北师大必修5数学《等差数列的定义和通项公式》习题精选有答案-(高一)MnPwPl

2.1 等差数列(二)[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一 推广的等差数列的通项公式已知a 1求a n ，则a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)．已知a m 求a n ，则a n ＝a m ＋(n －m )d (m ≤n )．思考 已知等差数列{a n }中的a m 和a n ，如何求d?★答案★ 由{a n }的通项公式得a n ＝a 1＋(n －1)d ，a m ＝a 1＋(m －1)d ，两式相减得a n －a m ＝(n －m )d ，∴d ＝a n －a m n －m. 知识点二 等差数列的性质1．若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有 数 列结 论 {c ＋a n }公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n }公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k }公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)2.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…….3．下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别的，若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则有a m ＋a n ＝2a p .思考 等差数列{a n }中，若a 5＝7，a 9＝19，则a 2＋a 12＝________，a 7＝________. ★答案★ 26 134．等差数列的“子数列”的性质若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则(1)数列{a n }去掉前几项后余下的项仍组成公差为d 的等差数列．(2)奇数项数列{a 2n －1}是公差为2d 的等差数列，偶数项数列{a 2n }是公差为2d 的等差数列．(3)若数列{k n }是等差数列，则数列{ak n }也是等差数列．(4)从等差数列{a n }中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差要随之发生变化．题型一 等差数列的性质及应用例1 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值． 解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d .由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13. ∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23. 方法二 根据等差数列性质a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13， ∴a 4＋a 8＝2a 6＝23. (2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)，∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2，∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)，∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.反思与感悟 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想． 跟踪训练1 在等差数列{a n }中：(1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；(2)a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列a 1＋a 20等于________．★答案★ (1)15 (2)18解析 (1)a 1＋2a 4＝a 1＋(a 3＋a 5)＝(a 1＋a 5)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝15.(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20＝18.题型二 等差数列项的设法及运算例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，(a －3d )(a ＋3d )＋18＝(a －d )(a ＋d )， 又因为是递增数列，所以d >0，所以解得a ＝±72，d ＝32， 此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.反思与感悟 三个数或四个数成等差数列的设法．当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a 1和公差d 列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a －d ，a ，a ＋d ；四个数时，设a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，利用和为定值，先求出其中某个未知量．跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解 方法一 设这三个数为a ，b ，c ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝18，a 2＋b 2＋c 2＝116，解得a ＝4，b ＝6，c ＝8.这三个数为4,6,8.方法二 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116， ② 由①得a ＝6，代入②得d ＝±2，∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.题型三 等差数列的综合问题例3 已知数列{a n }中，a 1＝14，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列，并写出{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式及数列{a n }中的最大项与最小项．解 (1)因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －1＝a n －1－1a n －1， 所以1a n －1＝a n －1－1＋1a n －1－1＝1＋1a n －1－1， 即1a n －1－1a n －1－1＝1. 因为b n ＝1a n －1，所以b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)． 又a 1＝14，b 1＝1a 1－1＝－43， 所以数列{b n }是以b 1＝－43为首项，1为公差的等差数列． 故b n ＝－43＋(n －1)×1＝n －73(n ∈N *)． (2)由(1)得a n ＝1n －73＋1＝1＋33n －7，当n ≥3时，数列{a n }是递减数列，且a n >1. 又a 1＝14，a 2＝－2，a 3＝52，所以在数列{a n }中，最大项为a 3＝52，最小项为a 2＝－2. 反思与感悟 解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．(2)利用通项公式，得到一个以首项a 1和公差d 为未知数的方程(组)或不等式(组)．(3)利用函数或不等式的有关方法解决．跟踪训练3 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >0 ★答案★ C解析 设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x 是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.题型四 等差数列的实际应用例4 某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{a n }，且当a n <0时，该公司经销此产品将亏损． 设第n 年的利润为a n ，因为a 1＝200，公差d ＝－20，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .由题意知数列{a n }为递减数列，令a n <0，即a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损．反思与感悟 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．跟踪训练4 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升B.6766升C.4744升 D.3733升 ★答案★ B解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{a n }，其首项为a 1，公差为d ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧ a 1＝1322d ＝766，所以a 5＝a 1＋4d ＝6766.审题不仔细致误例5 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围为________．错解 方法一 由a 10>0得－24＋9d >0，∴d >83. 方法二 由⎩⎨⎧ a 10>0a 9<0得⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0－24＋8d <0，∴83<d <3. 错因分析 解答本题，应注意理解“从第10项开始为正数”的含义，它表明“a 10>0”的同时还表明“a 9≤0”这一条件．正解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>0，a 9≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0，－24＋8d ≤0， ∴83<d ≤3.★答案★ 83<d ≤3 误区警示 解答此类问题，应注意仔细审题，认真挖掘题目中的隐含条件，并注意应用．1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( )A ．5B ．8C ．10D ．14★答案★ B解析 方法一 设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.方法二 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.2．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．10★答案★ C解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. 3．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 101<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51★答案★ C解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，又∵a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝…＝2a 51，∴a 51＝0＝a 3＋a 99.4．下列是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个结论：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列；其中正确的结论是( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4★答案★ D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以p 1正确；a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，因4d ＞0，所以是递增数列，p 4正确，故选D.5．在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝________. ★答案★ 24解析 ∵a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，∴a 8＝24.∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.1.在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a n m －n为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解．但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．。

2.1 等差数列第1课时 等差数列的概念和通项公式课时过关·能力提升1.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为( ) B.50 C.51 D.52a n+1-a n =12,∴数列{a n }是首项为2,公差为12的等差数列,则a n =2+12(n-1). ∴a 101=2+12×100=52.n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13的值为( ) B.120 C.90 D.75a 1+a 2+a 3=15,得a 2=5,所以a 1+a 3=10,a 1a 3=16,解得a 1=2,a 3=8或a 1=8,a 3=2. {a n }的公差为正数,所以数列{a n }是递增数列. 所以a 1=2,a 3=8,其公差d=a 2-a 1=5-2=3, a 11+a 12+a 13=(a 1+10d )+(a 2+10d )+(a 3+10d )=(a 1+a 2+a 3)+30d=15+30×3=105.n a 1=7,公差d=5的等差数列,若a n =2 017,则序号n 等于( ) B.401 C.402 D.403a 1=7,d=5,a n =7+5(n-1)=5n+2.5n+2=2 017,解得n=403.{a n }的公差为d ,若数列{2a 1a n }为递减数列,则( )B.d>0C.a 1d<0D.a 1d>0{2a 1a n }为递减数列,且y=2x 是增函数,所以{a 1a n }是递减数列, a 1a n+1-a 1a n =a 1(a n+1-a n )=a 1d<0.32,log 3(2x -1),log 3(2x +11)成等差数列,则x 的值为( ) -3 B.log 37 C.log 27 D.4log 3(2x +11)-log 3(2x -1)=log 3(2x-1)-log 32,∴2x +112x -1=2x -12,即22x -4·2x -21=0,解得2x =7或2x =-3(舍log 27.{a n }中,a 1=70,d=-9,则这个数列中绝对值最小的一项为( )B.a 9C.a 10D.a 11{a n }中,由a 1=70,d=-9,得a n =-9n+79,∴数列{a n }是首项为正数的递减等差数列.令-9n+79≥0,解得n ≤799,且a 8=7,a 9=-2,a 10=-11,a 11=-20,∴这个数列中绝对值最小的一项为a 9.{a n },若a n =10-2n (n ∈N +),且a 1+a 2+…+a m =|a 1|+|a 2|+…+|a m |,则正整数m 的最大值是( )B.5C.6D.7a n =10-2n ,得{a n }为递减数列.a m =10-2m ≥0,m ∈N +,1≤m ≤5.∴m 的最大值为5.{a n }的图像是平行于x 轴的直线上的均匀分布的一群孤立的点,则数列{a n }的公差d 0(填“>”“<”或“=”).{a n }是等差数列,知a n =a 1+(n-1)d=dn+a 1-d.由其图像是平行于x 轴的直线上的孤立的点,可知0,故d=0.9.在数列{a n }中,a 1=1,对任意的n ∈N +,有a n+1=a n1+a n ,则1a 2 017= .a n+1=a n 1+a n ,得1a n+1−1a n =1,故{1a n }是首项为1,公差为1的等差数列,所以1a n =1+(n-1)=n.故1a 2 017=2 017.10.在数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,且数列{1a n +1}是等差数列,则a 11= .a 3=2,a 7=1,所以1a 3+1=13,1a 7+1=12.设等差数列{1a n +1}的公差为d ,则1a 7+1=1a 3+1+4d ,即12=13+4d ,解得d=124,所以1a 11+1=1a 7+1+4d=12+16=23,解得a 11=12.求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项. 是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.由a 1=3,d=7-3=4,得当n=4时,a 4=3+(4-1)×4=15;当n=10时,a 10=3+(10-1)×4=39.(2)是.由a 1=2,d=9-2=7,得这个数列的通项公式为a n =2+(n-1)×7=7n-5. 令7n-5=100,解得n=15∈N +,因此100是这个数列的第15项.★12.在数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N +),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N +).(1)求证:数列{b n }是等差数列; {a n }中的最大项和最小项,并说明理由.a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N +),b n =1a n -1,∴当n ≥2时,b n -b n-1=1a n -1−1a n -1-1=1(2-1a n -1)-1−1a n -1-1=a n -1a n -1-1−1a n -1-1=1.又b 1=1a 1-1=-52,∴数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列.(1)知,b n =n-72,则a n =1+1b n =1+22n -7.设函数f (x )=1+22x -7,易知f (x )在区间(-∞,72)和(72,+∞)上是减少的.故当n=3时,a n 取得最小值-1;当n=4时,a n 取得最大值3.。

北师大版高中数学必修五习题课(1)课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________． (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为( )A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于( )A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________. 9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是( )A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1) 答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n(n －1)d 2 n(a 1＋a n )2 3.(1)a m ＋a n ＝a p＋a q (2)S 3k －S 2k 作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d)＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d)＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.] 4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d>0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d)＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.] 5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d<0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n<12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.] 7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80. 8．0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q . 知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＝a(－b a )2＋b(－b a )＝b 2a －b2a＝0.9．5或6解析 d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值． 10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)． ∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n(n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n(n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d>0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， 又公差d>0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n(n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．] 14.n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋。

2.2 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和课时过关·能力提升1.等差数列{a n }的各项都是负数,且a 32+a 82+2a 3a 8=9,则它的前10项和S 10等于( ) B.-9 C.-15 D.-13a 32+a 82+2a 3a 8=9,(a 3+a 8)2=(a 1+a 10)2=9.∵a n <0,∴a 1+a 10<0.∴a 1+a 10=-3,∴S 10=10(a 1+a 10)2=-15.n 为数列{a n }的前n 项和,若满足a n =a n-1+2(n ≥2),且S 3=9,则a 1等于( )B.3C.1D.-1a n =a n-1+2(n ≥2),a n -a n-1=2(n ≥2),∴{a n }是公差为2的等差数列.∵S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=9,∴a 2=3.a 1=a 2-d=3-2=1.{a n }满足a 5=11,a 12=-3,{a n }的前n 项和S n 的最大值为M ,则lg M 等于( )B .2C .10D .100{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }的前9项和S 9等于( ) B.99 C.144 D.297a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,得3a 4=39,3a 6=27,解得a 4=13,a 6=9,所以S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=)2=99. 5.在等差数列{a n }中,a 9=12a 12+6,则数列{a n }的前11项和S 11等于( )B.48C.66D.132{a n }的公差为d ,则由a 9=12a 12+6,得a 1+8d=12(a 1+11d )+6,整理得a 1+5d=12,即a 6=12,所以S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=11×12=132.n ,a 10=33,a 2=1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 20-2S 10等于( )A.40B.200D.2020-2S 10=20(a 1+a 20)2-2×10(a 1+a 10)2=10(a 20-a 10)=100d.a 10=a 2+8d ,∴33=1+8d ,∴d=4.S 20-2S 10=400.★7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 15>0,S 16<0,则S 1a 1,S 2a 2,…,S 15a 15中最大的项为( ) A.S 1a 1 B.S 15a 15C.S 8aD.S 9a 9 S 15>0,∴a 1+a 15=2a 8>0,a 8>0.∵S 16<0,∴a 1+a 16<0,∴a 8+a 9<0,∴a 9<0,∴S 8最大.又a 1>a 2>a 3>…>a 8>0>a 9>…,∴S 1a 1,S 2a 2,…,S 15a 15中最大的项为S8a 8.{a n }的前n 项和S n =n 2+n ,则它的通项公式为a n = .n=1时,a 1=S 1=2;n ≥2时,a n =S n -S n-1=(n 2+n )-[(n-1)2+(n-1)]=2n.∵a 1=2也符合上式,a n =2n.n {a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于 .n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9= .{a n }的公差为d ,则S 3=3a 1+3×2d=3a 1+3d=3, 即a 1+d=1. ①S 6=6a 1+6×52d=6a 1+15d=24, 即2a 1+5d=8. ② 联立①②两式,解得a 1=-1,d=2,a 9=a 1+8d=-1+8×2=15.{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n+1,求数列{a n }的通项公式.,得S n +1=2n+1,则S n =2n+1-1.所以当n=1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(2n+1-1)-(2n -1)=2n . 又当n=1时,3≠21,故a n ={3,n =1,2n ,n ≥2.★12.甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m .(1)甲、乙开始运动几分钟后第一次相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那?设甲、乙开始运动n min 后第一次相遇,依题意,有2n+n (n -1)2+5n=70. 整理得n 2+13n-140=0,解得n=7或n=-20(舍去).故甲、乙开始运动7 min 后第一次相遇.(2)设m min 后第二次相遇,依题意有2m+m (m -1)2+5m=3×70, 整理得m 2+13m-420=0.解得m=15或m=-28(舍去).故开始运动15 min 后第二次相遇.。

等差数列的概念及通项公式A 级 基础巩固一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( D ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18[解析] 该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d . 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－23－2＝2.∴a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.2．等差数列3,1，－1，－3，…，－97的项为( B ) A ．52 B ．51 C ．49D ．50[解析] ∵a 1＝3，a 2＝1，∴d ＝1－3＝－2， ∴a n ＝3＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋5， 由－97＝－2n ＋5，得n ＝51.3．(2019·威海检测)已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( B )A ．2B ．3C ．6D ．9 [解析] 由题意2m ＋n ＝10,2n ＋m ＝8，两式相加得3m ＋3n ＝18，∴m ＋n ＝6，∴m ＋n2＝3.4．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( B ) A ．－9 B ．－8 C ．－7D ．－4[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－5a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1＝－8. 5．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( A ) A ． 3 B ． 2 C ．33D ．22[解析]a ＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.6．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( C ) A ．a ＝－bB ．a ＝3bC ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0[解析] 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2，x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝(a ＋b2)2，即a 2－2ab －3b 2＝0.故a ＝－b 或a ＝3b . 二、填空题7．lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是 0 .[解析] lg(3＋2)＋lg(3－2)＝lg(3－2)＝0，所以lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是0.8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为6766升． [解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.三、解答题9．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.[解析] 方法一：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25.解这个方程组，得a 1＝4，d ＝32.∴这个数列的通项公式为a n ＝4＋32×(n －1)，即a n ＝32n ＋52.∴a 25＝32×25＋52＝40.方法二：由题意可知：a 15＝a 5＋10d ，即25＝10＋10d ， ∴10d ＝15.又∵a 25＝a 15＋10d ，∴a 25＝25＋15＝40. 10．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， (1)数列{1a n}是否为等差数列？说明理由．(2)求a n .[解析] (1)数列{1a n}是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n， ∴1a n ＋1－1a n ＝12，即{1a n }是首项为1a 1＝12， 公差为d ＝12的等差数列．(2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n2，∴a n ＝2n.(n ∈N ＋)B 级 素养提升一、选择题1．{a n }是首项为a 1＝4，公差d ＝2的等差数列，如果a n ＝2 020，则序号n 等于( A ) A ．1 009 B ．1 012 C ．1 008D ．1 010[解析] ∵a 1＝4，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2， ∴2n ＋2＝2 020，∴n ＝1 009.2．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值是( D ) A ．49 B ．50 C ．51D ．52 [解析] 由2a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1－a n ＝12，∴{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，∴a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，∴a 101＝101＋32＝52.3．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是( C ) A ．第11项 B ．第12项 C ．第13项D ．第14项[解析] 由a n ＝a 1＋(n －1)d 得a n ＝－7n ＋88， 令a n ≥0，解得n ≤887＝1247.而a 12＝4，a 13＝－3， 故a 13的值最接近零．4．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( D )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d >1125＋8d ≤1，∴875<d ≤325. 二、填空题5．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝ 13 . [解析] 由a 5＝a 2＋6得a 5－a 2＝6， 故3d ＝6，d ＝2.∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋3×2＝13.6．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 3－b 2＝ 54.[解析] 设这两个等差数列的公差分别为d 1，d 2. 则a 2－a 1b 3－b 2＝d 1d 2.由等差数列的性质，是y －x ＝4d 1＝5d 2，∴d 1d 2＝54. 三、解答题7．等差数列{a n }中， a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35]．当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2 ＝24. 8．已知f (x )＝2x x ＋2，在数列{x n }中，x 1＝13，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)，试说明数列{1x n}是等差数列，并求x 95的值．[解析] 因为当n ≥2时，x n ＝f (x n －1)， 所以x n ＝2x n －1x n －1＋2(n ≥2)，即x n x n －1＋2x n ＝2x n －1(n ≥2)， 得2x n －1－2x n x n x n －1＝1(n ≥2)，即1x n －1x n －1＝12(n ≥2)．又1x 1＝3，所以数列{1x n }是以3为首项，12为公差的等差数列，所以1x n ＝3＋(n －1)×12＝n ＋52，所以x n ＝2n ＋5，所以x 95＝295＋5＝150.。

[学业水平训练]1．在等差数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5＋a 6＝( )A ．3B ．6C ．9D ．36解析：选B.∵数列{a n }是等差数列，且a n ＞0，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝30，∴a 5＋a 6＝6.2．(2014·临清高二检测)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．30B ．15C ．5 6D ．10 6解析：选B.∵数列{a n }为等差数列．∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15. 3．(2014·东北育才学校质检)在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 008＋a 2 014＝( )A ．10B ．15C ．20D ．40解析：选B.∵a 1，a 2 015为方程x 2－10x ＋16＝0的两个根．∴a 1＋a 2 015＝2a 1 008＝10.∴a 1 008＝5，∴a 2＋a 1 008＋a 2 014＝3a 1 008＝3×5＝15.4．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( )A ．0B ．37C ．100D ．－37解析：选C.设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100.c 2＝a 2＋b 2＝100.∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.∴c 37＝100.5．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( )A ．8B ．4C ．6D ．12解析：选A.因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32，所以a 8＝8，即m ＝8.6．(2014·泰安高二检测)在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．解析：由已知得a 3＋a 10＝3，又数列{a n }为等差数列，∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.答案：37．(2014·河北省石家庄市月考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________．解析：由等差数列的性质可知，a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝(a 3＋a 11)＋(a 5＋a 9)＋a 7＝5a 7＝100，∴a 7＝20.又3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13＝(a 5＋a 13)＋a 9－a 13＝a 5＋a 9＝2a 7＝40.答案：408．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点(a n n ，a n ＋1n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________． 解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0， 即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，所以数列{a n n }是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a n n ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 29．在等差数列{a n }中：(1)若a 3＋a 9＝12，求a 6； (2)若a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝48，求a 6＋a 7.解：在等差数列{a n }中：(1)∵a 3＋a 9＝2a 6＝12，∴a 6＝14. (2)∵a 6＋a 7＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11，且a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝48，∴2(a 6＋a 7)＝48，∴a 6＋a 7＝24.10．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，那么称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中，c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，求c 2的值．解：∵c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，∴c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，∴c 2＝c 20＝19.[高考水平训练]1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选 D.∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5.2．(2014·铜陵调研)在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝________． 解析：∵a 7、a 14、a 21成等差数列，∴a 7＋a 21＝2a 14，∴a 21＝2a 14－a 7＝2n －m . 答案：2n －m3．(2014·北京东城区综合练习)已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N ＋)且a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．解：令x ＝2，y ＝2n －1，则f (x ·y )＝f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)，即f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1a 1，即a n ＝2a n －1＋2n ，a n 2n ＝a n －12n －1＋1，所以数列{a n 2n }为以a 12＝1为首项，1为公差的等差数列，所以a n 2n ＝n .由此可得a n ＝n ·2n . 4．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)证明：由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0，得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．又∵a 1＝1， ∴数列{1a n}是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝13n －2. (3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立， 即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立． 整理，得λ≤（3n ＋1）（3n －2）3（n －1）， 令c n ＝（3n ＋1）（3n －2）3（n －1）， c n ＋1－c n ＝（3n ＋4）（3n ＋1）3n －（3n ＋1）（3n －2）3（n －1）＝（3n ＋1）（3n －4）3n （n －1）. ∵n ≥2，∴c n ＋1－c n ＞0，即数列{c n }为单调递增数列，∴c 2最小．又c 2＝283，∴λ的取值范围为(－∞，283]．。

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第1课时 等差数列的前n 项和课后篇巩固探究A 组1。

设S n 是等差数列｛a ｎ｝的前n 项和,已知a 2=3，ａ6=11,则S 7等于( )Ａ．1３ B 。

３5C 。

49D 。

63解析:S 7＝=４9.答案:Ｃ2.设Ｓn 是等差数列{a n }的前n 项和，Ｓ5=10，则a 3的值为ﻩ( ) A 。

Ｂ。

1C 。

2D 。

3解析:∵Ｓ5==5ａ3,∴a 3=Ｓ5=×1０=2。

答案:C3.已知数列{a ｎ}的通项公式为a ｎ=2n-3７，则Ｓn 取最小值时n 的值为( ) A.1７ B 。

18C 。

１９ D.20解析：由≤n ≤．∵n ∈N +,∴ｎ=1８。

∴S 1８最小，此时n=１8。

答案:B4。

等差数列｛a n }的前n 项和为S n （n=1，2,3,…),若当首项ａ１和公差d 变化时,a 5+a 8＋ａ11是一个定值,则下列选项中为定值的是( ) A ．S 1７ﻩＢ.S 18ﻩC 。

S 15ﻩ D.S 14解析:由a 5＋a 8+a １1=3a 8是定值，可知a 8是定值,所以S 15==1５a 8是定值．答案：C5．若两个等差数列{a n },{ｂn ｝的前n 项和分别为A n 与B ｎ,且满足（n ∈Ｎ+)，则的值是（ ） A 。

（新教材）北师大版精品数学资料第一课时基础巩固1下列说法中正确的是( )A ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列B ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列C ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于常数，这个数列就叫等差数列D ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列2已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n 等于( )A ．4－2nB ．2n －4C ．6－2nD ．2n －64已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．75在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，则a 2 009等于( )A ．2 007B ．2 008C ．2 009D ．不确定 6已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12 C.12D ．2 7已知数列{a n }的通项公式是a n ＝7n ＋2，求证：数列{lg a n }是等差数列． 8夏季高山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，问此山相对于山脚处的高度是多少米？综合过关9已知关于x 的方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |等于 ( )A ．1 B.34 C.12 D.3810有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块，总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面最下面一行铺瓦多少块？11已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100. 12一个等差数列首项为125，公差d ＞0，从第10项起每一项都比1大，求公差d 的范围．能力提升13某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2 009 时对应的指头是______．(填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指)14设{a n }为a 1＝4的递增数列，且满足a 2n ＋1＋a 2n ＋16＝8(a n ＋1＋a n )＋2a n ＋1a n ，则a n ＝__________.参考答案1解析：仅有D 是等差数列的定义．答案：D2解析：可得a n ＋1－a n ＝－2或a 2－a 1＝(3－4)－(3－2)＝－2.答案：C3解析：通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝6－2n .答案：C4解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝105，a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝99，解得a 1＝39，d ＝－2，∴a 20＝a 1＋(20－1)×d ＝1.答案：B5解析：由于a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，∴a 2 009＝2 009.答案：C6解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－1，a 1＋2d ＝0，解得d ＝－12. 答案：B7分析：转化为证明lg a n ＋1－lg a n 是一个与n 无关的常数．证明：设b n ＝lg a n ，则b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋3)lg7－(n ＋2)lg7＝lg7＝常数．所以数列{b n }是等差数列，即数列{lg a n }是等差数列．8解：∵每升高100米温度降低0.7 ℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，∴26＋(n －1)×(－0.7)＝14.8，解之可得n ＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1 600(米)．9解析：设这四个根组成的等差数列为{a n }，则a 1＝14，设公差为d ，方程x 2－2x ＋m ＝0的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0的两根之和也为2，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝4a 1＋6d ＝4，则1＋6d ＝4，所以d ＝12.则这四个根是14，34，54，74.又14＋74＝2，34＋54＝2，则m ＝14×74＝716，n ＝34×54＝1516或n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516，则|m －n |＝|716－1516|＝12. 答案：C10分析：转化为求等差数列的第15项．解：设从上面开始第n 行铺瓦a n 块，则数列{a n }是首项为30，公差为3的等差数列．则a 15＝a 1＋14d ＝30＋14×3＝72(块)，即该侧面最下面一行铺瓦72块．11(1)证明：x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， 1x n －1x n －1＝13(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴{1x n}是等差数列． (2)解：1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53. ∴1x 100＝100＋53＝35. ∴x 100＝135. 12分析：转化为解不等式组．解：∵d ＞0，设等差数列为{a n }，则a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1<a 10<a 11<…，a 1<a 2<…<a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>1a 9≤1⇔⎩⎨⎧ 125＋(10－1)d >1，125＋(9－1)d ≤1，解得875＜d ≤325. 13解析：把这些数分成“层”，则第1层有5个数，其他层都是有4个数，奇数层小拇指对应的数最大，偶数层大拇指对应的数最大，则2 009＝5＋2 004＝5＋4×501，则2 009在第502层，并且是该层最大的数，所以2 009位于大拇指的位置上．答案：大拇指14解析：a2n＋1＋a2n＋16＝8(a n＋1＋a n)＋2a n＋1a n ⇔(a n＋1＋a n)2－8(a n＋1＋a n)＋16＝4a n＋1a n⇔(a n＋1＋a n－4)2＝4a n＋1a n⇔a n＋1＋a n－4＝2a n＋1a n(由题意可知取正号) ⇔(a n＋1－a n)2＝4⇔a n＋1－a n＝2，因此，{a n}是公差为2的等差数列．则a n＝a1＋(n－1)×2＝2n，从而可得a n＝4n2.答案：4n2第二课时基础巩固1a＝13＋2，b＝13－2，则a、b的等差中项为()A.3B.2C.33 D.222等差数列{a n}的公差为d，则数列{ca n}(c为常数，且c≠0)是()A．公差为d的等差数列B．公差为cd的等差数列C．不是等差数列D．以上都不对3在a和b(a≠b)两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为______．4等差数列{a n}中，a5＝10，a20＝7，则a2＋a23＝______.5已知a，b，c成等差数列，请问b＋c，c＋a，a＋b是否构成等差数列，为什么？6在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这5个数成等差数列，求这5个数．7四个数成等差数列，其四个数的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．综合过关8已知1a 、1b 、1c成等差数列，并且a ＋c 、a －c 、a ＋c －2b 均为正数，试证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．9在数列{a n }中，相邻两项a n 和a n ＋1是相应的二次方程x 2＋3nx ＋b n ＝0(n ∈N ＋)的两根．若a 1＝2，试求b 100的值．能力提升10在等差数列{a n }中，已知a 1＝83，a 4＝98，则这个数列有多少项在300到500之间？参考答案1答案：A2解析：设b n ＝ca n ，则b n ＋1－b n ＝ca n ＋1－ca n ＝c (a n ＋1－a n )＝cd .答案：B3解析：b ＝a ＋(n ＋2－1)d ，则d ＝b －a n ＋1. 答案：b －a n ＋14答案：175分析：要证明三个数成等差数列，可用等差中项的性质去说明．解：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 构成等差数列．∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又∵(b ＋c )＋(a ＋b )＝(a ＋c )＋2b ＝2(a ＋c )，∴b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列．6分析：此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解． 解法一：设这5个数构成的等差数列为{a n }，公差是d ，由已知，有a 1＝－1，a 5＝7，则7＝－1＋(5－1)d .解得d ＝2.∴所求数列为－1,1,3,5,7.解法二：∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，a 是－1与b 的等差中项，c 是b 与7的等差中项，即b ＝－1＋72＝3，a ＝－1＋b 2＝1，c ＝b ＋72＝5. ∴所求数列为－1,1,3,5,7.7解：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，即4a 2＋20d 2＝94. ①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18，即8d 2＝18，∴d ＝±32. 代入①得a ＝±72， ∴所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1. 8分析：转化为证明2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．证明：∵1a 、1b 、1c成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c. ∴2b ＝a ＋c ac. ∴2ac ＝ab ＋bc .∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2.∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )．又a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数，∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．9分析：依题意有：a n ＋a n ＋1＝－3n 且a n ·a n ＋1＝b n ，欲求b 100，需求a 100和a 101的值，可由递推或a n ＋a n ＋1＝－3n ，找到a n 的通项公式，进而求出a 100和a 101.解：依题意得：a n ＋a n ＋1＝－3n ， ① a n ·a n ＋1＝b n (n ∈N ＋)， ② 由②知：b 100＝a 100·a 101.∵a n ＋a n ＋1＝－3n ， ① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝－3(n ＋1)， ③ ③－①得：a n ＋2－a n ＝－3.∴a 1，a 3，a 5，…，a 99，a 101构成公差为－3的等差数列． ∴a 101＝a 2×51－1＝a 1＋(51－1)d ＝2＋50×(－3)＝－148， 代入a 100＋a 101＝－3×100得a 100＝－152.∴b 100＝a 100·a 101＝(－152)×(－148)＝22 496.10分析：可先利用a 1＝83，a 4＝98求出首项和公差，确定通项公式后再求解．解：公差d ＝a 4－a 13＝98－833＝5， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝83＋5(n －1)＝5n ＋78.令300＜a n ＜500得300＜5n ＋78＜500，解得44.4＜n ＜84.4.∴从第45项到第84项，共有40项在300到500之间．。

[学业水平训练]1．等差数列1，－1，－3，…中，－89的项数是( )A ．45B ．46C ．47D ．92解析：选B.∵a 1＝1，d ＝－2，∴a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋3，令－2n ＋3＝－89，解得n ＝46.故选B.2．等差数列{a n }的前三项分别是a －1，a ＋1，a ＋3，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝2n －1C ．a n ＝a ＋2n －3D ．a n ＝a ＋2n －1 解析：选C.公差d ＝(a ＋1)－(a －1)＝2，首项a 1＝a －1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a －1＋2(n －1)＝a ＋2n －3.3．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( ) A ．51B ．50C ．49D ．48 解析：选B.由a 1＝13，a 2＋a 5＝4，可求得公差d ＝23.所以a n ＝13＋23(n －1)＝33，解得n ＝50.4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是( )．A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6解析：选C.设该数列的公差为d ，∵a n ＝23＋(n －1)d ，且⎩⎪⎨⎪⎧a 6＞0，a 7＜0，得－435＜d ＜－356，又d ∈Z ，∴d ＝－4. 5．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d ＞825B ．d ＜825 C.875＜d ＜325 D.875＜d ≤325解析：选D.设{a n }的通项公式为a n ＝125＋(n －1)d ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 10＞1，a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d ＞1，125＋8d ≤1，解得875＜d ≤325. 6．在数列{a n }中，a 1＝12，2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 014＝________． 解析：由已知得a n ＋1－a n ＝12，则数列{a n }是首项a 1＝12，公差为12的等差数列，∴a 2 014＝12＋12×2 013＝1 007. 答案：1 0077．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5＝________．解析：∵a 2＋a 8＝2a 5＝12，∴a 5＝6，或由a 2＋a 8＝2a 1＋8d ＝12，∴a 1＋4d＝6，∴a 5＝a 1＋4d ＝6.答案：68．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________．解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项，得2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中：(1)已知a 1＝8，a 9＝－2，求d 与a 14；(2)已知a 3＋a 5＝18，a 4＋a 8＝24，求d.解：(1)由a 9＝a 1＋8d ＝－2，a 1＝8，解得d ＝－54. ∴a 14＝a 1＋13d ＝8＋13×(－54)＝－334. (2)由(a 4＋a 8)－(a 3＋a 5)＝4d ＝6，得d ＝32. 10．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；(2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列．这个数列的通项公式为a n ＝1 896＋4(n －1)＝1 892＋4n(n ∈N ＋)．(2)假设a n ＝2 012，由2 012＝1 892＋4n ，得n ＝30.假设a n ＝2 050，但2 050＝1 892＋4n 无正整数解．。