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第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ω>0)的图象的两种方法[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()答案：(1)× (2)×二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：(1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 [解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．[解](1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ，∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－2 解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B.3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω， ∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入可得sin (π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C.突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000.(2)当cosπt －82＝－1时，C 达到最小值．即πt －82＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000≤1 250，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22≤2.25，∴cos πt －82≤－0.5.即2k π＋23π≤πt －82≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z.又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．[方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。
【全程复习方略】2013版高中数学 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时提能训练 苏教版(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分) 1.将函数y=2sin(1x 36π+)的周期变为原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移π个单位，所得函数的图象的解析式为___________.2.(2012·镇江模拟)将函数y=sin4x 的图象向左平移12π个单位，得到y=sin(4x+ϕ)的图象，则ϕ等于_________.3.(2012·南京模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π)的图象如图所示，则ω=__________.4.已知函数f(x)=2sin(ωx-5π)(ω>0)的图象与直线y=-1的交点中最近的两点间的距离为3π,则函数f(x)的最小正周期等于__________.5.图象的一部分如图所示，则函数y=Asin(ωx+ϕ)的解析式为________.(A>0,ω>0,|ϕ|<2π)6.将函数y ＝cosx 的图象向左平移ϕ(0≤ϕ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x-6π)的图象，则ϕ等于__________.7.(2012·南通模拟)函数f(x)=2sin(ωx+3π)(x ∈R)，f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于2π,则正数ω的值为__________.8.(2012·盐城模拟)下面有四个命题： ①函数y=sin(2x-3π)的一条对称轴为x=5;12π②把函数y=3sin(2x+3π)的图象向右平移6π个单位长度得到y=3sin2x 的图象； ③存在角α使得sin α+cos α=3;④对于任意锐角α，β都有sin(α+β)<sin α+sin β. 其中，正确的是__________.(只填序号) 二、解答题(每小题15分，共45分) 9.已知函数A A f(x)cos(2x 2)(A 0,0,0),222π=-ω+ϕ>ω><ϕ<且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2). (1)求ϕ;(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2 012).10.某简谐运动得到形如y=Asin(ωx+ϕ)的关系式，其中：振幅为4，周期为 6π,初相为3π-; (1)写出这个函数的关系式；(2)用五点作图法在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象； (3)说明这个函数图象可由y=sinx 的图象经过怎样的变换得到.11.(2012·苏州模拟)已知函数f(x)=Acos 2(ωx+ϕ)+1(A>0,ω>0,02π<ϕ<)的最大值为3，f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为2，与y 轴的交点坐标为(0，2). (1)求函数f(x)的解析式；(2)设数列a n =f(n)，S n 为其前n 项和，求S 100. 【探究创新】(15分)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，||2πϕ＜，x ∈R)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式； (2)当x ∈[-6,-23]时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．答案解析1.【解析】211y 2sin(x )y 2sin(x )3666πππ=+−−−−→=+−−−−→周期变为向右平移原来的倍个单位1y 2sin (x )66π=-π+［］ 12sin x.6=答案：x y 2sin6= 【误区警示】在变换周期或平移时一定要注意针对的图象，不可混淆. 2.【解析】由题意知，y sin4(x )sin(4x ),123ππ=+=+ .3π∴ϕ=答案：3π3.【解析】由图知，T 1533,2882=π-π=π ∴T=3π,由22T .3π=ω=ω得 答案：234.【解析】由题意可知2,33ππω=∴ω=2, ∴22T .2ππ===πω 答案：π5.【解析】由图知A=1，1T (),4126ππ=--∴T=π, ∴ω=2ππ=2,可设解析式为y=sin(2x+ϕ)将(12π，1)代入得3πϕ=+2k π,k ∈Z.结合|ϕ|<.23ππϕ=知，∴y=sin(2x+3π).答案：y=sin(2x+3π)6.【解析】∵sin(x )cos[(x )]626πππ---＝＝cos(x-23π)， 将y ＝cosx 的图象向右平移23π个单位可得到y ＝cos(x-23π)的图象，故要得到y ＝sin(x-6π)的图象应将y ＝cosx 的图象向左平移24233ππϕπ＝－＝个单位．答案：43π7.【解析】由f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于2π可知T ,T 2.42π==π∴ω=1. 答案：18.【解题指南】根据三角函数的性质，逐一进行判断，要注意每个题目所给出的条件.【解析】对于①令55x ,y sin()1,1263π=π=π-=故5x y sin(2x )123π=π=-为的一条对称轴，故①正确；对于②将y=3sin(2x+3π)的图象向右平移6π得到y=3sin ［2(x-6π)+3π］=3sin2x 的图象，故②正确.对于③,sin α+cos α∈［,故③错误，④利用三角函数线知正确. 答案：①②④9.【解题指南】(1)由f(x)的最大值可求出A 的值，再由f(x)的对称轴的性质求出ω，最后求出ϕ值. (2)由f(1)+f(2)+…+f(2 012)估计f(x)有可能为周期函数，因此，可先探究其周期性再求值. 【解析】(1)∵A Ay cos(2x 2)22=-ω+ϕ，且y=f(x)的最大值为2，A>0, ∴A A2,22+=A=2. 又∵函数图象相邻两对称轴间的距离为2,ω>0,∴12()2,.224ππ=ω=ω ∴()22f x cos(x 2)1cos(x 2).2222ππ=-+ϕ=-+ϕ∵y=f(x)过点(1，2)，∴cos(2)1.2π+ϕ=-∴22π+ϕ=2k π+π,k ∈Z,∴k ,4πϕ=π+k ∈Z. 又∵0,.24ππ<ϕ<∴ϕ=(2)∵(),f x 1cos(x )1sin x.4222ππππϕ=∴=-+=+∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 又易知y=f(x)的周期为4,2 012=4×503, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=4×503=2 012.【方法技巧】函数y=Asin(ωx+ϕ)的对称轴和对称中心(1)y=Asin(ωx+ϕ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx+ϕ=k π+2π(k ∈Z)解出；它还有无穷多个对称中心，对称中心为k (,0)π-ϕω(k ∈Z). (2)相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的距离为T2.10.【解析】(1)这个函数的关系式为:1y 4sin(x );33π=-(2)列表：xπ 52π4π 112π7π 1x 33π- 0 2π π 32π 2π 1y 4sin(x )33π=-4-4描点;连线；图象如图：(3)把函数y=sinx 的图象向右平移3π个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，然后将所得图象上各点的纵坐标变为原来的4倍(横坐标不变)，就可以得到1y 4sin(x )33π=-的图象.11.【解析】(1)∵()A A f x cos(2x 2)1,22=ω+ϕ++依题意：A A1322++=，∴A=2.又T 224,,224ππ=∴=ω=ω，得 ∴f(x)=cos(x 2)2,2π+ϕ+令x=0得:cos2ϕ+2=2,又0<ϕ<2π,∴2ϕ=2π. 故函数f(x)的解析式为：()f x 2sin x.2π=- (2)由f(x)=2sin x 2π-知:a n =f(n)=2sin n,2π-当n 为偶数时，f(n)=2,当n 为奇数时，f(1)+f(3)=f(5)+f(7)=…=f(97)+f(99)=4. ∴S 100=2×50+4×25=200. 【探究创新】【解题指南】由图象直接得到A ，再根据周期求出ω，由定点求出φ，得到函数解析式.通过代入经变换求出最值.【解析】(1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵2T 8.4ππ∴ωω＝＝，＝ 又图象经过点(－1,0)，∴2sin()0.k ,k Z,44ππ-+ϕ∴ϕ=π+∈＝ ∵|ϕ|＜2π，∴ϕ＝4π.∴()f x 2sin(x ).44ππ+＝(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2)＝2sin(x )2sin(x )44424πππππ+++＋＝2sin(x )x.424πππ+＝∵x ∈[-6,23-]，∴3x .246πππ≤≤-－∴当x 46ππ-＝，即2x 3-＝时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)；当x 4π＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值－ 【方法技巧】由图象求解析式和性质的方法和技巧(1)给出图象求y=Asin(ωx+ϕ)+b 的解析式的难点在于ω,ϕ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式；②图象变换法，即考查已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．(2)由图象求性质的时候，首先确定解析式，再根据解析式求其性质，要紧扣基本三角函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点.【变式备选】已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋ϕ)(x ∈R ，A>0，ω>0，|ϕ|<2π)的部分图象如图所示．(1)试确定f(x)的解析式；(2)若a 12f ()cos(a)223ππ＝，求－的值． 【解析】(1)由题干图可知A ＝2，T 5114632＝－＝，∴T ＝2，2.T πωπ＝＝将点P(13，2)代入y ＝2sin(πx ＋ϕ)，得2sin() 2.3πϕ＋＝∴2k (k Z),||.626πππϕ=π+∈ϕ<∴ϕ又，＝故所求解析式为f(x)＝2sin(πx ＋6π)(x ∈R)．(2)∵a 1a 1f ()2sin()22262π∴π＝，＋＝，即a 1sin().264π＋＝22a cos(a)cos[2()]362a a 7cos2()2sin ()1.62628ππ∴πππ－＝－＋＝－＋＝＋－＝－。
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课时提能演练(十八)(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.函数y=(sinx+cosx)2+1的最小正周期是( ) (A)2π(B)π (C)32π(D)2π2.下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )(A)y=sin(x+6π) (B)y=sin(2x-6π) (C)y=cos(4x-3π)(D)y=cos(2x-6π)3.（2012·绍兴模拟）函数y=cos(2π-x)cos(π+x)+2cos2x 图象的一条对称轴为( )(A)x=6π(B)x=23π (C)x=56π(D)x=1112π4.（2012·济南模拟)已知简谐运动f(x)＝2sin (3πx+φ)(|φ|<2π)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )(A)T ＝6，φ＝6π (B)T ＝6，φ＝3π (C)T ＝6π，φ＝6π(D)T ＝6π，φ＝3π5．（2012·东北师大附中模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+4π)(x ∈R,ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cos ωx 的图象，只要将y=f(x)的图象( )(A)向左平移8π个单位长度(B)向右平移8π个单位长度(C)向左平移4π个单位长度(D)向右平移4π个单位长度6.若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋m(A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线x ＝3π是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )(A)y ＝4sin(4x+6π) (B)y=2sin(2x+3π)+2 (C)y=2sin(4x+3π)+2(D)y=2sin(4x+6π)+2二、填空题（每小题6分，共18分）7.（2012·杭州模拟）若函数y=cos (2ωx+φ)(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则ω为______.8.函数f(x)=2sin(ωx+3π)(x ∈R)，f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于2π,则正数ω的值为______.9．（易错题）给出下列命题：①函数f(x)＝4cos(2x+3π)的一个对称中心为(512π-,0);②已知函数f(x)＝min{sinx ，cosx}，则f(x)的值域为③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β. 其中所有真命题的序号是______． 三、解答题（每小题15分，共30分）10.（预测题）已知函数f(x)4π)＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f(x)在[,22ππ-]上的图象．11.已知弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin(2t+3π)，t ∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题.(1)小球在开始振动(t=0)时，离开平衡位置的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？(3)经过多长时间，小球往复振动一次？ 【探究创新】（16分）已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π，x ∈R)的图象的一部分如图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)当x ∈[-6,23-]时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．答案解析1.【解题指南】利用y=Asin(ωx+φ)的周期性求解.【解析】选B.由y=(sinx+cosx)2+1得y=2+sin2x ，所以T=π. 2.【解析】选D.由图象知A=1，14T=4π,所以T=π，所以ω=2，排除A 、C ；当x=12π时，y=1，故选D.3.【解析】选D.∵=12-3π)由2x-3π=2π+k π得x=5k 122ππ+(k ∈Z),当k=1时，x=1112π. 4.【解析】选A.最小正周期为T ＝23ππ＝6；由2sin φ＝1，得sin φ＝12，因为|φ|＜2π,所以φ＝6π. 5．【解析】选A.由T=π,∴2πω=π,∴ω=2, ∴f(x)=sin(2x+4π)，又∵g(x)=cos2x=sin(2x+2π)=sin(2x+4π+4π)=sin ［2(x+ 8π+8π)］, ∴y=f(x)的图象向左平移8π个单位长度得g(x)的图象.6.【解题指南】先根据已知条件构造A 、m 的方程组，求得A 、m ，再求得ω、φ，得到解析式. 【解析】选D.∵A m 4,A m 0+=⎧⎨-+=⎩∴A 2.m 2=⎧⎨=⎩∵T ＝2π，∴ω＝2Tπ＝4.∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2. ∵直线x ＝3π是其对称轴，∴sin(4〓3π+φ)＝〒1，∴43π＋φ＝2π＋k π(k ∈Z)，∴φ＝k π－56π(k ∈Z)． 当k ＝1时，φ＝6π，故选D.7.【解析】由题意知T=2222ππ=⨯ω,所以ω=1.答案：18.【解析】由f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于2π可知T 42π=,T=2π. ∴ω=1. 答案：19．【解题指南】根据三角函数的性质，逐一进行判断，要注意每个题目所给出的条件. 【解析】对于①，令x ＝512π－，则2x ＋3π＝5632πππ－＋＝－，有f(512-π)＝0，因此(512-π,0)为f(x)的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f(x)的值域为[-1,2]，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin390°＝12＜sin60故③为假命题，所以真命题为①②. 答案：①②10.【解题指南】直接根据已知得出振幅、周期、初相，利用五点作图法画出图象.【解析】(1)f(x)4π)＋1 最小正周期T ＝22π＝π，初相为-4π. (2)列表并描点画出图象：故函数y ＝f(x)在区间[2-,2]上的图象是11.【解析】列表.描点作图如图所示.（1）将t=0代入s=4sin(2t+3π),得s=4sin 3π=所以小球开始振动时，离开平衡位置的位移是（2）小球上升到最高点和下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是4cm 和-4cm.（3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.【探究创新】【解题指南】由图象直接得到A ，再根据周期求出ω，由定点求出φ，得到函数解析式.通过代入经变换求出最值. 【解析】(1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝4π. 又图象经过点(－1,0)，∴2sin(4π-+φ)＝0.∴φ=k π+4π,k ∈Z,∵|φ|＜2π，∴φ＝4π.∴f(x)＝2sin(4πx+4π).(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2)＝2sin(4πx+4π)＋2sin(4πx+2π+4π)＝4πx+2π)＝4πx.∵x ∈[-6,23-]，∴32π－≤4πx ≤6π-.∴当4πx ＝6π-，即x ＝23-时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)；当4πx ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值－【方法技巧】由图象求解析式和性质的方法和技巧（1）给出图象求y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的难点在于ω,φ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．（2）由图象求性质的时候，首先确定解析式，再根据解析式求其性质，要紧扣基本三角函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点.【变式备选】已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A>0，ω>0，|φ|<2π)的部分图象如图所示．(1)试确定f(x)的解析式；(2)若f(a 2π)＝12，求cos(23π－a)的值． 【解析】(1)由题干图可知A ＝2，T 5114632＝－＝，∴T ＝2，ω＝2Tπ＝π.将点P(13，2)代入y ＝2sin(πx ＋φ)，得2sin(3π＋φ)＝2.∴φ=2k π+6π(k ∈Z),又∵|φ|<2π，∴φ＝6π.故所求解析式为f(x)＝2sin(πx ＋6π)(x ∈R)．(2)∵f(a 2π)＝12，∴2sin(a 2＋6π)＝12，即sin(a 2＋6π)＝14.∴cos(23π－a)＝cos[π－2(6π＋a2)]π＋a2)＝2sin2(6π＋a2)－1＝78－.＝－cos2(6。
