立体几何——求异面直线距离

异面直线距离一. 直接法直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。

例1. 如图1所示，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC//D 1B ，且平面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB=a ，求异面直线A B 11与AC 之间的距离。

解：连结DB ，设DB 交AC 于点O 由题设知ABCD A B C D -1111是正四棱柱 则A A ABCD A A AC A A A B 11111⊥⊥⊥底面，即，而 所以A A 1是异面直线A B 11与AC 的公垂线段由题意分析知∠为平面与底面DOE EAC ABCD 所成的角 则∠DOE=45°又∵截面EAC//D 1B ，且平面D 1BD 与平面EAC 的交线为EO ∴D 1B//EO ，∠DBD 1=∠DOE=45° ∴D 1D=DB=2a ∵AA 1=D 1D∴异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a二. 间接法间接法就是当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。

（1）线面距离法线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。

例2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直线AB与A1C间的距离。

解：如图2所示，连结A1D由AB//DC，得AB//平面A1DC故AB到平面A1DC的距离即为AB与A1C间的距离又平面A1D⊥平面A1DC及平面A1D⊥AB故可在平面A1D内过A作AE⊥A1D于点E则AE为AB到平面A1DC的距离即为异面直线AB与A1C间的距离。

由AD AA A D AE ··11=可得AE=125图2（2）面面距离法面面距离法就是把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。

异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。

常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。

一下是一些常用的方法 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法其中定义法、垂直平面法和向量法是常用的方法，可多练这三种方法。

1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。

例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。

思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。

在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。

即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。

2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。

从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。

例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。

思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。

立体几何的求距离问题1、两点间的距离：连接两点的线段的长。

求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得（2）用公式，A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则。

（3）利用向量的模，|AB|=||==…（4）两点间的球面距离：A，B为半径是R的球O上的两点，若＜,＞=? 则A，B两点间的球面距离为2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。

求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。

（2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。

(3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射影的长，再由勾股定理求出所求的距离。

（4）利用公式：A(x0,y0),到直线l:Ax?By?C?0的距离为。

基本思想是将点线距转化为点点距。

3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点）（1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和___的距离，叫做这个点到这个平面的距离。

求法;①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求距离；②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离；③利用向量、点A，平面?，满足A??,O??,??，则点A到平面?的距离d? （ n是平面?的法向量）（2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫做这条直线和这个平面的距离。

（一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等）求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）4、两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。

异面直线间距离的多种解法作者：华瑞芬来源：《中学生理科应试》2014年第11期求异面直线之间的距离是立体几何中比较常见的问题，既是立体几何的重点，也是难点，更是高考的热点.对于此类问题，许多同学常常会感到比较困难，往往无从入手.求解此类问题的方法其实是多种多样的，主要有“定义法”和“转化法”，特别是转化的思想技巧性强，有利于培养同学们的创新能力.“转化法”常将两条异面直线之间的距离，转化成直线与平面的距离或平面与平面的距离来求解，有时还会借助于棱锥体积来求.这种解法与直线与平面、多面体、平面几何、代数等许多知识紧密联系，因此有利于知识的巩固与深化.下面举例说明求解异面直线之间距离的多种解法，希望同学们能够从中得到有益的启示.例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求直线DA1与AC之间的距离.图1一、定义法利用异面直线距离的定义，做（找）出公垂线段并求其长度.图2解法1如图1所示，易证BD1⊥AC，BD1⊥DA1.设DD1的中点为E，BD交AC于O，则OE∥BD1，连接AE交DA1于M，做MN∥OE交AC于N，则MN∥BD1，且MN为AC与DA1的公垂线段.如图2，在正方形ADD1A1中，易证M为AE的一个三等分点.同理可知N为AC的一个三等分点，从而MN=23OE=13BD1=33.二、转换法利用异面直线的距离，等于其中一条直线（a）到经过另一条直线（b）且与这条直线（a）平行的平面的距离，进而转化为点面的距离.图3解法2如图3，易证AC∥面DA1C1，则AC到DA1的距离等于AC到面A1DC1的距离.设AC与BD交于O，则O点到面A1DC1的距离等于异面直线DA1与AC的距离.∵AC⊥BD，AC⊥B1B，∴AC⊥面BB1D1D，∴A1C1⊥面BB1D1D，∴面A1DC1⊥面BB1D1D且交线为O1D，作OE⊥O1D，则OE⊥面A1DC1，易求得OE=33，即异面直线DA1与AC之间的距离为33.解法3 转化为两平行平面之间的距离.易证面A1C1D∥面AB1C，则面A1C1D与面AB1C的距离等于异面直线DA1与AC的距离.易证BD1⊥面A1C1D，BD1⊥面AB1C，设垂足分别为O1和O2，易证O1、O2为BD1的三等分点，所以O1O2=33，为异面直线DA1与AC的距离.三、等积法利用三棱锥体积不变，求点到面的距离.解法4由解法2知，AC与DA1的距离等于AC到平面A1DC1的距离.如图4所示.巩固练习1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（）.图52.某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的体积为（）.A16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π参考答案：1.A2.A（收稿日期：2014-04-28）。

七种求异面直线距离的方法陶双喜 湖南省长沙县一中数学组异面直线的距离是空间距离的一种重要类型，也是高考经久不衰的热点问题。

求这种 距离的方法多种多样，本文通过一个例题的多种解法来谈其求解方略，以供大家参考 例：正方体ABCD - AB^I C J U 的棱长为a ，求异面直线AC 和BG 的距离. 解法1 （直接法）： 如图1，取BC 的中点E ，连接DE 、BE ，分别交AC 、 BG 于M 、N 两点，连接MN 、B 1D ，则可证空 ENMD NB 1.MN // B 1D ,由三垂线定理可得 B 1D _ AC , RD —BG , . MN_AC,MN_BG 。

故 MN 的长即为异 面直线AC 和BC 1的距离。

显然，MN =1 3D 3a . 3 3 MB C图1D 1B 1即异面直线 AC 和BG 的距离为 a . 3 评注：此法叫定义法，即根据定义作出异面直线的公垂线段，但难度较大 解法2 （线线距=线面距）： V AC // AC 1 -AC 与BC 1的距离等于AC 与 平面ABG 的距离。

如图2，过AC 的中点0作0E -BO 1于E ，易证平面BDD 1B 1 -平面ABG , OE —平面A 1BC 1 o OE 的长即为AC 与BG 的距离。

图272 46 在 Rt BOO 中，BO aQO^i =a,BO 1 a ,2 2 B !■ OE 二B0 0013a .即异面直线AC 和BC 1的距离为3BO 1、3a .3评注：此法是将线线距离转化为线面距离来求，这是求线线距离的一种常用方法解法3 （线线距=•线面距=•点面距）T AC // A1C1. AC与BG的距离等于AC与平面ABG 的距离,即点C到平面ABG的距离，记为h，则由V C^B C I二V~CC1二V A」B I C I得1•氾C、.2a）2.h ，h -a。

即AC 和BC1的距离为—a.3 4 3 2 3 3评注：此法是将线线距离转化为线面距离，然后转化为点面距离来求。

两异面直线之间的距离公式向量法在咱们学习立体几何的时候，经常会碰到两异面直线之间距离的问题。

这可是个让不少同学头疼的事儿，但别怕，今天咱们就来聊聊用向量法搞定它！先给大家讲讲啥是异面直线哈。

比如说，你在教室里，你的铅笔放在课桌上，同桌的尺子放在他的抽屉里，这铅笔和尺子所在的直线就是异面直线，它们不在同一个平面内，没法直接测量它们之间的距离。

那向量法是咋解决这个问题的呢？咱们假设两条异面直线分别为 l₁和 l₂，在直线 l₁上取一点 A ，在直线 l₂上取一点 B 。

然后分别找到与这两条直线平行的向量 a 和向量 b 。

这时候，两异面直线之间的距离 d 就等于向量 AB 在向量 a 和向量b 所确定的平面的法向量 n 上的投影的绝对值。

这可能有点抽象，咱来举个具体的例子。

就说有一个正方体，棱长为 2 ，其中一条棱在坐标原点 O ，沿着 x 轴正方向，另一条异面的棱一个端点在顶点 (2, 2, 2) 。

咱们就来求这两条棱之间的距离。

先找到这两条棱对应的向量，比如说沿着 x 轴的棱对应的向量 a = (2, 0, 0) ，另一条棱对应的向量 b = (0, 2, 2) 。

然后找两个点，比如在第一条棱上取点 A(1, 0, 0) ，在第二条棱上取点 B(2, 2, 2) ，那向量 AB 就等于 (1, 2, 2) 。

接下来就得找法向量 n 啦，假设法向量 n = (x, y, z) ，根据法向量和向量 a 、向量 b 垂直的关系，能列出方程组，解出来就能得到法向量n 。

经过一番计算，假设得到法向量 n = (2, -2, 2) 。

最后，距离 d 就等于向量 AB 在法向量 n 上投影的绝对值，算出来就是2√3 / 3 。

其实啊，刚开始学这个的时候，我自己也晕头转向的。

记得有一次做作业，我算了好几遍都没算对，心里那个着急啊！后来我静下心来，把书上的例题又看了好几遍，一步一步对照着自己的步骤找错误，终于弄明白了。

异面直线距离的求解方法摘要：在数学教学中，充分运用数学知识的解题功能，有利于学生的全面发展，培养学生分析问题解决问题的能力，从而挖掘学生更深层次的学习潜能。

本文从四个方面探讨了如何根据各种情形运用不同的方法求异面直线的距离，有助于教学难点的突破，可以引导学生更新解题思路，提高学生的思维能力。

关键词：异面直线距离公垂线法最值法线面平行法体积法在立体几何学习中，求异面直线之间的距离是学习中的难点，因此掌握几种求异面直线距离的常用方法是非常必要的。

一、公垂线法找出或作出两异面直线的公垂线然后进行计算是求异面直线之间的距离的首要方法。

由于两条异面直线的公垂线唯一存在，因此有时找出或作出其公垂线比较困难，但是如果两异面直线中的一条在另一条所在的垂面内时，它们之间的公垂线往往比较容易作出。

例1：边长为a的正方形的两条对角线AC，BD交于O，以BD为折痕将正方形折成空间图形，这时若△ACD为等边三角形，求异面直线AC和BD之间的距离。

解：如图，∵△ACD为等边三角形∴AD=DC=AC=AB∴点A在平面BCD的射影O为△BDC的外心∵△BCD为直角三角形∴O为斜边BD的中点∵AO⊥平面BCD∴AO⊥BD又∵OC⊥BD∴BD⊥平面AOC在平面AOC内作OE⊥AC于E，则OE为异面直线BD、AC距离。

∵AO=OC=a，AC=a，又在Rt△AOC中，OA #8226;OC=AC #8226;OE∴OE==a二、最值法如果两条异面直线分别在两个互相垂直的平面内，应用最值法求两条异面直线的距离是比较方便的。

我们知道两条异面直线之间的距离是连结异面直线上两点距离中的最小者，故我们可以将异面直线的距离表示成某个变量的目标函数，通过求函数的最小值求得两条异面直线的距离。

例2：已知正方体ABCD—ABCD的棱长为a，求异面直线AB和BD的距离。

解：如图，在AB上任取一点M，在平面AB内作MP⊥AB于P，在平面AC内作PN⊥BD 于N，连MN。

异面直线距离的四种解法问题：高中数学第二册下（B）第51页4.已知正方体的棱长为1，求直线DA1与AC的距离。

分析：立体几何中包含点面、线面、面面和异面直线四种距离，其中点面距离是基础，异面直线距离是难点，但又常利用线面转化为点面。

在教学大纲和考试大纲中，对于异面直线的距离，只要求会计算出给出的线或在坐标表示下的距离。

此题恰为公垂线未知，宜采用转化的方法或坐标法，试述四种方法如下：由课本P50知，两条异面直线的距离，等于其中一条直线（）到过另一条直线（）且与这条直线（）平行的平面的距离，可得两种转化：一、转化为点面距离，利用三角形求解：解：如图连结A1C1，则AC//面A1C1D连A1D,DC1,DO1过O作OE⊥O1D于E因为：A1C1⊥B1B1D1D1又OE⊥O1D 所以OE⊥面A1C1D因此OE即为直线DA1与AC的距离，在Rt△OO1D在中求得OE=3 3二、转化为三棱锥的高，利用等体积求解。

解:如图连结A1C1,DC1,则AC//面A1C1D因此三棱锥A-A1C1D高h即为直线DA1与AC的距离V A-A1C1D=V C1-AA1D=13S△AA1D×C1D1得h=3 3极易建立空间直角坐标系，运用向量代数推动十分方便三、与异面直线均垂直求法向量，经连两点求距离解：建立如图坐标系:则：A（0,0,0）A1(1,0,1)B(1,0,1) C(0,1,0 )设DA1,AC确立的平面的向量为n=(X,Y ,Z)则:直线DA1与AC的距离d=四、垂直相交求的垂线，距离公式求距离解：设MN为DA1与AC的垂线，其中M在DA1上，N在AC上设M(m,0,m), N(1-n,n,0)则：MN=（1-n-m,n,-m ）, 由MN ×DA 1=0, MN ×AC=0, 得m=n=13从而MN=(13 ,13 ,-13 ), MN =33。