参数估计中N-R迭代算法分析与实现

第18卷 第6期 太赫兹科学与电子信息学报Vo1.18，No.6 2020年12月 Journal of Terahertz Science and Electronic Information Technology Dec.，2020 文章编号：2095-4980(2020)06-1003-07分布式相参雷达多脉冲积累相参参数估计方法王雪琦，涂刚毅，吴少鹏(中国船舶重工集团公司第七二四研究所，江苏南京 211106)摘 要：分布式相参雷达(DCAR)是目前国内外雷达领域的重要研究方向，精确的参数估计是实现其良好相参性能的前提和核心。

基于动目标模型，提出一种基于多脉冲积累的相参参数估计方法。

该方法通过对多脉冲信号进行快、慢时间匹配滤波处理，实现多脉冲相参积累；再利用互相关法进行相参参数估计。

仿真分析对比了不同脉冲个数和不同输入信噪比下的参数估计性能和相参性能，仿真结果表明，该方法具有可行性，且可以有效提高低信噪比情况下的参数估计性能和相参性能。

关键词：分布式相参；参数估计；动目标；多脉冲积累中图分类号：TN957.51文献标志码：A doi：10.11805/TKYDA2019182Coherent parameters estimation method for distributed coherent radarbased on multi-pulse accumulationWANG Xueqi，TU Gangyi，WU Shaopeng(No.724 Research Institute of CSIC，Nanjing Jiangshu 211106，China)Abstract：Distributed Coherent Aperture Radar(DCAR) is an important research direction in the field of radar at home and abroad. Accurate parameter estimation is the premise and core of good coherenceperformance. Based on the moving target model, a coherent parameter estimation method based onmulti-pulse accumulation is proposed. The method performs fast-time and slow-time match filtering formulti-pulse signals, and obtains the results of multi-pulse coherent accumulation. Then thecross-correlation method is utilized to estimate the coherent parameters. The performance of parameterestimation and correlation under different numbers of pulses and different input signal-to-noise ratios arecompared by simulation analysis. The simulation results show that the method is feasible and caneffectively improve the performance of parameter estimation and coherence in low signal-to-noise ratio.Keywords：distributed coherence；parameter estimation；moving target；multi-pulse accumulation分布式相参雷达(DCAR)因具有较好的探测性能、高角度分辨力、灵活性和机动性等一系列技术优势而成为目前国内外雷达领域研究热点[1-5]。

R语言牛顿迭代法在极大似然估计中的应用在统计学中，极大似然估计是一种常用的参数估计方法。

而在使用极大似然估计时，我们可能需要使用牛顿迭代法来求解参数的最优解。

在R语言中，有很多现成的函数可以帮助我们完成牛顿迭代法的实现。

下面将结合具体例子介绍如何使用R语言中的牛顿迭代法来实现极大似然估计。

首先，我们需要准备一组数据，并选择一个概率分布对这组数据进行建模。

在这里，我们使用一个简单的二项分布模型，该模型需要估计的参数为p。

假设我们有一组10组二项分布数据，示例如下：x <- c(2, 3, 4, 6, 8, 9, 7, 5, 4, 3)
n <- 10
接下来，我们需要假设一个初始值作为参数p的估计值，并设置迭代的停止条件。

在这里，我们认为当两次迭代的估计值之间的误差小于0.001时，迭代停止。

代码如下：
p <- 0.5
error <- 1
while (error > 0.001) {
old_p <- p
p <- p - (sum((x/n) - p)/(sum((x/n) * (1 - (x/n)))))
error <- abs(p - old_p)
}
最后，我们可以查看最终得到的参数估计值：
p
在这个例子中，我们使用了R语言中的while循环来实现牛顿迭代法。

通过while循环的迭代操作，我们可以逐步得到p的最优估计值，从而完成了二项分布模型的参数估计。

除此之外，R语言中还有其他牛顿迭代法的实现函数，如optim等，可以帮助我们更加方便地实现参数估计操作。

参数估计方法及其R语言实现9篇第1篇示例：参数估计方法是统计学中重要的一部分，它用于通过样本数据估计总体参数的值。

在实际数据分析中，我们往往只能获得部分样本数据，无法直接得到总体的信息，因此需要利用参数估计方法来推断总体参数的取值。

在本文中，我们将介绍常用的参数估计方法，以及如何利用R语言进行实现。

常用的参数估计方法包括最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation，MLE）、贝叶斯估计法（Bayesian Estimation）和最小二乘估计法（Least Squares Estimation）等。

最大似然估计法是最常用的一种方法。

它是一种通过找到使样本观测的概率最大的未知参数的取值来估计参数的方法。

贝叶斯估计法则是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它通过考虑先验概率和后验概率来估计参数的值。

最小二乘估计法是一种通过使残差（样本值与拟合值之差）平方和最小来估计参数的方法。

下面我们以最大似然估计法为例，介绍如何在R语言中实现参数估计。

我们首先导入R语言中的一个标准数据集iris，该数据集包含了150个鸢尾花的观测数据，其中包括了花萼长度（Sepal Length）、花萼宽度（Sepal Width）、花瓣长度（Petal Length）和花瓣宽度（Petal Width）这四个变量。

我们将使用最大似然估计法来估计鸢尾花花萼长度的均值和方差。

```{r}# 导入iris数据集data(iris)# 提取鸢尾花花萼长度数据sepal_length <- irisSepal.Length# 定义似然函数likelihood <- function(mu, sigma) {sum(log(dnorm(sepal_length, mean = mu, sd = sigma)))}# 打印估计结果print(est)```在上面的代码中，我们首先导入iris数据集，并提取出鸢尾花的花萼长度数据。

《矩阵分析与应用》专题报告――QR分解及应用学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩2015年11月25日目录1 引言 (3)2 QR 分解 (4)2.1QR分解的性质 (4)2.2 QR 分解算法 (5)2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 (5)2.2.2 Householder QR 分解 (6)2.2.3 采用Give ns旋转的QR分解 (8)3 QR分解在参数估计中的应用 (9)3．1 基于QR 分解的参数估计问题 (9)3. 2 基于Householder 变换的快速时变参数估计 (12)3. 3基于Give ns旋转的时变参数估计 (14)4 QR分解在通信系统中的应用 (16)4.1基于QR分解的稳健干扰对齐算法 (16)4.2 基于QR 分解的MIMO 置信传播检测器 (19)总结 (21)参考文献 (22)1 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR 分解和奇异值分解。

矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。

而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。

QF分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg 矩阵，然后再应用QF分解求特征值和特征向量。

它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R, 所以称为QR分解。

参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。

它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。

18 世纪末德国数学家C.F. 高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。

20 世纪60 年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。

参数估计有很多方法，如矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极小极大熵法等。

其中最基本的是最小二乘法和极大似然法。

《电力系统分析》复习题1. 分别列出下列潮流算法的迭代格式、收敛判据，并从收敛性、计算量和内存占用量比较其算法特点及适用范围。

(1) 直角坐标的N-R 法； (2) 极坐标的N-R 法；(3) 快速解耦潮流算法（P-Q 分解法）； (4) 二阶潮流算法（保留非线性潮流算法）； (5) 最优乘子法。

答: (1)极坐标N-R 法：迭代格式：P HN Q ML U U θ∆∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()1k k k U U U +=+∆()()()1k k kθθθ+=+∆。

牛顿潮流算法的特点1）其优点是收敛速度快，若初值较好，算法将具有平方收敛特性，一般迭代4～5次便可以收敛到非常精确的解，而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。

2）牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对于对高斯-塞德尔法呈病态的系统，牛顿法均能可靠地敛。

3）初值对牛顿法的收敛性影响很大。

解决的办法可以先用高斯-塞德尔法迭代1～2次，以此迭代结果作为牛顿法的初值。

也可以先用直流法潮流求解一次求得一个较好的角度初值，然后转入牛顿法迭代。

(2)直角坐标N-R 法：迭代格式：2P H N e Q M L f R S U ⎡⎤∆⎡⎤∆⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦⎣⎦()()()1k k k e e e +=+∆()()()1k k k f f f +=+∆ 特点同极坐标N-R(3)P-Q 分解法:迭代格式：'P U B θ∆=∆，''Q U B U ∆=∆()()()1k k k U U U +=+∆，()()()1k k k θθθ+=+∆收敛判据：max i i i P U ε∆<且max i i iQ U ε∆< 特点：(1)用解两个阶数几乎减半的方程组（n-1阶和n-m-1阶）代替牛顿法的解一个(2n-m-2)阶方程组，显著地减少了内存需求量及计算量。

中国卫生统计CHINESE JOURNAL OF HEALTHSTATISTICS1999年　第16卷　第5期　Vol.16　No.5　1999对数线性模型的IPF算法及其软件实现张岩波　何大卫 【提　要】　目的　采用Newton-Raphson法拟合对数线性模型时，如果列联表的维数太高(≥5)，使得设计矩阵复杂，以及迭代精度等原因，出现病态的信息矩阵，而无法收敛，导致算法失败。

本文从应用角度探讨了IPF算法的有效性。

方法　采用IPF 算法对一个五维表进行了分析。

结果　IPF算法能够很好地拟合高维表的模型，并得出了合理的结果。

结论　IPF算法简便、稳健，在Newton-Raphson法失效时，不失为处理高维表的解决办法。

【关键词】　高维列联表　对数线性模型　IPF算法IPF Algorithm of Log-linear Model and Software ImplementZhang Yanbo ,He Dawei.Shanxi Medical University (030001),Taiyuan 【Abstract】　Objective　When the Newton-Raphson algorithm is used to fit Log-linear model ,if the dimension of a contingency table is too high,it will make the design matrix complicated and present a ill-conditioned information matrix,in addition to the reason of iterative precision,The iteration can not converge and the N-R algorithm is failed.This paper discussed the IPF algorithm in practical aspect.Methods　An example of 5-way table was Analyzed using IPF algorithm.Results　IPF algorithm could effectively fit the model for high-way table and give a reasonable interpretation.Conclusion　For IPF algorithm is simple and robust,it can yet be regarded as a method when the N-R algorithm has been failed. 【Key words】　High-way contingency table　Log-linear model IPF algorithm 对数线性模型是分析高维列联表的得力工具。

极值波高Weibull分布的参数估计方法对比分析王志旭;陈子燊【摘要】介绍了三参数威布尔分布及其4种参数估计方法:极大似然估计法、相关系数优化法、灰色估计法和概率权重矩法.利用蒙特卡罗法对以上参数估计方法进行不同样本尺度的模拟,通过偏差、标准差和均方误差对比分析各种方法的特点、精度和适用性.运用上述方法结合涠洲站34a实测年极值波高,推算涠洲岛的设计波高,从相关系数、均方根误差和Q统计值分析各种方法的差异及优劣性.结果表明,小样本情况下各估计法的差别较大,而大样本时差别较小,极大似然估计法能较好拟合各种大小的样本,相关系数优化法次之；选取合适的经验频率会提高参数估计精度；各种参数估计方法计算而得的设计波高相差不大,其中极大似然估计法的精度最高.【期刊名称】《海洋通报》【年(卷),期】2013(032)002【总页数】6页(P127-132)【关键词】设计波高;威布尔分布;参数估计方法;涠洲岛海域【作者】王志旭;陈子燊【作者单位】中山大学水资源与环境系,广东广州 510275;中山大学水资源与环境系,广东广州 510275【正文语种】中文【中图分类】P426在海岸工程建设设计中，最重要的又难以决定的问题之一是设计波浪标准的选择，选用的设计波高有少量变化就会明显影响到工程的费用、涉及工程安全和维修方案。

在得到波高长期样本数据后，可通过概率分布函数来拟合实测数据，并推算设计波高。

Goda等（1990）、Ferreira等（2000）和Todd（2000）对各种分布函数做过分析比较，发现各种函数有其适用性。

目前常用的分布函数有对数正态分布、Gumbel分布、皮尔逊Ⅲ型分布、Weibull分布。

我国海港水文规范规定，对于年极值波高及其对应的周期的理论频率曲线，一般采用皮尔逊Ⅲ型曲线，也可以实测经验累积频率点拟合最佳为原则，选用其他理论频率曲线。

1927年，Fréchet首先给出威布尔分布的定义，即极值Ⅲ型分布。