学生老师 函数中高考常见结论(精华版)

高中数学函数常用结论在高中数学学习中，函数是一个非常重要的概念，它在数学中具有非常广泛的应用。

随着高中数学课程的深入，我们需要掌握一些常用结论，以便更好地理解和应用函数。

接下来，我将介绍一些高中数学函数常用结论，希望能够帮助大家更好地学习和掌握这一部分内容。

一、函数的基本性质1. 函数的定义域和值域对于函数$f(x)$，其中$x$的取值范围称为函数的定义域，而对应的函数值称为函数的值域。

在研究函数时，我们需要明确函数的定义域和值域，以便更好地理解函数的性质。

2. 函数的奇偶性如果对于任意$x \in D$，有$f(-x) = f(x)$，则函数为偶函数；如果对于任意$x \in D$，有$f(-x) = -f(x)$，则函数为奇函数。

通过函数的奇偶性，我们可以简化函数的研究和计算。

3. 函数的周期性如果存在正数$T$，使得对于任意$x \in D$，有$f(x+T) = f(x)$，则称函数$f(x)$为周期函数，而最小的正数$T$称为函数的周期。

函数的周期性在数学和物理等领域有着广泛的应用。

二、常见函数的图像和性质1. 一次函数$y = kx + b$一次函数的图像为一条直线，斜率$k$决定了直线的倾斜程度，而截距$b$决定了直线与$y$轴的交点。

一次函数是最简单的函数之一，常常用来描述直线运动和线性关系。

2. 二次函数$y = ax^2 + bx + c$二次函数的图像为一个抛物线，在平面几何中有着重要的应用。

二次函数的系数$a$决定了抛物线的开口方向，而系数$b$和$c$则决定了抛物线的位置和形状。

3. 指数函数$y = a^x$指数函数的图像呈现出指数增长或指数衰减的特点，是一种常见的增长模式。

指数函数在经济学、生物学等领域有着重要的应用，能够描述一些复杂的增长规律。

4. 对数函数$y = \log_a x$对数函数是指数函数的逆运算，能够解决指数方程和指数函数的性质。

对数函数在科学计算、信息论等领域有着广泛的应用，是一种十分重要的函数类型。

高中数学二级结论1、任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。

①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 13、①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是||22222A a -B b =C14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离心率。

函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。

定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。

3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。

新课标高考数学常考高频核心考点重要结论汇总（word版）一、三角函数部分1、同角三角函数的基本关系：sin2α+cos2α=1、sinαcosα=tanα、 tanα∙cotα=12、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ3、降幂公式：sinxcosx=12sin2x; sin2x=12(1−cos2x); cos2x=12(1+cos2x)4、asinωx+bcosωx=√a2+b2sin(ωx+φ) (辅助角φ由(a，b)所在象限决定tanφ=ba)5、二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan2α=2tanα1−tan2α6、正弦定理：asinA =bsinB=csinC=2R (R是△ABC外接圆的半径)7、余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA; b²=a²+c²-2accosB; c²=b²+a²-2bacosC.8、三角形面积公式：① S =12a ℎa =12b ℎb =12c ℎc② S =12bcsinA =12acsinB =12absinC ③S =abc 4R (R 为△ABC 外接圆半径)④ S =12(a +b +c )r (r 为△ABC 内切圆半径)⑤海伦-秦九韶公式： S =√p (p −a )(p −b )(p −c ) (其中 p =12(a +b +c )) ⑥坐标表示： AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x₁,,y₁) ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x₂,,y₂), 则 S =12|x 1y 2−x 2y 1|9、常用名称和术语：坡角、仰角、俯角、方位角、方向角二、数列10、a n 与s n 的关系：a n ={S 1 (n =1)S n −S n−1(n ≥2)11、等差数列:①定义:a n −a n−1=d (n ∈N ₊, n ≥2) 或 a n+1−a n =d (n ∈N ₊) ②等差数列的通项公式及其变形：a n =a 1+(n −1)d =dn +a 1−d (n ∈N ₊); a n =a m +(n −m )d (m ,,n ∈N ₊) d =a n −a m n−m(n ≠m,, m 、n ∈N +)③等差数列的前n 项和s n ; S n =n (a 1+a n )2=na; S n =na 1+n (n−1)2d12、等比数列: ①定义: a nan+1=q (q ≠0, n ∈N +,n ≥2) 或a n+1a n=q (q ≠0, n ∈N +)②等比数列的通项公式及其变形：a n =a 1q n−1=(a 1q)q n (q ≠0, n ∈N +)a n=a mq n−m (q ≠0, m , ,n ∈N ₊)a m+n =a m q ⁿ=a n qᵐ (q ≠0, m , ,n ∈N ₊)S m+n =S m +S n qᵐ=S n +S m q ⁿ③等比数列的前n 项和S nS n ={na 1 (q =1)a 1(1−q n )1−q =a 1−a n q 1−q(q ≠1)13、求数列的通项公式a n 的方法 ①公式法:若数列a n 是等差数列：找a 1和d ，再利用公式a n =a 1+(n −1)d (n ∈N ₊) 若数列a n 是等差数列：找a 1和q ，再利用公式 a n =a 1q ⁿ⁻¹ (n ∈N ₊). ②知S n 求a n 法：利用a n ={S 1 (n =1)S n −S n−1 (n ≥2);③叠加法：形如：a n =a n−1+f (n ) (n ∈N ₊,n ≥2) 或 a n+1=a n +g (n ) (n ∈N ₊); ④构造法：形如: a n =ka n−1+b (k 、b 均为常数,且k ≠1,b ≠0,n ∈N ₊,n ≥2); 构造一：设 (a n +λ)=k (a n−1+λ)⇒{a n +λ} 是等比数列构造二：由 a n =ka n−1+b ⇒a n+1=ka n +b, 相减整理得： an+1−a na n−a n−1=k ⇒{a n −a n−1}是等比数列⑤广义叠加法：形如：a n =ka n−1+f (n ) (k 为常数，且 k ≠1,n ∈N₊,n ≥2) 或 a n+1=ka n +g (n ) (k 为常数，且k ≠1,n ∈N₊)构造一：a n =ka n−1+f (n )⇒a n k n =a n−1k n−1+f (n )k n , 令b n =an k n ,转化成b n =b n−1+g (n )再叠加；构造二：a n+1=ka n +g (n )⇒a n+1k n+1=an k n +g (n )k n+1,令 b n+1=an+1k n+1,转化成b n+1=b n +ℎ(n )再叠加；⑥叠乘法：形如: a na n−1=f (n )(n ∈N +,n ≥2) 或a n+1a n=g (n )(n ∈N +);⑦对数变换法：形如:a n =ba n−1k (b >0,a n >0,n ∈N +,n ≥2)或a n+1=ba n k(b >0,a >0,n ∈N₊,n ≥2); 构造一： a n =ba n−1k ⇒lga n =klga n−1+lgb, 令 b n =lga n , 化成 b n =kb n−1+m 再用构造法即可构造二：a n+1=ba n k ⇒lga n+1=klga n +lgb, 令b n+1=lga n+1,化成b n+1=kb n +m 再用构造法即可注意：底数不一定要取10，可根据题意选择。

高考函数五大知识点归纳总结函数是高中数学中的重要内容，它不仅在高考中占有重要地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。

以下是高考中函数的五大知识点归纳总结：1. 函数的定义和表示函数是数学中描述变量之间关系的基本概念。

一个函数通常表示为\(y = f(x)\)，其中\(x\)是自变量，\(y\)是因变量。

函数可以用解析式、图象、表格等形式表示。

理解函数的定义域和值域是解决函数问题的基础。

2. 函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和对称性等。

单调性描述了函数值随自变量变化的趋势；奇偶性描述了函数图象关于原点或y轴的对称性；周期性描述了函数值的重复性；对称性则描述了函数图象关于某条直线的对称性。

掌握这些性质有助于快速判断函数的行为。

3. 函数的运算函数的运算包括函数的加法、减法、乘法、除法和复合函数。

复合函数是指一个函数的输出作为另一个函数的输入。

这些运算是解决复杂函数问题的重要工具。

4. 函数的图象变换函数的图象变换包括平移、伸缩、对称和旋转等。

通过图象变换，可以将一个函数的图象转换成另一个函数的图象。

掌握图象变换的规律，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

5. 函数的实际应用函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在物理学中的运动学问题、经济学中的成本和收益问题、生物学中的种群增长问题等。

通过将实际问题转化为函数问题，我们可以利用函数的性质和方法来解决这些问题。

总之，函数是高中数学的核心内容之一。

掌握函数的定义、性质、运算、图象变换和实际应用，对于提高数学素养和解决实际问题都具有重要意义。

在高考中，函数题目通常涉及多个知识点的综合运用，因此，系统地学习和理解这些知识点对于取得好成绩至关重要。

第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）1．函数的概念定义一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素对应关系y ＝f (x )，x ∈A定义域自变量x 的取值范围值域与x 的值相对应的y 的函数值的集合{f (x )|x ∈A }思考1：(1)有人认为“y ＝f (x )”表示的是“y 等于f 与x 的乘积”，这种看法对吗？(2)f (x )与f (a )有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示定义R{x |x ≥a }{x |x ＞a }{x |x ≤a }{x |x ＜a }符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x 0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 是函数y ＝f (x )的最大值M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标思考：若函数f (x )≤M ，则M 一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I结论f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x )图象特点关于y 轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．8．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图所示：10．幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x ∈[0，＋∞)时，增函数x ∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x ∈(0，＋∞)时，减函数x ∈(－∞，0)时，减函数11.常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝f1(x)，x∈D1f2(x)，x∈D2……fn(x)，x∈D n<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]3.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.典例2：设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x))的形式时，应从内到外依次求值．6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0，解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．3－x≥0，x－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x x＋1≠0，1－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．已知函数f(x x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2<x<2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，f f －52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f －52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f f －52－32＝－32＋2×－32＝94－3＝－34.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．[思路点拨]设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明]设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1x 2＋1x 2＝(x 1－x 21x 1－1x 2x 1－x 2)＋x 2－x1x 1x 2＝(x 1－x 2)1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨](1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→求x 的范围(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解](1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f(4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y －x2＋32x－100，0<x≤20，160－x，x>20(x∈N*)．(2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f (1)<f 52<72B．f 72<f (1)<52C．f 72<f 52f (1)D．f 52<f (1)<72[思路点拨]y ＝f (x ＋2)是偶函数―→f (x )的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴52f 32f 72＝12，又f (x )在[0,2]上单调递增，∴f 12<f (1)<3272f (1)<5213.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f 12(1)B (2)13[(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴12＝12log 23＝13.]14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断.典例12：点(2，2)与点－2，－12f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。

函数知识点常见结论总结1. 函数的定义函数是一段被命名的代码块，它可以接受输入参数，并且可以返回一个结果。

函数通常用来实现某个功能，比如计算一个数的平方，打印一段文字，等等。

2. 函数的参数函数可以有零个或多个参数，参数是函数接受的输入值。

在定义函数的时候，我们可以指定函数需要接受的参数的类型和个数。

在调用函数的时候，我们需要传递参数给函数。

3. 函数的返回值函数可以返回一个结果，我们可以在函数的定义中使用return语句来返回结果。

返回值可以是任意类型的数据，比如整数、浮点数、字符串等等。

4. 函数的调用在程序中，我们可以通过函数名来调用函数，比如：func_name(parameter1, parameter2, ...)。

当函数被调用的时候，程序会跳转到函数的定义处执行函数体。

5. 函数的作用域函数内部的变量只在函数内部可见，这就是函数的作用域。

当函数执行结束后，函数内部的变量将被销毁，这样可以避免变量名冲突。

6. 递归函数递归函数是一种特殊的函数，它可以调用自身。

使用递归函数可以解决一些数学问题，比如阶乘、斐波那契数列等等。

7. 匿名函数在Python中，我们可以使用lambda关键字来定义匿名函数，这种函数通常用于一些简单的计算。

8. 高阶函数高阶函数是指能够接受函数作为参数，或者能够返回函数的函数。

在Python中，map、filter和reduce函数就是常见的高阶函数。

9. 闭包闭包是指一个函数和它的环境变量的组合。

通过闭包，我们可以访问到函数外部的变量，并且可以在函数内部修改这些变量的值。

10. 装饰器装饰器是Python中非常强大的特性，它可以用来在不修改原函数的情况下为函数添加额外的功能。

11. 函数式编程函数式编程是一种编程范式，它强调函数的纯函数特性、高阶函数、不可变性等。

在Python中，我们可以使用一些函数式编程的工具，比如map、filter和reduce函数。

12. 错误处理在函数中，我们需要注意处理可能出现的错误。

2017-2018年高考数学考点总结，高考数学函数必考性质总结。

函数是高考数学中的难点和重点，在高考临近之际，应该如何应对呢？三好网高中数学辅导老师将函数必考性质总结如下。

高考数学考点总结一次函数一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和y2=kx2+b（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

高三数学常用结论总结1、常用抽象函数()f x 的“原型”（函数）（1）、()()()f x y f x f y +=+——y kx =（2）、()()()f xy f xf y +=——y =xa （a ＞0且a ≠1） （3）、()()()f x y f x f y =+——log a y x = （4）、()()()f xy f x f y =——n y x =(n 为常数）2、奇偶性与对称性结论（1）奇函数在对称区间同增同减，偶函数在对称区间增减性相反；（2） 若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x f x =-=；若函数()f x 是奇函数，且()f x 在0x =处有定义，则(0)0f =。

（3）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点 对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． （4）对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. （5）若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;（6）若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.（7）、点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为((),)y a x a ±-±+；曲线(,)0f x y =关于直线y x a=±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=。

3、几个等价关系：方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =()x D ∈的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =()x D ∈有零点4．（1）若a b > ab>0，则11ab<。

函数的周期性结论大全（高考）定义：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．结论一、||2a T =或||4a 型1．若)()(a x f a x f -=+，则||2a T =．即每经过||2a ，函数值就重复出现一次． 例1 若)(x f 是定义在R 上的奇函数且)2()2(-=+x f x f ，且2)1(=f ，则=+)7()6(f f ． 解：由)2()2(-=+x f x f 得)(x f 是周期函数，周期4=T ，所以)3()2()7()6(f f f f +=+． 又因为)2()2()42()2(f f f f -==+-=-，所以0)2(=f ；2)1()1()43()3(-=-=-=-=f f f f ，所以2)7()6(-=+f f ．2．若)()(x f a x f -=+，则||2a T =；一般地，若C x f a x f =++)()(（C 为常数），则||2a T =．若)()(a x f a x f --=+，则||4a T =；一般地，若C a x f a x f =-++)()(（C 为常数），则||4a T =． 证明：由C x f a x f =++)()(可得C x f a x f +-=+)()(，则-=++-=+C C a x f a x f )()2()(])([x f C x f =+-，所以||2a T =．令t a x =-，可得t a x +=，代入)()(a x f a x f --=+得)()2(t f a t f -=+，所以)()2()4(t f a t f a t f =+-=+，所以||4a T =．例2 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，满足)1()1(--=+x f x f ，若1)1(>-f ，42)5(2--=a a f ，则实数a 的取值范围是（） A ．)3,1(- B ．),3()1,(+∞--∞C ．)1,3(-D ．),1()3,(+∞--∞ 解：由)1()1(--=+x f x f 得)(x f 的周期4=T ，1)1()1()5(-<--==f f f ，所以1422-<--a a ，解得31<<-a ．选A ．例3 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足0)()8(=++x f x f ，且5)5(=f ，则=+)2024()2019(f f ．解：由0)()8(=++x f x f 得)()8(x f x f -=+，所以)(x f 的周期16=T ，所以5)0()5()8()3()2024()2019(=---=+=+f f f f f f ．3．若)(1)(x f a x f ±=+，则||2a T =；一般地，若C x f a x f =∙+)()(（C 为常数），则||2a T =．证明：由C x f a x f =∙+)()(，可得)()(x f C a x f =+，则)()()()2(x f x f C C a x f C a x f ==+=+．4．若)(1)(1)(x f x f a x f +-=+，则||2a T =；若)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，则||4a T =． 证明：因为)()(1)(11)(1)(11)(1)(1)2(x f x f x f x f x f a x f a x f a x f =+-++--=+++--=+，所以||2a T =． 因为)(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1)2(x f x f x f x f x f a x f a x f a x f -=-+--++=+-++-=+，由3可知||4a T =． 例4 对任意整数x ，函数)(x f 满足)(1)(1)1(x f x f x f -+=+，若2)1(=f ，则=+)2023()2022(f f ． 解：由1()(1)1()f x f x f x ++=-得)(x f 的周期4=T ，所以213131)2023(,3)2()2022(-=+-=-==f f f ，所以27213)2023()2022(-=--=+f f ． 例5 若函数)(x f 对于任意的x R ∈，都有)(1)(1)1(x f x f x f +-=+，当10≤<x 时，x x f 3)(=，则=)5.101(f ．解：由)(1)(1)1(x f x f x f +-=+得)(x f 的周期2=T ，所以==)5.1()5.101(f f 51)5.0(1)5.0(1-=+-f f ． 结论二、||b a T +=型5．若)()(b x f a x f -=+，则||b a T +=．每经过||b a +，函数值就重复出现一次．例6 （多选题）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()3(-=+x f x f ，若当]2,0[∈x 时，12)(-=x x f ，则下列结论正确的是（ ）A ． 当]0,2[-∈x 时，12)(-=-x x fB ． 1)2019(=fC ．)(x f 的图象关于点(2,0)对称D ． 函数x x f x g 2log )()(-=有3个零点 解：A 正确；由)1()3(-=+x f x f 得)(x f 的周期4)1(3=--=T ，1)1()1()2019(==-=f f f ，所以B 正确；因为312)(2=-=x f ，所以)(x f 的图象不关于点(2,0)对称，所以C 错误；画出图象可知D 正确．选ABD ．结论三、周期性与对称性综合型6．若函数)(x f y =的图象关于直线a x =，b x =都对称，即)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则||2a b T -=． 证明：由)()(x a f x a f -=+得)2()(x a f x f -=，由)()(x b f x b f -=+得)2()(x b f x f -=．所以)2(x a f -)2(x b f -=，用x a -2代换其中的x 可得)22()(x a b f x f +-=，所以||2a b T -=． 例7 在R 上定义的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=．若)(x f 在区间[1,2]上是减函数，则)(x f（）A ．在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B ．在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间上是减函数，在区间上是增函数D ．在区间上是减函数，在区间上是增函数解：由)2()(x f x f -=可得)(x f 图象关于直线1=x 对称，又因为)(x f 是偶函数，所以)(x f 的周期2)01(2=-=T ，画出)(x f 的图象草图如图，观察图形，可知选B ．7．若函数)(x f y =的图象关于点),(),,(c b c a 都对称，即)(2)(x a f c x a f --=+且)(2)(x b f c x b f --=+，则||2a b T -=．证明：由)(2)(x a f c x a f --=+得)2(2)(x a f c x f --=，由)(2)(x b f c x b f --=+得)2(2)(x b f c x f --=．所以)2(x a f -)2(x b f -=，用x a -2代换其中的x 可得)22()(x a b f x f +-=，所以||2a b T -=． 例8 （多选题）已知函数)(x f 满足0)1()1(=-++x f x f ，且)1(-x f 是奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．)(x f 是奇函数B ．)(x f 是周期函数C ．0)1(=fD ．)1(+x f 是奇函数 解：由0)1()1(=-++x f x f 可得)1()1(x f x f --=+，所以)(x f 图象关于点)0,1(对称，由)1(-x f 是奇函数可知)(x f 图象关于点)0,1(-对称，所以)(x f 的周期4)]1(1[2=--=T ，所以BCD 正确，A 错误．8．若函数)(x f y =的图象关于点),(c a ，b x =都对称，即)(2)(x a f c x a f --=+且)()(x b f x b f -=+，则||4a b T -=．证明：由)(2)(x a f c x a f --=+得)2(2)(x a f c x f --=，由)()(x b f x b f -=+得)2()(x b f x f -=． 所以)2(2x a f c --)2(x b f -=*，令t x a =-2，则t a x -=2，代入*式得)(2t f c -)22(t a b f +-=，所以-=+--=+-+-=+-c t a b f c t a b a b f t a b f 2)22(2))22(22()44()()(2t f t f c =+，所以||4a b T -=．例9 （多选题）已知)(x f 是R 上的奇函数，)2(+x f 是R 上的偶函数，且当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2+=，则（） A ．3)5(=-f B ．3)3(=-f C ．0)2020(=f D ．3)2021(-=f解：由)2(+x f 是R 上的偶函数可得)(x f 图象关于直线2=x 对称，所以)(x f 的周期8)02(4=-=T ，所以3)1()3()5(===-f f f ，所以 A 正确；3)1()1()5()3(-=-=-==-f f f f ，所以错误；0)0()4()2020(===f f f ，所以C 正确；3)5()2021(-==f f ，所以D 正确．选ACD ．[2,1]--[3,4][2,1]--[3,4]例10 （2021年全国新高考Ⅰ卷）设函数)(x f 的定义域为R ，)1(+x f 为奇函数，)2(+x f 为偶函数，当]2,1[∈x 时，b ax x f +=2)(．若6)3()0(=+f f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛29f （ ） A ．49- B ．23- C ．47 D ．25 解：由)1(+x f 为奇函数可得)(x f 的图象关于点)0,1(对称，)2(+x f 为偶函数可得)(x f 的图象关于直线2=x 对称，所以)(x f 的周期4)12(4=-=T ．由634)1()2()3()0(=-=++---=+-=+a b a b a f f f f ，解得2-=a ，又由0)1(=+=b a f 得2=b ，所以22)(2+-=x x f ． 所以25232223211221292=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f ．选D ． 9．周期为T 的奇函数一定关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2T 对称，周期为T 的偶函数关于直线2T x =对称． 小结：函数周期等于对称轴之间距离的2倍，等于对称中心之间距离的2倍，等于对称轴与对称中心 之间距离的4倍．可联想x x f sin )(=理解记忆．定义在R 上的函数)(x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在．例11 （多选题）已知)(x f 是定义域为R 的函数，满足)3()1(-=+x f x f ，)3()1(x f x f -=+，当20≤≤x 时，x x x f -=2)(，则下列说法正确的是（） A ．函数)(x f 的周期为4B ．函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称C ．当40≤≤x 时，)(x f 的最大值为2D ．当68x ≤≤时，)(x f 的最小值为21- 解：由)3()1(-=+x f x f 可得)(x f 的周期4)3(1=--=T ，所以A 正确；由)3()1(x f x f -=+可得)(x f 的图象关于2231=+=x 对称，所以B 正确；画出草图，可知当40≤≤x 时，)(x f 的最大值为222)(2=-=x f ；当68x ≤≤时，)(x f 的最小值等于4121215-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ．选ABC ． 10．若)()()2(x f a x f a x f -+=+，则||6a T =证明：因为)()()2(x f a x f a x f -+=+①，所以)()2()3(a x f a x f a x f +-+=+②，把①代入②得)()()()()3(x f x f a x f a x f a x f -=-+-+=+，所以)()3(x f a x f -=+，由2可知||6a T =．例12 （2022年新高考Ⅱ卷）若函数)(x f 的定义域为R ，且)()()()(y f x f y x f y x f =-++，1)1(=f ，则∑==221)(i k f （ ） A ．3- B ．2-C ．0D ．1 解：因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．选A ．。