高中数学高考45第八章 立体几何 8 3 空间点、直线、平面之间的位置关系

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 （浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系教师用书

1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

 共面直线 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

②范围：0，π2.

3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．

4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

【知识拓展】

1.唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

2.异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )

(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × )

(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × )

8.4.2ꢀ空间点、直线、平面之间的位置关系

标

1.掌握空间中直线与直线的位置关系.2.理解异面直线的概念.

3.理解直线与平面位置关系的定义.4.理解平面与平面位置关系的定义.

重点：空间两条直线的位置关系；直线与平面，平面与平面的位置关系.

难点：对异面直线的理解，直线与平面，平面与平面位置关系中文字语言、图形语言和符号语言的转化.

知识梳理

一、空间中点与直线、平面的位置关系

空间中点与直线的位置关系有两种：

点在直线上和点在直线外.如图，点A在直线AB上，在直线A′B′外.空间中点与平面的位置关系也有两种：

点在平面内和点在平面外.如图，点A在平面ABCD内，在平面A′B′C′D′外.

二、空间中直线与直线的位置关系

1.异面直线任何一个平面内的两条直线.(1)定义：不同在

(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法

①定义法；②两直线既不平行也不相交.

2.空间两条直线的三种位置关系

①从是否有公共点的角度来分：平行异面相交

②从是否共面的角度来分：平行相交异面

三、直线与平面的位置关系四、两个平面的位置关系

平面α与平面β的位置关系

位置关系图示表示法公共点个数

0个α∥β______两平面平行

无数个点(共线)_____________两平面相交_α__∩_β__＝__l_

型

一、两直线位置关系的判定

例ꢀꢀ如图所示，在长方体ABCD-ABCD中，判断下列直线的位置关系：1111①直线AB与直线DC的位置关系是_______；11②直线AB与直线BC的位置关系是_______；11③直线DD与直线DC的位置关系是_______；11④直线AB与直线B1C的位置关系是_________.

【解析】两直线的位置关系主要依据定义判断.

由题图知直线AB与直线DC在平面ABCD中，且没有交点，则两直线1111“平行”，所以①应该填“平行”；点A，B，B在平面ABB内，而1111点C不在平面ABB内，则直线AB与直线BCꢀ“异面”，同理可得直线1111AB与直线BCꢀ“异面”，所以②④都应该填“异面”；直线DD与直线11DC相交于点D，所以③应该填“相交”.11【答案】①平行ꢀ②异面ꢀ③相交ꢀ④异面

1 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系

A组 基础题组

1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )

A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直

2.下列命题中,真命题的个数为( )

①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;

②两条直线可以确定一个平面;

③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;

④若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l.

A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )

A.AB∥CD

B.AB与CD异面

C.AB与CD相交

D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

4.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )

A.l与l1,l2都不相交

B.l与l1,l2都相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.l至少与l1,l2中的一条相交

5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成的角的余弦值为( )

A. B. C. D.

6.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱有 条.

2 7.若平面α,β相交,在α,β内各取两点,则这四点都不在交线上,这四点能确定

个平面.

8.在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为 .

9.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:

(1)三棱锥P-ABC的体积;

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.

B组

提升题组

10.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45°,连接各边中点所得四边形的面积是( )

2021版必修第二册

空间点、直线、平面之间的位置关系

A级 基础巩固

1.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系

是 （ )

A.相交 B。平行

C。直线在平面内 D。平行或直线在平面内

解析:延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交。

答案：A

2。在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是 （ ）

A.相交 B。异面 C.平行 D。垂直

解析：如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交。

答案：A

3。在长方体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有5条. 2021版必修第二册

解析:与AB平行、与CC1相交的直线是CD，C1D1;与CC1平行、与AB相交的直线是BB1,AA1；与AB，CC1都相交的直线是BC,故满足条件的棱有5条.

4.若A∈α,B∉α,C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是相交.

解析：因为A∈α,B∉α，C∉α,所以平面ABC与平面α有公共点,且不重合,所以平面ABC与平面α的位置关系是相交.

5.简述下列问题的结论,并画图说明:

（1）若a⊂α，b∩a=A，则直线b和平面α的位置关系如何?

（2）若a⊂α，b∥a，则直线b和平面α的位置关系如何？

解：（1）由图①可知:b⊂α或b∩α=A。

（2)由图②可知：b⊂α或b∥α.

①

②

B级 能力提升 2021版必修第二册

6.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( ）

A。异面或平行

B。异面或相交

C。异面

D。相交、平行或异面

解析：异面直线不具有传递性，如图所示，在长方体模型中，a，b异面,直线c的位置可如图中c1，c2,c3所示,所以a和c的位置关系可以是相交、平行或异面。