学度中考数学二轮专题复习圆

2025年中考数学二轮复习专题训练：辅助圆类型一、定点定长辅助圆例1.我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：下面让我们一起尝试去解决：（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是．（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF ＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则P A+PG的最小值为多少？变式1．已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，求PM的最小值.变式2．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，求点M运动的路径长.变式3．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF ＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，求P A+PG的最小值.变式4．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，求∠CBD．变式5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为C′，在点D从点C到点A的动过程中，q求点C′运动的路径长．类型二：定弦定角辅助圆例2．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，求线段CP的最小值．变式1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB+∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为．变式2．如图，Rt△ABC中，AC＝2，∠CAB＝30°，点D和点B分别在线段AC的异侧，且∠ADC＝30°，连BD，求BD的最大值．变式4．[问题提出]我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？[初步思考]（1）如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB＝100°，点P1、P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠AP1B＝°，∠AP2B＝°；（2）如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB＝m°（m＜180°），点P是⊙O上不与A、B重合的一点，求弦AB所对的圆周角∠APB的度数为；（用m 的代数式表示）[问题解决]（3）如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB＝135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；[实际应用]（4）如图4，在边长为6的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE＝CF，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是．类型三、四点共圆辅助圆例3．（1）[学习心得]小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）[问题解决]如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A，B，C，D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）[问题拓展]如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD 的长．变式1．如图，在△ABC中，∠ABD＝∠ACD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．求证：△ABC是等腰三角形．变式2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：（1）∠CFD＝∠CAD；（2）EG＜EF．变式3．已知，如图1，在平面直角坐标系中，△AOC为等边三角形，AD＝AO，连接OD 交AC于N，连接CD．（1）求∠ODC的度数；（2）证明：∠CAD＝2∠COD；（3）如图2，CA的延长线交y轴于P点，连接PD，延长OA交PD于K，连接KN，PK ＝7，求NK的值．变式4．如图，△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，若B（a，b）且a、b满足+（b﹣5）2＝0，D为y轴上一动点，以AD为边作等边△ADC，CB交y轴于E．（1）如图1，求A点坐标；（2）如图2，D为y轴正半轴上一点，C在第二象限，CE的延长线交x轴于M，当D 点在y轴正半轴上运动时，M点坐标是否变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由；（3）如图3，D在y轴负半轴上，以DA为边向右构造等边△DAC，CB交y轴于E点，如果D点在y轴负半轴上运动时，仍保持△DAC为等边三角形，连BE，试求CE，OD，AE三者的数量关系，并证明你的结论．。

2021年中考二轮专题复习——圆一、单选题1．（2021·江苏九年级专题练习）如图，△ABC 内接于△O ，△C=45°，AB=2，则△O 的半径为（ ）A ．1B ．C ．2 D2．（2019·江苏无锡市·）如图，点A ，B ，C 均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A ，O ，C 作△D ，E 是△D 上任意一点，连结CE ，BE ，则CE 2+BE 2的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．3．（2019·江苏无锡市·）如图，在扇形AOB 中，△AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE△OA 交AB 于点E ，以点C 为圆心，OA 的长为直径作半圆交CE 于点D ．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3π-B ．3π-C ．53π-D ．53π-4．（2020·天津市第二南开中学九年级月考）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BD ，CE ，若△CBD =32°，则△BEC 的大小为（ ）A．64°B．120°C．122°D．128°5．（2021·滦南县宋道口镇初级中学九年级期末）如图A，B，C是O上的三个点，若100∠=，则AOCABC∠等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°6．（2020·沭阳县修远中学九年级月考）如图，△ABC内接于△O，将BC沿BC翻折，BC交AC于点D，连接BD，若△BAC＝66°，则△ABD的度数是（）A．66B．44C．46D．487．（2020·安徽芜湖市·九年级月考）如图，AB为△O的直径，点C在△O上，若△C=16°,则△BOC的度数是（）A．74︒B．48︒C．32︒D．16︒8．（2017·河南九年级其他模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于△O，若直线P A与△O相切于点A，则△P AB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°9．（2020·湖州市第四中学教育集团九年级期中）如图，AB是△O的直径，DB、DE分别切△O于点B、C，若△ACE＝25°，则△D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°10．（2021·江苏九年级专题练习）如图，A，B，C是△O上三点，△ACB＝25°，则△BAO的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°11．（2019·广东九年级一模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出cos△AOB的值是（）A．34B．710C．45D．3512．（2020·山东烟台市·九年级一模）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的△C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为（）A．4932B．2518C．3225D．9813．（2019·江苏无锡市·九年级一模）如图，A、B、C、D是△O上的四个点，弧AB=弧BC,58AOB∠=︒，则BDC∠的度数是（）A．58°B．42°C．32°D．29°14．（2018·江苏无锡市·）在平面直角坐标系中，A（3，0）、B（a，2）、C（0，m），D（n，0），且m2+n2=4，若E为CD中点．则AB+BE的最小值为（）A．3B．4C．5D．15．（2020·湖南长沙市·九年级期末）如图，已知BC是△O的直径，AB是△O的弦，切线AD交BC的延长线于D,若△D=40°，则△B的度数是（）A．40°B．50°C．25°D．115°二、解答题16．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，△ABC的三个顶点都在△O上，直径AD＝6cm，△DAC＝2△B，求AC 的长．17．（2019·江苏无锡市·）如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的△O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ，AE ＝2，EC ＝1．（1）求证：△DEC△△ADC ；（2）连结DO ，探究四边形OBCD 是否是菱形？若是，请你给予证明；若不是，请说明理由； （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ，求证：CH 是△O 的切线．18．（2019·江苏无锡市·）如图，已知直线(y m m =+>交x 轴、y 轴分别于点A 、点F ，并与反比例函数y x=的图像交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），以OA 为直径作半圆，圆心为P ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，并与半圆P 交于点D ．（1）若B 、C 的横坐标分别为x 1、x 2，且x 2-x 1=5，求m 的值；（2）判断线段DE 的长是否随m 的改变而改变，若不随m 的改变而改变，请求出DE 的长；若随m 的改变而改变，请说明理由；（3）记点C 关于直线DE 的对称点为C ′，当四边形CDC ′E 为菱形时，直接写出C 的坐标和m 的值．19．（2020·广东惠州市·九年级其他模拟）如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O 于点D，过点B作BE PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．(△)求证：AB=BE；(△)连结OC，如果，△ABC=60°，求OC的长．20．（2020·江苏无锡市·九年级零模）如图，AB为△O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作△O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC△DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝2时，求出四边形ACDE的面积．21．（2019·山西九年级专题练习）如图，CD是△O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：△CAD=△BDC；（2）若BD=23AD，AC=3，求CD的长．22．（2020·江苏无锡市·九年级一模）已知：如图，AB是△O的直径，DM切△O于点D，过点A作AE△DM，垂足为E，交△O于点C，连接AD．（1）求证：AD是△BAC的平分线；CD ，半径为5，求CE的长．（2）连接CD，若2523．（2020·南京市竹山中学九年级期中）如图，△ABC中，△O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，△DBC＝△BAC．（1）证明BC与△O相切；（2）若△O的半径为6，△BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．24．（2020·江苏无锡市·九年级一模）如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作△POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．△试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；△是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由．25．（2020·江苏无锡市·九年级一模）如图，AB是△O的直径，点C是△O上一点，AC平分△DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为D，CE平分△ACB，交△O于E．（1）求证：PC与△O相切；（2）若AC=6，tan△BEC=23，求BE的长度以及图中阴影部分面积．26．（2020·江苏无锡市·九年级一模）（1）如图1，在△O中，AB是直径，弦EF△AB，在直径AB下方的半圆上有一个定点H（点H不与点A，B重合），请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．画出劣弧EF的中点P，并在直线AB上画出点G，使直线AB平分△HGP．（保留作图痕迹，不写作法）（2）尺规作图．．．．：如图2，已知线段a、c，请你用两种不同的方法作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．（保留作图痕迹，不写作法）27．（2017·陕西九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分△ABC交AE于点M，经过B，M两点的△O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为△O的直径．（1）求证：AE与△O相切；（2）当BC＝4，cos C＝13时，求△O的半径．28．（2020·江苏无锡市·）如图，△AOB中，A（-8，0），B（0，323），AC平分△OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，△P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE△AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为△P的切线；（2）求△P的半径．29．（2020·无锡市天一实验学校九年级一模）如图，△ABC的点A，C在△O上，△O与AB相交于点D，连接CD，△A＝30°，DC．（1）求圆心O到弦DC的距离；（2）若△ACB+△ADC＝180°，求证：BC是△O的切线．30．（2020·霍林郭勒市第五中学九年级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH△AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．（1）求证：DH 是圆O 的切线；（2）若A 为EH 的中点，求EF FD的值；（3）若EA ＝EF ＝1，求圆O 的半径． 31．（2019·江苏无锡市·九年级一模）如图，在ABC ∆中，AB BC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作CE AB ∥，与过点A 的切线相交于点E ，连接AD .（1）求证：AD AE =；（2）若10AB =，AC =AE 的长.32．（2019·江苏盐城市·九年级二模）如图，AB 为△O 的直径，AC 为△O 的弦，AD CD ⊥，且BAC CAD ∠=∠．（1）求证：CD △O 的切线；（2）若1AD =，2CD =，求△O 的半径．33．（2020·甘肃九年级二模）如图，AB 为△O 的直径，C 为△O 上一点，△CAB 的角平分线AD 交△O 于点D ，过点D 作DE△AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是△O 的切线；（2）若△CAB=60°，，求AC的长．34．（2020·江阴市临港实验学校）已知：如图，已知△O是△ABC的外接圆，AB为△O的直径，AC＝6cm，BC＝8cm.(1)求△O的半径；(2)请用尺规作图作出点P，使得点P在优弧．．CAB．．．上时，△PBC的面积最大，请保留作图痕迹，并求出△PBC 面积的最大值.三、填空题35．（2019·江苏无锡市·）如图，△O的半径为4，A、C两点在△O上，点B在△O内，4 tan3ACB∠=，AB△AC，若OB△OC，那么OB的长为__________．36．（2020·江苏无锡市·九年级零模）如图，将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）37．（2020·江苏无锡市·九年级零模）如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转60°，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是_____.38．（2021·江苏九年级专题练习）如图，直线l与半径为2的△O相切于点A，P是△O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB△l，垂足为B，连接PA．设PA PB=m，则m的取值范围是__________．39．（2021·江苏九年级专题练习）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝5，AB，点P在以AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．40．（2020·宜兴外国语学校九年级一模）如图，四边形ABCD内接于△O，OC△AD，△DAB＝60°，△ADC ＝106°，则△OCB＝_____°．41．（2020·曲阜市息陬乡春秋中学九年级月考）如图，△ABC中，△C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的△O和AB、BC均相切，则△O的半径为___．42．（2020·竹溪县实验中学九年级其他模拟）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．43．（2020·四川成都外国语学校高新校区九年级月考）如图，已知△O的半径为3cm，点A、B、C把△O三等分，分别以OA、OB、OC为直径作圆，则图中阴影部分的面积为____．44．（2020·沭阳县修远中学九年级月考）如图，已知△O的半径是2，点A，B在△O上，且△AOB＝90°，动点C在△O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是_______．45．（2020·江苏无锡市·九年级月考）如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若△CPA=20°，则△A=___________．46．（2020·山东省青岛第二十六中学）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为．参考答案1．D2．C3．D4．C5．D6．D7．C8．A9．A10．D11．D12．C13．D14．B15．C16．3cm．17．解：（1）C是劣弧BD的中点，CAD CDE∴∠=∠，又DCE DCA∠=∠，DEC ADC∴△∽△；（2）由（1）得DC EC AC DC=，2313DC AC EC∴=⋅=⨯=，BC DC∴==AB是O的直径，90ACB∴∠=︒．22222312 AB AC CB∴=+=+=，AB∴=OD OB BC DC ∴====∴四边形OBCD 是菱形；（3）连接OC 交BD 于G ，四边形OBCD 是菱形，OC BD ∴⊥且OG GC =，又已知OB BH =，△BG 是△OHC 的中位线，△BG CH ，90OCH OGB ∴∠=∠=︒，CH ∴是O 的切线．18．（1）m =（2）不改变，DE =（3）C ⎛ ⎝⎭，m =19．(△)证明见解析；(△)OC =. (△)连接OD ，△PD 切O 于点D ，△OD PD ⊥．△BE PC ⊥，△OD BE ，△ADO E ∠=∠，△OA OD =，△OAD ADO ∠=∠，△OAD E ∠=∠，△AB BE =．20．（1）证明见解析；（2）2√3.解：（1）连接OD，BD△DM切△O于点D，△OD△MD，△AE△DM，△OD△AE，△△ODA=△EAD，△OD=OA，△△ODA=△DAB，△△EAD=△BAE，即AD是△BAC的平分线；23．（1）证明见解析；（2）6π－（1）证明：连接BO并延长交△O于点E，连接DE,△BE是直径，△△EDB＝90°，△△E＋△EBD＝90°△＝，△△E＝△A又△△DBC＝△BAC，△△DBC＝△E△△DBC＋△EBD＝90°，△△EBC＝90°，△BC△EB.又△OB是半径（B在△O上），△BC与△O相切. 24．（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：△四边形POBQ为平行四边形，△PQ△OB，PQ=OB．又△OB=OA，△PQ=AO．又△PQ△OA，△四边形PQOA为平行四边形，△P A△QO，P A=QO．又△M、N分别为OQ、AP的中点，△OM=12OQ，PN=12AP，△OM=PN，△四边形OMPN为平行四边形．△OP=OA，N是AP的中点，△ON△AP，即△ONP=90°，△四边形OMPN为矩形；（2）△△四边形OMPN为矩形，△S矩形OMPN=ON·NP=ON·12AP，即S矩形OMPN=S△AOP．△△AOP的底AO为定值，△当P旋转运动90°（运动至最高点）时，△AOP的AO边上的高取得最大值，此时△AOP 的面积取得最大值，△t=90÷15=6秒，△当t=6秒时，四边形OMPN面积最大．此时，PQ与半圆O相切．理由如下：△此时△POB=90°，PQ//OB，△△OPQ=90°，△PQ与半圆O相切；△当点Q在半圆O上时，△四边形POBQ为平行四边形，且OB=OP，△四边形POBQ为菱形，△OB=BQ=OQ=OP=PQ，△△POQ=△BOQ=60°，即：△BOP=120°，△此时，t=120°÷15°=8秒，当点P与点A重合时，t=180°÷15°=12秒，综上所述：当8＜t＜12时，点Q在半圆O内．25．（1）见解析；（2）BE，13264Sπ-=阴影．（1）如图，连结OC，△AC平分△DAB，△△DAC=△CAO，△OC =OA，△△ACO=△CAO，△△ACO =△DAC，△OC△AD，△AD△PD，则△D=90°，△△OCP=△D=90°，△OC△PC，即PC与△O相切；26．解：（1）如图1所示，点P、点G即为所求；（2）方法一：如图2所示，Rt△ABC即为所求；方法二：如图3所示，Rt△ABC即为所求．27．(1) 连接OM，则OM＝OB，如图所示：△△OBM=△OMB△BM平分△ABC△△OBM=△EBM△△OMB=△EBM△OM△BE△△AMO=△AEB而在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线△AE△BC△△AMO=△AEB=90°△AE与△O相切.(2) 在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线△BE=12BC=2,△ABC=△ACB△在Rt△ABC中cos△ABC=cos△ACB=2AB=13△AB=6设△O的半径为r,则AO=6-r △OM△BC△△AOM△△ABE△OM AO BE AB即r6-r = 26△r=3 228．（1）证明：连接CP ， △AP=CP ，△△PAC=△PCA ，△AC 平分△OAB ，△△PAC=△EAC ，△△PCA=△EAC ，△PC△AE ，△CE△AB ，△CP△EF ，即EF 是△P 的切线；（2）由（1）知，PC△AB ，△△OPC△△OAB ，△ ,PC OP AB OA= △A （-8，0），B （0，323）， △OA=8，OB=323，=403， △ 84083PC PC -=，△PC=5，△△P 的半径为5．29．解：（1）连接OD ，OC ，过O 作OE △OC 于E ，△△A＝30°，△△DOC＝60°，△OD＝OC，CD，△△OCD是等边三角形，△OD＝OC＝CD，△OE△DC，△DE，△DEO＝90°，△DOE＝30°，△OE＝2△圆心O到弦DC的距离为：2（2）由（1）得，△ODC是等边三角形，△△OCD＝60°，△△ACB+△ADC＝180°，△CDB+△ADC＝180°，△△ACB＝△CDB，△△B＝△B，△△ACB△△CDB，△△A＝△BCD＝30°，△△OCB＝90°，△BC是△O的切线．30．（1）连接OD，如图1，△OB=OD，△△ODB是等腰三角形，△OBD=△ODB△，在△ABC 中，△AB=AC，△△ABC=△ACB△，由△△得：△ODB=△OBD=△ACB，△OD△AC，△DH△AC，△DH △OD ，△DH 是圆O 的切线；（2）如图2，在△O 中，△△E =△B ，△由（1）可知：△E =△B =△C ，△△EDC 是等腰三角形，△DH △AC ，且点A 是EH 中点，设AE =x ，EC =4x ，则AC =3x ，连接AD ，则在△O 中，△ADB =90°，AD △BD ，△AB =AC ，△D 是BC 的中点，△OD 是△ABC 的中位线，△OD △AC ，OD =12AC =32x ，△OD △AC ，△△E =△ODF ，在△AEF 和△ODF 中，△△E =△ODF ，△OFD =△AFE ，△△AEF △△ODF ，△EF AE FD OD =，△32AE x OD x = =23，△EF FD =23； （3）如图2，设△O 的半径为r ，即OD =OB =r ，△EF =EA ，△△EF A =△EAF ，△OD △EC ，△△FOD =△EAF ，则△FOD =△EAF =△EF A =△OFD ，△DF =OD =r ，△DE =DF +EF =r +1，△BD =CD =DE =r +1，在△O 中，△△BDE =△EAB ，△△BFD =△EF A =△EAB =△BDE ，△BF =BD ，△BDF 是等腰三角形，△BF =BD =r +1，△AF =AB ﹣BF =2OB ﹣BF =2r ﹣（1+r ）=r ﹣1，在△BFD 和△EF A 中，△△BDF =△EF A ，△B =△E ，△△BFD △△EFA ，△EF BF FA DF =，△111r r r +=-，解得：r 1=12+，r 2=12（舍），综上所述，△O的半径为12+．31．（1）证明：△AE 与△O 相切，AB 是△O 的直径，△△BAE=90°，△ADB=90°，△CE△AB ，△△E=90°，△△E=△ADB ，△在△ABC 中，AB=BC ，△△BAC=△BCA ，△△BAC+△EAC=90°，△ACE+△EAC=90°，△△BAC=△ACE ，△△BCA=△ACE ，又△AC=AC ，△△ADC△△AEC （AAS ），△AD=AE ；（2）解：设AE=AD=x ，CE=CD=y ，则BD=（10-y ），△△AEC 和△ADB 为直角三角形，△AE 2+CE 2=AC 2，AD 2+BD 2=AB 2，AB=10，AE=AD=x ，CE=CD=y ，BD=（10-y ）代入得： 22210)280(100y x y x -⎧+=⎨+=⎩， 解得：84x y =⎧⎨=⎩, 所以AD ＝8.32．（1）如图：连接BC ，OC△OA OC =OAC OCA ∴∠=∠，且CAD OAC ∠=∠ △OCA CAD ∠=∠△AD CD ⊥△90CAD ACD ∠+∠=︒△90OCA ACD ∠+∠=︒OC CD ∴⊥且OC 为半径CD ∴是O 的切线（2）AD CD ⊥，1AD =，2CD =AC ∴=， AB 是直径△90ACB ∠=︒90ACB ADC ∠=∠=︒，BAC CAD ∠=∠ △ACD ABC ∆∆∽∴ AD AC AC AB= 5AB ∴=.△△O 的半径为52. 33．证明：（1）连接OD ，如图，△OA=OD ，△△OAD=△ODA ，△AD 平分△CAB ，△△CAD=△OAD ，△△CAD=△ODA ，△OD△AC ，△DE△AC ，△DE△OD ，△DE 是△O 的切线；（2）连接BD ，则△ADB=90°， △△CAB=60°，AD 平分△CAB ， △△CAD=△DAB=30°，△AB=12，连接OC ，则OC=OA=6， △△CAB=60°，△AC=OA=OC=6．34．（1）△O 的半径为5cm ；（2）S △PBC ＝32． 35．4336．5π37．24π38．01m ≤≤39．.440．46°41．67． 42．24446．83π-。

中考二轮复习 圆专题 综合复习题 一1.已知⊙ 0的直径AB=40，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD=32，则AE 的长为( ) A ．12 8．8 C ．12或28 D ．8或322.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ）A 、2cmB 、错误！未找到引用源。

cm C.cm 32D 、错误！未找到引用源。

3.如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=3，ED=4，则AB 的长为（ ） A.3 B.23 C.21 D.354.如图，直径为10的⊙A 山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( ) A.12 B.34 C.32D.45 5.如图，以原点O 为圆心的圆交X 轴于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD= °．6.如图，AB 是半圆O 的直径，以0A 为直径的半圆I 与弦AC 交于点D ，IE ∥AC ，并交OC 于点E ．则下列四个结论：①点D 为AC 的中点；②AO C IOE S S ∆∆=21；③2AC AD = ；④四边形I'DEO 是菱形．其中正确的结论是 _________．（把所有正确的结论的序号都填上）7.如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，且AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为 ．8.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，若AB ＝2DE ，∠B ＝18°，则∠AOC 的度数为_ ．9.如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②OE CE =；③△ODE ∽△ADO ；④AB CE CD ⋅=22．其中正确结论的序号是 ．10.如图，△ABC 内接于⊙O ，若B ∠＝30°，3AC =，则⊙O 的直径为 .11.如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF ，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是 ．12.如图，已知O ⊙的半径为1，锐角△ABC 内接于圆O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于（ ）A.OM 的长B.2OM 的长C.CD 的长D.2CD 的长13.如图，OA 是⊙B 的直径，OA=4，CD 是⊙B 的切线，D 为切点，∠DOC=30°，则点C 的坐标为 15.如图,AB 为⊙O 的直径,AC 为⊙O 的弦,AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D,DE ⊥AC,交AC 的延长线于点E ． （1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AE=8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．16.已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点, 交BD 于点G ，交AB 于点F ．（1）求证：AC 与⊙O 相切；（2）当BD=6，sinC=53时，求⊙O 的半径．AFD OEBG C17.如图，AB 为⊙O 的直径， D 、T 是圆上的两点，且AT 平分∠BAD ，过点T 作AD 延长线的垂线PQ ，垂足为C ．（1）求证：PQ 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，3TC =，求弦AD 的长.18.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作D E A C ⊥于点E ． （1）请说明DE 是⊙O 的切线；（2）若30B ∠=，AB ＝8，求DE 的长．19如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB=AD=AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线．（2）若点E 是劣弧BC 上一点,AE 与BC 相交于点F,且△BEF 的面积为8,cos ∠BFA=32，求△ACF 的面积．20.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=10，DC 切⊙O 于点C ，AD ⊥DC ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E 。

2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题（第二课时）练习例1.已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊙BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且⊙ODB＝⊙AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sin A＝，求BH的长．练习1.如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊙CD于点E．（1）求证：⊙BME＝⊙MAB；（2）求证：BM2＝BE•AB；（3）若BE＝，sin⊙BAM＝，求线段AM的长．例2.如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊙AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求P A的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．练习2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG⊙AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．（1）求证：⊙ECF⊙⊙GCE；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan G＝，AH＝3，求EM的值．例3.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分⊙ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：⊙ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC：（3）求tan⊙ACD的值．练习3如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO⊙AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan⊙CAD＝，求sin⊙CDA的值．例4.如图，已知在⊙ABP中，C是BP边上一点，⊙P AC＝⊙PBA，⊙O是⊙ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊙AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝1，求⊙O的半径及sin⊙ACE的值．练习4.如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT．（1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；（2）在图1中连接CB，DB，若＝，求tan T的值；（3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊙CD于点P，若BT＝6，DT＝6．求：DG的长．例5.如图，已知AO为Rt⊙ABC的角平分线，⊙ACB＝90°，，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan⊙CAO的值；（3）求的值．课后练习1.如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，连结AD，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB．（2）若⊙O的半径为1，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，若，求tan∠AEC的值．2.如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．3.如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．（1）求sin∠AOQ的值；（2）求的值；（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．4.如图，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上一点（不与点A，C重合），连接AD，BD，CD，且BC＝3CD＝18．（1）如图1，若BD为⊙O直径．①求tan∠BAC的值；②求四边形ABCD的面积．（2）如图2，在上取一点E，使，连接CE，交AB于点F，若∠BDC＝∠AFC，求AD的长度．5.如图1，AB是⊙O的直径，点P是直径AB上一动点，过点P作直径AB的垂线交⊙O于C，D两点．（1）若⊙O的半径为2，，连接CO，DO，求劣弧的长度；（2）如图2，点K是劣弧上一点，连接AK，BK，AK交CD于点Q，连接BQ，记∠BAK＝α，∠ABQ＝β，若BQ恰好平分∠ABK，且，求β的正切值；（3）如图3，当动点P移动到点O时，点K是劣弧上一点，连接AK，DK，AK交CD于点Q，DK交AB于点N，连接AD，QN．①求证：△DAQ∽△AND；②记∠OND＝θ，△ANQ的面积为S1，△DON的面积为S2，求的值（结果用含有θ的三角函数值的式子进行表示）．。

2025年中考数学二轮复习专题：隐圆专题练习一、四点共圆1．如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．连接EF交线段CD于点O，若CO＝2，CD＝3，求EO •FO的值.2.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，△ADC沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△A′DC，AA′与CD交于点E．若，，求点A′到AB 的距离.3.如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，连接BD，CD并延长分别交AC，AB于点E和点F，若DE＝6，，求BD的长.4.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，求CB+CD的最大值.5．在△ABC中，∠B＝60°，∠BCA＝20°，∠DAC＝20°，∠BCA的平分线交AB于E，连DE，求∠BDE．6．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将该纸片翻折，使得点C落在边AB的F 处，折痕为DE，D，E分别在边BC，AC上，∠AFD＝∠DEF，若DE＝4，BD＝9，求DF及△ABC的面积．7．如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠EDF＝90°，连接AD，求AD的最小值．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，AE＝3，连接BE，以BE为斜边在BE的右侧作等腰直角△BDE，P是AE边上的一点，连接PC和CD，当∠PCD＝45°，求PE长．9．如图，点E在正方形ABCD的AD边上（不与点A，D重合），连接EC，将△DEC沿EC 翻折，使点D落在点F处，作射线DF交CE于点M，交AB于点N，连接BF．（1）求证：△ADN≌△DCE；（2）过点A作AH∥BF交射线DN于点H．①求∠AHF的度数；②直接写出线段AH与FM之间的数量关系．10．已知：AD，CE都是锐角△ABC的高．（1）如图1，求证：∠B＝∠CAD+∠ACE；（2）如图2，延长CE至F，使CF＝AB，连接AF，BF，过点C作CG⊥BF于点G，在CG上取点M，使CM＝BF，连接FM，求证：AF＝FM；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AN⊥GM于点N，若AN＝14，CN﹣BG＝8，求线段MN的长．二、定点加定长1．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，则∠BAD＝．2．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝．3．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝3，BC＝2，则BD＝．4．如图，已知：AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝．5．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是．6．如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为．7．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分别是AB边和BC的中点，若线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，连接BN′，如图2所示．（1）当线段MN绕点M逆时针旋转90°时，线段BN′的长＝cm；（2）如图3，连接DN′，则DN′长度的最小值是cm．8．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，求OM的最大值．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F 是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，求△BDF 周长的最小值．三、定长加定角1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．2．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠P AB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是矩形内部的一个动点，且∠APD＝90°，连接CP并延长交AB于E，则AE的最大值为．4．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O 上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．5．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，求线段PD的最小值.6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB 上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，求线段CD的最小值.7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝，CF的最小值是．8．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，求CF的最小值．四、对角互补1．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC 的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为．2．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．3．如图，正方形ABCD中，AD＝1，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，求FM及tan∠MDE的值4.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，求的值。

2022年春浙教版九年级数学中考二轮复习《圆中最值问题》专题突破训练（附答案）1．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（）A．104 B．116 C．120 D．1002．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．1 C．D．3．如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（）A．B．C．D．4．如图，AB为半圆的直径，AB＝8，点P为半圆的三等分点，点D为弧BP上一动点，作OM⊥PD，连接AD交OM于点N，则BN的最小值为．5．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC 交AD于点E，则OE的最小值是．6．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE•EG的最大值为．7．如图，已知⊙O的直径AB＝4，弦CD⊥AB于点E，点E为OB的中点，点F 为圆O上的一个动点，过点A作AG⊥CF于点G，在点F的运动过程中，线段OG长度的最小值为．8．如图，∠CAB＝60°，D为射线AB上一点，AD＝2，E为射线AC上一动点，作∠DEF＝30°，交射线AB于点F（F在D的右侧），则DF的最小值为．9．如图1，直线l1⊥l2于点M，以l1上的点O为圆心画圆，交l1于点A，B，交l2于点C，D，OM＝4，CD＝6，点E为AD上的动点，CE交AB于点F，AG ⊥CE于点G，连接DG，AC，AD．（1）求⊙O的半径长；（2）若∠CAD＝40°，求劣弧的长；（3）如图2，连接DE，是否存在常数k，使CE﹣DE＝k•EG成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由；（4）若DG∥AB，则DG的长为；（5）当点G在AD的右侧时，请直接写出△ADG面积的最大值．10．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题：如图1，圆O的半径为2，OA＝4，动点B在圆O上，连接AB，作等边三角形ABC（A、B、C为顺时针顺序），求OC的最大值．【解决问题】小明经过多次的尝试和探索，终于得到解题思路：在图1中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE；（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段OC的最大值；【迁移拓展】（3）如图2，BC＝，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O 相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为；（2）连接AC，BC，点C在⊙O上运动的过程中，当△ABC的面积最大时，请直接写出△ABC面积的最大值是．（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．12．已知：如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，AC＝6cm，BC＝8cm．（1）求⊙O的半径．（2）请用尺规作图作出点P，使得点P在优弧CAB上时，△PBC的面积最大，请保留作图痕迹，并求出△PBC面积的最大值．13．如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作α；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：探究：（1）若R＝2，m＝1，如图1，当旋转30°时，圆心O′到射线AB的距离是；如图2，当α＝°时，半圆O与射线AB相切；（2）如图3，在（1）的条件下，为了使得半圆O转动30°即能与射线AB 相切，在保持线段AM长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由．（3）发现：（3）如图4，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了cosα与R、m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cosα＝（用含有R、m的代数式表示）拓展：（4）如图5，若R＝m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用m表示）14．问题探究：（1）如图1，点A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝35°，那么∠AOB＝．（2）如图2，BD是边长为4的正方形ABCD的对角线，在正方形内部（不含边界）找一点O，使得∠AOB＝2∠ADB，在图中画出满足条件的点O所形成的图形，并求出△AOB面积的最大值；问题解决：（3）如图3，将百姓家园小区平面图绘制在平面直角坐标系中，点A、B、C 分别是家园小区门房及两个停车场，其中OA＝100m，AB＝200m，OC＝300m，为安全期间，在一点P安装监控使△APB面积最大，且∠APB＝2∠ACB，是否存在满足条件的点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．已知：如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，AC＝6cm，BC＝8cm．（1）求⊙O的半径；（2）请用尺规作图作出点P，使得点P在优弧CAB上时，△PBC的面积最大，请保留作图痕迹，并求出△PBC面积的最大值．16．已知，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为半径作扇形AOC，E是弧AC上一动点，过E作弧AC的切线分别交AD，CD于点M和N．（1）求证：∠MBN＝45°；的最大值．并求出此时AM的长度；（2）当E在弧上运动时，求出S△DMN（3）若BM，BN分别于对角线交于P，Q两点，设AM＝x，PQ＝y，求出y 关于x的函数解析式．17．如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B固定且坐标为（，0），顶点A在⊙O上运动，始终保持∠CAB＝90°，AC＝AB（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；（4）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．18．数学课中，李老师提出了下面问题：已知正数x，y满足x2+y2＝16，求xy 的最大值．（1）为了求xy的最大值，小王想到了直角三角形，把问题转化为已知直角三角形的斜边求面积最大值的问题，请你画出图形，写出转化后问题的“已知”和“求”；（2）一个直角三角形的斜边固定时，它的直角顶点是可以变化的，请画出问题（1）中直角三角形的直角顶点的所有可能位置所组成的图形，猜想（1）中问题的结论并证明结论；（3）拓展：根据上述思考，你能进一步求出x+y的最大值和最小值吗？19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为；（2）连接AC，BC，在点C在⊙O运动过程中，△ABC的面积是否存在最大值？并求出△ABC的最大值；（3）直接写出在（2）的条件下D点的坐标．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从点O开始沿x轴的正方向移动，点B在∠xOy平分线上移动，移动中保持AB＝2不变，以AB为一边，着AB 右侧作矩形ABCD，且BC＝1．（1）当AB⊥OA时，请求出OC的长；（2）取AB的中点E，当O、E、C三点共线时，请求出OA、OC的长；（3）设△OAB的外接圆半径为R，请判断着移动过程中R的值是否发生变化，若不变，请求出R的值，若变化，请说明理由；（4）请直接写出线段OC的最大值．21．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2，D是优弧上的任意一点（点D不与A，B重合）．（1）连接OA，OB，求∠AOB的度数；（2）连接AD，BD．问：△ABD什么时候面积最大？并求出最大面积．22．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC 的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．23．如图1，Rt△AOB中OA＝OB＝6，以O为圆心作一半径为3的圆，点C为⊙O上一动点，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D，∠COD 绕圆心O旋转．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为；（2）连接AD，当OC∥AD时，如图2，求证：直线BC为⊙O的切线；（3）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．24．⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（，0），∠CAB ＝90°，AC＝AB，顶点A在⊙O上运动．（1）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；（2）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；（3）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．25．我们把三角形内部的一个点到这个三角形三边所在直线距离的最小值叫做这个点到这个三角形的距离．如图1，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB 于F，如果PE≥PF≥PD，则称PD的长度为点P到△ABC的距离．如图2、图3，在平面直角坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），连接AB．（1）若P在图2中的坐标为（2，4），则P到OA的距离为，P到OB的距离为，P到AB的距离为，所以P到△AOB的距离为；（2）若点Q是图2中△AOB的内切圆圆心，求点Q到△AOB距离的最大值；（3）若点R是图3中△AOB内一点，且点R到△AOB的距离为1，请画出所有满足条件的点R所形成的封闭图形，并求出这个封闭图形的周长．（画图工具不限）26．问题背景：如图，点C是半圆O上一动点（点C与A、B不重合），AB＝2，连接AC、BC、OC，将△AOC沿直线AC翻折得△ADC，点、E、F、G、H 分别是DA、AO、OC、CD的中点．（1）猜想证明：猜想四边形AOCD以及四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）拓展探究：探究点C在半圆弧上哪个位置时，四边形EFGH面积最大？求出这个最大值，判断此时四边形EFGH的形状，并说明理由．参考答案1．解：取GF的中点O，连接OM，OD，DM．∵四边形DEFG是矩形，∴∠DGO＝90°，DG＝EF＝4，FG＝DE＝6，∵MG2+MF2＝2GO2+2OM2，∵OG＝OF＝3，∴OM的值最大时，MG2+MF2的值最大，∵DM＝2，OD＝＝＝5，∴OM≤OD+DM＝5+2＝7，∴OM的最大值为7，∴MG2+MF2的最大值＝2×32+2×72＝116，故选：B．2．解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝2，∴OC＝＝＝，∴CP＝OC﹣OP＝﹣2．∴CP最小值为﹣2．故选：D．3．解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．由题意AB垂直平分线段OK，∴AO＝AK，∵OA＝OK，∴OA＝OK＝AK，∴∠OAK＝∠AOK＝60°．∴AH＝OA•sin60°＝4×＝2，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴AB＝2AH＝4，∵OC+OH≥CT，∴CT≤4+2＝6，∴CT的最大值为6，∴△ABC的面积的最大值为××6＝12，故选：A．4．解：如图，连接OP，PN．∵点P为半圆的三等分点，∴∠POD＝60°，∠POA＝120°，∴∠ADP＝∠AOP＝60°，∵OM⊥PD，∴PM＝DM，∴NP＝ND，∴∠NPD＝∠NDP＝60°，∴∠PNM＝90°﹣60°＝30°，∴∠PNO＝180°﹣30°＝150°，作△OPN是外接圆⊙K，在优弧AP上取一点J，连接JP，JO，KP，KO，过点K作KH⊥AB于H．则点N的运动轨迹是，∵∠J+∠PNO＝180°，∴∠J＝30°，∴∠PKO＝2∠J＝60°，∵KP＝KO，∴△KPO是等边三角形，∴OK＝OP＝KP＝4，∴点K在⊙O上，∴KN＝KO＝4，在Rt△OKH中，∠KOH＝60°，∴∠OKH＝30°，∴OH＝OK＝2，KH＝OH＝2，∴BH＝OH+OB＝6，∴BK＝＝＝＝4，∵BN≥BK＝KN＝4﹣4，∴BN的最小值为4﹣4．故答案为：4﹣4．5．解：如图，作△AEC的外接圆⊙O′，延长BC交⊙O′于D2R，连接AR，则AR是直径，连接OO′，EO′．∵EC⊥CD，∴∠ECD＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝4，∵∠D+∠DEC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∠B＝∠D，∴∠DEC＝∠BAC＝定值，∴∠AEC是定值，∴点E的运动轨迹是，∵∠R+∠AEC＝180°，∠AEC+∠DEC＝180°，∴∠R＝∠DEC＝∠BAC，∴∠R+∠B＝90°，∴∠BAR＝90°，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BAR＝90°，∴△BCA∽△BAR，∴＝，∴＝，∴BR＝，∴CR＝BR﹣BC＝，∴AR＝＝＝，∴EO′＝AR＝，∵AO＝OB，AO′＝O′R，∴OO′＝BR＝，∵OE≥OO′﹣EO′＝﹣＝，∴OE的最小值为．故答案为：．6．解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．∵CH⊥EG，∴EH＝GH，∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴△ABE∽△HCE，∴＝，∴BE•EH＝AE•EC，∴BE•2EH＝2•AE•EC，∴EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∴EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴x＝4时，BE•EG的值最大，最大值为32，故答案为：32．7．解：如图，连接OC，CB，取AC的中点T，连接OT，TG．∵AB⊥CD，OE＝EB，∴CO＝CB，∵OC＝OB，∴OC＝OB＝CB＝2，∴∠B＝60°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin60°＝2，∵AT＝CT，AO＝OB，∴OT＝BC＝1，∵AG⊥CF，∴∠CGA＝90°，∴TG＝AC＝，∵OG≥TG﹣OT＝﹣1，∴OG的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．8．解：如图，作△DEF的外接圆⊙O，连接OD，OF，OE，过点O作OT∥AB 交AC于点T，OM⊥AC于点M．∵∠DOF＝2∠DEF，∠DEF＝30°，∴∠DOF＝60°，∵OD＝FO，∴△DFO是等边三角形，∴∠ODF＝60°，∵∠CAB＝60°，∴∠CAB＝∠ODF，∴OD∥AC，∵OT∥AD，∴四边形ADOT是平行四边形，∴AD＝OT＝2，∵∠OTM＝∠CAB＝60°，∴OM＝OT•sin60°＝2×＝，∵DF＝OD＝OE≥OM＝，∴DF的最小值为．故答案为：．9．解：（1）如图1中，连接OD．∵AB是直径，AB⊥CD，∴CM＝MD＝CD＝3，在Rt△OMD中，OD＝＝＝5，∴⊙O的半径为5；（2）如图1中，∵AB垂直平分线段CD，∴AC＝AD，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝20°，∴∠AOD＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴的长＝＝π；（3）如图2中，连接AE，过点A作AT⊥DE交DE的延长线于点E．∵AG⊥CE，AT⊥DT，∴∠AGC＝∠T＝90°，∵∠ACG＝∠ADT，AC＝AD，∴△AGC≌△ATD（AAS），∴AG＝AT，CG＝DT，∵∠AGE＝∠T＝90°，AE＝AE，∴Rt△AEG≌Rt△AET（HL），∴EG＝ET，∴CE﹣DE＝（CG+EG）﹣（DT﹣ET）＝2EG，∵CE﹣DE＝k•EG，∴k＝2；（4）如图3中，∵DG∥AB，CM＝DM，∴CF＝FG，∴FM＝DG，设FM＝x，则DG＝2x，∵∠AFG＝∠CFM，∠AGF＝∠FMC＝90°，∴△AGF∽△CMF，∴＝，∴＝，解得x＝3或，∴DG＝6或3．故答案为：6或3；（4）如图4中，过点C作CR⊥AD于点R，∵AG⊥CE，∴∠AGC＝90°，取AC的中点T，连接OG，过点T作TJ⊥AD于点J，交于点K，点G在以T为圆心，TG为半径的上运动，当点G与K重合时，△ADG的面积最大，∵•CD•AM＝•AD•CR，AD＝＝3，∴×6×9＝×3×CR，∴CR＝，∵TJ∥CR，AT＝CT，∴AJ＝JR，∴TJ＝CR＝，∵TK＝TG＝AC＝，∴JK＝JK﹣TJ＝﹣＝，的最大值＝•AD•JK＝×3×＝9．∴S△AGD10．解：【解决问题】（1）如图1中，结论：OC＝AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE（SAS），∴OC＝AE．（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，∴当E、O、A共线，∴AE的最大值为6，∴OC的最大值为6．【迁移拓展】（3）如图2中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝6定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，如图，由图可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝3+3，∴AC的最大值为3+3．当点A线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为3﹣3．综上，AC的最小值为3﹣3，AC最大值为3+3．11．解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC＝90°+∠OBA＝135°；综上所述，∠BOC的度数为45°或135°，故答案为：45°或135°；（2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图1：此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，∴OE＝AB＝3，∴CE＝OC+OE＝3+3，∴△ABC的面积＝CE•AB＝×（3+3）×6＝9+18；即当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18；故答案是：9+18；（3）①过C点作CF⊥x轴于F，如图2：∵OC∥AD，∴∠COF＝∠DAO，又∵∠ADO＝∠CFO＝90°，∴△OCF∽Rt△AOD，∴＝，即＝，解得：CF＝，在Rt△OCF中，OF＝＝＝，∴C点坐标为（﹣，）；②直线BC是⊙O的切线．理由如下：由①得：（﹣，），在Rt△OCF中，OC＝3，CF＝，∴CF＝OC，∴∠COF＝30°，∴∠OAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠AOD＝60°，∵在△BOC和△AOD中，，∴△BOC≌△AOD（SAS），∴∠BCO＝∠ADO＝90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线．12．28．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠C＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10（cm），∴⊙O的半径为5cm；（2）如图，作BC的垂直平分线交优弧CAB于P，交BC于D，则BD＝CD＝BC＝4（cm），在Rt△OBD中，∵OD＝＝3（cm），∴PD＝3+5＝8（cm），＝PD•BC＝×8×8＝32（cm2）．∴S△PBC13．解：（1）如图1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．则四边形AMFE 是矩形，EF＝AM＝1．想办法求出O′E的长即可．在Rt△MFO′中，∵∠MO′F＝30°，MO′＝2，∴O′F＝O′M•cos30°＝，O′E＝+1，∴点O′到AB的距离为+1．如图2中，设切点为F，连接O′F，作O′E⊥OA于E，则四边形O′EAF 是矩形，∴AE＝O′F＝2，∵AM＝1，∴EM＝1，在Rt△O′EM中，cosα＝＝，∴α＝60°故答案为+1，60°．（2）设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．∵O′P＝R，∴R＝R+1，∴R＝4+2．（3）设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．在Rt△O′QM中，O′Q＝R•cosα，QP＝m，∵O′P＝R，∴R•cosα+m＝R，∴cosα＝．故答案为．（4）如图5中，当半圆与射线AB相切时，之后开始出现两个交点，此时α＝90°；当N′落在AB上时，为半圆与AB有两个交点的最后时刻，此时∵MN′＝2AM，所以∠AMN′＝60°，所以，α＝120°因此，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是：90°＜α≤120°故答案为90°＜α≤120°；当N′落在AB上时，阴影部分面积最大，所以S＝﹣•m•m＝﹣m2．14．解：（1）∵点A、B、C是⊙O上三点，∴∠AOB＝2∠ACB＝70°，故答案为：70°；（2）满足∠AOB＝2∠ADB的点O在以AB为直径的半圆（不含A、B端点）图形上；∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，则∠AOB＝2∠ADB＝90°，∵90°圆周角所对弦为直径，∴点O在以AB为直径的半圆（不含A、B端点）图形上；过点O作OH⊥AB于点H，则OH≤AB，∴S△AOB＝AB•OH≤AB2，∵边长为4的正方形ABCD，∴AB＝4，∴S△AOB ≤4，即S△AOB最大值为4；（3）存在满足条件的点P；作△ABC的外接圆⊙K，连接AC、BC、AK、BK，当△APB的面积最大，且∠APB＝2∠ACB时，点P与点K重合，此时，点P为符合条件的点，连接PC，∵OB＝OC＝300，∴∠OBC＝45°，∴∠CP A＝2∠OBC＝90°，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OC2+OA2，在Rt△P AC中，由勾股定理得：AC2＝AP2+PC2＝2AP2，∴2AP2＝OC2+OA2＝3002+1002＝100000，∴AP＝100，∴点P在直线x＝200上，设直线x＝200交x轴于点H，则AH＝BH，∵OB＝OC＝300，OA＝100，∴AB＝200，∴AH＝100，在Rt△P AH中，由勾股定理得：PH＝＝200，∴P（200，200），∴点P关于x轴的对称点P'（200，﹣200）也符合题意；∴存在符合条件的点P，坐标为（200，200）或（200，﹣200）．15．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠C＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴⊙O的半径为5cm；（2）如图，作BC的垂直平分线交优弧CAB于P，交BC于D，则BD＝CD＝BC＝4，在Rt△OBD中，OD＝＝3，∴PD＝3+5＝8，S△PBC＝PD•BC＝×8×8＝32（cm2）．16．解：（1）如图1，连接BE，∵MN与⊙B相切，∴BE⊥MN，∴∠BEM＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠BEM＝90°，∵AB＝BE，BM＝BM，∴Rt△ABM≌Rt△EBM（HL），∴∠ABM＝∠EBM，同理得：∠EBN＝∠CBN，∴∠EBM+∠EBN＝∠ABM+∠CBN，即∠MBN＝∠ABM+∠CBN＝∠ABC＝×90°＝45°；（2）如图2，将△ABM绕点B顺时针旋转90°得到△CBM′，∴AM＝CM′，BM＝BM′，∵∠BAM＝∠BCD＝∠BCM′＝90°，∴M′、C、D三点共线，易证明△BMN≌△BM′N，∴MN＝NM′，由（1）得：AM＝ME，CN＝EN，∵S五边形MABCN ＝S△ABM+S△BMN+S△CBN＝AB•AM+MN•BE+BC•CN＝AB•2MN＝×4×2MN＝4MN，当4MN最小时，S△DMN最大，△DMN中，DM+DN+MN＝DM+EM+EN+DN＝AD+DC＝8，设DM＝a，DN＝b，∴MN＝，∵DM+DN+MN＝8，∴a+b+＝8，8＝+＝+≤+＝（+1）＝（+1）MN，∴MN≥＝8（﹣1），当a＝b时，MN有最小值是8（﹣1），此时S△DMN最大，△DMN是等腰直角三角形，此时，S△DMN ＝S正方形ABCD﹣S五边形MABCN＝42﹣4MN＝16﹣4×8（﹣1）＝48﹣32；（3）如图1，∵AM∥BC，∴△AMP∽CBP，∴＝，∴，∴PB＝，同理得：PC＝，∵AC＝＝4，∴PC＝＝，∵∠PBQ＝∠PCB＝45°，∠BPQ＝∠CPB，∴△BPQ∽△CPB，∴PB2＝PQ•PC，∴PQ＝＝＝＝＝；即y＝．17．解：（1）当点A的坐标为（1，0）时，AB＝AC＝﹣1，点C的坐标为（1，﹣1）或（1，1﹣）；当点A的坐标为（﹣1，0）时，AB＝AC＝+1，点C的坐标为（﹣1，+1）或（﹣1，﹣﹣1）；（2）直线BC与⊙O相切．如图1，过点O作OM⊥BC于点M，∴∠OBM＝∠BOM＝45°，∴OM＝OB•sin45°＝1∴直线BC与⊙O相切；（3）过点A作AE⊥OB于点E，如图2，在Rt△OAE中，AE2＝OA2﹣OE2＝1﹣x2，在Rt△BAE中，AB2＝AE2+BE2＝（1﹣x2）+（﹣x）2＝3﹣2x ∴S＝AB•AC＝AB2＝（3﹣2x）＝﹣x，其中﹣1≤x≤1，当x＝﹣1时，S的最大值为+，当x＝1时，S的最小值为﹣；（4）①当点A位于第一象限时（如右图3）：连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，∵直线AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，又∵∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠OAB＝180°，∴点O、A、C在同一条直线∵OA＝1，OB＝，∴AB＝＝1，∴OA＝AB，∴∠AOB＝45°，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝∠C＝45°，在Rt△OAE中，OE＝AE＝，点A的坐标为（，）过A、B两点的直线为y＝﹣x+；②当点A位于第四象限时（如图4），点A的坐标为（，﹣）∵B的坐标为（，0）∴过A、B两点的直线为y＝x﹣．18．解：（1）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝4，求：△ABC 面积的2倍是最大值；（2）问题（1）中直角三角形的直角顶点的所有位置组成的图形是以AB为直径的圆（A，B两点除外），如图所示，过C作CE⊥AB，根据垂径定理，CD＝CE，∵AB＝4，∴当CD最大时，△ABC面积最大．又∵CE的最大值为直径的长4，∴CD的最大值是半径2，即当点D与圆心O重合，即x＝y时，△ABC面积最大，最大值为4，∴当x＝y＝2时，xy有最大值8．（3）∵x+y＝，而xy的最大值是8，∴x+y≤＝4，∴x+y的最大值是4，没有最小值．19．解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°，当C点在y轴右侧时，∠BOC＝180°﹣∠OBA＝135°，∴∠OBA＝45°或135°；故答案为：45°或135°；（2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图：此时C点到AB的距离最大值为CE的长，∵△OAB为等腰直角三角形，∴OE＝AB＝3，∴CE＝OC+OE＝3+3，△ABC的面积＝CE•AB＝（3+3）×6＝9+18，当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．（3）过点D作DH⊥OB，DM⊥AO，由（2）可知点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置，∴∠COM＝45°，∵OD⊥OC，∴∠DOM＝45°，∵OD＝3，∴DM＝，DH＝，∴点D坐标是（﹣，）．20．解：（1）当AB⊥OA时，∵∠BOA＝45°，∴OA＝AB＝2，∵AD＝BC＝1，∴OD＝OA+AD＝3，由勾股定理可知：OC＝＝，（2）当O、E、C三点共线时，如图所示，过点E作EF⊥OB于点F，过点C作CG⊥OB于点G，过点A作AH⊥OB于点H，设CG＝x，BG＝y，∵E是AB的中点，∴BE＝BC＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠FBE+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，∴∠FBE＝∠BCG，在△BFE与△BCG中，∴△BFE≌△BCG（AAS）∴EF＝BG＝y，BF＝CG＝x，∵E是AB的中点，EF∥AH，∴AH＝2FE＝2y，∵∠AOB＝45°，∴OH＝AH＝2y，∵EF∥CG，∴△OEF∽△OCG，＝，∴＝，∴x2＝3y2，在Rt△BEF中，由勾股定理可知：x2+y2＝1，∴4y2＝1，∴y＝或y＝﹣（舍）∴x＝，∴OG＝2x+3y＝+，CG＝，在Rt△BEC中，∴CE＝，∵＝，∴，∴OE＝，∴OC＝OE+CE＝∵OA＝OH＝2y，∴OA＝，（3）设△OAB的外接圆M，连接BM并延长交⊙M于N，连接AN，∵，∴∠BOA＝∠BNA＝45°，∵BN是⊙M的直径，∴∠BAN＝90°，∴BN＝AB＝2，∴R＝∴移动过程中R的值不会发生变化，（4）由题意可知：原点O在以AB为弦，半径为的圆O′上，如图所示，∴OC≤OO′+O′C，当O′在线段OC上时，此时OC有最大值，过点O′作O′E⊥AB，交CD于点F，∴由垂径定理与勾股定理可知：O′E＝1，∵CF＝1，∴由勾股定理可知：O′C＝＝，∴OC的最大值为：+．21．解：（1）作OC⊥AB于C，则AC＝BC＝AB＝，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝，∴cos∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB＝120°；（2）∵∠OAC＝30°，∴OC＝OA＝1，设D点到AB的距离为h，∴S＝AB•h＝h，△ABD∴当h最大时，S最大，∵当D、O、C在一条直线上时，h最大，∴h＝OD+OC＝2+1＝3，∴S的最大值为3．22．解：（1）由∠B得角平分线、平角∠BXA的平分线、平角∠BYC的角平分线中的任意两条得交点即为所求圆的圆心O；（2）若⊙P与△ABC的BA、BC两条边相切，且面积最大，则点P为∠ABC 的角平分线与AC边的交点，作PH⊥AB于H，∵Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则BH＝BC＝4，∴AH＝1，∵∠A＝∠A，∠PHA＝∠BCA，∴△APH∽△ABC，∴＝＝，∴PH＝AH，在Rt△APH中，PH＝AH＝，即R1＝，同理，⊙P与△ABC的CA、AC两条边相切，R2＝，若⊙P与△ABC的CA、BC两条边相切，R3＝，故R3＞R2＞R1，符合要求⊙P的最大面积为：．23．（1）解：∵Rt△AOB中OA＝OB＝6，∴∠OBA＝∠A＝45°，当C点在OB左侧，AO上面时，当OC∥AB时，∠ABO＝∠BOC，则∠BOC 的度数为45°，当C点在OB右侧，AO下面时，当OC∥AB时，∠BOC的度数为：90°+45°＝135°，故答案为：45°或135°；（2）证明：如图2，∵OC∥AD，∠AOB＝90°∴∠ADO＝∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠1+∠2＝90°∠3+∠2＝90°∴∠1＝∠3在△BOC和△AOD中，，∴△BOC≌△AOD（SAS），∴∠BCO＝∠ADC＝90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线；（3）解：当点C在⊙O上运动到∠AOB的平分线OE的反向延长线与⊙O的交点位置C时，△ABC的面积最大，（如图3）过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝6，∴OE＝AB＝3，OC＝3∴CE＝OC+CE＝3+3，△ABC的面积＝CE•AB＝×（3+3）×6＝9+18．∴△ABC的面积最大值为：9+18．24．解：（1）直线BC与⊙O相切，过点O作OM⊥BC于点M，∵AB＝AC，∠CAB＝90°，∴∠ABC＝45°，当A在x轴的负半轴上时，∠OBM＝∠BOM＝45°，∵OB＝∴OM＝1，∴直线BC与⊙O相切；（2）过点A作AE⊥OB于点E在Rt△OAE中，AE2＝OA2﹣OE2＝1﹣x2，在Rt△BAE中，AB2＝AE2+BE2＝（1﹣x2）+（﹣x）2＝3﹣2x ∴S＝AB•AC＝AB2＝（3﹣2x）＝其中﹣1≤x≤1，当x＝﹣1时，S的最大值为，当x＝1时，S的最小值为；（3）①当点A位于第一象限时（如右图）：连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E∵直线AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，又∵∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠OAB＝180°，∴点O、A、C在同一条直线∴∠AOB＝∠C＝45°，即∠CBO＝90°，在Rt△OAE中，OE＝AE＝，点A的坐标为（，）过A、B两点的直线为y＝﹣x+；②当点A位于第四象限时（如右图）：点A的坐标为（，﹣）∵B的坐标为（，0）∴过A、B两点的直线为y＝x﹣．25．解：（1）如图2，∵P在图2中的坐标为（2，4），∴P到OA的距离为：4，P到OB的距离为：2，∵（6，0），B（0，8），∴OB＝8，AO＝6，则AB＝10，设P到AB的距离为x，则×2×BO+×AO×4+×AB×x＝×6×8，解得：x＝0.8，故P到AB的距离为：0.8，所以P到△AOB的距离为：0.8；故答案为：4，2，0.8，0.8；（2）当点Q到△AOB三边距离相等即Q为△AOB的内心时，Q到△AOB的距离最大．设这个最大值为h，则×8×h+×6×h+×10×h＝×6×8，解得：h＝2．∴点Q到△AOB距离的最大值为2．（3）设点Q为△AOB的内心，如图3，连接QA，QB，QO，分别取QA，QB，QO的中点E，F，G，连接EF，FG，GE，则△EFG即为所要画的图形．（只要画图正确即可，不必书写画图过程），由画图可知，△EFG∽△ABO，由上题及已知条件可知，△EFG与△ABO的相似比为，因为△ABO的周长为24，所以△EFG的周长为12．26．解：（1）四边形AOCD是菱形；四边形EFGH是矩形．证明如下：由翻折可得AO＝AD，CO＝CD．∵OA＝OC，∴AO＝OC＝CD＝DA．∴四边形AOCD是菱形；∴AC⊥OD．又∵EF是△AOD的中位线，∴EF∥OD，且EF＝OD，同理可得FG∥AC，且FG＝AC，EH∥AC，且EH＝AC，∴FG平行且等于EH，∴四边形EFGH是平行四边形，且FG⊥EF，∴四边形EFGH是矩形．（2）∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°．∴AC⊥BC．∵四边形AOCD 是菱形，∴DC 平行且等于OA ，又∵AO ＝OB ，∴DC 平行且等于OB ，∴四边形OBCD 是平行四边形，∴DO 平行且等于BC ，∴S 矩形EFGH ＝EF •EH ＝OD •AC ＝BC •AC ＝×S △ACB ， ∴当点C 位于半圆弧中点时，AB 边上的高最大， 即S △ACB 的最大值为1．∴S 矩形EFGH 的最大值为．此时AC ＝BC ，∴AC ＝OD ．∴EF ＝FG ，∴矩形EFGH 是正方形．。

中考数学二轮复习专题与圆有关的计算一、单选题1．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．B．C．D．2．如图，的半径为1，弦在圆心O的两侧，求上有动点于点E，当点D从点C运动到点A时，则点E所经过的路径长为（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．4．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）A．1B．3C．D．5．如图，菱形中，，.以A为圆心，长为半径画，点P为菱形内一点，连，，.若，且，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是()A．1B．C．D．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（）A．B．3πC．5πD．8．如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会．圆桌的半径为80cm，每人离桌边10cm，又后来两位客人，每人向后挪动了相同距离并左右调整位置，使8个人都坐下，每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为xcm．则根据题意，可列方程为（）A．B．C．2π（80+10）×8=2π（80+x）×10D．2π（80﹣x）×10=2π（80+x）×89．如图，在菱形中，，.以点A为圆心，为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．二、填空题11．如图，△ABC内接于半径为的半圆O中，AB为直径，点M是的中点，连结BM 交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB=135°且D为BM的中点，则DM的长为；BC的长为.12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是.14．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为.15．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为．16．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限。

2023年中考数学二轮专题培优复习：辅助圆问题定角定高1．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为．2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为．3．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为．4．如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，且AD＝4，则△ABC 面积的最小值为．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC上一点，连接AD，将AD绕点A 逆时针旋转β得到线段AE，且α+β＝180°，连接BE，DE，CE．（1）如图①，设BE与AC交于点F，当α＝90°时．①求证：BD2+DC2＝DE2；②若BE平分∠ABC，此时BD＝，求AF的长；（2）如图②，当α＝120°时，若BC＝4，BD＜DC，延长AE交BC于点M，求△ADM 面积的最小值．6．【问题提出】（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，AD⊥l于点D且AD＝4，∠BAC＝45°．求BC的最小值；【问题探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝2，点E，F 分别为AB，AD上的点，且CE⊥CF，求四边形AECF面积的最大值；【问题解决】（3）如图③，某园林对一块矩形花圃ABCD进行区域划分，点K为BC的中点，点M，N分别为AB，DC上的点，且∠MKN＝120°，MK，KN将花圃分为三个区域．已知AB ＝7m，BC＝12m，现计划在△BMK和△CNK中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值．7．问题提出：（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD＝4，∠BAC ＝60°，求△ABC面积的最小值；问题解决：（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．8．问题提出：（1）如图①，△AOB与△OCD均为等边三角形，点C在OA上，点D在OB上，固定△AOB不动，让△OCD绕点O逆时针旋转，当OC∥AB时，则旋转角α＝．问题探究：（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l垂足为D且AD ＝6，∠BAC＝60°．求△ABC面积的最小值．问题解决：（3）如图③，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形ABCD为矩形，AD边上的点E为公园入口，AE＝4千米，AB边上的点F为休息区，BF＝8千米，AF＝4千米．公园设计师拟在园内修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉．其中GC为消防通道，FG和FH为两条观光小路（小路宽度不计，G在CE边上，H在BC边上），根据实际需要∠GFH＝75°，∠CED＝45°，点B为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口E经观光路线EG→GF→FH→HB到花卉超市B购买不同品种花卉．为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线EG+GF+FH+HB的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出EG+GF+FH+HB的最小值；若不能，请说明理由．9．[问题提出]（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，AD＝7，则点D到直线AB的距离是．（2）如图2，已知点A是直线外一点，点B、C均在直线上，AD⊥l且AD＝2，∠BAC ＝45°，求△ABC面积的最小值；（3）如图3，某农场主想在空地上规划出一块形如四边形ABCD的田地，AB＝BC，AD ＝CD，∠BAD＝120°，他计划在面积为16平方米的四边形AEOF内种植蔬菜，其余区域种植玉米．根据设计要求：点O、点E、点F分别在对角线BD、边AB和边AD上，且OE＝OF，∠EOF＝60°，为了节约种植成本，要求四边形田地的面积尽可能的小，则四边形ABCD的面积是否存在最小值，若存在，请说明理由．10．问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE⊥BC，交AD的延长线于点E，若△ABC的面积为4，则△DCE的面积为．问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A到BC的距离为6，求△ABC面积的最小值；问题解决（3）如图③，有一块矩形空地ABCD，AB＝120m，BC＝70m，现要对这块空地进行改造，根据设计要求，在AB的中点M处修建一个观景台，AD、BC边上分别修建亭子E、F，且∠EMF＝120°，并在△MAE和△MBF区域种植景观树，在矩形其它区域均种植花卉，已知种植这种景观树每平方米需200元，种植这种花卉每平方米需100元，试求按设计要求，完成景观树和花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留根号）。

湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题24圆一、单选题1.如图，已知E 是 的外心，P ，Q 分别是 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点△ABC AB AC EP EQ BC F ，D.若 ， ， ，则 的面积为（ ）BF =10DF =6CD =8△ABCA. 72B. 96C. 120D. 1442.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则( )A. 不能构成三角形B. 这个三角形是等腰三角形C. 这个三角形是直角三角形D. 这个三角形是钝角三角形3.如图，在△ABC 中，（1）作AB 和BC 的垂直平分线交于点O ；（2）以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；（3）⊙O 分别与AB 和BC 的垂直平分线交于点M ，N ；（4）连接AM ，AN ，CM ，其中AN 与CM 交于点P.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：① ＝2 ；②AB ＝2AM ；③点P 是△ABC 的内心；④∠MON ＋2∠MPN ＝360°.BC NC 其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF （面积记为S 1）变形为以点D 为圆心，CD 为半径的扇形（面积记为S 2），则S 1与S 2的关系为（ ）A. S 1＝ S 2B. S 1＜S 2C. S 1＝S 2D. S 1＞S 2π35.如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上有一运动的点P ，从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H 。

设△OPH 的内心为I ，当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为( )A. B. C. D. π2π22π24π6.如图，⊙O 上有一个动点A 和一个定点B ，令线段AB 的中点是点P ，过点B 作⊙O 的切线BQ ，且BQ=3，现测得 的长度是 ， 的度数是120°，若线段PQ 的最大值是m ，最小值是n ，则mn 的AB 4π3AB 值是（ ）A. 3B. 2C. 9D. 1010137.如图，AB 是⊙o 直径，M ，N 是 上两点，C 是 上任一点，∠ACB 角平分线交⊙o 于点D ，∠BAC AB MN 的平分线交CD 于点E ，当点C 从M 运动到N 时，C 、E 两点的运动路径长之比为( )A. B. C. D. 2π232528.如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=6，AC=2，∠A-∠B=90°，则⊙O 的面积为（ ）A. 9.6πB. 10πC. 10.8πD. 12π9.正六边形的半径与边心距之比为（ ） A. 1： B. ：1 C. ：2 D. 2： 333310.在 Rt △ABC ，∠C=90°,AB=6．△ABC 的内切圆半径为1,则△ABC 的周长为( )A. 13B. 14C. 15D. 16二、填空题11.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点B 逆时针旋转60°，得到扇形O'A'B ，其中点A 的运动路径为 ，则图中阴影部分的面积为________. AA ′12.如图所示，将边长为 的正方形 沿直线 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时（当8cm ABCD l 正方形的四个顶点的位置首次与起始位置相同时，称为正方形滚动一周），正方形的顶点 所经过的路A 线长是________ ． cm13.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，其中AB ＝2，∠AOC ＝120°，P 为⊙O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为________.OQ=6.M ∠AOB=45°，点P 、Q 都在射线OA 上，OP=2，OQ=6.M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为________.15.如图，正六边形 内部有一个正五形 ，且 ，直线 经过 、 A 1A 2A 3A 4A 5A 6B 1B 2B 3B 4B 5A 3A 4//B 3B 4l B 2 ，则直线 与 的夹角 ________ .B 3l A 1A 2α=°16.如图，有一个圆O 和两个正六边形T 1 ， T 2 ． T 1的6个顶点都在圆周上，T 2的6条边都和圆O 相切(我们称T 1 ， T 2分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形)．若设T 1 ， T 2的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，则r ：a=________；r ：b=________；正六边形T 1 ， T 2的面积比S 1：S 2的值是________．17.如图，扇形AOB ，且OB=4，∠AOB=90°，C 为弧AB 上任意一点，过C 点作CD ⊥OB 于点D ，设△ODC 的内心为E ，连接OE 、CE ，当点C 从点B 运动到点A 时，内心E 所经过的路径长为 ________。