初中数学复习几何模型专题讲解11---构造平行四边形

全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是°、°、°、°及有一个角是°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇度旋度，造等边三角形遇度旋度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋度，造中心对称说明：IS 8模型变形BEFcEB说明：说明：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnn口叩皿皿皿皿皿中点模型 边构诗中｛fflt 逢阳点闵iS 中幽城 几何最值模型 VH *h 轴对称模型 对称最值 线mi 差模型 fflftffw 同侧"异侧两蜒段之利罐短视它 同侧、异删芮线投之羞媪小槐型 四边形周怏垠小根地 三角形眉长 必小檢哩三线穀之和 她知爬制过桥模取旋转最值说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

简拼模型三角形j四边形E 面积等分说明：说明：3045602说明：ACOCOAA 模型一：手拉手模型-旋转型全等<2)等濮的AA Mfr=血°拟述°均为等媵直甬M 册A 结险(DA (UCtAO^l>j 超乙他»③。

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2.3 平行四边形（知识讲解）【学习目标】1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的性质定理和判定定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3.认识平行四边形对角线分得的三角形的关系及拓展关系3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.要点五、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等；2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图AOB BOC COD AOD S S S S ===3. 平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系：+=+AOB COD BOC AOD S S S S【典型例题】类型一、平行四边形的性质1、如图，在平行四边形ABCD 中，BCD ∠的平分线与BA 的延长线相交于点,E BH EC ⊥于点H .（1）求证:CH EH =；（2）若5,3AD CD ==，求AE 的长．【分析】（1）先证明=E ECD BCE ∠=∠∠，得到BE BC =，再根据BH EC ⊥，利用等腰三角形性质得到结论；（2）根据平行四边形性质和BE BC =，求出BE 和AB ，问题得解． （1）证明:四边形ABCD 是平行四边形，//,AB CD ∴即//BE CDE ECD ∴∠=∠. CE 平分,BCD ∠,BCE ECD ∴∠=∠,BCE E ∴∠=∠,BE BC ∴=又,BH EC ⊥CH EH ∴=；（2）解:四边形ABCD 是平行四边形，3,5AB CD AD BC ∴====5BE BC ==,532AE BE AB ∴=---=．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，证明BE BC =是解答本题关键．举一反三：【变式】如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB=CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，AD 交BE 于点O ．（1）求证：AD 与BE 互相平分；（2）若AB ⊥AC ，AC=BF ，BE =8，FC =2，求AB 的长．证明：（1）连接,,AE BD,FB CE =,BC EF ∴=//,//,AB DE AC DF,,ABC DEF ACB DFE ∴∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中，ABC DEFBC EF ACB DFE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,ABC DEF ∴≌,AB DE ∴=//,AB DE∴ 四边形ABDE 是平行四边形，∴ AD 与BE 互相平分；（2）82BE FC ==，，6BF CE ∴+=，,BF CE =3BF CE ∴==，,AC BF =3AC ∴=，325BC ∴=+=，,AB AC ⊥4.AB ∴===【点拨】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．类型二、平行四边形的判定2、如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ．求证：（1）AE ＝CF ；（2）四边形AECF 是平行四边形．（1）利用平行四边形的性质，结合已知条件，证明ADE CBF ≌即可得到答案；（2）证明//AE CF ，结合AE CF =，可得结论． 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AED ＝∠CFB ＝90°，在△ADE 和△CBF 中，ADE CBE AED CFB AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CBF ≌（AAS ），∴AE ＝CF ．（2）∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴AE ∥CF ，由（1）得AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．【总结升华】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，BF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AC 于点E 求证：四边形DEBF 是平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠C ．∵BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BFA ＝∠DEC ＝90°，BF ∥DE ．在△ABF 和△CDE 中，BFA EDC A C AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CDE （AAS ），∴BF ＝DE ．又∵BF ∥DE ，∴四边形DEBF 是平行四边形．【点拨】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．类型三、平行四边形与面积有关的计算3、如图，在等边三角形ABC 中，6cm BC ．射线//AG BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm/s 的速度运动，同点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为s t ；（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：ADE CDF ；（2）求当t 为何值，四边形ACFE 是平行四边形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD ，再由AG 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证；（2）当AE=CF 时，四边形ACFE 是平行四边形，用含t 的式子分别表示出AE ，CF ，可得方程，解方程即可求得答案．（1）证明：如图，∵AG ∥BC ，∴∠EAD=∠DCF ，∠AED=∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD=CD ，在△ADE 和△CDF 中，EAD DCF AED DFC AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：根据题意得：AE=tcm ，BF=2tcm ，则CF=BF -BC=2t -6（cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE=CF 时，四边形ACFE 是平行四边形，如图，即t=2t -6，解得：t=6．故当t=6时，四边形ACFE 是平行四边形．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，掌握基本性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，在ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于E 点，且5BE =，8EC =. （1）求ABCD 的周长；（2）连结AC ，若12AC =，求ABCD 的面积.解：（1）如图，▱在平行四边形ABCD 中，AB ▱CD ，▱▱DAE =▱AED ，▱AE 平分▱BAD ，▱▱BAE =▱DAE ，▱▱BAE =▱AEB ，▱AB =BE =5，▱EC =8，∴BC =5+8=13▱平行四边形ABCD的周长为：2×（5+13）=36；（2）▱AB=5，BC=13，AC=12，AB2+AC2=BC2，▱▱ABC为直角三角形，即AC▱AB，∴平行四边形ABCD的面积=AB×AC=60．【点睛】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质和平行四边形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．类型三、平行四边形面积运算4．已知如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D 作DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．（1）求证：△ADF≌△BCM；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．【分析】（1）由平行线的性质可得▱BMC＝▱AFD，▱FAD＝▱MBC，进而可得出结论．（2）可把四边形ABED的面积分解为▱ADF的面积与四边形ABEF的面积进行求解．证明：在平行四边形ABCD中，则AD＝BC，AD//BC，▱AC▱BM，▱▱AFD＝▱E，∠DAF=▱ACB，▱CM▱DE，▱▱BMC＝▱E，▱▱BMC＝▱AFD，▱AC▱BM，▱∠ACB=▱MBC，▱▱FAD＝▱MBC，则在▱ADF与▱BCM中．BMC AFDFAD MBC AD BC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ▱▱ADF▱▱BCM （AAS ）． （2）解：在▱ACD 中， ▱AC▱CD ，▱ADC ＝60°， ▱CD ＝12AD ＝12a ，则AC，▱AC=2CF ，，▱AF ＝AC CF -=24a a -=4a ，又由▱ADF▱▱BCM ，可得BM＝4a ，又▱DE▱CM ，BM▱AC ， ▱CFEM 为平行四边形，▱EM=CF=，，又▱AC▱DC ，▱DC 为▱ADF 高， 又▱▱ADF▱▱BCM ， ▱▱ADF 的高的长度等于DC ， S ABED ＝S △ADF ＋S ABEF ＝12•AF•CD ＋12（AF ＋BE ）•CD＝1212 a ＋12a ）×12a＝8a 2． 【点拨】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定（AAS ）及性质以及三角形，四边形面积的求法，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定（AAS ）及性质以及三角形，四边形面积的求法是解题的关键．举一反三：【变式】在平行四边形ACBO 中，AO ＝5，点B 的坐标为（﹣2，4）．（1）写出点A 、C 的坐标；（2）求出平行四边形ACBO 的面积．【答案】（1）点A 坐标（﹣5，0），点C 坐标（﹣7，4）；（2）20【分析】（1）首先过点C 作CE ⊥x 轴于E ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据平行四边形的性质，可得OA ＝BC ＝5，OA ∥BC ，AC ＝OB ，易得CE ＝BD ＝4，AE ＝OD ＝2，则点A 坐标，点C 坐标即可求出；（2）利用平行四边形的面积公式直接计算即可．解：（1）∵四边形OACB 是平行四边形，∴OA ＝BC ＝5，OA ∥BC ，AC ＝OB ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，∴CE ＝BD ＝4，∴AE ＝OD ＝2，∴点A 坐标（﹣5，0），点C 坐标（﹣7，4）；（2）∵AO ＝5，BD ＝4，∴S ▱AOBC ＝5×4＝20．【点拨】此题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式的运用，解题的关键是利用数形结合思想解题．类型四、平行四边形综合训练5．在ABCD 中，点P 和点Q 是直线BD 上不重合的两个动点，//AP CQ ，AD BD =． （1）如图▱，求证：BP DQ =；（2）由图▱易得BP BQ BC +=，请分别写出图▱，图▱中BP ，BQ ，BC 三者之间的数量关系，并选择一个关系进行证明；（3）在（1）和（2）的条件下，若1DQ =，3DP =，则BC =______．【分析】（1）根据平行四边形的性质证明ADP △≌CBQ △，得BQ PD =，由BQ PQ PD PQ -=-即可得出BP DQ =；（2）图②，证明ABP △≌CDQ ，得PB DQ =，根据线段的和得结论；图③，证明ADP △≌CBQ △，得PD BQ =，同理得出结论；（3）分别代入图①和图②条件下的BC ，计算即可．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，AD BC =，∴ADB CBD ∠=∠，∵//AP CQ ，∴APQ CQB ∠=∠，∴ADP △≌CBQ △（AAS ），∴DP BQ =，∴BQ PQ PD PQ -=-，即BP DQ =．（2）图②：BQ BP BC -=，理由是：∵//AP CQ ，∴APB CQD ∠=∠，∵//AB CD ，∴ABD CDB ∠=∠，∴ABP CDQ ∠=∠，∵AB CD =，∴ABP △≌CDQ （AAS ），∴BP DQ =，∴BC AD BD BQ DQ BQ BP ===-=-．图③：BP BQ BC -=，理由是：同理得：ADP △≌CBQ △（AAS ），∴PD BQ =，∴BC AD BD BP PD BP BQ ===-=-．（3）图①，134BC BP BQ DQ PD =+=+=+=，图②，312BC BQ BP PD DQ =-=-=-=，∴2BC =或4．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，属于四边形综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．。

第02讲平行四边形知识图谱平行四边形知识精讲一．新定义问题四边形有关的新定义一般更偏向于几何综合，结合题目中给出的新定义，探究题目中图形的角度、线段关系，但有时也经常放在坐标系中，注意坐标和线段长度的转化．二．拼接问题注意拼接过程中的相应的线段角度关系的转化，一般与全等三角形综合考查．三．与全等综合问题1．四边形是有三角形组合而成，这一节主要考察结合四边形的性质，证明三角形相等，进而得到对应边、对应角相等．2．熟记一些常见的模型如“弦图模型、手拉手模型”等是提升图形分析速度的基础．四．动点问题动点问题分析的一般方法：1．确定图形中的定点、动点；2．分析运动原因；3．分析运动过程，确定动点的运动轨迹；4．寻找临界情况并计算.三点剖析一．考点：1．新定义问题；2．拼接问题；3．与全等综合问题；4．动点问题．二．重难点：1．新定义问题；2．拼接问题；3．与全等综合问题；4．动点问题．三．易错点：题意理解错误，动点问题过程分析、临界位置寻找错误等．题模精讲题模一：新定义问题例1.1.1如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．例 1.1.2（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D．（3）性质应用：如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC=140°，∠AEC=102°，则∠B= °．（4）类比学习：如图4，在凹四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，顺次连接各边中点得到四边形EFGH．若AB=AD，CB=CD，则四边形EFGH是．（填写序号即可）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形．例 1.1.3类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD 成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC 的长．∠=∠=∠=∠，例1.1.4如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若1234则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且BC=．(其中矩形就是长方形)AB=，84（1）在图2、图3中，点E，F分别在BC，CD边上．试利用正方形网格在图上做出矩形ABCD的反射四边形EFGH．（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长．（3）如图4，请你猜想矩形ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明． 题模二：拼接问题例1.2.1 将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论： ①可以拼成等腰直角三角形； ②可以拼成对角互补的四边形； ③可以拼成五边形； ④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是________________．例1.2.2 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，五个正方形的边长都为1，将这五个正方形分割为四部分，再拼接为一个大正方形．小明研究发现：如图2，拼接的大正方形的边长为5，“日”字形的对角线长都为5，五个正方形被两条互相垂直的线段AB ，CD 分割为四部分，将这四部分图形分别标号，以CD 为一边画大正方形，把这四部分图形分别移入正方形内，就解决问题． 请你参考小明的画法，完成下列问题：（1）如图3，边长分别为a ，b 的两个正方形被两条互相垂直的线段AB ，CD 分割为四部分图形，现将这四部分图形拼接成一个大正方形，请画出拼接示意图；（2）如图4，一个八角形纸板有个个角都是直角，所有的边都相等，将这个纸板沿虚线分割为八部分，再拼接成一个正方形，如图5所示，画出拼接示意图；若拼接后的正方形的面积为842 ，则八角形纸板的边长为__________.1 23 41 23 4图1图2图3图4A BCDA B CD M N P QG EFFEEHHGF例1.2.3 如图，在菱形纸片ABCD 中，4cm AB =，120ABC ∠=︒，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图1，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC （余下部分不再使用）；第二步：如图2，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；第三步：如图3，将MN 左侧纸片绕G 点按顺时针方向旋转180︒，使线段GB 与GE 重合，将MN 右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180︒，使线段HC 与HE 重合，再与三角形纸片EGH 拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片．（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （1）请你在图3中画出拼接成的四边形（2）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为________cm ，最大值为________cm.题模三：与全等综合问题图 1ACBDE③F① ②③② ①图2A③Ca D ① ②Bb图3图4图5ABCDEMNHG 图1EC图2BE MNHG C图3例1.3.1 在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 的中点，点F 在边CD 上，连接DE 、AF ，点G 在线段AF 上（1）如图①，若DG 是△ADFD 的中线，DG=2.5，DF=3，连接EG ，求EG 的长；（2）如图②，若DG ⊥AF 交AC 于点H ，点F 是CD 的中点，连接FH ，求证：∠CFH=∠AFD ；（3）如图③，若DG ⊥AF 交AC 于点H ，点F 是CD 上的动点，连接EG ．当点F 在边CD 上（不含端点）运动时，∠EGH 的大小是否发生改变？若不改变，求出∠EGH 的度数；若发生改变，请说明理由．例1.3.2 在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为BC 边上任意一点（点E 不与B 、C 重合），点F 在线段AE 上，过点F 的直线MN ⊥AE ，分别交AB 、CD 于点M 、N ．此时，有结论AE=MN ，请进行证明；（2）如图2：当点F 为AE 中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD ，MN 与BD 交于点G ，连接BF ，此时有结论：BF=FG ，请利用图2做出证明．（3）如图3：当点E 为直线BC 上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN 分别交直线AB 、CD 于点M 、N ，请你直接写出线段AE 与MN 之间的数量关系、线段BF 与FG 之间的数量关系．例1.3.3 如图，在菱形ABCD 中，,M N 分别是边,AB BC 的中点，MP AB ⊥交边CD 于点P ，连接,NM NP .(1)若60B ∠=，这时点P 与点C 重合，则NMP ∠=___度； (2)求证：NM NP =；(3)当NPC 为等腰三角形时，求B ∠的度数。

专题11 平行四边形与特殊的平行四边形一．选择题1．（2022·四川内江）如图，在▱ABCD 中，已知AB ＝12，AD ＝8，▱ABC 的平分线BM 交CD 边于点M ，则DM 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．（2022·内蒙古赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD ，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）A ．四边形ABCD 周长不变B ．AD CD =C ．四边形ABCD 面积不变 D ．AD BC =3．（2022·黑龙江大庆）如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在E 处．若156∠=︒，242∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．108︒B ．109︒C ．110︒D ．111︒4．（2022·广东）如图，在ABC 中，4BC =，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．25．（2022·广东）如图，在ABCD 中，一定正确的是（ ）A ．AD CD =B ．AC BD = C ．AB CD = D ．CD BC =6．（2022·江苏无锡）如图，在ABCD 中，AD BD =，105ADC ∠=，点E 在AD 上，60EBA ∠=，则EDCD 的值是（ ）A ．23 B ．12 C D 7．（2022·山东烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ） A ．正方形 B ．正六边形 C ．正八边形 D ．正十边形8．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，点E 是DA 中点，F 是对角线AC 上一点，且45DEF ∠=︒，则:AF FC 的值是（ ）A ．3B 1C ．1D ．2+9．（2022·贵州黔东南）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ，则DF 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D 110．（2022·海南）如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若:1:2,BF CE EF ==ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．5D 11．（2022·江苏无锡）下列命题中，是真命题的有（ ）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形 ④四边相等的四边形是菱形A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④12．（2022·广西玉林）若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 一定是( )A ．互相平分B ．互相垂直C ．互相平分且相等D ．互相垂直且相等13．（2022·内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上，120ABC ∠=︒，点()30A -,，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD PE +的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．D 14．（2022·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD 中，AD AB >，点E ，F 分别在,AD BC 边上，,EF AB AE AB =∥，AF 与BE 相交于点O ，连接OC ，若2BF CF =，则OC 与EF 之间的数量关系正确的是（ ）A ．2OC =B 2EF =C ．2OC =D ．OC EF =15．（2022·黑龙江）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ）A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤16．（2022·江苏泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 一边作正方形DEFG .设DE =d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2，d 3，则d 1＋d 2＋d 3的最小值为( )A B ．2 C ．D ．417．（2022·四川广安）如图，菱形ABCD 的边长为2，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，则PE + PF 的最小值是（ ）A ．2 BC ．1.5D 18．（2022·辽宁营口）如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ⊥，垂足为F ，若1,2CD CF ==，则线段AE 的长为（ ）A 2B 1C ．13D ．12 19．（2022·湖北恩施）如图，在四边形ABCD 中，▱A =▱B =90°，AD =10cm ，BC =8cm ，点P 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当4s t =时，四边形ABMP 为矩形B ．当5s =t 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD PM =时，4s t = D ．当CD PM =时，4s t =或6s20．（2022·湖北恩施）如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，分别以B 、D 为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧交于P 、Q 两点，作直线PQ ，分别与AD 、BC 交于点M 、N ，连接BM 、DN ．若4=AD ，2AB =．则四边形MBND 的周长为（ ）A ．52B ．5C ．10D ．20二．填空题21．（2022·广西梧州）如图，在ABC 中，90ACB ∠=，点D ，E 分别是,AB AC 边上的中点，连接,CD DE ．如果5m AB =，3m BC =，那么CD DE +的长是_______m ．22．（2022·贵州毕节）如图，在Rt ABC 中，90,3,5BAC AB BC ∠=︒==，点P 为BC 边上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为_________．23．（2022·山东烟台）如图1，▱ABC 中，▱ABC ＝60°，D 是BC 边上的一个动点（不与点B ，C 重合），DE ∥AB ，交AC 于点E ，EF ∥BC ，交AB 于点F ．设BD 的长为x ，四边形BDEF 的面积为y ，y 与x 的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P 的坐标为（2，3），则AB 的长为 _____．24．（2022·山东临沂）如图，在正六边形ABCDEF 中，M ，N 是对角线BE 上的两点，添加下列条件中的一个：①BM EN =；②FAN CDM ∠=∠；③AM DN =；④AMB DNE ∠=∠．能使四边形AMDN 是平行四边形的是__________（填上所有符合要求的条件的序号）．25．（2022·江苏泰州）正六边形一个外角的度数为____________．26．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD 中，AC ▱BD ，垂足为O ，AB CD ，要使四边形ABCD 为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）27．（2022·海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，,30AE AF EAF =∠=︒，则AEB ∠=___________︒；若AEF 的面积等于1，则AB 的值是___________．AC BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F 28．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，菱形ABCD的对角线,OA=，则线段OF的长为___________．为CD的中点，连接OF，若AE BE=，3OE=，429．（2022·山东青岛）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色∠的度数是__________︒．后，再次镶嵌便得到图①，则图④中ABC30．（2022·江苏常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若60∠=︒，则橡皮筋AC_____断裂（填“会”BAD或“不会” 1.732）．31．（2022·贵州铜仁）如图，四边形ABCD为菱形，▱ABC=80°，延长BC到E，在▱DCE内作射钱CM，使得▱ECM=30°，过点D作DF▱CM，垂足为F．若DF BD的长为______（结果保留很号）．32．（2022·湖北十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF ，AG 分别架在墙体的点B ，C 处，且AB AC =，侧面四边形BDEC 为矩形，若测得55FBD ∠=︒，则A ∠=_________︒．33．（2022·湖北随州）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，连接EF ．如图2，将▱AEF 绕点A 逆时针旋转角()090θθ<<︒，使EF AD ⊥，连接BE 并延长交DF 于点H ，则▱BHD 的度数为______，DH 的长为______．34．（2022·贵州黔东南）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE //AC ，CE //BD ．若10AC =，则四边形OCED 的周长是_______．35．（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，CD 是▱ABC 的角平分线，过点D 分别作AC ，BC 的平行线，交BC 于点E ，交AC 于点F ．若▱ACB ＝60°，CD ＝CEDF 的周长是_______．36．（2022·广西贺州）如图，在矩形ABCD 中，86AB BC ==，，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，ADC ∠的平分线交AB 于点G ，点P 是线段DG 上的一个动点，则PEF 的周长最小值为__________．37．（2022·江苏无锡）如图，正方形ABCD 的边长为8，点E 是CD 的中点，HG 垂直平分AE 且分别交AE 、BC 于点H 、G ，则BG ＝________．38．（2022·黑龙江）在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE 是直角三角形，则BP 的长为________．39．（2022·黑龙江大庆）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边,AB BC 上的两个动点，且正方形ABCD 的周长是BEF 周长的2倍，连接,DE DF 分别与对角线AC 交于点M ，N ．给出如下几个结论：①若2,3AE CF ==，则4EF =；②180EFN EMN ∠+∠=︒；③若2,3AM CN ==，则4MN =；④若2,3MN BE AM ==，则4EF =．其中正确结论的序号为____________．40．（2022·四川雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC ＝9，CD ＝3，那么阴影部分的面积为 _____．41．（2022·黑龙江）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，3AD =，AH 是BAC ∠的平分线，CE AH ⊥于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是________．42．（2022·辽宁锦州）如图，四边形ABCD 为矩形，3AB AD ==，点E 为边BC 上一点，将DCE 沿DE 翻折，点C 的对应点为点F ，过点F 作DE 的平行线交AD 于点G ，交直线BC 于点H ．若点G 是边AD 的三等分点，则FG 的长是____________．43．（2022·四川内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF▱BC，则AF+CE的最小值是_____．三．解答题44．（2022·湖南长沙）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB AD=．(1)求证：AC BD⊥；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，322EF AO==，，求BD的长及四边形ABCD的周长．45．（2022·江苏无锡）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．求证：(1)△DOF▱△BOE；(2)DE=BF．46．（2022·黑龙江大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．(1)求证：四边形ABDF 是平行四边形；(2)若AE AC =，求证：AB DB =．47．（2022·广西贺州）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且ED BF =，连接AF ，CE ，AC ，EF ，且AC 与EF 相交于点O ．(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形；(2)若AC 平分8FAE AC ∠=，，3tan 4DAC ∠=，求四边形AFCE 的面积．48．（2022·贵州毕节）如图1，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，,AO CO BCA CAD ．(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)如图2，E ，F ，G 分别是,,BO CO AD 的中点，连接,,EF GE GF ，若2,15,16BD AB BC AC ，求EFG 的周长．49．（2022·内蒙古包头）如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是一条对角线，且5AB AC ==，6BC =，E ，F 是AD 边上两点，点F 在点E 的右侧，AE DF =，连接CE ，CE 的延长线与BA 的延长线相交于点G ．(1)如图1，M 是BC 边上一点，连接AM ，MF ，MF 与CE 相交于点N ．①若32AE =，求AG 的长；②在满足①的条件下，若EN NC =，求证：AM BC ⊥； (2)如图2，连接GF ，H 是GF 上一点，连接EH ．若EHG EFG CEF ∠=∠+∠，且2HF GH =，求EF 的长．50．（2022·北京）如图，在ABCD 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF =．(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)若,BAC DAC ∠=∠求证：四边形EBFD 是菱形．51．（2022·黑龙江哈尔滨）已知矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点E 是边AD 上一点，连接,,BE CE OE ，且BE CE =．(1)如图1，求证：BEO CEO △≌△；(2)如图2，设BE 与AC 相交于点F ，CE 与BD 相交于点H ，过点D 作AC 的平行线交BE 的延长线于点G ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（AEF 除外），使写出的每个三角形的面积都与AEF 的面积相等．52．（2022·湖北鄂州）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且▱CDF =▱BDC 、▱DCF =▱ACD ．(1)求证：DF=CF；(2)若▱CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积．53．（2022·山东威海）如图:(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；②求四边形AGCH的面积．(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝BC＝7，CF AGCH的面积．54．（2022·内蒙古赤峰）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图①，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形111A B C O 的一个顶点，1OA 交AB 于点E ，1OC 交BC 于点F ，则AE 与BF 的数量关系为_________；(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m 、n 经过正方形ABCD 的对称中心O ，直线m 分别与AD 、BC 交于点E 、F ，直线n 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，且m n ⊥，若正方形ABCD 边长为8，求四边形OEAG 的面积；(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，顶点E 在BC 的延长线上，且6BC =，2CE =．在直线BE 上是否存在点P ，使APF 为直角三角形？若存在，求出BP 的长度；若不存在，说明理由．55．（2022·江苏泰州）如图，线段DE 与AF 分别为▱ABC 的中位线与中线．(1)求证：AF 与DE 互相平分；(2)当线段AF 与BC 满足怎样的数量关系时，四边形ADFE 为矩形？请说明理由．56．（2022·四川雅安）如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两点，且BE ＝DF ．(1)求证：▱ABE ▱▱CDF ；(2)若AB ＝BE ＝2，求四边形AECF 的面积．57．（2022·广西玉林）如图，在矩形ABCD 中，8,4AB AD ==，点E 是DC 边上的任一点（不包括端点D ，C ），过点A 作AF AE ⊥交CB 的延长线于点F ，设DE a =．(1)求BF 的长（用含a 的代数式表示）；(2)连接EF 交AB 于点G ，连接GC ，当//GC AE 时，求证：四边形AGCE 是菱形．58．（2022·江苏无锡）如图，已知四边形ABCD 为矩形AB =4BC =，点E 在BC 上，CE AE =，将▱ABC沿AC 翻折到▱AFC ，连接EF ．(1)求EF 的长；(2)求sin▱CEF 的值．59．（2022·山东聊城）如图，ABC 中，点D 是AB 上一点，点E 是AC 的中点，过点C 作CF AB ∥，交DE 的延长线于点F ．(1)求证：AD CF =；(2)连接AF ，CD ．如果点D 是AB 的中点，那么当AC 与BC 满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，证明你的结论．60．（2022·内蒙古通辽）已知点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共点A ．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．61．（2022·湖南）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，连接OE ，过点C作CF BD ∥交OE 的延长线于点F ，连接DF ．(1)求证：ΔΔODE FCE ≅；(2)试判断四边形ODFC 的形状，并写出证明过程．62．（2022·贵州贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．(1)求证：ABE FMN ≌△△；(2)若8AB =，6AE =，求ON 的长．63．（2022·山东青岛）如图，在四边形ABCD 中，AB ▱CD ，点E ，F 在对角线BD 上，BE =EF =FD ，▱BAF =▱DCE =90°．(1)求证：△ABF ▱△CDE ；(2)连接AE ，CF ，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF 的形状，并证明你的结论．条件①：▱ABD =30°； 条件2：AB =BC ．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）64．（2022·湖南永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A 、B 、C 、D 四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），A 、B 、C 、D 四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）． 方案一：如图2所示，沿正方形ABCD 的三边铺设水管；方案二：如图3所示，沿正方形ABCD 的两条对角线铺设水管．(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；(2)小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），满足120AEB CFD =∠∠=°，AE BE CF DF ===，EF AD ∥、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由． 1.4≈ 1.7≈）65．（2022·贵州遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．(1)求证：ADE CDG ≌；(2)若2AE BE ==，求BF 的长．。

第十讲.构造平行四边形巧解几何问题II【教学目标】1.巩固平行四边形的相关知识；2.学会添恰当的辅助线构造出平行四边形；3.掌握平行四边形中常见的辅助线作法；4.掌握平行四边形的综合应用。

【知识、方法梳理】1.平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用。

2.由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1)平行四边形对角相等； (2)平行四边形对边相等； (3)平行四边形对角线互相平分．3.除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形； (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【典例精讲】例1 .如图示。

在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，DN BM =。

求证：EF 与MN 互相平分。

【分析】只要证明ENFM 是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．【证明】因为ABCD 是平行四边形，所以AD BC ，AB CD ，∠B=∠D ．又AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，所以AECF 是矩形，从而AE=CF所以Rt △ABE ≌Rt △CDF(HL ，或AAS)，BE=DF 。

又由已知BM=DN ， 所以△BEM ≌△DFN(SAS)， ME=NF ． ①又因为AF=CE ，AM=CN ，∠MAF=∠NCE ，所以△MAF ≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF ． ②由①，②，四边形ENFM 是平行四边形，从而对角线EF 与MN 互相平分．例2 .如图所示。

Rt ABC ∆中，90BAC ∠=o，AD BC ⊥于D ，BG 平分ABC ∠，EF BC ∥且交AC 于F 。

四边形常见模型目录题型01中点四边形模型 1题型02十字架模型 4题型03对角互补模型 8题型04半角模型 11题型05含60°的菱形模型 16题型06三垂线模型 20题型01中点四边形模型1.(23-24九年级上·山东枣庄·期中)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是()A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形【答案】C【详解】解：如图，设点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，∵四边形EFGH是菱形，∴EF=FG=GH=EH，∵BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：C．2.(23-24九年级上·山西朔州·期中)如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD和AD的中点，顺次连接EF，FG，GH和HE得到四边形EFGH．若AC=10,BD =12，则四边形EFGH的面积等于()A.30B.35C.40D.60【答案】A【详解】解：∵点E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，EF =12AC ，∵AC =10，∴EF =12AC =5，同理，可得：HG ∥AC ，HG =12AC =5，∴EF ∥HG ，EF =HG ，∵点E ，H 分别为边AB ，AD 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH ∥BD ，EH =12BD =6，同理，可得：FG ∥BD ，FG =12BD =6，∴EH ∥FG ，EH =FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴∠FEH =90°，∴平行四边形EFGH 是矩形，∴矩形EFGH 的面积为：6×5=30，即四边形EFGH 的面积为30．故选：A ．3.(23-24九年级上·山东东营·期中)如图，把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，则顺次连接四边形ADEC 各边中点，得到的四边形的形状一定是．【答案】菱形【详解】解：∵把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，∴CD =AE =AB ，∵顺次连接四边形ADEC 各边中点，∴H 、F 分别是DE 、AD 的中点，∴HF =12AE ．同理FM =12CD ,NH =12CD ,MN =12AE ，又∵DC =AE ，∴HN =HF =FM =MN ，∴四边形HFMN 是菱形．∴得到的四边形的形状一定是：菱形．故答案为：菱形．4.(23-24九年级上·河南信阳·期中)已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)求证：四边形EFGH 的形状是平行四边形；(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是菱形．【答案】(1)证明见解析(2)互相垂直(3)AC =BD【详解】(1)证明：如图，连接AC 、BD ，∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EF 、GH 分别为△ABC 、△ADC 的中位线，∴EF =12AC ，EF ∥AC ，GH =12AC ，GH ∥AC ，∴EF =GH ，EF ∥GH ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形；(2)解：当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形，∵EF ∥AC ，FG ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG ，∴平行四边形EFGH 是矩形，故答案为：互相垂直；(3)解：当AC =BD 时，四边形EFGH 是菱形，∵EF =12AC ，FG =12BD ，AC =BD ，∴EF =FG ，∴平行四边形EFGH 是菱形，故答案为：相等．5.(23-24九年级上·福建泉州·期中)已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH ，HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是矩形？并说明理由．【答案】(1)见详解(2)AC ⊥BD ，见详解【详解】(1)解：连接AC ，如图，∵四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，∴HG ∥AC ,HG =12AC ,EF ∥AC ,EF =12AC ，∴HG ∥EF ,HG =EF ，∴四边形EFGH 是平行四边形；(2)解：AC ⊥BD ，理由如下：连接AC ，BD ，∵四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，∴HG ∥AC ,EH ∥BD ．∵AC ⊥BD ，∴HG ⊥EH ，∴∠EHG =90°，∴平行四边形EFGH 是矩形．故答案为：AC ⊥BD ．题型02十字架模型6.(23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，将一边长为15的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE =8，折痕为PQ ，则PQ 的长为()A.15B.16C.17D.18【答案】C 【详解】解：过点P作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE +∠APQ =90°，又∠DAE +∠AED =90°，∴∠AED =∠APQ ，∵AD ∥BC ，∴∠APQ =∠PQM ，则∠PQM =∠APQ =∠AED ，∠D =∠PMQ ，PM =AD∴△PQM ≌△ADE∴PQ =AE =82+152=17．故选：C ．【点睛】本题考查正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．7.(23-24九年级上·四川成都·期中)如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，则折痕FG 的长度为．【答案】25【详解】解：如图，过点G 作GH ⊥AD 于H ，则四边形ABGH 中，HG =AB ，由翻折变换的性质得GF ⊥AE ，∵∠AFG +∠DAE =90°，∠AED +∠DAE =90°，∴∠AFG =∠AED ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，∴HG =AD ，在△ADE 和△GHF 中，∠GHF =∠D∠AFG =∠AED GH =AD，∴△ADE ≌△GHF (AAS )，∴GF =AE ，∵点E 是CD 的中点，∴DE =12CD =2，在Rt △ADE 中，由勾股定理得，AE =AD 2+DE 2=42+22=25，∴GF 的长为25．故答案为：25．【点睛】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．8.(23-24九年级上·江苏泰州·期中)如图，正方形纸片ABCD 的边长为24，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE =10，则GE 的长为【答案】9813【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD =24，∠BAD =∠D =90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH =GH ，∴∠BAH +∠ABH =90°，又∵∠FAH +∠BAH =90°，∴∠ABH =∠FAH ，∴△ABF ≌△DAE (ASA )，∴AF =DE =10，在Rt △ABF 中，BF =AB 2+AF 2=242+102=26，S △ABF =12AB •AF =12BF •AH ，∴24×10=26AH ，∴AH =12013，∴AG =2AH =24013，∵AE =BF =26，∴GE =AE -AG =26-24013=9813，故答案为：9813．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．9.(23-24九年级上·陕西商洛·期中)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 相交于点G ，连接AG ，求证：(1)CE ⊥DF ．(2)∠AGE =∠CDF ．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC =CD =AD ，∠B =∠BCD =90°，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴BE =12AB ，CF =12BC ，∴BE =CF ，在△CBE 与△DCF 中，BC =CD∠B =∠FCD BE =CF，∴△CBE ≌△DCF SAS ，∴∠ECB =∠FDC ，∵∠BCE +∠ECD =∠BCD =90°，∴∠ECD +∠CDF =90°，∴∠CGD =90°，∴CE ⊥DF ．(2)延长CE ，交DA 的延长线于H ，∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AHE =∠BCE ，∵点E 是AB 的中点，∴AE =BE ，∵∠AHE =∠BCE ，∠AEH =∠CEB ，AE =BE ，∴△AEH ≌△BEC AAS ，∴AH =BC ，∵在正方形ABCD 中，AD =BC ，∴AH =AD ，∵CE ⊥DF∴∠HGD =90°，∴AG 是Rt △HGD 斜边的中线，AG =12DH =AD ，∠ADG =∠AGD ，∠AGE +∠AGD =∠HGD =90°，∠CDF +∠ADG =∠CDA =90°，∠AGE=∠CDF．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质等，综合性很强，解题的关键是能够综合运用上述知识．题型03对角互补模型10.(23-24九年级上·江苏泰州·期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE．若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于()A.7B.9C.16D.25【答案】C【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，AE2=AO2+OE2，在Rt△COE中，CE2=CO2+OE2，∴AE2-CE2=AO2-CO2，在Rt△AOB中，AO2=AB2-OB2，在Rt△COB中，CO2=BC2-OB2，∴AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16，∴AE2-CE2=16，故选：C．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．11.(23-24·山东淄博·期中)如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC=a，AC=b，AB=c，则下列关系式中成立的是()A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2【答案】A【详解】设EF =x ，DF =y ，根据三角形重心的性质得AF =2y ，BF =2EF =2x ，利用勾股定理得到4x 2+4y 2=c 2，4x 2+y 2=14b 2，x 2+4y 2=14a 2，然后利用加减消元法消去x 、y 得到a 、b 、c 的关系．【解答】解：设EF =x ，DF =y ，∵AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，∴点F 为△ABC 的重心，AF =12AC =12b ，BD =12a ，∴AF =2DF =2y ，BF =2EF =2x ，∵AD ⊥BE ，∴∠AFB =∠AFE =∠BFD =90°，在Rt △AFB 中，4x 2+4y 2=c 2，①在Rt △AEF 中，4x 2+y 2=14b 2，②在Rt △BFD 中，x 2+4y 2=14a 2，③②+③得5x 2+5y 2=14(a 2+b 2)，∴4x 2+4y 2=15(a 2+b 2)，④①-④得c 2-15(a 2+b 2)=0，即a 2+b 2=5c 2．故选：A ．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．12.(23-24九年级上·河北石家庄·期中)已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ．(1)若AB =5，OA =3，OC =4，则BC =；(2)若AD =2，BC =5，则AB 2+CD 2=；(3)若AB =m ，BC =n ，CD =c ，AD =d ，则m ，n ，c ，d 之间的数量关系是．【答案】427m 2+c 2=n 2+d 2【详解】(1)∵AC ⊥BD ，∴∠BOC =∠COD =∠DOA =∠AOB =90°，∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4，∴CB =OB 2+OC 2=42+42=42．故答案为42．(2)由(1)得：∴OB 2+OC 2=BC 2，OA 2+OD 2=AD 2，OB 2+OA 2=AB 2，OC 2+OD 2=CD 2，∴AB 2+CD 2=OB 2+OA 2+OC 2+OD 2=BC 2+AD 2，∵AD =2，BC =5，∴AB 2+CD 2=2 2+5 2=7．故答案为7．(3)由(2)得：AB 2+CD 2=BC 2+AD 2，∴m 2+c 2=n 2+d 2．故答案为m 2+c 2=n 2+d 2．【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键．13.(23-24九年级上·安徽芜湖·期中)如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是(填序号)．(2)【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形ABCD 中，若AC ⊥BD ，则AB 2+CD 2=AD 2+BC 2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．(3)【问题解决】如图乙，在△ABC 中，BC =3，AC =4，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，连接AE ，BD ，有AE ⊥BD ，求AB ．【答案】(1)②④；(2)猜想正确，理由见解析；(3)AB =5【详解】解：(1)∵菱形、正方形的对角线相互垂直，∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义，故答案为：②④；(2)猜想正确，理由如下：∵四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠AOB =∠COD =∠BOC =∠AOD =90°，∴AB 2=OA 2+OB 2，CD 2=OC 2+OD 2，BC 2=OB 2+OC 2，AD 2=OA 2+OD 2，∴AB 2+CD 2=OA 2+OB 2+OC 2+OD 2，BC 2+AD 2=OB 2+OC 2+OA 2+OD 2，∴AB 2+CD 2=AD 2+BC 2；(3)∵BC =3，AC =4，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，∴AD =12AC =2，BE =12BC =32，DE =12AB ，∵AE ⊥BD ，∴AB 2+ED 2=AD 2+BE 2，∴5 4AB2=4+94，∴AB=5．14.(23-24九年级上·福建福州·期中)如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)在我们学过：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是；(只填序号)(2)如图，垂美四边形ABCD的对角线交于点O,AB=2,BC=3,AD=4，求CD的长度．【答案】(1)③④(2)21【详解】(1)解：∵菱形和正方形的对角线相互垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定垂直，∴只有正方形和菱形能称为垂美四边形，故答案为：③④；(2)∵AC⊥BD，∴AB2=AO2+BO2，BC2=BO2+CO2，DC2=DO2+CO2，AD2=AO2+DO2，∴AB2+DC2=AO2+BO2+DO2+CO2，BC2+AD2=AO2+BO2+DO2+CO2，∴AB2+DC2=BC2+AD2；∵AB=2,BC=3,AD=4∴CD2=32+42-22=9+16-4=21∴CD=21．题型04半角模型15.(23-24九年级上·四川眉山·期中)(半角模型)如图，正方形ABCD中，E是AB上的点，F是BC上的点，且∠EDF=45°．求证：AE+CF=EF．【答案】见解析【详解】证明：如图，在BC的延长线上截取CG=AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCG=90°，∴△ADE≌△CDG SAS，∴DE=DG，∠ADE=∠CDG．∵∠EDF=45°，则∠ADE+∠CDF=∠ADC-∠EDF=45°∴∠FDG=∠CDF+∠CDG=45°．∴∠EDF=∠FDG．在△DEF 和△DGF 中DE =DG∠EDF =∠FDG DF =DF，∴△DEF ≌△DGF SAS ∴EF =GF ．即EF =GC +CF∴AE +CF =EF ．16.(23-24九年级上·广西南宁·期中)【探索发现】如图①，四边形ABCD 是正方形，M ，N 分别在边CD 、BC 上，且∠MAN =45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将△ADM 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△ABE ，连接AM 、AN 、MN．(1)试判断DM ，BN ，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．(2)如图②，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 的延长线上，∠MAN =45°，连接MN ，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．【答案】(1)MN =DM +BN ．证明见解析(2)MN =BN -DM ．证明见解析【详解】(1)解：MN =DM +BN ．证明如下：由旋转，可知：AE =AM ，BE =DM ，∠EAM =90°．∠ABE =∠D =90°∴点E 、B 、C 共线∵∠MAN =45°∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN在△EAN 和△MAN 中AE =AM∠EAN =∠MANAN =AN∴△EAN ≌△MAN (SAS )∴EN =MN∵EN =BE +BN∴MN =DM +BN (2)解：MN =BN -DM ．证明如下：在BC 上取BE =MD ．连接AE ，∵AB =AD ，∠B =∠ADM ，∠EAM =90°∴△ABE ≌△ADM (SAS )∴AE =AM ，∠BAE =∠MAD∵∠MAN =45°∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN在△EAN和△MAN中，AE=AM∠EAN=∠MANAN=AN∴△EAN≌△MAN(SAS)∴EN=MN∵EN=BN-BE∴MN=BN-DM【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键．17.(23-24九年级上·广东汕尾·期中)如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．(1)求证：△EAG≅△EAF；(2)若DF=3，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)BE=2【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°；由旋转的性质可知：∠GAB=∠DAF，AG=AF，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠GAB+∠BAE=∠GAE=45°，∴∠GAE=∠EAF=45°，在△EAG和△EAF中，AF=AG∠GAE=∠EAF AE=AE，∴△EAG≅△EAF SAS．(2)解：∵DF=3，CD=6，∴CF=3，由(1)可知：GE=EF，BG=DF，∴CG=9，∴CE+EF=9，在Rt△EFC中，由勾股定理得：CE2+CF2=EF2，即CE2+32=9-CE2，解得：CE=4，∴BE=BC-CE=6-4=2．18.(23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中)【问题情境】神奇的半角模型在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法．如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，为了探究EF、BE、DF之间的数量关系，小明的思路如下：如图2，延长CB到点H，使BH=DF，连接AH，先证明△ADF≌△ABH，再证明△AHE≌△AFE．从而得到EF、BE、DF之间的数量关系．(1)提出问题：EF、BE、DF之间的数量关系为．(2)知识应用：如图3，AB=AD，∠B=∠D=90°，以A为顶点的∠BAD=120°，∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(3)知识拓展：如图4，在四边形ABCD中，AB=AD=a，BC=b，CD=c．∠ABC与∠D互补，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，且∠EAF=1∠BAD，请直接写出△EFC的周长=．(用2含a、b、c的式子表示．)【答案】(1)EF=DF+BE(2)(1)中的结论还成立，证明见解析(3)b+c【详解】(1)解：延长CB到点H，使BH=DF，连接AH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠D=∠ABC=∠ABH=∠BAD=90°，∴△ADF≌△ABH，∴∠DAF=∠BAH,AH=AF，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°，∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=45°，∴∠EAH=∠EAF，∵AE=AE，∴△AHE≌△AFE，∴EF=EH，∵EH=BE+BH，∴EF=DF+BE；故答案为：EF=DF+BE(2)解：(1)中的结论还成立，证明如下：延长CB到点M，使BM=DF，连接AM，∵∠B=∠D=90°，∴∠ABM=∠D=90°，∵AB=AD，∴△ADF≌△ABM，∴∠DAF=∠BAM,AM=AF，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=60°，∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=60°，∴∠EAM=∠EAF，∵AE=AE，∴△AME≌△AFE，∴EF=EM，∵EM=BE+BM，∴EF=DF+BE；(3)解：如图，延长CB到点P，使BP=DF，连接AP，∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABP=180°，∴∠D=∠ABP，∵AB=AD，∴△ADF≌△ABP，∴∠DAF=∠BAP,AP=AF，∵∠EAF=1∠BAD，2∠BAD，∴∠BAE+∠DAF=12∴∠EAP=∠EAF，∵AE=AE，∴△APE≌△AFE，∴EF=EP，∵EP=BE+BP，∴EF=DF+BE，∵BC=b，CD=c，∴△EFC的周长=EF+CE+CF=DF+BE+CE+CF=BC+CD=b+c．故答案为：b+c题型05含60°的菱形模型19.(2024·上海·期中)菱形ABCD的边长为23，∠B=60°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，那么△AEF周长为【答案】9【详解】解：过点A作AM⊥EF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=BC=CD=23，∵∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，∵AE ⊥BC ，∴BE =CE =12BC =232=3，∠BAE =∠DAF =30°，再Rt △AEB 中，AE =AB 2-BE 2=3，同理可证，∠DAF =∠CAF =30°，AF =3，∴∠EAF =120°-30°-30°=60°，AE =AF =3，∴△AEF 是等边三角形，边长为3∴△AEF 的周长是9．20.(23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试)如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =60°，过点B 作BE ⊥AB 交CD 于点E ，连接AE ，F 为AE 的中点，连接CF ，CF 交BE 于点G ，则GF 的长为．【答案】192【详解】解：如图，取H 为BE 的中点，∵菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =60°，∴AB =BC =CD =4，AB ∥CD ，∠BAD =∠BCE =60°，∵F 为AE 的中点，H 为BE 的中点，∴EH =12BE ，FH 是△ABE 的中位线，∴FH =12AB =2，AB ∥FH ，∴AB ∥FH ∥CD ，∵BE ⊥AB ，∴FH ⊥BE ，CD ⊥BE ，∴∠FHE =∠BEC =90°，∴∠CBE =90°-60°=30°，∴CE =12BC =2，∴BE =BC 2-CE2=42-22=23，∴EH =12BE =3，∴FH =CE ，在△FHG 和△CEG 中，∠FHG =∠CEG∠FGH =∠CGE FH =CE，∴△FHG ≌△CEG (AAS )，∴EG =GH =12EH =32，在Rt △FHG 中，由勾股定理得：GF =FH 2+GH 2=22+32 2=192，故答案为：192．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21.(23-24九年级上·上海·期中)如图，菱形ABCD 中，AB =3，∠DAB =60°，AE =1，点P 为对角线AC上的一个动点，则PE +PB 的最小值为．【答案】7【详解】解：如图，连接BD ，PD ，过D 作DR ⊥AB 于R ，由菱形的对称性可得：PD =PB ，∴PB +PE =PD +PE ≥DE ，当D ,P ,E 三点共线时，PD +PE 最短，∵菱形ABCD 中，AB =3，∠DAB =60°，∴AB =AD =3，△ABD 为等边三角形，∴AR =BR =32，DR =AD 2-AR 2=323，∵AE =1，∴ER =32-1=12，∴DE =12 2+323 2=7，∴PB +PE 的最小值为：7；故答案为：7【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．22.(23-24九年级上·广西钦州·期中)如图，已知菱形ABCD 的边长为8，点M 是对角线AC 上的一动点，且∠ADC =120°，则MA +MB +MD 的最小值是．【答案】83【详解】解：如图，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=DC=BC，∠DAB，∠MAE=12∴∠DAB+∠ADC=180°，∴∠DAB=180°-120°=60°，∴∠MAE=1∠DAB=30°，2△DAB是等边三角形，∵ME⊥AB，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2ME+DM，∴当D、M、E三点共线时，ME+DM取得最小值，此时ME+DM=DE，∴MA+MB+MD的最小值为2DE，AB=4，∴AE=12∴DE=AD2-AE2=82-42=43，∴2ME+DM=2DE=83，∴MA+MB+MD的最小值为83；故答案：83．23.(23-24九年级上·四川绵阳·开学考试)如图，△ABC中，∠BCA=90°，D是斜边AB的中点，若CE∥AB，DE∥BC，且DE交AC于点O，连接AE．(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若∠B=60°，BC=6，则四边形ADCE的面积=．【答案】(1)证明见解析(2)183【详解】(1)证明：∵CE∥AB，DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴CE∥BD，且EC=BD．∵D是斜边AB的中点，∴AD=BD，∴EC=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠BCA=90°，D是斜边AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴平行四边形ADCE是菱形．(2)解：∵∠BCA=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∵BC=6，∴AB=2BC=12，∴AC=AB2-BC2=122-62=63，由(1)知，四边形ADCE是菱形，四边形DBCE是平行四边形，∴AC⊥DE，DE=BC=6，∴菱形ADCE的面积=12AC×DE=12×63×6=183，故答案为：183【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．24.(23-24九年级上·浙江杭州·开学考试)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【答案】(1)见解析(2)菱形的面积为83【详解】(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；(2)解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，作EG⊥BC于G，∴∠BEG=30∘,∠BGE=90∘，∴BG=12BE=2,∴EG=23，即高为23，∴菱形的面积为4×23=8 3.题型06三垂线模型25.(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，在正方形ABCD中，点G为CD边上一点，以CG为边向右作正方形CEFG，连接AF，BD交于点P，连接BG，过点F作FH⎳BG交BC于点H，连接AH，交BD于点K，下列结论中错误的是()A.HE=CDB.△AHF是等腰直角三角形C.点P为AF中点D.PK=BK+DP【答案】D【详解】解：A．∵四边形CEFG是正方形，∴GF∥CE，GF=CE，∵BG∥HF，∴四边形BHFG为平行四边形，∴GF=BH，∴BH=CE，∴BC=HE，∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD．∴HE=CD，故A正确；B．∵ABCD是正方形，CEFG是正方形，∴AB=BC，CE=EF，∠ABH=∠HEF=90°，∵BC=HE，BH=CE，∴AB=HE，BH=EF，∴△ABH≌△HEF(SAS)，∴AH=HF，∠BAH=∠EHF，∵∠BAH+∠AHB=90°，∴∠EHF+∠AHB=90°，∴∠AHF=90°，∴△AHF为等腰直角三角形，故B正确；C．过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，则MH∥EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠HBD=1∠ABC，2∴∠HBM=45°，∴BH=MH，∵△ABH≌△HEF，∴BH=EF，∴MH=EF，∴四边形EFMH为矩形，∴MF∥BE∥AD，MF=HE，∴∠DAP=∠MFP，∠ADP=∠FMP，∵AD=BC=HE，∴AD=MF，∴△P AD≌△PFM(ASA)，∴AP=FP，故C正确；D．将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，则AQ=AP，∠QAP=90°，∵△AHF是等腰直角三角形，∴∠HAF=45°，∴∠QAK=∠P AK=45°，∵AK=AK，∴△AQK≌△APK(SAS)，∴QK=PK，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋转性质知，∠ABQ=∠ADP=45°，BQ=DP，∴∠QBK=90°，∴BK2+BQ2=QK2，∴BK2+DP2=KP2，故D错误；故选：D．【点睛】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，后两选项关键在构造全等三角形．26.(23-24九年级上·广西贵港·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，EF垂直于CA的延长线于F，连接CE，则CE的长为()A.13B.15C.17D.20【答案】C【详解】∵四边形ABDE是正方形，∴∠BAE=90°，AE=AB，∵EF ⊥CA ，∴∠F =90°，∴∠EAF +∠AEF =90°，∵∠EAF +∠BAC =180°-∠BAE =90°，∴∠AEF =∠BAC ，在ΔAEF 和ΔBAC 中，∠F =∠ACB =90°∠AEF =∠BAC AE =AB，∴ΔAEF ≌ΔBAC AAS ，∴EF =AC =8，AF =BC =7，在Rt ΔECF 中，EF =8，FC =FA +AC =8+7=15，根据勾股定理得：CE =82+152=17，故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．27.(23-24九年级上·辽宁盘锦·期中)如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，且AE =CF ，则四边形EBFD 的面积为：．【答案】9【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =DC ，∠A =∠DCF =90°，∵AE =CF，∴△DAE ≅△DCF SAS ，∴四边形EBFD 的面积=正方形ABCD 的面积=32=9．故答案是9．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，准确计算是解题的关键．28.(23-24九年级上·陕西西安·期中)已知：点E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE 得到四边形EFGH ．有下列说法：①四边形EFGH 是平行四边形；②当四边形ABCD 为平行四边形时，四边形EFGH 是菱形；③当四边形ABCD 为矩形时，四边形EFGH 是菱形；④当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形；⑤若四边形EFGH 是正方形，则四边形ABCD 一定是正方形．其中正确的是()A.①③④B.①②⑤C.①③④⑤D.②④⑤【答案】A 【详解】解：如图所示，连接BD 、AC ，∵E 、H 分别为AD ，CD 中点，∴EH =12AC ，同理，FG =12AC ，EF =12BD ，HG =12BD ，∴EH =FG ，EF =HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；当四边形ABCD 是矩形时，则AC =BD ，∴EH =EF ，∴平行四边形EFGH 是菱形，而当四边形ABCD 是平行四边形时，不能得出EH =EF ，故②错误，③正确；当AC ⊥BD 时，∵E 、F 、H 分别为AD 、AB 、CD 中点，∴EF ∥BD ，EH ∥AC ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形，故④正确；∵EF =GH =12BD ，EH =FG =12AC ，四边形EFGH 是正方形，∴EF =GH =EH =FG ，EF ⊥EH ，∴BD =AC ，BD ⊥AC ，不能说明四边形ABCD 是正方形，故⑤错误；故选A ．29.(23-24九年级上·山东泰安·期中)如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为()A.23cmB.33cmC.43cmD.3cm【答案】B【详解】解：连接AC ，∵菱形ABCD ，∴AB =AD =BC =CD =2cm ，∠B =∠D ，∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴BE =12BC =1,DF =12CD =1，∴BE =DF =1，在△ABE 和△ADF 中，AB =AD∠B =∠D BE =DF，∴△ABE ≌△ADF (SAS )，∴AE =AF ,∠BAE =∠DAF ，∵∠B =∠D =60°，∴△ABC 与△ACD 是等边三角形，∴AE ⊥BC ，∴∠BAE =∠DAF =90°-60°=30°，AE =AB 2-BE 2=3，∵∠BAD =180°-∠B =120°，∴∠EAF =∠BAD -∠BAE -∠DAF =120°-30°-30°=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴△AEF 的周长是33cm ．故选B ．30.(23-24九年级上·江苏无锡·期中)如图，在正方形ABCD 中，AB =4，点E 是边AD 的中点，将△DCE沿着CE 翻折，得到△D CE ，延长BD 交CE 的延长线于点H ，则EH =．【答案】255【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AB =4，∴∠A =∠B =∠C =∠D =90°,AB =BC =CD =AD =4，∵点E 是边AD 的中点，∴DE =AE =12AD =2，在Rt △CDE 中，CE =DE 2+CD 2=22+42=25，∵将△DCE 沿着CE 翻折，得到△D CE ，∴∠DCE =∠D CE =12∠DCD ，∠D =∠CD E =90°，CD =CD =4，DE =D E =2，∴CD =BC ，如图，过点D ′作D F ⊥CH 于点F ，过点C 作CG ⊥BH 于点G ，则∠D CG =∠BCG =12∠BCD ，∴∠HCG =∠D CE +∠D CG =12∠DCD +12∠BCD =12(∠DCD +∠BCD )=12∠BCD =45°，∴∠H =45°，∴△D FH 为等腰直角三角形，HF =D F ，∵S ΔDCE =12D E ×CD =12CE ×D F ，∴D F =D E ×CD CE =2×425=455,∴HF =D F =455，在Rt △D EF 中，EF =D E 2-D F 2=22-455 2=255，∴EH =HF -EF =255，故答案为：255．【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确作出辅助线，根据题意推理论证得到∠H =45°是解题关键．31.(23-24九年级上·山西太原·期中)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点E 是BC 边上一点，且CE =2BE ，连接AE ，点F 是AB 边上一点，过点F 作FG ⊥AE 交CD 于点G ，连接EF ，EG ，AG ，则四边形AFEG 的面积为．【答案】5【详解】解：如图，过F 点作FH ⊥CD 于H ，∴∠FHG =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =AB =3，∠B =∠C =90°，∴四边形BCHF 是矩形，∴FH =BC =AB =3，∠BFH =90°，∴∠GFH +∠AFG =90°，∵AE ⊥FG ，∴∠AFG +∠EBA =90°，∴∠EAB =∠GFH ，在△ABE 和△FHG 中，∠B =∠FHGAB =FH ∠BAE =∠HFG，∴△ABE ≌△FHG (ASA )∴AE =FG ，∵CE =2BE ，∴BE =13BC =1，∴AE =AB 2+BE 2=32+12=10，∴FG =10，∴S 四边形AFEG =12AE ⋅FG =12×10×10=5；故答案：5．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键．32.(23-24九年级上·山西吕梁·期中)如图，正方形ABCD 的周长为16cm ，顺次连接正方形各边中点E 、F 、G 、H ，得到四边形EFGH 的面积等于cm 2．【答案】8【详解】解：连接AC ，BD ，∵点E 、F 、G 、H 是正方形各边的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，FG 是△ABC 的中位线，GH 是△BCD 的中位线，EH 是△ADC 的中位线，∴EF =GH =12BD ，FG =EH =12AC ，EF ∥BD ，FG ∥AC ，又∵AC =BD ，∴EF =FG =GH =EH ，∴四边形EFGH 是菱形，又∵AC ⊥BD ，EF ∥BD ，FG ∥AC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是正方形∵正方形ABCD 的周长为16cm ，，∴AB =BC =CD =AD =4，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD =42，，∴EF =12BD =22∴四边形EFGH 的面积=22 2=8cm 2．故答案为：8．33.(23-24九年级上·山东东营·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边长为2，点B 在y 轴上，∠AOC =60°，则点B 的坐标为．【详解】解：如图，连接AC交BO于点D，∴OC=OA=2,OD=DB，AC⊥BD，∵∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC=OA=2，AC=1，∴AD=12∴OD=OA2-AD2=3，∴OB=2OD=23，∵点B在y轴上，∴点B的坐标为0,23．故答案为：0,23．34.(23-24九年级上·湖北咸宁·期中)在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．(1)作△APB≌△AND(如图①)，求证：△APM≌△ANM；(2)求证：MN2=BM2+DN2；(3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，(如图②)，请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)MN2=2BM2+2DN2．理由见解析【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°．∴∠BAM+∠NAD=45°，∵△APB≌△AND，∴P A=NA，∠P AB=∠NAD，∴∠P AB+∠BAM=45°，∴∠P AM=∠NAM=45°，在△APM和△ANM中，P A=NA∠P AM=∠NAMAM=AM，∴△APM≌△ANM(SAS)；(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，∵△APB≌△AND，∴PB=ND，∠ABP=∠ADB=45°，∴∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°，∴PM2=BM2+PB2，∵△APM≌△ANM，∴PM=MN，∴MN2=BM2+DN2；(3)解：MN2=2BM2+2DN2．理由如下：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△AB M ．如图：过点M 作M F⊥CD于F，连接M N，同(1)可证△AMN≌△AM N，∴M N=MN．∵∠C=90°，∠CMN=45°，∴CM=CN．设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c，∴M F=AD-AB =AD-AB=a+c-(b+c)=a-b，NF=DN+DF=DN+B M =DN+BM=b+a．在Rt△M FN中，M N2=M F2+NF2=(a-b)2+(a+b)2=2a2+2b2，∴MN2=2BM2+2DN2．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：(1)利用SAS即可证明△APM≌△ANM；(2)证明∠BPM=90°，利用勾股定理求解；(3)通过构造直角三角形，利用勾股定理找出MN2=2BM2+2DN2．35.(23-24九年级上·四川成都·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，CE=DF，AB=BE，AE与BF相交于点O，连接EF．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE=DF=3，∠ABE=60°，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)4【详解】(1)证明：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC,AD=BC，∵CE=DF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；(2)解：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD,AD=BC，∵平行四边形ABCD的周长为22，∴AB+BC=11，∴AB+BE+EC=11，∵AB=BE,CE=3，∴AB=BE=4，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=4．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．。

平行四边形专题讲义一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。

三、本章知识结构图1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。

2．梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。

3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。

4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。

四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定1.平行四边形的性质：（1）从边看：对边 ，对边 ； （2）从角看：对角 ，邻角 ； （3）从对角线看：对角线互相 ； （4）从对称性看：平行四边形是 图形。

2、平行四边形的判定：（1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。

（定义）（2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。

（3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。

（4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。

（5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。

【基础练习】1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____．2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __.3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（ ）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜44.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A.AB=CD,AD=BC B.ABCD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是 （ ） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24【典型例题】例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F DA OA B CDOA DDC AB E F M NBE F C AD例2、 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G 。

教学辅导教案1．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∥ABC和∥DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：过点P作PE∥BC于E，∥AB∥CD，PA∥AB，∥PD∥CD，∥BP和CP分别平分∥ABC和∥DCB，∥PA=PE，PD=PE，∥PE=PA=PD，∥PA+PD=AD=8，∥PA=PD=4，∥PE=4．故选：C．2．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：第1页共41页3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9B．2：5C．2：3D．：【解答】解：∥四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3，∥DA：D′A′=OA：OA′=2：3，∥四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2=，故选：A．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将∥ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为．【解答】解：由折叠的性质可知，∥B′AC=∥BAC，∥四边形OABC为矩形，∥OC∥AB，∥∥BAC=∥DCA，∥∥B′AC=∥DCA，∥AD=CD，设OD=x，则DC=6﹣x，在Rt∥AOD中，由勾股定理得，OA2+OD2=AD2，即9+x2=（6﹣x）2，解得：x=，∥点D的坐标为：（0，），故答案为：（0，﹣）．4．如题图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.∥求证：△ABG≌△AFG；∥求BG的长.【解析】解：（1）∥四边形ABCD是正方形，∥∥B=∥D=90°，AD=AB.由折叠的性质可知，AD=AF，∥AFE=∥D=90°，∥∥AFG=90°，AB=AF.∥∥AFG=∥B.又∥AG=AG，∥∥ABG∥∥AFG（HL）.（2）∥∥ABG∥∥AFG，∥BG=FG.设BG=FG=x，则GC=6-x,Rt CEG中，由勾股定理，得∥E为CD的中点，∥CF=EF=DE=3，∥EG=3+x，在∆2223(6)(3)x x，解得2+-=+x，=∥BG=2.5．如图，四边形ABCD中，AC平分∥DAB，∥ADC=∥ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【解答】（1）证明：∥AC平分∥DAB，∥∥DAC=∥CAB，∥∥ADC=∥ACB=90°，∥∥ADC∥∥ACB，∥AD：AC=AC：AB，∥AC2=AB•AD；（2）证明：∥E为AB的中点，∥CE=AB=AE，∥∥EAC=∥ECA，∥∥DAC=∥CAB，∥∥DAC=∥ECA，∥CE∥AD；（3）解：∥CE∥AD，∥∥AFD∥∥CFE，∥AD：CE=AF：CF，∥CE=AB，∥CE=×6=3，∥AD=4，∥，∥．6．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH∥DE．【解答】证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC=CD，CE=CH，∥BCD=∥ECH=90°，∥∥BCD+∥DCH=∥ECH+∥DCH，即∥BCH=∥DCE，在∥BCH和∥DCE中，，∥∥BCH∥∥DCE（SAS），∥BH=DE；（2）∥∥BCH∥∥DCE，∥∥CBH=∥CDE，又∥∥CGB=∥MGD，∥∥DMB=∥BCD=90°，∥BH∥DE．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∥DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使∥PBE的周长最小，则∥PBE的周长的最小值为．【解答】解：连接DE．∥BE的长度固定，∥要使∥PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，∥四边形ABCD是菱形，∥AC与BD互相垂直平分，∥P′D=P′B，∥PB+PE的最小长度为DE的长，∥菱形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∥DAB=60°，∥∥BCD是等边三角形，又∥菱形ABCD的边长为2，∥BD=2，BE=1，DE=，∥∥PBE的最小周长=DE+BE=+1，故答案为：+1．2．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC∥AB，E是BC中点，∥AOD的周长比∥AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【解答】解：∥∥ABCD的周长为26cm，∥AB+AD=13cm，OB=OD，∥∥AOD的周长比∥AOB的周长多3cm，∥（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∥AB=5cm，AD=8cm．∥BC=AD=8cm．∥AC∥AB，E是BC中点，∥AE=BC=4cm；故选：B．3．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH∥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．4【解答】解：∥四边形ABCD是菱形，∥AO=OC，BO=OD，AC∥BD，∥AC=8，DB=6，∥AO=4，OB=3，∥AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∥S菱形ABCD=，∥，∥DH=，故选：A．4．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH 的周长为（）A．B．2C．+1D．2+1【解答】解：∥正方形ABCD的面积为1，∥BC=CD==1，∥BCD=90°，∥E、F分别是BC、CD的中点，∥CE=BC=，CF=CD=，∥CE=CF，∥∥CEF是等腰直角三角形，∥EF=CE=，∥正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，垂足为点E，若∥EAC=2∥CAD，则∥BAE=度．【解答】解：∥四边形ABCD是矩形，∥AC=BD，OA=OC，OB=OD，∥OA=OB═OC，∥∥OAD=∥ODA，∥OAB=∥OBA，∥∥AOE=∥OAD+∥ODA=2∥OAD，∥∥EAC=2∥CAD，∥∥EAO=∥AOE，∥AE∥BD，∥∥AEO=90°，∥∥AOE=45°，∥∥OAB=∥OBA==67.5°，∥∥BAE=∥OAB﹣∥OAE=22.5°．故答案为22.5°．6．已知：如图，在∥ABC中，AB=AC，AD是∥ABC的一条角平分线，AN是∥ABC 外角∥CAM的平分线，CE∥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论．【解答】（1）证明：∥在∥ABC中，AB=AC，AD是∥ABC的一条角平分线，∥AD∥BC，∥BAD=∥CAD，∥∥ADC=90°，∥AN为∥ABC的外角∥CAM的平分线，∥∥MAN=∥CAN，∥∥DAE=90°，∥CE∥AN，∥∥AEC=90°，∥四边形ADCE为矩形；（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：证明：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE．又∥AB=AC，BD=CD，∥AB=DE，AE=BD，∥四边形ABDE是平行四边形；（3）DF∥AB，DF=AB．理由：解：∥四边形ADCE为矩形，∥AF=CF，∥BD=CD，∥DF是∥ABC的中位线，∥DF∥AB，DF=AB．7．如图，在∥ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE=4，求∥C的大小．【解答】解：（1）在∥AEB和∥AEF中，，∥∥AEB∥∥AEF，∥∥EAB=∥EAF，∥AD∥BC，∥∥EAF=∥AEB=∥EAB，∥BE=AB=AF．∥AF∥BE，∥四边形ABEF是平行四边形，∥AB=BE，∥四边形ABEF是菱形；（2）如图，连结BF，交AE于G．∥菱形ABEF的周长为16，AE=4，∥AB=BE=EF=AF=4，AG=AE=2，∥BAF=2∥BAE，AE∥BF．在直角∥ABG中，∥∥AGB=90°，∥cos∥BAG===，∥∥BAG=30°，∥∥BAF=2∥BAE=60°．∥四边形ABCD是平行四边形，∥∥C=∥BAF=60°．【学科分析】（结合考纲要求）1．多边形在中考命题中多以选择题、填空题和解答题的形式出现，主要考查多边形的边角关系、多边形内角和、平面镶嵌及平行四边形的定义、性质和判定．2．平行四边形常和三角形、圆、函数结合起来命题，考查学生的综合运用能力．3．特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中．【学生分析】学生认知方式（老师自行预设）：整体型/分析型，场依存型/场独立型；学生风格：听觉型/视觉型/动觉型/混合型精讲1：多边形与平行四边形【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∥3+∥1﹣∥2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【例2】（1）如图，在∥ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若∥CED的周长为6，则∥ABCD的周长为（）A．6B．12C．18D．24【解答】解：∥四边形ABCD是平行四边形，∥DC=AB，AD=BC，∥AC的垂直平分线交AD于点E，∥AE=CE，∥∥CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，∥∥ABCD的周长=2×6=12；故选：B．（2）如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC∥AB，E是BC中点，∥AOD的周长比∥AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【解答】解：∥∥ABCD的周长为26cm，∥AB+AD=13cm，OB=OD，∥∥AOD的周长比∥AOB的周长多3cm，∥（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∥AB=5cm，AD=8cm．∥BC=AD=8cm．∥AC∥AB，E是BC中点，∥AE=BC=4cm；故选：B．（3）如图，在∥ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∥ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为．【解答】解：根据作图的方法得：BE平分∥ABC，∥∥ABE=∥CBE∥四边形ABCD是平行四边形，∥AD∥BC，AD=BC=5，∥∥AEB=∥CBE，∥∥ABE=∥AEB，∥AE=AB=3，∥DE=AD﹣AE=5﹣3=2；故答案为：2．（4）在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（﹣1，﹣2）、C（2，﹣2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是____．（填序号，多填或填错得0分，少填酌情给分）∥（﹣2，0）∥（0，﹣4）∥（4，0）∥（1，﹣4）【解答】解：若以AC为对角线则D的坐标为（4，0）；若以AB为对角线则D的坐标为（﹣2，0）；若以BC为对角线则D的坐标为（0，﹣4）；综上可得∥∥∥正确．【例3】（1）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．∥，∥B．∥，∥C．∥，∥D．∥，∥【解答】解：∥只有∥∥两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∥带∥∥两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．（2）下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．（3）如图，分别以Rt∥ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边∥ACD及等边∥ABE，已知：∥BAC=30°，EF∥AB，垂足为F，连接DF．①试说明AC=EF；②求证：四边形ADFE是平行四边形．【解答】证明：（1）∥Rt∥ABC中，∥BAC=30°，∥AB=2BC，又∥∥ABE是等边三角形，EF∥AB，∥AB=2AF∥AF=BC，在Rt∥AFE和Rt∥BCA中，，∥Rt∥AFE∥Rt∥BCA（HL），（2）∥∥ACD是等边三角形，∥∥DAC=60°，AC=AD，∥∥DAB=∥DAC+∥BAC=90°又∥EF∥AB，∥EF∥AD，∥AC=EF，AC=AD，∥EF=AD，∥四边形ADFE是平行四边形．精讲2：矩形、菱形的性质与判定【例4】（1）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；故选：C．（2）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC=8，BD=6，E是AB的中点，则∥OAE的周长是（）A．18B．16C．9D．8【解答】解：∥四边形ABCD为菱形，∥AC∥BD，OB=BD=3，OA=AC=4，∥AB==5，∥E为AB的中点，∥AE=OE=AB=2.5，∥AE+EO+AO=4+5=9，故选：C．（3）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．【解答】证明：如图，连接AC、BD，∥AD∥BC，AB=CD，∥AC=BD，∥E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∥在∥ABC中，EF=AC，在∥ADC中，GH=AC，∥EF=GH=AC，同理可得，HE=FG=BD，∥EF=FG=GH=HE，∥四边形EFGH为菱形．（4）如图，在Rt∥ABC中，∥B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∥BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．【解答】证明：∥AF∥CD，∥∥AFE=∥CDE，在∥AFE和∥CDE中，，∥∥AEF∥∥CED．AF=CD，∥AF∥CD，∥四边形ADCF是平行四边形．由题意知，AE=AB，∥EAD=∥BAD，AD=AD，∥∥AED∥∥ABD．∥∥AED=∥B=90°，即DF∥AC．∥四边形ADCF是菱形．【例5】（1）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形B．当AC∥BD时，四边形ABCD是矩形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当∥ABD=∥CBD时，四边形ABCD是矩形【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论错误；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项错误；C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、不能得到一个角是直角，故错误，故选：C．（2）已知坐标平面上有一长方形ABCD，其坐标分别为A（0，0），B（2，0），C （2，1），D（0，1），今固定B点并将此长方形依顺时针方向旋转，如图所示．若旋转后C点的坐标为（3，0），则旋转后D点的坐标为何（）A．（2，2）B．（2，3）C．（3，3）D．（3，2）【解答】解：∥旋转后C点的坐标为（3，0），∥点C落在x轴上，∥此时AC=3，DC=2，∥点D的坐标为（3，2），故选：D．（3）如图，在∥ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∥ACB、外角∥ACD的平分线于点E、F．①若CE=8，CF=6，求OC的长；②连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【解答】①证明：∥EF交∥ACB的平分线于点E，交∥ACB的外角平分线于点F，∥∥OCE=∥BCE，∥OCF=∥DCF，∥EF∥BC，∥∥OEC=∥BCE，∥OFC=∥DCF，∥∥OEC=∥OCE，∥OFC=∥OCF，∥OE=OC，OF=OC，∥OE=OF；∥∥OCE+∥BCE+∥OCF+∥DCF=180°，∥∥ECF=90°，在Rt∥CEF中，由勾股定理得：EF==10，∥OC=OE=EF=5；②解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，∥EO=FO，∥四边形AECF是平行四边形，∥∥ECF=90°，∥平行四边形AECF是矩形．（4）如图，在∥ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．①求证：BD=CD；②如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【解答】证明：①∥AF∥BC，∥∥AFE=∥DCE，∥E是AD的中点，∥AE=DE，，∥∥AEF∥∥DEC（AAS），∥AF=DC，∥AF=BD，∥BD=CD；②四边形AFBD是矩形．理由：∥AB=AC，D是BC的中点，∥AD∥BC，∥∥ADB=90°∥AF=BD，∥过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，∥四边形AFBD是平行四边形，又∥∥ADB=90°，∥四边形AFBD是矩形．精讲3：正方形的性质与判定【例6】（1）如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：∥绕顶点A顺时针旋转45°，∥∥D′CE=45°，∥CD′=D′E，∥ED′∥AC，∥∥CD′E=90°，∥AC==，∥CD′=﹣1，∥正方形重叠部分的面积是×1×1﹣×（﹣1）（﹣1）=﹣1．故选：D．（2）已知：如图所示，E为正方形ABCD外一点，AE=AD，∥ADE=75°，则∥AEB=．【解答】解：∥AE=AD，∥ADE=75°，∥∥DAE=180°﹣2∥DAE=180°﹣2×75°=30°，∥∥BAE=∥BAD+∥DAE=90°+30°=120°，∥AB=AD，∥AB=AE，∥∥AEB=（180°﹣∥BAE）=×（180°﹣120°）=30°．故答案为：30°．（3）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．【解答】解：∥四边形ABCD为菱形，∥当∥BAD=90°时，四边形ABCD为正方形．故答案为∥BAD=90°．【例7】已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．（1）求证：AE=CE；（2）若将∥ABE沿AB翻折后得到∥ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE 是正方形？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∥四边形ABCD是正方形，∥AB=CB，∥BAD=∥ABC=90°，∥ABE=∥CBE=45°，在∥ABE和∥CBE中，，∥∥ABE∥∥CBE（SAS），∥AE=CE．（2）解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形；理由如下：由折叠的性质得：∥F=∥AEB，AF=AE，BF=BE，∥∥BAD=90°，E是BD的中点，∥AE=BD=BE=DE，∥AE=CE，∥AE=BE=CE=DE=AF=BF，∥四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，∥AE∥BD，∥∥AEB=90°，∥四边形AFBE是正方形．精讲4：四边形综合【例8】（1）若四边形两条对角线相等，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（）A．菱形B．矩形C．梯形D．正方形【解答】解：如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是∥ABD、∥BCD的中位线，EF、HG分别是∥ACD、∥ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∥AC=BD，∥EH=FG=FG=EF，∥四边形EFGH是菱形．故选：A．（2）已知，如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．①四边形EFGH的形状是，证明你的结论．②连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件时，四边形EFGH是矩形，并证明你的结论．【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：如图，连结BD．∥E、H分别是AB、AD中点，∥EH∥BD，EH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，∥EH∥FG，EH=FG，∥四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：如图，连结AC、BD．∥E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∥EH∥BD，HG∥AC，∥AC∥BD，∥EH∥HG，又∥四边形EFGH是平行四边形，∥平行四边形EFGH是矩形；故答案为：平行四边形，对角线满足互相垂直．【例9】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∥C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）请直接写出BD=；AB=；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻t，使得点P、Q关于BD对称？若存在，请你直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）BD=20，AB=13；（2）如图，过P作PM∥BC于M，由图可知：CM=PD=2t，CQ=t，若以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：∥若PQ=BQ，在Rt∥PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2，得t2+122=（16﹣t）2，解得t=；∥若PB=PQ，由PB2=PQ2，得（16﹣2t）2+122=t2+122，整理，得3t2﹣64t+256=0，解得，t=，t2=16（不合题意，舍去），∥若BP=BQ，在Rt∥PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122，由BP2=BQ2，得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144=0，∥∥=﹣704＜0，∥3t2﹣32t+144=0无解，∥BP≠BQ；综合上面的讨论可知：当t=或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）不存在点P、Q关于BD对称．理由∥P、Q关于BD对称，∥BD垂直平分PQ，则BP=BQ，在Rt∥PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122，由BP2=BQ2，得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144=0，∥∥=﹣704＜0，∥3t2﹣32t+144=0无解，∥BP≠BQ，∥不存在点P、Q关于BD对称．1．一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：180°﹣144°=36°，360°÷36°=10，则这个多边形的边数是10．故选：C．2．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：∥平行四边形；∥矩形；∥菱形；∥正方形；∥等腰三角形；∥等边三角形，一定能拼成的图形是（）A．∥∥∥B．∥∥∥C．∥∥∥D．∥∥∥【解答】解：根据题意，能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形．故选D．3．顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是（）A．菱形B．正方形C．矩形D．等腰梯形【解答】解：是矩形．证明：如图，∥四边形ABCD是菱形，∥AC∥BD，∥E，F，G，H是中点，∥EF∥BD，FG∥AC，∥EF∥FG，同理：FG∥HG，GH∥EH，HE∥EF，∥四边形EFGH是矩形．故选：C．4．已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的周长是cm．【解答】解：因为菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，可求得另一对角线长8cm，根据勾股定理，菱形的边长为=5cm，则菱形的周长=5×4=20cm．故答案为20．5．如图，将∥ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：∥ABD∥∥BEC；（2）连接BD，若∥BOD=2∥A，求证：四边形BECD是矩形．【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∥AB=BE，∥BE=DC，∥四边形BECD为平行四边形，∥BD=EC．∥在∥ABD与∥BEC中，，∥∥ABD∥∥BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．∥四边形ABCD为平行四边形，∥∥A=∥BCD，即∥A=∥OCD．又∥∥BOD=2∥A，∥BOD=∥OCD+∥ODC，∥∥OCD=∥ODC，∥OC=OD，∥OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∥平行四边形BECD为矩形．6．如图，在矩形ABCD中，AE平分∥BAD，交BC于E，过E做EF∥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∥ADP的值．【解答】（1）证明：∥四边形ABCDABCD是矩形，∥∥FAB=∥ABE=90°，AF∥BE，∥EF∥AD，∥∥FAB=∥ABE=∥AFE=90°，∥四边形ABEF是矩形，∥AE平分∥BAD，AF∥BE，∥∥FAE=∥BAE=∥AEB，∥AB=BE，∥四边形ABEF是正方形；（2）解：过点P作PH∥AD于H，如图所示：∥四边形ABEF是正方形，∥BP=PF，BA∥AD，∥PAF=45°，∥AB∥PH，∥AB=4，∥AH=PH=2，∥AD=7，∥DH=AD﹣AH=7﹣2=5，在Rt∥PHD中，∥PHD=90°．∥tan∥ADP==．1．四边形有关知识∥ n边形的内角和为．外角和为．∥ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和增加．∥ n边形过每一个顶点的对角线有条，n边形的对角线有条．2．平面图形的镶嵌∥ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，就拼成一个平面图形．∥ 只用一种正多边形铺满地面，有．3．易错知识辨析：多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360º．正方形的性质：⎪⎩⎪⎨⎧⇒.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（是正方形因为ABCD 正方形的判定：.321是正方形所以四边形一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（ABCD ⇒⎪⎭⎪⎬⎫++++1．如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A ．B ．4C ．4.5D ．5【解答】解：设FC′=x ，则FD=9﹣x ，∥BC=6，四边形ABCD 为矩形，点C′为AD 的中点， ∥AD=BC=6，C′D=3．在Rt∥FC′D 中，∥D=90°，FC′=x ，FD=9﹣x ，C′D=3， ∥FC′2=FD 2+C′D 2，即x 2=（9﹣x ）2+32， 解得：x=5． 故选：D ．2．如图，四边形ABCD 是菱形，CE∥AB 交AB 的延长线于点E ，CF∥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF=BE ．CD A BA B CD O【解答】证明：连接AC，∥四边形ABCD是菱形，∥AC平分∥DAE，CD=BC，∥CE∥AB，CF∥AD，∥CE=FC，∥CFD=∥CEB=90°．在Rt∥CDF与Rt∥CBE中，，∥Rt∥CDF∥Rt∥CBE（HL），∥DF=BE．3．如图，在Rt∥ABC中，∥ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，且AD=4，过点D作DE∥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求CE的长；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．【解答】（1）解：∥DE∥BC，∥∥DFB=90°∥∥ACB=90°，∥∥ACB=∥DFB【解答】解：（1）AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF∥BE．答案是：相等，互相垂直；（2）结论仍然成立．理由是：∥正方形ABCD中，AB=AD=CD，∥在∥ADE和∥DCF中，，∥∥ADE∥∥DCF，∥∥DAE=∥CDF，又∥正方形ABCD中，∥BAD=∥ADC=90°，∥∥BAE=∥ADF，∥在∥ABE和∥ADF中，，∥∥ABE∥∥ADF，∥BE=AF，∥ABM=∥DAF，又∥∥DAF+∥BAM=90°，∥∥ABM+∥BAM=90°，∥在∥ABM中，∥AMB=180°﹣（∥ABM+∥BAM）=90°，∥BE∥AF；（3）第（1）问中的结论都能成立．理由是：∥正方形ABCD中，AB=AD=CD，∥在∥ADE和∥DCF中，，∥∥ADE∥∥DCF，∥∥DAE=∥CDF，又∥正方形ABCD中，∥BAD=∥ADC=90°，∥∥BAE=∥ADF，∥在∥ABE和∥ADF中，，∥∥ABE∥∥ADF，∥BE=AF，∥ABM=∥DAF，又∥∥DAF+∥BAM=90°，∥∥ABM+∥BAM=90°，∥在∥ABM中，∥AMB=180°﹣（∥ABM+∥BAM）=90°，∥BE∥AF．1．如图，在四边形ABCD中，∥B=∥C，点E，F分别在边AB，BC上，AE=DF=DC．（1）若∥DFC=70°，则∥C的大小=（度），∥B的大小=（度）；（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；（3）若∥FDC=2∥EFB，则四边形AEFD一定是“菱形、矩形、正方形”中的．【解答】解：（1）∥DF=DC，∥∥C=∥DFC=70°，∥∥B=∥C，∥∥B=70°．（2）由（1），可得：∥DFC=∥B，∥AE∥DF，∥AE=DF，∥四边形AEFD是平行四边形．（3）∥2∥DFC+∥FDC=180°，∥FDC=2∥EFB，∥2∥DFC+2∥EFB=180°，∥∥DFC+∥EFB=90°，∥∥DFE=180°﹣90°=90°，∥四边形AEFD是平行四边形，∥四边形AEFD一定是“菱形、矩形、正方形”中的矩形．故答案为：70、70、矩形．2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P 从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？【解答】（1）证明：连接CD交AE于F，∥四边形PCOD是平行四边形，∥CF=DF，OF=PF，∥PE=AO，∥AF=EF，又CF=DF，∥四边形ADEC为平行四边形；（2）解：当点P运动的时间为秒时，OP=，OC=3，则OE=，由勾股定理得，AC==3，CE==，∥四边形ADEC为平行四边形，∥周长为（3+）×2=6+3．3．如图，在平行四边形ABCD中，∥BAD、∥ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，AF与BG交于点E．（1）求证：AF∥BG，DF=CG；（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的长度．【解答】（1）证明：∥AF平分∥BAD，∥∥DAF=∥BAF=∥BAD．∥BG平分∥ABC，∥∥ABG=∥CBG=∥ABC．∥四边形ABCD平行四边形，∥AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，∥∥BAD+∥ABC=180°，即2∥BAF+2∥ABG=180°，∥∥BAF+∥ABG=90°．∥∥AEB=180°﹣（∥BAF+∥ABG）=180°﹣90°=90°．∥AF∥BG；∥AB∥CD，∥∥BAF=∥AFD，∥∥AFD=∥DAF，∥DF=AD，∥AB∥CD，∥∥ABG=∥CGB，∥∥CBG=∥CGB，∥CG=BC，∥AD=BC．∥DF=CG；（2）解：∥DF=AD=6，∥CG=DF=6．∥CG+DF=12，∥四边形ABCD平行四边形，∥CD=AB=10．∥10+FG=12，∥FG=2，过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H．∥∥GBH=∥AEB=90°．∥AF∥BH，AB∥FH，∥四边形ABHF为平行四边形．∥BH=AF=8，FH=AB=10．∥GH=FG+FH=2+10=12，∥在Rt∥BHG中：BG==．∥FG的长度为2，BG的长度为4．。