古典概型(6)[下学期]--北师大版

2．1 古典概型的概率计算公式必备知识基础练知识点一 古典概型的判断 1．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环； ③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________． 知识点二 古典概型样本空间的确定2．有两个质地均匀的正四面体(四个面为全等的正三角形)的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y 表示第2个正四面体玩具朝下的点数．求：(1)这个试验的样本空间； (2)事件“朝下点数之和大于3”； (3)事件“朝下点数相等”；(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．知识点三 古典概型的计算及简单应用3．若甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为( ) A ．13 B ．23264．袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求基本事件的个数，并计算下列事件的概率．(1)三次抽取的颜色各不相同； (2)三次抽取的颜色不全相同； (3)三次取出的球无红色．关键能力综合练1．下列试验中是古典概型的是( )A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C ．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的D ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 2．下列概率模型中，是古典概型的个数为( ) ①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率； ②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率； ③某篮球运动员投篮一次命中的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．现有三张卡片，正面分别标有数字1，2，3，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是( )A ．13B ．12364．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A ．310B ．15C ．110D ．1205．将数据1，3，5，7，9 这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为( )A ．15B ．310C ．25D ．126．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为 ________．7．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是________．8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．9．(易错题)任意掷两枚骰子，计算出现点数之和为偶数的概率．核心素养升级练1．(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )A ．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B ．每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16C ．每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D ．每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为162．(学科素养—数据分析)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：(2)求这5天的平均发芽率；(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m ，后面一天发芽的种子数为n ，用(m ，n )的形式列出所有样本点，并求满足“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30 ”的概率．§2 古典概型2．1 古典概型的概率计算公式必备知识基础练1．答案：③解析：①不属于古典概型，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于古典概型，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于古典概型，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于古典概型，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于古典概型，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．2．解析：(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)设事件“朝下点数之和大于3”为事件A ，则A ＝{(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(3)设事件“朝下点数相等”为事件B ，则B ＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}． (4)设事件“朝下点数之差的绝对值小于2”为事件C ，则C ＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}．3．答案：B解析：甲，乙，丙三名学生随机站成一排，共有6个样本点：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的样本点有4个，故所求的概率为P ＝46 ＝23.4．解析：则基本事件的个数n ＝27.(1)记事件A 为“三次抽取的颜色各不相同”，则A 包含的基本事件数为6，所以P (A )＝627 ＝29. (2)记事件B 为“三次抽取的颜色不全相同”，则B 包含的基本事件数为27－3＝24，所以P (B )＝2427 ＝89.(3)记事件C 为“三次取出的球无红色”，则C 包含的基本事件数为8，所以P (C )＝827.关键能力综合练1．答案：B解析：对于A ，发芽与不发芽概率不同；对于B ，任取一球的概率相同，均为14 ；对于C ，基本事件有无限个；对于D ，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等．因而选B.2．答案：A解析：古典概型的概率特点是样本空间的样本点数是有限个，并且每个样本点发生的概率是等可能的，故②是古典概型，④由于硬币质地不均匀，故不是古典概型．故选A.3．答案：C解析：将1，2，3三个数字排序，则偶数2可能排在任意一个位置，其中2排在第一位或第三位为甲获胜，2排在第二位为乙获胜，故甲获胜的概率为23.4．答案：C解析：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，共10个样本点，其中这3个数能构成一组勾股数的只有{3，4，5}，∴所求概率为110，选C. 5．答案：C解析：从5个数中随机删去两个数有(1，3)，(1，5)，(1，7)，(1，9)，(3，5)，(3，7)，(3，9)，(5，7)，(5，9)，(7，9) 共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1，3)，(1，5)，(1，7)，(3，5)共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为P ＝410 ＝25 ，故选C.6．答案：13解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以能获得食物的概率为26 ＝13 .7．答案：15解析：抽取的a ，b 组合有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)共15个样本点，其中(1，2)，(1，3)，(2，3)共3个样本点满足b ＞a ，故所求概率为315 ＝15.8．答案：15解析：一次取出2根竹竿，则试验的样本空间的样本点共有(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)10个，它们的长度恰好相差0.3 m 的样本点有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)2个，故所求概率为P ＝210 ＝15.9．易错分析：本题容易误认为点数之和为奇数有5种情况，为偶数有6种情况，所以点数之和为偶数的概率为611.事实上11种情况并非等可能的，不属于古典概型．解析：如图，可知样本空间的样本点共有36个，事件A 表示“点数之和为偶数”，A 包含18个样本点，故P (A )＝1836 ＝12.核心素养升级练1．答案：ACD解析：记4件产品分别为1，2，3，a ，其中a 表示次品．在A 中，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，3)，(2，a )，(3，a )}，“恰有一件次品”的样本点为(1，a )，(2，a )，(3，a )，因此其概率P ＝36 ＝12 ，A 正确；在B 中，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，1)，(2，3)，(2，a )，(3，1)，(3，2)，(3，a )，(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)}，因此n (Ω)＝12，B 错误；在C 中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为12 ，C 正确；在D 中，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a )，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a )，(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)，(a ，a )}，因此n (Ω)＝16，D 正确．故选ACD.2．解析：(1)因为16<23<25<26<30，所以这5天发芽数的中位数是25. (2)这5天的平均发芽率为23＋25＋30＋26＋16100＋100＋100＋100＋100×100%＝24%.(3)用(x ，y )表示所求样本点，则有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个样本点．记“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30 ”为事件A ，则事件A 包含的样本点为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共有3个样本点．所以P (A )＝310 ，即事件“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30”的概率为310 .。

第二节古典概型错误!古典概型（１）特点：１试验中所有可能出现的结果个数只有有限个，即有限性．２每个结果发生的可能性相等，即等可能性．（２）概率公式：P（A）＝错误!＝错误!.１．在计算古典概型中试验的所有可能结果数和事件发生结果数时，易忽视他们是否是等可能的．２．概率的一般加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）—P（A∩B）中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），此时P（A∩B）＝0．[试一试]１．从３台甲型彩电和２台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B P＝错误!＝错误!.２．从１,２,３,４,５,6六个数中任取３个数，则取出的３个数是连续自然数的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 取出的三个数是连续自然数有４种情况，则取出的三个数是连续自然数的概率P＝错误!＝错误!.古典概型中试验发生结果个数的探求方法（１）枚举法：适合给定的试验结果个数较少且易一一列举出的．（２）树状图法：适合于较为复杂的问题的试验结果数的探求，注意在确定结果数时（x，y）可以看成是有序的，如（１,２）与（２,１）不同．有时也可以看成是无序的，如（１,２）（２,１）相同．[练一练]从集合A＝{２,３，—４}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{—２，—３,４}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第二象限的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 依题意k和b的所有可能的取法一共有３×３＝9种，其中当直线y＝kx＋b不经过第二象限时应有k＞0，b＜0，一共有２×２＝４种，所以所求概率为错误!.错误!考点一古典概型１．一袋中装有大小相同，编号分别为１,２,３,４,５,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取２次，则取得两个球的编号和不小于１５的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 试验所有结果为（１,１），（１,２），…，（１,8），（２,１），（２,２），…，（8,8），共6４种．两球编号之和不小于１５的情况有三种，分别为（7,8），（8,7），（8,8），∴所求概率为错误!.２．（２0１３·温州调研）一个袋子中有５个大小相同的球，其中有３个黑球与２个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 共有（黑１，黑２）、（黑１，黑３）、（黑１，红１）、（黑１，红２）、（黑２，黑３）、（黑２，红１）、（黑２，红２）、（黑３，红１）、（黑３，红２）、（红１，红２）１0个结果，同色球为（黑１，黑２）、（黑１，黑３）、（黑２，黑３）、（红１，红２）共４个结果，∴P＝错误!＝错误!.３．（２0１３·深圳第一次调研）一个袋中有４个大小相同的小球，其中红球１个，白球２个，黑球１个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．（１）求连续取两次都是白球的概率；（２）假设取一个红球记２分，取一个白球记１分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为４分的概率是多少？解：（１）连续取两次的结果有：（红，红），（红，白１），（红，白２），（红，黑）；（白１，红），（白１，白１），（白１，白２），（白１，黑）；（白２，红），（白２，白１），（白２，白２），（白２，黑）；（黑，红），（黑，白１），（黑，白２），（黑，黑），共１6个．连续取两次都是白球的结果有：（白１，白１），（白１，白２），（白２，白１），（白２，白２），共４个，故所求概率为错误!＝错误!.（２）连续取三次的结果有：（红，红，红），（红，红，白１），（红，红，白２），（红，红，黑）；（红，白１，红），（红，白１，白１），（红，白１，白２），（红，白１，黑），…，共6４个．因为取一个红球记２分，取一个白球记１分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为４分的结果如下：（红，白１，白１），（红，白１，白２），（红，白２，白１），（红，白２，白２），（白１，红，白１），（白１，红，白２），（白２，红，白１），（白２，红，白２），（白１，白１，红），（白１，白２，红），（白２，白１，红），（白２，白２，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红），共１５个．故所求概率为错误!.[类题通法]计算古典概型事件的概率三步法第一步：算出试验可能结果的总个数n；第二步：求出事件A所包含的结果个数m；第三步：代入公式求出概率P.考点二古典概型的交汇命题问题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识面全，能力要求较高，归纳起来常见的交汇命题角度有：１古典概型与平面向量相结合；２古典概型与直线、圆相结合；３古典概型与函数相结合.角度一古典概型与平面向量相结合１．（２0１３·济南模拟）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝（m，n），b ＝（１，—３）．（１）求使得事件“a⊥b”发生的概率；（２）求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．解：（１）由题意知，m∈{１,２,３,４,５,6}，n∈{１,２,３,４,５,6}，故（m，n）所有可能的取法共３6种．使得a⊥b，即m—３n＝0，即m＝３n，共有２种：（３,１）、（6,２），所以事件a⊥b的概率为错误!＝错误!.（２）|a|≤|b|，即m２＋n２≤１0，共有（１,１）、（１,２）、（１,３）、（２,１）、（２,２）、（３,１）6种使得|a|≤|b|，其概率为错误!＝错误!.角度二古典概型与直线、圆相结合２．连掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线３x—４y＝0与圆（x—a）２—（y—b）２＝４相切的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B 连掷骰子两次总的试验结果有３6种，要使直线３x—４y＝0与圆（x—a）２＋（y—b）２＝４相切，则错误!＝２，即满足|３a—４b|＝１0，符合题意的（a，b）有（6,２），（２,４），共２种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P＝错误!.角度三古典概型与函数相结合３．（２0１４·安徽省级示范高中一模）设a∈{２,４}，b∈{１,３}，函数f（x）＝错误!ax２＋bx＋１．（１）求f（x）在区间（—∞，—１]上是减函数的概率；（２）从f（x）中随机抽取两个，求它们在（１，f（１））处的切线互相平行的概率．解：（１）f′（x）＝ax＋b，由题意f′（—１）≤0，即b≤a，而（a，b）共有（２,１），（２,３）（４,１），（４,３）四种，满足b≤a的有３种，故概率为错误!.（２）由（１）可知，函数f（x）共有４种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．∵函数f（x）在（１，f（１））处的切线的斜率为f′（１）＝a＋b，∴这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有（２,３），（４,１）这１组满足，∴概率为错误!.[类题通法]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为试验结果个数，求出m、n的值．然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．错误![课堂练通考点]１．（２0１３·江南十校联考）第亚运会于１１月１２日在中国广州举行，运动会期间从来自A大学的２名志愿者和来自B大学的４名志愿者中随机抽取２人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 记２名来自A大学的志愿者为A１，A２,４名来自B大学的志愿者为B１，B２，B３，B４.从这6名志愿者中选出２名的结果有：（A１，A２），（A１，B１），（A１，B２），（A１，B３），（A１，B４），（A，B１），（A２，B２），（A２，B３），（A２，B４），（B１，B２），（B１，B３），（B１，B４），（B２，B３），（B２，２B４），（B３，B４），共１５种．其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种．故所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ｃ．２．（２0１４·亳州高三质检）已知集合M＝{１,２,３,４}，N＝{（a，b）|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x２＋１有交点的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! Ｄ．错误!解析：选C 易知过点（0,0）与y ＝x ２＋１相切的直线为y ＝２x （斜率小于0的无需考虑），集合N 中共有１6个元素，其中使OA 斜率不小于２的有（１,２），（１,３），（１,４），（２,４），共４个，由古典概型知概率为错误!＝错误!.３．我们把日均收看体育节目的时间超过５0分钟的观众称为“超级体育迷”．已知５名“超级体育迷”中有２名女性，若从中任选２名，则至少有１名女性的概率为（ ）Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选A 用a i 表示男性，其中i ＝１,２,３，b j 表示女性，其中j ＝１,２．记“选出的２名全都是男性”为事件A ，“选出的２名有１名男性１名女性”为事件B ，“选出的２名全都是女性”为事件C ，则事件A 包含（a １，a ２），（a １，a ３），（a ２，a ３），共３个结果，事件B 包含（a １，b １），（a １，b ２），（a ２，b １），（a ２，b ２），（a ３，b １），（a ３，b ２），共6个结果，事件C 包含（b １，b ２），共１个结果．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有１名女性包含事件B 和C ，所以所求事件的概率为错误!＝错误!.４．（２0１３·南京模拟）在集合A ＝{２,３}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{１,２,３}中随机取一个元素n ，得到点P （m ，n ），则点P 在圆x ２＋y ２＝9内部的概率为________．解析：点P （m ，n ）共有（２,１），（２,２），（２,３），（３,１），（３,２），（３,３），6种情况，只有（２,１），（２,２）这２个点在圆x ２＋y ２＝9的内部，所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!５．（２0１３·江西高考）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A １，A ２，A ３，A ４，A ５，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．（１）写出数量积X 的所有可能取值；（２）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解：（１）X 的所有可能取值为—２，—１,0,１． （２）数量积为—２的有2OA ·5OA ，共１种；数量积为—１的有1OA ·5OA ，1OA ·6OA ，2OA ·4OA ，2OA ·6OA ，3OA ·4OA ，3OA ·5OA ，共6种；数量积为0的有1OA ·3OA ，1OA ·4OA ，3OA ·6OA ，4OA ·6OA ，共４种； 数量积为１的有1OA ·2OA ，2OA ·3OA ，4OA ·5OA ，5OA ·6OA ，共４种． 故所有可能的情况共有１５种． 所以小波去下棋的概率为P １＝错误!；因为去唱歌的概率为P ２＝错误!，所以小波不去唱歌的概率P ＝１—P ２＝１—错误!＝错误!.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷１．（２0１３·惠州模拟）从{１,２,３,４,５}中随机选取一个数为a ，从{１,２,３}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是（ ）Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 从{１,２,３,４,５}中选取一个数a 有５种取法，从{１,２,３}中选取一个数b 有３种取法．所以选取两个数a ，b 共有５×３＝１５种取法．满足b >a 的取法共有３个．因此b >a 的概率P ＝错误!＝错误!.２．高三（４）班有４个学习小组，从中抽出２个小组进行作业检查．在这个试验中，所有可能结果个数为（ ）Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．6Ｄ．8解析：选C 设这４个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的所有可能结果有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．３．文科班某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等级A 的事件分别记为W １，W ２，W ３，物理、化学、生物获得等级不是A 的事件分别记为错误!１，错误!２，错误!３.则该同学参加这次学业水平测试获得两个A 的概率为（ ）Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选A 该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩所有可能的结果有8种，分别为（W，W２，W３），（错误!１，W２，W３），（W１，错误!２，W３），（W１，W２，错误!３），（错误!１，错误!１，W３），（错误!１，W２，错误!３），（W１，错误!２，错误!３），（错误!１，错误!２，错误!３）．有两个A ２的情况为（错误!１，W２，W３），（W１，错误!２，W３），（W１，W２，错误!３），共３种，从而其概率为P＝错误!.４．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成１000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为错误!＝错误!.５．（２0１４·浙江联考）一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为１，两个编号为２，三个编号为３．现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于４的概率是________．解析：列举可知，共有３6种情况，和为４的情况有１0种，所以所求概率P＝错误!＝错误!.１２２３３３１２３３４４４２３４４５５５２３４４５５５３４５５666３４５５666３４５５666答案：错误!6．（２0１４·宣武模拟）曲线C的方程为错误!＋错误!＝１，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P（A）＝________.解析：试验中所有可能结果个数为３6；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则m＞n，又只剩下一半情况，即有１５种，因此P（A）＝错误!＝错误!.答案：错误!7．某种零件按质量标准分为１,２,３,４,５五个等级．现从一批该零件中随机抽取２0个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：（１）在抽取的２0（２）在（１）的条件下，从等级为３和５的所有零件中，任意抽取２个，求抽取的２个零件等级恰好相同的概率．解：（１）由频率分布表得0．0５＋m＋0．１５＋0．３５＋n＝１，即m＋n＝0．４５．由抽取的２0个零件中，等级为５的恰有２个，得n＝错误!＝0．１，所以m＝0．４５—0．１＝0．３５．（２）由（１）得，等级为３的零件有３个，记作x１，x２，x３；等级为５的零件有２个，记作y１，y２.从x１，x２，x３，y１，y２中任意抽取２个零件，所有可能的结果为（x１，x２），（x１，x３），（x１，y１），（x１，y２），（x２，x３），（x２，y１），（x２，y２），（x３，y１），（x３，y２），（y１，y２），共１0种．记事件A为“从零件x１，x２，x３，y１，y２中任取２件，其等级相等”．则A包含的可能结果有（x１，x２），（x１，x３），（x２，x３），（y１，y２），共４种．故所求概率为P（A）＝错误!＝0．４．8．将一个质地均匀的正方体（六个面上分别标有数字0,１,２,３,４,５）和一个正四面体（四个面分别标有数字１,２,３,４）同时抛掷１次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋b i.（１）若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；（２）求事件“复数在复平面内对应的点（a，b）满足a２＋（b—6）２≤9”的概率．解：（１）A＝{6i,7i,8i,9i}．（２）满足条件的所有可能结果的个数为２４．设满足“复数在复平面内对应的点（a，b）满足a２＋（b—6）２≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a２＋（b—6）２≤9；当a＝１时，b＝6,7,8满足a２＋（b—6）２≤9；当a＝２时，b＝6,7,8满足a２＋（b—6）２≤9；当a＝３时，b＝6满足a２＋（b—6）２≤9．即B为（0,6），（0,7），（0,8），（0,9），（１,6），（１,7），（１,8），（２,6），（２,7），（２,8），（３,6）共计１１个结果．所以所求概率P＝错误!.第Ⅱ卷：提能增分卷１．（２0１３·陕西高考）有7位歌手（１至7号）参加一场歌唱比赛，由５00名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别A B C D E人数５0１00１５１５５0（１）为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：组别A B C D E人数５0１00１５１５５0抽取人数6（２）在（１）中，若A，B两组被抽到的评委中各有２人支持１号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选１人，求这２人都支持１号歌手的概率．解：（１）由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：组别A B C D E人数５0１00１５１５５0抽取人数３699３（２）记从A１２３１２B组抽到的6个评委为b１，b２，b３，b４，b５，b6，其中b１，b２支持１号歌手．从{a１，a２，a３}和{b１，b２，b３，b４，b５，b6}中各抽取１人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共１8种，其中２人都支持１号歌手的有a１b１，a１b２，a２b１，a２b２共４种，故所求概率p＝错误!＝错误!.２．已知集合P＝{x|x（x２＋１0x＋２４）＝0}，Q＝{y|y＝２n—１，１≤n≤２，n∈N＋}，M＝P∪Q.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（x′，y′），且x′∈M，y′∈M，试计算：（１）点A正好在第三象限的概率；（２）点A不在y轴上的概率；（３）点A正好落在区域x２＋y２≤１0上的概率．解：由集合P＝{x|x（x２＋１0x＋２４）＝0}可得P＝{—6，—４,0}，由Q＝{y|y＝２n—１,１≤n≤２，n∈N＋}可得Q＝{１,３}，则M＝P∪Q＝{—6，—４,0,１,３}，因为点A的坐标为（x′，y′），且x′∈M，y′∈M，所以满足条件的点A的所有情况为（—6，—6），（—6，—４），（—6,0），（—6,１），（—6,３），…，（３,３），共２５种．（１）点A正好在第三象限的可能情况为（—6，—6），（—４，—6），（—6，—４），（—４，—４），共４种，故点A正好在第三象限的概率P１＝错误!.（２）点A在y轴上的可能情况为（0，—6），（0，—４），（0,0），（0,１），（0,３），共５种，故点A不在y轴上的概率P２＝１—错误!＝错误!.（３）点A正好落在区域x２＋y２≤１0上的可能情况为（0,0），（１,0），（0,１），（３,１），（１,３），（３,0），（0,３），（１,１）．共8种，故点A落在区域x２＋y２≤１0上的概率P３＝错误!.３．（２0１４·莱芜模拟）中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为１,２,３,４,５的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号（x，y）表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x＜y”．（１）共有多少个可能结果？并列举出来；（２）求所抽取的两名记者的编号之和小于１7但不小于１１或都是男记者的概率．解：（１）共有３6个结果，列举如下：（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（１,6），（１,7），（１,8），（１,9），（２,３），（２,４），（２,５），（２,6），（２,7），（２,8），（２,9），（３,４），（３,５），（３,6），（３,7），（３,8），（３,9），（４,５），（４,6），（４,7），（４,8），（４,9），（５,6），（５,7），（５,8），（５,9），（6,7），（6,8），（6,9），（7,8），（7,9），（8,9），共３6个．（２）记事件“所抽取的记者的编号之和小于１7但不小于１１”为事件A，即事件A为“x，y∈{１,２,３,４,５,6,7,8,9}，且１１≤x＋y＜１7，其中x＜y”，由（１）可知事件A共含有１５个结果，列举如下：（２,9），（３,8），（３,9），（４,7），（４,8），（４,9），（５,6），（５,7），（５,8），（５,9），（6,7），（6,8），（6,9），（7,8），（7,9），共１５个．“都是男记者”记作事件B，则事件B为“x＜y≤５”，包含：（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（２,３），（２,４），（２,５），（３,４），（３,５），（４,５），共１0个．故P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!.。

北师大版高中数学 古典概型__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A 的使用条件——古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣.1．古典概型的概念同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：(1)________：在一次试验中，可能出现的结果只有________，即只有________不同的基本事件；(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是________．有限性 有限个 有限个 均等的2．概率的古典定义在基本事件总数为n 的古典概型中，(1)每个基本事件发生的概率为______；(2)如果随机事件A 包含的基本事件数为m ，由互斥事件的概率加法公式可得P (A )＝_______，所以在古典概型中P (A )＝________________________，这一定义称为概率的古典定义．1n m n事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数 3. 基本事件的概率一般地，对于古典概型，如果试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，由于基本事件是两两__________的，则由________________________公式得P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )＝P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (Ω)＝1.又因为每个基本事件发生的可能性相等，即P (A 1)＝P (A 2)＝…＝P (A n )，代入上式得n ·P (A 1)＝1，即P (A 1)＝______.互斥 互斥事件的概率加法 1n类型一 等可能事件的概率例1：一个口袋内装有大小相同的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：(1)基本事件总数；(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？(3)摸出2个黑球的概率是多少？[解析] 由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为6.(2)事件“从3个黑球中摸出2个球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．(3)基本事件总数n ＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数n ＝3，故P ＝12. 练习1：掷一颗骰子，观察掷出的点数．(1)求掷得奇数点的概率；(2)求掷得点数不大于4的概率．[答案] 基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，基本事件总数为6.(1)事件A ＝“掷得奇数点”＝{1,3,5}，含基本事件数为3，∴P (A )＝36＝12. (2)事件B ＝“掷得点数不大于4”＝{1,2,3,4}，含基本事件数为4，∴P (B )＝46＝23. 练习2：(2013·江西文，4)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A 、B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A ．23B ．12C ．13D ．16[答案] C类型二 古典概型的概率例2：袋中装有6个小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A ：取出的两球都是白球；(2)B ：取出的两球一个是白球，另一个是红球．[解析] 首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A ：取出的两球都是白球的总数；事件B ：取出的两球一个是白球，而另一个是红球的总数，便可套用公式解决之．设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．(1)从袋中的6个小球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的两个小球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.(2)从袋中的6个小球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．∴取出的两个小球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)＝815.[答案](1)25(2)815练习1：袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．[答案](1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.练习2：(2014·全国新课标Ⅰ文，13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．[答案] 2 3练习3：甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，基中选择题3道，填空题2道，甲、乙两人依次各抽取一道题，求甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率．[答案]设3道选择题分别为A，B，C,2道填空题分别为D，E，甲、乙两人依次各抽取一道题的情况有(A，B，)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，(A，E)，(E，A)，(B，C)，(C，B)，(B，D)，(D，B)，(B，E)，(E，B)，(C，D)，(D，C)，(C，E)，(E，C)，(D，E)，(E，D)20种，甲抽到选择题，乙抽到填空题的情况有(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )共6种故所求概率为620＝310. 类型三 有放回取样与无放回取样的联系与区别例3：口袋内有红、白、黄颜色大小完全相同的三个小球，求：(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率；(3)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，第一次摸得红球，第二次摸得白球的概率；(4)从袋中依次无放回的摸出两球，第一次摸得红球，第二次摸到白球的概率．[解析] (1)任意摸出两个小球的基本事件空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以，摸得红球和白球的概率为13. (2)有放回地取球．基本事件空间为：{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，白)}．而摸出一红一白包括(红，白)，(白，红)两个基本事件，所以概率为29. (3)基本事件空间同(2)，第一次摸得红球，第二次摸得白球，只包含(红，白)一个基本事件，所以概率为19. (4)基本事件空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以先摸出红球，再摸出白球的概率是16. 练习1：(1)从含有两件正品a 、b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件，取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)将(1)中条件“取出后不放回”改为“每次取出后放回”其余不变，再求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[答案] (1)基本事件空间Ω＝{(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，(b ，a )，(c ，a )，(c ，b )}，其中(a ，b )中的a 表示第一次取出的产品，b 表示第2次取出的产品，Ω中有6个基本事件，它们的出现都是等可能的，事件A ＝“取出的两件产品中，恰好有一件次品”包含4个基本事件，∴P (A )＝46＝23. (2)有放回的连续取两件，基本事件空间Ω＝{(a ，a )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，b )，(b ，a )，(b ，c )，(c ，c )，(c ，a )，(c ，b )}中共9个等可能的基本事件，事件B ＝“恰有一件次品”包含4个基本事件，∴P (B )＝49. 练习2：一个袋中已知有3个黑球，2个白球，第一次摸出球，然后再放进去，再摸第二次，则两次都是摸到白球的概率为( )A ．25B ．45 C.225 D ．425[答案] D类型四 古典概型与解析几何的结合例4：设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，求使事件C n 的概率最大的n 的所有可能取值．[解析] 点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．若点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上(2≤n ≤5)，则当n ＝2时，点P 只能是(1,1)；当n ＝3时，点P 可能是(1,2)，(2,1)；当n ＝4时，点P 可能是(1,3)，(2,2)；当n ＝5时，点P 只能是(2,3)．故事件C 3、C 4的概率最大，所以n 可取3或4.[答案] n 可取3或4练习1：连掷骰子两次(骰子六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b 2)＝4 相切的概率为________．[答案] 118练习2：设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．[答案] 设事件A 为“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”，则A ＝{(b ，c )|b 2－4c ≥0，b ，c ＝1,2，…，6}．而(b ，c )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36组．其中，可使事件A 成立的有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19组．故事件A 的概率P (A )＝1936. 类型五 古典概型与统计的结合例5：(2014·山东文，16)海关对同时从A 、B 、C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A 、B 、(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解析] (1)A 、B 、C 各地区商品的数量之比为50：150：100＝1：3：2.故从A 地区抽取样本6×16＝1件， 故从B 地区抽取样本6×36＝3件，故从C 地区抽取样本6×26＝2件． (2)将这6件样品分别编号a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，随机选取2件，不同的取法共有{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，b 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 3，c 1)，(b 3，c 2)，(c 1，c 2)}共15种．设“2件商品来自相同地区”为事件A ，则A 含有{(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，(c 1，c 2)}共4种，故所求概率P (A )＝415. 练习1：(2014·重庆文，17)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率．[解析] (1)∵组距为10，∴(2a ＋3a ＋6a ＋7a ＋2a )×10＝200a ＝1，∴a ＝1200＝0.005. (2)落在[50,60)中的频率为2a ×10＝20a ＝0.1，∴落在[50,60)中的人数为2.落在[60,70)中的学生人数为3a ×10×20＝3×0.005×10×20＝3.(3)设落在[50,60)中的2人成绩为A 1、A 2，落在[60,70)中的3人为B 1、B 2、B 3.则从[50,70)中选2人共有10种选法，Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)}其中2人都在[60,70)中的基本事件有3个：(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，故所求概率p ＝310. 练习2：有1号、2号、3号3个信箱和A 、B 、C 、D 4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A 信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？[答案] 由于每封信可以任意投入信箱，对于A 信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，故A 信恰好投入1号或2号信箱的概率为23.1．(2014·湖北文，5)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 1<p 3C ．p 1<p 3<p 2D ．p 3<p 1<p 2[答案] C2．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A ．15B ．25 C.35 D ．45[答案] B3．先后抛掷两枚均匀的硬币，出现“一枚正面，一枚反面”的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．1[答案] C4．有一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是( )A ．15B ．25 C.35 D ．45[答案] B5．(2014·广东文，12)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．[答案] 256．(2013·全国新课标Ⅱ文，13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．[答案] 0.27．(2014·浙江文，14)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．[答案] 138．一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率．[答案] 解法一：设A 表示“掷3次硬币出现正面”，Ω表示“连续掷3次硬币”，则Ω＝{(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)，(反，反，反)}．Ω由8个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且A ＝{(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)}．解法二：记A 1表示“掷3次硬币有一次出现正面”，A 2表示“掷3次硬币有两次出现正面”，A 3表示“掷3次硬币有三次出现正面”，A 表示“掷3次硬币至少出现一次正面”．显然A ＝A 1∪A 2∪A 3，同解法一容易得出P (A 1)＝38，P (A 2)＝38，P (A 3)＝18. 又因为A 1、A 2、A 3彼此是互斥的，所以，P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝38＋38＋18＝78. 解法三：在本例中，显然A －表示“掷3次硬币，三次均出现反面”的事件，且P (A －)＝18，根据P (A )＋P (A －)＝1.∴P (A )＝1－P (A －)＝1－18＝78._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．关于随机数的说法正确的是( )A ．随机数就是随便取的一些数字B ．随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数C ．用计算器或计算机产生的随机数为伪随机数D ．不能用伪随机数估计概率[答案] C2．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，下列步骤中不正确的是 ( )A ．用计算器的随机函数RANDI(1,6)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,6)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x ，如果x ＝2，我们认为出现2点B ．我们通常用计数器n 记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m 记录其中有多少次出现2点，置n ＝0，m ＝0C ．出现2点，则m 的值加1，即m ＝m ＋1；否则m 的值保持不变D ．程序结束．出现2点的频率作为概率的近似值[答案] A3．袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外小球完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色．用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0,1,2,3代表黑球.4,5,6,7,8,9代表白球．在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为( )160 288 905 467 589 239 079 146 351A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] B4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨机会为34C ．淋雨机会为12D ．淋雨机会为14[答案] D[解析] 用A 、B 分别表示下雨和不下雨，用a 、b 表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，则当(A ，b )发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P ＝14. 5．袋子中有四个小球，分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“飞”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 2123 13 32 21 24 42 13 32 21 34据此估计，直到第二次就停止概率为( )A.15B.14C.13D.12[答案] B[解析] 由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13、43、23、13、13共5个基本事件，故所求的概率为P ＝520＝14. 6．袋中有4个小球，除颜色外完全相同，其中有2个黄球，2个绿球．从中任取两球．取出的球为一黄一绿的概率为( )A.14B.12C.34D.13[答案] B[解析] 取球结果共有：黄黄，黄绿，绿黄，绿绿四种，所以一黄一绿有两种，故所求概率为12. 二、填空题7．利用骰子等随机装置产生的随机数________伪随机数，利用计算机产生的随机数________伪随机数(填“是”或“不是”)．[答案] 不是 是8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．[答案] 0.2[解析] 由5根竹竿一次随机抽取2根竹竿的种数为4＋3＋2＋1＝10，它们的长度恰好相差0.3m 的是2.5和2.8、2.6和2.9两种，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为P ＝210＝0.2. 三、解答题9．掷三枚骰子，利用Excel 软件进行随机模拟，试验20次，计算出现点数之和是9的概率．[解析] 操作步骤：(1)打开Excel 软件，在表格中选择一格比如A1，在菜单下的“＝”后键入“＝RANDBETWEEN(1,6)”，按Enter 键， 则在此格中的数是随机产生的1～6中的数．(2)选定A1这个格，按Ctrl ＋C 快捷键，然后选定要随机产生1～6的格，如A1至T3，按Ctrl ＋V 快捷键，则在A1至T3的数均为随机产生的1～6的数．(3)对产生随机数的各列求和，填入A4至T4中．(4)统计和为9的个数S ；最后，计算频率S/20.10．同时抛掷两枚均匀的正方体骰子，用随机模拟方法计算上面都是1点的概率．[分析] 抛掷两枚均匀的正方体骰子相当于产生两个1到6的随机数，因而我们可以产生整数随机数．然后以两个一组分组，每组第1个数表示第一枚骰子的点数，第2个数表示第二枚骰子的点数.[解析] 步骤：(1)利用计算器或计算机产生1到6的整数随机数，然后以两个一组分组，每组第1个数表示第一枚骰子向上的点数．第2个数表示另一枚骰子向上的点数．两个随机数作为一组共组成n 组数；(2)统计这n 组数中两个整数随机数字都是1的组数m ；(3)则抛掷两枚骰子上面都是1点的概率估计为m n. 能力提升一、选择题1．下列说法错误的是( )A ．用计算机或掷硬币的方法都可以产生随机数B ．用计算机产生的随机数有规律可循，不具有随机性C ．用计算机产生随机数，可起到降低成本，缩短时间的作用D ．可以用随机模拟的方法估计概率[答案] B2．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310D.710 [答案] B[解析] 可看作分成两次抽取，第一次任取一张有5种方法，第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法，因为(B ，C)与(C ，B)是一样的，故试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是按字母顺序相邻的有(A ，B)，(B ，C)，(C ，D)，(D ，E)4种，故两字母恰好是按字母顺序相邻的概率P ＝410＝25.3．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 889 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B ．0.25 C ．0. 20 D ．0.15[答案] B[解析] 在20个数据中，有5个表示三次投篮恰有两次命中，故所求概率P ＝520＝0.25. 4．(2015·陕西西安期末)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为( )A.16B.536 C.112 D.12[答案] C[解析] 由log 2x y ＝1，得2x ＝y ，其中x ，y ∈{1,2,3,4,5,6}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，满足log 2x y ，所以P ＝336＝112，故选C.二、填空题5．从13张扑克牌中随机抽取一张，用随机模拟法估计这张牌是7的概率为N 1N ，则估计这张牌不是7的概率是________．[答案] 1－N 1N6．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a 到整数b 之间的每个整数出现的可能性是________．[答案]1b －a ＋1[解析] [a ，b ]中共有b －a ＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是1b －a ＋1.三、解答题7．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．[解析] 利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数(可借助教材103页的随机数表)．034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751就相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为1130≈0.367.8．(2015·河南新乡调研)为了加强中学生实践、创新和团队建设能力的培养，促进教育教学改革，市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛．某中学举行了选拔赛，共有150名学生参加，为了了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，清你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：(1)完成频率分布表(直接写出结果)，并作出频率分布直方图；(2)若成绩在90.5分以上的学生获一等奖，试估计全校获一等奖的人数，现在从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加竞赛，某班共有2名同学荣获一等奖，求该班同学恰有1人参加竞赛的概率.[解析] (1)(2)获一等奖的概率约为0.04，所以获一等奖的人数估计为150×0.04＝6(人)．记这6人为A1，A2，B，C，D，E，其中，A1，A2为该班获一等奖的同学．从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加竞赛共有15种情况，如下：(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)．该班同学中恰有1人参加竞赛共有8种情况，如下：(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)．所以该班同学中恰有1人参加竞赛的概率P＝815.。