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数学的基本概念与符号数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科。
无论在学校还是在日常生活中，我们都会接触到数学的基本概念和符号。
本文将介绍数学的基本概念和常用的符号，帮助读者更好地理解数学的世界。
一、基本概念1. 数字数字是数学的基础，用来表示数量或顺序。
数字包括0、1、2、3等自然数以及负数、小数、无理数和虚数等。
数字可以进行基本的运算，如加法、减法、乘法和除法。
2. 数量数量表示多少或多少个，是数学中常用的概念之一。
在数学中，数量可以用数字或符号表示，如用“3”表示三个苹果，用“x”表示某个未知数量。
3. 基本运算基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法用符号“+”表示，表示两个数的和；减法用符号“-”表示，表示两个数的差；乘法用符号“×”或“·”表示，表示两个数的积；除法用符号“÷”表示，表示一个数除以另一个数的商。
4. 几何形状几何形状是研究空间关系和形状特征的数学分支。
几何形状包括点、线、面和体等。
点表示没有大小和形状的基本单位；线由无数个点构成，表示一条直线或曲线；面由无数条线构成，表示一个平面或曲面；体由无数个面构成，表示一个立体物体。
5. 方程与不等式方程和不等式是数学中用来表示等式或不等式关系的表达式。
方程由等号连接的两个表达式构成，表示两者相等；不等式由大于号、小于号等符号表示，表示两者的大小关系。
6. 概率与统计概率和统计是数学的重要分支，用于研究随机事件和数据分析。
概率用来描述事件发生的可能性，统计用来收集、整理和分析数据。
二、符号表示1. 加减乘除加法使用符号“+”表示，减法使用符号“-”表示，乘法使用符号“×”或“·”表示，除法使用符号“÷”表示。
2. 相等与不等相等用符号“=”表示，表示两个数或表达式相等；不等用符号“≠”表示，表示两个数或表达式不相等。
3. 大于与小于大于用符号“>”表示，表示一个数大于另一个数；小于用符号“<”表示，表示一个数小于另一个数。
数学符号
公元十五世纪，德国数学家魏德曼首创“＋”加号、“－”减号．他把一条横线与一条竖线合在一起来表示合并（增加）的意思，而从加号中去掉－竖就表示拿去（减少）的意思．十八世纪，美国数学家欧德莱最先使用“×”．因为乘法是一种特殊的加法，欧德莱就把加号斜着写以表示相乘．十八世纪，瑞士人哈纳首创除号“÷”．他用一条横线把两个圆点分开，表示分解的意思．十六世纪，英国医生罗伯特·雷科达首先倡议用“＝”表示相等．十七世纪，微积分的创始人莱布尼兹首先使用乘号“·”、比号“∶”．十六世纪，代数学的创始人之一魏治德首创中括号“〔〕”、大括号“｛｝”，并用于数的计算中．。
符号计算的理论基础和算法符号计算，是指使用计算机代替人进行运算和推理，主要是针对数学和逻辑领域进行的。
符号计算可以解决一些人难以手算的问题，尤其是涉及到符号运算（如代数运算、微积分、逻辑等）或者大量数据处理的问题。
符号计算的实现需要基于一定的理论基础和算法，下面分别进行介绍。
一、理论基础符号计算的理论基础主要来源于数学和计算机科学。
其中，数学提供了一些基本的理论框架，如逻辑、代数、集合论、方程求解等，而计算机科学则提供了一些实现符号计算的基础技术，如数据结构、算法、编译器等。
在数学方面，符号计算主要涉及到代数和微积分两个领域。
代数是一种研究代数结构（如群、环、域等）及其运算规律的数学学科，它是符号计算的基础。
符号计算中的代数可以处理各种代数式，如多项式、有理式、根式等，并支持诸如因式分解、化简、展开等一系列运算。
微积分是研究函数和极限的数学学科，也是符号计算的重要领域。
符号计算可以处理各种微积分问题，如求导、积分、极限等，以及微分方程等高级问题。
此外，符号计算还需要使用一些数值方法，如迭代、数值逼近等，来处理那些无法用纯符号方法求解的问题。
在计算机科学方面，符号计算的实现需要基于一些关键技术，如数据结构、算法、编程语言等。
数据结构是计算机存储和操作数据的基本方式，符号计算需要使用一些数据结构来存储和处理符号对象，如多项式、表达式、函数等。
算法是符号计算的核心，符号计算需要使用一些高效的算法来处理各种代数和微积分问题，如快速多项式乘法、多项式分解、微积分运算等。
编程语言是实现符号计算的重要工具，如Maple、Mathematica、Maxima等，这些编程语言提供了一些强大的符号计算库和数学函数库。
二、算法符号计算的算法涉及到代数、微积分、逻辑等领域，下面列举一些常见算法。
1. 多项式加减乘除算法。
多项式是符号计算中常见的数据类型，加减乘除是符号计算中常见的运算。
快速多项式乘法算法（如Kronecker算法、Toom-Cook算法、NTT算法）可以将多项式乘法时间从O(n^2)降低到O(n log n)或O(n^(1.5))，提高了多项式计算的效率。
数学符号的基本概念数学是一门与数字、形状、结构和变化有关的学科，而数学符号则是用来表达和描述数学概念、关系和运算的工具。
数学符号的使用能够使数学表达更加简洁、准确和易懂。
本文将介绍一些常见的数学符号及其基本概念。
一、基本运算符号1. 加法运算符号：+加法是最基本的运算之一，用加法运算符号“+”表示。
例如，2 + 3 = 5，表示将2与3相加得到5。
2. 减法运算符号：-减法是加法的逆运算，用减法运算符号“-”表示。
例如，5 - 3 = 2，表示将3从5中减去得到2。
3. 乘法运算符号：×乘法用于表示两个数的相乘关系，用乘法运算符号“×”表示。
例如，2 × 3 = 6，表示将2与3相乘得到6。
4. 除法运算符号：÷除法用于表示一个数被另一个数相除的关系，用除法运算符号“÷”表示。
例如，6 ÷ 2 = 3，表示将6除以2得到3。
5. 等于运算符号：=等于运算用于表示两个数或表达式相等的关系，用等于运算符号“=”表示。
例如，2 + 3 = 5，表示2 + 3与5相等。
二、数学关系符号1. 大于符号：>大于符号用于表示一个数大于另一个数的关系。
例如，5 > 3，表示5大于3。
2. 小于符号：<小于符号用于表示一个数小于另一个数的关系。
例如，3 < 5，表示3小于5。
3. 大于等于符号：≥大于等于符号用于表示一个数大于或等于另一个数的关系。
例如，5 ≥ 3，表示5大于或等于3。
4. 小于等于符号：≤小于等于符号用于表示一个数小于或等于另一个数的关系。
例如，3 ≤ 5，表示3小于或等于5。
5. 不等于符号：≠不等于符号用于表示两个数或表达式不等的关系。
例如，2 + 3 ≠ 6，表示2 + 3与6不等。
三、数学集合符号1. 空集符号：∅空集符号用于表示一个集合中没有任何元素的情况。
例如，A = ∅，表示集合A为空集。
2. 子集符号：⊆子集符号用于表示一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
第五章符号数学基础一．符号对象的创建1. 创建符号变量和表达式创建符号变量和表达式的两个基本函数：sym, syms*x=sym(‘x’)创建一个符号变量x，可以是字符、字符串、表达式或字符表达式。
*syms用于方便地一次创建多个符号变量，调用格式为：syms a b c d .书写简洁意义清楚，建议使用。
例1：使用sym函数创建符号变量.a=sym(‘a’)b=sym( ‘hello’)c=sym(( ‘(1+sqrt(5))/2’)y=sym( ‘x^3+5*x^2+12*x+20’)a =ab =helloC =(1+sqrt(5))/2Y =x^3+5*x^2+12*x+20例2：用syms函数创建符号变量。
syms a b c d2. 创建符号矩阵例1：创建一个循环矩阵。
syms a b c dn=[a b c d;b c d a;c d a b;d a b c]n =[ a, b, c, d][ b, c, d, a][ c, d, a, b][ d, a, b, c]例2：将3阶Hilbert矩阵转换为符号矩阵。
h=hilb(3)h1=sym(h)h =1.0000 0.5000 0.33330.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.2000h1 =[ 1, 1/2, 1/3][ 1/2, 1/3, 1/4][ 1/3, 1/4, 1/5]注意符号矩阵于数值矩阵的区别。
3.默认符号变量在MATLAB的符号数学工具箱中，以最接近x的顺序排列默认自变量的顺序，可利用findsym函数对默认自变量进行查询。
例1：求符号函数在不同自变量情况下的结果。
创建符号变量x和n，建立函数f=x n，然后分别求f对x和f对n的导数.syms x nf=x^ndiff(f)diff(f,n) % n作为自变量，求f对n的导数f =x^nans =x^n*n/xans =x^n*log(x)例2：查询符号函数中的默认自变量。
七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第一篇：七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第五章《三角形》知识点总结（北师大版七年级下）一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
（2）三角形的任意两边之差小于第三边。
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部。
（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。
（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
第五章符号数学基础Chapter 5:Foundation of Symbolic Mathematics一．符号对象的创建(Creating a symbolic object)1. 创建符号变量和表达式(Creating a symbolic variable and expression) 创建符号变量和表达式的两个基本函数：sym, syms*x=sym(‘x’)创建一个符号变量x，可以是字符、字符串、表达式或字符表达式。
*syms用于方便地一次创建多个符号变量，调用格式为：syms a b c d .书写简洁意义清楚，建议使用。
例1：使用sym函数创建符号变量.a=sym(‘a’)b=sym( ‘hello’)c=sym(( ‘(1+sqrt(5))/2’)y=sym( ‘x^3+5*x^2+12*x+20’)a =ab =helloC =(1+sqrt(5))/2Y =x^3+5*x^2+12*x+20例2：用syms函数创建符号变量。
syms a b c d2. 创建符号矩阵(Symbolic matrix Creating)例1：创建一个循环矩阵。
syms a b c dn=[a b c d;b c d a;c d a b;d a b c]n =[ a, b, c, d][ b, c, d, a][ c, d, a, b][ d, a, b, c]例2：将3阶Hilbert矩阵转换为符号矩阵。
h=hilb(3) %纯数值的三阶矩阵h1=sym(h)h =1.0000 0.5000 0.33330.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.2000h1 =[ 1, 1/2, 1/3][ 1/2, 1/3, 1/4][ 1/3, 1/4, 1/5]注意符号矩阵于数值矩阵的区别。
3.默认符号变量(Implied symbolic variable)在MATLAB的符号数学工具箱中，以最接近x的顺序排列默认自变量的顺序，可利用findsym函数对默认自变量进行查询。
例1：求符号函数在不同自变量情况下的结果。
创建符号变量x和n，建立函数f=x n，然后分别求f对x和f对n的导数.syms x nf=x^ndiff(f) % x作为自变量，求f对x的导数diff(f,n) % n作为自变量，求f对n的导数f =x^nans =x^n*n/xans =x^n*log(x)例2：查询符号函数中的默认自变量。
创建符号变量a,b, n, x和t，建立函数f=ax n+bt，然后求f的默认自变量。
syms a b n t xf=a*x^n+b*tfindsym(f,1)findsym(f,2)findsym(f,5) % f表达式中按最接近x顺序排列的5个默认自变量findsym(f) % f表达式中按最接远字母顺序排列的全部自变量f =a*x^n+b*tans =xans =x,tans =x,t,n,b,aans =a, b, n, t, x>>二.符号表达式的化简和替换(simplifying and replacing of Symbolicexpressions)符号数学工具箱提供的符号表达式的因式分解、展开、合并、化简、通分等操作：1. 符号表达式的化简(Simplifying of symbolic expression)(1).因式分解(Factorization)符号表达式的因式分解函数为factor(S), 可分解符号表达式S的各个元素。
例1：对表达式f=x9-1进行因式分解。
syms xf=factor(x^9-1)pretty(f)f =(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1)(x - 1) (x2 + x + 1) (x6 + x3 + 1)例2：对大整数12345678901234567890进行因式分解。
factor(sym(‘12345678901234567890’))ans =(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)（2）符号表达式的展开(Expanding of symbolic expressions) 符号表达式的展开函数为expand(S), 此函数因数展开符号表达式S.例：展开表达式f=(x+1)5和f=sin(x+y)syms x yf=(x+1)^5;expand(f)f=sin(x+y);expand(f)ans =x^5+5*x^4+10*x^3+10*x^2+5*x+1ans =sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)(3).符号表达式的同类项合并(Similar team merging for symbolicexpression)符号表达式的同类项合并函数为collect(S,n)，此函数将符号表达式中自变量的同次幂项的系数合并。
例：对于表达式f=x(x(x-6)+12)t,分别将自变量x和t的同类项合并。
syms x tf=x*(x*(x-6)+12)*t;collect(f)collect(f,t)ans =t*x^3-6*t*x^2+12*t*xans =x*(x*(x-6)+12)*t(4). 符号表达式的化简(Simplifying of symbolic expression)符号表达式的两个化简函数：simplify，simple ,simplify：化简函数,可用于化简各种表达式例1：对表达式f=sin2(x)+cos2(x)进行化简.syms xf=sin(x)^2+cos(x)^2;simplify(f)ans =1[r,how]=simple(S)函数可寻找符号表达式S的最简型，r为返回的简化形式，how为化简过程中使用的主要方法，simple函数综合使用了下列化简方法：*simplify 函数对表达式进行化简*radsimp 函数对含根式(surd)的表达式进行化简*combine 函数对表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出现的项进行合并*collect合并同类项*factor 函数实现因式分解*convert 函数完成表达式形式的转换例2：最简表达式的获得。
syms x tf=cos(x)^2-sin(x)^2;[r,how]=simple(f)r =cos(2*x)how =combine（5）符号表达式的分式通分(Reduction symbolic expression to common denominator)符号表达式的分式通分函数为[n,d]=numden(S),此函数将符号表达式转换为分子（Numerator）和分母（denominator）都是正系数的最佳多项式。
例：对表达式f=x/y+y/x进行通分。
syms x yf=x/y+y/x;[n,d]=numden(f)n =x^2+y^2d =y*x(6) 符号表达式的嵌套形式重写（Representation of nested symbolic expression）符号表达式的嵌套形式重写函数为horner(S), 此函数将符号表达式转换为嵌套形式。
例：对表达式f=x3+6x2+11x-6进行嵌套形式重写。
syms xf=x^3+6*x^2+11*x-6;horner(f)ans =-6+(11+(6+x)*x)*x2. 符号表达式的替换(Replacing of symbolic expression)MATLAB 的符号数学工具箱提供了两个符号表达式的替换函数subexpr和subs，可通过符号替换使表达式的输出形式简化。
subexpr函数可将表达式中重复出现的字符串用变量代替。
调用格式：[Y,SIGMA]=subexpr(S,SIGMA): 用变量SIGMA的值代替符号表达式S 中重复出现的字符串，Y返回替换后的结果。
例：求解并化简三次方程x3+ax+1=0的符号解。
t=solve(‘x^3+a*x+1=0’)[r,s]=subexpr(t,’s’)t =[1/6*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)-2*a/(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)][ -1/12*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+a/(-108+12*(12*a^3+81)^ (1/2))^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+2 *a/(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3))][ -1/12*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+a/(-108+12*(12*a^3+81)^ (1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+2*a/(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3))]r =[ 1/6*s^(1/3)-2*a/s^(1/3)][ -1/12*s^(1/3)+a/s^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*s^(1/3)+2*a/s^(1/3))][ -1/12*s^(1/3)+a/s^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*s^(1/3)+2*a/s^(1/3))]s =-108+12*(12*a^3+81)^(1/2)函数subs是用指定符号替换符号表达式中的某一特定符号，调用格式为：R=subs(S,old,new)，它可用新的符号变量new替换原来符号表达式S中的old. 当new为数值形式时，显示的结果虽然是数值，但它事实上是符号变量。
例：分别用新变量替换表达式a+b和cos(a)+sin(b)中变量。
syms a bsubs(a+b,a,4)subs(cos(a)+sin(b), {a,b},{sym('alpha'),2}) %用单元数组完成不同性质%元素的替换ans =4+bans =cos(alpha)+sin(2)三．符号微积分(Differential and integral calculus)1. 符号极限(Symbolic limit)*limit(F,x,a)计算符号表达式F在x→a条件下的极限；*limit(F,a) 计算符号表达式F中由默认自变量趋向于a条件下的极限；*limit(F,)计算符号表达式F在默认自变量趋向于0条件下的极限；*limit(F,x,a,‘right’)和limit(F,x,a,’left’)计算符号表达式F在x→a（极限方向）条件下的右极限和左极限。
