二次函数解答题集

二次函数解答题1．已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式．2．已知某二次函数的图象如图所示，求这个的表达式．3．求二次函数y=2x 2+7x-12的对称轴和顶点坐标．4．抛物线顶点为（2，-8），且经过（6，0），求此二次函数的解析式．5．二次函数y=-x 2+6x-5，用配方法化为顶点式．6．二次函数的图象过点（1，0），（-3，0），（0，3），求解析式．7．已知二次函数经过（1，1），（-1，4），（0，3），求这个二次函数解析式．8．利用二次函数的图象求方程x 2+2x-4=0的近似根．9．利用二次函数图象求方程x 2-4x+3=0的根．10．判断 x y = x 1+2x 是否为二次函数，并说明理由．11．利用二次函数的图象求一元方程x 2+3x=20的近似根．12．求二次函数y=2x 2在[-1，2]上的最大值和最小值．13．（2008•南汇区一模）已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，-2）、（0，4）三点，求这个的解析式．14．根据下列条件，求出二次函数关系式．已知抛物线过三点：（0，-2），（1，0），（2，3）．15．请写一个顶点不在坐标原点的，要求该图象关于y轴对称，并求出这个图象顶点坐标．16．已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标为（1，-4）．求这个解析式．17．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（-2，-5），求此的解析式．18．当m= 时，y＝(m+2)x m2+m是关于x的二次函数．19．二次函数的图象经过点（1，0），（0，-3），且对称轴是直线x=2．求此二次函数．20．（1997•河南）已知一个二次函数的图象经过（0，-3），（3，0），（4，5）三点，求这个二次函数的解析式．21．已知y＝(m−1)x m2+2m−1是关于x的二次函数，求m的值．22．（1999•河南）已知一个二次函数的图象经过点（1，-1），（0，1），（-1，13），求这个二次函数的解析式．23．（2009•衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．24．已知二次函数的顶点坐标为（4，-2），且其图象经过点（5，1），求此二次函数的解析式．25．已知二次函数的图象顶点是（2，-1），且经过（0，1），求这个二次函数的解析式．26．若y=（m-4）x3m2−2m−3是二次函数，求m的值．27．请写出一个二次函数，此二次函数具备顶点在x轴上，且过点（0，1）两个条件，并说明你的理由．28．（2011•鄂州模拟）若二次函数y=ax2的图象经过点（-1，2），则二次函数y=ax2的解析式是29．（2012•宿迁模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，-2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．30．用配方法求出下列二次函数y=x2-2x-3图象的顶点坐标和对称轴．31．已知二次函数图象顶点坐标为（-2，3），且过点（1，-6），求此二次函数解析式．32．（2006•中山）求二次函数y=x2-2x-1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．33．已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，1）经过原点，求这个二次函数的解析式．34．已知二次函数y=x2-2x+m与坐标轴有且只有2个交点，求m的值．35．己知二次函数y=-x2+bx+c的顶点坐标为（-1，-3），求b，c的值．36．二次函数过A（-1，0），B（0，-3）两点，且对称轴是x=1，求出它二次函数的解析式．37．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．38．已知点A（1，2）和B（-2，5）．试写出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点．39．已知二次函数y=x 2-6x+m 的最小值为1，求m 的值．40．已知一个二次函数的图象过点（2，0）、（0，-2）和（-2，3），求这个二次函数的解析式．41．一个二次函数的图象经过点（0，0），（-1，-1），（1，9）三点，求这个二次函数的关系式．42．已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．43．已知二次函数y=2x 2-3x-1，写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．44．已知二次函数的图象经过点A （3，0），B （2，-3），且对称轴x=1，求这个二次函数的关系式．45．已知二次函数y=-2x 2，怎样平移这个图象，才能使它经过（0，0）和（1，6 ）两点？46．已知：二次函数的顶点为A （-1，4），且过点B （2，-5），求该二次函数的解析式．47．已知二次函数图象顶点坐标为（-2，3），且过点（1，0），求此二次函数解析式．48．已知二次函数的图象经过（4，0），（0，-4），和（-2，3）三点，求二次函数的解析式．49．（2010•淮北模拟）已知二次函数的图象经过点（0，-4），且当x=2时，有最大值是-2，求该二次函数的关系式．50．求二次函数y ＝−21x 2+3x −2的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值．51．已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x=-2，最高点的纵坐标为4，求：该二次函数解析式．52．用配方法求二次函数y=-21x2-x+23的对称轴和顶点坐标．53．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象的信息，写三个正确的结论．54．已知当x=1时，二次函数y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3），求这个二次函数的关系式．55．二次函数的图象经过点（1，2）和（0，-1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式．56．求二次函数y=2x2-4x-5的开口方向、顶点坐标和对称轴．57．（2010•河北区模拟）已知二次函数的图象经过点（0，5），（1，0），（2，-3）．求这个二次函数的解析式．58．画出y=x2+2x-2的图象．（画不标准不给分）59．已知二次函数图象经过（0，1）（1，0）（3，0），求此二次函数的解析式．60．在平面直角坐标系中用描点法画二次函数y=x2-2x+3的图象．61．已知二次函数图象的顶点为A（3，-2），且过点P（1，0），求这个二次函数的解析式．62．二次函数y=ax2+k图象与坐标轴交于点（0，2）和（1，0），求该二次函数的关系式．63．根据下列条件，求出二次函数的关系式．已知抛物线的顶点是（-1，-2），且过点（1，10）．64．已知二次函数，当x=2时，y 有最大值是1，且过（3，0）点，求此二次函数的解析式．65．求满足下列条件的对应的二次函数的关系式：抛物线经过（4，0），（0，-4），和（-2，3）三点．66．（2013•黄陂区模拟）已知一个二次函数的图象经过A （4，3），B （1，0），C （-1，8）三点，求这个二次函数解析式．67．（2013•安徽）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-1），且经过原点（0，0），求该二次函数的解析式．68．已知二次函数y=x 2-6x+k 的图象与x 轴有两个交点，求k 的取值范围．69．二次函数y=2x 2+bx+c 的顶点坐标是（1，-2），求b 与c 的值．70．求二次函数y=x 2+2x-8图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及抛物线与x 轴的交点坐标．71．若二次函数y=ax 2+2的图象经过点（-2，10），求a 的值和这个二次函数的最值．72．已知二次函数y=（m+1）x m 2−m 是，求m 的值．73．已知二次函数图象顶点（2，-3），抛物线与y 轴交于点（0，1），求这个二次函数的解析式？74．已知二次函数的图象经过点（-1，0）、（3，0），（0，-3）．求这个二次函数的解析式．75．已知二次函数y ＝(m −2)x m 2−2+3是，求m 的值． 76．已知：二次函数y=21x 2-6x+16，利用配方法求它的对称轴及顶点坐标．77．求二次函数y=2x 2+8x+7图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．78．若二次函数y=（m 2+m ）x m 2−m 是，求m 的值．79．用配方法求二次函数y=4x 2-24x+26的对称轴和顶点坐标．80．已知二次函数的对称轴是直线x=-2，且过（1，1）和（4，4）两点，求此二次函数的解析式．81．求二次函数y=21x 2-3x-4的开口方向、对称轴、顶点坐标和最小值．82．已知二次函数y=x 2+mx+m-2，说明：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．83．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，-6），且经过点（2，-8），求二次函数的解析式．84．求二次函数y=21x 2-2x-1的开口方向、对称轴和顶点坐标．85．把二次函数y=x 2-4x+6配方成顶点式，并指出其对称轴与顶点坐标．86．已知二次函数的图象经过点（-1，0）、（3，0），其最大值为3，求此二次函数的解析式．87．已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，求此二次函数的解析式和抛物线的顶点坐标．88．已知：如图，二次函数y=ax 2+bx-2的图象经过A 、B 两点，求出这个二次函数解析式．89．求y ＝−21x 2+4x −3的图象的对称轴和顶点坐标．90．已知二次函数的对称轴是x=2且过（1，4）、（5，0）两点，求二次函数的解析式．91．已知二次函数的图象经过（3，0），（2，-3）点，对称轴x=1，求这个二次函数的解析式．92．二次函数过点（0，0）、（1，-3）、（2，-8），求该二次函数表达式．93．当k 为何值时，函数y=（k-1）x k 2+k +1为二次函数？94．已知二次函数y=ax 2，当x=3时，y=-5，当x=-5时，求y 的值．95．已知二次函数y=ax 2的图象经过点P （2，5），试确定它的开口方向和a 的值．96．已知二次函数的对称轴是x=1，最小值是-2，且经过原点（0，0），求该二次函数的解析式．97．已知二次函数的顶点是（-1，2），且过点（0，23），求表达式．98．已知二次函数的顶点坐标为（-1，-3），且其图象经过点（1，5），求此二次函数的解析式．99．用配方法求二次函数y=-x 2+2x+3的对称轴和顶点坐标．100．（2014•佛山）利用二次函数的图象估计一元二次方程x 2-2x-1=0的近似根（精确到0.1）．。

二次函数应用一．解答题（共6小题）1．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0），如图记录了甲运动员起跳后的三组数据．（1）直接写出甲运动员起跳后的y与x的函数关系式为；（2）运动员起跳后，裁判根据跳跃后的水平距离打出跳跃得分，其总分为60+1.4（x﹣90）分，求甲运动员完成本次动作的跳跃得分．（3）乙运动员的跳跃轨迹近似抛物线，满足函数关系y＝a′x2﹣60a′x+c（a′≠0），若乙运动员的跳跃成绩要超过甲运动员，直接写出a′的取值范围．2．某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为16米，宽AB为6米，抛物线的最高处E距地面BC为10米．（1）请根据题意建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式．（2）若观景拱桥下放置两根长为7.5米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离．3．掷实心球是河南省2022年中考体育考试选考项目．一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k．（1）求y关于x的函数表达式；（2）下表是2022年新乡市体育考试女生标准，若你是评分员，请你为该女生打分．2022年新乡市中招体育考试女生标准掷实心7.87.77.67.57.47.27.17.06.96.86.66.56.46.36.26.05.85.45.04.54.0球（米）得分109.89.69.49.29.08.78.48.17.87.57.26.96.66.36.05.04.03.02.01.0（注：4.0以下均按“0”分）4．如图是小智用数学软件模拟弹球运动轨迹的部分示意图，已知弹球P从x轴上的点A向右上方弹射出去，沿抛物线l1：y＝﹣x2+2x+15运动，落到图示的台阶S1﹣S5某点Q处后，又立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与L1，形状相同的抛物线L2，抛物线L2的顶点N与点Q的垂直距离为4，点A到台阶底部O的距离为3，最高一是台阶S1到x 轴的距离为9，S1～S5每层台阶的高和宽均分别为1和1.5．台阶的各拐角均为直角．（1）求弹球P上升到最高点M时，弹球到x轴的距离；（2）①指出落点Q在哪一层台阶上，并求出点Q的坐标；②求出抛物线L2的解析式；（3）已知△BCD的BC边紧贴x轴，∠C＝90°，BC＝1，CD＝2，当弹球沿粘物线L2下落能击中△BCD时，求点C的横坐标的最大值与最小值．5．小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．（2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．6．在2016年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥运冠军，为祖国和人民争了光．如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点F，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的函数关系式．（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．（3）喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度h（米）应满足h＞2.32，但是他不知道如何确定h的取值范围，使排球不会出界（排球压线属于没出界），请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围．。

中考数学复习解答题专项集训之二次函数试题（共20题）1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点M （﹣2，92）和N （2，−72）两点，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）若点M 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点，求抛物线解析式及A 、B 、C 坐标； （2）在（1）的条件下，若点P 是A 、C 之间抛物线上一点，求四边形APCN 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）若B （m ，0），且1≤m ≤3，求a 的取值范围．2．某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x 天生产的电子产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系式：y ={20x(0≤x ≤10)10x +200(10＜x ≤30)． （1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；（2）设第x 天每件电子产品的成本是P 元，P 与x 之间的关系可用图中的函数图象来表示．若该企业第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？3．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式：（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？4．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点（2，1）是函数y＝x﹣1的图象的“倍值点”．（1）分别判断函数y=12x+1，y＝x2﹣x的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y=2x（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“倍值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为2时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣3（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出m的取值范围．5．“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素材料一反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离．制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离．材料二汽车急刹车的停车距y（m）为反应距离y1（m）与制动距离y2（m）之和，即y＝y1+y2，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度x（m/s）有关，如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据．速度x（m/s）反应距离y1（m）制动距离y2（m）10 7.5 815 10.5 16.220 15 3225 17.5 5230 22.9 78.135 27.1 108.540 29.2 123…材料三经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数k有关，且满足y＝y1+k•y2，其中y、y1、y2意义同材料二，并且不同类型汽车的刹车系数k满足0.8≤k≤1.5．[任务一]①利用材料二判断最适合描述y1、y2分别与x的函数关系的是；A．y1＝ax、y2＝bxB．y1＝ax、y2＝bx2C．y1＝ax2、y2＝bx2②请你利用当x＝10m/s，x＝20m/s时的两组数据，计算y1、y2分别与x的函数关系式．[任务二]在某条限速为60km/h的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为34m，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？[任务三]某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至少15m，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少m/s？（精确到1m/s）6．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25m）的空地上修建一个矩形小花园ABCD．小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？7．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过A （1，5）、B （0，3）、C （﹣1，﹣3）三点． （1）求这个函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．8．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC ，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y =−110x 2+c 且过顶点C （0，5）．（长度单位：m ） （1）直接写出c ＝ ；（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB 的长度）是多少米？（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．9．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m ，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝xm ，面积为ym 2（如图）．甲 乙 丙 单价（元/棵） 141628合理用地（m 2/棵）0.4 1 0.4（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160m 2，求x 的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．10．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，﹣1）和（2，7）．（1）求二次函数解析式及对称轴；（2）若点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上不同的两个点，且y1+y2＝28，求m的值．11．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．12．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝6，OB= 43，点P为x轴下方的抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；（3）是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．14．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O ，守门员位于点A ，OA 的延长线与球门线交于点B ，且点A ，B 均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知OB ＝28m ，AB ＝8m ，足球飞行的水平速度为15m /s ，水平距离s （水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h 的鹰眼数据如表：s /m … 9 12 15 18 21 … h /m…4.24.854.84.2…（1）假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，s ＝ m ； （2）求h 关于s 的函数解析式；（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m ，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．15．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）如图1，连接BC ，点E 是第四象限内抛物线上的动点，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，EG ∥x 轴交直线BC 于点G ，求△EFG 面积的最大值；（3）如图2，点M 在线段OC 上（点M 不与点O 重合），点M 、N 关于原点对称，射线BN 、BM 分别与抛物线交于P 、Q 两点，连接PA 、QA ，若△BMN 的面积为S 1，四边形BPAQ 的面积为S 2，求S 1S 2的值．16．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +3交坐标轴于B 、C 两点，抛物线y ＝ax 2+bx +3经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点A （﹣1，0）．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ ∥CO ，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在∠DCP ＝∠DPC ，求出m 值； （3）在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．17．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53m ，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处．（1）求y 关于x 的函数表达式．（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m ，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．18．在体育考试中，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线．（1）求实心球行进的高度y（米）与行进的水平距离x（米）之间的函数关系式；（2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23x2+43x−2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求线段AC的长度；（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作PD ∥y轴，交AC于点D，作PE∥x轴，交抛物线于点E．求3PD+PE的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中3PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA方向平移√13个单位长度，得到一条新抛物线y′，M为射线CA上的动点，过点M作MF∥x轴交新抛物线y′的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N 为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．20．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？。

二次函数解答题一、解答题（共60小题；共780分）1. 通过配方，写出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．Ⅰy=12x2−2x−1．Ⅱy=−3x2+8x−2．Ⅲy=−14x2+x−4．2. 已知一个二次函数的图象是由抛物线y=32x2上、下平移得到的，且当x=−1时，y=52Ⅰ求此二次函数的表达式．Ⅱ当x为何值时，y随x的增大而减小?3. 二次函数y=mx m2−1在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值．4. 抛物线y=3x2+1，y=3(x−1)2分别是由抛物线y=3x2经过怎样的平移得到的?5. 已知二次函数的图象经过点(1,2)，(−1,−2)，(0,3)，求这个二次函数的表达式．6. 下列函数表达式中，哪些是二次函数?哪些不是?若是二次函数，请指出各项对应的系数．（1）y=1−3x2；（2）y=3x2+2；（3）y=x(x−5)+2；（4）y=3x3+2x2；（5）y=x+1x．7. 把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到抛物线y= x2，求b，c的值．8. 已知函数y=(k2+k)x k2−2k−1是二次函数，它的图象开口方向如何?9. 把二次函数y=a(x−ℎ)2+k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数y=12(x+1)2−1的图象．Ⅰ试确定a，ℎ，k的值．Ⅱ指出二次函数y=a(x−ℎ)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标．10. 图中有7条抛物线，其中顶点为坐标原点的抛物线为，请写出其他几条抛物线的表达式．11. 如图，现有一网球从斜坡O点处被击出，网球经过的路线是一条抛物线，其表达式为y=4x−1 2x2，斜坡所在的直线方程为y=12x，其中y(m)是垂直高度，x(m)是与O的水平距离．网球落地时撞击斜坡的落点为A，求出A点的垂直高度以及A点与O点的水平距离．12. 已知二次函数y=2x2−mx−m2．Ⅰ求证：对于任意实数m，该二次函数的图象与x轴总有公共点；Ⅱ若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，且A点的坐标为(1,0)，求B点的坐标．13. 用一根长为800cm的木条做一个长方形框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数表达式，指出自变量的取值范围，并判断y是x的二次函数吗?14. 已知关于x的一元二次方程kx2−(4k+1)x+3k+3=0（k是整数）．Ⅰ求证：方程有两个不相等的实数根；Ⅱ若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1<x2），设y=x2−x1−2，试用k表示y．15. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的螃蟹死去．假设放养期内螃蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10kg螃蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．Ⅰ设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数表达式．Ⅱ如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg螃蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式．Ⅲ该经销商将这批螃蟹放养多少天后出售，可获最大利润?（利润=Q−收购总额−各种支出费用）=0的解的取值范围（精确到0.1）．16. 试确定一元二次方程x2−x−1217. 物理实验过程：如图甲所示，以初始速度v0（m/s）用小锤击打弱性金属片，不考虑空气阻力时，小球做平抛运动．用频闪照相的方法观测到小球在下落过程中的几个位置（图乙），用平滑曲线把这些位置连起来，就得到平抛运动的轨迹（图丙）．数学问题：在图丙中，以小球被击出的水平方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，小球被击出点为原点建立直角坐标系，得到小球的位置坐标(x,y)（x>0，y>0）．由物理知gt2．识可得到x（m），y（m）与时间t（s）的关系如下：① x=v0t；② y=12由实验测得3个时刻小球的位置坐标如下表所示．Ⅰv0=m/s，g=m/s2．Ⅱ求出y与x之间的函数关系式．Ⅲ当小球在竖直方向上下落80m时，它在水平方向上前进了多少?18. 使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x−1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x−1的零点．已知函数y=x2−2mx−2(m+3)（m为常数）．Ⅰ当m=0时，求该函数的零点；Ⅱ证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．19. 已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点，且函数的最大值为9．Ⅰ求二次函数的解析式；Ⅱ设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．20. 已知函数y=(m+2)x m2+m−4是关于x的二次函数，求：Ⅰ满足条件的m的值；Ⅱm为何值时，抛物线有最低点?写出这个最低点的坐标，此时x为何值时y随x的增大而增大?Ⅲm为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?此时x为何值时y随x的增大而减小?(x+1)2+4．21. 已知二次函数y=12Ⅰ写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．x2的图象的关系．Ⅱ画出此函数的图象，并说出此函数图象与y=1222. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=−10x+500．Ⅰ设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润?Ⅱ如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元?Ⅲ根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元?（成本=进价×销售量）23. 某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，销售单价每提高5元，月销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元，月销售量为y套，月销售利润为w元．Ⅰ试确定y与x的函数表达式，并求当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；Ⅱ试确定w与x的函数表达式，并求当销售单价为80元时的月销售利润．24. 如图，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30∘，若边长AB为x cm．Ⅰ写出平行四边形ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围．Ⅱ当x取什么值时，y的值最大?并求出最大值．25. 画出函数y=x2−2x−3的图象，根据图象回答下列问题．Ⅰ图象与x轴的交点坐标是什么?Ⅱ当x取何值时y=0?这里x的取值与方程x2−2x−3=0有什么关系?Ⅲ你能从中得到什么启示?26. 已知二次函数y=x2−mx+m−2：Ⅰ求证：不论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；Ⅱ当二次函数的图象经过点(3,6)时，确定m的值，并写出此二次函数与x轴的交点坐标．27. 边长为4cm的正方形四角各剪去一个边长为x的小正方形，余下的图形的面积是y cm2 .Ⅰ写出y与x之间的函数关系式．Ⅱ当x=1cm时，求y的值．Ⅲ如果余下的图形的面积为8cm2，则剪去的小正方形的边长为多少?28. 已知抛物线C1的解析式是y=2x2−4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．29. 影响刹车距离最主要的因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公v2确定；雨天行驶路上行驶时，速度为v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s=1100v2．时，这一公式为s=150Ⅰ如果行驶速度是70km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少?Ⅱ如果行驶速度分别是60km/h与80km/h，那么同在雨天行驶（相同的路面），刹车距离相差多少?Ⅲ根据对上述两点的分析，你想对司机师傅说些什么?30. 一条抛物线的顶点为(1,−3)，与y轴的交点是(0,−5)．Ⅰ求该抛物线的表达式及其对称轴；Ⅱ如果点(m,−3m)在抛物线上，求m的值．31. 把二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y=x2−8x+10的图象．求b，c的值．32. 已知二次函数y=x2+(m−3)x+1−2m．求证：Ⅰ此二次函数的图象与x轴有两个交点；Ⅱ当m取不同的值时，这些二次函数的图象都会经过一个定点，求此定点的坐标．33. 用配方法说明，不论x取何值，代数式2x2−3x+2的值总不小于7．并求出当x取何值时，这8个代数式的值最小．34. 判断下列函数是不是二次函数．如果不是，请说出为什么?Ⅰy=√3x2+2xz+5；Ⅱy=−5+8x−x2；Ⅲy=mx2+x（m是常数）；Ⅳy=(3x+2)(4x−3)−12x2；Ⅴy=ax2+bx+c；Ⅵy=bx2+1（b是常数，b≠0）；Ⅶy=x2+kx+20（k为常数）；+6Ⅷy=x2+5x235. 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝．这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长度x（单位：cm）的变化而变化．Ⅰ请直接写出S与x之间的函数关系式，不要求写出自变量x的取值范围．Ⅱ当x是多少时，菱形风筝的面积S最大?最大面积是多少?36. 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元／吨）与采购量x（吨）之间的函数关系图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．Ⅰ求y与x之间的函数表达式．Ⅱ已知老王种植水果的成本是2800元／吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获得的利润w最大?最大利润是多少?37. 已知把点A(−2,−c)向右平移8个单位得到点Aʹ，A与Aʹ两点均在抛物线y=ax2+bx+c上，且这条抛物线与y轴交点的纵坐标为−6，求这条抛物线的顶点坐标．38. 已知顶点是原点，对称轴为y轴的抛物线经过点(3,5)和点(2,t)．Ⅰ求出这条抛物线的表达式；Ⅱ求t的值．39. 已知关于x的一元二次方程x2−(m−3)x−m=0．Ⅰ试判断原方程根的情况．Ⅱ若抛物线y=x2−(m−3)x−m与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值?若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=∣x2−x1∣）40. 已知抛物线y=−x2+bx+c经过点C(0,−3)和D(2,1)．Ⅰ求抛物线的解析式及顶点坐标；Ⅱ求抛物线与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．41. 已知函数y=(m2+m)x m2−m+(m2+3m+2)x+m2+2m，当m是什么数时，函数是二次函数?42. 已知关于x的一元二次方程x2−(5m+1)x+4m2+m=0．Ⅰ求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；Ⅱ若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围．43. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，并且让顾客得到实惠，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．Ⅰ若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元?Ⅱ每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多?44. 不画出图象，你能说明抛物线y=−3x2与抛物线y=−3(x+2)2之间的关系吗?45. 已知二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)．Ⅰ求该二次函数的表达式．Ⅱ求该二次函数图象与坐标轴的交点坐标．46. 若函数y=(m−3)x m2−3m+2+mx−1是关于x二次函数，求m的值．47. 在△ABC中，∠B=30∘，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.48. 已知二次函数y=x2−4x+3．Ⅰ用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；Ⅱ求函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．49. 如图所示，二次函数y=ax2−4x+c的图象经过点A和点B．Ⅰ求该二次函数的表达式；Ⅱ写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；Ⅲ点P(m,m)与点Q均在该函数图象上（其中m>0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．50. 一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：Ⅰy（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式．Ⅱ已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x(x≥3000)的代数式填表：Ⅲ?请求出公司的最大月收益是多少元．51. 根据下列要求，解答相关问题．Ⅰ请补全以下求不等式−2x2−4x≥0的解集的过程．（i）构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=−2x2−4x；并在下面的坐标系中（见图 1）画出二次函数y=−2x2−4x的图象（只画出图象即可）．（ii）求得界点，标示所需：当y=0时，求得方程−2x2−4x=0的解为；并用锯齿线标示出函数y=−2x2−4x图象中y≥0的部分．（iii）借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式−2x2−4x≥0的解集为．Ⅱ利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式x2−2x+1<4的解集．（i）构造函数，画出图象；（ii）求得界点，标示所需；（iii）借助图象，写出解集．Ⅲ参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集．52. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足表达式y=a(x−6)2+ℎ，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．Ⅰ当ℎ＝2.6时，求y与x的函数表达式．Ⅱ当ℎ=2.6时，球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由．53. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)．与y轴交于点C，顶点为D．Ⅰ求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；Ⅱ若△ACD的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．54. 小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,2)，C(2,1)，D(√2,0)，E(2√2,0)，F(3√22,−√22)．Ⅰ他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转45∘得到△A1B1C．请你写出点A1，B1的坐标，并判断A1C和DF的位置关系；Ⅱ他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转45∘，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=2√2x2+bx+c上．请你求出符合条件的抛物线解析式；Ⅲ他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45∘，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=x2上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标．请你直接写出点P的所有坐标．55. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，•公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）•刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象（图）提供的信息，解答下列问题：Ⅰ由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；Ⅱ求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；Ⅲ求第 8 个月公司所获利润是多少万元?56. 已知抛物线y=x2+px+q上有一点M(x0,y0)位于x轴下方．Ⅰ求证：此抛物线与x轴交于两点；Ⅱ设此抛物线与x轴的交点为A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<x2，求证：x1<x0<x2．57. 已知二次函数y=a(x−m)2−a(x−m)（a，m为常数，且a≠0）．Ⅰ求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．Ⅱ设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A,B两点，与y轴交于点D．①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．58. 已知m为整数，方程2x2+mx−1=0的两个根都大于−1且小于3，当方程的两个根均为有2理数时，求m的值．59. 已知方程ax2+4x+b=0(a<0)的两实根为x1，x2，方程ax2+3x+b=0的两实根为α，β．Ⅰ若a，b均为负整数，且∣α−β∣=1，求a，b的值；Ⅱ若α<1<β<2，x1<x2，求证：−2<x1<1<x2．60. 已知抛物线y=x2+2px+2p−2的顶点为M，Ⅰ求证：抛物线与x轴必有两个不同交点．Ⅱ设抛物线与x轴的交点分别点A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小，并求出最小面积．答案第一部分1. （1） ∵ y =12x 2−2x −1，∴ 函数图象开口向上，对称轴是直线 x =2，顶点坐标是 (2,−1)．（2） ∵ y =−3(x −43)2+103， ∴ 函数图象开口向下，对称轴是直线 x =−43，顶点坐标是 (43,103)． （3） ∵ y =−14(x −2)2−3，∴ 函数图象开口向下，对称轴是直线 x =2，顶点坐标是 (2,−3)．2. （1） ∵ 要求的二次函数的图象是由抛物线 y =32x 2 上、下平移得到的， ∴ 可设要求的二次函数的表达式是 y =32x 2+k ．把 x =−1，y =52 代入得 52=32×(−1)2+k ， ∴ k =1．∴ 此二次函数的表达式是 y =32x 2+1． （2） ∵ 抛物线 y =32x 2+1 的对称轴为 y 轴，∴ 当 x <0 时，y 随 x 的增大而减小．3. ∵ 二次函数 y =mx m2−1 在其图象对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，∴ m <0．∵ m 2−1=2，∴ m =±√3，∴ m =−√3，即 m 的值是 −√3．4. 把抛物线 y =3x 2 向上平移 1 个单位长度得到抛物线 y =3x 2+1；把抛物线 y =3x 2 向右平移 1 个单位长度得到抛物线 y =3(x −1)2．5. 设二次函数的表达式为 y =ax 2+bx +c ．有因为点 (1,2)，(−1,−2)，(0,3) 在该函数的图象上，由题意得 {a +b +c =2,a −b +c =−2,c =3,解得 {a =−3,b =2,c =3.故所求的二次函数表达式为 y =−3x 2+2x +3．6. （1）（2）（3）是二次函数；（4）（5）不是二次函数；y =1−3x 2 的二次项的系数是 −3，一次项的系数是 0，常数项是 1；y =3x 2+2 的二次项的系数是 3，一次项的系数是 0，常数项是 2；y =x (x −5)+2 的二次项的系数是 1，一次项的系数是 −5，常数项是 2．7. 采用逆推法先将抛物线 y =x 2 向右平移 4 个单位长度，得 y =(x −4)2，再向下平移 2 个单位长度，得 y =(x −4)2−2=x 2−8x +14=x 2+bx +c ，∴ b =−8，c =14．8. 函数 y =(k 2+k )x k 2−2k−1 是二次函数，所以 k 2−2k −1=2，即 k =3 或 k =−1；当 k =3 时，k 2+k =12>0，当 k =−1 时，k 2+k =0（舍去）．所以它的图象开口向上．9. （1） 原二次函数表达式为 y =12(x +1−2)2−1−4， 即 y =12(x −1)2−5，∴ a =12，ℎ=1，k =−5． （2） 它的开口向上，对称轴为直线 x =1，顶点坐标为 (1,−5)．10. y =ax 2；① y =ax 2+1；② y =ax 2+2；③ y =ax 2+4；④ y =ax 2−1；⑤ y =ax 2−3；⑥ y =ax 2−4；11. 由 {y =12x,y =4x −12x 2, 得 {x =0,y =0, 或 {x =7,y =72,即点 O (0,0) 或 (7,72)，所以 A 点的垂直高度为 72 米，A 点与 O 点的水平距离为 7 米．12. （1） 令 y =0，得 2x 2−mx −m 2=0．∵ Δ=(−m )2+4×2×m 2=9m 2≥0，∴ 不论 m 取何值，抛物线与 x 轴总有公共点．（2） ∵ A (1,0) 在抛物线 y =2x 2−mx −m 2 上，∴ 0=2×12−m ×1−m 2．即 m 2+m −2=0，(m +2)(m −1)=0，∴ m 1=−2，m 2=1．当 m =−2 时，有 2x 2+2x −4=0，解得 x 1=1，x 2=−2．当 m =1 时，有 2x 2−x −1=0，解得 x 3=1，x 4=−12．∴点B的坐标为(−2,0)或(−12,0)．13. 由题意，得矩形的周长为800cm，∴矩形的长为800−2x2cm，∴y=x⋅800−2x2=−x2+400x(0<x<400)．y是x的二次函数．14. （1）Δ=(4k+1)2−4k(3k+3)=(2k−1)2，∵k是整数，∴k≠12，2k−1≠0，∴Δ=(2k−1)2>0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解方程得x=(4k+1)±√(2k−1)22k，∴x=3或x=1+1k，∵k是整数，∴1k ≤1，1+1k≤2<3．又∵x1<x2，∴x1=1+1k，x2=3，∴y=3−(1+1k )−2=2−1k−2=−1k．15. （1）由题意知：p=30+x．（2）由题意知，活蟹的销售额为(1000−10x)(30+x)元，死蟹的销售额为200x元．∴Q=(1000−10x)(30+x)+200x=−10x2+900x+30000.（3）设总利润为W元．则W=Q−1000×30−400x=−10x2+500x=−10(x2−50x)=−10(x−25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．即将这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．16. 列表如下：可以确定方程的解的范围是−1可以确定方程的解的范围是−0.4<x<−0.3或1.3<x<1.4．17. （1）20；10（2）y=x280（3）80m18. （1）当m=0时，y=x2−6，令y=0，即x2−6=0，解得x=±√6，∴当m=0时，该函数的零点为√6和−√6．（2）令y=0，即x2−2mx−2(m+3)=0，Δ=(−2m)2−4[−2(m+3)]=4m2+8m+24=4(m+1)2+20>0.∴无论m为何值，方程x2−2mx−2(m+3)=0总有两个不相等的实数根，即该函数总有两个零点．19. （1）由抛物线的对称性知，抛物线的对称轴是直线x=1．∵函数的最大值为9，∴抛物线的顶点为C(1,9)．设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+9，代入B(4,0)，求得a=−1．∴二次函数的解析式是y=−(x−1)2+9，即y=−x2+2x+8．（2）当x=0时，y=8，即抛物线与y轴的交点坐标为D(0,8)．过C作CE⊥x轴于E点．∴S四边形ABCD =S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE=12×2×8+12×(8+9)×1+12×3×9 =30.20. （1）∵函数y=(m+2)x m2+m−4是关于x的二次函数，∴m2+m−4=2，解得m=−3或m=2．∵m+2≠0，∴m≠−2．即m的值是−3或2．（2）当m+2>0时，即m>−2时，抛物线有最低点，由（1）可知m=2，此时最低点为(0,0)；当x>0时，y随x的增大而增大．（3）当m+2<0时，即m<−2时，抛物线有最大值，由（1）可知m=−3，此时最大值为0；当x>0时，y随x的增大而减小．21. （1）抛物线的开口方向向上、顶点坐标为(−1,4)，对称轴为x=−1．（2）图象如下图．将二次函数y=12(x+1)2+4的图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位可得到y=12x2的图象．22. （1）由题意，得：w=(x−20)·y=(x−20)·(−10x+500)=−10x2+700x−10000x=−b2a=35．答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：−10x2+700x−10000=2000，解这个方程得：x1=30,x2=40.答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．（3）法一：∵a=−10<0，∴抛物线开口向下．∴当30≤x≤40时,w≥2000.∵x≤32,∴当30≤x≤32时,w≥2000.设成本为P（元），由题意，得：P=20(−10x+500)=−200x+10000，∵k=−200<0，∴P随x的增大而减小．∴当x=32时,P最小=3600.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．法二：∵a=−10<0，∴抛物线开口向下．∴当30≤x≤40时,w≥2000.∵x≤32,∴30≤x≤32时,w≥2000.∵y=−10x+500,k=−10<0，∴y随x的增大而减小．∴当x=32时,y最小=180.∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，∴20×180=3600（元）．23. （1）由题意知y=240−x−605×20，即y=−4x+480．∵y=−4x+480≥0，∴x≤120．又x≥60，∴60≤x≤120．∴y与x的函数表达式为y=−4x+480(60≤x≤120)．由x(−4x+480)=14000，得x1=70，x2=50（不合题意，舍去）．∴当销售单价为70元时，月销售额为14000元．（2）根据题意，得w=(x−40)(−4x+480).即w=−4x2+640x−19200(60≤x≤120).当x=80时，w=−4×802+640×80−19200=6400．∴当销售单价为80元时的月销售利润为6400元．24. （1）过A作AE⊥BC于E．∵∠B=30∘，AB=x，∴AE=12x．∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC=4−x．∴y=AE⋅BC=12x(4−x)，即y=−12x2+2x(0<x<4)．（2）y=−12x2+2x=−12(x−2)2+2．∵a=−12，∴当x=2时，y有最大值，其最大值为2．25. （1）函数y=x2−2x−3的图象如图所示．图象与x轴的交点坐标是(−1,0)，(3,0)．（2）当x=−1或x=3时，y=0．这里x的取值是方程x2−2x−3=0的根．（3）二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程x2−2x−3=0的两根；一元二次方程的两根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．26. （1）∵Δ=m2−4(m−2)=(m−2)2+4≥4>0，∴二次函数的图象与x轴有两个不同的交点．（2）∵二次函数的图象经过(3,6)，∴6=9−3m+m−2．∴m=12．∴y=x2−12x−32．∵当y=0时，x2−12x−32=0，∴x1=−1，x2=32．∴二次函数与x轴的交点坐标为(−1,0)，(32,0)．27. （1）y=16−4x2．（2）当x=1时，y=12．（3）由题意可得16−4x2=8，解得x=√2cm．28. 经检验，点A(0,5),B(1,3),C(−1,11)都在抛物线C1上．点A,B,C关于x轴的对称点分别为A′(0,−5),B′(1,−3),C′(−1,−11)，它们都在抛物线C2上．设抛物线C_{2}的解析式为y=ax2+bx+c，则{c=−5,a+b+c=−3, a−b+c=−11.解得{a=−2, b=4, c=−5.所以抛物线的解析式是y=−2x2+4x−529. （1）v=70km/h，s晴=1100v2=1100×702=49(m)，s雨=150v2=150×702=98(m)，s 雨−s晴=98−49=49(m)．（2）v1=80km/h，v2=60km/h，s1=150v12=150×802=128(m)，s2=150v22=150×602=72(m)．s1−s2=128−72=56(m)．（3）在汽车速度相同的情况下，雨天的刹车距离要大于晴天的刹车距离，在同是雨天的情况下汽车速度越大，刹车距离也就越大，请司机师傅一定要注意天气情况与车速．30. （1）设抛物线的表达式为y=a(x−1)2−3．∵抛物线与y轴交于点(0,−5)，将其代入可得 a =−2 ，∴ 抛物线的表达式为 y =−2(x −1)2−3 ，抛物线的对称轴为直线 x =1．（2） 把点 (m,−3m ) 代入抛物线，解得 −3m =−2(m −1)2−3．解得 m 1=1，m 2=52． 31. ∵y =x 2−8x +10=(x −4)2−6，∴y =x 2+bx +c=(x −4−2)2−6−3=x 2−12x +27.∴b =−12，c =27． 32. （1） Δ=b 2−4ac =(m −3)2−4(1−2m )=m 2+2m +5=(m +1)2+4.∵(m +1)2≥0，∴(m +1)2+4>0，∴ 二次函数图象与 x 轴有两个交点．（2） 当 x =2 时，y =22+(m −3)×2＋1−2m =4+2m −6+1−2m =−1．∴ 当 m 取不同的值时，这些二次函数的图象都会经过 (2,−1)．33. 2x 2−3x +2=2(x 2−32x)+2=2[x 2−32x +(34)2−916]+2=2[(x −34)2−916]+2=2(x −34)2+78.∵ 无论 x 取何值时，(x −34)2≥0，只有当 x =34 时，代数式 2(x −34)2 的值最小为 0，∴ 当 x =34 时，代数式 2(x −34)2+78 的值最小为 78．故不论 x 取何值，代数式 2x 2−3x +2 的值总不小于 78，且当 x =34 时，2x 2−3x +2 的值最小，为 78．34. （1） 中含有两个未知数 x 和 z ，故不是二次函数.（2） 根据二次函数定义，是二次函数.（3） 当 m =0 时，不是二次函数.（4） 整理可得 y =−x −6，显然不是二次函数.（5） 当 a =0 时不是二次函数.（6） 根据二次函数定义，是二次函数.（7） 根据二次函数定义，是二次函数.（8） 函数的解析式中含有分式，根据二次函数定义可知，不是二次函数．35. （1） S =−12x 2+30x .（2） ∵ S =−12x 2+30x ， ∴ 当 x =−b 2a =−302×(−12)=30 时， S 最大值=4ac−b 24a=−3024×(−12)=450． ∴ 当 x 为 30 cm 时，菱形风筝面积最大，最大面积是 450 cm 2．36. （1） 当 0<x ≤20 时，y =8000，当 20<x ≤40 时，设 BC 满足的函数表达式为 y =kx +b ，则 {20k +b =8000,40k +b =4000.解得 {k =−200,b =12000,∴y =−200x +12000．（2） 当 0<x ≤20 时，老王获得的利润为 w =(8000−2800)x =5200x ≤104000，此时老王获得的最大利润为 104000 元．当 20<x ≤40 时，老王获得的利润为 w =(−200x +12000−2800)x =−200(x 2−46x )=−200(x −23)2+105800．∴ 当 x =23 时，利润 w 取得最大值，最大值为 105800 元．∵105800>104000，∴ 当张经理的采购量为 23 吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为 105800 元．37. 把点 A 向右平移 8 个单位得到 Aʹ(6,−c )，这两点都在抛物线上，所以抛物线的对称轴为 x =2 ； 抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 −6，所以 c =−6．设抛物线解析式 y =ax 2+bx +c =a (x −ℎ)2+k ，即 y =a (x −2)2+k ．过点 (0,−6)，(−2,6)，所以 {4a +k =−6,16a +k =6.解得 {a =1,k =−10.∴ 抛物线的顶点坐标为 (2,−10)．38. （1） ∵ 抛物线的顶点是原点，对称轴为 y 轴，∴ 可设这条抛物线的表达式为 y =ax 2，把 x =3，y =5 代入表达式得 5=32a ，解得 a =59．∴ 这条抛物线的表达式为 y =59x 2． （2） 把 x =2，y =t 代入表达式，得 t =59×22=209． ∴t 的值为 209．39. （1） Δ=[−(m −3)]2−4(−m )=m 2−2m +9=(m −1)2+8．∵(m −1)2≥0，∴Δ=(m −1)2+8>0．∴ 原方程有两个不相等的实数根．（2） 存在．由题意知 x 1，x 2 是原方程的两根， ∴ x 1+x 2=m −3．x 1⋅x 2=−m ．∵AB =∣x 1−x 2∣，AB 2=(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(m −3)2−4(−m )=(m −1)2+8， ∴ 当 m =1 时，AB 2 有最小值 8，∴ AB 有最小值，即 AB =√8=2√2．40. （1） ∵ 抛物线 y =−x 2+bx +c 经过点 C (0,−3) 和 D (2,1)， ∴ 抛物线解析式为 y =−x 2+4x −3．∴ 抛物线的顶点坐标是 (2,1)．（2） ∵ 抛物线解析式为 y =−x 2+4x −3， ∴A (1,0)，B (3,0)，∵C (0,−3) ，∴S △ABC =12×AB ×OC =3．41. 由二次函数的定义可以知道：m 2−m =2，且 m 2+m ≠0 . 解 m 2−m =2，得 m =2 或 m =−1．由 m 2+m ≠0 知 m ≠−1 且 m ≠0．所以当 m =2 时，函数是二次函数．42. （1） Δ=[−(5m +1)]2−4×1×(4m 2+m )=9m 2+6m +1=(3m +1)2 ∵ 无论 m 取任何实数时，∴(3m +1)2≥0．即无论 m 取任何实数时，原方程总有两个实数根．（2） 解关于 x 的一元二次方程x 2−(5m +1)x +4m 2+m =0.得x 1=m,x 2=4m +1.由题意得 {m >3,4m +1<8. 或 {m <8,4m +1>3.解得 {m >2,m <74. 或 {m <8,m >12. ∴12<m <8． ∴m 的取值范围是 12<m <8． 43. （1） 设每件衬衫应降价 x 元．则依题意，得：(40−x )(20+2x )=1200,整理，得x 2−30x +200=0,解得：x1=10,x2=20.因为让顾客尽可能得到实惠，x=20．∴若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价20元．（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，则y=(40−x)(20+2x)=−2x2+60x+800=−2(x2−30x)+800=−2(x−15)2+1250.∵−2(x−15)2≤0，∴x=15时，赢利最多，此时y=1250元．∴每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多．44. 抛物线y=−3x2的顶点坐标为(0,0)；抛物线y=−3(x+2)2的顶点坐标为(2,0)．抛物线y=−3x2与抛物线y=−3(x+2)2形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线x=−2．抛物线y=−3(x+2)2是由抛物线y=−3x2向左平移2个单位长度而得到的．45. （1）设抛物线的表达式为y=a(x+1)2+4，将点B(2,−5)代入得a=−1，∴该函数的表达式为y=−(x+1)2+4=−x2−2x+3．（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)．令y=0，−x2−2x+3=0，解得x1=−3，x2=1，即抛物线与x轴的交点坐标为(−3,0)，(1,0)．46. ∵y=(m−3)x m2−3m+2+mx−1是关于x二次函数，∴m2−3m+2=2，m−3≠0．∴m=0．47. 过点A作AH\perp BC于点H，∵∠B=30∘，AB+BC=12，∴AH=12AB=x2，BC=12−x．则S=12⋅(12−x)⋅x2．∴S=−14x2+3x(0<x<12)．48. （1）y=x2−4x+3=x2−4x+4−4+3=(x−2)2−1．∴顶点C的坐标为(2,−1)．当x≤2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大．（2）解方程x2−4x+3=0，得x1=3，x2=1．∴A 点的坐标为 (1,0)，B 点的坐标为 (3,0)． 过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足为点 D ． ∴AB =2，CD =1．∴S △ABC =12AB ⋅CD =12×2×1=1．49. （1） 二次函数的表达式为 y =x 2−4x −6． （2） 对称轴为 x =2，顶点坐标为 (2,−10)． （3） m =6，点 Q 到 x 轴的距离为 6． 50. （1） 由表格数据可知 y 与 x 是一次函数关系， 设其解析式 ONG 为 y =kx +b ． 由题 {3000k +b =100,3200k +b =96, 解得 {k =−150,b =160.∴y 与 x 间的函数关系是y =−150x +160.（2） 如下表．（3） 设租赁公司获得的月收益为 W 元，依题意可得 W =−150x +160(x −150)−(x −3000)=−150x 2+163x −24000−(x −3000)=−150x 2+163x −24000−x +3000=−150x 2+162x −21000=−150(x −4050)2+307050.∴当 x =4050 时，W max =307050， 即当每辆车的月租金为 4050 元时，公司可获得最大月收益 307050 元． 51. （1） （i ）如图，（ii ）x 1=0，x 2=−2；（iii）−2≤x≤0．（2）（i）构造二次函数y=x2−2x+1，并画出图象．（ii）当y=4时，求得方程x2−2x+1=4的解为x1=3，x2=−1．（iii）借助图象，直接写出不等式x2−2x+1<4的解集：−1<x<3．（3）当b2−4ac>0时，解集为x>−b+√b2−4aca 或x<−b−√b2−4aca（用“或”与“和”字连接均可）．当b2−4ac=0时，解集为x≠−b2a （x>−b2a或x<−b2a亦可）．当b2−4ac<0时，解集为全体实数．52. （1）∵ℎ=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴抛物线y=a(x−6)2+ℎ过点(0,2)，∴2=a(0−6)2+2.6，解得a=−160，故y与x的函数表达式为y=−160(x−6)2+2.6．（2）当x=9时，y=−160(x−6)2+2.6=2.45>2.43，所以球能过网．当y=0时，−160(x−6)2+2.6=0，解得x1=6+2√39>18，x2=6−2√39（舍去），故球会出界．53. （1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，∴抛物线解析式为y=a(x+3)(x−1)=ax2+2ax−3a，∵y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)=a(x+1)2−4a，∴顶点D的坐标为(−1,−4a)．（2）如图，①设AC与抛物线对称轴的交点为E．∵ 抛物线 y =ax 2+2ax −3a 与 y 轴交于点 C ， ∴C 点坐标为 (0,−3a )．设直线 AC 的解析式为 y =kx +t ，则 {−3k +t =0,t =−3a, 解得 {k =−a,t =−3a,∴ 直线 AC 的解析式为 y =−ax −3a ， ∴ 点 E 的坐标为 (−1,−2a )， ∴DE =−4a −(−2a )=−2a ，∴S △ACD =S △CDE +S △ADE =12×DE ×OA =12×(−2a )×3=−3a ， ∴−3a =3，解得 a =−1，∴ 抛物线的解析式为 y =−x 2−2x +3； ② ∵y =−x 2−2x +3，∴ 顶点 D 的坐标为 (−1,4)，C (0,3)， ∵A (−3,0)，∴AD 2=(−1+3)2+(4−0)2=20，CD 2=(−1−0)2+(4−3)2=2，AC 2=(0+3)2+(3−0)2=18，∴AD 2=CD 2+AC 2， ∴∠ACD =90∘，∴tan∠DAC =CDAC =√218=13， ∵∠PAB =∠DAC ，∴tan∠PAB =tan∠DAC =13．如图，设 y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4 向右平移后的抛物线解析式为 y =−(x +m )2+4，两条抛物线交于点 P ，直线 AP 与 y 轴交于点 F ． ∵tan∠PAB =OFOA =OF 3=13，∴OF =1，则 F 点的坐标为 (0,1) 或 (0,−1)．分两种情况：（i ）如图，当 F 点的坐标为 (0,1) 时，易求直线 AF 的解析式为 y =13x +1，。

二次函数试题及答案一、选择题1. 下列哪个函数是二次函数？A. y = x^2 + 3x + 2B. y = 3x + 2C. y = x^3 - 1D. y = 1/x答案：A2. 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标是什么？A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2) / 4aD. (-b/2a, 4ac - b^2) / (4a)答案：D3. 如果二次函数 y = ax^2 + bx + c 的 a < 0，那么它的图像开口方向是？A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：B二、填空题4. 二次函数 y = 2x^2 - 4x + 3 的顶点坐标是（）。

答案：(1, 1)5. 如果二次函数 y = ax^2 + bx + c 与 x 轴有两个交点，那么 a 的取值范围是（）。

答案：a ≠ 0 且Δ > 0三、解答题6. 已知二次函数 y = -3x^2 + 6x - 5，求该函数与 x 轴的交点。

答案：解：令 y = 0，得 -3x^2 + 6x - 5 = 0，解得x1 = (3 + √33) / 6，x2 = (3 - √33) / 6，因此，该函数与 x 轴的交点坐标为( (3 + √33) / 6, 0) 和( (3 - √33) / 6, 0)。

7. 某二次函数的图像经过点 (1, 2) 和 (2, 3)，且顶点在 x 轴上，求该二次函数的解析式。

答案：解：设二次函数为 y = a(x - h)^2 + k，由于顶点在 x 轴上，所以 k = 0，又因为图像经过点 (1, 2) 和 (2, 3)，代入得：a(1 - h)^2 = 2a(2 - h)^2 = 3解得 h = 1.5，a = 2，因此，该二次函数的解析式为 y = 2(x - 1.5)^2。

四、应用题8. 一个矩形的长是宽的两倍，如果面积为 24 平方米，求这个矩形的长和宽。

二次函数经典解答题及答案(1)二次函数经典解答题1．如图，抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y 轴，且经过点（，），P为抛物线上一点，A （0，）．（1）求抛物线解析式；（2）Q为直线AP上一点，且满足AQ＝2AP．当P运动时，Q在某个函数图象上运动，试写出Q点所在函数的解析式；（3）如图2，以P A为半径作⊙P与x轴分别交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求点P的横坐标．（1）抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，则b＝0，将点（，），代入y＝ax2，即可求解；（2）分点Q在点P下方（点Q位置）、点Q在点P上方（点Q′位置），两种情况分别求解；（3）分AM＝AN、AM＝MN、AN＝MN，三种情况分别求解．解：（1）抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，则b＝0，将点（，），代入y＝ax2并解得：a ＝，故抛物线的表达式为：y ＝x2；（2）设点Q的坐标为（x，y），点P（m ，m2），①当点Q在点P下方时（点Q位置），∵AQ＝2AP，∴P为AQ的中点，第1 页共3 页由中点公式得：m ＝x ，m2＝，整理得：y ＝x2；②当点Q在点P上方时（点Q′位置），同理可得：y ＝x2+；Q点所在函数的解析式为：y ＝x2或y ＝x2+；（3）过点P作PH⊥x轴于点H，设点P（m ，m2），则PM＝PN＝P A ＝＝，MH＝NH ＝＝＝，则MN＝3，设点M（m ，0），则N（m +，0），AM2＝（m ）2+，AN2＝（m +）2+，MN2＝9，①当AM＝AN时，AM2＝（m ）2+＝（m +）2+，解得：m＝0；②当AM＝MN时，同理可得：m ＝（负值已舍去）；③当AN＝MN时，第2 页共3 页同理可得：m ＝（负值已舍去）；故点P的横坐标为：0或或．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、勾股定理运用等知识，要注意分类求解，避免遗漏．。

二次函数的练习题及答案一、选择题：1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且与x轴有交点，则a 和b应满足的条件是（）。

A. a>0, b>0B. a<0, b<0C. a>0, b^2>4acD. a<0, b^2>4ac2. 二次函数y=-x^2+4x-1的顶点坐标是（）。

A. (1,4)B. (2,3)C. (-2,3)D. (2,-3)3. 对于二次函数y=ax^2+bx+c，当x=-1时，函数值最大，那么a的取值范围是（）。

A. a>0B. a<0C. a=0D. 无法确定二、填空题：1. 已知二次函数y=2x^2-8x+3，当x=______时，函数值最小。

2. 若二次函数y=-3x^2-6x+5的图像与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），则x1+x2=______。

三、解答题：1. 已知二次函数y=-2x^2+4x+1，求出当x取何值时，函数值y最大，并求出最大值。

2. 已知二次函数y=3x^2-6x+2，求出函数与x轴的交点坐标。

四、应用题：1. 某工厂生产一种产品，其生产成本与产品数量的关系可以近似为二次函数：C(x)=0.5x^2-100x+3000，其中x代表产品数量，C(x)代表成本。

求出当生产多少件产品时，成本最低，并求出最低成本。

2. 某公司计划在一块长为60米的空地上建一个矩形花园，花园的长和宽之和为30米。

设花园的长为x米，求出花园的面积最大时的长和宽，并求出最大面积。

答案：一、选择题：1. C2. B3. B二、填空题：1. 22. -2三、解答题：1. 当x=1时，函数值y最大，最大值为3。

2. 函数与x轴的交点坐标为（1，0）和（2，0）。

四、应用题：1. 当生产200件产品时，成本最低，最低成本为2000元。

2. 花园的长为15米，宽为15米时，面积最大，最大面积为225平方米。

一、简答题1、已知抛物线y = ax2－x + c经过点Q（－2，），且它的顶点P的横坐标为－1．设抛物线与x轴相交于A、B 两点，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．2、如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B．⑴求该抛物线的解析式；⑵若点C(m，)在抛物线上，求m的值．3、如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．(3) 若抛物线的顶点为D，在轴上是否存在一点P，使得⊿PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，－3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标；（3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？5、如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．（1）求三点的坐标；（2）证明为直角三角形；（3）在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．6、已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）。

①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积.7、如图，抛物线=与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3.(1) 求抛物线的解析式. (2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.注：二次函数（≠0）的对称轴是直线= -8、已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）若把图象沿轴向下平移5个单位，求该二次函数的图象的顶点坐标.9、如图，二次函数的图象与轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数的图象经过该二次函数图象上点A（1,0）及点B.（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足≥的的取值范围.10、已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）。

二次函数一、单选题1．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A ．[)3,+∞B ．(]3,-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞；2．已知函数24y x x =-++的最大值为M ，最小值为m ，则m M ⋅等于（ ） A ．82B ．62C ．42D ．223．设()f x 满足()()-=f x f x -，且在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，当[]1,1a ∈-时都成立，则t 的取值范围是A ．1122t -≤≤ B ．2t ≥或2t ≤-或0t = C ．12t ≥或12t ≤-或0t =D ．22t -≤≤4．设二次函数()()2R f x x bx b =+∈，若函数()f x 与函数()()ff x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．（－∞，0］∪［2，＋∞） B ．（－∞，0］ C ．（－∞，2］D ．［2，＋∞）5．函数在区间上递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()f x 的定义域为{}|,1x x R x ∈≠，且(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，那么当1x >时，()f x 的递减区间是（ ）A ．5[,)4+∞B ．7[,)4+∞C ．5(1,]4D ．7(1,]47．设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点构成一个正方形区域，则a 的值为（ ） A ．2-B ．4-C ．D ．8-8．已知函数()2221f x x ax a =-+- ，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）． A ．(-3，-2) B ．(-∞，-1)C ．(-∞，-2)D ．(-∞，-2]二、多选题9．（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()fx 的单调递增区间是（ ） A ．(),1-∞-B ．()3,1--C ．()0,1D ．()1,310．关于x 的方程()()2222220x xx x k ---+=，下列命题正确的有（ ）A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根第II 卷（非选择题）三、填空题11．已知a R ∈，函数()223f x x x a a =--+在区间[]0,3上的最大值是4，则a 的取值为________.12．已知f （x ）=x 2﹣3x+4，若f （x ）的定义域和值域都是[a ，b]，则a+b= ．13．已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x恒成立，则a 的取值范围是__________．14．定义区间[]12,x x 长度()2121x x x x ->为，已知函数()()221(,)0a a x f x a xa R a ∈=≠+- 的定义域与值域都是[],m n ，则区间[],m n 取最大长度时a 的值为__________.15．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．16．若不等式223x x a a --≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，则正实数a 的取值范围是____.三、解答题17．已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点()1,13，且函数对称轴方程为12x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数2()()13||g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求()g x 在区间[],2t 上的最小值()H t ；（Ⅲ）探究：函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.18．设函数()25(2){5(2)x ax a x f x ax x -+≥=+<（a 为常数），（1）对任意12,x x R ∈，当12x x ≠时，1212()()0f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求2()43g x x ax =-+在区间[1,3]上的最小值()h a ．19．已知函数()22f x ax bx =--(,a b ∈R 且0a ≠)，()4g x kx =+（1）若()10f =，且函数()f x 的值域为(],0-∞，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，当[]2,2x ∈-时，()()()h x f x g x =+时单调函数，求实数k 的取值范围；（3）当1a =，[]0,4b ∈时，若对于任意[]0,3x ∈，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围20．设二次函数()()2ax bx c a f x b R ++=∈，满足我们的：①当x ∈R 时，()f x 的最大值为0，且()()13f x f x -=-成立； ②二次函数()f x 的图象与直线2y =-交于A B 、两点，且AB 4=. （1）求()f x 的解析式；（2）求最小的实数()1n n <-，使得存在实数t ，只要当[],1x n ∈-时，就有()2f x t x +≥成立．21．已知函数2()2f x x mx =-+．（1）若()f x 在区间(,1]-∞上有最小值为1-，求实数m 的值；（2）若4m ≥时，对对任意的1x ，21,12m x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，总有212()()44m f x f x -≤-，求实数m 的取值范围．22．已知函数()()221f x x ax a a R =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，(Ⅰ)求()g a 的表达式；(Ⅱ)是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由． 23．设()2f x x x a x =-+ (a ∈R)(1) 若2a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值； (2) 若2a >，写出()f x 的单调区间；(3) 若存在[]2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.24．设函数()22f x x ax =+，其中a ∈R ．（1）求函数()y f x =在[)1,+∞的最小值()g a 的表达式； （2）若函数()y f x =和()()y ff x =的值域相同，求实数a 的取值范围；（3）记()[]{},,1A y y f x x a a ==∈--+，()()[]{},,1B y y f f x x a a ==∈--+，若A B =，求实数a 的值．二次函数一、单选题1．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A ．[)3,+∞ B ．(]3,-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞；【解析】9a b ab +=,191a b∴+=，且a ,b 为正数， 199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++=，当且仅当9b a a b=，即4,12a b ==时，()16min a b +=， 若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立， 则216218x x m ≥-++-对任意实数x 恒成立， 即222m x x ≥-++对任意实数x 恒成立，2222(1)33x x x -++=--+，3m ∴≥，故选：A2．已知函数y M ，最小值为m ，则m M ⋅等于（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】2246y x x =-+++=+2666y y ≤≤+=≤≤即m M ⋅==故选B.3．设()f x 满足()()-=f x f x -，且在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，当[]1,1a ∈-时都成立，则t 的取值范围是A ．1122t -≤≤ B ．2t ≥或2t ≤-或0t = C ．12t ≥或12t ≤-或0t =D ．22t -≤≤【解析】若函数f （x ）≤t 2﹣2at+1对所有的x ∈[﹣1，1]都成立，由已知易得f （x ）的最大值是1，∴1≤t 2﹣2at+1⇔2at ﹣t 2≤0，设g （a ）=2at ﹣t 2（﹣1≤a≤1），欲使2at ﹣t 2≤0恒成立，则()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩ ⇔t≥2或t=0或t ≤﹣2．故选B ． 4．设二次函数()()2R f x x bx b =+∈，若函数()f x 与函数()()ff x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．（－∞，0］∪［2，＋∞） B ．（－∞，0］ C ．（－∞，2］ D ．［2，＋∞）【解析】当0b =时，()2f x x =，()[]0,f x ∈+∞，()()[]0,ff x ∈+∞，符合题意；当0b <时，对称轴为02bx =->，画出大致图像，令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min,t t∈+∞，显然能取到相同的最小值，符合；当0b >时，对称轴为b x 02=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b-≤-，解得[2,)b ∈+∞综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞）故选：A5．函数在区间上递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】依题意，函数开口向下，故，或；解得.6．已知函数()f x 的定义域为{}|,1x x R x ∈≠，且(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，那么当1x >时，()f x 的递减区间是（ ）A ．5[,)4+∞B ．7[,)4+∞C ．5(1,]4D ．7(1,]4【解析】令()()1F x f x =+，则由已知得()F x 的定义域为{}|,0x x R x ∈≠， 且()F x 为奇函数，当0x <时，()2232F x x x =++，所以当0x >时，有()2232F x x x =-+-，此时其单调递减区间为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，()F x 图象向右平移1个单位得到()f x 的图象，所以对于函数()f x 来说，其单调递减区间为7[,)4+∞.故选：B. 7．设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点构成一个正方形区域，则a 的值为（ ） A ．2-B ．4-C ．D ．8-【解析】设函数u=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点的横坐标为：x 1，x 2，x 1＜x 2∵s 为定义域的两个端点之间的部分，就是[x 1，x 2],f （t ）（t ∈D ）就是f （x ）的值域，也就是[0，f （x ）max ]，且所有的点（s ，f （t ））（s ，t ∈D ）构成一个正方形区域∴|x 1-x 2,∵|x 1-x 2a=-,∴22244, 4.4b ac ac b a a a --=∴=- 8．已知函数()2221f x x ax a =-+- ，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）． A ．(-3，-2)B ．(-∞，-1)C ．(-∞，-2)D ．(-∞，-2]【解析】函数()2221f x x ax a =-+-()()2211x ax a a =-+-+ ()()11x a x a =---+由()0f x <，即()()110x a x a ⎡⎤⎡⎤---+<⎣⎦⎣⎦， 解得11a x a -<<+， 那么不等式()()()011ff x a f x a <=-<<+ ，①又()()21f x x a =+-，当x a =时，()f x 取得最小值-1 , 即函数的值域为[)1,-+∞，若不等式的解集为空集，则①的解集为空集， 那么()1,1a a -+与值域的交集为空集，11a ∴+≤-，2∴≤-a ，即实数a 的取值范围是(],2-∞-，故选D .二、多选题9．（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()fx 的单调递增区间是（ ） A ．(),1-∞-B ．()3,1--C ．()0,1D ．()1,3【解析】因为函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，对称轴为直线1x =，开口向下，所以函数()fx 满足23x -<<，所以33x -<<.又()22221,03,2121,30,x x x f x x x x x x ⎧-++≤<=-++=⎨--+-<<⎩且221y x x =--+图象的对称轴为直线1x =-，所以由二次函数的图象与性质可知，函数()fx 的单调递增区间是()3,1--和()0,1.故选BC.10．关于x 的方程()()2222220x xx x k ---+=，下列命题正确的有（ ）A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根 【解析】设22t x x =-，方程化为关于t 的二次方程()220*t t k ++=.当1k >时，方程()*无实根，故原方程无实根.当1k =时，可得1t =-，则221x x -=-，原方程有两个相等的实根1x =.当1k <时，方程()*有两个实根()1212,t t t t <，由122t t +=-可知，11t <-，21t >-.因为()222111t x x x =-=--≥-，所以212x x t -=无实根，222x x t -=有两个不同的实根.综上可知：A ，B 项正确，C ，D 项错误.故选：AB第II 卷（非选择题）四、填空题11．已知a R ∈，函数()223f x x x a a =--+在区间[]0,3上的最大值是4，则a 的取值为________.【解析】因为22()23(1)13f x x x a a x a a =--+=---+， 结合二次函数的图象以及绝对值的意义，可以得到函数()f x 在[0,3]上的最大值可能取的位置有1,3x x ==这两个，当(1)f 为最大值时，有(1)134f a a =++=，解得34a =， 当34a =时，279()(1)44f x x =--+，此时799(3)44442f =-+=>，不满足条件，当(3)f 为最大值时，有(3)334f a a =-+=，解得12a =， 当12a =时，233()(1)22f x x =--+，此时(1)3,(3)4f f ==，满足条件， 所以a 的值为12，故答案为：12. 12．已知f （x ）=x 2﹣3x+4，若f （x ）的定义域和值域都是[a ，b]，则a+b= ． 【解析】∵f （x ）=x 2﹣3x+4=+1，∴x=2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：①当b ＜2时，函数在区间[a ，b]上递减，又∵值域也是[a ，b]，∴得方程组即，两式相减得（a+b ）（a ﹣b ）﹣3（a ﹣b ）=b ﹣a ，又∵a≠b ，∴a+b=，由，得3a 2﹣8a+4=0，∴a=∴b=2，但f （2）=1≠，故舍去．②当a ＜2＜b 时，得f （2）=1=a ，又∵f （1）=＜2，∴f （b ）=b ，得，∴b=（舍）或b=4，∴a+b=5③当a ＞2时，函数在区间[a ，b]上递增，又∵值域是[a ，b]，∴得方程组，即a ，b 是方程x 2﹣3x+4=x 的两根，即a ，b 是方程3x 2﹣16x+16=0的两根，∴，但a ＞2，故应舍去．故答案为513．已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x恒成立，则a 的取值范围是__________．【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤， 整理可得：21122a x x ≥-+， 由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知： 当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14．定义区间[]12,x x 长度()2121x x x x ->为，已知函数()()221(,)0a a x f x a xa R a ∈=≠+- 的定义域与值域都是[],m n ，则区间[],m n 取最大长度时a 的值为__________. 【解析】 因为()()222111a a x a a xa a f xx +-+==-，所以()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上都是单调递增函数，所以0m n <<或0m n << 因为值域是[],m n ，所以221111,,a a m n a a m a a n++=-=- 即m n ，为方程222211,()10a x a x a a x a a x+=--++=两个不同的实根, 所以222()401a a a a ∆=+->∴>或3a <-[],m n长度为2a ∆==所以当11,33a a ==时，[],m n 长度取最大值， 故答案为：315．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________． 【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭()0x >，则PA === 令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时g t 取得最小值()22g a a =-，=a =（2）当2a <时，g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.16．若不等式223x x a a --≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，则正实数a 的取值范围是____.【解析】设()22f x x x a =--，其中[]1,1x ∈-.①当21a ≥时，即当12a ≥时，()22f x x x a =+-，则函数()y f x =在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增， ()122f a =-，()12f a -=-，则()max 223f x a a =-≤-，解得53a ≥，此时53a ≥；②当021a <<时，即当102a <<时，()222,122,21x x a x a f x x x a a x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩. （i ）若1022a <<时，即当104a <≤时，函数()y f x =在区间11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间12,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增.()12f a -=-，()224f a a =，()12f a =，()()21f a f <，所以，()max 23f x a a =≤-，解得3a ≤-，不合题意； （ii ）当1212a ≤<时，函数()y f x =在区间11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，()12f a -=-，()12f a =，()()11f f >-，则()max 23f x a a =≤-，解得3a ≤-，不合题意.综上所述，正实数a 的取值范围是5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.三、解答题17．已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点()1,13，且函数对称轴方程为12x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数2()()13||g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求()g x 在区间[],2t 上的最小值()H t ；（Ⅲ）探究：函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【解析】(Ⅰ) ∵ ()2f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，∴ 1b =． 又的图象过点（1，13），∴，∴．∴的解析式为．(Ⅱ) 由(Ⅰ)得：结合图象可知：当，；当，； 当，．∴ 综上：（Ⅲ）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为，其中为正整数，为自然数，则， （法一）从而， 即． 注意到是质数，且，又，所以只有， 解得：．因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为．（法二）从而的偶数，∴的奇数 ∴ 取验证得，当时符合因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为．18．设函数()25(2){5(2)x ax a x f x ax x -+≥=+<（a 为常数），（1）对任意12,x x R ∈，当12x x ≠时，1212()()0f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求2()43g x x ax =-+在区间[1,3]上的最小值()h a ．【解析】（1）由题意，函数在定义域上增，则2{20,a a ≤>，而且222525a a a -+≥+,所以14a ≤≤；（2）()222()43=234g x x ax x a a =-+-+-，对称轴为2,x a = 由（1）得228,a ≤≤ ①223a ≤≤时，即312a ≤≤时，()2min ()234f x f a a ==-； ②328a ≤≤时，即342a <≤时，()min ()3126f x f a ==-． 综上：()2334,12{31212,42a a h a a a -≤≤=-<≤. 19．已知函数()22f x ax bx =--(,a b ∈R 且0a ≠)，()4g x kx =+（1）若()10f =，且函数()f x 的值域为(],0-∞，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，当[]2,2x ∈-时，()()()h x f x g x =+时单调函数，求实数k 的取值范围；（3）当1a =，[]0,4b ∈时，若对于任意[]0,3x ∈，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围 【解析】（1）函数()f x 的值域为(],0-∞，所以20,80a b a <⎧⎨∆=+=⎩， 又()10f =，所以20a b --=，解得：2,4,a b =-⎧⎨=-⎩所以()2242f x x x =-+-.（2）因为()()()h x f x g x =+22(4)2x k x =-+++，对称轴为44kx +=，所以424k +≤-或424k+≥，解得：12k ≤-或4k ≥. （3）当1a =时，()22f x x bx =--，因为()()f x g x ≤2|2|4x bx kx ⇔--≤+2424kx x bx kx ⇔--≤--≤+，所以不等式组2224,24,x bx kx x bx kx ⎧--≤+⎨--≥--⎩对于任意[]0,3x ∈，[]0,4b ∈恒成立.所以不等式组22()60,()20,x b x kx x b x kx ⎧-⋅+--≤⎨-⋅+++≥⎩对于任意[]0,3x ∈，[]0,4b ∈恒成立. 所以2260,(4)20,x kx x k x ⎧--≤⎨+-+≥⎩对于任意[]0,3x ∈恒成立.先考虑不等式260x kx --≤对于任意[]0,3x ∈恒成立，所以1k；再考虑不等式24)20(x k x -++≥对于任意[]0,3x ∈恒成立（此时只考虑1k 情况），因为函数的对称轴为42k x -=-， ①当4042k k --≤⇒≥时，不等式24)20(x k x -++≥对于任意[]0,3x ∈恒成立；②当14k ≤<时，43022k -<-≤，则2(4)8044k k ∆=--≤⇒-≤≤+，所以44k -≤<；综上所述：4k ≥-.20．设二次函数()()2ax bx c a f x b R ++=∈，满足我们的：①当x ∈R 时，()f x 的最大值为0，且()()13f x f x -=-成立； ②二次函数()f x 的图象与直线2y =-交于A B 、两点，且AB 4=. （1）求()f x 的解析式；（2）求最小的实数()1n n <-，使得存在实数t ，只要当[],1x n ∈-时，就有()2f x t x +≥成立． 【解析】（1）由(1)(3)f x f x -=-得，函数()f x 的图象的对称轴是1x =，又()f x 的最大值是0，可设2()(1)(0)f x a x a =-<，令2(1)2a x -=-，得1x =±4AB ==，12a =-．∴21()(1)2f x x =--； （2）由()2f x t x +≥，得21(1)22x t x --+≥，即222(1)(1)0x t x t +++-≤，解得11t x t ---≤≤--+（0t ≥，否则不等式无解）， 又()2f x t x +≥在[,1]x n ∈-上恒成立，∴1(1)11(2)t n t ⎧---⎪⎨--+≥-⎪⎩， 由（2）得04t ≤≤，令()1g t t =---()1g t t =---()(4)9g t g ≥=-， 由于只需存在实数t ，故9n ≥-，则n 的最小值是9-，此时存在实数4t =，只要当[,1]x n ∈-时，就有()2f x t x +≥成立． 21．已知函数2()2f x x mx =-+．（1）若()f x 在区间(,1]-∞上有最小值为1-，求实数m 的值；（2）若4m ≥时，对对任意的1x ，21,12m x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，总有212()()44m f x f x -≤-，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）22()()224m m f x x =-+-，对称轴为2m x =，因此按2m 1≤或12m >分类得最小值，可求得m ； （2）显然[1,1]22m m ∈+上，min ()()2mf x f =，max ()(1)(4)f x f m =≥，题中不等式恒成立，即2max min ()()44m f x f x -≤-，解不等式可得m 范围. 试题解析：（1）函数()22f x x mx =-+，其图象的对称轴方程为2m x =．当2m ≤时，()2min2124m m f x f ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，m =-当2m >时，()f x 在区间(],1-∞上单调递减，()()2min 1121f x f m ==-+=-，∴4m =，综上可知，m =-4m =． （2）1,122m m x ⎡⎤=∈+⎢⎥⎣⎦，且11222m m m⎛⎫+-≤- ⎪⎝⎭， ∴()()max 13f x f m ==-，()2min224m m f x f ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，∵对任意的1x ，21,12m x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，总有()()21244m f x f x -≤-，∴()()222max min3214444m m m f x f x m m -=-+-=-+≤-，得5m ≥，故实数m 的取值范围是[)5,+∞．点睛：二次函数2()f x ax bx c =++的最值问题，不妨设0a >，[,]x m n ∈，则有当22b m n a +-≥时，max ()()f x f m =，当22b m n a +-<时，max ()()f x f n =，当[,]2bm n a-∈时，min ()()2b f x f a =-，当2b m a ->时，min ()()f x f n =，当2b m a -<时，min ()()f x f m =.22．已知函数()()221f x x ax a a R =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，(Ⅰ)求()g a 的表达式；(Ⅱ)是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由． 【解析】(Ⅰ)因为函数()f x 图象的对称轴为2ax =-，所以当02a-≤，即0a ≥时，()()2()12max g a f x f a a ===++； 当02a->，即0a <时，()()2()1 2.max g a f x f a a ==-=-+ 所以()22,022,0a a a g a a a a -+<⎧⎪=++≥⎨⎪⎩.(Ⅱ)假设存在符合题意的实数m ，n ，则由(Ⅰ)可知，当a R ∈时，()[)2,.g a ∈+∞所以若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，则0.m n << 所以()22g a a a =++，且为单调递增函数.所以()()225225g m m m m g n n n n =++=⎧⎪=++=⎨⎪⎩,所以22m n ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩23．设()2f x x x a x =-+ (a ∈R)(1) 若2a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值； (2) 若2a >，写出()f x 的单调区间；(3) 若存在[]2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.【解析】（1）当2a =时， ()22f x x x x =-+=224,2{,2x x x x x -+<≥, ∴ ()f x 在R 上为增函数， ∴ ()f x 在[]0,3上为增函数，则()()max 39f x f == .（2）()()()222,{2,x a x x af x x a x x a-++<=+-≥,2a >,022a a a ∴<-<<+,当x a ≥时， 22a a ->， ∴ ()f x 在(),a +∞为增函数 ,当x a <时，22022a a a +--=<，即22a a +<, ∴ ()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，在2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数 , 则()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫⎪⎝⎭. （3）由（2）可知，当22a -≤≤时， ()f x 为增函数， 方程不可能有三个不相等实数根,当24a <≤时，由（2）得 ()()22a f a tf a f +⎛⎫<<⎪⎝⎭, ()22224a a at +<<,即()2218a t a +<<在(]2,4有解,由()22118822a a aa +=++在(]2,4上为增函数,∴当4a =时， ()228a a+的最大值为98, 则918t <<. 24．设函数()22f x x ax =+，其中a ∈R ．（1）求函数()y f x =在[)1,+∞的最小值()g a 的表达式； （2）若函数()y f x =和()()y ff x =的值域相同，求实数a 的取值范围；（3）记()[]{},,1A y y f x x a a ==∈--+，()()[]{},,1B y y ff x x a a ==∈--+，若A B =，求实数a 的值．【解析】 （1）对称轴22ax a =-=- 当1,1a a -≤≥-即时[)1,x ∈+∞，()f x 单调递增，所以()min (1)12f x f a ==+即()12g a a =+当1,1a a -><-即时()f x 在[)1,+∞的最小值()222min ()2f x f a a a a =-=-=-即()2g a a =- 综上所述：()212,1,1a a g a a a +≥-⎧=⎨-<-⎩（2）()y f x =和()()y f f x =的值域相同，易得()f x 在对称轴取得最小值 ()2min ()f x f a a =-=-，所以()2f x a ≥-。

二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。