河北省2013年高考数学专题复习 专题2 函数与方程 新人教A版

题目：第二章 函数 二次函数1要掌握二次函数的图象和性质，有单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法，二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用2能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值. 知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系. 1二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是ab x 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 4422，.2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()(（顶点式）.3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0)(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f4. 最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响.1讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②2. 讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置5. 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞题型讲解.例1函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是（ ） A 0b ≥ B . 0b ≤ C 0b > D . 0b <解：∵函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞的对称轴2b x =-， ∴函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞是单调函数⇔ -(0,)2b ∉+∞⇔02b-≤，⇔0b ≥故选A .例 2已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式解：∵二次函数的对称轴为x =可设所求函数为2()(f x a x b =+， 又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x过点(2,0)和(2,0)，()f x 又过点(0,1)-，∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩， 122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴21()(22f x x =-. 例3 已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值 分析：令sin t x =，问题就转二次函数的区间最值问题. 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-，∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2at =，（1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）（2）当12a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增，由max 111242y a a =-+-+=，得103a =.（3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减，由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去）综上可得：a 的值为2a =-或103a =. 例4 已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x则120x x ≤或121200x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩，得94a ≤≤.解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩，得94a ≤≤解法三：当函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴没有交点时，则0∆<或(0)0(21)02f a >⎧⎪⎨---<⎪⎩，得a <94a >.∴函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点时a 的取值范围为94a ≤例5 设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，已知不论α，β为何实数，恒有.0)cos 2(0)(sin ≤+≥βαf f 和（1）求证：;1-=+c b （2）求证：;3≥c（3）若函数)(sin αf 的最大值为8，求b ，c 的值.解：（1）由),()(2R c b c bx x x f ∈++=产生b+c ，只要消除差异x ，这可令.1=x1sin 1(sin )0,(1)0.f f αα-≤≤≥ ∴≥且恒成立12cos 3(2cos )0,(1)0.f f ββ≤+≤+≤ ∴≤且恒成立 从而知.1.01.0)1(-=+=++∴=c b c b f 即（2）由12cos 3(2cos )0,(3)0.f f ββ≤+≤+≤ ∴≤且恒成立 即 930b c ++≤，∴93()20b c c ++-≤ 又因为.3.1≥∴-=+c c b（3）,)21()21(sin sin )1(sin )(sin 222c c c c c f +-++-=+--+=αααα 当.8)](sin [,1sin max =-=ααf 时由⎩⎨⎧=++=+-.01,81c b c b 解得 .3,4=-=c b点评 注意：b a ≥且b a b a =⇒≤, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视例6 设f (x )=ax 2+bx +c (a ＞b ＞c ),f (1)=0,g (x )=ax +b . （1）求证：函数y =f (x )与y =g (x )的图象有两个交点；（2）设f (x )与g (x )的图象交点A 、B 在x 轴上的射影为A 1、B 1，求｜A 1B 1｜的取值范围； 证明（1）：∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (1)=0 ∴f (1)=a +b +c =0 又a ＞b ＞c ∴3a ＞a +b +c ＞3c ∴a ＞0,c ＜0由0)()(22=-+-+∴⎩⎨⎧+=++=b c x a b ax bax y c bx ax y ∴Δ=(b －a )2－4a (c －b )＝(b +a )2－4ac ＞0 故函数y =f (x )与y =g (x )的图象有两个交点；解（2）：设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2，y 2），则x 1、x 2是方程（*）的两根故x 1+x 2=－a ab -,x 1x 2=abc -, 由题意，｜A 1B 1｜=｜x 1－x 2｜=212214)(x x x x -+=a bc a a b ---4)(2=c c a==＝)(4)(2a c a c -=4)2(2--a c∵a ＞b ＞c ,a +b +c =0∴a ＞－(a +c )＞c ∴－2＜a c＜－21∴｜A 1B 1｜的取值范围是（23，23）例7 是否存在实数a,b,c 使函数f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)，的图像经过M(-1,0)，且满足条件“对一切实数x ，都有x ≤f(x) ≤212x +”解：因为图像经过M(-1,0)，所以a-b+c=0又因为x ≤f(x) ≤212x +∴当x ＝1时，1≤f(1) ≤1 ， 所以f(1) =1.即 a+b+c=1 从而⎩⎨⎧=++=+-10c b a c b a 所以b=a c -=21,21∴ x ≤ax 2+a x -+2121≤212x +对一切实数x 恒成立即222120(12)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨--+≥⎪⎩的解集为R ∵a=0或a=显然不成立21, ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-=∆≤-=∆0)14(0142221a a ）（所以a=c=41,b=21 例8 设f (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，g (x )的图象与f (x )的图象关于直线x =1对称，而当).(4)(,]3,2[2为常数时c c x x x g x ++-=∈ （1）求f (x )的表达式.（2）对于任意.||2|)()(:|,]1,0[,12122121x x x f x f x x x x -<-≠∈求证且解：（1）设P （x,y ）是f(x) 图象上的任意点，则P （x,y ）关于直线x =1的对称点为Q (2-x ,y)必在g(x)图像上，且2≤2-x ≤3即x ∈[-1，0]∴.44844)2(4)2(222c x c x x x c x x y ++-=+-+-+-=+-+--= x ∈[-1，0]. ∵f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，∴f(0)=0, ∴c=4- 当2[0,1],[1,0],()(),x x f x f x x ∈-∈-=--=时22[1,0]()(0,1].xx f x xx ⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩所以（2）当1212,[0,1]x x x x ∈≠且时，1202x x <+<∴2221)21212121|()(||||()()|2||.f x f x x x x x x x x x -=-=-+<-例9 设函数f (x )=|x －a |－ax ，其中0<a <1为常数 （1）解不等式f (x )<0;（2）试推断函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由. 解：（1）由f (x )<0得，|x －a |<ax ，即－ax <x －a <ax ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-=--<∴<<⎩⎨⎧>+->-∴.1,11,10.)1(,)1(a a x aaa a x a a x a a x a 时当∴不等式的解集是)1,1(aa a a -+ （2）∵01,10,(1)0,a a a <<∴->-+<(1)();()(1)().a x a x a f x a x a x a --≥⎧=⎨-++<⎩∴),[)(+∞a x f 在内是增函数，),()(a x f -∞在内是减函数. ∴2min ()().f x f a a ==-例10 对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠， （1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值解：（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =， 函数()f x 的不动点为1-和3. （2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立，∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1) （3）由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x ba+=-， 由题知1k =-，2121y x a =-++，设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -++， ∴212221b b a a a -=++，∴2112142a b a a a=-=-≥-++12(01)a a a =<<，即a =时等号成立，∴b的最小值为 学生练习1. 设x,y 是关于m 的方程m 2-2am+a+6=0的两个实根，则(x -1)2+(y -1)2的最小值是（ ） (A)-1225 (B)18 (C) 8 (D)无最小值2. 函数f(x)=2x 2-mx+3,当x ∈(-∞,-1]时是减函数，当x ∈[-1,+∞)时是增函数，则f(2)=3. 方程x 2+bx+c=0有两个不同正根的充要条件是 ；有一正根，一负根的充要条件是 ___ ；至少有一根为零的充要条件 ____4. 如果方程x 2+2ax+a+1=0的两个根中，一个比2大，另一个比2小，则实数a 的取值范围是5. 设方程x 2-mx+1=0的两个根为α,β,且0<α<1,1<β<2,则实数m 的取值范围是 ____ 6直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的左支相交，则k 的取值范围是 .7已知关于x 的不等式ax 2+bx+c<0的解集是(-∞,-3)⋃(2,+∞),则关于x 的不等式bx 2+ax+c>0的解集是 .8方程x 2+(m -2)x+2m -1=0在(0,1)内有一根，则m ∈ ;或m=6-27)在(0,1)内至少有一根，则m ∈ .9线段AB 的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x 2-2ax+a 2+1与线段AB 有两个不同交点，试求实数a 的取值范围.10已知f(x)=(m -2)x 2-4mx+2m -6=0的图象与x 轴的负半轴有交点，求实数m 的取值范围. 11已知二次函数f(x),f(x+1)+f(x -1)=2x 2-4x 对任意实数x 都成立，试求f(1-2)的值. 12已知函数f(x)=mx 2+(m -3)x+1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围.13根据市场调查，某商品在最近40天内的价格与时间t 满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-∈<≤+=),4020(41),200(1121)(N t t t N t t t t f 销售量g(t)与时间t 满足关系g(t)= -t/3 +43/3 (0≤t ≤40),t ∈N),求这种商品日销售量的最大值.14已知函数f(x)=lg(x 2-2mx+m+2).(1)若f(x)的定义域为R ，求实数m 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数m 的取值范围15. 若二次函数f(x)=4x 2-2(p -2)x -2p 2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一点c¸使f(c)>0,求实数p 的取值范围16. 已知而二次函数f(x)=ax 2+bx+c 和一次函数g(x)= -bx,其中a,b,c 满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c ∈R) (1)求证：两函数的图象相交于不同两点A ，B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1之长的取值范围17. 设 2sin 2x+acosx –1≤3a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围18. 在平行四边形ABCD 中，已知AB=a,BC=b(a>b),∠A=60°,在AB,AD,CB,CD 上分别取AE,AH,CF,CG都等于x(0≤x≤b),求x取何值时，四边形EFGH面积最大？最大值为多少？19已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3 (a≠0)在区间[-3/2,2]上的最大值为1，求实数a的值.20已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α，β. 证明：(Ⅰ)如果│α│＜2，│β│＜2，那么2│a│＜4+b且│b│＜4；(Ⅱ)如果2│a│＜4+b且│b│＜4，那么│α│＜2，│β│＜221. 已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1(Ⅰ)证明:│b│≤l;(Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;22. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(-1)= 0,对于任意实数x，都有f(x)-x≥0,并且x∈(0,2)时，f(x)=(x+1)2/4,(1)求f(1); (2)求f(x)23. 若对任意实数x，sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，求实数k的取值范围24. 线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围参考答案：1. C2 193. b2-4c>0,b<0,c>0，c<0，c=04 a<-15. 2<m<5/26 -2≤k<-17. (-3,2) (用韦达定理可得b=a,c= -6a,a<0,代入不等式即可）8 1/2<m≤2/3，m∈(1/2,6-27]有一根，分为四种情况讨论：(i)f(0)f(1)<0⇒1/2<m<2/3;(ii)Δ=0,0<(2-m)/2<1⇒m=6-27;(iii) f(0)=0,则m=1/2,另一根为3/2不合条件; (iv) f(1)=0,m=2/3,另一根为1/3符合题意.有两根，则m∈ (2/3,6-27)另法：可以观察二次函数y=x2-2x-1与y= -m(x+2)的图象得到结果.9 2≤a<9/410. (1)m=2时，交点为(-1/4,0),m≠2时，(i)一正一负，(m-2)(2m-6)<0,∴2<m<3,(ii)两负，1≤m<2,(iii)一根为零，一根为负，无解，综合得1≤m<311. f(x)=x2-2x-1, f(1-2)=012若m=0，满足要求；若m≠0,①原点两侧各一个根，x1x2=/1m<0,∴m<0;②两根都在原点右侧，则Δ≥0,x1+x2>0,x1x2>0,解得0<m≤1,综合可得：m∈(-∞,1]13. 当0≤t<20时，日销售额S=(t/2+11)(-t/3+43/3)= -(t2-21t-22⨯43)/6故当t=10或11时，S max=176,当20≤t≤40时，S=(t-41)(t-43)/3,故t=20时，S max=161综上，日销售额的最大值是176.14 (1)-1<m<2；(2) m≥2或m≤-1)15. 解1：依题意，有f(-1)>0,f 或(1)>0,即2p 2-p -1<0,或2p 2+3p -9<0,∴ -1/2<p<1或-3<p<3/2,∴ -3<0<3/2解2：(补集法)令f(-1)≤0,且f(1)≤0,解得:p ≤-3或p ≥3/2,符合条件的p ∈(-3,3/2) 观察图象而得到. 16 (1)联立方程，得ax 2+2bx+c=0,Δ=4(a 2+ac+c 2) ,∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0,∴Δ>0,所以两函数的图象有两个不同交点；(2)设方程的两根为x 1,x 2,则|A 1B 1|2=Δ/a 2=4[(21+a c )2+43],∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>-(a+c)>c ,a>o,∴c/a ∈ (-2,-1/2),此时|A 1B 1|2∈(3,12),∴|A 1B 1|∈(32,3)17. 解法一：原不等式可变形为2cos 2x -acosx+3a -1≥0,令t=cosx ∈[-1,1],由对称轴分三种情况讨论;解法二：原不等式可变形为-a ≤(2cos 2x -1)/(3-cosx),令3-cosx=t,则a ≤2t+17/t -12 (t ∈[2,4],∴a ≥12-234 18. S=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++--8)()4(22322b a b a x (0<x ≤b) (1)当a ≤3b 时,S 的最大值为2)(163b a +; (2)当a ≥3b 时,S 的最大值为)(232b ab - 19最大值点只可能是端点或顶点讨论f(-3/2)=1,f(2)=1,或顶点处的函数值为1, a=3/4或a= -3/2-220. 证明要点：a= -(α+β), b=αβ ,分析转化条件2|α+β|<4+αβ,|αβ|<4是关键 21. (I) -1≤a+b+c ≤1,-1≤a -b+c ≤1, ∴-1≤b ≤1,-1≤a+c ≤1, (II)极端化思想，由(1)可知|a+b|=|a+b+c -c|≤|a+b+c|+|-c|,∴ |g(1)|=|a+b|≤2,|g(-1)|=|a -b|≤2 ,由于g(x) (x ∈[-1,1])的图象是一条线段，它的两个端点纵坐标都在区间[-2,2]内，从而整条线段上点的纵坐标都在区间[-2, 2]内，即-1≤x ≤1时,|g(x)|≤2; 22. f(1)=1, f(x)=x 2/4 +x/2 +1/4 23 k>1-2 24.2≤a<9/4（消去y 可得：=)(x f 02)21(22=-+-+a x a x ）课前后备注。

一、知识梳理１．函数的零点函数零点的概念对于函数y ＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y ＝f（x）（x∈D）的零点方程的根与函数零点的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点函数零点的存在性定理函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f （b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１，0），（x２，0）（x１，0）无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，３）Ｃ．错误!和（３，４）Ｄ．（４，＋∞）答案：B２．（必修１P88例１改编）f（x）＝e x＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案：B３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（）（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（）（４）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略限制条件致误；（２）错用零点存在性定理致误．１．函数f（x）＝（x—１）ln（x—２）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．由x—２>0，得x>２，所以函数f（x）的定义域为（２，＋∞），所以当f（x）＝0，即（x—１）ln（x—２）＝0时，解得x＝１（舍去）或x＝３．２．已知函数f（x）＝２ax—a＋３，若∃x0∈（—１，１），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是．解析：依题意可得f（—１）·f（１）<0，即（—２a—a＋３）（２a—a＋３）<0，解得a<—３或a>１．答案：（—∞，—３）∪（１，＋∞）函数零点所在区间的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝log３x＋x—２的零点所在的区间为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（２，３）Ｄ．（３，４）【解析】法一（定理法）：函数f（x）＝log３x＋x—２的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f（１）＝—１<0，f（２）＝log３２>0，f（３）＝２>0，根据零点存在性定理可知，函数f（x）＝log３x＋x—２有唯一零点，且零点在区间（１，２）内．法二（图象法）：函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log３x，h（x）＝—x＋２图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（１，２）．故选Ｂ．【答案】B错误!判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f（x）＝３x—x２，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）Ａ．[0，１] Ｂ．[１，２]Ｃ．[—２，—１] Ｄ．[—１，0]解析：选Ｄ．因为f（x）＝３x—x２，所以f（—１）＝３—１—１＝—错误!<0，f（0）＝３0—0＝１>0，所以f（—１）·f（0）<0．函数零点个数的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0【解析】法一（方程法）：由f（x）＝0，得错误!或错误!解得x＝—２或x＝e.因此函数f（x）共有２个零点．法二（图形法）：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有２个零点．【答案】B错误!判断函数零点个数的３种方法（１）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（２）定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．（３）图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．已知函数f（x）＝错误!则f（x）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．当x>１时，令f（x）＝ln（x—１）＝0，得x＝２；当x≤１时，令f（x）＝２x—１—１＝0，得x＝１．故选Ｃ．函数零点的应用（师生共研）设函数f（x）＝错误!（１）若a＝１，则f（x）的最小值为；（２）若f（x）恰有２个零点，则实数a的取值范围是．【解析】（１）若a＝１，则f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为—１．（２）当a≥１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足２１—a≤0，即a≥２，所以a≥２；当a<１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足错误!解得错误!≤a<１．综上，实数a的取值范围为错误!∪[２，＋∞）．【答案】（１）—１（２）错误!∪[２，＋∞）错误!利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤（１）常用方法（２）一般步骤１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１，２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，３）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，３）Ｄ．（0，２）解析：选Ｃ．由题意，知函数f（x）在（１，２）上单调递增，又函数一个零点在区间（１，２）内，所以错误!即错误!解得0<a<３，故选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!若函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，则实数m的取值范围是．解析：画出函数f（x）＝错误!的图象，如图所示．由于函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，结合图象得0<m<１，即m∈（0，１）．答案：（0，１）３．若函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，则实数a的取值范围是．解析：因为函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，所以方程４x—２x—a＝0在[—１，１]上有解，即方程a＝４x—２x在[—１，１]上有解．方程a＝４x—２x可变形为a＝错误!错误!—错误!，因为x∈[—１，１]，所以２x∈错误!，所以错误!错误!—错误!∈错误!.所以实数a的取值范围是错误!.答案：错误!核心素养系列５直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质【解析】由已知条件得f（x＋２）＝f（x），则y＝f（x）是以２为周期的周期函数，１正确；当—１≤x≤0时，0≤—x≤１，f（x）＝f（—x）＝错误!错误!，函数y＝f（x）的部分图象如图所示：由图象知２正确，３不正确；当３<x<４时，—１<x—４<0，f（x）＝f（x—４）＝错误!错误!，因此４正确，故正确命题的序号为１２４．【答案】１２４错误!作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式使log２（—x）<x＋１成立的x的取值范围是．【解析】在同一直角坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１，0）．【答案】（—１，0）错误!f（x），g（x）之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x—２a|≥错误!x＋a—１对x∈R恒成立，则a的取值范围是．【解析】作出y＝|x—２a|和y＝错误!x＋a—１的简图，依题意知应有２a≤２—２a，故a≤错误!.【答案】错误!错误!对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题已知函数f（x）＝２x＋x，g（x）＝log３x＋x，h（x）＝x—错误!的零点依次为a，b，c，则（）Ａ．a<b<cＢ．c<b<aＣ．c<a<bＤ．b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝２x，y＝log３x，y＝—错误!的图象，如图，观察它们与y＝—x的交点可知a<b<c，故选Ａ．【答案】A错误!零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．１．函数f（x）＝|x—２|—ln x在定义域内的零点的个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y１＝|x—２|（x>0），y２＝ln x（x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为２．２．已知函数f（x）＝错误!若f（a２）<f（２—a），则实数a的取值范围是．解析：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递增，所以a２<２—a，解得—２<a<１，故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）[基础题组练]１．（２0２0·福州期末）已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（x）＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．令f（x）＋３x＝0，则错误!或错误!解得x＝0或x＝—１，所以函数y＝f（x）＋３x 的零点个数是２．故选Ｃ．２．下列函数中，在（—１，１）内有零点且单调递增的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝２x—１Ｃ．y＝x２—错误!Ｄ．y＝—x３解析：选Ｂ．函数y＝log错误!x在定义域上单调递减，y＝x２—错误!在（—１，１）上不是单调函数，y＝—x３在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝２x—１，当x＝0∈（—１，１）时，y＝0且y＝２x—１在R上单调递增．故选Ｂ．３．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）方程log４x＋x＝7的解所在区间是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（３，４）Ｃ．（５，6）Ｄ．（6，7）解析：选Ｃ．令函数f（x）＝log４x＋x—7，则函数f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数，且是连续函数．因为f（５）<0，f（6）>0，所以f（５）·f（6）<0，所以函数f（x）＝log４x＋x—7的零点所在区间为（５，6），所以方程log４x＋x＝7的解所在区间是（５，6）．故选Ｃ．４．（２0２0·内蒙古月考）已知函数f（x）＝x２—２|x|—m的零点有两个，则实数m的取值范围为（）Ａ．（—１，0）Ｂ．{—１}∪（0，＋∞）Ｃ．[—１，0）∪（0，＋∞）Ｄ．（0，１）解析：选Ｂ．在同一直角坐标系内作出函数y＝x２—２|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝—１时，直线y＝m与函数y＝x２—２|x|的图象有两个交点，即函数f（x）＝x２—２|x|—m有两个零点．故选Ｂ．５．已知函数f（x）＝x e x—ax—１，则关于f（x）的零点叙述正确的是（）Ａ．当a＝0时，函数f（x）有两个零点B．函数f（x）必有一个零点是正数Ｃ．当a<0时，函数f（x）有两个零点Ｄ．当a>0时，函数f（x）只有一个零点解析：选Ｂ．f（x）＝0⇔e x＝a＋错误!（x≠0），在同一直角坐标系中作出y＝e x与y＝错误!的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f（x）＝错误!＋a的零点为１，则实数a的值为．解析：由已知得f（１）＝0，即错误!＋a＝0，解得a＝—错误!.答案：—错误!7．（２0２0·新疆第一次适应性检测）设a∈Z，函数f（x）＝e x＋x—a，若x∈（—１，１）时，函数有零点，则a的取值个数为．解析：根据函数解析式得到函数f（x）是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈（—１，１）时，函数有零点，需要满足错误!⇒错误!—１<a<e＋１，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，１，２，３．答案：４8．已知f（x）＝x２＋（a２—１）x＋（a—２）的一个零点比１大，一个零点比１小，则实数a的取值范围是．解析：法一：设方程x２＋（a２—１）x＋（a—２）＝0的两根分别为x１，x２（x１<x２），则（x１—１）（x２—１）<0，所以x１x２—（x１＋x２）＋１<0，由根与系数的关系，得（a—２）＋（a２—１）＋１<0，即a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围为（—２，１）．法二：函数f（x）的图象大致如图，则有f（１）<0，即１＋（a２—１）＋a—２<0，得a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）9．设函数f（x）＝ax２＋bx＋b—１（a≠0）．（１）当a＝１，b＝—２时，求函数f（x）的零点；（２）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（１）当a＝１，b＝—２时，f（x）＝x２—２x—３，令f（x）＝0，得x＝３或x＝—１．所以函数f（x）的零点为３或—１．（２）依题意，f（x）＝ax２＋bx＋b—１＝0有两个不同的实根，所以b２—４a（b—１）>0恒成立，即对于任意b∈R，b２—４ab＋４a>0恒成立，所以有（—４a）２—４×（４a）<0⇒a２—a<0，解得0<a<１，因此实数a的取值范围是（0，１）．１0．已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），满足f（0）＝２，f（x＋１）—f（x）＝２x—１．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若函数g（x）＝f（x）—mx的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，求m的取值范围．解：（１）由f（0）＝２得c＝２，又f（x＋１）—f（x）＝２x—１，得２ax＋a＋b＝２x—１，故错误!解得a＝１，b＝—２，所以f（x）＝x２—２x＋２．（２）g（x）＝x２—（２＋m）x＋２，若g（x）的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，则满足错误!⇒错误!解得１<m<错误!.所以m的取值范围为错误!.[综合题组练]１．（一题多解）函数f（x）＝２x—错误!零点的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．法一：当x<0时，f（x）＝２x—错误!>0恒成立，无零点；又易知f（x）＝２x—错误!在（0，＋∞）上单调递增，最多有一个零点．又f错误!＝错误!—２<0，f（１）＝２—１>0，所以有一个零点．故选Ｂ．法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝２x和y＝错误!的图象，如图所示．函数f（x）＝２x—错误!的零点等价于２x＝错误!的根等价于函数y＝２x和y＝错误!的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选Ｂ．２．已知命题p：“m＝２”是“幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f（x）＝ln x＋３x—8的零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＋b＝５．则下列命题为真命题的是（）Ａ．p∧qＢ．（﹁p）∧qＣ．﹁qＤ．p∧（﹁q）解析：选Ａ．对于命题p，若幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数，则错误!解得m＝２，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f（x）＝ln x＋３x—8在（0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝ln ２—２<0，f（３）＝ln ３＋１>0，所以零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＝２，b＝３，a＋b＝５，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q 是真命题，（﹁p）∧q，﹁q，p∧（﹁q）都是假命题．故选Ａ．３．设函数f（x）＝错误!（x>0）．（１）作出函数f（x）的图象；（２）当0<a<b，且f（a）＝f（b）时，求错误!＋错误!的值；（３）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：（１）如图所示．（２）因为f（x）＝错误!＝错误!故f（x）在（0，１]上是减函数，而在（１，＋∞）上是增函数，由0<a<b且f（a）＝f（b），得0<a<１<b，且错误!—１＝１—错误!，所以错误!＋错误!＝２．（３）由（１）中函数f（x）的图象可知，当0<m<１时，方程f（x）＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是（0，１）．４．（创新型）已知函数f（x）＝—x２—２x，g（x）＝错误!（１）求g（f（１））的值；（２）若方程g（f（x））—a＝0有４个实数根，求实数a的取值范围．解：（１）利用解析式直接求解得g（f（１））＝g（—３）＝—３＋１＝—２．（２）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（—∞，１）上有２个不同的解，则原方程有４个解等价于函数y＝g（t）（t<１）与y＝a的图象有２个不同的交点，作出函数y＝g （t）（t<１）的图象，如图，由图象可知，当１≤a<错误!时，函数y＝g（t）（t<１）与y＝a有２个不同的交点，即所求a的取值范围是错误!.。

2013年高考数学一轮复习精品教学案2.8 函数与方程（新课标人教版，教师版）【考纲解读】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.函数与方程是历年来高考重点内容之一,选择题、填空题与解答题都有可能出现,还常与二次函数等知识相联系，以考查函数与方程知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数与方程,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.函数的零点：(1)一般地,如果函数y=f(x)在实数a 处的值等于0,即()0f a =,则a 叫做这个函数的零点. (2)对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质： 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 2.二分法(1)对于区间[a,b]上连续的,且()()0f a f b ⋅<的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方法,叫做二分法.(2)用二分法求函数零点的近似值.第一步：确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度; 第二步：求区间(,)a b 的中点1x ; 第三步：计算；①若f(x 1)=0,则x 1就是函数的零点, ②若f(a) ·f(x 1)<0,则令b=x 1, ③若f(x 1)·f(b)<0,则令a= x 1.第四步：判断是否达到精确度ε，即若||a b ε-<，则得到零点近似值a （或b ），否则重复第二、三、四步.【例题精析】考点 求函数的零点例. (2012年高考北京卷文科5)函数xx x f )21()(21-=的零点个数为（ ） （A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3(2012年高考湖北卷文科3) 函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A 2 B 3 C 4 D 5例. 函数3()233f x x x =+-的零点所在的区间为( ) A.(-1,0) B.( 0,1) C.(1,2) D.(2,3)1. （2010年高考天津卷文科4）函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是 ( ) (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）2．（2010年高考福建卷文科7）函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A.3B.2C.1D.03．（2010年高考上海卷文科17）若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）4. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟) 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是_____.5. （2009年高考山东卷理科第14题）若函数f(x) =x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .6．(山东省济南市2012年2月高三定时练习)函数x x x f lg cos )(-=零点的个数为 .1.（2011年高考海南卷文科10)在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( ) A.1(,0)4-B.1(0,)4C. 11(,)42D.13(,)242. (2010年高考浙江卷文科9)已知x 是函数f(x)=2x+11x-的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞），则( )（A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0 【答案】B【解析】考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题.3. (2012年高考湖南卷文科9)设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为( ) A .2 B .4 C. 5 D. 84. （2011年高考山东卷文科16)已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .5.（2011年高考辽宁卷文科16)已知函数f （x ）=e x-2x+a 有零点，则a 的取值范围是___________。

2013年高考数学函数与方程分类汇编试题解析(人教版)课时作业(十一)第11讲函数与方程]时间：45分钟分值：100分]基础热身1．(1)函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点为________；(2)函数g(x)＝x2－2x＋1的零点个数为________．2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解x0(精确到0.01)为________．4．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，x＞0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．能力提升5．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是________．6．2012•如皋模拟]若函数f(x)＝x2•lga－2x＋2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是________．7．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x>0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)•f(2)8．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C、D，则直线AB与CD交点坐标为________．9．2012•温州一模]根据表格中的数据，可以判定函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为________.x12345lnx00.691.101.391.6110.2012•常镇二调]已知方程12x＝x13的解x0∈1n＋1，1n，则正整数n＝________.11．2012•盐城模拟]若方程x3＋a＝4x的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点xi，4xi(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是________．12．2012•盐城调研]已知关于x的方程|x|x＋3＝kx3有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是________________．13．(8分)如图K11－1是一个二次函数y＝f(x)的图象．(1)写出这个二次函数的零点；(2)写出这个二次函数的解析式；(3)分别指出f(－4)f(－1)，f(0)f(2)与零的大小关系．图K11－114．(8分)已知函数f(x)＝4x＋m•2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．15．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间－1,1]上有零点，求a的取值范围．16．(12分)已知二次函数y＝f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数y＝f2(x)的图象与直线y＝x的两个交点间距离为8，f(x)＝f1(x)＋f2(x)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x的方程f(x)＝f(a)有三个实数解．课时作业(十一)【基础热身】1．(1)2和3(2)1解析](1)令f(x)＝－x2＋5x－6＝0，解得x＝2或x＝3，故零点为2和3；(2)令g(x)＝0，解得x＝1，故零点就一个．2．(2,2.5)解析]由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)•f(2.5)3．1.56解析]由表格可得x0∈(1.5562,1.5625)，又精确到0.01，故x0≈1.56.4．3解析]由f(－4)＝f(0)，可得f(x)＝x2＋bx＋c关于x＝－2对称，∴－b2＝－2，∴b＝4.∵f(－2)＝－2，∴c＝2，∴当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋2，故f(x)＝x的解为x＝2或－1或－2.【能力提升】5．3解析]分别作出函数y＝x2与y＝2x的图象，看图可知有3个交点，故函数f(x)＝x2－2x的零点个数为3.6．(1，10)解析]由题意可有f(1)f(2)7．2解析]由已知可知，存在x1∈(1,2)，使得f(x1)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x0∈(－2，－1)，使得f(x0)＝0，故y＝f(x)的图象与x轴有两个交点．8．(0,0)解析]由图象可知直线AB与CD相交，两直线方程分别为AB：y ＝12x，CD：y＝lg22x，则其交点坐标为(0,0)．9．3解析]f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－210．2解析]由下图可得：x0∈(0,1)，设f(x)＝12x－x13，因为f12＝1212－12130，故n＝2.11．(－∞，－6)∪(6，＋∞)解析]方程的根显然不为0，原方程的实根是曲线y＝x3＋a与曲线y＝4x的交点的横坐标；而曲线y＝x3＋a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点(xi，4xi)(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与y＝4x交点为：(－2，－2)，(2,2)；所以结合图象可得：a>0，－＋a>－2或a12．k>0或k所以＋＝k(*)，当x＝0时，原式成立；当x≠0时，1k＝|x|•x•(x＋3)＝＋，－＋设y＝＋，－＋因为y＝1k与y＝＋，－＋故1k>－4且k≠0，所以k>0或k13．解答](1)由图象知函数y＝f(x)的零点是x1＝－3，x2＝1.(2)方法一：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，据题意＝a＋b＋c＝0，＝c＝3，－＝9a－3b＋c＝0，解得a＝－1，b＝－2，c＝3.故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.方法二：设二次函数的解析式为f(x)＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，由f(－1)＝4，可得a＝－1，故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.方法三：设二次函数的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＋4(a≠0)，由f(0)＝3，可得a＝－1，故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.(3)∵f(－4)＝－5，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(2)＝－5，∴f(－4)f(－1)＝－2014.解答]∵f(x)＝4x＋m•2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m•2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0，即m2－4＝0，∴m＝±2.当m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，方程t2＋mt＋1＝0有两不等根，由题设知仅有一根，且为正，故方程t2＋mt＋1＝0有一正一负根，即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾．∴这种情况不可能．综上可知：m＝－2时，f(x)有惟一零点，该零点为x＝0.15．解答]若a＝0，则函数f(x)＝2x－3在区间－1,1]上没有零点．下面就a≠0时分三种情况讨论．(1)方程f(x)＝0在区间－1,1]上有重根．此时Δ＝4＋8a(3＋a)＝4(2a2＋6a＋1)＝0，解得a＝－3±72.当a＝－3－72时，f(x)＝0的重根x＝3－72∈－1,1]；当a＝－3＋72时，f(x)＝0的重根x＝3＋72∉－1,1]；故当方程f(x)＝0在区间－1,1]上有重根时，a＝－3－72.(2)f(x)在区间－1,1]上只有一个零点且不是f(x)＝0的重根，此时有f(－1)•f(1)＝(a－1)(a－5)≤0⇒1≤a≤5.∵当a＝5时，方程f(x)＝0在区间－1,1]上有两个相异实根．故当方程f(x)＝0在区间－1,1]上只有一个根且不是重根时，a的取值范围为{a|1≤a(3)方程f(x)＝0在区间－1,1]上有两相异实根．因为函数f(x)＝2ax＋12a2－12a－a－3，其图象的对称轴方程为x＝－12a，所以a应满足(I)a>0，Δ＝8a2＋24a＋4>0，－10，－1解不等式组(I)得a≥5，解不等式组(Ⅱ)得a故当方程f(x)＝0在区间－1,1]上有两相异实根时，a综上所述，函数在区间－1,1]上有零点，a的取值范围是－∞，－3－72∪1，＋∞)．16．解答](1)由已知，设f1(x)＝ax2，由f1(1)＝1，得a＝1，∴f1(x)＝x2.设f2(x)＝kx(k>0)，它的图象与直线y＝x的交点分别为A(k，k)，B(－k，－k)．由|AB|＝8，得k＝8，∴f2(x)＝8x.故f(x)＝x2＋8x.(2)证明：法一：由f(x)＝f(a)，得x2＋8x＝a2＋8a，即8x＝－x2＋a2＋8a.在同一坐标系内作出f2(x)＝8x和f3(x)＝－x2＋a2＋8a的大致图象，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3(x)的图象是以0，a2＋8a为顶点，开口向下的抛物线．因此，f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)＝f(a)有一个负数解．又∵f2(2)＝4，f3(2)＝－4＋a2＋8a，当a>3时，f3(2)－f2(2)＝a2＋8a－8>0，∴当a>3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2，f3(2))在f2(x)图象的上方．∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)＝f(a)有两个正数解．因此，方程f(x)＝f(a)有三个实数解．法二：由f(x)＝f(a)，得x2＋8x＝a2＋8a，即(x－a)x＋a－8ax＝0，得方程的一个解x1＝a.方程x＋a－8ax＝0化为ax2＋a2x－8＝0，由a>3，Δ＝a4＋32a>0，得x2＝－a2－a4＋32a2a，x3＝－a2＋a4＋32a2a，∵x20，∴x1≠x2，且x2≠x3.若x1＝x3，即a＝－a2＋a4＋32a2a，则3a2＝a4＋32a⇒a4＝4a，得a＝0或a＝34，这与a>3矛盾，∴x1≠x3.故原方程f(x)＝f(a)有三个实数解．。