x ＋2， 解得x ＝－1＋334(舍)或x ＝－1－334， ∴F (－1－334，0)； ②当△OFQ ∽△DEC 时，∴OF QF ＝DE CE ＝12＝－x y， ∴y ＝－2x ，则Q (x ，－2x )，∴－2x ＝－x 2－x ＋2，解得x ＝2(舍)或x ＝－1，∴F (－1，0)．综上所述，存在符合条件的点F ，点F 的坐标为(－1－334，0)或(－1，0)． 2.解：(1)∵抛物线L 经过点A （-1,0），B （3,0），∴设L ：y=a （x +1）（x -3）（a ≠0）.（2分）又∵C （-1,2）在L 上，∴a =12. ∴y =12x 2-x -32.（4分） （2）如解图，∵L ：y =12x 2-x -32， ∴D （1,2）在L 的对称轴x =1上.∵△A ′B ′C ′与△ABC 位似，位似中心为D （1,2），且相似比为2，∴①当△A ′B ′C ′在△ABC 下方时，显然，点A ′、B ′不会在抛物线L 上（图略）；（5分）②当△A ′B ′C ′在△ABC 上方时，易知A ′B ′=2AB =8，∴点A ′、B ′的横坐标分别为5，-3.设对称轴x =1分别与AB 、A ′B ′的交点为E 、E ′.由题意，可知DE =2,∴点E 的对应点E ′（1，6）.∴点A '、B '的纵坐标均为6，∴A '(5，6)，B '( -3，6).(8分)∵当x =5时，y =12×52-5-32=6， ∴点A '(5 ，6)在拋物线L 上.同理,可得B '( -3，6)也在拋物线L 上.∴存在点A '(5，6)，B '( -3，6)在抛物线L 上. (10分)第2题解图3. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C (0，2)，且OB ＝2OC ，对称轴为直线x ＝52， ∴B (4，0)，c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋2＝0－b 2a ＝52， 解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－52， ∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－52x ＋2； (2)设直线BC 的表达式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，将B (4，0)、C (0，2)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋n ＝0n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝2， ∴直线BC 的表达式为y ＝－12x ＋2， 设点D 的坐标为(x ，0)，则点M 的坐标为(x ，－12x ＋2)，点N 的坐标为(x ，12x 2－52x ＋2)，其中0<x <4，∴MN ＝－12x ＋2－(12x 2－52x ＋2) ＝－12x 2＋2x ＝－12(x －2)2＋2， ∴当x ＝2时，MN 有最大值，此时点M 的坐标为(2，1)；(3)以B 、D 、N 为顶点的三角形能与△OBC 相似．设点N 坐标为(t ，12t 2－52t ＋2)，则点D 的坐标为(t ，0)，其中0<t <4， ①当△DBN ∽△OBC 时，可得DB OB ＝DN OC， 即4－t 4＝|12t 2－52t ＋2|2， 当4－t ＝2(12t 2－52t ＋2)时， 解得t 1＝0，t 2＝4，均不符合题意，舍去；当4－t ＝－2(12t 2－52t ＋2)时， 解得t 1＝2，t 2＝4(舍)，∴N (2，－1)；②当△DNB ∽△OBC 时，可得DN OB ＝DB OC， 即|12t 2－52t ＋2|4＝4－t 2， 当12t 2－52t ＋2＝2(4－t )时， 解得t 1＝－3，t 2＝4，均不符合题意，舍去；当12t 2－52t ＋2＝－2(4－t )时， 解得t 1＝4，t 2＝5，均不符合题意，舍去．综上所述，存在满足条件的点N ，点N 的坐标为(2，－1)．4. 解：(1)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴点D (1，－4)，令y ＝x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，∵点A 在点B 的左边，∴A (－1，0)，B (3，0)；(2)令x ＝0，得y ＝－3，∴点C (0，－3)，∴BC 2＝(3－0)2＋(0＋3)2＝18，CD 2＝(1－0)2＋(－4＋3)2＝2，BD 2＝(3－1)2＋(0＋4)2＝20， ∵BC 2＋CD 2＝BD 2，∴△BCD 是直角三角形；(3)存在．∵B (3，0)，C (0，－3)，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，点E 为抛物线C 2与y 轴的交点，若点E 在点C 下方，则∠ECB ＝135°，以E 、B 、C 为顶点的三角形一定不与△ABC 相似，故点E 在点C 上方．∵∠OBC ＝∠ECB ＝45°，∴分两种情况：①当△CBE ∽△BAC 时，则有CB BA ＝CE BC， ∵BC ＝32，AB ＝4，∴CE ＝92， ∴点E (0，32)， 此时抛物线C 1向上平移92个单位得到抛物线C 2， ∴抛物线C 2的顶点坐标为(1，12)； ②当△CEB ∽△BAC 时，则有CB BC ＝CE BA＝1， 此时两三角形全等，故舍去．综上所述，存在点E ，使得以E 、B 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，此时新抛物线C 2的顶点坐标为(1，12)．类型五 二次函数与线段最值1. 解：(1)已知抛物线的对称轴为直线x ＝－1，可设抛物线的表达式为 y ＝a (x ＋1)2＋k ，将点A (－3，0)，点C (0，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝0a ＋k ＝－3 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1k ＝－4， ∴抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)2－4＝x 2＋2x －3；(2)由(1)知抛物线表达式为y ＝x 2＋2x －3，令y ＝0，解得x ＝－3或x ＝1，∴点B 的坐标为(1，0)，∵点C 坐标为(0，－3)，∴OB ＝1，OC ＝3，∴S △BOC ＝12OB ·OC ＝12×1×3＝32， ∵点P 在抛物线上，∴设点P 的坐标为(m ，m 2＋2m －3)，∴S △POC ＝12OC ·|m |＝32|m |， ∵S △POC ＝4S △BOC ，∴32|m |＝4×32， 解得m ＝4或m ＝－4，∴当m ＝4时，m 2＋2m －3＝21，当m ＝－4时，m 2＋2m －3＝5，∴满足条件的点P 有两个，分别为P 1(4，21)，P 2(－4，5)；(3)如解图，设直线AC 的解析式为y ＝bx ＋c ，将点A (－3，0)，C (0，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－3b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝－3， ∴直线AC 的解析式为y ＝－x －3，由于点Q 在AC 上，可设点Q (n ，－n －3)，则点D (n ，n 2＋2n －3)，其中－3<n <0，∴DQ ＝－n －3－(n 2＋2n －3)＝－n 2－3n＝－(n ＋32)2＋94， ∴当n ＝－32时，DQ 长度有最大值94.第1题解图2. 解：(1)∵二次函数的对称轴为直线x ＝－1，∴－b 2a＝－1，b ＝2a ， 又∵二次函数图象经过B (－3，0)、C (0，3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0c ＝3b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)如解图，作点C 关于对称轴直线x ＝－1的对称点C ′，连接C ′A 交对称轴于点M ，此时△ACM 的周长最小，∵点C (0，3)，抛物线对称轴为x ＝－1，∴点C ′(－2，3)，令y ＝－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (1，0)，设直线AC ′的表达式为y ＝kx ＋b ，将点C ′(－2，3)，A (1，0)代入可求得直线AC ′的表达式为y ＝－x ＋1，∴当x ＝－1时，y ＝2，∴M (－1，2)；第2题解图(3)设P (－1，t )．∵P (－1，t )，B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝t 2＋4，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①当点B 为直角顶点时，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋t 2＋4＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2，∴P (－1，－2)．②当点C 为直角顶点时，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝t 2＋4，解得t ＝4，∴P (－1，4)．③当点P 为直角顶点时，则PC 2＋PB 2＝BC 2，即t 2＋4＋t 2－6t ＋10＝18，解得t ＝3＋172或t ＝3－172， ∴P (－1，3＋172)或(－1，3－172)． 综上所述，点P 的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，3＋172)或(－1，3－172)． 3. 解：(1)在直线y ＝－x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝3，故点B 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，3)，把点B 、C 的坐标代入抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3. ∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′(0，－3)，在x 轴上取一点E ，连接EC 、ED 、EC ′， 则EC ＝EC ′，EC ＋ED ＝EC ′＋ED ，∴当点C ′、E 、D 三点共线时，EC ′＋ED 的值最小，即EC ＋ED 的值最小，最小值为DC ′. ∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴点D 的坐标为(1，4)，∴DC ′＝12＋[4－（－3）]2＝5 2 .设直线DC ′的解析式为y ＝mx ＋n ，代入点C ′、D 的坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－3m ＋n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝7n ＝－3， 故直线DC ′的解析式为y ＝7x －3，易得点E 的坐标为(37，0)． ∴当点E 的坐标为(37，0)时，EC ＋ED 的值最小，最小值为52；第3题解图①(3)存在．如解图②，设直线BC 交对称轴于点G ，连接AG ，由(1)易得抛物线对称轴为直线x ＝1，∴点G 坐标为(1，2)，又由题易得A (－1，0)、B (3，0)、C (0，－3)，∴易知△BOC 和△ABG 都是等腰直角三角形，∴AG ＝BG ＝22，∠OCB ＝45°.以点G 为圆心，以GA 长为半径作圆，交对称轴于点P ，点P 位于弦AB 上方，由圆周角定理可知∠APB ＝12∠AGB ＝45°＝∠OC B. ∵AG ＝BG ＝PG ＝22，∴点P 的纵坐标为2＋22，横坐标为1，∴点P 的坐标为(1, 2＋22)；同理，当点P ′位于弦AB 下方，点P ′与点P 关于x 轴对称，点H 与点G 关于x 轴对称，此时∠AP ′B ＝12∠AHB ＝45°＝∠OCB ，点H (1，－2)，HP ′＝PG ＝22， ∴点P ′的坐标为(1，－2－22)．综上所述，存在满足条件的点P ，其坐标为(1，2＋22)或(1，－2－22)．第3题解图②。

第二讲： 二次函数综合题内容要求中考分值 考察类型 二次函数综合题 会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7二次函数综合1. 熟练掌握二次函数的有关知识点2. 掌握二次函数中的数形结合和转化的数学思想【例1】（西城1※27）已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点． （1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．解：（1）∵ 二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点，∴10,3.b c c -+=⎧⎨=-⎩ ………………………………1分解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩………………………………… 2分∴ 抛物线1C 的函数表达式为3221--=x x y ． …………………………………… 3分 （2）∵ 22123=(1)4y x x x =----，∴抛物线1C 的顶点为(1,4)-．……………………………………………… 4分考试要求方法策略例题精讲中考第二轮复习 代数综合题图7∴ 平移后抛物线2C 的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22y x =．… 5分 （3）a ≥1-（见图7）．………………………………………………………………7分【例2】（延庆1※27）二次函数2y x mx n =-++的图象经过点A （﹣1，4），B （1，0），12y x b =-+经过点B ，且与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为点C ．（1）求二次函数的表达式；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值.解：（1）∵二次函数2y x mx n =-++的图象经过点A （﹣1，4），B （1，0） ∴4101m nm n=--+⎧⎨=-++⎩∴m=-2,n=3∴二次函数的表达式为223y x x =--+ （2）12y x b =-+经过点B ∴12b = 画出图形()211(,),2322M m m m m m -+--+设，则N ∴21123()22MN m m m =--+--+设 ∴23522MN m m =--+∴2349()416MN m =-++ ∴MN 的最大值为4916【例3】（朝阳1※27）．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围（直接写出结果）. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分 ∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .-----------7分 -----------2分 -----------6分 -----------5分-----------3分 -----------4分∴M 2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分【例4】（门头沟1※23）27．抛物线c bx x y C ++=2121:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于 点A (2，0)．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛物线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．解：（1）∵抛物线c bx x y ++=221与y 轴交于点C (0，3)， ∴3=c ； (1)分∵抛物线c bx x y ++=221的对称轴为2=x ， ∴2212=⨯-b， 解得2-=b ， ………………………2分∴抛物线1C 的解析式为32212+-=x x y ． ………………………3分（2）由题意，抛物线2C 的解析式为k x y +=221． ………………………4分当抛物线经过点A (2，0)时，02212＝k +⨯，解得2-=k ． ………………………5分∵O (0，0)，B (2，2)，∴直线OB 的解析式为x y =．112AC OxyB 12C yB由⎪⎩⎪⎨⎧+==k x y x y 221,， 得0222=+-k x x ，（*）当Δ＝k 214)2(2⨯⨯--＝0，即21=k 时， ………………………6分 抛物线2C 与直线OB 只有一个公共点， 此时方程（*）化为0122=+-x x ， 解得1=x ，即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上． ∴k 的取值范围是212<<-k ． ………………………7分 逆袭训练1.（丰台1※27）在平面直角坐标系中，抛物线经过点（-1，a ），（3，a ），且最低点的纵坐标为-4.（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.解：（1）∵抛物线过点（-1，a ），（3，a ），∴抛物线的对称轴x =1．.……. 1分∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ，∴抛物线的顶点是（1，-4）．.. 2分 ∴抛物线的表达式是22(1)4y x =--， 即2242y x x =--．.…3分把（-1，a ）代入抛物线表达式，求出4a =．.……. 4分（2）∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ，∴(1,4)D --．求出直线CD 的表达式为4y =-. .……. 5分求出直线BD 的表达式为22y x =-，当1x =时，0y =．.……. 6分 所以40t -<≤．.……. 7分3.（2015海淀1※27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称．xOy 22y x mx n =++A B 22y x mx n =++A B A 4444123123321213xOy（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围． 解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，2）． …………………………………………1分∵2211(232)212y x x x -+==+-， ∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）． ……2分又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称， ∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上．设直线BC 的解析式为y kx b =+．∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为112y x =+．…………………………3分4. （2015石景山1※27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于(3,0)A ，B 两点．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当23x -<<时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若经过点(4,2)C 的直线(0)y kx b k =+≠与图象M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求b 的取值范围．解：xy O –5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567xyO –5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567FEDABC（1）将()3,0A 代入，得1m =．∴抛物线的表达式为223y x x =--． …1分B 点的坐标()1,0-． ………………2分（2）()222314y x x x =--=--．∵当21x -<<时，y 随x 增大而减小； 当13x ≤<时，y 随x 增大而增大， ∴当1x =，min 4y =-； ………………3分 当2x =-，5y =．∴y 的取值范围是45y -≤<．…………4分（3）当直线y kx b =+经过()1,0B -和点()4,2时，解析式为2255y x =+．…….…………… …5分 当直线y kx b =+经过()2,5--和点 ()4,2时，解析式为7863y x =-．………. ……………6分 结合图象可得，b 的取值范围是8235b -<<． ………….7分5.（2014通州1※27）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函数1y x b =+k的图象交于)10(，A 、B 两点，(1,0)C 为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函数1y x b =+k的图象；（3）把（1）中的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象平移后得到新的二次函数22(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2y ，函数f 的函数值等于1y 、2y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2y ）.” 当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.解：（1）设抛物线解析式为，由抛物线过点，可得 ………..(2分) （2）如图：………………………………………..(5分)（3）-4<m <0 ………………………………………..(7分)2)1(-=x a y )10(，A 122+-=x x yx1x yO6.（2014门头沟2※27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线214y x bx c =-++经过点A （4，0）和B （0，2）． （1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C ，点B 关于抛物线对称轴对称的点为D ，求直线CD 的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A ，B 之间的部分（含点A ，B ）为图象G ，如果图象G 向上平移m （m ＞0）个单位后与直线CD 只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．解：（1）∵ 抛物线214y x bx c =-++经过点A （4，0）和B （0，2）．∴ 21440,42.b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩………………………………………………1分解得 1,22.b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ 此抛物线的表达式为211242y x x =-++．………………………2分 （2）∵()221119214244y x x x =-++=--+， ∴ C （1，94）．…………………………………………………………3分∵ 该抛物线的对称轴为直线x =1，B （0，2）， ∴ D （2，2）．……………………………………………………………4分 设直线CD 的表达式为y =kx +b ．由题意得 9,42 2.k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得 1,45.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 直线C D 的表达式为1542y x =-+．………………………………5分 （3）0.5＜m ≤1.5．……………………………………………………………7分7.（2015昌平2※27）已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．解：（1）∵ 抛物线经过()0,0，()4,0- ，()6,3-三点，∴ 01640,366 3.c a b a b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ …………………………………………………………………… 1分解得 1410a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，． ………………………………………………………………………… 2分∴ 抛物线的解析式为214y x x =+．∵()()22211144421444y x x x x x =+=++-=+-∴抛物线的顶点坐标为()2,1-- …………………………………………………… 3分 （2）设直线CD 的解析式为2y x m =+，根据题意，得2124x x x m +=+， …………………………………………………… 4分 化简整理，得2440x x m --=，由16160m ∆=+=，解得1m =-， ………………………………………………… 5分∴直线CD 的解析式为21y x =- ．（3）点的坐标为()2,7， …………………………………………………………… 6分． ……………………………………………………………… 7分 8.（2015海淀2※27）已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围；图1图2②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围． 解：（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，∴ 20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩…………………………… 1分∴ 1211-=x y ．…………… 2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，∴ 二次函数图象的顶点坐标为2(,4)a a -．………… 3分（2）①当25=a 时，4522+-=x x y ．………… 4分 如图10，因为10y >且2y ≤0，由图象得2＜x ≤4．…… 6分②136≤a ＜52．……………………………7分1.（2015丰台2※27）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++经过(13)A ，，(21)B ，两点.（1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在 点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移（）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求的取值范围． 解：（1）⊥抛物线21y ax bx =++过(13)A ，，(21)B ，两点．⊥134211a b a b ++=⎧⎨++=⎩．…….1分 t 0t >t 课后练习图10解得，24a b =-⎧⎨=⎩ ．⊥抛物线的表达式是224+1y x x =-+．…….2分 设直线AB 的表达式是y mx n =+ ， ⊥321m n m n +=⎧⎨+=⎩ ，解得，25m n =-⎧⎨=⎩ ．…….3分⊥直线AB 的表达式是25y x =-+．…….4分 （2）⊥点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．⊥C （3，-5）．…….5分点C 平移后的对应点为点'(3,5)C t -代入直线表达式25y x =-+，解得4t =．…….6分结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是04t <≤． …….7分2．（2014西城1※23）抛物线23y x kx =--与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中点B 的坐标为(10)k +，.（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段BC 上，记该抛物线为G ，求抛物线G 所对应的函数表达式；（3）将线段BC 平移得到线段B C ''（B 的对应点为B '，C 的对应点为C '），使其经过（2）中所得抛物线G 的顶点M ，且与抛物线G 另有一个交点N ，求点B '到直线OC '的距离h 的取值范围。