北京四中高考数学总复习 函数的基本性质(基础)知识梳理教案

【考纲要求】

1. 会求一些简单函数的定义域和值域；

2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】

【考点梳理】 1．单调性

（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。

（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。

（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差

)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的

正负符号；⑤根据定义下结论。 复合函数分析法

设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：

()u g x =

()y f u =

[()]y f g x =

增

增

增

函数的基本性质 奇 偶 性

单 调 性

周 期 性

增 减 减 减 增 减 减

减 增

导数证明法

设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数）

，则'()0('()0)f x f x ≥≤。 图像法

一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义:

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数. 理解：

(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.

(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:

①考察函数定义域;②考察f(-x)与f(x)的关系;③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化

①f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ⇔

)

()

(x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ⇔f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ⇔

)

()

(x f x f -=1 (f(x)≠0) (2)奇(偶)函数图像的特征

(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称; (Ⅱ)偶函数图像关于y 轴对称. 【典型例题】

类型一、求（判断）函数的单调区间

例1.证明函数()(0)a

f x x a x

=+>在区间)+∞是增函数。 解：设21x x a <<，

2

12

22

111

22112212)()(x x ax x x ax x x x a x x a x x f x f --+=--+=- 2

1211221121221)

)(()()(x x a x x x x x x x x a x x x x --=---=

21x x a << 012>-∴x x

a x x >21 0)()(12>-∴x f x f

∴函数()(0)a f x x a x

=+>在区间(,)a +∞是增函数。

举一反三：

【变式】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)121y x =-； (3)21

y x

=. 解：(1)⎩

⎨

⎧-<---≥+=)1x (1x )

1x (1x y 画出函数图象，

∴函数的减区间为(]1,-∞-，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为u 1y ,1x 2u ,2121,=

-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，设，其中u=2x-1为增函数，u

y 1=在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞--=

,21,21,121在x y 上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，2

x 1

y =

单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).

类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例2. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a 2

-a+1)与3()4

f 的大小.

解：

22133

a -a+1=(a-)+>0244

≥

又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则2

3

(-1)()4

f a a f +≤. 例3. 已知二次函数f(x)=x 2

-(a-1)x+5在区间1

(

,1)2

上是增函数，求：(1)实数a 的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 解：(1)∵对称轴-1

2

a x =是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需

-11

222

a a ≤∴≤； (2)∵f(2)=22

-2(a-1)+5=-2a+11又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7

[)f(2)7,+∴∈∞.

举一反三：