专题复习 第9课 函数与其他代数知识的综合运用(含答案)-

函数及函数综合应用 一、函数的表示(分段函数)【典型例题】例1.1 设 f (x )={x +1，x ≤02x ， x >0 ，则满足f(x)+f (x －12)>1的x 的取值范围是 .【答案】(－14，+∞) 【解析】当x ≥12时：显然成立； 当12≥x >0时：f(x)+f (x －12)=2x +x －12+1>1，成立 当x <0时：f(x)+f (x －12)= x +1+x －12+1>1，解得x >－14【要点】分段函数处理方法一：分段解析例1.2 设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-<<-2,8620,22x x x x x x，若两两不相等的正数a 、b 、c 满足f(a)=f(b)=f(c)，则:(1) a+b+c 的取值范围是 . (2) abc 的取值范围是 . 【答案】(1) (7，8) (2) (9，16)【解析】(1)作出y=f(x)的图像，不妨设a<b<c ，则显然0<a <2<b <3<c <4，由对称性b+c =6，由x =3的y max =1，此时x =1，a ∈(1，2)；，a+b+c ∈(7，8)(2)设y=t ，(0<t <1) 则，a =， b 、c 是方程－x 2+6x －8=t 的两根，由韦达定理bc =8+t ，abc ==∈(9，16) 【要点】(1)图像是研究分段函数重要的辅助工具(2)多变量目标函数求范围，要点是研究多个变量之间的关系，将目标函数化为一个变量的函数例1.3 已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，， 若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 ．【答案】[－2，0]【解法一】由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax . ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .a 的下界为抛物线y= x 2－2x 在(0，0) 处的切线斜率故由y’=2x －2知k 切线=－2，∴ a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]．∴∴a t a =-212+t ∴1)8(2++t t 2114++t【解法二】x >0时，g(x)=|f (x )|－ax =ln(x +1)－ax ，当a >0时：x →+∞时g(x) →−∞，不符题意 当a ≤0时：g(x)为增函数，g(x)>g(0)=0，符合题意x ≤0时，g(x)=|f (x )|－ax =x 2－2x －ax =x (x －(a +2))≥0，即x －(a +2)≤0，故a ≥x －2，由x ≤0知a ≥－2例1.4 用min {a,b }表示a,b 两个数中的较小值，用max {a,b }表示a,b 两个数中的较大值，设f(x)=x 2－2(a +2)x +a 2，g(x)=－x 2+2(a －2)x －a 2+8. 令H 1(x )=max {f(x)，g(x)}，记H 1(x )的最小值为A ；令H 2(x )=min {f(x)，g(x)}，记H 2(x )的最大值为B ；则A －B=【答案】－16【解析】令f(x)=g(x)可解得x =a +2和x =a －2作出f(x)及g(x)的图像，由图像可知：A =(H 1(x ))min =f (a +2)；B =(H 2(x ))max =f (a －2) 所以A －B=－16【要点】分段函数处理方法二：图像法二、函数性质及应用【典型例题】例2.1 以下命题中，正确的有 (填出所有正确的命题的序号)① 函数f(x)=－|x －1|+1 的图象关于直线x =1对称，且当 x >1时为减函数 ② 函数f(x)=2x −12x +1为奇函数，且在R 上为增函数③ 函数f(x)=lg x －lg(2－x )+2的图象关于点(1，2)对称，且在(0，2)上为增函数 ④ 所有二次函数的图象都是轴对称图形；所有三次函数的图象都是中心对称图形⑤ 函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的图象关于点(0，1)对称 【答案】12345【解析】(1) 作图可知正确(2) 可验证f(x)+f(－x)=0，函数y =t−1t+1=1－2t+1(t >0) 和t =2x 都是增函数 (3) 可验证：f(x)+f(2－x)=4，函数y = lg x 和y =－lg(2－x )都是增函数 (4) 正确 (5) f(x)=1sin 212+++x xx (奇函数+1)【要点】对称性的验证和发现例2.2 若0<a <b <1，则以下命题中，正确的是 (填出所有正确的命题的序号) ① a b <a a ② a a <b a ③ ba a >ab a ④ a b <b a ⑤ a a <b b【答案】1234【解析】(1) 令f(x)=a x 为减函数，则f(a)>f(b)，即a b <a a (2) 令f(x)=x a 为增函数，则f(a)<f(b)，即a a <b a (3) 令f(x)=x a －1 为减函数，则f(a)>f(b)，化简得ba a >ab a(4) 令f(x)=lnx x，由f(x)导数可得f(x)在(0，e)为增函数，则f(a)<f(b)，即lna a<lnb b所以blna<alnb ，即a b <b a(5) 令f(x)=xlnx ， 由f(x)导数可得f(x)在(0，e －1)为减函数，(e －1，1)为增函数，故f(a)、f(b)的大小不定 即a a 、b b 大小不定【要点】构造函数，利用函数单调性比较大小例2.3设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=0,0,2)(22x bx ax x x x x f ，若f(x)是偶函数，则使得f (3x －2)>f (x 2)的x 的取值范围是【答案】(−3+√172，3)【解析】y=x 2－2x 在x <0时为减函数，而f(x)图像关于y 轴对称，故原不等式等价于： |3x －2|>|x 2|，解得答案【要点】单调性+对称性在不等式中的应用例2.4 设函数f(x)=|)|1ln(112x x +-+，则使得f(x)>f (2x －1)的x 的取值范围是 . 【答案】(－∞，13) ∪ (3，+∞)【解析】注意到f(x)为偶函数，当x >0时，f(x)=)ln(1112x x +-+为减函数， 故原不等式等价于： |x |<|2x －1|，解得答案 【要点】单调性+对称性在不等式中的应用例2.5设f(x)=x 2－2x +a (e x －1+e 1－x ) 恰有1个零点，则a = 【答案】12【解析】注意到f(x)=f (2－x )，即f(x)图像关于x =1对称，所以f (1)=0解得 【要点】主动发现f(x)的对称性注意函数g(x)=f(x －m)+f(m －x) 具有轴对称性 g(x)=f(x －m)－f(m －x )具有中心对称性 本题也有其他解法，但用对称性解决是最快捷的方法例2.6 已知函数f(x)满足f (－x )=2－f(x)，若函数xx y 1+=与y=f(x)图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)……(x m ，y m )，则=+∑=mi i iy x1)(A.0B. mC. 2mD. 4m 【答案】B【解析】f (－x )=2－f(x)表明f(x )图像关于(1，0)中心对称，而xx y 1+=图像也关于(1，0)中心对称， 所以两个函数的图像的公共点也关于(1，0)中心对称 【要点】对称性的应用例2.7 设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数，则( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a ＞bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a ＜bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a ＞bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a ＜b 【答案】A【解析】令f(x)= e x ＋2x 为增函数，则f(a)=f(b)+b>f(b)，所以a>b C 、D 可通过g (x)= e x －2x 的单调性判定 【要点】构造函数，通过单调性研究方程与不等式三、函数图像及图像变换【典型例题】例3.1将函数y=f(x)的图像左移1个单位、再将横坐标变成原来的2倍 (纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图像，已知函数y=g(x)的图像与函数y =ln(x +1)的图像关于y 轴对称，则函数y=f(x)的解析式为( ) A. ln(2x －1) B. ln(－2x +3) C. ln(x +) D.ln(－x －2) 【答案】B【解析】将y =ln(x +1)对称得到g(x)，再逆变换：横坐标变成原来的倍、右移1个单位得到f(x)： g(x)=ln(－x +1)，g(x)→g (2x )=ln(－2x +1)→ln(－2(x －1)+1)= ln(－2x +3)【要点】逆变换例3.2 设函数y=f(x)的图像与y =2log 2(x +a )－2的图像关于直线y =－x 对称，且f (2)+f (0)=3，则a = . 【答案】3【解析】－x =2log 2(－y +a )－2，解得y=a －222+-x ,即为f(x)的解析式f (2)+f (0)=2a －3=3，a =3 【要点】重要的对称变换例3.3 若实数m 、n 满足m +2m =5，n +log 2n =5，则一定有( )A. m+n >5B. m+n =5C.m+n <1D. m+n =1 【答案】B【解析】令f(x)=2x ，g(x)=log 2x ，则f(x)、g(x)图像关于y=x 对称m +2m =5化为2m =5－m ，即直线y =5－x 与f(x)的公共点为(m ，5－m ) 同理直线y =5－x 与g(x)的公共点为(n ，5－n )由于直线y =5－x 与y=x 垂直，所以两个公共点关于y=x 对称，即m =5－n 【要点】主动发现两个函数图像的对称性21212121例3.4 函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．【答案】D【解析】f’(x)=2cosx －xsinx ，f’(0)=2，f’(π)<0；【要点】导数、切线、极限、渐近线等在图像识别中的应用例3.5 函数y =x x xx ee e e ---+的图象大致为( )【答案】A【解析】方法很多，例如奇函数+单调性；也可考虑渐近线例3.6函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的所有可能的取值组成的集合为 ( )．A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5} D．{2,3}【答案】B【解析】为图像上一点(x ，f(x))与原点连线的斜率，观察图像即可得到答案【要点】图像的几何意义xx f )(四、函数应用(不等式、方程)【典型例题】例4.1 当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是 【答案】(22，1) 【解析】当a >1时：4x >1，log a x <log a12<0，不成立 当0<a <1时：g(x)= 4x －log a x 为增函数，g(x)<0恒成立等价于：g (12)<0，解得答案 【要点】分类讨论例4.2 设a >41，若不等式|x 2－2ax －3a 2|≤4a 对任意x ∈[1,4a ]恒成立，则a 的取值范围是 【答案】(41，]【解析】设f(x)= |x 2－2ax －3a 2|=|(x －3a )(x +a )|；由绝对值及二次函数性质知，f(x)在(－∞,－a )减，(－a ，a )增，(a ，3a )减，(3a ，+∞)增 由f (1)=|3a 2+2a －1|≤4a ，得a ≤1；故∴ f(x)max =max {f (1)，f (4a )}，于是f(x)max ≤4a 等价于 解得答案【要点】二次函数、绝对值函数；图像法例4.3 若x ∈[－2，1]，ax 3－x 2+4x +3≥0，则a 的取值范围是 . 【答案】[－6,－2]【解析】x =0时显然成立；－2≤x <0时原不等式等价于a ≤ 令g(t)=－3t 3－4t 2+t (t ≤－)，则g(t)min =g (－1)=－2，故a ≤－2 同理，0<x ≤1时a ≥g(t) (t ≥1)，g(t)max =g (1)=－6，故a ≥－6 【要点】不等式预处理—参数分离，但要合理使用 (不是万能手段)例4.4 若函数f(x)=3x －sin2x +3a sin x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是【答案】[－31，31]【解析】原命题等价于：f’(x)≥0在R 上恒成立；f’(x)= 3－2cos2x +3a cos x =－4cos 2x +3a cos x+5考虑g(t)=－4t 2+3at+5 (－1≤x ≤1)，则g(t)min =min{g (－1)，g (1)}故g(t)≥0恒成立等价于⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(g g ，可解得答案【要点】变量替换54⎪⎩⎪⎨⎧≤=≤-+=aa a f aa a f 45)4(4|123|)1(22xx x x x x 1)1(4)1(3342332+--=--21例4.5 f(x)=2x |log 0.5x |－1的零点个数是 . 【答案】2【解析】分别作出曲线y =|log 0.5x |和曲线y =2－x 的图像 【要点】研究零点的技巧：预处理例4.6 函数f(x)=e x (2x －a )+1有零点，则a 的取值范围是 . 【答案】[2－2ln2，+∞)【解析】f’(x)= e x (2x －a +2)，故f(x)在(－∞，22-a )为减，(22-a ，+∞) 为增 x →+∞时 f(x)→+∞故f(x)有零点的充要条件为：f (22-a )≤0，解得答案 【另解】分别作出y =－e －x 和y =2x －a 的图像，当直线y =2x －a 与曲线y =－e －x 相切时， (－e －x )’=e －x =2，解得x =－ln2，y =－2，即为切点坐标带入直线可解得此时－a =2ln2－2由图像可知，当直线向下移动式满足条件，故－a ≤2ln2－2，即得 【要点】研究零点的方法：(1) 单调性+零点定理 (2) 图像法例4.7 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 【答案】C【解析】f’(x)=3x (ax －2)当a <0时：f(x)在(－∞，2a )减，( 2a ，0)增，(0，+∞)减依题意：f (2a)>0，解得a <－2当a =0时：f(x)有两个零点不符题意；当a >0时：f(x)在(－∞，0)增， (0，2a)减，(2a，+∞)增，而f (0)=1>0，不符题意【要点】三次函数的零点例4.8 设a >1，f(x)=a x ，若存在实数T ，使得对任意实数x 都有f (x +T )=Tf (x )，则a 的取值范围是 【答案】(1，e1e ]【解析】f(x+T)=a T a x =Ta x ，即存在T ，使得a T =T ；即T ln a =ln T ，ln a =TTln ， 考虑函数g(x)=x x ln ，g’(x)=2ln 1x x -=0得x =e ，故g(x)max =g (e)=e 1，所以ln a ≤e1，解得a ≤e 1e例4.9 设a >1，若有且仅有一个常数c 使得对任意的x ∈[a ,3a ]，都有y ∈[a , a 2]满足方程log a x+log a y=c ，这时a 的取值的集合为 . 【答案】{3}【解析】log a x+log a y=c 等价于y =，当x ∈[a ,3a ]时，y ∈[，]xa c 131-c a 1-c a依题意即2+log a 3≤c ≤3依题意，满足条件的c 只有1个，所以log a 3=1，a =3例4.10设函数π()x f x m=，若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <，则m 的取值范围是 ． 【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】∵x 0是f (x )的极值点，0ππcos 0x m m =，即012x mk m =+，k ∈Z. ∴x 02＋[f (x 0)]2＜m 2可转化为2221π122mk m mk m m m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，k ∈Z ， 即存在k ∈Z ，使221312k m ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭；而212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为14，∴23114m ->，解得m ＜－2或m ＞2.例4.11 设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是 【答案】[32e，1)【解析】注意到f (0)= a －1<0，所以原命题成立的一个必要条件为：f (－1)≥0，解得 a ≥ 32e当x ≥1时f’(x)=e x (2x +1)－a >3e －a >0，故f(x)在(1，+ ∞)为增函数，x ≥1时f(x)≥f (1)=e >0当x <－1时f’(x)=e x (2x +1)－a <－e x －a <0，f(x)为减函数，所以f(x)>f (－1)≥0 所以存在唯一的整数0满足题设 【要点】整数命题：探究—证明【思考】若去掉条件a <1，本题如何解答？【提示】考虑预处理：参数分离 注意到f (1)=e>0， 令g(x)= e x (2x−1)x−1 则当x <1时f(x)<0等价于a < g(x)；当x >1时f(x)<0等价于a > g(x)；g'(x)=e x x(2x−3)(x−1)2 g(x)在(－∞，0)增， (0，1)减，(1，32)减，(32，+∞)增g (0)=1，g (32)=4e32>1，存在唯一的整数x 0<1使得a < g(x 0)的充要条件为：g (－1)≥a >g (0)，解得32e≥a >1(此时对任意x >1都有g(x)> g (32)=4e32>a )存在唯一的整数x 0>1使得a > g(x 0)的充要条件为：g (3)≥a >g (2)，解得5e 32≥a >3e 2(此时对任意x<1都有g(x)< g (0)=1<a )例4.12 设f(x)=，g(x)=x 2－4x －4，若∃a 使得f(a)+g(b)=0，则b 的取值范围是 . ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥--21131a a a a c c ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥+-<+21),1ln(21,122x x x x x【答案】(－1，5)【解析】当x ∈(－∞,－)时f(x)=(+1)2－1∈(－1,0)；当x ∈[－，+∞)时f(x)=ln(x +1)∈[－ln2,+∞)，故f(x)∈(－1,+∞)∴g(b)=－f(a)<1，即b 2－4b －4<1 ⇒ b ∈(－1,5). 【要点】∃a 、b ，使得f(a)=g(b)的充要条件为：① f(a) 在函数g(x)的值域内 ② g(b) 在函数f(x)的值域内五、导数及导数的简单应用【典型例题】例5.1 设f(x)为偶函数，当x ≤0时f(x)= e －x －1－x ，则曲线y=f(x)在点(1，f (1))处的切线方程为【答案】y =2x【解析】x ≤0时f’(x)=－e－x －1－1，由f(x)为偶函数可得：f (1)=f (－1)=2，f’(1)=－f’(－1)=2 切线为：y －2=2(x －1)例5.2 若存在直线与曲线y =ln x 和曲线y =x 2+2x +a (x <0)都相切，则a 的取值范围是 . 【答案】(－ln2－1，+∞)【解析】f’(x)= 1x (x >0)，g’(x)=2x +2 (x <0)设切点分别为A(s ，f(s))、B(t ，g(t))，则AB 与两条曲线都相切的充要条件为：f’(s)= g’(t)= f (s )−g(t)s−t ，带入：lns−(t 2+2t+a)s−t=1s=2t +2消去s 并化简得：t 2－ln(2t +2)－1=a由s >0解得－1<t <0，令h(t)= t 2－ln(2t +2)－1，则h ’(t)= 2t (t+1)−1t+1<0，故h(t)为减函数所以h(t)的值域为(－ln2－1，+∞) 【要点】公切线的研究方法：f’(s)= g’(t)= f (s )−g(t)s−t例5.3 已知a >0，已知曲线C ：y= || (0<x <4)上存在两点，曲线C 在该两点处的切线相互垂直，则a 的取值范围是 .【答案】(0，)【解析】设曲线C 在点(x 1，f (x 1))和(x 2，f (x 2))处的切线相互垂直，不妨设x 1<x 2，则f’(x 1)f’(x 2)=－10<x <a 时，f(x)=－，f’(x)=<0；x>a 时，f(x)=，f’(x)=>0；∴ 0<a <4且0<x 1<a <x 2<4于是f’(x 1)=， f’(x)=；=－1化简得x 1+2a =， 又∵x 1+2a ∈(2a ，3a )，∈(，1)21x121ax ax 2+-21a x a x 2+-2)2(3a x a +-a x a x 2+-2)2(3a x a+21)2(3a x a +-22)2(3a x a +21)2(3a x a +-22)2(3a x a+a x a 232+ax a232+a a 243+∴(2a ，3a )∩(，1)≠Φ，即 解得 0<a <例5.4 设f(x)=x 2，g (x)=－(x －1)2，P 、Q 分别是曲线y=f(x)和y=g(x)上的动点，A(s,f(s))和B(t,g(t))分别是曲线上的定点，满足|AB |≤|PQ |对任意P 、Q 都成立. 下面四个数中，哪一个最接近s ？ A.B. C. D. 【答案】B【解析】设f(x)、g(x)在A 、B 处的切线分别为l 、m ，则当l ∥m 且l ⊥AB 时|AB |取得最小值f’(x)=2x ，g’(x)= 2－2x ，所以：2s =2－2t ，且2s ×s 2+(t−1)2s−t=－1消去t 整理得：4s 3+2s －1=0，设h(s)= 4s 3+2s －1，易得h(s)为增函数 则h (0)<0，h (1)>0，h (12)>0，h (14)<0，h (38)<0所以s ∈(38，12)，区间中点为716例5.5若x =－2是函数f(x)=(x 2+ax －1)e x －1的极值点，则f(x)的极小值为【答案】－1【解析】由f’(－2)=0可得a =－1，此时f ’(x)=(x +2)(x －1) e x －1 f(x)min =f (1)=－1例5.6 已知函数有两个极值点m 、n (m <n )，则 ( )A ．f(m)<0，f(n)<－B ．f(m)<0，f(n)>－C ．f(m)>0，f(n)<－D ．f(m)>0，f(n)>－ 【答案】D【解析】由题意知 f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根．令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝xax21-， 当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，因此111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故10<<2a 且121<2x x a <.又h (1)＝1－2a ＞0，∴1211<2x x a<<此时f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减． ∴f (x 1)＜f (1)＝－a ＜0，f (x 2)＞f (1)＝12a ->-. 故选D.例5.7设奇函数f(x)满足：f (－1)=0，当x >0时xf’(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的范围是 . 【答案】(－1，0)∪(0，1) 【解析】f (0)=0不满足；令g(x)= f(x)x ，则g(x)为偶函数，且g’(x)=xf’(x)－f(x)x 2a 243+⎪⎩⎪⎨⎧<+>122433a a a a 211651671691611()(ln )f x x x ax =-21212121依题意x >0时g’(x)<0，故g(x)在(0，+∞)为减函数，在(－∞，0)为增函数 g (－1)=g (1)=0，所以－1<x <0或者0<x <1 【要点】构造函数，利用函数单调性解决不等式问题六、综合例题选讲(重要的代数方法及数学思想)【典型例题】例6.1 已知函数f(x)=x 2e 2x +m |x |e x +1有4个零点，则m 的取值范围是 【答案】(−e+1e 2，+∞) 【解析】令g(x)=|x |e x =|x e x |，令f 1(x )=x e x ，则f 1(x ) (－∞，－1)为为减函数，在(－1，+∞)为增函数 作出y=g(x)的图像，则直线y=t 与曲线y=g(x)的公共点的个数N ：当t <0时N =0；当t =0时N =1；当1e<t <0时N=3；当t=1e时N=2；当t >1e时N=1考虑二次函数h(t)=t 2+mt +1，t =0不是零点， 故f(x)=x 2e 2x +m |x |e x +1有4个零点，当且仅当g(t) 在区间(0，1e)和(1e，+∞)各有1个零点，所以h (0)>0，h (1e)<0，解得 【要点】变量替换例6.2 设函数f (x )＝a 1－x 2＋1＋x ＋1－x ，若总存在x 0∈[－1，1]，使得f (x 0)>23，则a 的取值范围 是【答案】(－，+∞)【解析】设t=1＋x ＋1－x ，t 2=2+2∈[2,4]，t ∈[,2]；此时f (x )=m(t)=t 2+t －a ，依题意：m(t)max >23 当a ≥0时， m(t)在[,2]上为增函数，m(t)max =m (2)=a +2 >23，符合题意 a <0时，m(t)的对称轴为t = 当<，即a <时，m(t)max =m ()=<23，不符题意当≤≤2，即≤a ≤－时，m(t)max ==m () =－a >23，无解当－<a <0时，m(t)max ==m (2)=a +2>23，符合题意，综上a >－【要点】变量替换例6.3 设f(x)=e x +e －x ，g(x)=f (2x )－2af(x)+4a －2，若g(x)恰有1个零点，则a 的取值范围是 【答案】[2，+∞) 【解析】由于(f(x))2= e 2x +e－2x+2，g(x)= e 2x +e－2x－2a (e x +e －x )+ 4a －2=(e x +e －x )2－2a (e x +e －x ) +4a －4=(f(x))2－2af(x)+ 4a －4=[f(x)－2][f(x)－(2a －2)]2121x -∴22a 2a1-a 1-222-222a 1-22-21a 1-a 21-2121由于f(x)－2=0恰有1个根x =0，所以f(x)－(2a －2)=0无根或只有1个0根 由于f(x)值域为[2，+∞)，所以(2a －2)≤2，解得答案 【要点】变量替换、因式分解例6.4 设a >0，函数f(x)=23x 2－2ax －a 2ln x －b ，若f(x)恰有1个零点，则b 的最大值为 【答案】12e 2【解析】f’(x)=(3x+a)(x−a)x(x >0)，f(x)在(0，a )减，(a ，+∞)增依题意：f(a)=0解得b =－a 2－a 2ln a (记为g(a)) g’(a)=－2a (1+ln a )，g(a)在(0，1e)为增，( 1e，+∞)为减，所以b max =g (1e)= 12e 2【要点】等价转化例6.5 已知函数f(x)=e x －ax 2+bx －1 满足f (1)=0，且f(x)在区间(0，1)内有零点，则a 的取值范围是 【答案】(e －1，1)【解析】注意到f (0)=f (1)=0，依题意f(x)在(0，1)内至少有2个极值点，即f’(x)在(0，1)内至少有2个零点 由f (1)=e －a +b －1=0，可得b =1－e +a f’(x)= e x －2ax +b ，(f’(x))’=e x －2a ，由e>e x >1若a ≤12，则(f’(x))’ >0，f’(x)为增函数，不会有2个零点，不符题意； 若a ≥e 2，同理不符题意当 12<a <e 2 时，f’(x)在(0，ln2a )为减函数，(ln2a ，1)为增函数f’(x)在(0，1)内有2个零点，充要条件为：{f ′(0)>0f ′(ln2a )<0f ′(1)>0解得：e －1<a <1 【要点】等价转化例6.6 若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 【答案】16【解法一】由f (1)=f (－1)=0，f(x)图像关于x ＝－2对称，所以f (－5)=f (－3)=0 故a =－(－3－5)=8，b =15此时f (x )＝－(x +1)(x －1)(x +3)(x +5)=－(x 2+4x +3)(x 2+4x －5) =－(t 2－2t －15)=－(t －1)2+16其中：t = x 2+4x ∈[－4，+∞），当t= 1时f(x)max =16【解法二】考虑g(x)=f (x －2)为偶函数，g (－1)=g (－3)=0，所以g (1)=g (3)=0 故g(x)=－(x +3)(x +1)(x －1)(x －3)=－(x 2－1) (x 2－9)=－(x 2－5)2+16 【要点】(1) 变量替换(2) 灵活处理对称条件21例6.7 设f(x)=e x －x －e +1，命题p ：f(x)≤0，命题q ：－1≤x ≤1，则p 是q 的： A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】注意到f (1)=0，f’(x)= e x －1，所以f(x)在(－∞，0)为减，(0，+∞)为增f (－1)=2+e －1－e<0，f (－2)=3+e －2－e>0，所以f(x)在(－∞，0)上有一个零点，设为x 0， f(x)≤0的充要条件为x 0≤x ≤1由于－2<x 0<－1，故为－1≤x ≤1的必要不充分条件 【要点】单调性与不等式例6.8 设f(x)=e x －ax －1，g(x)=ln x －ax+a ，若总存在x ∈(1，2)，使得f(x)g(x)<0，则a 的取值范围 是 【答案】[ln2，e 2−12]【解析】f’(x)= e x －a ，g’(x)= 1x－a ，注意到e x ∈(e ，e 2)，1x∈( 12，1)，故对a 分类讨论(1) 当a ≤12时，f’(x)≥0，g’(x)≥0，故f(x)、g(x)都是(1，2)上的增函数，f(x)>f (1)= e －a －1>0，g(x)>g (1)=0，故不符题意；(2) 当12<a ≤1时，同理f(x)> 0，而g(x)在(1，1a)为增，( 1a ，2)为减依题意：g (2) ≤0，解得ln2≤a ≤1(3) 1<a ≤e 时：g(x)是(1，2)上的减函数，所以g(x)<g (1)=0f(x)是(1，2)上的增函数，故f(2)≥0，解得1<a ≤e(4) e<a ≤e 2时：同理g(x)<0，此时f(x)在(1，ln a )为减，(ln a ，2)为增，故f(1)≥0或者f(2)≥0解得e<a ≤e 2−12(5) a ≥e 2时：f(x)是(1，2)上的减函数，f(x)<f (1)= e －a －1<0，同理g(x)<0，不符题意【要点】分类讨论例6.9 设f(x)=2ax 2+(a －1)x －1 (a >0)，求函数y =|f(x)|在[－1，1]上的最大值【分析】结合|f(x)|的图像，判定f(x)的零点与定义域的位置关系，再比较极值与端点函数值的大小【解析】 由a >0，f (0)=－1<0， f (－1)=a >0，所以：f(x)有两个零点(设为x 1x 2)满足：x 1<－1<x 2 f(x)的对称轴为x 0=a a 41-，t 0－1=aa451- 情形①：当0<a ≤51时，1≤x 0，| f(x)|在(－1，x 1)减，(x 1, 1)增x 2x 0－1x 1而|f (1)|= 2－3a >|f (－1)|，所以：|f(x)|max =2－3a情形②：51<a <32时，x 0<x 2<1， |f(x)|在 (－1，x 1)减，(x 1， x 0)增，(x 1， x 2)减，(x 2，1)增|f(x)|max =max{|f(－1)|，|f(x 0)|，|f(1)|}|f (1)|－|f (－1)|=2(a －1)<0|f (x 0)|=a a a 8162++ |f (x 0)|－|f (－1)|=a a a 8)1)(17(-+->0所以：|f(x)|max =aa a 8162++情形③：a 32≥时， x 0<1≤x 2， |f(x)| 在(－1，x 1)减，(x 1，x 0)增，(x 0，1)减 |f(x)|max =max{|f(－1)|，|f(x 0)| } 故当 a <1时：|f(x)|max =aa a 8162++当a ≥1时：|f(x)|max =|g (1)|=3a －2综上，|f(x)|max ={2−3a ，0<a ≤15a 2+6a+18a， 15<a <13a −2， a ≥1．【要点】分类讨论。

函数与方程的综合运用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共9小题） 1．（2019•北京模拟）函数1()2x f x x=-的零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．（2019•门头沟区一模）函数2()21f x x ex m =-++-，函数2()(0)e g x x x x=+>，（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈若函数()()()h xf xg x =-有两个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．221m e e <-++B ．221m e e >-+C ．221m e e >-++D ．221m e e <-+3．（2019•北京学业考试）函数3()f x x x =-的零点的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．34．（2019•西城区一模）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为( ) A ．2B ．4C．D．5．（2019•昌平区二模）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)xxx x f x x x e ⎧-<⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩，若函数()()F x f x m=-有6个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．211(,)16e -B ．211(,0)(0,)16e-C ．21(0,)e D ．21[0,)e 6．（2019•海淀区校级模拟）若28log (0x a y x a =->且1)a ≠在区间(0，1]3上无零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(0，1)(13⋃，)+∞C ．1(3，1)(1⋃，)+∞D ．(0，1)(4⋃，))+∞7．（2019•海淀区二模）若关于x 的方程1x a x+=在(0,)+∞上有解，则a 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．[3，)+∞8．（2019春•海淀区校级期末）已知函数())f x a R =∈，若存在0[0x ∈，1]，使得00(())f f x x =，则a 的取值范围是( ) A ．[1，]eB ．[0，1]C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]9．（2019秋•海淀区校级月考）已知2()|log |f x x =，关于x 的方程()(0)f x m m =>的根为1x ，212()x x x <，关于x 的方程44()()11f x m m m =≠++的为3x ，434()x x x <，当m 变化时，4231||x x x x --的最小值为( ) A．B ．8 C．D ．16二．填空题（共6小题）10．（2019秋•海淀区校级期中）如果关于x 的方程2(1)0x m x m +--=有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为 ．11．（2019秋•朝阳区校级期中）设函数()[](0)f x x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，1=，[2]2=．若函数y kx =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是 ． 12．（2019•门头沟区一模）若函数()f x 满足对定义域上任意1x ，2x 都有不等式1212()()()22x x f x f x f ++>成立，则称此函数为“P 函数”，请你写出一个“P 函数”的解析式 ．13．（2019秋•海淀区校级月考）已知函数,0()1,0x e x f x ln x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，则直线1y x =+与曲线()y f x =的交点个数为 ；若关于x 的方程1()0f x x a e++=有三个不等实根，则实数a 的取值范围是14．（2019秋•朝阳区校级期中）已知函数24,04()1020,4x x f x xx x x ⎧+<<⎪=⎨⎪-+-⎩，若有且仅有不相等的三个正数1x ，2x ，3x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的值为 ，若存在12340x x x x <<<<，使得1234()()()()f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围是 ．15．（2018秋•海淀区期末）已知函数||()x t f x e -=，()g x x e =-+，(){()h x max f x =，()}g x ，其中{max a ，}b 表示a ，b 中最大的数．（Ⅰ）若1t =，则(0)h = ．（Ⅱ）若()h x e >对x R ∈恒成立，则t 的取值范围是 ．函数与方程的综合运用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题） 1．（2019•北京模拟）函数1()2x f x x=-的零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】对函数求导判断其单调性，继而判断零点个数． 【解答】解：求导数，可得21()22x f x ln x'=--， 210x>，220x ln > ()0f x ∴'<∴函数1()2x f x x=-单调递减， 1()202f =>，f （1）1210=-=-< ∴函数在1(,1)2上有唯一的零点．故选：B ．【点评】此题可以用求导来做也可以用数形结合的方法来求解，相比较而言求导还是比较方便的．2．（2019•门头沟区一模）函数2()21f x x ex m =-++-，函数2()(0)e g x x x x=+>，（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈若函数()()()h xf xg x =-有两个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．221m e e <-++B ．221m e e >-+C ．221m e e >-++D ．221m e e <-+【分析】由导数的应用得：函数()h x 在(0,)e 为增函数，在(,)e +∞为减函数，由函数()y h x =的最值可得：函数()()()h x f x g x =-有两个零点，则需()max h x h =（e ）2210e e m =-+->，即221m e e >-++，得解【解答】解：由已知有22()()()(21)1e h x f x g x x e x m x=-=-+--+-，所以22()2(21)e h x x e x'=-+-+，由复合函数的单调性可得：()h x '在(0,)+∞为减函数， 又h '（e ）0=，即0x e <<时，()0h x '>，x e >时，()0h x '<， 即函数()h x 在(0,)e 为增函数，在(,)e +∞为减函数， 即()max h x h =（e ）221e e m =-+-，函数()()()h x f x g x =-有两个零点， 则需()max h x h =（e ）2210e e m =-+->， 即221m e e >-++， 故选：C ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，属中档题 3．（2019•北京学业考试）函数3()f x x x =-的零点的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】函数()0f x =，求出方程解，即可得到函数的零点的个数．【解答】解：函数3()(1)(1)0f x x x x x x =-=+-=，解得0x =或1x =，或1x =-； 函数3()f x x x =-的零点的个数是3个， 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是函数零点的求法，函数与方程的应用，是基本知识的考查．4．（2019•西城区一模）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为( ) A ．2B ．4C ．22D ．26【分析】化简切线方程，在平面直角坐标系中画出图形，利用新定义判断求解即可． 【解答】解：曲线2||2y x =-，等价于222,02,0y x y y x y ⎧=-⎨=-<⎩，如图：由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大：4， 那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为：4． 故选：B ．【点评】本题考查函数与方程的应用，曲线的图形的画法，考查数形结合以及计算能力．5．（2019•昌平区二模）已知函数()f x是定义在R上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)xxx xf xxxe⎧-<⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩，若函数()()F x f x m=-有6个零点，则实数m的取值范围是()A．211(,)16e-B．211(,0)(0,)16e-C．21(0,)eD．21[0,)e【分析】根据函数与方程的关系，结合偶函数的性质，转化为当当0x>时，函数()()F x f x m=-有3个零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：()f x是定义在R上的偶函数，若函数()()F x f x m=-有6个零点，∴等价为当0x>时，函数()()F x f x m=-有3个零点，且0不是函数()()F x f x m=-的零点，即当0x>时，()f x m=有3个根，当01x<时，2211()()244xf x x x=-=--，当1x时，1()xxf xe-=，则2(1)2()()x xx xe x e xf xe e---'==当2x>时，()0f x'<，函数为减函数，当12x<时，()0f x'>，函数为增函数，即当2x=时，函数()f x为极大值，极大值为f（2）21e=，当1x时，()0f x，作出()f x在0x时的图象如图，要使y m=与()y f x=在0x时有三个交点，则210me<<，即实数m的取值范围是21(0,)e，故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当0x >时，函数()()F x f x m =-有3个零点，以及利用数形结合是解决本题的关键．6．（2019•海淀区校级模拟）若28log (0x a y x a =->且1)a ≠在区间(0，1]3上无零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(0，1)(13⋃，)+∞C ．1(3，1)(1⋃，)+∞D ．(0，1)(4⋃，))+∞【分析】根据函数与方程之间的关系转化为两个函数()8x f x =与2()log 2log a a h x x x ==，(0a >且1)a ≠在区间(0，1]3上没有交点，利用数形结合以及指数和对数函数的图象和性质进行求解即可． 【解答】解：若28log (0x a y x a =->且1)a ≠在区间(0，1]3上无零点，即28log (0x a x a =>且1)a ≠在区间(0，1]3上无解，则函数()8x f x =与2()log 2log a a h x x x ==，(0a >且1)a ≠在区间(0，1]3上没有交点，则当1a >时，()h x 为增函数，此时两个函数在(0，1]3上没有交点，满足条件，当01a <<时，当13x =时，131()823f ==，即1(3A ，2)，要使两个函数在(0，1]3上没有交点，则只需要当13x =时，11()()233h f >=即可， 此时12log 23a>，得1log 13a >，得1log log 3a a a >，则113a <<， 综上113a <<或1a >，即实数a 的取值范围是1(3，1)(1⋃，)+∞，故选：C ．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合条件转化为两个函数图象没有交点以及利用数形结合是解决本题的关键．7．（2019•海淀区二模）若关于x 的方程1x a x+=在(0,)+∞上有解，则a 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．[3，)+∞ 【分析】根据函数与方程之间的关系，结合基本不等式求出12x x+，即可得到结论． 【解答】解：当0a >时，1122x x x x +=，当且仅当1x x=．即1x =时，取等号， 要使方程1x a x+=在(0,)+∞上有解， 则2a ，即实数a 的取值范围是[2，)+∞， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合基本不等式求出1x x+的范围是解决本题的关键．8．（2019春•海淀区校级期末）已知函数())f x a R =∈，若存在0[0x ∈，1]，使得00(())f f x x =，则a 的取值范围是( ) A ．[1，]eB ．[0，1]C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]【分析】由存在0[0x ∈，1]，使得00[()]f f x x =，又函数()f x 单调递增，则必有00()f x x =化为：2x e x a x +-=，即2x e x x a -+=，由函数2()x h x e x x =-+在[0，1]的值域即可得出．【解答】解：由存在0[0x ∈，1]，使得00[()]f f x x =，又函数()f x 单调递增， 则必有00()f x x =，（证明：假设00()f x x ≠，则000(())()f f x f x x ≠≠，与已知矛盾） 由00()x f x =化为：2x e x a x +-=，即2x a e x x =--+，[0x ∈，1]，函数2()x h x e x x =-+，[0x ∈，1]，()120x h x e x '=+-．∴函数2()x h x e x x =-+在[0，1]单调递增． (0)()h h x h （1），1()h x e ∴，1a e ∴， 故选：A ．【点评】本题考查了指数函数与二次函数的单调性、数形结合方法、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题9．（2019秋•海淀区校级月考）已知2()|log |f x x =，关于x 的方程()(0)f x m m =>的根为1x ，212()x x x <，关于x 的方程44()()11f x m m m =≠++的为3x ，434()x x x <，当m 变化时，4231||x x x x --的最小值为( )A ．B ．8C ．D ．16【分析】由题意画出函数()f x 的图象，分别求出为1x ，2x ，3x ，4x ，进而求出比值，由均值不等式求出最小值． 【解答】解：画出函数()f x 的图象，如图所示关于x 的方程()(0)f x m m =>的根为1x ，2x 可得，12m x -=，22m x =，同理x 的方程44()()11f x m m m =≠++的为3x ，4x ，可得4132m x -+=，4142m x +=，所以444441111421114311|22||22|||22224|22||22|1mm m m m m m m m m mm m x x x x m +++++-+++--+---====---+． 因为0m >，11m +>，所以414112(1)131m m m m +++-+-=+，所以41131228m m ++-+=，所以所以4231||x x x x --的最小值为8， 故选：B ．【点评】考查函数与方程的关系及均值不等式的应用，属于中档题． 二．填空题（共6小题）10．（2019秋•海淀区校级期中）如果关于x 的方程2(1)0x m x m +--=有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为 1(,)2-∞- ．【分析】方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可． 【解答】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩， 解得：12m <-．实数m 的取值范围：1(,)2-∞-．故答案为：1(,)2-∞-．【点评】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题．11．（2019秋•朝阳区校级期中）设函数()[](0)f x x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[3]1=，[2]2=．若函数y kx =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是 1(4，1)3．【分析】画出()f x 的图象，数形结合，可以判断出k 的范围． 【解答】解：画出()f x 的示意图如下：当y kx =过(3,1)时，13k =，当y kx =过(4,1)时，14k =，所以1(4k ∈，1)3，故答案为：1(4，1)3．【点评】本题考查函数图象交点问题，数形结合是关键，属于基础题．12．（2019•门头沟区一模）若函数()f x 满足对定义域上任意1x ，2x 都有不等式1212()()()22x x f x f x f ++>成立，则称此函数为“P 函数”，请你写出一个“P 函数”的解析式 2()log f x x = ． 【分析】判断“P 函数”的图象特征，然后找出满足题意的函数的即可． 【解答】解：函数()f x 满足对定义域上任意1x ，2x 都有不等式1212()()()22x x f x f x f ++>成立，则称此函数为“P 函数”，函数的图象如图：所以“P 函数”的解析式可以为：2()log f x x =． 故答案为：2()log f x x =．【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的图象的特征是解题的关键．13．（2019秋•海淀区校级月考）已知函数,0 ()1,0xexf xln xx⎧<⎪=⎨>⎪⎩，则直线1y x=+与曲线()y f x=的交点个数为1；若关于x的方程1()0f x x ae++=有三个不等实根，则实数a的取值范围是【分析】第一空数形结合，画出图象即可；第二空x的方程1()0f x x ae++=有三个不等实根()f x⇔的图象与1y x ae=--的图象有三个交点．当0a=和1a=-时，是两种临界状态．【解答】解：（1）由图可知，只有一个交点．（注意：0x=取不到）（2）x的方程1()0f x x ae++=有三个不等实根()f x⇔的图象与1y x ae=--的图象有三个交点．经计算，当0a=时，1ye=-的图象与1y lnx=的图象相切，此时共两个交点，将1ye=-图象下移时只有有一个交点；将1ye=-图象上移时，有三个交点；直到当1a=-时，1ye=-的图象与()f x的图象刚好两个交点，当1ye=-图象上移时只有2个交点，故当10a-<<时，()f x的图象与1y x ae=--的图象有三个交点．【点评】本题考查函数的图象，函数与方程的综合运用，切线等知识点，属于中档题．14．（2019秋•朝阳区校级期中）已知函数24,04()1020,4x xf x xx x x⎧+<<⎪=⎨⎪-+-⎩，若有且仅有不相等的三个正数1x，2x，3x，使得123()()()f x f x f x==，则123x x x++的值为11或12，若存在12340x x x x<<<<，使得1234()()()()f x f x f x f x===，则1234x x x x的取值范围是．【分析】根据解析式画出图象，数形结合找到当4y=或5时，有且仅有不相等的三个正数1x，2x，3x，使得123()()()f x f x f x==，对应求出1x，2x，3x，即可求出他们的和；而当(4,5)y∈时，存在12340x x x x<<<<，使得1234()()()()f x f x f x f x===，根据解析式可以求出124x x=，3410x x+=，所以1234x x x x可化成234(5)100x--+，再结合3x范围即可求出取值范围．【解答】解：不妨设1x、2x、3x、4x按从左到右顺序排列：如下图：当4y=或5时，有且仅有不相等的三个正数1x，2x，3x，使得123()()()f x f x f x==，则当4y=时，12x=，24x=，36x=，此时12312x x x++=；当5y=时，11x=，24x=，35x=，此时12311x x x++=．如图，，结合上问可知，当(4,5)y ∈时，存在12340x x x x <<<<，使得1234()()()()f x f x f x f x ===， 不妨令此时y a =，则对于1x 、2x 满足方程4x a x+=，即240x ax -+=，所以124x x =； 对于3x 、4x 满足方程21020x x a -+-=，即210200x x a -+--=，所以3410x x +=，则有4310x x =-， 所以212343433344(10)4(5)100x x x x x x x x x ==-=--+，其中3(4,5)x ∈，则234(5)100(96,100)x --+∈， 故答案为：12或11；(96,100)．【点评】本题考查函数的图象，函数与方程的结合，数形结合是关键，属于中档题．15．（2018秋•海淀区期末）已知函数||()x t f x e -=，()g x x e =-+，(){()h x max f x =，()}g x ，其中{max a ，}b 表示a ，b 中最大的数．（Ⅰ）若1t =，则(0)h = e ．（Ⅱ）若()h x e >对x R ∈恒成立，则t 的取值范围是 ．【分析】（1）由(){()h x max f x =，()}g x ，其中{max a ，}b 表示a ，b 中最大的数．则()y h x =为取大函数，通常作图，借助图象观察即可，()y h x =的图象取各段上方图象即可，（2）()h x e >对x R ∈恒成立，由取大函数可知，只需将||()x t f x e -=，将左平移||t 个单位，由图象观察可知：只需(0)f e >即可，可得解【解答】解（1）由(){()h x max f x =，()}g x ，其中{max a ，}b 表示a ，b 中最大的数． 则()y h x =为取大函数，通常作图，借助图象观察即可， ()y h x =的图象取各段上方图象即可，由图（1）可知：(0)h e =，故答案为：e（2）由图（2）可知：()h x e >对x R ∈恒成立，由取大函数可知，只需将||()x t f x e -=，将左平移||t 个单位，且(0)f e >即可，即||t e e >，又由图可知0t <， 即||1t >，又由图可知0t <， 所以t 的取值范围是：1t <-， 故答案为：1t <-．【点评】本题考查了取大函数的有关问题，借助图象，利用数形结合的思想解题，属难度较大的题型．。

函数性质综合运用（讲义）➢课前预习1.填空：①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应两个函数图象的__________________；方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________．特别地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标．当∆＞0时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当∆=0时，与x轴有_____个交点；当∆＜0时，与x轴______交点．②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________．2.借助二次函数图象，数形结合回答下列问题：①当a＞0时，抛物线开口_____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的增大而增大；该二次函数有最____值，是_______；②当a＜0时，抛物线开口____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的增大而增大；该二次函数有最___值，是______．③已知二次函数y=x2+2x-3．当-5＜x＜3时，y的取值范围为__________；当1＜x≤5时，y的取值范围为__________．注：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为24()24b ac ba a--，．➢知识点睛a b c k ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩①坐标代入表达式，得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断，，，等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围③图象平移：左加右减，上加下减将方程、不等式转化为函数，函数与方程、不等式数形结合，借助图象分析⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩第一步：设坐标利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步：坐标相减竖直线段：纵坐标相减，上减下水平线段：横坐标相减，右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似，利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ➢ 精讲精练1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示．y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)；④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2．由表可知，正确的说法有______个．2. 已知二次函数y =(x -h )2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ．5或1B ．-1或5C ．1或-3D ．1或33. 已知二次函数y =ax 2-bx -2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)，当a -b 为整数时，ab 的值为（ ）A．34或1B．14或1C．34或12D．14或344.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2．给出下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④若点A(-3，y1)，B(12-，y2)，C(72，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确的结论有_______（填写序号）．5.若m，n（n＜m）是关于x的一元二次方程1-(x-a)(x-b)=0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系为__________．6.设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（）A．2275a-<<B．25a>C．27a<-D．211a-<<7.若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间（不含-1，3），则k的取值范围是_______________．8.已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A(m+1，n)，B(m-9，n)两点，则n的值为（）A．16B．18C．20D．259. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线2y x=与直线y =x 交于A ，B 两点，点C 是x 轴上一动点，过点C 作x 轴垂线，交双曲线于点P ，交直线y =x 于点Q ，当PQ 长为1时，点Q 的坐标为__________________．第9题图 第10题图10. 如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线211322y x x =--交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与点A ，B 重合），过点P作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．设点P 的横坐标为m ． （1）设线段PC 的长为n ，则n 与m 之间的函数关系式为______________； （2）线段PD 长的最大值为______________． 11. 如图，抛物线224233y x x =--与x 轴正半轴交于点A ，交y 轴于点B ．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PC ，过点B 作BC ⊥PC 于点C ，连接PB ．当△BCP 为等腰直角三角形时，线段PC 的长为__________．12. 如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），过点P 作PE ⊥BC 于点E ，点D 的坐标为(0，6)，连接PD ．在变化过程中，PD 与PE 的差为定值，则PD -PE =___________．13.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有_____个交点，所以对应方程x2-2|x|=0有_____个实数根；②方程x2-2|x|=2有______个实数根；③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是___________．【参考答案】 ➢ 课前预习1. ①交点的坐标；横坐标；y =ax 2+bx +c （a ≠0）；x 轴；2；1；没有；②22. ①向上；2b a>-；小；244ac b a -；②向下；2ba<-；大；244ac b a -；③-4≤y ＜12；0＜y ≤32 ➢ 精讲精练 1. 4 2. B 3. A 4. ①③⑤ 5. n ＜b ＜a ＜m 6. D 7. -1＜k ≤0 8. D9. (-1，-1)或(1，1)或(-2，-2)或(2，2)10. （1）2142n m m =-++；（211.1722或 12. 213. （1）0；（2）图略；（3）略；（4）①3；3；②2；③-1＜a ＜0．函数性质综合运用（习题）➢巩固练习14.二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：A．抛物线的开口向下B．当x＞-3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是-2D．抛物线的对称轴是52 x=-15.已知函数21121x xyxx⎧+-⎪=⎨<-⎪⎩≥（）（），则下列函数图象正确的是（）A BC D16.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A(-1，0)，与y轴的交点B在(0，-2)和(0，-1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac-b2＜8a；④1233a<<；⑤b＞c．其中正确的有（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤17.抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4B．6C．8D．1018.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A，B(m+2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是__________．19.已知正比例函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能是（）A BCD20. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为(4，3)，D是抛物线y =-x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为________．21. 已知点P (m ，n )在抛物线y =ax 2-x -a 上，当m ≥-1时，总有n ≤1成立，则a 的取值范围是____________． 22. 借助函数图象解下列不等式：x 2+3x -4＞0x 2-3x +1＞2x -523. 若关于t 的不等式组0214t a t -⎧⎨+⎩≥≤恰有三个整数解，则一次函数14y x a =-的图象与反比例函数32a y x+=的图象的交点的个数为_________．24. 如图，抛物线y =-x 2+4x +5与x 轴交于A ，B 两点，直线334y x =-+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E ．设点P 的横坐标为m ．当PE =5EF ，m 的值为_________________．25. 直线y =kx +b 与抛物线214y x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，当OA ⊥OB 时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为___________．提示：借助三等角模型和一元二次方程根与系数关系来进行分析．➢ 思考小结对于高次方程、高次不等式，我们常常借助方程、不等式与函数图象的关系，转化为函数图象分析求解．①对于x 2-2x -6＞-3而言，可以直接看作是函数y =x 2-2x -6与直线y =-3比大小，请画出对应的函数图象，并进行求解．②对x2-2x-6＞-3化简，得到x2-2x-3＞0，该不等式可看作是函数y=x2-2x-3与x轴比大小，请画出对应的函数图象，求解后与第一种方法对比．【参考答案】 ➢ 巩固练习1. D2. C3. D4. A5. (-2，0)6. C7. 158. 102a -<≤9. ①x ＜-4或x ＞1；②x ＜2或x ＞3．10. 0个或1个11. 122+或12. (0，4)➢ 思考小结 ①图略，x ＜-1或x ＞3 ②图略，x ＜-1或x ＞3。

总复习：函数的综合应用 1．若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；2．若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ）A ．23B ．32C ．3D ．31 3.已知定义在R 上的函数y =f （x ）对任意的x 都满足f （x +1）=﹣f （x ），当﹣1＜x ＜1时，f （x ）=x 3，若函数g （x ）=f （x ）﹣log a |x |至少6个零点，则a 取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定5．直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．若方程0x a x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(0,)+∞7．函数f(x)＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)8．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( )A ．a<－1B ．a>1C ．－1<a<1D ．0≤a<19.若函数2()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.1a <B.1a >C.1a ≤D.1a ≥10.设函数是[-1，1]上的增函数，且11022f f ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则方程()0f x =在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根11.若已知()()0,0f a f b <>，则下列说法中正确的是( )A.()f x 在(),a b 上必有且只有一个零点B.()f x 在(),a b 上必有正奇数个零点C.在(),a b 上必有正偶数个零点D.在(),a b 上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点12.函数在区间()1,2内的函数值( ) A.大于等于0 B.小于等于0 C.大于0 D.小于013.已知a ∈R ，函数4|-|f x x a a x=++（）在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ． 14.设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，2x x f x =x x D D⎧∈⎪⎨∉⎪⎩，（），，其中集合D={x|x=n-1n，n ∈N *}，则方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是 ． 15.已知实数a ，b 分别满足a 3﹣3a 2+5a =1，b 3﹣3b 2+5b =5，则a +b 的值为 ． 16.已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.(I)讨论()f x 的单调性；(II)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.17．已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ）．（1）当函数()f x 的图像过点(1, 0)-，且方程()0f x =有且只有一个根，求()f x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]2, 2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的 取值范围；（3）若() 0,()() 0,f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 当0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数时，试判断()()F m F n +能否大于0？【参考答案与解析】1.C 对于A 选项：可能存在；对于B 选项：必存在但不一定唯一()3f x x bx c =++()f x ()f x ()232f x x x =-+2.C 作出123lg ,3,10x y x y x y ==-=的图象，23,y x y x =-=交点横坐标为32，而123232x x +=⨯= 3.【答案】A【解析】函数g （x ）=f （x ）﹣log a |x|的零点个数，即函数y =f （x ）与y =log a |x |的交点的个数； 由f （x +1）=﹣f （x ），可得f （x +2）=f （x +1+1）=﹣f （x +1）=f （x ），故函数f （x ）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x ＜1时，f （x ）=x 3，据此可以做出f （x ）的图象，y =loga |x |是偶函数，当x ＞0时，y =log a x ，则当x ＜0时，y =log a （﹣x ），要使函数y=f （x ）与y =log a |x |至少有6个交点，则 当a>1时，log a 5＜1 或当0<a<1 时，log a 5≥﹣1，解得 a ＞5，或105a <≤， 故选A ．4.B ()()1.5 1.250f f ⋅<5.A 作出图象，发现有4个交点6．A 作出图象，发现当1a >时，函数x y a =与函数y x a =+有2个交点7.C 解法一：本题考查了函数的零点定理和导数．∵f′(x)＝e x ＋1>0，∴函数f(x)＝e x ＋x －2在R 上单调递增，又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，即f(0)f(1)<0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．解法二：∵f(0)＝e 0－2＝－1<0，f(1)＝e 1＋1－2＝e 1－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故f(x)＝ex ＋x8.B f(x)＝2ax 2－x －1∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a －2∴由f(1)>0得a>1，又当f(1)＝0，即a ＝1时，2x 2－x －1＝0的两根为x1＝1，x 2＝－12不适合题意．故选B. 9.B 由方程220x x a ++=的判别式小于0，可得1a >，故选B.10.C ()f x 在[-1，1]上是增函数且11022f f ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0f x ∴=在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一实根 在[-1，1] 上有唯一实根.故选C.11.D 若不连续则可能没有零点，若()f x 在该区间有二重零点则可能有正偶数个零点.故选D.12.D ()232f x x x =-+的两个零点是1和2，()f x 在1和2之间函数值同号.又31024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故选D. 13.【答案】9-2∞（，） 【解析】由题可知4|-|5x a a x ++≤，即4|-|5-x a a x +≤，所以a≤5， 又因为4|-|5-x a a x+≤， 所以4-5-5-a x a a x≤+≤， 所以42-55a x x≤+≤， 又因为1≤x ≤4，445x x≤+≤， 所以2a ﹣5≤4，解得92a ≤， 故答案为：9-2∞（，）． 14.【答案】8【解析】∵在区间[0，1）上，2x x f x =x x D D⎧∈⎪⎨∉⎪⎩，（），， 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，2x-1x f x =x-1x D D⎧∈⎪⎨∉⎪⎩（），（），，此时f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；()0f x ∴=()f x区间[3，4）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[4，5）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[5，6）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[6，7）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[7，8）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[8，9）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f （x ）的图象与y=lgx 无交点；故f （x ）的图象与y=lgx 有8个交点；即方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：815. 2【解析】由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．将已知等式变形为（a ﹣1）3+2（a ﹣1）=﹣2，（b ﹣1）3+2（b ﹣1）=2，构造函数f （x ）=x 3+2x ，∵f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数∵f′（x ）=3x 2+2＞0∴f （x ）单调递增∴f （x ）是一个单调递增的奇函数，因为f （a ﹣1）=﹣2，f （b ﹣1）=2所以f （a ﹣1）=﹣f （b ﹣1）=f （1﹣b ），从而有a ﹣1=1﹣b ，a +b =2故答案为216. 【解析】（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =-+-=-+（i ）设0a ≥，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >。

第七节函数的综合应用【回顾与思考】函数应用1.:2.:3.:4.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩一次函数图像及性质二次函数图像及性质反比例函数图像及性质综合应用【例题经典】一次函数与反比例函数的综合应用例1（2006年南充市）已知点A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解读式并画出其图象．（要求标出必要的点，•可不写画法）．【点评】本题是一道一次函数和反比例函数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好地考查学生的基本功．一次函数与二次函数的综合应用例2（2005年海门市）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，•若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：•该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买材料，哪一种花钱更少？（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，•你有何感想（不超过30字）？【点评】这是一道与学生生活实际紧密联系的试卷，由图象可知，一次函数图象经过点（4，400）、（5，320）可确定y 与x 关系式，同时这也是一道确定最优方案题，可利用函数知识分别比较学生个人购买饮料与改饮桶装纯净水的费用，分析优劣．二次函数与图象信息类有关的实际应用问题例3 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1•日起的50天内，它的市场售价y 1与上市时间x 的关系可用图（a ）的一条线段表示；•它的种植成本y 2与上市时间x 的关系可用图（b ）中的抛物线的一部分来表示． （1）求出图（a ）中表示的市场售价y 1与上市时间x 的函数关系式． （2）求出图（b ）中表示的种植成本y 2与上市时间x 的函数关系式．（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）【点评】本题是一道函数与图象信息有关的综合题．学生通过读题、读图．从题目已知和图象中获取有价值的信息，是问题求解的关键．【考点精练】 基础训练 1．在函数y=2x，y=x+5，y =x 2的图象中是中心对称图形，且对称中心是原点的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．下列四个函数中，y 随x 的增大而减少的是（ ） A ．y=2x B ．y=-2x+5 C ．y=-3xD ．y=-x 2-2x-1 3．函数y=ax 2-a 与y=ax（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）4．函数y=kx-2与y=kx（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）5．如图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围__________．(第5题) (第6题) 6．（2006年旅顺口）如图是一次函数y 1=kx+b 和反比例函数y 2=mx的图象，•观察图象写出y 1>y 2时，x 的取值范围是_________．7．（2005年十堰市）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k ，y=kx（k>0）•的图像大致是（ ）8．（2005年太原市）在反比例函数y=kx中，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y =kx 2+2kx 的图像大致是（ ）能力提升9．如图，已知反比例函数y 1=mx（m ≠0）的图象经过点A （-2，1），一次函数y 2=kx+b （k ≠0）的图象经过点C （0，3）与点A ，且与反比例函数的图象相交于另一点B ． （1）分别求出反比例函数与一次函数的解读式；（2）求点B 的坐标．10．如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=mx 的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．已知tan ∠AOC=12，点B 的坐标为（12，-4）．（1）求反比例函数和一次函数的解读式；（2）求△AOB 的面积．11．（2005年扬州市）近几年，扬州市先后获得“中国优秀旅游城市”和“全国生态建设示范城市”等十多个殊荣．到扬州观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引大量游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数．已知每张门票原价40元，现设浮动票价为x 元，且40≤x ≤70，经市场调研发现一天游览人数y 与票价x 之间存在着如图所示的一次函数关系． （1）根据图象，求y 与x 之间的函数关系式； （2）设该景点一天的门票收入为w 元 ①试用x 的代数式表示w ；②试问：当票价定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？12．（2006年荆门市）某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品．已知每件产品的进价为40元．经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）•存在如图所示的一次函数关系．每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销售量y （万件）存在函数关系z=10y+42.5．（1）求y关于x的函数关系．（2）试写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价z（元）•的函数关系式（年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额）当销售单价为x为何值，年获利最大？最大值是多少？（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）•小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．•在此条件下使产品的销售量最大，你认为销售单价应为多少元？应用与探究13．（2006年潍坊市）为保证交通完全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．下表是某款车在平坦道路上路况良好刹车后的停止距离与汽车行（1（千M/时）的函数．•给出以下三个函数①y=ax+b；②y=kx（k≠0）；③y=ax2+bx，请选择恰当的函数来描述停止距离y（M）与汽车行驶速度x（千M/时）的关系，说明选择理由,并求出符合要求的函数的解读式；（2）根据你所选择的函数解读式，若汽车刹车后的停止距离为70M，求汽车行驶速度．答案:例题经典例1：解：设直线AB 的解读式为y=k 1x+b ，则130,6,k b b -+=⎧⎨=-⎩解得k 1=-2，b=-6．•所以直线AB 的解读式为y=-2x-6．∵点C （m ，2）在直线y=-2x-6上，∴-2m-6=2， ∴m=-4，即点C 的坐标为C （-4，2），由于A （0，6），B （-3，0）都在坐标轴上，反比例函数的图象只能经过点C （-4，2），设经过点C 的反比例函数的解读式为y=2k x ．则2=24k-， ∴k 2=-8．即经过点C•的反比例函数的解读式为y=-8x．例2：（1）设y=kx+b ，∵x=4时，y=400；x=5时，y=320，∴400480,:3205720k b k k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解之得 ∴y 与x 的函数关系式为y=-80x+720．（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000（元），当y=380时，380=-80x+720，得x=4.25．该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780=2395（元）， 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少． （3）设该班每年购买纯净水的费用为W 元，则W=xy=x （-80x+720）=-80（x-92）2+•1620． ∴当x=92时，W 最大值=1620．要使饮用桶装纯净水对学生一定合算， 则50a ≥W 最大值+780，•即50a ≥1620+780．解之得，a ≥48． 所以a 至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．例3：（1）设y 1=mx+n ，因为函数图象过点（0，5.1），（50，2.1），∴0 5.150 2.1n m n +=⎧⎨+=⎩解得：m=-350，n=5.1，∴y1=-350x+5.1（0≤x≤50）．（2）又由题目已知条件可设y2=a（x-25）2+2．因其图象过点（15，3），∴3=a（15-25）2+2，∴a=1 100，∴y2=1100x2-12x+334（或y=1100（x-25）2+2）（0≤x≤50）（3）第x天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：y1-y2=1100（x2-44x+315（0≤x≤55）．依题意：y1-y2=0，即x2-44x+315=0，∴（x-9）（x-35）=0，解得：x1=9，x2=25．所以从5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱．考点精练1．B 2．B 3．A 4．B 5．-2≤x≤1 6．x>3或-2<x<0 7．D 8．D9．（1）反比例函数解读式为y=2x，一次函数的解读式为y=x+3．（2）点B的坐标为B（-1，2）10．（1）反比例函数解读式为y=-2x，一次函数为y=-2x-3．（2）S△AOB=154个平方单位．11．（1）设函数解读式为y=kx+b，由图象知：直线经过（50，3500），（60，3000）两点．则50350050,6030006000k b kk b b+==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得，∴函数解读式为y=6000-50x．（2）①w=xy=x（6000-50x），即w=-50x2+6000x．•②w=-50x2+6000x=-50（x2-120x）=-50（x-60）2+180000，∴当票价定为60元时，•该景点门票收入最高，此时门票收入为180000元．12．（1）由题意，设y=kx+b，图象过点（70，5），（90，3），∴1570,1039012k b kk bb⎧=+=-⎧⎪⎨⎨=+⎩⎪=⎩解得∴y=-110x+12．（2）由题意，得w=y（x-40）-z=y（x-40）-（10y+42.5）=（-110+12）（x-40）-10×（-110x+12）-42.5=-0.1x2+17x-642.5=-110（x-85）2+80．当x=85时，年获利的最大值为80万元．（3）令w=57.5，得-0.1x2+17x-642.5=57.5，整理，得x2-170x+7000=0．解得x1=70，x2=100．由图象可知，要使年获利不低于57.5万元，销售单价为70元到100元之间．又因为销售单位越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又使年获利不低于57.5万元，销售单价应定为70元．13．解：（1）若选择y=ax+b，把x=40，y=16与x=60，y=30分别代入得16400.7,306012a b aa b b=+=⎧⎧⎨⎨=+=-⎩⎩解得，而把x=80代入y=0.7x-12得y=44<48，所以选择y=ax+b不恰当；若选择y=kx（k≠0），由x，y对应值表看出y随x的增大而增大．而y=kx（k≠0）在第一象限y随x的增大而减小，所以不恰当；•若选择y=ax2+bx，把x=40，y=16与x=60，y=30分别代入得161600400.005,303600600.2a b aa b b=+=⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得，而把x=80代入y=0.005x2+0.2x•得y=48成立．所以选择y=a x2+bx恰当，解读式为y=0.005x2+0.2．（2）把y=70代入y=0.005x2+0.2x得70=0.005x2+0.2x，即x2+40x-14000=0，解得x=100或x=-140（舍去），所以，•当停止距离为70M，汽车行驶速度为100千M/时．。

北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 提高培优讲义：一次函数和代数综合 知识梳理模块一：一次函数(0)y kx b k =+≠图像的变换及特殊位置关系： 1．平移：上加下减，左加右减；2．对称：关于哪轴对称那轴对应坐标不变，另外一个变为原来的相反数； 3．中心对称：x 和y 值都变．4．三大变换通解方法：找两个点（如与坐标轴的两个交点），进行相应变化后，再确定解析式．5．特殊位置关系：（1）若两直线平行：k （斜率）相等（b 值不等）．（2）若两直线垂直：两直线k （斜率）互为负倒数，即121k k ⋅=-． 模块二：一次函数和方程（组）综合 ←−→←−→←−→←−→模块三：一次函数和不等式综合 ←−→←−→←−→←−→例题精讲以交点为界限，直线1l 位于直线2l 上方的那部分一次函数11y a x b =+与22y a x b =+，求当12y y >时x 的取值范围 解一元一次不等式1122a x b a x b +>+()a a ≠当0y >时，直线上的点在x 轴上方0y <时，点在x 轴下方一次函数y ax b =+ 求当0y >或0y <时x解一元一次不等式0ax b +>0(0)ax b a +<≠两条直线11y a x b =+与22y a x b =+相交求一次函数11y a x b =+ 与22y a x b =+图象的交点坐标解二元一次方程组 ()1112y a x b a a y a x b =+⎧⎨=+⎩≠确定直线y ax b =+与x 轴交点的横坐标一次函数y ax b =+ 当0y =时，求x 的值解一元一次方程 ()00ax b a +=≠（1）把函数24y x =-+的图象向上平移2个单位，所得函数图象的解析式为_________；（2）把函数34y x =+的图象向右平移2个单位，所得函数图象的解析式为_________；（3）把函数31y x =--的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数图象的解析式为__________；（4）若将直线l 的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线21y x =-+，则原直线解析式为__________．【解析】（1）26y x =-+；（2）32y x =-；（3）312y x =--；（4）27y x =--． 【提示】这道题主要考查一次函数的平移规律：上加下减，左加右减．规律可以记不住，但是一定要让学生掌握本质，通过寻找特殊点（一般是与坐标轴交点）变换后的点，运用两点式或点斜式来确定直线的解析式。

第09讲 函数的概念及其表示模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；4．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.知识点 1 函数的概念1、函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x 值，必须有且仅有唯一的y值与之对应．（1）非空性：定义的集合A ，B 必须是两个非空数集；（2）任意性：A 中任意一个数都要考虑到；（3）单值性：每一个自变量都在B 中有唯一的值与之对应；（4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A →B ．3、函数的三要素（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围；（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，f 可以看作是对“x ”施加的某种运算或法则．如：2()f x x =，f 就是对自变量x 求平方．（3）值域：对应关系f 对自变量x 在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，()y f x =表示“y 是x 的函数”，指的是y 为x 在对应关系f 下的对应值．4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数．知识点 2 求函数定义域的依据1、分式中分母不能为零；2(2,)n k k N *=∈其中中；(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈；3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠；4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．知识点 3 函数的表示法1、函数的表示法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．（3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．2、描点法作函数图象（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x 的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示；（2）描点：从表中得到一些列的点(x ，f (x ))，在坐标平面上描出这些点；（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来．知识点 4 分段函数1、定义：在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3、分段函数图象的画法（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象．知识点 5 函数解析式的求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．2、换元法：主要用于解决已知()()f g x 的解析式，求函数()f x 的解析式的问题．（1）先令()=g x t ，注意分析t 的取值范围；（2）反解出x ，即用含t 的代数式表示x ；（3）将()()f g x 中的x 度替换为t 的表示，可求得()f t 的解析式，从而求得()f x ．3、配凑法：由已知条件()()()=f g x F x ，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代g (x )，便得()f x 的解析式．4、方程组法：主要解决已知()f x 与()-f x 、1⎛⎫ ⎪⎝⎭f x 、1⎛⎫- ⎪⎝⎭f x ……的方程，求()f x 解析式．例如：若条件是关于()f x 与()-f x 的条件（或者与1⎛⎫⎪⎝⎭f x ）的条件，可把x 代为-x （或者把x 代为x1）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出()f x ．考点一：对函数概念的理解例1．（23-24高一上·河南濮阳·月考）下图中可表示函数()y f x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）设{}{}123,,,M N e g h ==，，,如下选项是从M 到N 的四种应对方式,其中是M 到N 的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1-2】（23-24高一上·四川泸州·期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合{}1,2,4=-M 到集合{}1,2,4,16N =的函数的是（）A ．2y x=B ．2y x =+C ．2y x =D ．2xy =【变式1-3】（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集,(0,),,A B x y ==+∞R 满足方程20x y -=，下列对应关系f 为函数的是（ ）A ．:,()f AB y f x →=B ．:,()f B A y f x →=C ．:,()f A B x f y →=D ．:,()f B A x f y →=考点二：求函数的定义域例2. （23-24高一下·广东茂名·期中）函数y = ）A ．()0,∞+B ．()2,+∞C ．[)0,∞+D ．[)2,+∞【变式2-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数3y =）A ．[]3,3-B ．()3,3-C ．][(),33,∞∞--⋃+D ．()(),33,-∞-+∞ 【变式2-2】（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，则(32)f x -的定义域为（ ）A ．1[,2]2B ．[1,2]-C ．[1,5]-D ．5[1,]2【变式2-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数()2y f x =+的定义域为[]0,2，则函数()2y f x =的定义域为（ ）A ．[]4,0-B ．[]1,0-C ．[]1,2D ．[]4,8考点三：判断两个函数是否相等例3. （23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A ．2y =B ．2y =C ．22x y x=+D ．2y =【变式3-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．||,y x y ==B ．2,x y x y x ==C ．01,y y x ==D ．2||,y x y ==【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．x y x=与1y =B ．y =与y x=C ．y =|1|y x =-D ．321x x y x +=+与y x=【变式3-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．()f x =与()g x =B ．()0f x x =与()01g x x =C ．()f x =()g x =D ．()22f x x x =-与()22g t t t=-考点四：简单函数的求值求参例4.（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数()231f x x x -=-+，则()1f -=（ ）A ．5-B ．1-C ．2D ．3【变式4-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数1()4f x x =-，若()2f a =，则a 的值为（ ）A ．92B ．72C ．52D ．12-【变式4-2】（22-23高二下·山东烟台·月考）已知函数()212f x x x -=-，且()3f a =，则实数a的值等于（ ）A B ．C ．2D ．2±【变式4-3】（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()1,12f x y f x f y f +=+-=，则()2f -=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2考点五：函数的三种表示方法例5.（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则[(2)]f g 的值是（ ）x123()f x 131()g x 321A ．1B ．2C ．3D ．1和2【变式5-1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数()f x 的对应关系如下表，函数()g x 的图象如下图所示，则()()0f g =（ ）x 014()f x 269A ．2B ．6C ．9D ．0【变式5-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（ ）x1234()f x 2341x1234()g x 2143A ．1B ．2C ．3D ．4【变式5-3】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在[]22-,上的函数()y f x =表示为:x [)2,0-0(]0,2y1-2设()1f m =，()f x 的值域为M ，则（ ）A ．{}1,2,0,1m M ==-B ．{}2,2,0,1m M =-=-C ．{}1,|21m M y y ==-≤≤D ．{}1,|21m M y y ==-≤≤考点六：函数解析式的求解例6.（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以()1,3为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ）A ．()236f x x x=-+B ．()224f x x x=-+C ．()236f x x x=-D ．()224f x x x=-【变式6-1】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知()22143f x x -=+，则()f x =（ ）．A ．224x x -+B ．22x x +C ．221x x --D ．224x x ++【变式6-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数()f x 满足：2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ）A ．()22f x x =+B ．()2f x x=C ．()()220f x x x =+≠D ．()()220f x x x =-≠【变式6-3】（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且满足14()26f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．83考点七：分段函数的求值求参例7. （23-24高一上·河北石家庄·期中）若21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则 (3)f =（ ）A ．9B ．10C ．6-D ．6【变式7-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知函数()21,02,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩，则(){}1f f f =⎡⎤⎣⎦（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-1【变式7-2】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【变式7-3】（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数()231,2,2x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩．若2123f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则实数=a （ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【变式7-4】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数()1,0,21,0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)(]2,00,2-UC ．(][),22,-∞-+∞U D ．()()2,00,2-⋃考点八：函数图象实际应用例8. （23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线()y f x =（实线表示）；另一种是平均价格曲线()y g x =（虚线表示）.如()23f =是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；()23g =表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式8-1】（23-24高一上·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（ ）（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A ．B ．C ．D ．【变式8-2】（23-24高一上·宁夏固原·月考）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈()A B O A →→→，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式8-3】（23-24高一上·福建福州·期中）某市一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差），()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（ ）.A ．B ．C ．D ．一、单选题1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数1()2f x x +-的定义域为（ ）A ．{2|3x x >且2x ≠}B ．{2|3x x <且2x >}C ．2|23x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{2|3x x ≥且2x ≠}2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21f x -的定义域为()1,2-，则函数()1f x -的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,4-D ．()2,1-3．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数()y g x =的对应关系如表所示，函数()y f x =的图象是如图所示，则()1g f ⎡⎤⎣⎦的值为（ ）x123()g x 43-1A ．-1B ．0C ．3D ．44．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21,04,01x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪+⎩，则()()()1f f f -=（ ）A ．2B ．3C ．3-D ．55．（23-24高一上·山东淄博·月考）已知()2122f x x x +=-+，则函数()f x 的解析式是（ ）A ．()263f x x x =-+B ．()245f x x x =-+C ．()245f x x x =--D ．()2610f x x x =-+6．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合{}1,2,3M =，{}1,2,3N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题7．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．()(),f x x g x ==B ．()(),f x x g x =C ．()()1,1f x xg t t =-=-D ．()()01,f x x g x x x=+=+8．（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()13f =D ．若()3f x =，则x三、填空题9．（23-24高一上·北京·期中）已知:函数()4f x x =+，()22g x x x =-+，则()f g x =⎡⎤⎣⎦.10．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数y =的值域为.11．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数()2,131,1x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩，则不等式()()13f x f x +-<的解集为．四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知函数()2,01,0132,1x x xf x x x x x ⎧≤⎪-⎪=<<⎨⎪--≥⎪⎩.(1)画出函数()f x 的图象；(2)当()2f x ≥时，求实数x 的取值范围，13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数()4,11,11x x xf x x x x -⎧≤-⎪⎪=⎨-⎪>-⎪+⎩2()1g x x =-.(1)求()2f ，()2g 的值；(2)若7(())9f g a=-，求实数a 的值.第09讲 函数的概念及其表示模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；4．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.知识点 1 函数的概念1、函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x 值，必须有且仅有唯一的y 值与之对应．（1）非空性：定义的集合A ，B 必须是两个非空数集；（2）任意性：A 中任意一个数都要考虑到；（3）单值性：每一个自变量都在B 中有唯一的值与之对应；（4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A →B ．3、函数的三要素（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围；（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，f 可以看作是对“x ”施加的某种运算或法则．如：2()f x x =，f 就是对自变量x 求平方．（3）值域：对应关系f 对自变量x 在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，()y f x =表示“y 是x 的函数”，指的是y 为x 在对应关系f 下的对应值．4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数．知识点 2 求函数定义域的依据1、分式中分母不能为零；2(2,)n k k N *=∈其中中；(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈；3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠；4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．知识点 3 函数的表示法1、函数的表示法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．（3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．2、描点法作函数图象（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x 的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示；（2）描点：从表中得到一些列的点(x ，f (x ))，在坐标平面上描出这些点；（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来．知识点 4 分段函数1、定义：在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3、分段函数图象的画法（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象．知识点 5 函数解析式的求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．2、换元法：主要用于解决已知()()f g x 的解析式，求函数()f x 的解析式的问题．（1）先令()=g x t ，注意分析t 的取值范围；（2）反解出x ，即用含t 的代数式表示x ；（3）将()()f g x 中的x 度替换为t 的表示，可求得()f t 的解析式，从而求得()f x ．3、配凑法：由已知条件()()()=f g x F x ，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代g (x )，便得()f x 的解析式．4、方程组法：主要解决已知()f x 与()-f x 、1⎛⎫ ⎪⎝⎭f x 、1⎛⎫- ⎪⎝⎭f x ……的方程，求()f x 解析式．例如：若条件是关于()f x 与()-f x 的条件（或者与1⎛⎫⎪⎝⎭f x ）的条件，可把x 代为-x （或者把x 代为x1）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出()f x ．考点一：对函数概念的理解例1．（23-24高一上·河南濮阳·月考）下图中可表示函数()y f x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的定义可知一个x 只能对应一个y 值，故答案为B.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）设{}{}123,,,M N e g h ==，，,如下选项是从M 到N 的四种应对方式,其中是M 到N 的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于A,集合M 中的3对应了集合N 中的两个数,A 错误;对于B,集合M 中的2对应了集合N 中的两个数,B 错误;对于C,集合M 中的每个数在集合N 中都有唯一的数对应,C 正确;对于D,集合M 中的3对应了集合N 中的两个数,D 错误,故选:C.【变式1-2】（23-24高一上·四川泸州·期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合{}1,2,4=-M 到集合{}1,2,4,16N =的函数的是（）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2y x =D ．2xy =【答案】C【解析】对于A ，集合M 中的元素1-按对应关系2y x =，在集合N 中没有元素与之对应，A 不是；对于B ，集合M 中的元素4按对应关系2y x =+，在集合N 中没有元素与之对应，B不是；对于C ，集合M 中的每个元素按对应关系2y x =，在集合N 中都有唯一元素与之对应，C 是；对于D ，集合M 中的元素1-按对应关系2x y =，在集合N 中没有元素与之对应，D 不是.故选：C【变式1-3】（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集,(0,),,A B x y ==+∞R 满足方程20x y -=，下列对应关系f 为函数的是（ ）A ．:,()f AB y f x →=B ．:,()f B A y f x →=C ．:,()f A B x f y →=D ．:,()f B A x f y →=【答案】B【解析】A 选项，x ∀∈R ，当0x =时，20y x ==，由于0B ∉，故A 选项不合要求；B 选项，()0,x ∀∈+∞，存在唯一确定的y ∈R ，使得2y x =，故B 正确；CD 选项，对于()0,y ∀∈+∞，不妨设1y =，此时21x =，解得1x =±，故不满足唯一确定的x 与其对应，不满足要求，CD 错误.故选：B考点二：求函数的定义域例2. （23-24高一下·广东茂名·期中）函数y = ）A ．()0,∞+B ．()2,+∞C ．[)0,∞+D ．[)2,+∞【答案】D【解析】对于函数y =20x -≥，解得2x ≥，所以函数y =[)2,+∞.故选：D【变式2-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数3y =）A ．[]3,3-B ．()3,3-C ．][(),33,∞∞--⋃+D ．()(),33,-∞-+∞ 【答案】B【解析】由题知290->x ，解得33x -<<，所以函数的定义域为()3,3-．故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，则(32)f x -的定义域为（ ）A ．1[,2]2B ．[1,2]-C ．[1,5]-D ．5[1,]2【答案】A【解析】由于函数()f x 的定义域为[1,2]-，故1322x -≤-≤，解得122x ≤≤，即函数(32)f x -的定义域为1[,2]2.故选：A.【变式2-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数()2y f x =+的定义域为[]0,2，则函数()2y f x =的定义域为（ ）A ．[]4,0-B ．[]1,0-C ．[]1,2D ．[]4,8【答案】C【解析】函数()2y f x =+的定义域为[]0,2，由[]0,2x ∈，有[]22,4x +∈，即函数()y f x =的定义域为[]2,4，令224x ≤≤，解得12x ≤≤，函数()2y f x =的定义域为[]1,2.故选：C考点三：判断两个函数是否相等例3. （23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A ．2y =B ．2y =C ．22x y x=+D ．2y =【答案】D【解析】对A ，2y =的定义域为[)2,-+∞，2y x =+的定义域为R ，故A 错误；对B ，22y x =+=+，故B 错误；对C ，22x y x=+的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，故C 错误；对D ，22y x ==+，故D 正确.故选：D【变式3-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．||,y x y ==B ．2,x y x y x ==C ．01,y y x ==D ．2||,y x y ==【答案】A【解析】选项A ，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；选项B ，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数；选项C ，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数；选项D ，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.故选:A.【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．x y x=与1y =B ．y =与y x=C ．y =|1|y x =-D ．321x x y x +=+与y x=【答案】BCD 【解析】对于A ，x y x=的定义域为{}0x x ≠，而函数1y =的定义域为R ，故A 错误；对于B ，函数y x ==，x ∈R ，故B 正确；对于C ，函数1y x ==-，x ∈R ，故C 正确；对于D ，函数()2322111x x x x y x x x ++===++，x ∈R ，故D 正确.故选：BCD.【变式3-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．()f x 与()g x =B ．()0f x x =与()01g x x =C ．()f x =()g x =D ．()22f x x x =-与()22g t t t=-【答案】BD【解析】对A ：对()g x =(],0-∞，则()g x ==故()f x ()g x =A 错误；对B ：()()010f x x x ==≠，()()0110g x x x ==≠，故()0f x x =与()01g x x =是同一函数，故B 正确；对C ：()f x 定义域为1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，即1x ≥，()g x 定义域为210x -≥，即1x ≥或1x ≤-，故()f x =()g x =C 错误；对D ：()22f x x x =-与()22g t t t =-定义域与对应关系都相同，故()22f x x x =-与()22g t t t =-是同一函数，故D 正确.故选：BD.考点四：简单函数的求值求参例4.（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数()231f x x x -=-+，则()1f -=（ ）A ．5-B ．1-C ．2D ．3【答案】D【解析】取2x =，有()212213f -=-+=.故选：D.【变式4-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数1()4f x x =-，若()2f a =，则a 的值为（ ）A ．92B ．72C ．52D ．12-【答案】A【解析】由()2f a =，得124a =-，解得92a =.故选：A【变式4-2】（22-23高二下·山东烟台·月考）已知函数()212f x x x -=-，且()3f a =，则实数a的值等于（ ）A B ．C ．2D ．2±【答案】D【解析】令21,23x a x x -=-=，解得=1x -或3x =由此解得2a =±，故选：D【变式4-3】（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()1,12f x y f x f y f +=+-=，则()2f -=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】在()()()1f x y f x f y +=+-中，令1,0x y ==，得()()()(1)10101f f f f =+-⇒=，令1x y ==，得()()()21112213f f f =+-=+-=，令2,2-==y x ，()()()02211f f f =+--=，解得：()21f -=-，故选：A考点五：函数的三种表示方法例5.（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则[(2)]f g 的值是（ ）x123()f x 131()g x 321A ．1B ．2C ．3D ．1和2【答案】C【解析】由表可知：(2)2g =，则[(2)](2)3f g f ==.故选：C.【变式5-1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数()f x 的对应关系如下表，函数()g x 的图象如下图所示，则()()0f g =（ ）x014()f x 269A ．2B ．6C ．9D ．0【答案】C【解析】由图可知()04g =，由表格可知()()()049f g f ==．故选：C.【变式5-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（ ）x1234()f x 2341x1234()g x 2143A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由()()2g f x =，则()1f x =，则4x =.故选：D【变式5-3】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在[]22-,上的函数()y f x =表示为:x [)2,0-0(]0,2y1-2设()1f m =，()f x 的值域为M ，则（ ）A ．{}1,2,0,1m M ==-B ．{}2,2,0,1m M =-=-C ．{}1,|21m M y y ==-≤≤D ．{}1,|21m M y y ==-≤≤【答案】B【解析】因为1x =满足(]0,2x ∈，所以()12f m ==-，由表中数据可知：y 的取值仅有2,0,1-三个值，所以{}2,0,1M =-，故选：B.考点六：函数解析式的求解例6.（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以()1,3为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ）A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+C ．()236f x x x=-D ．()224f x x x=-【答案】A【解析】设图象是以()1,3为顶点的二次函数()()213f x a x =-+（0a ≠）．因为图象过原点，所以03a =+，3a =-，所以()()2231336f x x x x =--+=-+．故选：A【变式6-1】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知()22143f x x -=+，则()f x =（ ）．A ．224x x -+B ．22x x +C ．221x x --D ．224x x ++【答案】D【解析】令21t x =-，则12t x +=，则221()4()3242t f t t t +=+=++， 所以()224f x x x =++，故选：D.【变式6-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数()f x 满足：2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ）A ．()22f x x =+B ．()2f x x=C ．()()220f x x x =+≠D ．()()220f x x x =-≠【答案】A【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()22f x x =+，故选：A.【变式6-3】（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且满足14()26f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．83【答案】D【解析】由14()2()6f x f x x x+=+①，令1x x =，162()()4f x f x x x+=+②，由2⨯-②①得83()2f x x x=+，所以288()333f x x x =+≥=，当且仅当2833x x =，即2x =时，取等号，所以()f x 的最小值为83.故选：D考点七：分段函数的求值求参例7. （23-24高一上·河北石家庄·期中）若21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则 (3)f =（ ）A ．9B ．10C ．6-D ．6【答案】C【解析】 (3)236f =-⋅=-.故选：C【变式7-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知函数()21,02,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩，则(){}1f f f =⎡⎤⎣⎦（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】A【解析】因为()21,02,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩，所以()1121f =-=-，()()()211110f f f =-=--=⎡⎤⎣⎦，所以(){}()102f f f f ==⎡⎤⎣⎦.故选：A【变式7-2】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.【变式7-3】（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数()231,2,2x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩．若2123f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则实数=a （ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】结合题意可得：2222,=3+1=3333f⎛⎫<∴⨯ ⎪⎝⎭，()2232,=333123f f f a ⎛⎫⎛⎫≥∴=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1a =.故选：B.【变式7-4】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数()1,0,21,0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)(]2,00,2-UC ．(][),22,-∞-+∞UD ．()()2,00,2-⋃【答案】D【解析】由()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，若0a >，则()()0f a f a -->，即()1210a a +--⨯-->⎡⎤⎣⎦，解得2a <，所以02a <<若a<0，则()()0f a f a --<，即21(1)0a a ----+<，解得2a >-，所以20a -<<，综上，不等式的解为()()2,00,2-⋃.故选：D考点八：函数图象实际应用例8. （23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线()y f x =（实线表示）；另一种是平均价格曲线()y g x =（虚线表示）.如()23f =是指开始买g=表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，卖第二小时的即时价格为3元；()23可能正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C；买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B；买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D；故选：A.【变式8-1】（23-24高一上·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（）（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A．B．C．D．【答案】D【解析】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A ；（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C ；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时图像为递增图像，对应图像B ；故选：D【变式8-2】（23-24高一上·宁夏固原·月考）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈()A B O A →→→，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当小明在弧AB 上运动时，与O 点的距离相等，所以AB 选项错误.当小明在半径BO 上运动时，与O 点的距离减小，当小明在半径OA 上运动时，与O 点的距离增大，所以C 选项错误，D 选项正确.故选：D【变式8-3】（23-24高一上·福建福州·期中）某市一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差），()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意()C t ，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足，故选：D ．一、单选题1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数1()2f x x =-的定义域为（ ）A ．{2|3x x >且2x ≠}B ．{2|3x x <且2x >}C ．2|23x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{2|3x x ≥且2x ≠}【答案】D【解析】由题意得32020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得23x ≥且2x ≠，即定义域为223xx x ⎧⎫≥≠⎨⎬⎩⎭∣且.故选：D .2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21f x -的定义域为()1,2-，则函数()1f x -的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,4-D ．()2,1-【答案】C【解析】函数()21f x -的定义域为()1,2-，所以12x -<<，224,3213x x -<<-<-<，所以()f x 的定义域为()3,3-，对于函数()1f x -，由313x -<-<，得24-<<x ，所以函数()1f x -的定义域为()2,4-.故选：C3．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数()y g x =的对应关系如表所示，函数()y f x =的图象是如图所示，则()1g f ⎡⎤⎣⎦的值为（ ）x123()g x 43-1A ．-1B ．0C ．3D ．4【答案】A【解析】由图象可知()13f =，而由表格可知()31g =-，所以()11g f ⎡⎤=-⎣⎦.故选：A4．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21,04,01x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪+⎩，则()()()1f f f -=（ ）A ．2B ．3C ．3-D ．5【答案】A【解析】依题意，()()2412,2221f f +-===+，所以()()()()()()1222f f f f f f -===.故选：A5．（23-24高一上·山东淄博·月考）已知()2122f x x x +=-+，则函数()f x 的解析式是（ ）A ．()263f x x x =-+B ．()245f x x x =-+C ．()245f x x x =--D ．()2610f x x x =-+【答案】B【解析】令1t x =+，由于x ∈R ，则R t ∈，1x t =-，。

一、考点突破1. 理解集合的概念及其性质；会用集合的表示方法表示集合。

2. 了解全集与空集的含义，理解两个集合的并集与交集、已知集合的补集的含义及其运算。

能使用Venn图表达集合的关系及运算。

3. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

4. 会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，了解简单的分段函数及应用。

5. 理解函数的单调性、奇偶性、最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

6. 理解基本初等函数的概念和意义，能借助函数的图象探索并理解函数的性质。

7. 会研究简单复合函数与基本初等函数的单调性和最值的求法。

8. 掌握函数的零点的概念以及求零点的技巧。

9. 了解函数模型的广泛应用。

二、重难点提示：重点：1. 集合的运算。

2. 函数的概念和性质。

难点：1. 基本初等函数性质的应用。

2. 函数与方程的应用。

集合及其应用【考点精讲】一、正确理解集合的概念集合的概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。

构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示，它们的元素通常用英语小写字母a∈，读作“a属于A ，b，c，…来表示。

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a A∉，读作“a不属于A”。

”。

如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A二、集合内元素的三个基本特征确定性：对任意对象都能确定它是不是某一集合的元素，就是说：对于某一个元素，要么它属于这个集合，要么它不属于这个集合，不会出现可能属于也可能不属于这种情况。

例如：对于集合｛x>1}，2就属于这个集合，而0就不属于这个集合。

再如：｛非常大的数｝就不是集合，因为1000000到底属于不属于这个集合，这很难说。

互异性：集合中的任何两个元素都不相同，即在同一集合里不能出现相同的元素。