2020-2021高三数学下期末模拟试卷附答案(5)

广东省梅州市西河中学2020-2021学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知变量满足，则的取值范围为（）A．[－2,2] B．(－∞,－2] C. (－∞,2] D．[2,+∞)参考答案：C如图：可得当，时取得最大值，所以，故选2. 双曲线C1：（，）的焦点为、，抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．参考答案：C∵抛物线的方程为∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为∵双曲线：（，）的焦点为、，且抛物线的准线与交于、两点∴，∵以为直径的圆过∴，即∵∴，即∴∵椭圆的离心率为∴椭圆的离心率的平方为故选C.3. 设在函数的图象上的点处的切线斜率为k，若，则函数的图像大致为参考答案：A，即切线斜率，则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B,C.当时，，排除D，选A.4. 在中, ，三边长，，成等差数列，且，则的值是( )A． B． C．D．参考答案：C5. 已知等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，则n的值为( )A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：C考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前n项和的公式，写出求和等于100时的公式，整理出关于n的方程，写出n 的值．解答：解：∵等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，∵100=，∴n=10故选C．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，是一个基础题，题目的解决关键是看出数列中所给的两项恰好是前n项和的两项．6. .已知函数（），若的图象与的图象重合，记的最小值为，函数的单调递增区间为（）A. （）B. （）C. （）D. （）参考答案：D【分析】根据辅助角公式化简函数，根据正弦函数周期性求得，再根据余弦函数的单调性即可求得的单调递增区间。

高三数学模拟试题及答案导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高三数学模拟试题及答案》的内容，具体内容：只要你肯花时间用心做好高三数学模拟试卷，你就会觉得其实高三的数学并不难。

以下是我给你推荐的高三数学模拟试题及参考答案，希望对你有帮助!高三数学模拟试题一、选择题：(本大...只要你肯花时间用心做好高三数学模拟试卷，你就会觉得其实高三的数学并不难。

以下是我给你推荐的高三数学模拟试题及参考答案，希望对你有帮助!高三数学模拟试题一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设集合 , ，则( )2. 计算： ( )A. B.- C. 2 D. -23. 已知是奇函数，当时，，则 ( )A. 2B. 1C.D.4. 已知向量 ,则的充要条件是()A. B. C. D.6. 已知函数，则下列结论正确的是( )A. 此函数的图象关于直线对称B. 此函数的最大值为1C. 此函数在区间上是增函数D. 此函数的最小正周期为8. 已知、满足约束条件，若，则的取值范围为( )A. [0，1]B. [1，10]C. [1，3]D. [2，3]第二部分非选择题(共100分)二、填空题(本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分)。

(一)必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 已知等比数列的公比为正数，且，则 = .10. 计算 .11. 已知双曲线的一个焦点是( )，则其渐近线方程为 .12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .13. 已知依此类推，第个等式为.(二)选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。

14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为 (为参数)，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的最大值为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

安徽省亳州市蒙城县第二中学2020-2021学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知曲线与双曲线的渐近线相切，则此双曲线的焦距等于（）A. B. C.4 D.参考答案：D2. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A3. 已知为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（）条件（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充要（D）非充分非必要参考答案：B略4. 已知集合，则= （）A．B．C．D．参考答案：D略5. 执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为A．（8，2）B．（8，3）C．（16，3）D．（16，4）参考答案：D6. 给出如下四个命题：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】不等式比较大小．【分析】①利用分析法和构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可判断，②根据对数的运算性质即可判断，③利用中间量即可判断，④两边取对数即可判断．【解答】解：①要证e＞2，只要证＞ln2，即2＞eln2，设f（x）=elnx﹣x，x＞0，∴f′（x）=﹣1=，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴f（x）＜f（e）=elne﹣e=0，∴f（2）=eln2﹣2＜0，即2＞eln2，∴e＞2，因此正确②∵3ln2=ln8＞ln2.82＞lne2=2．∴ln2＞，因此正确，③π2＜42=16，3π＞33=27，因此π2＜3π，③正确，④∵2π＜π2，∴＜，④正确；正确的命题的个数为4个，故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. （06年全国卷Ⅱ理）( )（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：A解析: 故选A8. 已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+ B．4+ C．4+D．4+参考答案：A 该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为．故选A．9. 已知S n是数列{a n}的前n项和，且，则（）A. 20B. 25C. 30D. 35参考答案：D【分析】先由得到数列是等差数列，再根据，即可求出结果.【详解】因为是数列的前项和，且，所以，因此数列是公差为的等差数列，又，所以，因此.故选D【点睛】本题主要考查等差数列的性质、以及等差数列的前项和，熟记等差数列的性质以及前项和公式即可，属于常考题型.10. 定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）．则当1≤s≤4时，的取值范围是( ) A．B．C．D．参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】首先由由f（x﹣1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，根据奇函数定义与减函数性质得出s与t的关系式，然后利用不等式的基本性质即可求得结果．【解答】解析：由f（x﹣1）的图象相当于f（x）的图象向右平移了一个单位又由f（x﹣1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，即函数f （x ）为奇函数 得f （s 2﹣2s ）≤f（t 2﹣2t ），从而t 2﹣2t≤s 2﹣2s ，化简得（t ﹣s ）（t+s ﹣2）≤0， 又1≤s≤4， 故2﹣s≤t≤s，从而，而，故．故选C ．【点评】题综合考查函数的奇偶性、单调性知识；同时考查由最大值、最小值求取值范围的策略，以及运算能力，属中档题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 两圆相交于两点A(1,3)和B （m,-1），两圆圆心都在直线上，则__参考答案： 312. ___________ .参考答案：13. 正三棱锥P －ABC 高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A 到侧面PBC 的距离是 ． 参考答案：14. 已知向量,，若，其中，则.参考答案：15.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为__________．参考答案：将该四棱锥放在正方体中，， ，故该四棱锥中最长棱长为．16. 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)．则|PA |＋|PF |的最小值是 ，取最小值时P 点的坐标 ．参考答案：，抛物线的准线为。

2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。

2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学模拟练习试卷（一）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设集合P={x∈Z|（x+1）（x-4）≤0}，Q={x|y=lgx}，则（）A.P⊆QB.P∩Q=[-1，4]C.P∪Q=PD.P∩Q={1，2，3，4}2.（单选题，5分）复数z=-2+i，则它的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）已知某校高一、高二、高三年级的学生数分别为600，720，840，为调查学生对餐厅的满意度，拟采用分层抽样随机抽取一个容量为108的样本，则高二年级应抽取的学生数为（）A.30B.36C.42D.484.（单选题，5分）设向量a⃗=(2，3)，b⃗⃗=(4，−2)，若(λa⃗+b⃗⃗)⊥b⃗⃗，则实数λ=（）A.-10B.10C.-2D.25.（单选题，5分）已知点P(−1，√3)在角φ的终边上，若要得到函数y=sin（2x+φ）（0≤φ＜2π）的图象，则需将函数y=sin2x的图象（）个单位长度A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移2π3D.向右平移2π个单位长度3=2，则tan2x=（）6.（单选题，5分）若sinx−cosxsinx+cosxA. 43B. −43C. 34D. −347.（单选题，5分）设a＞0，b＞0，且a+b=1，则下列结论不一定成立的为（）A.a b＜1B.b a＜1C.log a b+log b a≥2D.log a b-log b a≥28.（单选题，5分）已知球O在母线长为5，高为4的圆锥内部，则球O的表面积最大值为（）A.12πB.9πC.8πD.6π9.（多选题，5分）下列说法正确的为（）A.若x∈R，则“x2＜1”是“x＜1”充分不必要条件B.若x∈R，则“x＜1”是“x2＜1”充分不必要条件C.若命题p的否定为真命题，则命题p必为假命题D.命题“∃x0∈R，使得x02＜2x0-1”的否定为“∀x∈R，x2＞2x-1”10.（多选题，5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点．若分别以AE，AF，EF为折痕，将该正方形折成一个四面体Ω（使B，C，D三点重合），则下列结论正确的为（）A.Ω的表面积为2B.Ω的体积为13C.Ω的外接球半径为√62D.Ω的外接球半径为√5211.（多选题，5分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的为（）A.实数ω有且仅有一个值B.实数φ可取两个不同的值C.f（x）的单调递增区间为(kπ−π3，kπ+π6)(k∈Z)D.若f（x1）=f（x2）(π6＜x1＜x2＜π)，则f(x1+x2)=√312.（多选题，5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f(x)={ex+3，x＜−1，e x−1，−1≤x＜0，（其中常数e是自然对数的底数，e=2.71828⋅⋅⋅），函数g（x）=f（af（x）），则下列结论正确的为（）A.∀x∈[-1，0]，f（x）+f（x2）≤0恒成立B.当k∈N*时，方程f（x）+kx=0有唯一实数解C.当a=1时，函数g（x）的零点个数为7D.∃a∈R，使得函数g（x）恰有9个零点13.（填空题，5分）函数f(x)=ln(x+1)+√3x−1上的定义域为 ___ ．14.（填空题，5分）某校从参加高一物理期末考试的学生中随机抽出60名，将其物理成绩（均为整数）分成六组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，并绘制成如下的频率分布直方图．由此估计此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为 ___ ．）15.（填空题，5分）进行垃圾分类收集可减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益．为普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，考试有且仅有两道试题．已知甲同学答对每道题的概率均为p ，乙同学答对每道题的概率均为q ，且在考试中每人各题的答题结果互不影响．若甲，乙同时答对第一题的概率为 12 ，且恰有一人答对第二题的概率为 512 ，则p+q=___ ．16.（填空题，5分）设函数 f (x )=asin (x +π6)+√3bsin (x −π3) （a ＞0），若∀x∈R ，|f （x ）|≤|f （0）|，则 1a −2b 的最小值为 ___ ．17.（问答题，10分）已知i 为虚数单位，m∈R ，复数z 1=m+mi ，z 2=2m+2i ，z=z 1z 2． （1）若z 是纯虚数，求实数m 的值； （2）若|z|≤4，求|z 1-z 2|的取值范围．18.（问答题，12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB || CD ， |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ， ∠BAD =π3，E 是BC 边的中点．（1）试用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•EC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．19.（问答题，12分）随着电子产品的盛行，近年来青少年的眼睛健康不容忽视．某地欲举行中学生“用眼卫生健康知识竞赛”活动，规定每所学校均由3名学生组成代表队参加团体赛．某校为了选拔出代表队成员，共有120名学生参加了校内选拔赛，其竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 频数12 24 42 b a频率0.1 0.2 0.35 c 0.05 （1）求竞赛成绩的频率分布表中a，b，c的值，并计算这120名学生的竞赛成绩平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知竞赛成绩不低于90分的学生中男、女人数之比为1：2，若从竞赛成绩不低于90分的学生中随机选取3人组成代表队，求代表队中女生人数多于男生人数的概率．20.（问答题，12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a−ca+b +sinBsinA+sinC=0．（1）求C；（2）设点E，F是边AB（除端点外）上的动点，且AE＜AF．若a=b=1，且∠ECF=π3，记∠ACE=θ，试用θ表示△CEF的面积S，并求S的最小值．21.（问答题，12分）如图，已知四边形ABCD为矩形，且AB=2AD，点E为AB的中点，将△ADE沿折痕DE折成△PDE．（1）若点M为PC的中点，证明：BM || 平面PDE；（2）若二面角D-PE-C为直二面角，求直线PC与平面DEC所成的角的正弦值．22.（问答题，12分）设函数g（x）的定义域为D，若x0∈D，且g（x0）=kx0（k∈Z），则称实数x0为g（x）的“k级好点”．已知函数f（x）=ln（e x+a）．（其中常数e是自然对数的底数，e=2.71828⋅⋅⋅）（1）当a∈R时，讨论f（x）的“2级好点”个数；（2）若实数m为f（x）的“-1级好点”，证明：e2m+e−2m+m2＞(a+1)m+1．22020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学模拟练习试卷（一）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设集合P={x∈Z|（x+1）（x-4）≤0}，Q={x|y=lgx}，则（）A.P⊆QB.P∩Q=[-1，4]C.P∪Q=PD.P∩Q={1，2，3，4}【正确答案】：D【解析】：由已知分别求出集合P，Q，对应各个选项即可求解．【解答】：解：由已知可得P={x∈Z|-1≤x≤4}={-1，0，1，2，3，4}，Q={x|x＞0}，所以P∩Q={1，2，3，4}，故选：D．【点评】：本题考查了集合间的包含关系，涉及到一元二次不等式的解法，属于基础题．2.（单选题，5分）复数z=-2+i，则它的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：C【解析】：根据复数共轭的定义以及复数的几何意义，即可得到结论．【解答】：解：∵z=-2+i，∴它的共轭复数z =-2-i，对应的坐标为（-2，-1）位于第三象限，故选：C．【点评】：本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的概念，比较基础．3.（单选题，5分）已知某校高一、高二、高三年级的学生数分别为600，720，840，为调查学生对餐厅的满意度，拟采用分层抽样随机抽取一个容量为108的样本，则高二年级应抽取的学生数为（）A.30B.36C.42D.48【正确答案】：B【解析】：根据题意，先计算三个年级的学生总数，由分层抽样的定义分析可得答案．【解答】：解：根据题意，高一、高二、高三年级的学生数分别为600，720，840，共有600+720+840=2160人，拟采用分层抽样随机抽取一个容量为108的样本，×108=36，则高二年级应抽取的学生数为7202160故选：B．【点评】：本题考查分层抽样方法的应用，注意分层抽样的定义，属于基础题．4.（单选题，5分）设向量a⃗=(2，3)，b⃗⃗=(4，−2)，若(λa⃗+b⃗⃗)⊥b⃗⃗，则实数λ=（）A.-10B.10C.-2D.2【正确答案】：A【解析】：根据题意，求出λ a⃗ + b⃗⃗的坐标，由数量积的计算公式可得(λa⃗+b⃗⃗)•b⃗⃗ =4（2λ+4）-2（3λ-2）=2λ+20=0，解可得λ的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，向量a⃗=(2，3)，b⃗⃗=(4，−2)，则λ a⃗ + b⃗⃗ =（2λ+4，3λ-2），若(λa⃗+b⃗⃗)⊥b⃗⃗，则(λa⃗+b⃗⃗)•b⃗⃗ =4（2λ+4）-2（3λ-2）=2λ+20=0，解可得λ=-10，故选：A．【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．5.（单选题，5分）已知点P(−1，√3)在角φ的终边上，若要得到函数y=sin（2x+φ）（0≤φ＜2π）的图象，则需将函数y=sin2x的图象（）A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移2π3个单位长度D.向右平移2π3个单位长度【正确答案】：A【解析】：由题意可得φ为第二象限角，利用任意角的三角函数的定义可求tanφ，结合范0≤φ＜2π，可求φ的值，进而根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．【解答】：解：因为点P(−1，√3)在角φ的终边上，可得φ为第二象限角，所以tanφ=- √3，因为0≤φ＜2π，所以φ= 2π3，所以若要得到函数y=sin（2x+ 2π3）=sin2（x+ π3）的图象，则需将函数y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度即可得解．故选：A．【点评】：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的应用，考查了函数思想，属于基础题．6.（单选题，5分）若sinx−cosxsinx+cosx=2，则tan2x=（）A. 43B. −43C. 34D. −34【正确答案】：C【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanx的值，进而根据二倍角的正切公式即可求解．【解答】：解：因为sinx−cosxsinx+cosx=2，所以tanx−1tanx+1=2，解得tanx=-3，则tan2x= 2tanx1−tan2x = 34．故选：C．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.（单选题，5分）设a＞0，b＞0，且a+b=1，则下列结论不一定成立的为（）A.a b＜1B.b a＜1C.log a b+log b a≥2D.log a b-log b a≥2【正确答案】：D【解析】：由a＞0，b＞0，且a+b=1知0＜a＜1，0＜b＜1，又得log a b＞0且log b a＞0，根据函数单调性可判断AB；根据基本不等式可判断C，举例a=b= 12可判断D．【解答】：解：由a＞0，b＞0，且a+b=1知0＜a＜1，0＜b＜1，又得log a b＞0且log b a＞0，∴a b＜a0=1，b a＜b0=1，∴AB成立，不选AB；log a b+log b a=log a b+ 1log a b ≥2 √log a b•1log a b=2，当且仅当a=b= 12时，“=”成立，∴C对，不选C；当a=b= 12时，log a b-log b a=0，∴D错，选D．故选：D．【点评】：本题考查不等式与基本不等式，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．8.（单选题，5分）已知球O在母线长为5，高为4的圆锥内部，则球O的表面积最大值为（）A.12πB.9πC.8πD.6π【正确答案】：B【解析】：由题意，可得当球O的轴截面是圆锥的轴截面的内切圆时，内切球等体积最大，求出轴截面的内切圆的半径，进而求出球O表面积的最大值．【解答】：解：设圆锥的轴截面为等腰△SAB，则球O的面积最大时，球O的轴截面是△SAB 的内切圆，所以S△SAB= 12AB•SO′= 12SA+SB+AB）•r，解得r= 32，所以球O的表面积的最大值为4πr2=4 π×94=9π．故选：B．【点评】：本题考查圆锥的内切球的半径的求法及球的体积公式，属于基础题．9.（多选题，5分）下列说法正确的为（）A.若x∈R，则“x2＜1”是“x＜1”充分不必要条件B.若x∈R，则“x＜1”是“x2＜1”充分不必要条件C.若命题p的否定为真命题，则命题p必为假命题D.命题“∃x0∈R，使得x02＜2x0-1”的否定为“∀x∈R，x2＞2x-1”【正确答案】：AC【解析】：直接利用充分条件和必要条件，命题的否定，真值表的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：若“x2＜1”整理出-1＜x＜1，故{x|-1＜x＜1}⊂{x|x＜1}，故“x2＜1”是“x ＜1”充分不必要条件，故A正确；对于B：若“x2＜1”整理出-1＜x＜1，故{x|-1＜x＜1}⊂{x|x＜1}，故“x2＜1”是“x＜1”充分不必要条件，则“x＜1”是“x2＜1”必要不充分条件，故B错误；对于C：若命题p的否定为真命题，则命题p必为假命题，故C正确；对于D：命题“∃x0∈R，使得x02＜2x0-1”的否定为“∀x∈R，x2≥2x-1”故D错误．【点评】：本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，真值表，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点．若分别以AE，AF，EF为折痕，将该正方形折成一个四面体Ω（使B，C，D三点重合），则下列结论正确的为（）A.Ω的表面积为2B.Ω的体积为13C.Ω的外接球半径为√62D.Ω的外接球半径为√52【正确答案】：BC【解析】：利用Ω的表面积即为正方形的面积，即可判断选项A，由翻折前后不变的量，得到翻折后的三棱锥，求解体积即可判断选项B，利用Ω的外接球即为以PA，PE，PF为长、宽、高的长方体的外接球，求解半径即可判断选项C，D．【解答】：解：对于A，由题意可知，Ω的表面积即为正方形的面积，所以Ω的表面积为2×2=4，故选项A错误；对于B，翻折前，AE=AF= √5，EF= √2，AB=AD=2，BE=EC=DF=1，翻折后，AP=2，EP=PF=1，AE=AF= √5，EF= √2，且AP⊥PF，AP⊥PE，PE⊥PF，则AP⊥平面PEF，所以Ω的体积为13×12×1×1×2 = 13，故选项B正确；Ω的外接球即为以PA，PE，PF为长、宽、高的长方体的外接球，则Ω的外接球的直径为2R= √12+12+22=√6，所以Ω的外接球半径为√62，故选项C正确，选项D错误．【点评】：本题考查了翻折问题，棱锥的体积公式的应用，表面积的求解以及外接球的理解，解题的关键是弄起翻折前后不变的量，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．11.（多选题，5分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的为（）A.实数ω有且仅有一个值B.实数φ可取两个不同的值C.f（x）的单调递增区间为(kπ−π3，kπ+π6)(k∈Z)D.若f（x1）=f（x2）(π6＜x1＜x2＜π)，则f(x1+x2)=√3【正确答案】：AD【解析】：先由图解函数f（x）解析式，再利用单调性、对称性等性质判断选项是否正确．【解答】：解：由图知，A=2，f（0）= √3，即2sinφ= √3，sinφ= √32，∴φ= π3+2kπ，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ= π3．ω与周期T有关，又π3−0 =2π32π•T = 13T，∴T=π，∴ω=2．∴f（x）=2sin（2x+ π3）．A，因为周期一定，所以ω确定，且ω=2．故A对．B，∵（0，√3）是单调递增区间上的值，∴φ只能等于π3+2kπ，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ= π3．即只有一个值，故B错．C，∵f（x）=2sin（2x+ π3），∴满足2x+ π3∈[2kπ- π2，2kπ+ π2]，k∈Z时，f（x）单调递增，解得x∈[kπ- 5π12，kπ+ π12]，k∈Z，故C错；D，∵f（x1）=f（x2），且π6＜x1＜x2＜π，∴x1，x2关于x= 7π12对称，∴x1+x2=2× 7π12= 7π6，∴f（x1+x2）=2sin（2× 7π6 + π3）=2sin 8π3=2sin 2π3= √3．故D对．故选：AD．【点评】：该题考查正弦函数的图象及单调性、对称性等性质，属于中等题型．12.（多选题，5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f(x)={ex+3，x＜−1，e x−1，−1≤x＜0，（其中常数e是自然对数的底数，e=2.71828⋅⋅⋅），函数g（x）=f（af（x）），则下列结论正确的为（）A.∀x∈[-1，0]，f（x）+f（x2）≤0恒成立B.当k∈N*时，方程f（x）+kx=0有唯一实数解C.当a=1时，函数g（x）的零点个数为7D.∃a∈R，使得函数g（x）恰有9个零点【正确答案】：AD【解析】：根据题意作出f（x）的图象，结合图象，逐个判断每个选项，即可得出答案．【解答】：解：根据题意作出f（x）的图象：对于A ：由图可知f （x ）在（-1，1）上单调递增， 因为x∈[-1，0]，则x 2∈[0，1]， 又f （x ）=-f （-x ），且-x∈[0，1]， 且-x≥x 2，所以f （-x ）≥f （x 2）， 即-f （x ）≥f （x 2），所以f （x ）+f （x 2）≤0，故A 正确；对于B ：当k∈N*时，方程f （x ）+kx=0的根为f （x ）=-kx 的根， 即y=f （x ）与y=-kx 的交点的横坐标，结合图象可得交点可能有1个或三个，故B 错误； 对于C ：a=1时，g （x ）=f （f （x ）），令g （x ）=0，结合图象可得f （x ）=0或f （x ）=- 3e 或f （x ）= 3e ， 当f （x ）=0时，x=0或- 3e 或 3e ， 当f （x ）=- 3e 时，x 有唯一的解， 当f （x ）= 3e 时，x 有唯一的解，综上，当a=1时，g （x ）的零点有5个，故C 错误； 对于D ：令g （x ）=f （af （x ））=0， 得af （x ）=0或af （x ）=- 3e 或af （x ）= 3e ， 当a≠0时，f （x ）=0或f （x ）=- 3ae或f （x ）= 3ae， 当f （x ）=0时，x=0或- 3e 或 3e ，若e-3＜- 3ae ＜0时，f （x ）=- 3ae 有3个解，f （x ）= 3ae 有3个解， 综上，存在a∈R ，使得g （x ）恰有9个交点，故D 正确． 故选：AD ．【点评】：本题考查函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 13.（填空题，5分）函数 f (x )=ln (x +1)+√3x−1 上的定义域为 ___ ． 【正确答案】：[1]（0，3]【解析】：根据题意，由函数的解析式可得 {x +1＞03x −1≥0 ，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，函数 f (x )=ln (x +1)+√3x−1 ， 必有 {x +1＞03x−1≥0，解可得0＜x≤3，即函数的定义域为（0，3]； 故答案为：（0，3]．【点评】：本题考查函数定义域的计算，涉及不等式的解法，属于基础题．14.（填空题，5分）某校从参加高一物理期末考试的学生中随机抽出60名，将其物理成绩（均为整数）分成六组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，并绘制成如下的频率分布直方图．由此估计此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为 ___ ． ）【正确答案】：[1]82【解析】：根据题意，高一物理期末考试成绩的第75百分位数，即成绩从低到高的第60×75%=45位同学，分别求出前4组小矩形对应的人数，前5组小矩形对应的人数，再按比例确定高一物理期末考试成绩的第75百分位数，即可求解．【解答】：解：高一物理期末考试成绩的第75百分位数，即成绩从低到高的第60×75%=45位同学，∵前4组的小矩形的面积和为0.01+0.15×2+0.03=0.07， 又∵样本的容量为60，∴前4组的小矩形对应的学生人数为60×0.07=42，∵前5组的小矩形的面积和为0.01+0.15×2+0.03+0.25=0.95， 又∵样本的容量为60，∴前5组的小矩形对应的学生人数为60×0.95=57， ∵分数在[80，90）的人数为0.025×10×60=15，∴此次高一物理期末考试成绩的第75百分位数为80+10×45−4215=82．故答案为：82．【点评】：本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，以及百分位数的应用，属于基础题．15.（填空题，5分）进行垃圾分类收集可减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益．为普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，考试有且仅有两道试题．已知甲同学答对每道题的概率均为p，乙同学答对每道题的概率均为q，且在考试中每人各题的答题结果互不影响．若甲，乙同时答对第一题的概率为12，且恰有一人答对第二题的概率为512，则p+q=___ ．【正确答案】：[1] 1712【解析】：利用相互独立事件的概率乘法公式列出方程组即可求解．【解答】：解：由题意，得{pq=12p(1−q)+q(1−p)=512，解得p+q= 1712．故答案为：1712．【点评】：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．16.（填空题，5分）设函数f(x)=asin(x+π6)+√3bsin(x−π3)（a＞0），若∀x∈R，|f（x）|≤|f（0）|，则1a−2b的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1] 2√2【解析】：先利用诱导公式以及辅助角公式化简f（x）的解析式，然后由已知条件，得到f （0）为函数f（x）的最值，求出φ的值，由tanφ求出a与b的关系，然后由基本不等式求解最值即可．【解答】：解：函数f(x)=asin(x+π6)+√3bsin(x−π3)= asin(x+π6)−√3bcos(x+π6)= √a2+3b2sin(x+π6−φ)，其中tanφ=√3ba，a＞0，因为∀x∈R，|f（x）|≤|f（0）|，所以f（0）为函数f（x）的最值，则有0+π6−φ=π2+kπ，k∈Z，故φ=−π3−kπ，k∈Z，所以tanφ=tan(−π3−kπ)=tan(−π3)=−√3，故√3ba=−√3，所以b=-a，a＞0，故1a −2b = 1a+2a≥2√1a•2a = 2√2，当且仅当1a =2a，即a= √22时取等号，所以1a−2b的最小值为2√2．故答案为：2√2．【点评】：本题考查了诱导公式以及辅助角公式的应用，三角函数最值的应用以及特殊角的三角函数值的运用，基本不等式求解最值的运用，考查了逻辑推理能力、化简运算能力与转化化归能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知i为虚数单位，m∈R，复数z1=m+mi，z2=2m+2i，z=z1z2．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）若|z|≤4，求|z1-z2|的取值范围．【正确答案】：【解析】：z=z1z2=（m+mi）（2m+2i）=2m2-2m+（2m2+2m）i．（1）由2m2-2m=0且2m2+2m≠0可解决此问题；（2）|z|≤4⇔|z|2≤42可求得m范围，然后可求得|z1-z2|的取值范围．【解答】：解：z=z1z2=（m+mi）（2m+2i）=2m2-2m+（2m2+2m）i．（1）∵z是纯虚数，∴2m2-2m=0且2m2+2m≠0，解得m=1；（2）|z|≤4⇔|z|2≤42，可得（2m2-2m）2+（2m2+2m）2≤16，解得-1≤m≤1．∴|z1-z2|=|-m+（m-2）i|= √(−m)2+(m−2)2 = √2m2−4m+4 = √2(m−1)2+2，∵-1≤m≤1，∴0≤（m-1）2≤4，∴0≤2（m-1）2≤8，∴2≤2（m-1）2+2≤10，∴ √2(m −1)2+2 ∈[ √2 ， √10 ]， ∴|z 1-z 2|∈[ √2 ， √10 ]．【点评】：本题考查复数代数形式、复数的模、不等式的解法，考查数学运算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB || CD ， |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ， ∠BAD =π3，E 是BC 边的中点．（1）试用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•EC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据向量的线性运算求解；（2）把 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 都用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，进而可求出 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：（1）因为AB || CD ，且 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ，则 DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为E 是BC 边的中点，所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12(CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12(−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．（2） EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为 AD =AB−DC2cosπ3=1 ，所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = 14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−316AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2= 14×12+12⋅1⋅2⋅cos60°−316×22=−14．【点评】：本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，考查数学抽象和直观想象的核心素养，属于基础题．19.（问答题，12分）随着电子产品的盛行，近年来青少年的眼睛健康不容忽视．某地欲举行中学生“用眼卫生健康知识竞赛”活动，规定每所学校均由3名学生组成代表队参加团体赛．某校为了选拔出代表队成员，共有120名学生参加了校内选拔赛，其竞赛成绩的频率分布表如下：差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知竞赛成绩不低于90分的学生中男、女人数之比为1：2，若从竞赛成绩不低于90分的学生中随机选取3人组成代表队，求代表队中女生人数多于男生人数的概率．【正确答案】：【解析】：（1）利用频数的计算公式求a，b，由频率之和为1求b，利用平均数以及方差的计算公式求解平均数与方差即可；（2）先分别求出6人中，男生和女生的人数，然后用分类计数原理以及古典概型的概率公式求解即可．【解答】：解：（1）由题意可知，a=120×0.05=6，c=1-（0.1+0.2+0.35+0.05）=0.3，b=120×0.3=36，这120名学生的竞赛成绩平均数为55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+0.05×95=75，方差为0.1×202+0.2×102+0.35×02+0.3×102+0.05×202=110；（2）竞赛成绩不低于90分的学生共有120×0.05=6人，因为竞赛成绩不低于90分的学生中男、女人数之比为1：2，故抽取的6人中有男生2人，女生4人，则抽取3人组成代表队，女生人数大于男生人数有2种抽法，① 女生2人，男生1人，则概率为P=C42C21C63 = 35；② 女生3人，则概率为P′=C43C62 = 15．故所求概率为35+15= 45．【点评】：本题考查了频率分布表的应用，频率之和为1的应用，频率、频数、样本容量之间关系的运用，古典概型概率公式的运用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．20.（问答题，12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a−ca+b +sinBsinA+sinC=0．（1）求C；（2）设点E，F是边AB（除端点外）上的动点，且AE＜AF．若a=b=1，且∠ECF=π3，记∠ACE=θ，试用θ表示△CEF的面积S，并求S的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理将角化为边，由余弦定理的变形式求解即可得到答案；（2）利用正弦定理分别求出CE，CF，由三角形的面积公式表示出S，再利用三角恒等变换进行化简变形，然后由三角函数的性质求解最值即可．【解答】：解：（1）因为a−ca+b +sinBsinA+sinC=0，由正弦定理可得，a−ca+b +ba+c=0，化简整理可得a2+b2-c2=-ab，由余弦定理的变形式可得，cosC=a 2+b2−c22ab=−12，又0＜C＜π，故C=2π3；（2）因为a=b=1，所以△ABC为等腰三角形，则A=B=π−C2=π6，作出图象如图所示，因为∠ACE=θ，则∠AEC=π-A-∠ACE= 5π6−θ，由正弦定理可得，ACsin∠AEC =CEsinA=1sin(5π6−θ)，所以CE=12sin(5π6−θ)，因为∠FCB=C-∠ECF-∠ACE= π3−θ，则∠CFB= π2+θ，由正弦定理可得，BCsin∠CFB =CFsinB=1sin(π2+θ)，所以CF=12sin(π2+θ)，故△CEF的面积S= 12•CE•CF•sin∠ECF= √316×1cosθsin(π6+θ)= √316×112cos2θ+√32sinθcosθ，= √316×114(cos2θ+1)+√34sin2θ= √316×112sin(2θ+π6)+14= √38sin(2θ+π6)+4，所以当2θ+π6=π2，即θ=π6时，S取得最小值为√312．【点评】：本题考查了解三角形问题，主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，三角恒等变换的应用，三角形面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，已知四边形ABCD为矩形，且AB=2AD，点E为AB的中点，将△ADE沿折痕DE折成△PDE．（1）若点M为PC的中点，证明：BM || 平面PDE；（2）若二面角D-PE-C为直二面角，求直线PC与平面DEC所成的角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）取PD中点N，证明四边形MNEB为平行四边形，证出NE || BM，利用线面平行判定即可；（2）没有平面DEC的垂线，所以等体积转化，求出点P到面DEC的距离h，求解．利用线面角的正弦值为ℎPC【解答】：解：（1）如图，取PD中点为N，连接NM，NE，∵M，N分别为PC，PD的中点，∴MN || DC，MN= 1DC，2AB，∵E为AB的中点，∴EB= 12∵四边形ABCD为矩形，∴AB || CD，AB=CD，∴MN || BE，MN=BE，∴四边形MNEB为平行四边形，∴NE || BM，∵NE⊂平面PED，BM⊄平面PED，∴BM || 平面PDE．（2）如图，由二面角D-PE-C为直二面角，可知平面DPE⊥平面CPE，∵平面DPE∩平面CPE=PE，DP⊥PE，DP⊂平面DPE，∴DP⊥平面CPE，∵PC⊂平面CPE，∴DP⊥PC，∵DC=2，PD=1，∴ PC=√22−12=√3，∵PE=1，EC= √12+12=√2，∴PC2=PE2+EC2，∴PE⊥EC，∵DE= √12+12=√2，EC= √12+12=√2，DC=2，∴DC2=DE2+EC2，∴DE⊥EC，设点P到平面DEC的距离为h，由题可知，V P-DCE=V D-PCE，即13•S DEC•ℎ=13•S PEC•DP，即13×12×DE×EC×ℎ=13×12×EC×PE×DP，即13×12×√2×√2×ℎ=13×12×√2×1×1，解得ℎ=√22，∴直线PC与平面DEC所成的角的正弦值为ℎPC =√22√3= √66．【点评】：本题考查线面平行的证明和线面成角，属于中档题．22.（问答题，12分）设函数g（x）的定义域为D，若x0∈D，且g（x0）=kx0（k∈Z），则称实数x0为g（x）的“k级好点”．已知函数f（x）=ln（e x+a）．（其中常数e是自然对数的底数，e=2.71828⋅⋅⋅）（1）当a∈R时，讨论f（x）的“2级好点”个数；（2）若实数m为f（x）的“-1级好点”，证明：e2m+e−2m+m22＞(a+1)m+1．【正确答案】：【解析】：（1）利用“k级好点”的概念，将问题转化为函数零点个数问题，然后根据零点的个数确定f（x）的“2级好点”个数即可；（2）根据条件，可知e2m+e−2m+m22＞(a+1)m+1等价于证明a2+2+m22＞(a+1)m+1成立，利用分析法和放缩法证明不等式即可．【解答】：解：（1）f（x）的“2级好点”个数等价于方程“f（x）=2x”的解的个数，即讨论方程ln（e x+a）=2x的解的个数．方程ln（e x+a）=2x等价于a=e2x-e x，令t=e x，等价于讨论方程a=t2-t在（0，+∞）上的解的个数．作出函数y=t2-t，t∈（0，+∞）的图象，}∪[0，+∞)时，有1个“2级好点”；根据图象，可知当a∈{−14时，没有“2级好点”；当a＜−14当a∈(−1，0)时，有2个“2级好点”；4（2）由条件有f（m）=-m，即ln（e m+a）=-m，a=e-m-e m，所以e2m+e-2m=a2+2；＞(a+1)m+1成立，等价于证明（a-m）2+a2-2m+2＞0；故等价于证明a2+2+m22因为a2-2m+2=e2m+e-2m-2m，又由不等式e x＞x，可得a2-2m+2＞0；又（a-m）2≥0，所以（a-m）2+a2-2m+2＞0成立，故原不等式成立．【点评】：本题以新概念为背景进行命题，重点考查函数零点、分析法证明不等式，属中档题．。

上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.2.方程33log 1log (2)x x =-+的解集为_________.3.已知a R ∈，复数()(1)a i i z i-+=，若z 的虚部为1，则a =_________.4.已知cos 5cos(2),sin 32θππθθθ=-<，则sin 2θ=_________.5.若二项式21()n x x-的展开式共有6项，则此展开式中含4x 的项的系数是_________.6.若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =______.7.袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是_________.8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，若254a a +=，则8a 的值为_________.9.已知球O 的半径是1，,,A B C 三点都在球面上，若A 和B 的球面距离、A 和C 的球面距离都是4π，B 和C 的球面距离是3π，则二面角B OA C --的大小是_________.10.已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数(10)z y ax a =+-<<最大值为8，则a 的值为_________.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A ，,E F 为圆22:(1)(1)4C x y -+-=上的两动点，且EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为_________.12.已知0,0a b ≠>，若222()2f x b ax b a x b b =+-+-有两零点12,x x ，且120x x +<，则ab的取值范围上_________.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.关于“若4a b +=，则,a b 至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是（）A.原命题为真，逆命题为假B.原命题为假，逆命题为真C.原命题为真，逆命题为真D.原命题为假，逆命题为假14.设34:02x xp x-≤，22:(21)0q x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A.[]2,1- B.[]31-， C.[)(]2,00,1- D.[)(]2,10,1-- 15.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定16.已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当AB 上一点F 满足(01)AF AB λλ=<<时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为（）A.12B.23C.35D.45三、解答题（本题共5小题，满分76分）17.（7分+7分）已知关于x 得二次方程：2(2)4(2)0(,)x i x ab a b i a b R ++++-=∈.（1）当方程有实数根时，求点(,)a b 的轨迹方程；（2）求方程实数根的取值范围.18.（7分+7分）已知函数23()sin 3sin cos (,,0)2f x a x a x x a b a b a =+-+<,（1）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]5,1-，求实数,a b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心和单调区间.19.（3分+4分+7分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()P x (单位：元)与时间x （单位：天）（130,x x N *≤≤∈）的函数关系满足()10kP x x=+（k 为常数，且>0k ），日销售量()Q x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x15202530()Q x 55605550设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），且第20天的日销售收入为603元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+；②()||Q x a x m b =-+；③()xQ x ab =；④()log b Q x a x =.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()Q x ，求()f x 的最小值.20.（4分+6分+6分）如图，已知双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0a b >>），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ= .（1）求双曲线C 的方程；（2）当=1λ时，求PM PN ⋅的取值范围；（3）试用λ表示MON △的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.21.已知数列{}n a ：1，2-，2-，3，3，3，4-，4-，4-，4-，⋅⋅⋅，11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个，即当1)(122k k k k n -+<≤（）（*k ∈N ）时，1(1)k n a k -=-，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+（*n ∈N ）.（1）求2020S 的值；（2）求当(1)(1)(2)22k k k k n +++<≤（*k ∈N ），试用n 、k 的代数式表示n S （*n ∈N ）；（3）对于*t ∈N ，定义集合{|t n P n S =是n a 的整数倍，*n ∈N ，且1}n t ≤≤，求集合2020P 中元素的个数.上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.【答案】{0,1,2}【解析】:13A x -<<，{}0,1,2A Z ∴= 。

最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。

2020-2021学年重庆武隆县土坎中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.2. 已知函数f(x)的定义域为[－3，＋∞)，且f(6)＝2。

f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示．若正数a，b满足f(2a＋b)<2，则的取值范围是() A.∪(3，＋∞) B.C.∪(3，＋∞)D.参考答案：A3. 如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=7 B．k≤6C．k＜6 D．k＞6参考答案：D【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据程序，依次进行运行得到当S=35时，满足的条件，即可得到结论．【解答】解：当k=10时，S=1+10=11，k=9，当k=9时，S=11+9=20，k=8，当k=8时，S=20+8=28，k=7，当k=7时，S=28+7=35，k=6，此时不满足条件输出，∴判断框中应填入的关于k的条件是k＞6，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，依次将按照程序依次进行运行即可．4. 设a>0，b>0．(A)若，则a>b (B)若，则a<b(C)若，则a<b (D)若，则a>b参考答案：D略5. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A．1 B． C． D．2参考答案：A6. 下列命题中，真命题是（）A．?x0∈R，≤0B．?x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件参考答案：D【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2H：全称命题；2I：特称命题；2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．7. 设集合，，现有下面四个命题：p1：，；p2：若，则；p3：若，则；p4：若，则．其中所有的真命题为（）A．p1，p4 B．p1，p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p2，p4参考答案：B由题设可得，，则当时，有，所以命题正确；若时，，则，所以命题错误；若，则，所以命题正确；若时，成立.故正确答案为B.8. 函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是参考答案：D略9. 是虚数单位，复数的实部为A． B． C． D．参考答案：C略10. （2016?天津校级模拟）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；不等式．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知n为等差数列?4，?2，0，…，中的第8项，则二项式展开式中的常数项是；参考答案：答案:4512. 已知函数f （x ）是定义在R上的奇函数，且f（x+）=﹣，当x∈[﹣，0]时，f（x）=x （x+），则f（2016）= ．参考答案：【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求出f（x+5）=﹣=f（x），从而f（2016）=f（1）=﹣f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+）=﹣，∴f（x+5）=﹣=f（x），即函数的周期是5，∵x∈[﹣，0]时，f（x）=x（x+），∴f（2016）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣[﹣1×（﹣1+）]=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，则基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．13. 已知函数，则满足的的取值范围是．参考答案：14. 若实数，满足则的最大值为 ． 参考答案：15. 用符号表示超过的最小整数，如，记．（1）若，则不等式的解集为 ；（2）若，则方程的实数解为 ．参考答案：。

高三数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．设全集{1, 2, 3, 4, 5}U =，集合{1, 2}A =，{2, 3}B =，则 U A B = ð ▲ ． 2．若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．已知数列{}n a 是等差数列，若31124a a +=，43a =，则数列{}n a 的公差等于 ▲ ． 4．直线240x y -+=与两坐标轴交点为A 、B ，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ▲ ． 5．如图1，已知一个班的语文成绩的茎叶图，则优秀率（不小于85分）是 ▲ ． 6．若一个正三棱柱的三视图如图2所示，则这个正三棱柱的体积是 ▲ ．图1 图27．一只蚂蚁在边长为3的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为 ▲ ．8．已知实数a 满足3log 182a =+，则函数3ax y =()[0,1]x ∈的值域是 ▲ ． 9．已知关于某设备的使用年限与所支出的维修费用y (万元),有如下统计资料:设y 对x 具有线性相关关系,且线性回归方程为^0.08y bx =+,则回归系数b =__▲ _________ 10．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着．．．排在乙的前面值班的概率是▲ ．11．设函数()sin()1(0)6f x x πωω=+->的导函数()f x '的最大值为3，则图象()y f x =的对称轴的方程是 ▲ ．12．如图3所示的流程图，输出的结果为4，则输入的实数x 的取值范围是 ▲ ．主视图俯视图左视图5 1586 0344678897 35556798 023346679 01113．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图所标边长，由勾股定理有：.222b ac +=设想正方形换成正方体，把截线换成如图的 截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 ▲ ．14．已知函数()f x 的定义域为(2,)-+∞，部分对应值如下表，'()f x 为()f x 的导函数，函数'()y f x =的图象如图5所示，若两正数,a b 满足(2)1f a b +<，则22b a ++的取值范围是 ▲ ．图3二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、)sin ,(cos ααC ，若1-=⋅BC AC ，求αααtan 12sin sin 22++的值．如图6，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1D 在棱A 1C 1上． （1）若11A D DC =，求证：直线BC 1∥平面AB 1D ；（2）是否存在点D ，使平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1？若存在，请确定点D 的位置；若不存在，请说明理由．图617．(本小题满分14分) ，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，411=a ，且*),2(122211N n n a S S n n n ∈≥++=--.数列{}nb 满足431=b , 且*),2(31N n n n b b n n ∈≥=--.(1)求证：数列{}n a 为等差数列； (2)求证：数列{}n n a b -为等比数列； (3)求数列}{n b 的通项公式以及前n 项和n T .C 1B 1DA 1CBA某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与()a x -和2x 的乘积成正比；②当2ax =时，3y a =，且技术改造投入比率：(0,]2()xt a x ∈-，其中t 为常数，且(0,2]t ∈．（1）求()y f x =的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值．19．（本小题满分16分，第一小问满分3分，第二小问满分6分，第三小问满分7分）在图7所示的平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，平面上任一点P 关于该斜坐标系的坐标00(,)x y 是这样定义的：过P 作两坐标轴的平行线分别交坐标轴Ox 于A 、Oy 于B ，则A 在Ox 轴上表示的数为0x ，B 在Oy 轴上表示的数为0y ．（1）若点P 在斜坐标系xOy 中的坐标为(2,3)-，求P 到O 的距离； （2）求以O 为圆心、1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程，并求直线12x =截该圆所得的弦长；（3）在斜坐标系xOy 中，直线 (01)x t t =<<交（2）中的圆于M 、N 两点，问：当t 为何值时，△MON 的面积取得最大值？并求此最大值．图720．（本小题满分16分，第一小问满分5分，第二小问满分3分，第三小问满分8分）设函数()f x 的定义域为R ，若()f x x ≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为Ω函数．（1）试判断函数1()sin f x x x =、()2e e 1x x f x -=+和()2321x f x x =+中哪些是Ω函数，并说明理由；（2）若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1、x 2，均有()()1212f x f x x x --≤，求证：函数()f x 一定是Ω函数；（3） 求证：若1a >，则函数2()ln()ln f x x a a =+-是Ω函数.参考答案1．{1} 2．6- 3．3 4． 22(2)(1)5x y ++-=（或22420x y x y ++-=） 5．20％ 6． 7．19π-8．[1,2] 9．1.23 10．1311．39k x ππ=+()k Z ∈12． 9[,3)413．24232221S S S S =++14． 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭图5图3二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．15． 解：由1-=⋅，得1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα………3分32cos sin =+∴αα…………………………………………………………………5分 95cos sin 2-=⋅∴αα ……………………………………………………………7分又αααtan 12sin sin 22++==++αααααcos sin 1cos sin 2sin 2295cos sin 2-=⋅αα 。

2020-2021学年辽宁省辽阳市综合高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 是等差数列的前n项和，当首项和公差d变化时，是一个定值，则下列各数中为定值的是（）A. B.C. D.参考答案：A2. 设，，，则的大小关系是（A）（B）（C）（D）参考答案：C3. 已知集合=（）。

A． B．C．D．参考答案：D4. 已知，，则A. B. C. D.参考答案：D【分析】先根据诱导公式化解，再根据同角三角函数关系求结果.【详解】由，得，又由，得，所以. 故选D.【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基本题.5. 在等比数列中，，，则公比为（）A．2 B．3 C．4 D．8参考答案：答案：B6. 下列命题正确的是( )A．已知p：＞0，则﹣p：≤0B．存在实数x∈R，使sinx+cosx=成立C．命题p：对任意的x∈R，x2+x+1＞0，则﹣p：对任意的x∈R，x2+x+1≤0D．若p或q为假命题，则p，q均为假命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】由于原命题中X=﹣1时，不等式无意义，故否定中应包含x=﹣1，进而判断A的真假；根据三角函数的值域，分析出sinx+cosx的取值范围，进而判断B的真假；根据全称命题的否定一定是一个特称命题，可判断C的真假；根据复合命题真假判断的真值表，可以判断D的真假．【解答】解：已知p：＞0，则﹣p：≤0或x=﹣1，故A错误；sinx+cosx∈，故存在实数x∈R，使sinx+cosx=成立错误；命题p：对任意的x∈R，x2+x+1＞0，则﹣p：存在x∈R，x2+x+1≤0，故C错误；根据p或q一真为真，同假为假的原则，可得若p或q为假命题，则p，q均为假命题，故D正确故选D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断，熟练掌握命题的否定，三角函数的值域，复合命题真假判断真值表等基本知识点是解答的关键．7. 已知数列为递增等比数列，其前项和为．若，，则A． B． C． D．参考答案：C8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作准线的垂线，垂足分别为，两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为（）A． B．C． D．参考答案：B考点：直线与抛物线的性质.【思路点睛】首先根据抛物线的性质，可以证明以线段为直径的圆过点，又根据抛物线的性质可知直线与圆相切，且切点为焦点,设的中点为，设直线的方程，所以，又以线段为直径的圆过点，设，则的中点为，所以，所以，得，所以圆心，所以半径为，再根据选项即可求出结果.9. 已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为( )A. B. C. D.参考答案：B略10. 已知和，若，则||=（）A．5 B．8 C．D．64参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得x+2﹣2x=0，解方程可得x，即可求出||．【解答】解：∵和，，∴x+2﹣2x=0，解得x=2，∴||=|（5，0）|=5．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知平面向量满足，则的取值范围为_________.参考答案：[5,11]【分析】根据平面向量减法的模的几何意义画出图像，判断出的轨迹，由此求得的取值范围.【详解】设，依题意，设是线段的中点，则，即，所以，故，即，由于，所以在以为圆心，半径为1的圆上，所以，即.故答案为：[5,11].【点睛】本小题主要考查向量减法的模的几何意义，考查向量数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 12. 直线 的任意点,圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0上的任意点为,线段的长度最小值等于________．参考答案：13. 已知函数y =x +(x ＞2)的最小值为6，则正数m的值为 ．参考答案：【分析】由x ＞2，可得y=x ﹣2++2≥+2=2+2，再利用函数的最小值为6，可得2+2=6，解得m ．【解答】解：∵x ＞2，∴y=x ﹣2++2≥+2=2+2，又函数的最小值为6，∴2+2=6，解得m=4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14. 已知向量，的夹角为，，，则．参考答案：215. 已知函数,且，则通项公式为 ．参考答案：略16. △ABC 的顶点A （﹣5，0），B （5，0），△ABC 的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C 的轨迹方程是 ．参考答案：﹣=1（x ＞3）【考点】轨迹方程．【分析】根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．【解答】解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G，则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故答案为：﹣=1（x＞3）．17. 数列的通项公式，其前项和为，则．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。