苏州苏州国际外语学校必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测卷(答案解析)

《第三章函数的概念和性质》章节复习及单元测试卷第三章函数的概念和性质知识梳理1. 知识系统整合2. 规律方法收藏1.同一函数的判定方法(1)定义域相同；(2)对应关系相同(两点必须同时具备)．2.函数解析式的求法(1)定义法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解方程(组)法；(5)赋值法．3.函数的定义域的求法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．(3)复合函数问题①若函数f(x)的定义域为[a，b]，函数f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b 解出；②若函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为函数g(x)在[a，b]上的值域．注意：①函数f(x)中的x与函数f[g(x)]中的g(x)地位相同．②定义域所指永远是x的范围．4.函数值域的求法(1)配方法(二次或四次)；(2)判别式法；(3)换元法；(4)函数的单调性法．5.判断函数单调性的步骤(1)设x1，x2是所研究区间内任意两个自变量的值，且x1<x2；(2)判定f(x1)与f(x2)的大小：作差比较或作商比较；(3)根据单调性定义下结论．6.函数奇偶性的判定方法首先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看函数f(－x)与f(x)之间的关系：①若函数f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若函数f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；②若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数；若f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)为奇函数；③若f(x)f(－x)＝1(f(－x)≠0)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(－x)＝－1(f(－x)≠0)，则f(x)为奇函数．7.幂函数的图象特征(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，图象最多只能同时出现在两个象限内，至于是否在第二、三象限内出现，则要看幂函数的奇偶性．(2)幂函数的图象在第一象限内的变化规律为：在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从下到上，相应的指数由小到大，直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大到小．8.函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面，增加间接的生活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，及有关角度、面积、体积、造价的问题，培养实际问题数学化的意识和能力．3 学科思想培优一、函数的定义域函数的定义域是指函数y ＝f (x )中自变量x 的取值范围．确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数的性质解决数学问题是中学数学的重要组成部分．所以熟悉函数定义域的求法，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用．[典例1] (1)函数f (x )＝x x -132＋(3x －1)0的定义域是( )A.)31,(-∞B.)131(，C.)3131(，-D.)31,(-∞∪)131(，(2)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是( )A.]25,0[ B ．[－1,4]C.[－5,5] D ．[－3,7] 【答案】(1)D (2)A【解析】(1)由题意，得⎩⎨⎧≠->-01301x x ，解得x <1且x ≠31.(2)设u ＝x ＋1，由－2≤x ≤3，得－1≤x ＋1≤4，所以y ＝f (u )的定义域为[－1,4]．再由－1≤2x －1≤4，解得0≤x ≤25，即函数y ＝f (2x －1)的定义域是]25,0[ 二、分段函数问题所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数．分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段上值域的并集．分段函数求值等问题是高考常考的问题．[典例2] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧≥--<+1,21,2x a x x a x 若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值_____．【答案】－43【解析】①当1－a <1，即a >0时，此时a ＋1>1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－23(舍去)； ②当1－a >1，即a <0时，此时a ＋1<1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－43，符合题意．综上所述，a ＝－43. 三、函数的单调性与奇偶性单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛．奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性可以缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．[典例3]设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y +=+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0x >时，()0f x >. （1）求(0)f 的值； （2）判断函数的奇偶性；（3）如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值范围.【解析】（1）令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =.（2）令y x =-，得(0)()()0f f x f x =+-=， ∴()()f x f x -=-，故函数()f x 是R 上的奇函数. （3）任取12,R x x ∈且12x x <，则210x x ->. ∵()()21f x f x -()()2111f x x x f x =-+- ()()()2111f x x f x f x =-+- ()210f x x =->，∴()()12f x f x <.故()f x 是R 上的增函数.∵112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()1111122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()(2)2f x f x ++<∴[]()(2)((2)(22)(1)f x f x f x x f x f ++=++=+<.又由()y f x =是定义在R 上的增函数，得221x +<，解得21x <-四、函数图象及应用函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于函数图象正确地画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．[典例4] 设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)． (1)证明：函数f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )的单调性； (4)求函数的值域．【解析】(1)证明：∵函数f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1 ＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数． (2)当0≤x ≤3时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2.当－3≤x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2.即f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧<≤--+≤≤--)03(2)1()30(,2)1(22x x x x 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．(3)函数f (x )的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f (x )在区间[－3，－1)和[0,1)上单调递减， 在[－1,0)和[1,3]上单调递增．(4)当0≤x ≤3时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2；当－3≤x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2.故函数f (x )的值域为[－2,2].五、幂函数的图象问题对于给定的幂函数图象，能从函数图象的分布、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．注意图象与函数解析式中指数的关系，能够根据图象比较指数的大小．[典例5] 如图是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在第一象限内的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A.a <b <c <dB.a <b <d <cC.b <a <c <dD.b <a <d <c 【答案】A【解析】由幂函数的图象特征可知，在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从下到上，相应的指数由小到大．故选A.六、函数模型及其应用建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤：(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x ，y 分别表示；(2)建立函数模型，将变量y 表示为x 的函数，此时要注意函数的定义域； (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．[典例6] 已知A ，B 两城市相距100 km ，在两地之间距离A 城市x km 的D 处修建一垃圾处理厂来解决A ，B 两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于10 km.已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为0.25.若A 城市每天产生的垃圾量为20 t ，B 城市每天产生的垃圾量为10 t ．(1)求x 的取值范围；(2)把每天的垃圾处理费用y 表示成x 的函数；(3)垃圾处理厂建在距离A 城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？ 【解析】(1)由题意可得x ≥10,100－x ≥10. 所以10≤x ≤90.所以x 的取值范围为[10,90]．(2)由题意，得y ＝0.25[20x 2＋10(100－x )2]，即y ＝215x 2－500x ＋25000(10≤x ≤90)． (3)由y ＝215x 2－500x ＋25000＝350000)3100(2152+-x (10≤x ≤90)，则当x ＝3100时，y 最小．即当垃圾处理厂建在距离A 城市3100km 时，才能使每天的垃圾处理费用最少．《第三章 函数的概念和性质》单元测试卷（一）基础测评卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝－3x ＋2，则f (2x ＋1)等于( B ) A ．－3x ＋2 B ．－6x －1 C ．2x ＋1 D ．－6x ＋5【答案】B【解析】在f (x )＝－3x ＋2中，用2x ＋1替换x ，可得f (2x ＋1)＝－3(2x ＋1)＋2＝－6x －3＋2＝－6x －1.2．函数1()f x x=的定义域是( )A ．RB ．[1,)-+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．[1,0)(0,)-+∞【答案】D【解析】由题意可得：10x +≥，且0x ≠，得到1x ≥-，且0x ≠，故选：D3．已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则函数()y f x =-的图象是（ ） A ．B ．C ． D ．【答案】A【解析】当0x =时，依函数表达式知2(0)(0)011f f -==+=，可排除B ；当1x =时，(1)(1)10f -=-+=，可排除C 、D ．故选A4．已知函数y ＝21,02,0x x x x ⎧+≤⎨->⎩，则使函数值为5的x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52- 【答案】C【解析】当0x ≤时，令5y =，得215x +=，解得2x =-；当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-，故选C.5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 （）A ．y 10x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．3y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．4y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D ．5y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时增加一名代表，即余数分别为7,8,9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，也可以用特殊取值法，若56,5x y ==，排除C ，D ，若57,6x y ==，排除A ，故选B ．6．设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝21，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( C )A ．0B ．1C ．25D ．5【答案】C【解析】令x ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (2)．∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝－f (1)＋f (2)，∴21＝－21＋f (2)，∴f (2)＝1.令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝21＋1＝23.令x ＝3，得f (5)＝f (2)＋f (3)＝257．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）A ．(3,7)-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()2,6-【答案】C【解析】当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<.故选：C 8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4等于( C )A ．－6B ．6C ．－8D ．8【答案】C【解析】f (x )在R 上是奇函数，所以f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )，故f (x )关于x ＝－2对称，f (x )＝m 的根关于x ＝－2对称，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4×(－2)＝－8.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列各组函数表示的是同一个函数的是( BD )A ．f (x )＝32x -与g (x )＝x ·x 2-B ．f (x )＝|x |与g (x )＝x 2C ．f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0D ．f (x )＝x x与g (x )＝x 0【答案】BD【解析】对于A ，f (x )＝32x -与g (x )＝x ·x 2-的对应关系不同，故f (x )与g (x )表示的不是同一个函数；对于B ，f (x )＝|x |与g (x )＝x 2的定义域和对应关系均相同，故f (x )与g (x )表示的是同一个函数；对于C ，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，故f (x )与g (x )表示的不是同一个函数；对于D ，f (x )＝x x与g (x )＝x 0的对应关系和定义域均相同，故f (x )与g (x )表示的是同一个函数．10．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是( BD )A ．f (x )＝x 1B ．f (x )＝－x 3C ．f (x )＝x |x |D ．f (x )＝－3x【答案】BD【解析】A ．f (x )＝x 1在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；对于B ，f (x )＝－x 3在定义域R 上是奇函数，且是减函数，∴满足题意，对于C ，f (x )＝x |x |＝⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x ，在定义域R 上是奇函数，且是增函数，∴不满足题意；对于D ，f (x )＝－3x 在定义域R 上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．故选BD ．11．已知函数f (x )＝31++-x x ，则( ABD ) A ．f (x )的定义域为[－3,1] B ．f (x )为非奇非偶函数 C ．f (x )的最大值为8 D ．f (x )的最小值为2【答案】ABD【解析】由题设可得函数的定义域为[－3,1]，f 2(x )＝4＋2×322+--x x＝4＋2×2)1(4+-x ，而0≤2)1(4+-x ≤2，即4≤f 2(x )≤8，∵f (x )＞0，∴2≤f (x )≤22，∴f (x )的最大值为22，最小值为2，故选ABD ．12．下列说法正确的是( )A ．若方程x 2＋(a －3)x ＋a ＝0有一个正实根，一个负实根，则a ＜0B ．函数f (x )＝2211x x -+-是偶函数，但不是奇函数C ．若函数f (x )的值域是[－2,2]，则函数f (x ＋1)的值域为[－3,1]D ．曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a (a ∈R)的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1【答案】AD【解析】设方程x 2＋(a －3)x ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1·x 2＝a <0，故A 正确；函数f (x )＝2211x x -+-的定义域为⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-010122x x ，则x ＝±1，∴f (x )＝0，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数，故B 不正确；函数f (x ＋1)的值域与函数f (x )的值域相同，故C 不正确；曲线y ＝|3－x 2|的图像如图，由图知曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a 的公共点个数可能是2,3或4，故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围【答案】11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a -<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<. 14．函数f (x )＝x x+-11的定义域为___，单调递减区间为___.【答案】(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，(－∞，－1)【解析】函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝)1)(1()22121x x x x ++-（＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(－1，＋∞)上为减函数；同理，可得f (x )在(－∞，－1)上也为减函数．15．函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且y ＝f (x )的图像经过点A (－2，－3)和B (1,3)，则不等式|f (2x －1)|<3的解集为____.【答案】1(,1)2-【解析】因为y ＝f (x )的图像经过点A (－2，－3)和B (1,3)，所以f (－2)＝－3，f (1)＝3.又|f (2x －1)|<3，所以－3<f (2x －1)<3，即f (－2)<f (2x －1)<f (1)．因为函数y ＝f (x )是R 上的增函数，所以－2<2x －1<1，即⎩⎨⎧<-->-112212x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧<->121x x ，所以－21<x <1.16．对于任意定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点．现给定一个实数a ∈(4,5)，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的不动点共有___个．【答案】2【解析】由定义，令x 2＋ax ＋1＝x ，则x 2＋(a －1)x ＋1＝0，当a ∈(4,5)时，Δ＝(a －1)2－4>0，所以方程有两根，相应地，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1(a ∈(4,5))有2个不动点．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知幂函数39*()m y x m N -=∈的图象关于y 轴对称且在()0,∞+上单调递减，求满足()()33132mm a a +<-－－的a 的取值范围.【解析】因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<， 解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2； 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以39m -为偶数，故1m =. 则原不等式可化为()()1133132a a +<-－－，因为13y x－＝在(),0-∞，()0,∞+上单调递减，所以1320a a +>->或3210a a -<+<或1032a a +<<-， 解得2332a <<或1a <-. 故a 的取值范围是1a <-或2332a <<. 18．(10分)已知函数21()1x f x x -=+（1）试判断函数在（-1，+∞）上的单调性，并给予证明；（2）试判断函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值 【解析】（1）∵()213211x y f x x x -===-++， ∴函数()f x 在()1，-+∞上是增函数， 证明：任取1x ，()21x ∈-+∞，，且12x x <， 则()()1212213333221111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()1212311x x x x -=++， ∵121x x -<<，∴120x x -<，()()12110x x ++>， ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1，-+∞上是增函数. （2）∵()f x 在()1，-+∞上是增函数， ∴()f x 在[3]5，上单调递增， 它的最大值是()25135512f ⨯-==+，最小值是()23153314f ⨯-==+． 19．(12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求函数f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．【解析】(1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.② ①－②得b ＝a ＋8.③将③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0.∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋21)2＋43＋18.图像的对称轴是直线x ＝－21.∵0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18，∴此时函数f (x )的值域是[12,18]．20．(12分)已知函数())1f x a =≠. （1）若0a >，求()f x 的定义域；（2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)当0a >且1a ≠时，由30ax -≥得3x a≤，即函数()f x 的定义域是3,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(2)当10a ->即1a >时，令3t ax =-要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1上为减函数，即0a -<，并且且310a -⨯≥，解得13a ；当10a -<即1a <时 ，令3t ax =-要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1为增函数，即0a -> 并且310a -⨯≥，解得0a <综上可知，所求实数a 的取值范围是()(],01,3-∞.21．(12分)已知函数f （x ）＝x mx+，且此函数图象过点（1，2）． （1）求实数m 的值；（2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（3）讨论函数f （x ）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论． 【解析】（1）∵函数f （x ）＝x mx+，且此函数图象过点（1，2）， ∴2＝1+m ， ∴m ＝1；（2）f （x ）＝x 1x +，定义域为：()()00-∞⋃+∞，，， 又f （﹣x ）＝﹣x 1x+=--f （x ）， ∴函数f （x ）是奇函数；（3）函数f （x ）在（0，1）上单调递减， 设0＜x 1＜x 2＜1， 则()()()()211212121212121212111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=+--=-+=-⋅⋅⋅， ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2﹣1＜0， ∴()()()1212121210x x f x f x x x x x --=-⋅＞， 即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，1）上的单调递减．22.(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好为51元？ (2)当销售商一次订购x 个零件时，该厂获得的利润为P 元，写出P ＝f (x )的表达式．【解析】(1)设每个零件的实际出厂价格恰好为51元时，一次订购量为x 0个，则60－0.02(x 0－100)＝51，解得x 0＝550，所以当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．(2)设一次订量为x 个时，零件的实际出厂单价为W ，工厂获得利润为P ，由题意P ＝(W －40)·x ，当0<x ≤100时，W ＝60；当100<x <550时，W ＝60－0.02(x －100)＝62－50x；当x ≥550时，W ＝51.当0<x ≤100时， f (x )＝(60－40)x ＝20x ；∴当100<x <550时， f (x )＝(22－50x )x ＝22x －501x 2；当x ≥550时， f (x )＝(51－40)x ＝11x .故f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥∈<<-∈≤<+++),550(,11),550100(5022),1000(202N x x x N x x x x N x x x《第三章 函数的概念和性质》单元测试卷（二）能力测评卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝x 1D ．y ＝x |x |【答案】D【解析】选项A 中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；选项B 中，函数为奇函数，但在定义域为减函数，不符合题意；选项C 中，函数为奇函数，但在定2．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点2，则下列结论正确的是( )A ．y ＝f (x )的定义域为[0，＋∞)B ．y ＝f (x )在其定义域上为减函数C ．y ＝f (x )是偶函数D ．y ＝f (x )是奇函数3．函数f (x )＝x x 2的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】：由题意知：x 2－x >0，解得x <0或x >1，∴函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．4．已知函数f (3x ＋1)＝x 2＋3x ＋1，则f (10)＝( ) A ．30 B ．19 C ．6 D ．20 【答案】B【解析】令x ＝3得f (10)＝32＋3×3＋1＝19.5．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A．(－∞，1] B．(－∞，－1) C．[1，＋∞) D．(－∞，1)【答案】A【解析】由于f(x)＝|x＋a|的零点是x＝－a，且在直线x＝－a两侧左减右增，要使函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则－a≥－1，解得a≤1.故选A.6．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：( ) A．475度 B．575度 C．595.25度 D．603.75度【答案】D【解析】不超过230度的部分费用为：230×0.5＝115；超过230度但不超过400度的部分费用为：(400－230)×0.6＝102,115＋102<380；设超过400度的部分为x，则0.8x＋115＋102＝380，∴x＝203.75，故用电603.75度．7．已知函数y＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是( )A．[0,1] B．[1,2] C．[0,2] D．[2,4]【答案】D【解析】∵函数f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5.又f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，∴实数m的取值范围是[2,4]，故选D.8．已知定义域为R的函数y＝f(x)在(0,4)上是减函数，又y＝f(x＋4)是偶函数，则( )A．f(2)<f(5)<f(7) B．f(5)<f(2)<f(7)C．f(7)<f(2)<f(5) D．f(7)<f(5)<f(2)【答案】B【解析】因为y＝f(x＋4)是偶函数，所以f(x＋4)＝f(－x＋4)，因此f(5)＝f(3)，f(7)＝f(1)，因为y＝f(x)在(0,4)上是减函数，所以f(3)<f(2)<f(1)，f(5)<f(2)<f(7)，选B.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，则α可能的值为( )A．－1 B．1 C．2 D．3【答案】BD【解析】当α＝－1时，幂函数y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，A不符合；当α＝1时，幂函数y＝x，符合题意；当α＝2时，幂函数y＝x2的定义域为R且为偶函数，C不符合题意；当α＝3时，幂函数y＝x3的定义域为R且为奇函数，D符合题意．故选BD.10．某工厂八年来某种产品总产量y(即前x年年产量之和)与时间x(年)的函数关系如图，下列五种说法中正确的是( )A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢C．第三年后，这种产品停止生产D．第三年后，年产量保持不变【答案】AC【解析】由题中函数图象可知，在区间[0,3]上，图象是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确；由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误；在[3,8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，因此C正确，D错误，故选AC.11．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f (x )＝x －[x ]，则下列命题中正确的是( )A ．f (－3.9)＝f (4.1)B ．函数f (x )的最大值为1C ．函数f (x )的最小值为0D ．方程f (x )－21＝0有无数个根值可能是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】ABC【解析】函数y ＝x 2－4x －4的部分图象如图，f (0)＝f (4)＝－4，f (2)＝－8.因为函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，所以m 的取值范围是[2,4]，故选ABC.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝12+++bx x a x 在[－1,1]上是奇函数，则f (x )的解析式为________．14．已知幂函数()221()33mm f x m m x--=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 值为_____.【答案】2【解析】由题意可知2233110m m m m ⎧-+=⎪⎨-->⎪⎩，解得2m =，故答案为：215．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()11f =，则()()()678f f f ++的值为_______．【答案】1-【解析】由于定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()4f x f x +=，则该函数是周期为4的周期函数，且()11f =，则()()800f f ==，()()()7111f f f =-=-=-，()()()622f f f =-=，又()()22f f -=-，()20f ∴=，则()60f =，因此，()()()6781f f f ++=-. 16.已知函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，()()23x f x g x +=⋅.则函数()f x =__________；关于x 不等式()()2240g x x g x ++->的解集__________．【答案】33x x -+ ()(),41,-∞-+∞【解析】函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数， ∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-，又()()23xf xg x +=⋅，…①∴()()23xf xg x --+-=⋅， 即()()23xf xg x --=⋅，…②由①②求得函数()33x x f x -=+，()33x xg x -=-. 易知()33x xg x -=-是定义域R 上的单调增函数，所以不等式()()2240g x x g x ++->可化为()()()2244g x x g x g x +>--=-，即224x x x +>-，整理得2340x x +->， 解得4x <-或1x >， 所以不等式的解集为()(),41,-∞-+∞， 故答案为33x x -+，()(),41,-∞-+∞四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝61x -，(1)求函数f(x)的定义域； (2)求f(－1), f(12)的值．【解析】(1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0，∴x≥－4且x≠1， 即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．(2) ()6132f -==---f(12)＝66412111-=--＝3811-. 18.(12分)已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)·x m －1为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )－ax －3在[1,3]上不是单调函数，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)由题意得m 2－5m ＋7＝1， 即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或m ＝3. 又f (x )为偶函数，所以m ＝3，此时f (x )＝x 2.(2)由(1)知，g (x )＝x 2－ax －3，因为g (x )＝x 2－ax －3在[1,3]上不是单调19．(12分)已知函数()2f x x =+， (1)若该函数在区间()-2∞，+上是减函数，求a 的取值范围. (2)若1a =-，求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值． 【解析】（1）因为函数()212112()222a x a ax af x a x x x ++-+-===++++在区间(2,)-+∞上是减函数,所以120a ->,解得12a <, 所以a 的取值范围1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）当1a =-时，13()122x f x x x -+==-+++，则()f x 在(),2-∞-和()2,-+∞上单调递减，因为[](),,421⊆-+∞，所以()f x 在[]1,4的最大值是()111012f -+==+，最小值是()4114422f -+==-+， 所以该函数在区间[]1,4上的最大值为0，最小值为12-．20.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2x ．（1）现已画出函数f （x ）在y 轴左侧的图象，如图所示，请补全函数f （x ）的图象；（2）求出函数f （x ）（x ＞0）的解析式；（3）若方程f （x ）＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 【解析】函数f(x)的图象如下：（2）因为f(x)为奇函数，则f(-x)=- f(x)∴当x 0>时，x 0-<∴f(-x)=- f(x)=()()2222x x x x ⎡⎤-+-=-⎣⎦故f(x)()220x x x =-+>（3）由（1）中图象可知：y=f(x)与y=a 的图象恰好有三个不同的交点1a ∴-<<121．已知函数2()4f x x =+. （1）设()()f x g x x=，根据函数单调性的定义证明()g x 在区间[2,)+∞上单调递增；（2）当0a >时，解关于x 的不等式2()(1)2(1)f x a x a x >-++.【解析】（1）由题意得，124(),,[2,)g x x x x x=+∀∈+∞，且12x x <，则()()()()()121212121212121244444x x x x g x g x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由212x x >≥，得12120,40x x x x -<->.于是()()120g x g x -<，即()()12g x g x <所以函数()g x 在区间[2,)+∞上单调递增（2）原不等式可化为22(1)40ax a x -++>.因为0a >，故2(2)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭. （i ）当22a <,即1a >时，得2x a <或2x >. （ii ）当22a=,即1a =时，得到2(2)0x ->,所以2x ≠；（iii ）当22a >，即01a <<时，得2x <或2x a >.综上所述，当01a <<时，不等式的解集为2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，不等式的解集为(,2)(2,)-∞⋃+∞；当1a >时，不等式的解集为2,(2,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭22． 2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。

第三章　函数的概念与性质（单元检测卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数y ＝－x 2＋2x ＋3的定义域为( )A.[－3，1] B.[－1，3]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)2.已知函数y ＝f(x ＋1)定义域是[－2，3]，则函数y ＝f(x －1)的定义域是( )A.[0，5] B.[－1，4]C.[－3，2]D.[－2，3]3.已知函数f(x)＝Error!若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a 的取值范围是( )A.[－1，1] B.[－2，0]C.[0，2]D.[－2，2]4.设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f ＝13，则f ＝( )A.－53B.－13C.13D.535.二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( )A .y ＝－14x 2＋1B.y ＝14x 2－1C .y ＝4x 2－16 D.y ＝－4x 2＋166.拟定从甲地到乙地通话m min的话费(单位：元)符合f(m)＝{3.71，0＜m ≤4，1.06×(0.5×[m]＋2)，m ＞4，其中[m]表示不超过m 的最大整数，从甲地到乙地通话5.2min 的话费是A.3.71元 B.4.24元C.4.77元D.7.95元7.若函数f(x)在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )A.f(a)＞f(2a) B.f(a 2)＜f(a)C.f(a 2＋a)＜f(a)D.f(a 2＋1)＜f(a 2)8.若函数f (x)是奇函数，且当x>0时，f (x)＝x 3＋x ＋1，则当x<0时，f (x)的解析式为( )A .f (x)＝x 3＋x －1B .f (x)＝－x 3－x －11()3 5()3C .f (x)＝x 3－x ＋1D .f (x)＝－x 3－x ＋1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( )A .f (3)＝9 B.f (－3)＝4C .f (x)＝x 2D.f (x)＝(x ＋1)210.函数f(x)的图象是折线段ABC ，如图所示，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(－1，2)，(1，0)，(3，2)，以下说法正确的是( )A.f(x)＝Error!B.f(x －1)的定义域为[－1，3]C.f(x ＋1)为偶函数D.若f(x)在[m ，3]上单调递增，则m 的最小值为111.下列说法正确的是( )A.若幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为y ＝x -3B.若函数f(x)＝，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减C.幂函数y ＝x α(α＞0)始终经过点(0，0)和(1，1)D.若函数f(x)＝x ，则对于任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)有f(x 1)＋f(x 2)2≤f 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．12.设f(x)＝11－x，则f(f(x))＝__________13.已知二次函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为________14.若函数f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a]，则a ＝________，b ＝________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1(,2)845x-12x x ()2+15.（13分）已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m-1(m∈R)为偶函数．(1)求f的值；(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．16.（14分）已知函数f(x)＝Error!(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数的图象．17.（16分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝{400x－12x2，0≤x≤400，80 000，x＞400，其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)18.（16分）已知函数f(x)＝x21＋x2＋1，x∈R．1 () 2(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)求f(x)＋f 的值；(3)计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f ＋f ＋f ．19.（18分）已知二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4．(1)若a ＝2，求f(x)在[－2，3]上的最值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上单调单减，求实数a 的取值范围；(3)若x ∈[1，2]，求函数f(x)的最小值．参考答案及解析：一、单选题1()x 1()21()31()41.B 解析：由题意，令－x 2＋2x ＋3≥0，即x 2－2x －3≤0，解得－1≤x ≤3，所以函数的定义域为[－1，3]．故选B ．2.A 解析：由题意知－2≤x ≤3，所以－1≤x ＋1≤4，所以－1≤x －1≤4，得0≤x ≤5，即y ＝f(x －1)的定义域为[0，5]．3.D 解析：依题意，可得Error!或Error!或Error!解得－2≤a ≤2．4.C 解析：由题意，f ＝f ＝f ＝－f ＝－f ＝－f ＝f ＝13．5.B 解析：把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B 正确．故选B ．6.C 解析：f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(0.5×5＋2)＝4.77．7.D 解析:因为f(x)是R 上的减函数，且a 2＋1＞a 2，所以f(a 2＋1)＜f(a 2)．故选D ．8.A 解析：∵函数f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，当x<0时，－x>0，∵x>0时，f (x)＝x 3＋x ＋1，∴f (－x)＝(－x)3－x ＋1＝－x 3－x ＋1，∴－f (x)＝－x 3－x ＋1，∴f (x)＝x 3＋x －1．即x<0时，f (x)＝x 3＋x －1．故选A ．二、多选题9.BD 解析：令t ＝2x －1，则x ＝t ＋12，∴f (t)＝4＝(t ＋1)2．∴f (3)＝16，f (－3)＝4，f (x)＝(x ＋1)2．故选BD ．10.ACD 解析：由图可得当－1≤x ＜1时，图象过(1，0)，(－1，2)两点，设f(x)＝kx ＋b ，∴Error!解得Error!＝－x ＋1，当1≤x ≤3时，根据图象过点(1，0)，(3，2)，同理可得f(x)＝x －1，∴f(x)＝Error!A 正确；由图可得f(x)的定义域为[－1，3]，关于x ＝1对称，∴f(x －1)的定义域为[0，4]，f(x ＋1)为偶函数，即B 错误，C 正确；当f(x)在[m ，3]上单调递增，则1≤m ＜3，故m 的最小值为1，D 正确．故选ACD ．11.CD 解析：若幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为y ＝，故A 错误；函数f(x)＝是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故在(－∞，0)上单调递增，故B 错误；幂函数y ＝x α(α＞0)始终经过点(0，0)和(1，1)，故C 正确；对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，要证f(x 1)＋f(x 2)2≤f ，即x 1＋x 22≤x 1＋x 22，即x 1＋x 2＋2x 1x 24≤x 1＋x 22，即(x 1－x 2)2≥0，易知成立，故D 正确．三、填空题5()32(1)3+2()3-2(31[1(3+-1()31()3-2t 1()2+1(,2)813x -45x -12x x ()2+12.答案：x －1x (x ≠0且x ≠1)解析：f(f(x))＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x ．13.答案：－3或38解析：f(x)的对称轴为直线x ＝－1．当a ＞0时，f(x)max ＝f(2)＝4，解得a ＝38；当a ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝4，解得a ＝－3．综上所述，a ＝38或a ＝－3．14.答案：13，0解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13．又函数f(x)＝13x 2＋bx＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，则－b2×73＝0，易得b ＝0．四、解答题15.解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或m ＝3．当m ＝2时，f(x)＝x -3是奇函数，所以不满足题意，所以m ＝2舍去；当m ＝3时，f(x)＝x -4，满足题意，所以f(x)＝x -4．所以f ＝＝16．(2)由f(x)＝x -4为偶函数且f(2a ＋1)＝f(a)，得|2a ＋1|＝|a|，即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，解得a ＝－1或a ＝－13．16.解：(1)因为5＞4，所以f(5)＝－5＋2＝－3．因为－3＜0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1．因为0＜1＜4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f(f(f(5)))＝－1．(2)图象如图所示．1()241()217.解：(1)设月产量为x 台，则总成本为(20 000＋100x)元，从而f(x)＝{－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400．(2)当0≤x ≤400时，f(x)＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，f(x)max ＝25 000．当x ＞400时，f(x)＝60 000－100x 单调递减，f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000．所以当x ＝300时 ，f(x)max ＝25 000，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．18.解：(1)f(x)是偶函数，理由如下．f(x)的定义域为R ，关于y 轴对称．因为f(－x)＝(－x)21＋(－x)2＋1＝x 21＋x 2＋1＝f(x)，所以f(x)＝x 21＋x 2＋1是偶函数．(2)因为f(x)＝x 21＋x 2＋1，所以f ＝＋1＝1x 2＋1＋1，所以f(x)＋f ＝3．(3)由(2)可知f(x)＋f ＝3，又因为f(1)＝32，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋ff ＋f ＋f ＝f(1)＋＝32＋3×3＝21219.解：(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2－2x ＋4，x ∈[－2，3]，因为f(x)的对称轴为x ＝1，所以f(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以当x ＝1时，f(x)取得最小值为f(1)＝1－2＋4＝3，当x ＝－2时，f(x)取得最大值为f(－2)＝22＋4＋4＝12．1()x 221()x 11()x +1(x 1()x 1()21()31()4111[f (2)f ()][f (3)f ()][f (4)f ()]234+++++(2)二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4的对称轴为x ＝a －1，f(x)在区间(－∞，2]单调递减，则a －1≥2，解得a≥3．所以实数a 的取值范围为[3，＋∞)．(3)二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4的对称轴为x ＝a －1，当a －1≤1，则a≤2，此时f(x)在[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1－2(a －1)＋4＝7－2a ．当1＜a －1＜2，则2＜a ＜3，此时f(x)在[1，a －1]上单调递减，在[a －1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(a －1)＝(a －1)2－2(a －1)2＋4＝－a 2＋2a ＋3．当a －1≥2，则a ≥3，此时f(x)在[1，2]上单调递减，所以f(x)min ＝f(2)＝22－4(a －1)＋4＝12－4a ．综上，f(x)min ＝{7－2a ，a ≤2，－a 2＋2a ＋3，2＜a ＜3，12－4a ，a ≥3．。

一、选择题1．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()(1)ln f x x -=+，则()1f =（ ） A ．ln 2-B ．ln 2C ．0D ．12．已知m R ∈，若函数()||x m f x e +=对任意x ∈R 满足()()20212120f x f x -=-，则不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是（ ） A ．[)1,,e e⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)10,,e e⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．[),e +∞3．已知函数()x xf x e e -=-，则不等式()()2210f xf x +--<成立的一个充分不必要条件为（ ） A ．()2,1- B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭4．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：()cosh x f x c a c a =+=2xxa ae e a -++⋅（e 为自然对数的底数）．当0c ，1a =时，记(1)p f =-，12m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2)n f =，则p ，m ，n 的大小关系为（ ）．A ．p m n <<B ．n m p <<C ．m p n <<D ．m n p <<5．对于实数a 和b ，定义运算“*”：,,,.b a b a b a a b ≤⎧*=⎨>⎩设()f x x =，()224g x x x =--+，则()()()M x f x g x =*的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，那么（ ） A ．可能不存在单调区间 B ．()f x 是R 上的增函数 C ．不可能有单调区间 D ．一定有单调区间7．函数()||f x x x a =-在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[222,0)--B ．(0,222]-C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．[222,1)-8．定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x <时，3(4)f x x =+，则(1),(2),()f f f π的大小关系是（ ） A ．(1)(2)()f f f π<< B ．(1)()(2)f f f π<< C ．()(1)(2)f f f π<<D ．()(2)(1)f f f π<<9．函数()21x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设函数()()1xf x x R x=-∈+，区间[,]M a b =，集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使M N 成立的实数对(,)a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个11．函数f (x )＝2112x x ---的值域为( ) A ．[－43,43] B ．[－43,0] C ．[0,1]D ．[0,43] 12．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（ ） A ．2()23f x x x =-++B ．||()2x f x -=C ．24()4x f x x =+D ．()|1|||f x x x =+-14．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()D x 的值域为[0,1]B ．()D x 是偶函数C ．()(3.14)D D π>D ．()D x 是单调函数15．函数3e e x xxy -=+（其中e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题16．已知定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上是严格增函数，如果(1)(2)f ax f +≤对于任意[]1,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________17．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-.(1)在坐标系中画出函数()f x 在R 上的完整图象； (2)求函数()f x 在R 上的解析式.18．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：对任意()0,x ∈+∞，恒有()()2 2 f x f x =成立；当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论：①对任意m ∈Z ，都有()20mf =；②函数()y f x =的值域为[)0,+∞； ③存在n ∈Z ，使得()219nf +=；④“函数()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得()1(,)2,2k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是__________19．函数22y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ，则b a -最小值为__________．20．已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，若对任意1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是_____.21．若函数()f x 在定义域D 内的某区间M 上是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”.已知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是“弱增函数”，则实数a 的值为______. 22．已知函数12()log f x x a =+，g （x ）＝x 2-2x ，若11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f（x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是________．23．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )ln 2(1)f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，那么t 的取值范围是__________．24．设函数()222cos 2()x x e f x x e ππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，其中e 为自然对数的底数，则2020(1)M m +-的值为________.25．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足x R ∀∈，都有()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，则()15f =______.26．已知函数()1lg11xf x x-=++，若()4f m =，则()f m -=______.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由函数的奇偶性可得()()11f f =--，进而计算即可得解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 当0x ≤时，()(1)ln f x x -=+∴()()11ln[(1)1]ln 2f f =--=---+=-.故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查函数奇偶性的应用，解题思路如下： （1）根据奇函数的定义，可知(1)(1)=--f f ； （2）根据题中所给的函数解析式，求得函数值； （3）最后得出结果.2．C解析：C 【分析】先判断函数为偶函数，根据奇偶性求得0m =，将原不等式化为ln x e e ≥，等价于ln 1x ≥，进而可得答案.【详解】设2021x t -=，()()()()20212120f x f x f t f t -=-⇒=-， 所以()||x m f x e+=是偶函数，则||||x m x m e e +-+=恒成立，即()()2240x m x m x m x m mx +=-+⇔+=-+⇔=对任意x ∈R 恒成立， 所以0m =⇒()||x f x e =，因为11lnln ln x x x-==-， 所以()1ln ln2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即为()()ln ln 2f x f x e +-≥， ()()ln 2ln 2ln xf x e f x e ee ≥⇒≥⇒≥，因为xy e =为增函数，所以可得ln 1x ≥，则ln 1x ≥或ln 1x ≤-， 解得x e ≥或10x e <≤， 即不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是[)10,,e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.3．B解析：B 【分析】根据解析式可判断出()f x 是定义在R 的增函数且是奇函数，不等式可化为()()221f x f x <+，即得221x x <+，解出即可判断.【详解】可得()f x 的定义域为R ，x y e =和x y e -=-都是增函数，()f x ∴是定义在R 的增函数，()()x x f x e e f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，则不等式()()2210f x f x +--<化为()()()2211f xf x f x <---=+，221x x ∴<+，解得112x -<<，则不等式成立的充分不必要条件应是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的真子集， 只有B 选项满足. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出()f x 是增函数且是奇函数，从而将不等式化为()()221f xf x <+求解.4．C解析：C 【分析】先利用导数证明函数()f x 在区间0,上单调递增，再结合单调性比较大小即可.【详解】由题意知，()2x x e e f x -+=，21()22x x x xe e ef x e--+-'== 当0x >时，()0f x '>，即函数()f x 在区间0,上单调递增1(1)(1)2e ef f -+-==10122<<<，1(1)(2)2f f f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭，即m p n << 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用导数证明函数()f x 的单调性，再结合单调性比较大小.5．B解析：B 【分析】由题意可得()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩，通过解不等式得出()()2241,x x x M x x x ⎧⎤--+∈⎪⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎪∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎩，作出函数()M x 的图象，根据函数图象可得答案. 【详解】由条件有()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩当0x ≥时，()224g x x x x =--+≥，得到01x ≤≤， 即01x ≤<时，()()f x g x <，当1x >时，()()f x g x > 当0x <时，()224g x x x x =--+≤-，得117x --≤即当117x --≤时，()()f x g x >，当1170x --<<时，()()f x g x <所以()()211724,1117,1,x x x M x x x ⎧⎡⎤----+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫--⎪∈-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩作出函数()M x 的图象，如图所示，由图可得，当1x =时，()M x 有最小值1 故选：B6．A解析：A 【分析】根据题意，举出两个满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭的例子，据此分析选项可得答案. 【详解】根据题意，函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭， 则()f x 的解析式可以为：()2,1 1.51,0.510,00.5x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩，满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，不是增函数，没有单调区间，也可以为()f x x =，满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭， 是增函数，其递增区间为R ，则()f x 可能存在单调区间，也可能不存在单调区间， 则A 正确；BCD 错误； 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查函数单调性的定义，构造反例是解决本题的关键.7．D解析：D 【分析】转化条件为22,(),x ax x af x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩，结合二次函数的图象与性质，作出分段函数的图象，数形结合结合可得()0112a a f f <<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即可得解. 【详解】由题意，函数22,(),x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，函数2y x ax =-+的图象开口朝下，对称轴为2ax =， 函数2y x ax =-的图象开口朝上，对称轴为2a x =， 当0a =时，22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，函数在R 上单调递增，不合题意；当0a <时，作出函数图象，如图，易得函数在区间(0,1)上无最值； 当0a >，作出函数图象，如图，若要使函数()f x 在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则()0112a a f f <<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩即2201122a a a a <<⎧⎪⎨⎛⎫-≤-+⎪⎪⎝⎭⎩，解得2221a ≤<； 综上，实数a 的取值范围是[222,1).故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用二次函数的性质作出分段函数()f x 的图象，结合图象数形结合即可得解.8．A解析：A 【分析】根据函数奇偶性先将0x >时的解析式求解出来，然后根据0x >时函数的单调性比较出(1),(2),()f f f π的大小关系.【详解】当0x >时，0x -<，所以()43f x x -=-+，又因为()f x 为奇函数，所以()()43f x f x x -=-=-+，所以()43f x x =-， 显然0x >时，()43f x x =-是递增函数，所以()()()12f f fπ<<， 故选：A.【点睛】思路点睛：已知函数奇偶性，求解函数在对称区间上的函数解析式的步骤：（1）先设出对称区间上x 的取值范围，然后分析x -的范围；（2）根据条件计算出()f x -的解析式；（3）根据函数奇偶性得到()(),f x f x -的关系，从而()f x 在对称区间上的解析式可求. 9．D解析：D【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出合适的选项.【详解】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()2211x x f x f x x x----===-， 函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、C 选项； 当0x >时，()211x f x x x x-==-，因为y x =，1y x =-在区间()0,∞+上都是增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，排除A 选项，故选：D.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10．A解析：A【分析】由已知中函数()()1||x f x x R x =-∈+，我们可以判断出函数的奇偶性及单调性，再由区间[M a =，]()b a b <，集合{|()N y y f x ==，}x M ∈，我们可以构造满足条件的关于a ，b 的方程组，解方程组，即可得到答案．【详解】x R ∈，()()1x f x f x x -==-+，()f x ∴为奇函数， 0x 时，1()111x f x x x -==-++，0x <时，1()111x f x x x-==--- ()f x ∴在R 上单调递减函数在区间[a ，]b 上的值域也为[a ，]b ，则()(),f a b f b a ==，即1a b a -=+，1b a b-=+，解得0a =，0b = a b <，使M N 成立的实数对(,)a b 有0对故选：A【点睛】本题考查的知识点是集合相等，函数奇偶性与单调性的综合应用，其中根据函数的性质，构造出满足条件的关于a ，b 的方程组，是解答本题的关键．11．C解析：C【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈，则sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，21x -sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合. 12．B解析：B【分析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项.【详解】()22,12222,1x xx x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.13．B解析：B【分析】根据函数解析式，利用根式非负性、绝对值的区间讨论、分式的性质求值域，即可判断正确选项.【详解】A 选项：22023(1)44x x x ≤-++=--+≤，所以0()2f x ≤≤，值域跨度为2；B 选项：||0x -≤，所以0()1f x <≤，值域跨度不为2；C 选项：当0x =时()0f x =；当0x >时，244()144x f x x x x ==≤=++；当0x <时，244()144()()x f x x x x ==-≥=-+-+-；故1()1f x -≤≤，值域跨度为2； D 选项：1,0()21,101,1x f x x x x ≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪-<-⎩，故1()1f x -≤≤，值域跨度为2；故选：B【点睛】本题考查了根据解析式求值域，注意根式、指数函数、对勾函数、绝对值的性质应用，属于基础题.14．B解析：B【分析】计算函数值域为{}0,1A 错误，根据偶函数定义知B 正确，()0D π=，(3.14)1D =，C 错误，()()011D D ==，故D 错误，得到答案.【详解】根据题意：()D x 的值域为{}0,1，A 错误；当x 为有理数时，x -为有理数，()()D x D x =-，当x 为无理数时，x -为无理数，()()D x D x =-，故函数为偶函数，B 正确； ()0D π=，(3.14)1D =，C 错误；()()011D D ==，故D 错误.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 15．A解析：A【分析】由函数的奇偶性排除B ；由0x >的函数值，排除C ；由当x →+∞时的函数值，确定答案.【详解】由题得函数的定义域为R , 因为3()()x x x f x f x e e---==-+，所以函数是奇函数，所以排除B ； 当0x >时，()0f x >，所以排除C ； 当x →+∞时，()0f x →，所以选A .故选：A【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找图象的差异，再用解析式验证得解.二、填空题16．【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反结合已知可得在R 上是增函数进而可将对于任意恒成立转化为对任意都成立进而可得最后结合函数的单调性可得实数a 的取值范围【详解】因为定义在R 上的偶函数在上是严格增函 解析：31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反结合已知可得()y f x =在R 上是增函数，进而可将(1)(2)f ax f +≤对于任意[]1,2x ∈恒成立，转化为12ax +≤对任意[]1,2x ∈都成立，进而可得31a x x-≤≤，最后结合函数的单调性可得实数a 的取值范围 【详解】因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上是严格增函数，因为(1)(2)f ax f +≤对任意[]1,2x ∈都成立， 所以12ax +≤对任意[]1,2x ∈都成立，即212ax -≤+≤对任意[]1,2x ∈都成立， 变形可得31a x x-≤≤， 由函数3y x =-在[]1,2为增函数，1y x =在[]1,2上为减函数， 故31max min a x x ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以31,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】 关键点睛：本题的解题关键是由函数为偶函数得出12ax +≤，进而结合单调性求出a 的取值范围.17．（1）图象答案见解析；(2)【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称先作出当时的图像在作出它关于原点的对称图像即可；(2)先用代入法求在的解析式在合并在一起写成分段函数即可【详解】解：(1)图像如图解析：（1）图象答案见解析；(2)(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. 【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称，先作出当0x ≥时，()()1f x x x =-的图像，在作出它关于原点的对称图像即可；(2)先用代入法求()f x 在0x <的解析式，在合并在一起写成分段函数即可．【详解】解：(1) 图像如图示．(2)设0x <，则0x ->，所以()(1())(1)f x x x x x -=---=-+，又因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-.所以当0x <，()()1f x x x =+，综上()f x 的解析式为：(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩． 【点睛】函数奇偶性的应用：(1) 利用奇偶性求函数值；(2) 利用奇偶性画图像；(3) 利用奇偶性求函数的解析式．18．①②④【分析】根据函数递推关系计算判断①求出时函数的值域然后由递推关系确定函数在上的值域判断②④解方程判断③【详解】①由题意又∴依此类推可得是负整数时设∴时①正确；②又当时时∴时的值域是又时依此类推解析：①②④【分析】根据函数递推关系计算(2)m f ，判断①．求出(1,2]x ∈时，函数的值域，然后由递推关系确定函数在(0,)+∞上的值域，判断②④．解方程()219n f +=判断③．【详解】①由题意(2)220f =-=，又()()2 2 f x f x =，∴2(2)2(2)f f =，322(2)2(2)2(2)f f f ==，依此类推可得1(2)2(2)0m m f f -==，*m N ∈，1(1)(2)02f f ==，m 是负整数时，设,*m k k N =-∈，11111111(2)()()()(1)0222222k k k k k f f f f f ---======，∴m Z ∈时，(2)0m f =，①正确；②(1,2]x ∈，()2[0,1)f x x =-∈，又(2)2()f x f x =，当(2,4]x ∈时，()2()[0,2)2x f x f =∈， 1(2,2]n n x +∈时，()2()[0,2)2n n n x f x f =∈，∴1x >时，()f x 的值域是[0,1)[0,2)[0,2)[0,)n =+∞，又1(,1]2x ∈时，11()(2)[0,)22f x f x =∈，依此类推01x <<时，都有()0f x ≥，综上()f x 在(0,)+∞上的值域是[0,)+∞．②正确；③当0n ≤且n Z ∈时，(21)2(21)121n n n f +=-+=-<，不可能等于9，当*n N ∈时，()11121212(1)221219222n n n n n n n n f f f ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+=+=⨯--=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，210n =，与n Z ∈矛盾．③错误； ④根据函数上面的推导知()f x 在1(2,2]n n +上单调递减，1(2)0n f +=，n Z ∈，因此函数()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数的充要条件是存在k ∈Z ，使得()1(,)2,2k k a b +⊆，④正确．故答案为：①②④．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的定义，考查函数的单调性与值域，分段函数值的计算．关键在求函数的值域．我们在1x >时，通过函数性质(2)2()f x f x =得出()f x 在1(2,2]n n +的值域是[0,2)n ，然后由这无数的集合求并集得出1x >时函数值的取值范围． 19．【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取 解析：32- 【分析】22()2(1)1g x x x c x c =--=---，对称轴是1x =，因此()g x 的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论，当02a <<时，在(0)g ，(1)g 中取得，2a ≥时，在(1)g ，()g a 中取得．求出b ，然后作差b a -，根据不等式的性质求得b a -的最大值．【详解】设22()2(1)1g x x x c x c =--=---，(0)g c =-，(1)1g c =--，2()2g a a a c =--，()g x 的对称轴是1x =，显然()y g x =的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得． 当02a <<时，10c --≥，1c ≤-时，(0)b g c c ==-=-，此时b a c a -=--121>-=-，10c --<，若1c c --≤-，即112c -<≤-时，(0)b g c c ==-=-，13222b ac a -=-->-=-，若1c c -->-，12c >-时，(1)111b g c c c ==--=+=+，1311222b ac a -=+->--=-， 若2a ≥时， 若212c a a c --≤--，即2212a a c --≤时，22()22b g a a a c a a c ==--=--， 222221(2)3333222a a a b a a a c a a -----=--≥--=≥-，2a =时取等号， 若212c a a c -->--，即2212a a c -->时，(1)11b g c c ==--=+1c =+，222141311222a a a ab ac a a ---+-=+->+-=≥-，2a =时取等号． 综上所述，b a -的最小值是32-． 故答案为：32-． 【点睛】方法点睛：本题考查绝对值的最大值问题，解题关键是求出最大值b ，方法是分类讨论，由于有绝对值符号，引入二次函数2()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论求得最大值．才可以作差b a -得其最小值．20．【分析】由题可知在区间上函数的值域为值域的子集从而求出实数的取值范围【详解】函数的图象开口向上对称轴为时的最小值为最大值为的值域为为一次项系数为正的一次函数在上单调递增时的最小值为最大值为的值域为对 解析：[3,)+∞【分析】由题可知，在区间[]1,2-上函数1()f x 的值域为2()g x 值域的子集，从而求出实数a 的取值范围.【详解】函数()22f x x x =-的图象开口向上，对称轴为1x =， ∴[]11,2x ∈-时，()f x 的最小值为(1)1f =-，最大值为(1)3f -=，1()f x 的值域为[1,3]-.()2(0)g x ax a =+>为一次项系数为正的一次函数，在[]1,2-上单调递增，∴[]11,2x ∈-时，()g x 的最小值为(1)2g a -=-+，最大值为(2)22g a =+， 2()g x 的值域为[2,22]a a -++.对任意1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x =，∴在区间[]1,2-上，函数1()f x 的值域为2()g x 值域的子集，∴212230a a a -+≤-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩解得3a ≥故答案为：[3,)+∞.【点睛】本题考查函数的值域，考查分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的正确理解，确定两个函数值域之间的关系.21．4【分析】由在上的单调性求出a 的一个范围再令则在上是减函数分类讨论根据的单调性求参数a 的范围两范围取交集即可得解【详解】由题意可知函数在上是增函数解得令则在上是减函数①当时在上为增函数不符合题意；② 解析：4【分析】由()g x 在(]0,2上的单调性求出a 的一个范围，再令()()f x h x x=，则()h x 在(]0,2上是减函数，分类讨论根据()h x 的单调性求参数a 的范围，两范围取交集即可得解.【详解】由题意可知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是增函数， 402a -∴≤，解得4a ≤， 令()()4f x a x a x x h x +==+-，则()h x 在(]0,2上是减函数， ①当0a ≤时，()h x 在(]0,2上为增函数，不符合题意；②当0a >时，由对勾函数的性质可知()h x在上单调递减，2≥，解得4a ≥，又4a ≤，4a ∴=.故答案为：4【点睛】本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性，属于中档题.22．01【分析】当时当时由使得f （x1）＝g （x2）等价于解不等式即可得解【详解】当时当时由使得f （x1）＝g （x2）则可得：解得故答案为：【点睛】本题考查了求函数值域考查了恒成立和存在性问题以及转化思解析：[0，1]【分析】 当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），等价于[][]1,21,3a a -++⊆-，解不等式即可得解.【详解】 当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-， 由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2）， 则[][]1,21,3a a -++⊆-，可得：1123a a -≤-+⎧⎨+≤⎩， 解得01a ≤≤，故答案为：01a ≤≤.【点睛】本题考查了求函数值域，考查了恒成立和存在性问题以及转化思想，有一定的计算量，属于中档题.23．【解析】试题分析：因为函数是定义在上的偶函数所以由考点：奇偶性与单调性的综合应用 解析：1.t e e<< 【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(ln 1)(ln )(ln )(ln ),f t f t f t f t =-==由(ln )(ln 1)2(1)2(ln )2(1)(ln )(1)ln 11ln 11.f t f t f f t f f t f t t e t e +<⇒<⇒<⇒<⇒-<<⇒<<考点：奇偶性与单调性的综合应用24．1【分析】函数然后根据奇偶性的性质可求解然后得出的值【详解】函数令则即为奇函数故所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性及应用难度一般灵活转化是关键解析：1【分析】函数()()22sin 21x ex f x x eπ+=++，然后根据奇偶性的性质可求解M m +，然后得出2020(1)M m +-的值.【详解】函数()()()2222222cos sin 22x x e x x e ex f x x e x e πππ⎛⎫-++ ⎪+++⎝⎭==++ ()22sin 21x ex x e π+=++， 令()()22sin 2x ex g x x e π+=+，则()()()()2222sin 2sin 2x ex x ex g x g x x e x e ππ+---===-++， 即()g x 为奇函数，故()()max min 0g x g x +=所以()()max min 112M m g x g x +=+++=，所以()202011M m +-=.故答案为：1.【点睛】本题考查函数的奇偶性及应用，难度一般，灵活转化是关键. 25．【分析】根据函数为奇函数有结合可得是以4为周期的周期函数将所求函数值转化成已知解析式区间上的函数值即可求解【详解】由函数是定义在上的奇函数则又所以则所以是以4为周期的周期函数所以故答案为：【点睛】考 解析：1-【分析】根据函数为奇函数有()()f x f x =--，结合()()2f x f x +=-，可得()f x 是以4为周期的周期函数，将所求函数值转化成已知解析式区间上的函数值，即可求解.【详解】由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =--又()()2f x f x +=-，所以()()2f x f x +=-则()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦所以()f x 是以4为周期的周期函数.所以()()()()()1151611121=1f f f f =-=-=-=--- 故答案为：1-【点睛】考查函数奇偶性和周期性的综合应用，具体数值求解，有一定综合性，属于中档题. 26．【分析】首先构造新的函数然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性用整体思想求解出【详解】令则又为上的奇函数又故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性构造方法构造新的函数整体思想求出答案属于中档题解析：2-【分析】首先构造新的函数，然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，用整体思想求解出()()12f m g m -=-+=-.【详解】 令1()lg 1x g x x-=+ (11)x -<<，则()()1f x g x =+， 又11()lg lg ()11x x g x g x x x+--==-=--+，()g x ∴为(1,1)-上 的奇函数， 又()4f m =，()()13g m f m ∴=-=，()()3g m g m ∴-=-=-，()()12f m g m ∴-=-+=-.故答案为：2-.【点睛】本题考查函数的奇偶性，构造方法构造新的函数，整体思想求出答案 ，属于中档题.。

一、选择题1．已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为（ ）A ．()()()sin 222x xf x x -=⋅+ B ．()()()sin 222x xf x x -=⋅- C ．()()()cos 222xxf x x -=⋅+D ．()()()cos 222xxf x x -=⋅-2．已知m R ∈，若函数()||x m f x e +=对任意x ∈R 满足()()20212120f x f x -=-，则不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是（ ） A ．[)1,,e e⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)10,,e e⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．[),e +∞3．设函数21,2()7,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ） A ．()8,9 B ．()65,129C ．()64,128D ．()66,1304．函数2()1sin 12xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）． A ． B ．C ．D ．5．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当0x ≥时，()2x f x =，且(2)(3)f x af x +≤-对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[32,)+∞D ．(0,32]6．奇函数()f x 在(0)+∞，内单调递减且(2)0f =，则不等式(1)()0x f x +<的解集为（ ） A ．()()(),21,02,-∞--+∞ B ．()()2,12,--+∞C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()(),21,00,2-∞--7．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()3f m n f m f n +=+-，且0x >时，()3f x <，则下列说法不正确的是（ ）A ．()()6f x f x +-=B ．()y f x =在R 上单调递减C ．若()10f =，()()22190f x x f x ++--->的解集()1,0-D ．若()69f =-，则123164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭8．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<-D ．(4)(0)(4)f f f <<-9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->成立，则不等式()()2120x f x x -->的解集是（ ）A ．()(),11,2-∞B ．()()0,11,+∞C ．()(),01,2-∞D ．()()0,12,⋃+∞10．若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,0- B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞11．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数1()2lg f x x x=+- ） A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)(1,2]⋃D ．(,2]-∞13．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的x D ∈，存在y D ∈，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（ ） A ．2sin cos cos y x x x =+ B ．2x y = C ．ln x y x e =+D ．22y x x =-14．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则()()()()2132020f f f f +++=（ ）A ．50B ．0C ．2D ．-201815．下列函数中，在[)1,+∞上为增函数的是 A ．()22y x =-B ．1y x =-C ．11y x =+ D ．()21y x =-+二、填空题16．对于正整数k ,设函数[][]()k f x kx k x =-，其中[]a 表示不超过a 的最大整数，设24()()()g x f x f x =+，则()g x 的值域为_________.17．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 都有(3)()f x f x +=-，当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则(100)f 的值为_______. 18．函数()112f x x x=+-的定义域为__________. 19．函数()21log f x x=-___________.20．设函数()3,111,1x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，则不等式()()26f x f x ->-的解集为____________.21．以下结论正确的是____________（1）如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点；（2）命题:0,1xp x e ∀>>都有，则00:0,1x p x e⌝∃≤≤使得；（3）空集是任何集合的真子集； （4）“a b >”是“22a b >的充分不必要条件” （5）已知函数(23)43,1(),1xa x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围是(1,2]22．幂函数()223mm f x x --=在0,上单调递减且为偶函数，则整数m 的值是______.23．已知函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是________.24．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(63)2f x f x +-≤的解集是________． 25．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式()()f x f x x--<0的解集为________.26．设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x +2x +m ，则f （﹣1）=_______.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据奇偶性排除AD ，根据图象过原点排除C ，从而可得答案. 【详解】由图可知函数图象关于y 轴对称，且图象过原点， 对于A ， ()()()()()()sin 222sin 222xx x x f x x x f x ---=-⋅+=-⋅+=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除A ；对于C ，()()000cos02220f =⋅+=≠，不合题意，排除C ；对于D ，()()()()()()cos 222cos 222xxxxf x x x f x ---=-⋅-=-⋅-=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除D ； 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．C解析：C 【分析】先判断函数为偶函数，根据奇偶性求得0m =，将原不等式化为ln x e e ≥，等价于ln 1x ≥，进而可得答案.【详解】设2021x t -=，()()()()20212120f x f x f t f t -=-⇒=-， 所以()||x m f x e+=是偶函数，则||||x m x m e e +-+=恒成立，即()()2240x m x m x m x m mx +=-+⇔+=-+⇔=对任意x ∈R 恒成立， 所以0m =⇒()||x f x e =，因为11lnln ln x x x-==-， 所以()1ln ln2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即为()()ln ln 2f x f x e +-≥， ()()ln 2ln 2ln xf x e f x e ee ≥⇒≥⇒≥，因为xy e =为增函数，所以可得ln 1x ≥，则ln 1x ≥或ln 1x ≤-， 解得x e ≥或10x e <≤， 即不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是[)10,,e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.3．D解析：D 【分析】画出函数()f x 的图象，不妨令a b c <<，则222a b +=．结合图象可得67c <<，从而可得结果．【详解】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得67c <<，故67222c <<． ∴66222130a b c <++<． 故选：D ． 【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有： 确定方程根的个数； 求参数的取值范围； 求不等式的解集； 研究函数性质．4．B解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断0πx <<时，函数值的正负，判断得选项. 【详解】因为2()1sin 12x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以12()sin 12xx f x x -=⋅+， ()()()2221sin 1sin 1212x x xf x x x -⎛⎫⨯⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()21221sin 12x x x ⎛⎫+- ⎪=-- ⎪+⎝⎭221sin 1sin 1212xxx x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()f x =，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除C ，D ， 令()0f x =，则21012x-=+或sin 0x =，解得()x k k Z π=∈，而0πx <<时，120x -<，120x +>，sin 0x >，此时()0f x <.故排除A.故选：B ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．C解析：C 【分析】根据题意，可得()f x 的解析式，分别求得当23x -≤≤时，3x >时，2x <-时，(2)f x +和(3)f x -的表达式，结合题意，即可求得a 的范围，综合即可得答案.【详解】由题意知：2,0()2,0x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩当23x -≤≤时，20,30x x +≥-≥，所以2322x x a +-≤⋅，所以212x a -≥， 因为23x -≤≤，所以215max (2)232x a -≥==；当3x >时，20,30x x +>-<， 所以2(3)22x x a +--≤⋅，所以5232a ≥=； 当2x <-时，20,30x x +<-> 所以(2)322x x a -+-≤⋅，所以51232a -≥=， 综上32a ≥. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意求得()f x 的解析式，分类讨论，将(2)f x +和(3)f x -进行转化，考查分类讨论的思想，属中档题.6．A解析：A 【分析】由已知可作出函数的大致图象，结合图象可得到答案. 【详解】因为函数()f x 在(0)+∞，上单调递减，(2)0f =， 所以当(02)x ∈，时，()0f x >，当(2)x ∈+∞，，()0f x <， 又因为()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以()f x 在()0-∞，上单调递减，(2)0f -=， 所以当(20)x ∈-，时，()0f x <，当2()x ∈-∞-，时，()0f x >， 大致图象如下，由(1)()0x f x +<得10()0x f x +>⎧⎨<⎩或10()0x f x +<⎧⎨>⎩，解得2x >，或10x -<<，或2x <-， 故选：A. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出()f x 的大致图象，考查了学生分析问题、解决问题的能力.7．D解析：D 【分析】构造函数()()3g x f x =-，验证函数()g x 的奇偶性可判断A 选项的正误；判断函数()g x 的单调性可判断B 选项的正误；利用函数()g x 的单调性解不等式()()22190f x x f x ++--->，可判断C 选项的正误；计算出()24g =-，求出116g ⎛⎫⎪⎝⎭的值，可求得116f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()()3g x f x =-，由()()()3f m n f m f n +=+-可得()()()g m n g m g n +=+.对于A 选项，取0m n ==，可得()()020g g =，()00∴=g ，取n m =-，则()()()00g g m g m =+-=，()()g m g m ∴-=-，则函数()g x 为奇函数，所以，()()()()60g x g x f x f x +-=+--=，可得()()6f x f x +-=，A 选项正确； 对于B 选项，由已知条件可知，当0x >时，()()30g x f x =-<.任取1x 、2x R ∈且12x x >，所以，()()()()()1212120g x x g x g x g x g x -=+-=-<，()()12g x g x ∴<，所以，函数()()3g x f x =-为R 上的减函数，所以，函数()f x 为R 上的减函数，B 选项正确； 对于C 选项，()10f =，可得()()1133g f =-=-，由()()22190f x x f x ++--->，可得()()22130g x x g x ++--->，即()()()21311g xx g g +->=-=-，211x x ∴+-<-，可得20x x +<，解得10x -<<.C 选项正确； 对于D 选项，()()()()()663124232g f g g g =-=-=+=，()24g ∴=-，()()112214324216g g g g ⎛⎫⎛⎫=====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111316168fg ⎛⎫⎛⎫∴-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，123168f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.8．C解析：C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【详解】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换； （3）根据函数的单调性求得结果.9．C解析：C 【分析】根据条件先判断出()f x 的单调性，根据单调性得到()f x 取值的特点，根据1x -与0的关系，采用分类讨论的方法解不等式，从而求解出解集. 【详解】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->成立，所以()f x 为R 上增函数，又因为()f x 为R 上奇函数，所以0x <时，()0f x <；0x >时，()0f x >；0x =时，()0f x =；当10x -=时，1x =，此时()()2012x f x x --=，不符合条件；当10x ->时，因为()()2120x f x x -->，所以22010x x x ⎧->⎨->⎩，解得0x <；当10x -<时，因为()()2120x f x x -->，所以22010x x x ⎧-<⎨-<⎩，解得12x <<；所以()()2120x f x x -->的解集为()(),01,2-∞，故选：C. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数. 10．A解析：A【分析】 将()f x 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a 的取值范围.【详解】因为2()|2|f x x a x =+-，所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩， 当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时，22a -≤，所以4a ≥-， 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时，02a ≤，所以0a ≤， 且()()12224f f ==，所以[]4,0a ∈-，故选：A.【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤：（1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围；（2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；（3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.11．B解析：B【分析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项.【详解】()22,12222,1x xx x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.12．C解析：C【分析】对数的真数大于零，分母不为零，偶次根式要求被开方式大于等于零，依据以上三点，列【详解】欲使函数有意义，则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃故选：C .【点睛】方法点睛：该题考查的是有关求函数定义域的问题，在求解的过程中，注意：（1）对数要求真数大于0；（2）分式要求分母不等于0；（3）偶次根式要求被开方式大于等于0.13．C解析：C【分析】根据“呆呆函数”的定义可知：函数()f x 的值域关于原点对称，由此逐项判断.【详解】根据定义可知：()f x 为“呆呆函数”⇔()f x 的值域关于原点对称，A ．2111sin cos cos sin 2cos 2222y x x x x x =+=++111sin 224222y x π⎡-⎛⎫=++∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，此时值域不关于原点对称，故不符合； B ．()20,x y =∈∞+，值域不关于原点对称，故不符合；C ．ln x y x e =+，当0x →时，y →-∞，当x →+∞时，+y →∞，所以()ln ,xy x e =+∈-∞+∞，值域关于原点对称，故符合； D ．()[)222111,y x x x =-=--∈-+∞，值域不关于原点对称，故不符合，故选：C.【点睛】本题考查新定义函数，涉及到函数值域的分析，主要考查学生的分析理解能力，难度一般. 14．B解析：B【分析】由奇函数和(1)(1)f x f x +=-得出函数为周期函数，周期为4，然后计算出(3),(2),(4)f f f 后可得结论．由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且(0)0f =， 又由(1)(1)f x f x -=+，即(2)()()f x f x f x +=-=-，进而可得()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(2)(0)0f f ==,(4)(0)0f f ==, 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以(1)(2)(3)(2020)505[(1)(2)(3)(4)]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=. 故选：B .【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的周期性求函数值，解决本题的关键是由函数是奇函数以及(1)(1)f x f x -=+得出函数是周期为4的周期函数，进而可求出结果.15．B解析：B【解析】对于A ,函数()22y x =-的图象是抛物线，对称轴是x =2，当x <2时是减函数，x >2时是增函数，∴不满足题意； 对于B ,函数1,111,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，∴当1≥x 时，是增函数，x <1时，是减函数，∴满足题意；对于C ,函数11y x =+，当x <−1，x >−1时，函数是减函数，∴不满足题意； 对于D ,函数()21y x =-+的图象是抛物线，对称轴是x =−1，当x >−1时是减函数，x <−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.二、填空题16．【分析】先由题中条件得到讨论四种情况再判断的周期性即可得出结果【详解】由题意当时此时；当时此时；当时此时；当时此时；又所以是以为周期的函数因此的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于 解析：{}0,1,3,4【分析】先由题中条件，得到[][][]()246g x x x x =+-，讨论10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭四种情况，再判断()g x 的周期性，即可得出结果. 【详解】由题意，[][][][][][][]()2244246g x x x x x x x x =-+-=+-， 当10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，120,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)40,1x ∈，此时()0000g x =+-=； 当11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)41,2x ∈，此时()0101g x =+-=； 当13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，321,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)42,3x ∈，此时()1203g x =+-=； 当3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，32,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)43,4x ∈，此时()1304g x =+-=；又[][][][][][](1)224461224466g x x x x x x x +=+++-+=+++--[][][]246()x x x g x =+-=，所以()g x 是以1为周期的函数，因此()g x 的值域为{}0,1,3,4.故答案为：{}0,1,3,4【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据一个单位区间内，x 的不同取值，确定[]x ，[]2x ，[]4x 的不同取值情况，结合函数的周期性，即可求解. 17．【分析】本题首先可根据得出函数是周期为的周期函数则然后根据函数是奇函数得出最后根据当时求出的值即可得出结果【详解】因为所以即函数是周期为的周期函数则因为函数为定义在上的奇函数所以因为当时所以故答案为 解析：2【分析】本题首先可根据(3)()f x f x +=-得出函数()f x 是周期为6的周期函数，则(100)(4)(1)f f f ==-，然后根据函数()f x 是奇函数得出(1)(1)f f -=-，最后根据当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()2f x x =-求出(1)f -的值，即可得出结果. 【详解】因为(3)()f x f x +=-，所以(6)(3)f x f x +=-+，即(6)()f x f x +=，函数()f x 是周期为6的周期函数，则(100)(6164)(4)f f f =⨯+=，(4)(1)f f =-，因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)f f -=-， 因为当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()2f x x =-，所以(1)2(1)2f -=-⨯-=，故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题考查函数周期性的判断与应用，考查函数奇偶性的应用，若函数()f x 满足()()f x f x k =+，则函数()f x 是周期为k 的周期函数，奇函数满足()()f x f x -=-，考查化归与转化思想，是中档题.18．且【分析】令即可求出定义域【详解】令解得且所以函数定义域为且故答案为:且【点睛】本题考查了函数定义域的求解属于基础题 解析：{1x x ≥-且}2x ≠【分析】 令1020x x +≥⎧⎨-≠⎩即可求出定义域. 【详解】令1020x x +≥⎧⎨-≠⎩ ，解得1x ≥-且2x ≠， 所以函数定义域为{1x x ≥-且}2x ≠故答案为: {1x x ≥-且}2x ≠.【点睛】本题考查了函数定义域的求解，属于基础题. 19．【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可【详解】因为所以即解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题考查了对数函数的性质属于中档题解析：(0,2)【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可.【详解】因为()f x = 所以21log 00x x ->⎧⎨>⎩， 即2log 10x x <⎧⎨>⎩ 解得02x <<，所以函数的定义域为(0,2),故答案为：(0,2)【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题，考查了对数函数的性质，属于中档题.20．【分析】先判断函数是增函数于是可把函数不等式转化为自变量的关系进而可得原不等式的解集【详解】当时单调递增且；当时单调递增且所以函数在上单调递增于是等价于则解得故答案为：【点睛】本题考查函数单调性的判 解析：()2,3-【分析】先判断函数()f x 是增函数，于是可把函数不等式转化为自变量的关系，进而可得原不等式的解集.【详解】当1x <时，()f x x =单调递增，且()1f x <；当1≥x 时，31()1f x x x=-+单调递增，且()1f x ≥. 所以函数()f x 在R 上单调递增. 于是()()26f x f x ->-等价于26x x ->-，则260x x --<，()()320x x -+<，解得23x -<<.故答案为：()2,3-.【点睛】本题考查函数单调性的判断与应用.遇到函数不等式问题，要利用单调性转化为自变量的关系再求解.判断分段函数的单调性，一定要关注对分段间隔点处的情况.21．（1）（5）【分析】利用零点存在定理可判断命题（1）的正误根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误根据充分必要条件可判断命题（4）的正误根据函数的单调性求出参解析：（1）（5）.【分析】利用零点存在定理可判断命题（1）的正误，根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误，根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误，根据充分必要条件可判断命题（4）的正误，根据函数()y f x =的单调性求出参数a 的取值范围，可判断出命题（5）的正误.【详解】对于命题（1），由零点存在定理可知，该命题正确；对于命题（2），由全称命题的否定可知，该命题不正确，应该是00:0,1x p x e ⌝∃>≤使得；；对于命题（3），空集是任何非空集合的真子集，但不是空集本身的真子集，该命题错误； 对于命题（4），取2a =，3b =-，则a b >，但22a b <，所以，“a b >”不是“22a b >”的充分不必要条件，该命题错误；对于命题（5），由于函数()y f x =在R 上是增函数，则()1230123143a a a a a ⎧+>⎪>⎨⎪≤+⨯-+⎩，解得12a <≤，该命题正确.故答案为（1）（2）（5）.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查零点存在定理、全称命题的否定、集合的包含关系、充分不必要条件的判断以及分段函数单调性，解题时应充分利用这些基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握，属于中等题．22．1【分析】根据幂函数的定义与性质列不等式求出的取值范围再验证是否满足条件即可【详解】幂函数在上单调递减所以的整数值为0或12；当时不是偶函数；当时是偶函数；当时不是偶函数；所以整数的值是1故答案为： 解析：1【分析】根据幂函数的定义与性质，列不等式求出m 的取值范围，再验证是否满足条件即可．【详解】幂函数223()m m f x x --=在(0,)+∞上单调递减，所以2230m m --<，13m -<<，m 的整数值为0或1，2；当0m =时，3()-=f x x 不是偶函数；当1m =时，4()f x x -=是偶函数；当2m =时，3()-=f x x 不是偶函数；所以整数m 的值是1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 23．【分析】根据题意分析函数的单调性结合函数的最小值为可得出关于实数的不等式组由此可求得实数的取值范围【详解】由于函数的值域为则函数在区间上单调递减或为常值函数函数在区间上单调递增或为常值函数①若函数在 解析：[)1,0-【分析】根据题意分析函数()y f x =的单调性，结合函数()y f x =的最小值为2-可得出关于实数a 的不等式组，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】由于函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞， 则函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减或为常值函数，函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数.①若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减，则0a <，此时()()02f x f ≥=-， 且此时函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数， 则10a +≥，解得1a ≥-，当0x >时，()()22log 11log 10f x a x =++≥=⎡⎤⎣⎦， 即当10a -≤<时，函数()y f x =的值域为[)2,-+∞；②若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞为常值函数，则0a =，当0x ≤时，()2f x =-，当0x >时，()()22log 1log 10f x x =+>=，即当0a =时，函数()y f x =的值域为{}()20,-+∞，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,0-.故答案为：[)1,0-.【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，要结合题意分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 24．【分析】先构造函数得到关于对称且单调递增再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解【详解】构造函数那么是单调递增函数且向左移动一个单位得到的定义域为且所以为奇函数图象关于原点对称所以图象关于对称不等 解析：[2,)+∞【分析】 先构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，得到()g x 关于(1,0)对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式()(63)2f x f x +- 转化为34x x -即可求解．【详解】 构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，那么()g x 是单调递增函数， 且向左移动一个单位得到1()(1)x x h x g x e x e =+=-+， ()h x 的定义域为R ，且1()()x x h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图象关于原点对称，所以()g x 图象关于(1,0)对称．不等式()(63)2f x f x +- 等价于()1(63)10f x f x -+--，等价于()(63)0()[2(63)](34)g x g x g x g x g x +-∴--=-，结合()g x 单调递增可知342x x x -∴，所以不等式()(63)2f x f x +- 的解集是[2，)+∞．故答案为：[2，)+∞．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．(－10)∪(01)【分析】首先根据奇函数f(x)在(0＋∞)上为增函数且f(1)＝0得到f(－1)＝0且在(－∞0)上也是增函数从而将不等式转化为或进而求得结果【详解】因为f(x)为奇函数且在(0解析：(－1，0)∪(0，1)【分析】首先根据奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，得到f (－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，进而求得结果. 【详解】因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数. 因为()()f x f x x --＝2·()f x x<0， 即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩解得x ∈(－1，0)∪(0，1).故答案为：(－1，0)∪(0，1).【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.26．【分析】由函数是上的奇函数求得得到当时函数再由即可求解【详解】由题意因为函数是上的奇函数则解得即当时函数又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用以及函数值的求解其中解答中熟练应用函数的 解析：3-【分析】由函数()f x 是R 上的奇函数，求得1m =-，得到当0x ≥时，函数()221x f x x =+-，再由()()11f f -=-，即可求解.【详解】由题意，因为函数()f x 是R 上的奇函数，则()002200f m =+⨯+=， 解得1m =-，即当0x ≥时，函数()221xf x x =+-， 又由()()111(2211)3f f -=-=-+⨯-=-. 故答案为：3-.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的求解，其中解答中熟练应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。

2020-2021学年高中数学必修一第三章《函数的概念与性质》测试卷一．选择题（共10小题）1．已知函数f （x ）的定义域是[﹣1，1]，则函数g （x ）=1−x的定义域是（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．[0，1）D ．（0，1]【解答】解：∵f （x ）的定义域是[﹣1，1]； ∴g （x ）需满足：{−1≤2x −1≤11−x ＞0；解得：0≤x ＜1；∴g （x ）的定义域是[0，1）． 故选：C ．2．函数f （x ）满足f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ，则函数f （x ）等于（ ） A ．x−23B ．x+23C ．x ﹣1D ．﹣x +1【解答】解：因为f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ， 所以f （1﹣x ）﹣2f （x ）＝1﹣x ， 联立可得，f （x ）=x−23． 故选：A ．3．函数f （2x ﹣1）的定义域是[1，2]，则函数f （x +1）的定义域是（ ） A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[0，1]D ．[0，2]【解答】解：∵函数f （2x ﹣1）的定义域为[1，2]，∴1≤2x ﹣1≤3， 即函数f （x ）的定义域为[1，3]，∴函数f （x +1）的定义域需满足1≤x +1≤3， 即0≤x ≤2，函数f （x +1）的定义域为[0，2]， 故选：D ．4．若当x ∈[0，m ]时，函数y ＝x 2﹣3x ﹣4的值域为[−254，﹣4]，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，4]B ．[32，4]C ．[32，3]D ．[32，+∞]【解答】解：函数y ＝x 2﹣3x ﹣4＝（x −32）2−254，所以当x =32时，函数有最小值−254． 当y ＝x 2﹣3x ﹣4＝﹣4时，即y ＝x 2﹣3x ＝0，解得x ＝0或x ＝3． 因为函数的定义域为[0，m ]，要使值域为[−254，﹣4]， 则有32≤m ≤3，故选：C ．5．函数f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，2）C ．（0，1）D ．（1，+∞）【解答】解：由题意可得2x ﹣x 2≥0，解可得0≤x ≤2，根据二次函数及复合函数的性质可知，f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（0，1）， 故选：C ．6．函数f （x ）=3x+22x+1，x ∈[3，+∞）的值域是（ ） A ．[117，+∞)B ．[32，+∞)C ．[117，2)D ．(32，117]【解答】解：f （x ）=3x+22x+1=32(2x+1)+122x+1=32+14x+2，∵x ∈[3，+∞）∴f （x ）为减函数∴当x ＝3时，f （x ）=117，取得最大值；当x 接近+∞时，f （x ）接近32， 所以f （x ）的值域为（32，117]．故选：D ．7．已知函数f （x ）＝x 5+ax 3+bx ﹣8，若f （﹣3）＝10，则f （3）＝（ ） A ．﹣26B ．26C ．18D ．10【解答】解：令g （x ）＝x 5+ax 3+bx ，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数； 则f （x ）＝g （x ）﹣8，所以f （﹣3）＝g （﹣3）﹣8＝10，得g （﹣3）＝18，又因为g （x ）是奇函数，即g （3）＝﹣g （﹣3）， 所以g （3）＝﹣18，则f （3）＝g （3）﹣8＝﹣26． 故选：A ．8．设函数f （x ）＝x 3+（a ﹣1）x 2+ax ，若f （x ）为奇函数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或0【解答】解：由奇函数的性质可知，f （﹣x ）＝﹣f （x ）恒成立，故﹣x 3+（a ﹣1）x 2﹣ax ＝﹣x 3﹣（a ﹣1）x 2﹣ax ， 整理可得，（a ﹣1）x 2＝0即a ﹣1＝0， 所以a ＝1． 故选：B ．9．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m （件）与每件的售价x （元）满足一次函数：m ＝162﹣3x ．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为（ ） A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好【解答】解：设每天获得的销售利润为y 元，则y ＝mx ﹣30m ＝（162﹣3x ）（x ﹣30）＝﹣3x 2+252x ﹣4860＝﹣3（x ﹣42）2+432， 当x ＝42时，y 有最大值，为432，所以若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为42元． 故选：B ．10．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），且x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2，则f(−112)=（ ） A ．14B ．12C ．34D ．1【解答】解：由f （x ）＝f （2﹣x ）＝f （﹣x ）， 可可得f （x ）＝f （x +2）即f （x ）为周期为2的函数， 所以f(−112)=f(−112+6)=f(12)=14， 故选：A ．二．多选题（共2小题）11．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）|g （x ）|是奇函数 B ．|f （x ）|g （x ）是奇函数C ．f （x ）g （x ）是偶函数D ．|f （x ）g （x ）|是偶函数【解答】解：因为f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数， 所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ），f （﹣x ）|g （﹣x ）|＝﹣f （x ）|g （x ）|，故f （x ）|g （x ）|为奇函数，A 正确；|f （﹣x ）|g （﹣x ）＝|﹣f （x ）|g （x ）＝|f （x ）|g （x ），故|f （x ）|g （x ）为偶函数，B 不正确；f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）|，故f（x）g（x）为奇函数，C不正确；|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|，故|f（x）g（x）|为偶函数，D正确；故选：AD．12．已知幂函数y＝xα（α∈R）的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A．函数y＝xα的图象过原点B．函数y＝xα是偶函数C．函数y＝xα是单调减函数D．函数y＝xα的值域为R【解答】解：幂函数y＝xα的图象过点（2，8），所以2α＝8，解得α＝3，所以幂函数为y＝x3；所以所以幂函数y＝x3的图象过原点，A正确；且幂函数y＝x3是定义域R上的奇函数，B错误；幂函数y＝x3是定义域R上的增函数，C错误；幂函数y＝x3的值域是R，所以D正确．故选：AD．三．填空题（共4小题）13．函数f（x）=√2+x−x2的定义域为[﹣1，2]．【解答】解：要使函数有意义，须满足2+x﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤2，所以函数的定义域为[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝3x2，则f（g（1））＝1．【解答】解：根据题意，g（x）＝3x2，则g（1）＝3，又由f(x)=2x−1，则f（g（1））＝f（3）=23−1=1，故答案为：115．若f（x）是R上单调递减的一次函数，若f[f（x）]＝4x﹣1，则f（x）＝﹣2x+1．【解答】解：由于f（x）是单调递减的一次函数，故可设f（x）＝kx+b（k＜0），于是f[f（x）]＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b，又f [f （x ）]＝4x ﹣1，∴{k 2=4kb +b =−1，又k ＜0， ∴k ＝﹣2，b ＝1， ∴f （x ）＝﹣2x +1． 故答案为：﹣2x +1．16．已知函数f(x)={2x (x ＜−1)3x −2(x ≥−1)，则f （f （﹣2））＝ −54 ．【解答】解：∵函数f(x)={2x (x ＜−1)3x −2(x ≥−1)，∴f(−2)=2−2=14，∴f(f(−2))=f(14)=3×14−2=−54． 故答案为：−54． 四．解答题（共6小题）17．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1，对任意的实数x 都有f （x +1）﹣f （x ）＝x +1成立．（1）求f （x ）的解析式；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣mx 在[2，4]上是单调递减函数，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1， 即f （0）＝c ＝1，又由f （x +1）﹣f （x ）＝a （x +1）2+b （x +1）+c ﹣（ax 2+bx +c ）＝2ax +a +b ＝x +1， 则有{c =12a =1a +b =1，解可得a ＝b =12，c ＝1，则函数f （x ）的解析式为：f(x)=12x 2+12x +1，（2）由（1）知f(x)=12x 2+12x +1，则g(x)=f(x)−mx =12x 2+(12−m)x +1， 函数g （x ）的对称轴x =m −12，若函数g （x ）在[2，4]上是单调减函数，则有m −12≥4，解可得m ≥92， 即m 的取值范围为{m |m ≥92}． 18．已知函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3．（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，求函数f （x ）的值域．（2）若函数f （x ）在[﹣1，3]上单调递增，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3＝x 2+3x ﹣3=(x +32)2−214，故当x =−32时，函数取得最小值为−214，当x ＝3时，函数取得最大值为15，故函数f （x ）的值域为[−214，15]． （2）若函数f （x ）在[﹣1，3]上单调递增，则1−2a 2≤−1，∴a ≥32，即实数a 的范围为[32，+∞）19．已知函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），当x ≤2时，f （x ）＝﹣x 2+kx +2． （1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）在[2，4]上的最大值．【解答】解：（1）函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），所以函数f （x ）＝f （4﹣x ）． 当x ＞2时，4﹣x ＜2，则f （x ）＝f （4﹣x ）＝﹣（4﹣x ）2+k （4﹣x ）+2＝﹣x 2+（8﹣k ）x +4k ﹣14， 故函数的关系式为f （x ）={−x 2+kx +2(x ≤2)−x 2+(8−k)x +4k −14(x ＞2)．（2）当x ∈[2，4]时，f （x ）＝﹣x 2+（8﹣k ）x +4k ﹣14=−(x −8−k 2)2+k 2+84．①当8−k 2≥4时，即k ≤0，所以函数f （x ）在[2，4]上单调递增，则f （x ）max ＝f （4）＝2， ②当8−k 2≤2时，即k ≥4时，函数f （x ）在[2，4]上单调递减，则f （x ）max ＝f （2）＝2k ﹣2．③当2＜8−k 2＜4时，即0＜k ＜4时，f(x)max =f(8−k 2)=k 2+84．所以f(x)max ={2(k ≤0)k 2+84(0＜k ＜4)2k −2(k ≥4)． 20．已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在定义域[5，20]内是单调的． （1）求实数k 的取值范围；（2）若f （x ）的最小值为﹣8，求k 的值．【解答】解：（1）由题意，可知f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8的对称轴为x =k8， 而函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8，x ∈[5，20]是单调函数， ∴k8≤5或k8≥20，即k ≤40或k ≥160，∴实数k 的取值范围是（﹣∞，40]∪[160，+∞）；（2）当k ≤40时，由f(x)min =f(5)=4×52−5k −8=−8，解得k ＝20； 当k ≥160时，由f(x)min =f(20)=4×202−20k −8=−8，解得k ＝80（舍去）． 综上，k ＝20．21．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2ax +3． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）当a ＝1时，写出函数y ＝|f （x ）|的单调递增区间（只写结论，不用写解答过程）； （Ⅲ）若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）2+2a （﹣x ）+3＝﹣x 2﹣2ax +3，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（﹣x 2﹣2ax +3）＝x 2+2ax ﹣3， 又由y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，则f(x)={x 2+2ax −3，x ＜00，x =0−x 2+2ax +3，x ＞0；（Ⅱ）a ＝1时，f(x)={x 2+2x −3，x ＜00，x =0−x 2+2x +3，x ＞0；此时y ＝|f （x ）|的单调递增区间为（﹣3，﹣1），（0，1），（3，+∞）； （Ⅲ）根据题意，x ＜0时，f （x ）＝x 2+2ax ﹣3＝（x +a ）2﹣a 2﹣3， 若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，必有﹣a ≥0，解可得a ≤0， 即a 的取值范围为（﹣∞，0]．22．已知函数f （x ）＝ax 2﹣（a +2）x +1﹣b ．（1）若a ＝﹣2，b ＝9，求函数y =f(x)x （x ＜0）的最小值； （2）若b ＝﹣1，解关于x 的不等式f （x ）≥0．【解答】解：（1）若a＝﹣2，b＝9，则y=f(x)x=−2x2−8x=−2x−8x，∵x＜0，∴y＝﹣2x−8x≥2√(−2x)⋅(−8x)=8，当且仅当−2x=−8x，即x＝﹣2时y取得最小值8；（2）若b＝﹣1，则f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝（x﹣1）（ax﹣2）．若a＝0，f（x）≥0化为﹣2x+2≥0，即x≤1；若a≠0，f（x）＝0的两根为1，2a．若a＝2，f（x）≥0化为2（x﹣1）2≥0，x∈R；若0＜a＜2，则1＜2a，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[2a，+∞）；若a＜0，则2a ＜1，则不等式f（x）≥0的解集为[2a，1]；若a＞2，则2a ＜1，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，2a]∪[1，+∞）．综上，当a＜0时，f（x）≥0的解集为[2a，1]；当a＝0时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]；当0＜a＜2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[2a，+∞）；当a＝2时，f（x）≥0的解集为R；当a＞2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，2a]∪[1，+∞）．。

一、选择题1．已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为（ ）A ．()()()sin 222x xf x x -=⋅+ B ．()()()sin 222x xf x x -=⋅- C ．()()()cos 222xxf x x -=⋅+ D ．()()()cos 222xxf x x -=⋅-2．已知()2xf x x =+，[](),M a b a b =<，(){}4,N yy f x x M ==∈∣，则使得MN 的实数对(),a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知函数()x xf x e e -=-，则不等式()()2210f x f x +--<成立的一个充分不必要条件为（ ） A ．()2,1- B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭4．设()f x 为定义在R 上的函数，函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论：①()10f =；②()()11f x f x -=-+； ③函数()f x 的图象关于原点对称；④函数()f x 的图象关于点()1,0对称； 其中，正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．函数y x=的值域是（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)0,+∞6．已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为（ ）A ．52- B ．32- C ．32 D ．527．若函数()f x 同时满足：①定义域内存在实数x ，使得()()0f x f x ⋅-<；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．下列函数中是“DM 函数”的为（ ）A ．()3f x x =B ．()sin f x x =C ．()1x f x e-=D ．()ln f x x =8．已知32()2f x x ax ax =++，对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，则a 的取值范围（ ）A ．2a ≥-B ．2a ≤-C ．4a ≥-D ．4a ≤-9．函数()||f x x x a =-在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,0)-B ．2]C ．,12⎫⎪⎪⎣⎭D ．2,1)10．已知2()log (1)f x x =-，若()2120f x x -+-<，则x 的取值范围为（ ）A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．11,22⎛ ⎝⎭C ．115,01,22⎛⎫⎛+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．(1,0)(1,2)-11．已知函数()3()log 91xf x x =++，则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞12．若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,0- B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞13．设函数()()212131log 1313x xe e xf x x --=++++，则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知()22,02,0x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则不等式()()3f f x ≤的解集为（ ）A ．](,3-∞-B ．)3,⎡-+∞⎣C．(-∞D．)+∞15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足下列两个条件： ①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-；②x ∀∈R ，都有()()8f x f x +=.若()7a f =-，()11b f =，()2020c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<二、填空题16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．则函数的解析式为__________17．已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减，且()10f -=，则使不等式(1)0f x x+≤成立的x 的取值范围是_________. 18．设函数()3,111,1x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，则不等式()()26f x f x ->-的解集为____________.19．幂函数()223mm f x x --=在0,上单调递减且为偶函数，则整数m 的值是______.20．如果函数f (x )＝(2)1,1,1x a x x a x -+<⎧⎨≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()1212f x f x x x -->0成立，那么实数a 的取值范围是________．21．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式()()f x f x x--<0的解集为________.22．如果方程24x +y |y |＝1所对应的曲线与函数y ＝f （x ）的图象完全重合，那么对于函数y ＝f （x ）有如下结论：①函数f （x ）在R 上单调递减；②y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数f （x ）的值域为（﹣∞，2]；④函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____.23．已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)(4)f a f -<，则a 的取值范围为____．24．设函数()222cos 2()x x e f x x e ππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，其中e 为自然对数的底数，则2020(1)M m +-的值为________. 25．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()12f x f x >-成立的x 的取值范围为_____________.26．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为__________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据奇偶性排除AD ，根据图象过原点排除C ，从而可得答案. 【详解】由图可知函数图象关于y 轴对称，且图象过原点， 对于A ， ()()()()()()sin 222sin 222xx x x f x x x f x ---=-⋅+=-⋅+=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除A ； 对于C ，()()00cos02220f =⋅+=≠，不合题意，排除C ；对于D ，()()()()()()cos 222cos 222xx x x f x x x f x ---=-⋅-=-⋅-=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除D ； 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．D解析：D 【分析】 先判断函数()2xf x x =+是奇函数，且在R 上单调递增；根据题中条件，得到()()44f a a f b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，求解，即可得出结果. 【详解】 因为()2xf x x =+的定义域为R ，显然定义域关于原点对称， 又()()22x xf x f x x x --==-=--++， 所以()f x 是奇函数， 当0x ≥时，()21222x x f x x x x ===-+++显然单调递增；所以当0x <时，()2xf x x =-+也单调递增； 又()00f =，所以函数()2xf x x =+是连续函数； 因此()2xf x x =+在R上单调递增； 当[],x M a b ∈=时，()()()44,4y f x f a f b =∈⎡⎤⎣⎦，因为(){}4,N yy f x x M ==∈∣，所以为使M N ，必有()()44f a af b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，即4242aa ab b b a b⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪<⎪⎩，解得22a b =-⎧⎨=⎩或20a b =-⎧⎨=⎩或02a b =⎧⎨=⎩， 即使得M N 的实数对(),a b 有()2,2-，()2,0-，()0,2，共3对.故选：D. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于先根据函数解析式，判断函数()f x 是奇函数，且在R 上单调递增，得出[],x M a b ∈=时，()4y f x =的值域，列出方程，即可求解.3．B解析：B 【分析】根据解析式可判断出()f x 是定义在R 的增函数且是奇函数，不等式可化为()()221f x f x <+，即得221x x <+，解出即可判断.【详解】可得()f x 的定义域为R ，x y e =和x y e -=-都是增函数，()f x ∴是定义在R 的增函数，()()x x f x e e f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，则不等式()()2210f xf x +--<化为()()()2211f x f x f x <---=+，221x x ∴<+，解得112x -<<，则不等式成立的充分不必要条件应是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的真子集， 只有B 选项满足. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出()f x 是增函数且是奇函数，从而将不等式化为()()221f xf x <+求解.4．C【分析】令()()1g x f x =+，①：根据()00g =求解出()1f 的值并判断；②：根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-，化简此式并进行判断；根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确. 【详解】令()()1g x f x =+，①因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()0010g f =+=，所以()10f =，故正确； ②因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()g x g x -=-，所以()()11f x f x -+=-+，即()()11f x f x -=-+，故正确；因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的，又()1y f x =+的图象关于原点对称，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，故③错误④正确，所以正确的有：①②④， 故选：C. 【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若()f x a +为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若()f x a +为奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称.5．C解析：C 【分析】令t =，转化为21ty t =+，0t ≥，根据均值不等式求解即可. 【详解】令t =,则0t ≥，当0t =时，0y =， 当0t ≠时，2110112t y t t t <==≤=++，当且仅当1t =时，即2x =时等号成立， 综上102y ≤≤， 故选：C关键点点睛：注意含根号式子中，经常使用换元法，利用换元法可简化运算，本题注意均值不等式的使用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】根据函数为奇函数可知1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据0x >时()f x 的解析式可求解出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，则12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值可求. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为1132222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以113222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值转化为计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，从而根据已知条件完成求解.7．A解析：A 【分析】根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，且为定义域内的单调递增函数，通过此两点判定即可. 【详解】解：由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ⋅-<，可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，排除D 、C.由②得“DM 函数”为单调递增函数，排除B. 故选：A 【考点】确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接； （4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.8．C解析：C 【分析】首先变形条件，得到函数()()f xg x x=在[)1,+∞单调递增，利用二次函数的单调性，求a 的取值范围.【详解】[)12,1,x x ∈+∞，不等式两边同时除以12x x ()()()()12211212121200f x f x x f x x f x x x x x x x --∴>⇔>--， 即函数()()f x g x x=在[)1,+∞单调递增，()22g x x ax a =++， 函数的对称轴是4a x =-，则14a-≤，解得：4a ≥-.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是原式等价为()()121212f x f x x x x x ->-，从而通过构造函数，确定函数的单调性，转化为二次函数的单调性解决问题.9．D解析：D 【分析】转化条件为22,(),x ax x af x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩，结合二次函数的图象与性质，作出分段函数的图象，数形结合结合可得()0112a a f f <<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即可得解. 【详解】由题意，函数22,(),x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，函数2y x ax =-+的图象开口朝下，对称轴为2ax =， 函数2y x ax =-的图象开口朝上，对称轴为2a x =，当0a =时，22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，函数在R 上单调递增，不合题意；当0a <时，作出函数图象，如图，易得函数在区间(0,1)上无最值； 当0a >，作出函数图象，如图，若要使函数()f x 在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则()0112a a f f <<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩即2201122a a a a <<⎧⎪⎨⎛⎫-≤-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2221a ≤<； 综上，实数a 的取值范围是[222,1). 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用二次函数的性质作出分段函数()f x 的图象，结合图象数形结合即可得解.10．C解析：C【分析】首先判断函数的单调性和定义域，再解抽象不等式. 【详解】函数()f x 的定义域需满足210240x x x ->⎧⎨-+≥⎩，解得：1x >，并且在区间()1,+∞上，函数单调递增，且()22f =， 所以()()()2212012f x x f x x f -+-<⇔-+<，即221112x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得：1x <<0x <<.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域.11．C解析：C 【分析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10tt ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t -<，所以33log (91)1log 10tt ++-<， 所以133log (91)log (91)1t t ++<++，令3()log (91)tg t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++，所以90t >，所以'()0g t >， 所以()g t 在3[,)4+∞单调递增， 所以由()(1)g t g <，得314t ≤<， 所以23114x x ≤-+<，解得01x <<， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)tg t t =++，利用函数的单调性解不等式.12．A解析：A 【分析】将()f x 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为2()|2|f x x a x =+-，所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩，当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时，22a-≤，所以4a ≥-， 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时，02a≤，所以0a ≤， 且()()12224f f ==，所以[]4,0a ∈-， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤： （1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围； （2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系； （3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.13．D解析：D 【分析】先判断()f x 是偶函数且在0,上递减，原不等式转化为31x x ≥-，再解绝对值不等式即可. 【详解】()()()211221133111log 13log 131313x x xxe e e exxf x x x ---⎛⎫=+++=+++ ⎪++⎝⎭，()121311log 1,,313x xe e xy x y y -⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭在0,上都递减所以()f x 在0,上递减，又因为()()()()121311log 1313x xe e xf x x f x ----⎛⎫-=+-++= ⎪+⎝⎭，且()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数， 所以()()()()313131f x f x f x f x x x ≤-⇔≤-⇔≥-，可得113142x x x x -≤-≤⇒≤≤，x 的取值范围是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.14．C解析：C 【分析】先解()3f t ≤，再由t 的范围求x 的范围． 【详解】0t ≥时，2()03f t t =-≤<满足题意，0t <时，2()23f t t t =+≤，31t -≤≤，∴30t -≤<综上满足()3f t ≤的t 的范围是3t ≥-，下面解不等式()3f x ≥-，0x ≥时，2()3f x x =-≥-，解得x ≤∴0x ≤≤， 0x <时，2()23f x x x =+≥-，2(1)20x ++≥，恒成立，∴0x <，综上x ≤故选：C 【点睛】思路点睛：本题考查解函数不等式，由于是分段函数，因此需要分类讨论，而原不等式是复合函数形式，因此解题时可把里层()f x 作为一个未知数t （相当于换元），求得()3f t ≥-的解，再由t 的范围求出()f x t =中t 的范围．分类讨论必须牢记，否则易出错．15．D解析：D 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论. 【详解】解：由①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-可得()f x 在[]4,8上单调递增，根据偶函数的对称性可知，()f x 在[]8,4--上单调递减，且函数周期为8，()7a f =-，()()()1135b f f f ===-，()()()202044c f f f ===-，故a b c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性周期性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、填空题16．【分析】设得到化简即得解【详解】设所以因为函数是定义在R 上的奇函数所以所以所以函数的解析式为故答案为：【点睛】方法点睛：求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解析式解析：(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩【分析】设0,x <得到()2f x x x -=-+，化简即得解.【详解】设0,0x x <∴->，所以()()21f x x x x x -=--=-+，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()2f x x x -=-+，所以()2(1)f x x x x x =-+=-.所以函数的解析式为(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩. 故答案为：(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩【点睛】方法点睛：求奇偶函数在对称区间的解析式，一般利用代入法求解析式.17．【分析】先由定义域为R 的偶函数在区间内单调递减且画出的草图结合图象对进行等价转化解不等式即可【详解】由题意可知在区间内为增函数函数的图象可看作是由的图象向左平移1个单位长度得到的作出和的大致图象如图 解析：[)()2,00,-⋃+∞【分析】先由定义域为R 的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减，且()10f -=，画出()f x 的草图，结合图象对(1)0f x x+≤进行等价转化，解不等式即可. 【详解】由题意可知()f x 在区间(),0-∞内为增函数，函数()1y f x =+的图象可看作是由()y f x =的图象向左平移1个单位长度得到的，作出()y f x =和()1y f x =+的大致图象，如图所示.不等式(1)0f x x+≤可化为： ()010x f x <⎧⎨+≥⎩，当0x <时()10f x +≥，观察图象，得20x -≤<； ()010x f x >⎧⎨+≤⎩，当0x >时()10f x +≤，观察图象，得0x >； 所以不等式的解集为[)()2,00,-⋃+∞ 故答案为：[)()2,00,-⋃+∞. 【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图象法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．18．【分析】先判断函数是增函数于是可把函数不等式转化为自变量的关系进而可得原不等式的解集【详解】当时单调递增且；当时单调递增且所以函数在上单调递增于是等价于则解得故答案为：【点睛】本题考查函数单调性的判 解析：()2,3-【分析】先判断函数()f x 是增函数，于是可把函数不等式转化为自变量的关系，进而可得原不等式的解集. 【详解】当1x <时，()f x x =单调递增，且()1f x <； 当1≥x 时，31()1f x x x=-+单调递增，且()1f x ≥. 所以函数()f x 在R 上单调递增. 于是()()26f xf x ->-等价于26xx ->-，则260x x --<，()()320x x -+<，解得23x -<<. 故答案为：()2,3-. 【点睛】本题考查函数单调性的判断与应用.遇到函数不等式问题，要利用单调性转化为自变量的关系再求解.判断分段函数的单调性，一定要关注对分段间隔点处的情况.19．1【分析】根据幂函数的定义与性质列不等式求出的取值范围再验证是否满足条件即可【详解】幂函数在上单调递减所以的整数值为0或12；当时不是偶函数；当时是偶函数；当时不是偶函数；所以整数的值是1故答案为：解析：1 【分析】根据幂函数的定义与性质，列不等式求出m 的取值范围，再验证是否满足条件即可． 【详解】 幂函数223()mm f x x --=在(0,)+∞上单调递减，所以2230m m --<，13m -<<，m 的整数值为0或1，2；当0m =时，3()-=f x x 不是偶函数； 当1m =时，4()f x x -=是偶函数； 当2m =时，3()-=f x x 不是偶函数； 所以整数m 的值是1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20．【分析】先由条件判断出在R 上是增函数所以需要满足和单调递增并且在处对应的值大于等于对应的值解出不等式组即可【详解】对任意都有>0所以在R 上是增函数所以解得故实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考解析：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先由条件判断出()y f x =在R 上是增函数，所以需要满足(2)1y a x =-+和xy a = 单调递增，并且在1x =处x y a =对应的值大于等于(2)1y a x =-+对应的值，解出不等式组即可. 【详解】对任意12x x ≠，都有()()1212f x f x x x -->0，所以()y f x =在R 上是增函数，所以201(2)11a a a a->⎧⎪>⎨⎪-⨯+≤⎩，解得322a ≤<，故实数a 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查含有参数的分段函数根据单调性求参数范围问题，需要满足各部分单调并且在分段处的函数值大小要确定，属于中档题.21．(－10)∪(01)【分析】首先根据奇函数f(x)在(0＋∞)上为增函数且f(1)＝0得到f(－1)＝0且在(－∞0)上也是增函数从而将不等式转化为或进而求得结果【详解】因为f(x)为奇函数且在(0解析：(－1，0)∪(0，1) 【分析】首先根据奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，得到f (－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，进而求得结果.【详解】因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0， 所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数. 因为()()f x f x x --＝2·()f x x<0， 即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩解得x ∈(－1，0)∪(0，1).故答案为：(－1，0)∪(0，1). 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.22．②④【分析】根据题意画出方程对应的函数图象根据图像判断函数单调性值域最值以及函数零点个数的判断数形结合即可选择【详解】当y≥0时方程y|y|＝1化为（y≥0）当y ＜0时方程y|y|＝1化为（y ＜0）解析：②④ 【分析】根据题意，画出方程对应的函数图象，根据图像判断函数单调性、值域、最值以及函数零点个数的判断，数形结合即可选择. 【详解】当y ≥0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y +=（y ≥0），当y ＜0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y -=（y ＜0）.作出函数f （x ）的图象如图：由图可知，函数f （x ）在R 上不是单调函数，故①错误； y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确； 函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]，故③错误；双曲线2214x y -=的渐近线方程为y 12=±，故函数y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象只有1个交点， 即函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点，故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查函数单调性、值域以及零点个数的判断，涉及椭圆和双曲线的轨迹绘制，以及数形结合的数学思想，属综合中档题.23．【分析】由偶函数的性质将不等式表示为再由函数在区间上的单调性得出与的大小关系解出不等式即可【详解】函数是上的偶函数所以由得函数在区间上单调递增得解得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查函数不 解析：17a -<<【分析】由偶函数的性质()()f x fx =将不等式表示为()()34f a f -<，再由函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性得出3a -与4的大小关系，解出不等式即可． 【详解】函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()f x f x =，由()()34f a f -<，得()()34fa f -<，函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，34a ∴-<，得434a -<-<， 解得17a -<<，因此，实数a 的取值范围是()1,7-，故答案为()1,7-． 【点睛】本题考查函数不等式的求解，对于这类问题，一般要考查函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为()()12f x f x <（若函数为偶函数，可化为()()12fx f x <），结合单调性得出1x 与2x 的大小（或1x 与2x 的大小）关系，考查推理能力与分析问题的能力，属于中等题．24．1【分析】函数然后根据奇偶性的性质可求解然后得出的值【详解】函数令则即为奇函数故所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性及应用难度一般灵活转化是关键解析：1 【分析】 函数()()22sin 21x exf x x e π+=++，然后根据奇偶性的性质可求解M m +，然后得出2020(1)M m +-的值.【详解】函数()()()2222222cos sin 22x x e x x e ex f x x e x e πππ⎛⎫-++ ⎪+++⎝⎭==++ ()22sin 21x ex x eπ+=++， 令()()22sin 2x ex g x x e π+=+，则()()()()2222sin 2sin 2x ex x exg x g x x e x eππ+---===-++， 即()g x 为奇函数，故()()max min 0g x g x +=所以()()max min 112M m g x g x +=+++=，所以()202011M m +-=.故答案为：1. 【点睛】本题考查函数的奇偶性及应用，难度一般，灵活转化是关键.25．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【详解】则是偶函数当函数为增函数则等价与所以平方得所以所以即不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查解析：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可. 【详解】()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++，则()f x 是偶函数， 当0x ≥函数()f x 为增函数， 则()()12f x f x >-等价与()()12fx f x >-，所以12x x >-，平方得22144x x x -+>，所以23410x x -+<，所以113x <<，即不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 故答案为：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，难度中等.26．【解析】当时由即则即当时由得解得则当时不等式的解为则由为偶函数当时不等式的解为即不等式的解为或则由或解得：或即不等式的解集为点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目考查了不等式的求解以及函数的图象问 解析：4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或 【解析】当102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，由()1 2f x =，即1 2cos x π= 则 3x ππ=，即13x =当12x >时，由()1 2f x =，得121?2x -=，解得3 4x = 则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤ 则由()f x 为偶函数∴当0x <时，不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤- 即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤- 则由13134x ≤-≤或31143x -≤-≤- 解得：4734x ≤≤或1243x ≤≤ 即不等式()112f x -≤的解集为4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或 点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目，考查了不等式的求解以及函数的图象问题．先求出当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域()12f x ≤的解，即可得到结论．。

一、选择题1．若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦2．形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（ ）位数(参考数据：lg2≈0.3010). A ．8B ．9C ．10D ．113．已知函数||()2x f x =，记131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()4,+∞ B ．()6,+∞ C ．()1,4D ．()4,65．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．已知函数3()22x f x =+，则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．212 B ．214C ．7D ．1527．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12-B ．-1C ．-5D ．128．已知函数()()()2331log 6log 1y x a a x x =--++在[]0,1x ∈内恒为正值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．133a << B ．3a > C ．3133a << D ．33a >9．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦10．设()21,xf x c b a =-，且()()()f a f c f b >>，则下列说法正确的是（ ） A ．0,0,0a b c <<< B ．0,0,0a b c ≥C ．22a c -<D ．222c a +<11．已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数(||1)f x +的图象大致是A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ） A ．212a b+= B ．111a b+= C ．122a b+= D ．1212a b += 二、填空题13．已知0a >，函数()y f x =，其中21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()y f x =在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，则a 的取值范围为_______．14．函数f （x ）=lg （x 2-3x -10）的单调递增区间是______． 15．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________.16．已知()()2log 1f x x =-，若()()f a f b =（a b ），则2a b +的最小值为________.17．已知11225x x -+=22165x x x x --+-=+-______.18．7log 31lg 25lg 272++=________. 19．函数()212log 2y x x =-的定义域是______，单调递减区间是______. 20．设函数()f x 满足()22221x f x ax a =-+-，且()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-，则实数a 的取值范围为______.三、解答题21．计算下列各式的值：（1）3224031168()281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()2log 1483log 3log 3log 22+⨯+.22．（1）设0,0,m n x >>=化简A = （2）求值：1log log m m b a a b ⋅；（3）设 2()2log (19),f x x x =+≤≤ 求()22()()g x f x f x =+的最大值与最小值.23．计算： （1）1ln 224()9e-+； （2）()223lg 2lg5lg 20log 3log 4+⋅+⋅. 24．化简下列各式：（1）22.531050.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg3111lg 0.36lg1624++⋅+ 25．计算：(1)011327(0.064)0.258-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭； (2)22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+. 26．已知函数121()log 21axf x x -=-，a 常数.（1）若2a =-，求证()f x 为奇函数，并指出()f x 的单调区间；（2）若对于35,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式1221log (21)log (21)4xx m x ⎛⎫+->-- ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A【分析】转化为当10,2 x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，根据图象列式可解得结果.【详解】由题意知关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，由图可知0111log22aa<<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a≤<.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数342xy=-的图象与函数log ay x=的图象求解是解题关键. 2．C解析：C【分析】根据所给定义表示出9.632951010F=⨯，进而即可判断出其位数．【详解】根据题意，53223232lg232lg2320.30109.6320.6329 521212101010101010F⨯=+=+≈==≈==⨯，因为0.63211010<<，所以5F的位数是10．故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即3232lg2210=.3．A解析：A首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系. 【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭ 又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2xf x =的性质，后面的问题迎刃而解.4．D解析：D 【分析】转化条件为函数()f x 是周期为2的周期函数，且函数()g x 、()f x 的图象均关于1x =-对称，由函数的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，画出图象后，数形结合即可得解. 【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数， 又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得， 所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为1x =-，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于1x =-对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在1x =-右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点， 则由函数图象的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.5．A解析：A 【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解. 【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，42212ln ln ln 2ln13323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<， a b ∴>22223231log log 410,2392222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<，故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.6．B解析：B【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=，再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3()22x f x =+， 所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+，()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=，再配对求和即解决问题. 7．A解析：A 【分析】根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得选项.【详解】因为函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2253log log 2122f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，23log 2531222222f f⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.8．C解析：C 【分析】令()()()22333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦，由题意得出()()0010g g ⎧>⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】令()()()22333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦，由题意可得()()()()23301log 0126log 0g a g a ⎧=->⎪⎨=->⎪⎩，可得311log 3a -<<，解得13a <<故选：C. 【点睛】思路点睛：求解一次函数不等式在区间上恒成立，一般限制一次函数在区间上的端点函数值符号即可，即可得出关于参数的不等式，求解即可.9．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题10．D解析：D 【详解】分析：先画出函数()21xf x =-的图像，根据c b a >>且()()()f a f c f b >>得到a ＜0，b ＞0，c ＞0,再找正确的选项. 详解：作出函数()21xf x =-的图像，因为c b a >>且()()()f a f c f b >>， 所以a ＜0， c ＞0,因为()()f a f c >，所以2121,1221,222acacac->-∴->-∴+<.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查图像的作法，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)解答本题的关键是通过图像分析出a ＜0，b ＞0，c ＞0.11．B解析：B 【分析】利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，由函数()log a f x x =是增函数知，1a >， 当0x ≥时，函数(1)log (1)a y f x x =+=+，将函数1()log ,()a f x a x >=的图象向左平移1个单位，得到函数log (1)a y x =+的图象， 又由函数(1)y f x =+满足(1)(1)f x f x -+=+，所以函数(1)y f x =+为偶函数， 且图象关于y 轴对称， 故选B. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．B解析：B 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得11lg2,lg5a b==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以11lg2,lg5a b==， 则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．【分析】由函数单调性可得在区间上的最大值最小值则可得对任意恒成立利用二次函数的性质即可求出【详解】因为在区间内单调递减所以函数在区间上的最大值与最小值分别为则得整理得对任意恒成立令则的图象是开口向上解析：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】由函数单调性可得()f x 在区间[1]t t ，+上的最大值()f t ，最小值(1)f t +，则可得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的性质即可求出.【详解】因为()f x 在区间[1]t t ，+内单调递减， 所以函数()f x 在区间[1]t t ，+上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +， 则2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭， 得1121a a tt ⎛⎫+≤+⎪+⎝⎭，整理得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．令2()(1)1h t at a t =++-，则()h t 的图象是开口向上，对称轴为11022t a=--<的抛物线，所以()h t 在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，2(1)10at a t ++-≥等价于102h ⎛⎫≥⎪⎝⎭， 即211(1)1022a a ⎛⎫⨯++⨯-≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥， 所以a 的取值范围为23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．故答案为：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，根据二次函数性质求解. 14．（5+∞）【分析】确定函数的定义域考虑复合函数的单调性即可得出结论【详解】由x2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5∵u=x2-3x-10在（5+∞）单调递增而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减解析：（5，+∞） 【分析】确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论． 【详解】由x 2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5，∵u=x 2-3x-10在（5，+∞）单调递增，而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减的法则可得，函数f （x ）=lg （x 2-3x-10）的单调递增区间是（5，+∞）故答案为（5，+∞）． 【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题15．【分析】由函数的定义域是即结合函数的解析式列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数有意义则满足解得解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解以及对数函数 解析：(0,1)【分析】由函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤，结合函数的解析式(21)()ln(1)f xg x x -=-，列出不等式组12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤，则函数(21)()ln(1)f x g x x -=-有意义，则满足12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩ ，解得0110x x x ≤≤⎧⎪<⎨⎪≠⎩，解得01x <<，即函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是(0,1).故答案为：(0,1). 【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．【分析】根据求得之间的等量关系再利用均值不等式求得的最小值【详解】因为且不妨设则一定有且即即可得解得因为故可得当且仅当且即时取得最小值故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查对数函数的性质以及对数运算解析：3【分析】根据()()f a f b =，求得,a b 之间的等量关系，再利用均值不等式求得2a b +的最小值. 【详解】因为()()2log 1f x x =-，且()()f a f b = 不妨设a b <，则一定有12a b <<<， 且()()22log 1log 1a b -=- 即()()22log 1log 1a b --=-， 即可得()()2log 110a b --=， 解得()()111a b --=. 因为10,10a b ->->故可得()()22113a b a b +=-+-+3≥3=当且仅当()211a b -=-，且()()111a b --=，即11a b =+=+.故2a b +的最小值为3.故答案为：3. 【点睛】本题考查对数函数的性质，以及对数运算，涉及均值不等式求最值的问题，属综合性困难题.17．【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得：所以对两边同时平方得：则故答案为：【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析：12- 【分析】对1122x x -+=13x x -+=，再平方可得227x x -+=，即可求解. 【详解】1122x x-+=125x x -++=，所以13x x -+=对13x x -+=两边同时平方得：2229x x -++=，227x x -+=则22167615352x x x x --+--==-+--. 故答案为：12- 【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关系.18．4【分析】结合对数的基本运算化简求值即可【详解】解：故答案为：4【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质熟记公式熟练运用对数的化简对数恒等式是最基本的要求属于基础题型解析：4 【分析】结合对数的基本运算化简求值即可. 【详解】解：7log 3211lg 25lg 27lg5lg 23lg5lg 23lg103422++=++=++=+=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质，熟记公式，熟练运用对数的化简、对数恒等式是最基本的要求，属于基础题型.19．【分析】由表达式可知解出对应即可求解定义域再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间【详解】由题可知可看作在定义域内为减函数根据复合函数增减性当内层函数为增函数则在对应区间为减函数故函数的定义域是解析：()(),02,-∞+∞ ()2,+∞【分析】由表达式可知220x x ->，解出对应x ，即可求解定义域，再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间 【详解】由题可知，()()220,02,x x x ->⇒∈-∞+∞，()212log 2y x x =-可看作12log y t =，22t x x =-，12log y t =在定义域内为减函数，根据复合函数增减性，当()2,x ∈+∞，内层函数为增函数，则()212log 2y x x =-在对应区间为减函数，故函数()212log 2y x x =-的定义域是()(),02,-∞+∞，单调递减区间是()2,+∞故答案为：()(),02,-∞+∞；()2,+∞【点睛】本题考查对数型函数具体定义域和对应增减区间，属于基础题20．【分析】利用换元法可得然后采用等价转换的方法可得在的值域为最后根据二次函数的性质可得结果【详解】由令所以则令由在上的值域为等价为在的值域为的对称轴为且所以可得或所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数解析：⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【分析】利用换元法，可得()2221g x x ax a =-+-，然后采用等价转换的方法，可得()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-，最后根据二次函数的性质，可得结果.【详解】 由()22221xf xax a =-+-令22,log xt x t ==，所以()()2222log 2log 1f t t a t a =-+- 则令()2221g x x ax a =-+-由()f x 在21222,2a a a --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-等价为()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-()g x 的对称轴为x a =，且()()1,10g a g a =--= 所以()()22122222a a a a a a -+-+≤≤-+1a ≤≤或2a ≤≤所以a ⎤⎡∈⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为：⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查函数值域的应用，难点在于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档题.三、解答题21．（1）1927-；（2）116. 【分析】（1）利用指数的运算法则化简求解； （2）利用对数的运算法则化简求解. 【详解】 （1）()3224031168281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()324343224()13⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦8194412727=-+-=-. （2）()2log 1483log 3log 3log 22++22311log 3log 3log 2123⎛⎫=++ ⎪⎝⎭235511log 3log 211666⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：指数对数的运算化简，一般先观察指数对数的形式，再利用合适的运算法则化简求解.22．（1）答案见解析；（2）1；（3）最大值222log 36log 36++（），最小值6. 【分析】（1）先求24x -，对m ，n 讨论，求出A ；（2）利用log =m a a m ，分别对1log log m m b a a b 、化简、求值；（3）把()g x 化简为222()=log 6log 6g x x x ++，换元后利用()233y t =+-在()20log 3，2上的单调性求出最大值和最小值.【详解】（1）因为22244x -=-=，所以2,m n A m n m n-==+--故，当0m n ≥>时，m nA n-=， 当0m n <<时，n mA m-= (2）()g log log log lo log log =,m m m m m m bb b a aa a m m a m •==∴，同理()l l og og m m b a b m -•= ∴()()log lo log l g g o log lo l g g 01log o log log ===1=a a m m m b b m mm m m m m b a bba a mammm b-••⎡⎤-••⎢⎥⎣⎦⋅⨯即1log log m m b a a b ⋅=1(3)()()2222222()2log 2log =log6log 6g x x x x x =+++++由21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩解得13x ≤≤ 令2log t x =，213,0log 3x t ≤≤∴≤≤∴()233y t =+-在()20log 3，上单增， ∴当t =0时，min 6,y =当2log 3t =时，2max 22log 36log 36y ++=（） ∴()g x 的最大值222log 36log 36++（），最小值6. 【点睛】指对数混合运算技巧：(1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构，利用幂的运算性质； (2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构，利用对数的运算性质. 23．（1）32；（2）3. 【分析】（1）利用指对数运算对数恒等式直接得解 （2）利用对数运算及换底公式得解. 【详解】 （1）1ln 22433()22922e -++=+-=， （2）223(lg 2)lg 5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.22(lg 2)lg 5(1lg 2)log 4(lg 2)(lg 2lg 5)lg 52=+⋅++=+++lg 2lg523=++=【点睛】解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg51+= 24．（1）0；（2）1. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）根据指数幂的运算性质，可得原式22.5311536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭ 1521335233431102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦531022=--=. （2）由对数的运算性质，可得原式242lg 2lg32lg 2lg311231lg 0.6lg 21lg lg 22410++==⨯++++ 2lg 2lg 32lg 2lg 311lg 2lg 3lg10lg 22lg 2lg 3++===++-++. 【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 25．(1)10；(2)3. 【分析】（1）根据根式定义化根式为分数指数幂，再由幂的运算法则计算； （2）由对数运算法则计算． 【详解】 (1)解：原式()()1323120.410.5-=-+1321511218105222-⎛⎫=-++=-++= ⎪⎝⎭.(2)解：原式2322lg5lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)3=++++ 222lg52lg 22lg5lg 2(lg5)(lg 2)=++++ 22(lg5lg 2)(lg5lg 2)213=+++=+=.【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，考查幂和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题关键．26．（1）证明见解析；单调增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）98m <-. 【分析】（1）2a =-时，1221()log 21x f x x +=-，求其定义域，计算()()0f x f x 即可.（2）将不等式整理为21211log 214xx m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，只需要min ()g x m >.利用()g x 单调性即可求出min 39()28g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而可得98m <-.【详解】（1）证明：当2a =-时，1221()log 21x f x x +=-. ()f x 的定义域为11,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当11,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时， 11222121()()log log 2121x x f x f x x x -++-+=+---11222121log log 102121x x x x -++⎛⎫=⋅== ⎪---⎝⎭.∴()()0f x f x +-=， ∴()f x 是奇函数，1221()log 21x f x x +=-是由2121x t x +=-和12log y t=复合而成，12log y t =单调递减，2121221212121x x t x x x +-+===+---在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，所以1221()log 21x f x x +=-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）由1221log (21)log (21)4xx m x ⎛⎫+->-- ⎪⎝⎭，得21211log 214xx m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，令12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，若使题中不等式恒成立，只需要min ()g x m >.由（1）知()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减， 所以12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以min 39()28g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 所以m 的取值范围是98m <-. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的单调性求最值，考查了恒成立问题，属于中档题.。

新课程必修第一册《函数的概念与性质》检测检测题及答案解析时间：120分钟，满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域为( )A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1，且x ≠2.故选A2．函数f (x )＝x 3＋1x的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：由x ≠0，且f (－x )＝(－x )3＋1－x ＝－x 3－1x ＝－f (x )，知f (x )是R 上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称．故选 C3．已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝2x ＋1.若f (a )＝5，则a ＝( )A ．2B ．1 C.32D ．0解析：f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝2x ＋1，且f (a )＝5，则1＋1x ＝a 时2x ＋1＝5，故x ＝2，a ＝32.故选C4．函数f (x )＝ax 2＋(2＋a )x ＋1是偶函数，则函数的单调递增区间为( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以ax 2－(2＋a )x ＋1＝ax 2＋(2＋a )x ＋1，即(2＋a )x ＝0对于任意实数x 恒成立，所以2＋a ＝0，解得a ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋1，其单调递增区间为(－∞，0].故选B.5．一高为H 、满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象可能是图中的( )解析：由鱼缸的形状可知，水的体积随着h 的减小，先减少得慢，后减少得快，又减少得慢．故选 B.6．二次函数f (x )＝ax 2＋2a 是区间[－a ，a 2]上的偶函数，又g (x )＝f (x －1)，则g (0)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，g (3)的大小关系为( )A ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<g (0)<g (3)B ．g (0)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<g (3)C ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<g (3)<g (0) D ．g (3)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<g (0) 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，－a ＝－a 2，解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2，∴g (x )＝f (x －1)＝(x －1)2＋2.∵函数g (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴g (0)＝g (2)． 又∵函数g (x )＝(x －1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<g (2)<g (3)，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<g (0)<g (3)． 故选A 7．幂函数223y mm x --=(m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析： 从图象上看，图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3＜0，即－1＜m ＜3，且m ∈Z ；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．故选C8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，1，x >0，若f (x －4)>f (2x －3)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,4)D ．(－∞，1)解析：f (x )的图象如图．由图知，若f (x －4)>f (2x －3)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －4<0，x －4<2x －3，解得－1<x <4.故实数x 的取值范围是(－1,4)． 故选C .二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．对于集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则由下列图形给出的对应关系中，不能构成从A 到B 的函数有( )解析：根据函数的定义可知，A ，B ，C 中的图形给出的对应关系不能构成从A 到B 的函数．故选ABC.10．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝－x 3C ．f (x )＝x |x |D ．f (x )＝－3x解析：对于A ，f (x )＝1x在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，所以不满足题意；对于B ，f (x )＝－x 3在定义域R 上是奇函数，且是减函数，所以满足题意；对于C ，f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0 在定义域R 上是奇函数，且是增函数，所以不满足题意；对于D ，f (x )＝－3x 在定义域R 上是奇函数，且是减函数，所以满足题意．故选BD. 11．函数21f ()1x x x =-+的值可能是( ) A ．2 B ．54 C ．32 D ．43解析：∵f (x )＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤43，∴函数21f ()1x x x =-+的值可能是54或43.故选BD.12．已知奇函数f (x )是定义在R 上的减函数，且f (2)＝－1，若g (x )＝f (x －1)，则下列结论一定正确的是( )A ．g (1)＝0B ．g (2)＝－12C ．g (－x )＋g (x )＞0D ．g (－x ＋1)＋g (x ＋1)＜0解析：因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，因为g (x )＝f (x －1)，所以g (1)＝f (0)＝0，故A 正确；因为f (x )为定义在R 上的减函数，且f (2)＝－1，f (2)＜f (1)＜f (0)，即－1＜f (1)＜0.所以－1＜g (2)＜0，故B 错误；因为g (x )＝f (x －1)，所以g (－x )＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)．所以g (－x )＋g (x )＝f (x －1)－f (x ＋1)，因为f (x )是定义在R 上的减函数，所以f (x －1)＞f (x ＋1)，所以f (x －1)－f (x ＋1)＞0，即g (－x )＋g (x )＞0，故C 正确；因为g (x )＝f (x －1)，所以g (－x ＋1)＝f (－x )＝－f (x )，g (x ＋1)＝f (x )，所以g (－x ＋1)＋g (x ＋1)＝－f (x )＋f (x )＝0，故D 错误．故选AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x (1－x )，则当x ＜0时，f (x )＝________.解析：因为x ＜0，所以－x ＞0， 所以f (－x )＝(－x )·(1＋x )， 又函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(－x )(1＋x )＝x (1＋x )， 所以当x ＜0时，f (x )＝x (1＋x )． 答案：x (1＋x )14．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ ； 解析： ∵定义域为R 的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝ －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x ＋2)＝－f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝－18.答案：－1815．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，－x ＋3a ，x <1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为____________．解析：因为f (x )＝－x ＋3a 在x ∈(－∞，1)上是单调递减的，且f (x )在R 上是单调函数，所以f (x )在R 上一定单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≤－1＋3a ， 解得a ≥12 ，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ .答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞16．定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.设f (x )＝sgn ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＋12·f 1(x )＋sgn ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋12·f 2(x )，x ∈[0,1]，若f 1(x )＝x ＋12，f 2(x )＝2(1－x )，则f (x )的最大值等于________．解析 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，0≤x ＜12，1，x ＝12，2(1－x )，12＜x ≤1，所以f (x )的最大值等于1. 答案 1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分) 已知f (x )＝1x －1，x ∈[2,6]． (1)证明f (x )是定义域上的减函数； (2)求f (x )的最大值和最小值．证明：(1)设2≤x 1<x 2≤6，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1). 因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )是定义域上的减函数．解：(2)由(1)的结论可得，f (x )min ＝f (6)＝15，f (x )max ＝f (2)＝1.18. (12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．(1)求f [f (4)]的值及f (x )的解析式； (2)若f (x )＝12 ，求实数x 的值．解：(1)根据图象可知f (4)＝0，则f [f (4)]＝f (0)＝1.设线段对应的方程为y ＝kx ＋b (－1≤x ≤0).将点(0，1)和点(－1，0)代入可得b ＝1，k ＝1，即y ＝x ＋1(－1≤x ≤0). 当x >0时，设y ＝ax 2＋bx ＋c .因为图象过点(0，0)，(4，0)，(2，－1)，代入可得y ＝14x 2－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x 2－x ，x >0.(2)当x ＋1＝12 时，x ＝－12 ，符合题意．当14 x 2－x ＝12 时，解得x ＝2＋6 或x ＝2－6(舍去).故x 的值为－12或2＋6 .19．(12分)已知y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋4x －1.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)画出y ＝f (x )的图象，并指出y ＝f (x )的单调区间． 解：(1)设x ＞0，则－x ＜0，所以f (－x )＝(－x )2＋4(－x )－1＝x 2－4x －1， 又y ＝f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋4x ＋1，又f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x －1（x ＜0），0（x ＝0），－x 2＋4x ＋1（x ＞0）.(2)先画出y ＝f (x )(x ＜0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x ＞0)的图象，其图象如图所示．由图可知，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2，0)和(0，2]，单调递减区间为(－∞，－2]和[2，＋∞).20．(12分) 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2.(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )是区间[－5,5]上的单调函数；(2)求a 的值，使f (x )在区间[－5,5]上的最小值为－1. 解：(1)∵y ＝f (x )是[－5,5]上的单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≥5或a ≤－5.(2)当－a <－5，即a >5时，f (x )在[－5,5]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (－5)＝25－10a ＋2＝－1， ∴a ＝145.∵a >5，∴a ＝145不合要求，舍去．当－5≤－a ≤5，即－5≤a ≤5时，f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2＝－1，∴a 2＝3，即a ＝± 3.当－a >5，即a <－5时，f (x )在[－5,5]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (5)＝25＋10a ＋2＝－1， ∴a ＝－145.∵a <－5，∴a ＝－145不合要求，舍去，∴a ＝± 3.21．(12分) 由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f (x )与第x 天近似地满足f (x )＝8＋8x(千人)，且游客人均消费g (x )近似地满足g (x )＝143－|x －22|(元)，1≤x ≤30，x ∈N *.(1)求该园区第x 天的旅游收入p (x ) (单位：千元)的函数关系式；(2)记(1)中p (x )的最小值为m ，若以0.3m (千元)作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？解：(1)p (x )＝f (x )·g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫8＋8x (143－|x －22|)＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋968x ＋976，1≤x ≤22，x ∈N *，－8x ＋1 320x＋1 312，22＜x ≤30，x ∈N *.(2)当1≤x ≤22时，p (x )＝8x ＋968x＋976≥28x ·968x＋976＝1 152，当且仅当8x ＝968x，即x ＝11时取等号，此时p (x )最小值为1 152；当22＜x ≤30时，p (x )＝－8x ＋1 320x＋1 312是减函数，当x ＝30时，p (x )min ＝－8×30＋1 32030＋1 312＝1 116.因为1 116＜1 152，所以m ＝1 116，所以m ＝p (30)＝1 116千元，0.3m ＝33.48万元＞30万元，能收回投资成本． 22．(12分)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)，f (4)，f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围． [解] (1)f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝1＋2＝3.(2)因为f (x )＋f (x －2)≤3， 所以f [x (x －2)]≤f (8)，又因为对于函数f (x )，当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －2>0，x (x －2)≤8，解得2<x ≤4.故x 的取值范围为(2,4]．。

第三章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合A＝{x|－4<x<3}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(B)A．(－4,3) B．(－4,2]C．(－∞，2] D．(－∞，3)解析：∵集合A＝{x|－4<x<3}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|－4<x≤2}，用区间表示为(－4,2]，故选B.2．函数f(x)＝|x－1|的图象是(B)解析：代入特殊点，∵f(1)＝0，∴排除A，C；又f(－1)＝2，∴排除D.3．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a 的取值X围是(D)A．a≤2 B．a≥－2C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．∴|a|≥2，得a≤－2，或a≥2.4．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(B)A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4解析：令3x ＋2＝t ，则3x ＝t －2，故f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2. 5．已知函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( A ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：设g (x )＝y ＝f (2x )＋2x ，∵函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，∴g (－x )＝f (－2x )－2x ＝g (x )＝f (2x )＋2x ，即f (－2x )＝f (2x )＋4x ，当x ＝1时，f (－2)＝f (2)＋4＝1＋4＝5，故选A.6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )>f (2x －3)的解集是( D )A ．(－∞，3)B ．(3，＋∞)C ．(0,3) D.⎝⎛⎭⎫32 ，3 解析：本题考查函数的单调性．因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (2x －3)⇔x >2x －3>0，解得32<x <3，故选D.7．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( C )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元解析：要想获取最大利润，则甲的价格为6元时，全部买入，可以买120÷6＝20万份，价格为8元时，全部卖出，此过程获利20×2＝40万元；乙的价格为4元时，全部买入，可以买(120＋40)÷4＝40万份，价格为6元时，全部卖出，此过程获利40×2＝80万元，∴共获利40＋80＝120万元，故选C.8．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是( C )A ．这个函数仅有一个单调增区间B ．这个函数有两个单调减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值是7D ．这个函数在其定义域内有最小值是－7解析：结合偶函数图象关于y 轴对称可知，这个函数在[－7，7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．9．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上的最大值为3，最小值为2，则a 的值为( C ) A ．0 B ．1或2 C ．1D ．2解析：二次函数y ＝x 2－2ax ＋a ＋2的图象开口向上，且对称轴为x ＝a ，所以该函数在[0，a ]上为减函数，因此有a ＋2＝3且a 2－2a 2＋a ＋2＝2，得a ＝1.10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( A )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)．又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f (1)>f (2)＝f (－2)>f (3)，故选A. 11．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题：①f (0)＝0；②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1；③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x .其中正确命题的个数是( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－2x ，故④正确．12．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值X 围是( B )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2)∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：根据题意，知y ＝(mx －1)2在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上为减函数，⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞上为增函数，函数y ＝x ＋m 为增函数．分两种情况讨论：①当0<m ≤1时，有1m ≥1，在区间[0,1]上，y ＝(mx －1)2为减函数，且其值域为[(m －1)2,1]，函数y ＝x ＋m 为增函数，其值域为[m,1＋m ]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②当m >1时，有1m <1，y ＝(mx －1)2在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上为减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 1上为增函数．函数y ＝x ＋m 为增函数，在x ∈[0,1]上，其值域为[m,1＋m ]，若两个函数的图象有1个交点，则有(m －1)2≥1＋m ，解得m ≤0或m ≥3.又m 为正数，故m ≥3.综上所述，m 的取值X 围是(0,1]∪[3，＋∞)，故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≥2，2x ，x <2，已知f (x 0)＝8，则x 0＝ 6.解析：∵当x ≥2时，f (x )≥f (2)＝6， 当x <2时，f (x )<f (2)＝4， ∴x 20＋2＝8(x 0≥2)，解得x 0＝ 6.14．若函数f (x )＝x(x ＋1)(2x －a )为奇函数，则a ＝2.解析：由题意知x ≠－1且x ≠a2.因为函数f (x )为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，故x ≠1，即a2＝1，a ＝2.15．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为(－1,0)∪(0,1)．解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0化为f (x )x<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，(3－2a )x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫1，32.解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋a －1，x >1，(3－2a )x －1，x ≤1，显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥(3－2a )×1－1，解得1≤a <32.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0为奇函数．(1)求f (－1)以及实数m 的值；(2)在给出的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象并写出f (x )的单调区间．解：(1)由已知得f (1)＝1， 又f (x )为奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)＝－1.又由函数表达式可知f (－1)＝1－m ，所以1－m ＝－1，所以m ＝2. (2)y ＝f (x )的图象如图所示．y ＝f (x )的单调递增区间为[－1,1]．y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 18．(12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，某某数a 的取值X 围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值X 围．解：(1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于直线x ＝1对称，又函数f (x )的最小值为1， 故可设f (x )＝a (x －1)2＋1， 由f (0)＝3，得a ＝2. 故f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1， 则0<a <12.(3)由已知，即2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1， 化简得x 2－3x ＋1－m >0，设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0，∵x ∈[－1,1]，∴g (x )min ＝g (1)＝－1－m >0，得m <－1.19．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2xx －1.求：(1)f (x )的解析式；(2)f (x )在[2,6]上的最大值和最小值．解：(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 则当x >0时，－x <0，f (x )＝－f (－x )＝－－2x －x －1＝－2xx ＋1，所以f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx －1，x ≤0，－2xx ＋1，x >0.(2)任取2≤x 1≤x 2≤6，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2x 2＋1＝2x 2x 2＋1－2x 1x 1＋1＝2(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)， 由2≤x 1<x 2≤6可得2(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在[2,6]上单调递减． 故当x ＝2时，f (x )取得最大值－43；当x ＝6时，f (x )取得最小值－127.20．(12分)已知函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|，a 为实数． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在[0,3]上的最小值和最大值；(2)若函数f (x )在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，某某数a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <－1或x >2，2x 2－x －2，－1≤x ≤2，结合图象可知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，14上单调递减，在⎣⎡⎦⎤14 ，3上单调递增， f (x )在[0,3]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫14＝－178， f (x )在[0,3]上的最大值为f (3)＝5. (2)令x 2－ax －2＝0，∵Δ＝a 2＋8>0， 必有两根x 1＝a －a 2＋82，x 2＝a ＋a 2＋82， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2，x <x 1或x >x 2，2x 2－ax －2，x 1≤x ≤x 2，若函数f (x )在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －a 2＋82≥－1a 4≤2，即可，解得1≤a ≤8.21．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m 立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；②若每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费时，超过部分每立方米付n 元的超额费；③每户每月的定额损耗费a 不超过5元．(1)求每户每月水费y (元)与月用水量x (立方米)的函数关系式； (2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：的值． 解：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a0<x ≤m ， ①9＋n (x －m )＋a ，x >m . ②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝23分别代入②， 得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n (4－m )＋a ， ③23＝9＋n (5－m )＋a . ④ ③－④，得n ＝6.代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16.又三月份用水量为2.5立方米，若m <2.5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13， 这与a ＝6m －16矛盾．∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量． 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，m ＝3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.22．(12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1. (1)求m ，n 的值；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上为增函数；(3)若f (x )≤a 3对x ∈⎣⎡⎦⎤－13，13恒成立，求a 的取值X 围． 解：(1)因为奇函数f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝0.故有f (0)＝0＋m 02＋n ×0＋1＝0， 解得m ＝0.所以f (x )＝x x 2＋nx ＋1. 由f (－1)＝－f (1)．即－1(－1)2＋n ×(－1)＋1＝－112＋n ×1＋1， 解得n ＝0.所以m ＝n ＝0.(2)证明：由(1)知f (x )＝x x 2＋1，任取－1<x 1<x 2<1. 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1 ＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝x 1x 22－x 2x 21＋(x 1－x 2)(x 21＋1)(x 22＋1) ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1). 因为－1<x 1<1，－1<x 2<1， 所以－1<x 1x 2<1.故1－x 1x 2>0，又因为x 1<x 2， 所以x 1－x 2<0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)由(2)知f (x )在(－1,1)上为增函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－13，13上为增函数， 故最大值为f ⎝⎛⎭⎫13＝310.由题意可得a 3≥310，解得a ≥910. 故a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫910，＋∞.。