2010年中考数学第一轮复习 第22课时 与圆有关的证明与计算(含答案)

题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。

圆知识点一、圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

例 P 为⊙O 内一点，OP=３cm,⊙O 半径为5cm ，则经过Ｐ点的最短弦长为___＿___＿；•最长弦长为____＿＿_．解题思路：圆内最长的弦是直径,最短的弦是和OP 垂直的弦,答案:10 ｃm,8 cm ．知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，ｄ>r ；反过来,当ｄ>r 时，点在圆外。

当点在圆上时，d=ｒ;反过来，当ｄ＝r 时,点在圆上。

当点在圆内时，d ＜r;反过来，当d<r 时，点在圆内。

例 如图，在Rt ABC △中,直角边3AB =,4BC =,点E ,F 分别是BC ,AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆Ａ的______＿__,点F 在圆A 的＿＿_______．解题思路：利用点与圆的位置关系，答案:外部，内部练习:在直角坐标平面内，圆O 的半径为5,圆心O 的坐标为(14)--，.试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系.答案:点P 在圆O 上．知识点三、圆的基本性质1圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦对的弧。

3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形,对称中心是圆心。

圆心角定理:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

第二十二讲园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例；(2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出；(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出．【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是∠O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠B ．(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC=8，CE ：ED=6：5，，AE ：BE=2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值．思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x 、k 处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与k 的关系，建立x 或k 的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF 切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为( )A．6．4 B．3．2 C ．3．6 D．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x⌒⌒⌒(其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215 C ．23D ．1 14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD 于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BHHC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。

中考冲刺数学专题20与圆有关的计算与证明【中考要求及命题趋势】I、理解圆的基本概念与性质。

2 、求线段与角和弧的度数。

3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。

4 、直线和圆的位置关系。

5、圆的切线的性质和判定。

6 、三角形内切圆以及三角形内心的概念。

7、圆和圆的五种位置关系。

8 、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。

两圆相切、相交的性质。

9、掌握弧长、扇形面积计算公式。

10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。

II、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。

2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。

三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。

对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。

【应试对策】圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。

一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。

直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。

圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和解题方法。

第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切线径。

第二：有几个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。

【复习要点】1、圆的有关概念：（1）圆上任意两点间的部分叫弧， ______ 的弧叫优弧，_________ 的弧称为劣弧。

（2） _____________________ 的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

（3）______________ 的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边________________ 的角叫做圆周角。

2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是 _________ ;（2）圆是中心对称图形，其对称中心是_________ 3、垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径__________ 弦，并且平分______________________ 。

2010年中考数学分类（含答案）圆的有关性质一、选择题 1．（2010安徽省中中考） 如图，⊙O 过点B 、C 。

圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC ＝900，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为………………（ ） A ）10B ）32C ）23D ）13【答案】C 2．（2010安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后 与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且10=AB ，则CB 的 长为 A ．54B ．34C ． 24D ．4【答案】A3．（2010安徽芜湖）如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】D 4．（2010甘肃兰州） 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 【答案】B 5．（2010甘肃兰州） 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为A．15︒ B．28︒ C．29︒ D．34︒【答案】B6．（2010江苏南通）如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是A．1 BCD．2【答案】D7．（2010山东烟台）如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤,正确结论的个数是A、2B、3C、4D、5【答案】B8．（2010台湾）如图(二)，为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD与AC交于E点，且⊥。

若=4，=2，则长度为何？(A) 6(B) 7 (C) 8 (D) 9 。

中考复习专题——圆的相关证明题1．在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．（Ⅰ）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若P ∠︒=42，求∠CAB 的大小； （Ⅱ）如图②，D 为上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ， 若∠CAB ︒=10，求∠P 的大小．2.已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点P ．（Ⅰ）如图①，连接AC ，BC ，若OB BP =，求A ∠和∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，过点P 作⊙O 的切线PD ，切点为D ，连接CD ，BD ，若∠BDC ＝32°，求BDP ∠的大小．图①图②O B COB D CPE AC3.已知点A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，︒=∠120AOB . （Ⅰ）如图①，若AC =BC ，求C ∠和CAO ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，若AC =AD ，求CAO ∠的大小.4.已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．（Ⅰ）如图①，求证：AC 平分DAB ∠；（Ⅱ）如图②，过B 作BF AD ∥交⊙O 于点F ，连接CF ，若45AC =4DC =，求CF 和⊙O 半径的长． ABCDEO图①ABCDEO图②F5.已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E=30°，求∠BDC的度数.①②6.已知P A，PB分别与⊙O相切于点A,B，PO交⊙O于点F，且其延长线交⊙O于点C，∠BCP=28°，E为CF上一点，延长BE交⊙O于点D.（Ⅰ）如图1，求∠CDB与∠APB的大小；（Ⅱ）如图2，当BC=CE时，求∠PBE的大小.7.在ABC △中90B ∠=︒D 为AC 上一点，以CD 为直径的⊙O 与AB 相切于点E ，与BC 相交于点F ，连接CE ．（Ⅰ）如图①，若27ACE ∠=︒，求A ∠和ECB ∠的大小； （Ⅱ）如图②，连接EF ，若//EF AC ，求A ∠的大小．8. 已知：在⊙O 中OA BC ⊥垂足为E ，点D 在⊙O 上．（Ⅰ）如图①若50AOB ∠=︒，求ADC ∠和∠CAO 的大小；（Ⅱ）如图②CD ∥AO ，过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线相交于点P ，若26∠=︒ABC 求∠P 的大小．图①图②ABCF OED ABCOED F 图①O EDCBA图②POE DCBA9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，58ABC ∠=︒. （Ⅰ）如图①若85AEC ∠=︒，求BAD ∠和CDB ∠的大小；（Ⅱ）如图②若CD AB ⊥过点D 作⊙O 的切线DF ，与AB 的延长线相交于点F ，求F ∠的大小．10. 已知AB 是⊙O 的直径，CD 、CB 是⊙O 的弦，且AB CD ∥.（Ⅰ）如图①若25ABC ∠=︒，求BAC ∠和ODC ∠的大小；（Ⅱ）如图②过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线交于点F 若OD CF ∥求ABC ∠的大小．图①图②EABO DCFE ABO DC图②图①11. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 切⊙O 于点A ，AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．（Ⅰ）如图①，若∠C =71°，求∠E 的大小；（Ⅱ）如图②，当AE =AB ，DE =2时，求∠E 的大小和⊙O 的半径．12. 已知DA 、DC 分别与⊙O 相切于点A 点C ，延长DC 交直径AE 的延长线于点P ． （Ⅰ）如图①若DC =PC ，求∠P 的度数；（Ⅱ）如图②在⊙O 上取一点B ，连接AB 、BC 、BE ，当四边形ABCD 是平行四边形时，求∠P 及∠AEB 的大小． OEEDCBAD O C BA图①图②DECAPOB图① 图②ECAPOD13.如图①，AB 是⊙O 的弦，OE ⊥AB ，垂足为P ，交AB 于点E ，且OP =3PE ，AB =74．（Ⅰ）求⊙O 的半径；（Ⅱ）如图②过点E 作⊙O 的切线CD ，连接OB 并延长与该切线交于点D ，延长OA 交CD 于C ，求OC 的长． 图②图①EP A BCODP EOBA参考答案1.解：（Ⅰ）如图，连接OC∵ ⊙O 与PC 相切于点C ∴ OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒ ∵ 42P ∠=︒∴ 9048COB P ∠=︒-∠=︒ 在Rt OPC △中，48CAB ACO COP ∠+∠=∠=︒ ∵OA =OC ∴∠CAB =∠ACO ∴ 24CAB ∠=︒（Ⅱ）∵ E 为AC 的中点∴ OD AC ⊥，即90AEO ∠=︒在Rt AOE △中，由10EAO ∠=︒得9080AOE EAO ∠=︒-∠=︒ ∴ 1402ACD AOD ∠=∠=︒∵ ACD ∠是ACP △的一个外角∴ 30P ACD CAP ∠=∠-∠=︒2. 解：（Ⅰ）如图①连接OC ∵PC 是⊙O 的切线∴︒=∠90OCP ∵OB BP =∴OB BC =∵OC OB =∴BOC ∆为等边三角形， ∴∠BOC=60° ∴︒=∠=∠3021BOC A ∠P=90°－∠COB ＝30°（Ⅱ）如图② 连接OC 、OD 设CD 交OP 于点E∵PC ，PD 是⊙O 的切线∴PD PC = ︒=∠=∠90ODP OCP ∵OD OC =∴OP 为CD 的垂直平分线 ∴︒=∠=∠90DEP CEP∵∠BDC ＝32°∴∠OBD ＝90°－∠BDC ＝58° ∵OB OD =∴∠ODB ＝∠OBD ＝58° ∴∠BDP ＝90°－58°＝32°3.解： （Ⅰ）∵︒=∠120AOB ∴∠ACB= 12 ∠AOB=60°如图① 连接OC∵AC =BC ∴∠AOC=∠BOC∵∠AOC+∠BOC +∠AOB=360° ∴∠AOC =12 （360°-120°）=120° ∵OA OC ∴∠CAO=∠ACO=12（180°-120°）=30°O AB PCOAB D CPE（Ⅱ）如图② 连接OC设∠ACD= x ∵ACAD ∴∠ACD =∠ADC= x∴∠CAB=2x ∵∠AOB=120°OAOB ∴∠OAB =∠OBA= 12（180°-120°）=30°∵CD 是⊙O 的切线∴∠OCD=90° ∵OAOC ∴∠OCA =∠OAC∴90°－x=2x －30° 解得x=40° ∴∠CAB=80°∴∠CAO=∠CAB －∠OAB =50°4.（Ⅰ）证明：连接OC ∵CD 为⊙的切线∴OC CD ⊥即90OCM OCD ∠=∠=︒ ∵AD CD ⊥垂足为D ∴90ADC ∠=︒ ∵90ADC OCM ∠=∠=︒∴OC AD ∥ ∴DAC ACO ∠=∠∵OC OA =∴CAO ACO ∠=∠∴DAC CAO ∠=∠∴AC 平分DAB ∠ （Ⅱ）解：连接AF 延长CO 交AF 于G ∵AB 为⊙的直径 ∴=90AFB ∠︒ ∵OC AD BF AD ∥，∥ ∴CO BF ∥∴90AFB AGC ∠=∠=︒ ∴OC AF ⊥由垂径定理可得AC=CF∴45AC CF == ∵90ADC ∠=︒22O O ABC DEOF GABCDEOM∴90ADC DCO AGC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ADCG 是矩形∴8AD CG == 4CD AG == 在Rt AGO 中，得222AG OG AO += 设OC x =则,8OA x OG x ==- 可得方程()22248x x +-=解得5x =． ∴⊙半径的长为545CF =．5.（Ⅰ）解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴∠DAB +∠C ＝180° ∵∠EAD +∠DAB ＝180° ∴∠C ＝∠EAD ∵∠EAD ＝75° ∴∠C ＝75° ∵DB ＝DC∴∠DBC ＝∠C ＝75°∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30°（Ⅱ）解：连结OB OD∵EB ED 与⊙O 相切于点B 点D∴ED OD ⊥⊥，EB OB ∴ ︒=∠︒=∠90ODE 90，OBE∵︒=∠+∠+∠+∠360BOD ODE E OBE ︒=∠30E ∴︒=∠150BOD∴︒=∠=∠7521BOD C ∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠C ＝75°，∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30° O6. （I ）解：连接OB∵P A 、PB 与圆O 相切于点A 点,B∴PO 平分∠APB 且∠PBO ＝90° ∵∠BCP ＝28°∴∠BOP ＝2∠BCP ＝28°×2＝56° ∴∠BPO ＝90°－∠BOP ＝90°－56°＝34° ∴∠APB ＝2∠BPO ＝2×34°＝68°又∠BDC ＝BOC ∠21＝)180(21BOP ∠- ∴∠BDC = 62)56180(21=-∴∠APB =68°∠BDC= 62 （II ）连接OB∵BC ＝CE ∴∠CBE ＝∠CEB∵∠BCP ＝28° ∴∠CBE ＝76228180=-∵OB ＝OC ∴∠OBC ＝∠OCB ＝28° ∴∠EBO ＝∠CBE －∠OBC ＝76°－28°＝48° ∵P A 与圆O 相切于点A∴OB ⊥PB ∴∠PBO ＝90°∴∠PBE ＝90°－ ∠EBO ＝90°－48°＝42°7.解：（Ⅰ）如图连接OE ．∵ AB 与⊙O 相切∴ OE AB ⊥，即90AEO ∠=︒ ∵ 27ACE ∠=︒∴ 254AOE ACE ∠=∠=︒ ∴ 9036A AOE ∠=︒-∠=︒ ∵ OE OC =∴ OEC OCE ∠=∠∵ 90B ∠=︒∴ //OE BC ∴ ECB OEC ∠=∠ ∴ 27ECB ∠=︒ （Ⅱ）如图，连接OE OF∵ //OE BC //EF AC ∴ 四边形OEFC 为平行四边形 ∴ OE CF = ∴ OC OF CF == ∴ 60ACB ∠=︒∴ 9030A ACB ∠=︒-∠=︒ABCOED F ABCF OED8. 解：（Ⅰ）∵OA BC ⊥ ∴AB AC = 90∠=︒AEC∴∠=∠ACB ADC ∵1252∠=∠=︒ACB AOB∴25∠=∠=︒ADC ACB9065∠=︒-∠=︒CAO ACB（Ⅱ）连接BD . 由OA BC ⊥知，90∠=∠=︒AEB BEO∴ 9064∠=︒-∠=︒OAB ABC ∵AO ∥CD ∴90∠=∠=︒BCD BEO ∴BD 是⊙O 的直径又PD 与⊙O 相切∴⊥BD PD . 即90∠=︒BDP∵=OA OB ∴64∠=∠=︒OBA OAB∴642636∠=∠-∠=︒-︒=︒CBD ABO ABC ∴9052∠=︒-∠=︒P CBD9. （Ⅰ）∵∠AEC 是ΔBEC 的一个外角 58ABC ∠=︒85AEC ∠=︒27C AEC ABC ∴∠=∠-∠=︒∵在⊙O 中BAD C ∠=∠27BAD ∴∠=︒ AB 为⊙O 的直径90ADB ∴∠=︒ ∵在⊙O 中58ADC ABC ∠=∠=︒ 又CDB ADB ADC ∠=∠-∠32CDB ∴∠=︒（Ⅱ）连接OD∵CD ⊥AB 90CEB ∴∠=︒．9032E E CB BC =-∴∠=∠︒︒∴264DOB DCB ∠=∠=︒ ∵DF 是⊙O 的切线∴90ODF ∠=︒90906426F DOB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒图②POE DCBA图①O E DCBA10. 解：（Ⅰ）如图连接OC ∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ 90ACB ∠=︒∴ 90BAC ABC ∠+∠=︒由25ABC ∠=︒得65BAC ∠=︒又AB CD ∥得25ABC BCD ∠=∠=︒ ∵ OB OC = ∴ 25OCB ABC ∠==∠=︒ 则50OCD OCB BCD ∠=∠+∠=︒ 由OC OD =得50ODC OCD ∠=∠=︒（Ⅱ）如图，连接OC∵CF 切⊙O 于点C ∴OC FC ⊥则90OCF ∠=︒∵ OD CF ∥ ∴ 90DOC OCF ∠=∠=︒ 又OC OD =则45ODC OCD ∠==∠=︒ 由AB CD ∥得45BOD ODC ∠=∠=︒∴135BOC DOC BOD ∠=∠+∠=︒ ∵ OC OB = ∴22.5ABC OCB ∠=∠=︒11. 解：（Ⅰ）连接OA .∵AE 切⊙O 于点A ∴OA ⊥AE ，∴∠OAE =90° ∵∠C =71° ∴∠AOB =2∠C =2×71°=142° 又∵∠AOB +∠AOE =180° ∴∠AOE =38° ∵∠AOE +∠E =90° ∴∠E =90°﹣38°=52° （Ⅱ）连接OA 设∠E = x .∵AB =AE ∴∠ABE =∠E = x ∵OA =OB ∴∠OAB =∠ABO = x ∴∠AOE =∠ABO +∠BAO =2x∵AE 是⊙O 的切线∴OA ⊥AE ，即∠OAE =90°在△OAE 中∠AOE +∠E =90°即2x +x =90°解得30x =︒∴∠E =30° 在Rt △OAE 中OA =21OE∵OA =OD ∴OA =OD =DE∵DE =2∴OA =2即⊙O 的半径为212.解：（Ⅰ）∵DA 、DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC OA ⊥DA ∴∠DAO ＝90°∵DC =PC ∴DA ＝DC =PC ∵∠DAP ＝90° ∴sin P=DP AD =21∴∠P=30° （Ⅱ）连接OC 、AC∵DA ，DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC∵四边形ABCD 是平行四边形∴□ABCD 是菱形 ∴DA =DC =CB =AB ∠ABC =∠ADC ∵∠AOC =2∠ABC ∴∠AOC =2∠ADC∵DA 、DC 是⊙O 的切线∴OA ⊥AD OC ⊥DC ∴∠DAO ＝∠DCO ＝90°∵∠ADC +∠DCO+∠AOC +∠DAO =360° ∴∠ADC +∠AOC =180°∴3∠ADC ＝180°∴∠ADC ＝60°∴∠P ＝90°－∠ADC ＝30°，∠ABC =60°又AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB ＝60° ∴∠AEB ＝∠ACB=60°13. 解：（Ⅰ）∵OE ⊥AB∴1272APAB 设PE =x 则OP =3x OA =OE =4x在Rt OAP △中222OA OP AP =+即2216928x x =+ 解得x =2（负舍）∴4x =8 ∴半径OA 为8 （Ⅱ）∵ CD 为⊙O 的切线 ∴OE ⊥CD又∵OE ⊥AB ∴AB //CD ∴34OA OP OCOE∴323OCECAPODB。

中考专题复习圆形(含答案)本文档为中考数学专题复，主要涵盖了圆形的相关知识点及答案。

以下是题目及对应的答案：1. 求圆的面积题目：已知圆的半径为4cm，求圆的面积。

答案：圆的面积公式为$S = \pi \cdot r^2$，代入半径$r = 4$，得到$S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi cm^2$。

2. 求圆的周长题目：已知圆的直径为6cm，求圆的周长。

答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入直径$d = 6$，得到$C = \pi \cdot 6 = 6\pi cm$。

3. 求圆的直径题目：已知圆的周长为10π cm，求圆的直径。

答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入周长$C = 10\pi$，解方程得到$d = \frac{C}{\pi} = \frac{10\pi}{\pi} = 10 cm$。

4. 求圆柱体的体积题目：已知圆柱体的底面积为9π $cm^2$，高度为5cm，求圆柱体的体积。

答案：圆柱体的体积公式为$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$，代入底面积$S = 9\pi$，高度$h = 5$，得到$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi cm^3$。

5. 求扇形的面积题目：已知扇形的半径为8cm，弧长为12cm，求扇形的面积。

答案：扇形的面积公式为$S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot l$，代入半径$r = 8$，弧长$l = 12$，得到$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 =48 cm^2$。

6. 求圆锥的体积题目：已知圆锥的底面积为16π $cm^2$，高度为6cm，求圆锥的体积。

答案：圆锥的体积公式为$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2\cdot h$，代入底面积$S = 16\pi$，高度$h = 6$，得到$V =\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 32\pi cm^3$。

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】圆的证明与计算1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线；（2）若P A ＝45PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长.第1题图(1)证明：△△△△△△OA △OB △第1题解图△P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △△P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△(2)解：△P A △45PO △△O △△△△10△ △△Rt△AOP △△OA △PO 2△△45PO △2△10△△△PO △503△△cos△AOP △AO OP △ODAO △ △OD △6△△PD △PO △OD △323. 2.△△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△△2△△cos C △35△AC △24△△△△AE △△.第2题图(1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△ △AE △AC △ △OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△(2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △第2题解图△DA △DC △ △CF △12AC △12△△Rt△CDF △△△cos C △CF CD △35△ △DC △20△△AD △20△△Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △△AE 20△1620△△△AE △25△△△O △△△AE △25.3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ；（2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．第3题图（1）证明：如解图，连接BE ，OE ．第3题解图△AB为△O的直径，△△AEB=90°．△AB=BC，△点E是AC的中点，△点O是AB的中点，△OE△BC，△EF是△O的切线，△EF△OE．△EF△BC；（2）解：如解图，连接AD，△AB为△O的直径，△△ADB=90°，AD2，△CD=2，tan C=CD△AD =4． 设AB =x ， 则BD =x －2． 在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2=AD 2+BD 2， 即x 2=42+（x －2）2， 解得x =5，即AB =5， △△O 的半径为25．4.△△△△△△O △△AB △△△△△ABC △△△△△△△A △△O △△△△OC △△△△△△D △△BC △△△△△△E . △1△△△△△DAC △△DCE △ △2△△AB △2△ sin D △13△△AE △△.第4题图(1)证明：△AD △△O △△△△△△DAB △90°. △AB △△O △△△△ △△ACB △90°.△△DAC △△CAB △90°△△CAB △△ABC △90°△ △△DAC △△ABC . △OC △OB △ △△ABC △△OCB △ △△△DCE △△OCB △ △△DAC △△DCE △ (2)解：△AB △2△ △AO △1. △sin D △AO OD △13△ △OD △3△DC △2△ △Rt△DAO △△△△△△△△AD △OD 2△OA 2△22△ △△DAC △△DCE △△D △△D △ △△DEC △△DCA △ △DC DA △DE DC △ △222△DE2△ △△DE △2△ △AE △AD △DE △ 2.5.△△△AB △△O △△△D △△△OA △△△△△△D △CD △OA △△AB △△E △△△O △△F △△BC △△O △△△. △1△△△△CE △CB △△2△△△AF △BF △△△ABF △△△△△3△△CD △15△ BE △10△DE AE △513△△△O △△△.第5题图(1)证明：△△△△△△OB △第5题解图△BC △△O △△△△△OB △BC △△△OBC △90°△ △△OBA △△CBE △90°△ △OA △OB △ △△OAB △△OBA △ △△OAB+△CBE △90°△ △△CD △OA △△△OAB △△DEA △90°△△△△CEB △△DEA △ △△CBE △△CEB △ △CE △CB △(2)解：△△△△△△OF △△DA △DO △CD △OA △△AF △OF △ △△OA △OF △△△AOF △△△△△△△△△AOF =60°△ △△ABF △12△AOF △30°△(3)解：△△△△△△C △CG △AB △△G △ △CD △OA △△△ADE △△CGE △90°△ △△△AED △△CEG △ △△ADE △△CGE △ △DE AE △EG CE △513△ △CE △BC △ △BG △EG △12BE △5△ △CE △13△△DE △CD △CE △2△△AE △265△△△Rt△ADE △△△△△△△△AD 22DE AE -=△245△△OA △2AD △485△ △△O △△△△485.6.△△△△△△ABCD △△△△O △AB △△O △△△△AD △DC △△△△△BA △CD △△△E △△BF △EC △△EC △△△△△△△F △△△BD . △1△△△△△BFC △△BDA △ △2△△AE △AO △△cos△ADE △△3△△△2△△△△△△△BC △6△△BF △△.第6题图(1)证明：△AB △△O △△△△ △△BDA △90°. △BF △EC △ △△BFC △90°△△△△△ABCD △△O △△△△△△△ △△BCF △△BAD △ △△BFC △△BDA △(2)解：△△△△△△OD △AC △第6题解图△△BFC △△BDA △△BF BD △BC AB △△OD △△O △△△△AD △CD △△OD △△△△AC △△AB △△O △△△△△△ACB =90°△△OD △BC △△△EOD △△EBC △△OE BE △OD BC △△AE △AO △△OE △2OB △BE △3OB △△OD BC △ BE OE23△△BC △32OD △△BF BD △BC AB △32OD 2OD △34△△△ADB △90°△△△ADE △△BDF △90°△△△BDF △△DBF △90°△△△ADE △△DBF △△Rt △BDF △△cos△DBF △BF BD △34△△cos△ADE △34△(3)解：△BC △32OD △BC △6△△OD △4△△AE △4△BE △12△△△EOD △△EBC △△DE CE △OD BC △△CE △32DE △△△△EDA △△EBC △△E △△E △△△AED △△CEB △△AE CE △DE BE △△DE ·CE △AE ·BE △△DE ·32DE △4×12△△DE △42(△△△△)△△CD △22△△AD △22△△△BFC △△BDA △△CF BC △AD AB △△CF 6△228△△CF △322△△Rt△BCF △△△△△△△△△△BF △BC 2△CF 2△3142. 7.△△△AB △△O△△△△△CD △AB △△△△H △△△AC △△BD △△△E 作EG △AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG =FG ，连接CE ．（1）求证：△ECF △△GCE ；（2）求证：EG 是△O 的切线；（3）延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan△G =43，AH =3， 求EM 的值．第7题图（1）证明：△AC △EG ，△△G =△ACG ，△AB 是△O 的直径，AB △CD ，△AD =AC ， △△CEF =△ACD ，△△G=△CEF，△△ECF=△ECG，△△ECF△△GCE；（2）证明：如解图，连接OE，第7题解图△GF=GE，△△GFE=△GEF=△AFH，△OA=OE，△△OAE=△OEA，△△AFH+△F AH=90°，△△GEF+△AEO=90°，△△GEO=90°，△GE△OE，∵OE是△O的半径，△EG 是△O 的切线；（3）解：如解图，连接OC ，设△O 的半径为r ．在Rt△AHC 中，tan△ACH =tan△G =HC AH =43， △AH =3，△HC =4．在Rt△HOC 中，△OC =r ，OH =r －3，HC =4，△（r －3）2+42=r 2，解得r =625， △GM △AC ，△△CAH =△M ，△△OEM =△AHC=90°，△△AHC △△MEO ， △OEHC EM AH ，即62543=EM ， △825=EM ． 8．如图，AB 为△O 的直径，C 、G 是△O 上两点，过点C 的直线CD △BG 交BG 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F ，且BC 平分△ABD ．（1）求证：CD 是△O 的切线；（2）若32=FD OF ，求△E 的度数； （3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD =23，求AD 的长．第8题图（1）证明：如解图，连接OC ，第8题解图△OC =OB ，BC 平分△ABD ，△△OCB =△OBC ，△OBC =△DBC ，△△DBC =△OCB ，△OC △BD ，△△BDC =△ECO ，△CD △BD ，△△BDC =90°，△△ECO =90°，△OC 是△O 的半径，△CD 是△O 的切线；（2）解：由（1）知，OC △BD ，△△OCF =△DBF ，△COF =△BDF ，△△OCF △△DBF ， △DB OCFD OF=， △32=FD OF， △32=DB OC，△OC △BD ，△△EOC △△EBD ， △EB EOBD OC=， △32=EB EO，设OE =2a ，则EB =3a ，△OB =a ，△OC =a ，△△OCE =90°，OC =21OE ，△△E =30°；（3）解：△△E =30°，△BDE =90°，△△EBD =60°，∵BC 平分△DBE ，∴△OBC =△DBC =EBD ∠21=30°，△CD =23，△BC =43，BD =6，△32=DB OC ， △OC =4，如解图，过点D 作DM △AB 于点M ，△△DMB =90°，△BD =6，△DBM =60°，△BM =3，DM =33，△OC =4，△AB =8，△AM =AB －BM =5，△△DMA =90°，DM =33，△AD =13222=+AM DM ．9．如图，在△ABC 中，△ACB =90°，O 是AB 上一点，以OA 为半径的△O 与BC 相交于点D ，与AB 交于点E ，AD 平分△F AB ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：BC 为△O 的切线；（2）求证：AE =AF ；（3）若DE =3，sin△BDE =31，求AC 的长．第9题图（1）证明：如解图，连接OD．第9题解图△AD平分△F AB，△△CAD=△DAB，∵OA=OD，△△DAB=△ODA，△△CAD=△ODA，△AC△OD，△△ODB=△ACB=90°，△OD△BC，∵OD为△O的半径，△BC为△O的切线；（2）证明：由（1）知OD△AC，△△ODE=△F．∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，△△OED=△F．△AE=AF；（3）解：△AE是△O的直径，△△ADE=90°．△△DAF+△F=90°，△AE=AF，△DF=DE=3．△△ACB=90°，∴△CDF+△F=90°，△△DAF=△CDF=△BDE．在Rt△ADF中，31sin sin =∠=∠=BDE DAF AF DF ， △AF =3DF =9．在Rt△CDF 中，31sin sin =∠=∠=BDE CDF DF CF ， △131==DF CF ．△AC =AF －CF =8．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作△O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH △AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．（1）求证：DH 是△O 的切线；（2）若AE=AH ，求EFFD 的值； （3）若EA =EF =1，求△O 的半径．第10题图（1）证明：如解图，连接OD ，第10题解图△OB=OD，△△OBD=△ODB，△AB=AC，△△ABC=△ACB，△△ODB=△ACB，△OD△AC，△DH△AC，△DH△OD，∵OD是△O的半径，△DH是△O的切线；（2）解：△△E=△B，AB=AC，△△E=△B=△C，△ED=DC，△DH△EC，△EH =CH ，∵AE =AH ，△AE =31AC ，△AO =BO ，OD △AC ，△OD 是△ABC 的中位线，△OD =21AC ， ∴23=AE OD ，△AE △OD ，△△AEF △△ODF ， △23==AE OD EF FD ；（3）解：设△O 的半径为r ，即OD =OB =r ，△EF =EA ，△△EF A =△EAF ，△OD △EC ，△△FOD =△EAF ，则△FOD =△EAF =△EF A =△OFD ，△DF =OD =r ，△DE =DF +EF =r +1，△BD =CD =DE =r +1，在△O 中，△△BDE =△EAB ，△△BFD =△EF A =△EAB =△BDE ，△BF =BD =r +1，△AF =AB －BF =2OB －BF =2r －（1+r ）=r －1，△△BFD =△EF A ，△B =△E ，△△BFD △△EF A ， △FDBF FA EF =， △rr r 111+=-， 解得r =251+（负值已舍）， △△O 的半径为251+．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。