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如图所示，1）若∠AOB ＝∠COD ，则 AB ＝CD ，AB = CD ；2）若 AB ＝CD （或 AB = CD ）， （ （2020 年中考数学人教版专题复习：综合复习之圆的综合应用一、考点突破考点圆的有关概念和性质；点和圆、直线和圆、圆和圆的位 题型 分值置关系及其判定；圆的综合应用 圆的切线的判定和性质；弧长、扇形面积的计算，圆锥的侧面展开图；填空题、选择题和解答题为 主，也有阅读理解题，条件开放、结论开放探索题等新 的题型。
6～12 分圆与相似三角形、三角函数的综 合运用。
二、重难点提示重点：掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题。
难点：切线的性质和判定，圆与四边形、三角形的综合问题。
考点精讲一、圆的基本性质1. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的 弧所对的圆心角相等。
COAE BD⋂ ⋂ ⋂ ⋂则∠AOB ＝∠COD 。
ABO CD3.同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角。
【核心归纳】圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
垂径定理是圆的轴对称性的体现，弧、弦、圆心角之间的关系定理是圆的中心对称性质的体现。
二、与圆有关的位置关系1.点与圆位置关系：（1）点在圆内⇔d＜r；（2）点在圆上⇔d＝r；（3）点在圆外⇔d＞r。
r r rOd P OdP OdP2.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交⇔d＜r；（2）直线与圆相切⇔d＝r；（3）直线与圆相离⇔d＞r。
OrOrOr d d d3.圆与圆的位置关系：（1）两圆内含（R＞r）⇔d＜R－r；（2）两圆内切（R＞r）⇔d＝R－r；（3）两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r；（4）两圆外切⇔d＝R＋r；（5）两圆外离⇔d＞R＋r。
初中几何相似专题训练教案教学目标：1. 理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质和判定方法。
2. 能够运用相似图形解决实际问题，提高解决问题的能力。
教学内容：1. 相似图形的定义和性质2. 相似图形的判定方法3. 相似图形的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的图形变换知识，如平移、旋转等。
2. 提问：同学们，你们知道吗？我们今天要学习的内容，可以帮助我们更好地理解和解决图形变换问题。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解相似图形的定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形叫做相似图形。
2. 讲解相似图形的性质：a. 相似图形的对应边成比例。
b. 相似图形的对应角相等。
c. 相似图形的大小不一定相同，但形状相同。
3. 讲解相似图形的判定方法：a. 如果两个图形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个图形相似。
b. 如果两个三角形的一组对边成比例，夹角相等，那么这两个三角形相似。
三、例题解析（15分钟）1. 出示例题：已知两个三角形相似，求证它们的对应边成比例。
2. 引导学生分析例题，解答例题。
3. 出示例题：已知两个矩形相似，求证它们的对应边成比例。
4. 引导学生分析例题，解答例题。
四、巩固练习（15分钟）1. 出示练习题：判断两个图形是否相似，并说明理由。
2. 学生独立完成练习题，老师进行讲解和解答。
五、应用拓展（10分钟）1. 出示应用题：一个正方形和一个矩形相似，已知正方形的边长为4cm，求矩形的长和宽。
2. 引导学生运用相似图形的性质和判定方法解决实际问题。
六、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结相似图形的定义、性质和判定方法。
2. 强调相似图形在实际问题中的应用价值。
教学评价：1. 课后作业：布置一道相似图形的应用题，让学生独立完成。
2. 课堂练习：观察学生的练习情况，了解学生对相似图形的理解和掌握程度。
3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断改进教学方法。
图形相似教学设计（共6篇）第1篇：图形相似的教学案例三星初中邱清华教学内容：依据新教材（苏科版）八年级下学期《图形的相似》的相关内容而开发生成的适合网络教学的自编教材。
教材设计意念：根据基础教育课程的具体目标，我们知道学习是学生主动建构知识的过程的建构主义理论，把握好学生的独立探索与教师的引导支持之间的辩证关系。
因此在教学中，我给予了学生充足的时间习参与集体活动，进行多向、充分的探索交流，关注学生学习兴趣的养成，让学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化，形成良好的情感、态度和价值观；其次根据初中生的心理特点，他们对游戏活动有着强烈的好奇心，以及对具有挑战性的知识强烈的欲望，再加上他们已有平面图形的有关知识作基础，完全有可能也有能力自己探索相似图形的一些本质特征，因此我利用几何画板软件设计了几个带有竞争意识的游戏活动，使他们在游戏中学到数学知识，在活动中掌握知识，从而在快乐中感受知识的来龙去脉。
教材分析：本节内容选于苏科版教材八年级（下）,本章在已学习“全等图形”的基础上，以认识相似图形（即形态相同图形）为核心内容，在本节课的学习过程中，通过几何画板软件，让学生充分感受到相似图形的魅力，通过动手操作画出相似图形，体会相似图形在现实中的应用，进一步增强学生的数学应用意识，通过几个小游戏让学生充分领略到学习的乐趣。
本节课重在学生自己动脑、动手，培养创造精神和探究意识，因而在教学中，教师要热情鼓励学生自主探究和大胆创新，对每一位同学作品给予鼓励和足够的重视。
教学重点：学生自主探索出相似图形的基本特征；利用坐标的变化放大（或缩小）图形。
教学难点：正确地运用相似图形的特征解决生活中实际问题。
教学目标：使学生联系生活实际初步认识相似图形，在观察、操作、比较、交流中，探索并发现相似图形的规律；引导学生经历探索、发现、创造、交流等丰富多彩的数学游戏活动，发展学生的数学能力和审美观，使学生学会从数学的角度认识世界，解释生活、逐步形成“数学地思维”的习惯；以“生活中的数学”为载体，使学生体会相似图形的神奇，养成“学数学、用数学”的意识，培养学生的动手操作能力和创新精神。
初中圆与相似教案设计教学目标：1. 理解圆的定义和性质，能够运用圆的公式进行计算。
2. 掌握相似图形的概念和性质，能够判断两个图形是否相似。
3. 能够运用相似性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
教学重点：1. 圆的定义和性质2. 相似图形的概念和性质3. 相似性质的应用教学难点：1. 圆的周长和面积公式的运用2. 相似比的应用教学准备：1. 圆的模型和图片2. 相似图形的模型和图片3. 计算器教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍圆的定义和性质，引导学生观察圆的特点。
2. 向学生介绍相似图形的概念和性质，引导学生观察相似图形的特点。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示周长，r表示半径。
2. 讲解圆的面积公式：A = πr^2，其中A表示面积，r表示半径。
3. 讲解相似图形的性质：对应边成比例，对应角相等。
三、例题讲解（10分钟）1. 讲解一个圆的周长和面积的问题，引导学生运用圆的公式进行计算。
2. 讲解一个相似图形的问题，引导学生运用相似性质进行判断和计算。
四、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成一些圆的周长和面积的计算题。
2. 让学生独立完成一些相似图形的判断和计算题。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学的内容，巩固圆的定义和性质，相似图形的概念和性质。
2. 让学生反思自己在解题过程中遇到的困难和问题，并与同学进行交流和讨论。
教学延伸：1. 引导学生进一步学习圆的更多性质，如圆的直径、半径与圆周率的关系等。
2. 引导学生运用相似性质解决更复杂的实际问题，提高学生的数学应用能力。
教学反思：本节课通过讲解圆的定义和性质，相似图形的概念和性质，以及运用相似性质解决实际问题，使学生掌握了圆与相似的相关知识。
在教学过程中，注意引导学生观察和思考，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
同时，通过课堂练习和总结与反思，使学生巩固所学知识，提高学生的数学应用能力。
图形相似复习课教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解相似图形的定义和性质；（2）掌握相似图形的判定方法；（3）能够运用相似图形解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和操作，培养学生的空间想象能力；（2）运用同一直角坐标系中点的坐标关系，推导相似比的性质；（3）利用相似图形解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、合作交流的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 相似图形的定义和性质；2. 相似图形的判定方法；3. 相似比的性质；4. 利用相似图形解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）相似图形的定义和性质；（2）相似图形的判定方法；（3）相似比的性质。
2. 教学难点：（1）相似图形的判定；（2）利用相似图形解决实际问题。
四、教学过程1. 复习导入：（1）回顾相似图形的定义和性质；（2）引导学生思考：如何判断两个图形是否相似？2. 知识讲解：（1）讲解相似图形的判定方法；（2）引导学生通过实际例子，理解相似比的性质；（3）讲解如何利用相似图形解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）布置一些判断相似图形的练习题；（2）让学生运用相似比解决实际问题。
五、课后作业（1）两个正方形；（2）两个等边三角形；（3）一个矩形和一个正方形。
2. 利用相似图形解决实际问题：（1）一个长方形的长是10cm，宽是5cm，求与它相似的长方形的周长；（2）一个圆的半径是5cm，求与它相似的圆的面积。
注意事项：1. 教学中注重引导学生主动探索，培养学生的空间想象能力；2. 注重让学生通过实际例子，理解相似比的性质；3. 鼓励学生互相交流，培养学生的合作精神。
六、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，掌握相似图形的定义和性质；2. 利用数形结合的思想，让学生通过实际例子，理解相似比的性质；3. 注重培养学生的空间想象能力，提高学生解决问题的能力。
初三第一轮复习圆与相似（一）教学案夏湾中学黄欣一、教学目标：1利用圆的相关定理帮助寻找三角形的相似条件.2 会用相似三角形的性质解决有关线段长，线段的平方及图形面积问题.3掌握圆与相似三角形的解题思路.二、复习回顾：回顾相似三角形的性质及判定方法1.相似三角形的性质：2.相似三角形的判定方法（类比借用全等三角形判定的简记法）：三、基础练习：在⊙O中，弦AB，CD相交于点P,连接AC.已知AC=2，BD=4，AP=1.(1)证明△ACP ∽△DBP; (2) 求线段DP的长.四、中考变式：（2013 绥化）在⊙O中，弦AB，CD相交于点P,点A为CD弧中点,连接AC,BD,AD,已知AP=2，BP=4.(1) 证明△ADP ∽△ABD ; (2) 求线段2AD的值.五、 中考链接： （湖北黄冈）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作CD ⊥AB 于D 点，E 是AB 上一点,直线CE 与⊙O 相交于点F,连接AF 与线段CD 的延长线交于点G .(1)试说明:△ACG ∽△AFC.(2)若AG=2，AF=6，求以AC 为边的正方形面积.六、小结： 你的收获七、拓展提升：在半径为r 的⊙O 中，直径AB ⊥直径CD ，P 为弧BC 上任意一点，PD 交AB 于E 点，PA 交CD 于F 点.求证: (1) (2)四边形ADEF 的面积为2r .2AD AE DF=•八巩固练习：1.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径. 求证：AB·AC = AE·AD证明：连结BE∵ AE⊙O的直径，AD⊥BC∴∠ABE = ∠ = 90°∵∠E = ∠∴△ABE ∽△∴()()() () =∴ AB·AC = AE·AD2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E.求证：AD·EC = AC·BD证明：3.△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E.若AB=6，CD=2，求CE的长。
DCBC2024中考复习之圆与相似综合导学案知识要点：相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理.圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关. 相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1、用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种形式，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆上和圆外的情况；2、从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式，熟悉以下基本图形、基本结论：基础知识检测1、如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程212240x x -+=的两根，求此圆半径.2、如图，在△ABC 中，∠C=90°,AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P,求BP 的长.3、如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，求AC:BD 的值.PBP4、如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC ，若PA=1，PB+PC=a （a ＞2），求PH 的值.例题讲解例1：已知AD 是△ABC 的内角平分线，AD 的延长线交△ABC 的外接圆于点E.求证：2AB AC BD DC AD ⋅-⋅=例2：如图，⊙O 是正方形ABCD 的内接圆，O 为圆心，点P 在劣弧AB 上，DP 交AO 于点Q ，若PQ=QO ，求QCAQ的值.例3：如图，在平行四边形ABCD 中，过A,B,C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，求DE 的长.例4：如图，P 是平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上一点，DP 与AC 、BC 分别交于点E,F,EG 是过B,F,P 三点的圆的切线，G 为切点.求证：EG=DE.FD AAB例5：如图，设△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，D=4DC ，一圆过点C,且与AC 相交于F ，与AB 相切于AB 中点G ，求证：AD ⊥BF.例6：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过A 点的直径，∠PAC=∠B. （1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）如果弦CD 交AB 于E,CD 的延长线交PA 于F ，AC=8，CE:ED=6：5，AE:EB=2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值.例7：已知，如图，ABCD 为正方形，以D 为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P,C 两点，连接AC,AP,CP ，并延长CP,AP 分别交AB,BC 、⊙O 于E,H,F 三点，连结OF. （1）求证：△AEP ∽△CEA ；（2）判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； （3）求BH:HC.例8：如图，P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条割线，分别交⊙O 于A,B 和C,D ，且AB 为⊙O 的直径，已知PA=AO=2cm ，AC CD ，求PC 的长.CC例9：如图，等边△ABC 中，边AB 与⊙O 相切于点H ，边BC,CA 分别与⊙O 交于点D,E.F.G. 已知AG=2，GF=6，FC=1.求DE 的值.反馈练习1、如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，求DE 的长.2、如图，已知A,B,C,D 在同一个圆上，BC=CD,AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，求BD 的值.3、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过点B 做⊙O 的切线交CD 于点E ，若AB=CD=2，求CE 的值.BABDN MB C4、如图，BC 是半圆⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，BF=5FC.已知AB=8，AE=2.求AD 的长.5、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，MN 为大圆的直径，交小圆于点P,Q ，大圆的弦MC 交小圆于点A,B ，若OM=2，OP=1，MA=AB=BC ，求△MBQ 的面积.6、如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，过点A 作△ABC 外接圆的切线，交BC 延长线于点D ，E 为AD 的中点，连接BE 交△ABC 外接圆于点F ，求证：∠FAC=∠FDA.7、如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC,CE ⊥AD 于E,BE 交⊙O 于F,AF 交CE 于P,求证：PE=PC.8、如图，在△ABC 中，以边BC 为直径作半圆交边AB,AC 于D,E 两点，若DE=EC=4，165BC BD -=,.C9、如图，已知PA 且⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B,C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF.（1）求证：△PBD ∽△PEC ； （2）若AB=12，tan ∠EAF=23,求⊙O 的半径长.。
《相似圆形应用举例》教案相似圆形应用举例教案一、引言本教案旨在介绍相似圆形及其应用的概念，通过几个实例向学生展示相似圆形在现实生活中的应用。
二、教学内容1. 相似圆形的定义和性质- 相似圆形的定义：具有相同圆心但半径不同的两个圆。
- 相似圆形的性质：相似圆形的半径比例相等。
2. 相似圆形的应用举例- 圆珠笔的设计：以不同半径的圆为基础，设计出不同规格的圆珠笔。
- 音响喇叭的设计：根据不同频率声波的振幅大小，设计不同半径的音响喇叭。
- 轮胎的尺寸选择：根据不同车型和需求，选择不同半径的轮胎。
三、教学方法1. 讲解法：通过简洁明了的语言，向学生介绍相似圆形的定义和性质。
2. 实例分析法：选取圆珠笔、音响喇叭和轮胎的设计案例，向学生展示相似圆形在不同实际情境中的应用。
3. 讨论交流法：引导学生针对实例进行思考和讨论，探究相似圆形在应用中的重要性和优势。
四、教学步骤1. 引入相似圆形的概念，让学生了解相似圆形的定义和性质。
2. 分析实际应用案例，例如圆珠笔的设计、音响喇叭的设计和轮胎的尺寸选择。
3. 分组讨论并总结相似圆形在这些应用中的作用和优势。
4. 学生展示自己对相似圆形应用的理解和创新想法。
5. 教师总结并回顾课堂内容，强调相似圆形的重要性和应用价值。
6. 布置作业：要求学生发现并记录身边更多的相似圆形应用实例，并进行简要分析和思考。
五、教学评估1. 参与度评估：观察学生在讨论和展示环节的积极程度和参与度。
2. 问题解答评估：针对学生的问题提问，并观察学生回答的准确性和深度。
3. 作业评估：对学生提交的作业进行评分，评估学生对相似圆形应用的理解和分析能力。
六、教学资源1. PowerPoint演示文稿：包括相似圆形的定义、性质以及实际应用案例的图片和文字说明。
2. 相关实物或图片：圆珠笔、音响喇叭和轮胎的实物或图片，用于辅助学生理解实际应用。
七、教学延伸1. 拓展思考：要求学生思考其他领域中相似圆形的应用，例如建筑设计、工程制图等。
圆——测试中考专题：圆与相似一一、教材分析本节课是初三学生在结束了2019年十堰市初中毕业生调研考试后的一节中考专题复习课。
基于圆的综合题由以往的23题，前移至第22题，难度有所下降的前提下，重点针对第二问设置了此专题。
圆的综合题分为两问，第一问通常是证明圆的切线，分值3分，学生大多已经熟练掌握；第二问通常是求线段长，常涉及到的知识有相似三角形、勾股定理等，分值5分。
二、学情分析我所授课的九年级一班，学生基础较差，在前期的一轮复习中，学生已经能够熟练的解决第一问。
对于常见的相似型“A”、“8”、“蝶形”、“双垂直”、“M”型等能准确证明、简单应用；但是一旦和圆结合起来，他们在心理上就有所畏惧，故本节课的目标之一是消减他们的畏难情绪，熟悉掌握圆中与切线相关的两个常见相似型。
三、教学目标1.巩固证明切线的方法；2.进一步体会圆中常添加的辅助线及其作用；3.总结梳理平分弧的用法；4.熟悉与切线相关的两个相似型，并能根据题目条件熟练选择合适的相似型解决问题。
（教学重点）四、教学过程一、课前准备19年调考22题：如图，AB是圆O的直径，C是圆上一点，D是AC的中点，过D点作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，延长ED交BA延长线于点F.（1）求证：EF是圆O的切线；（2）若FA=2，FD=4，求DC的长.【设计意图：学生课前重新作了这道调考真题，并要求学生一题多解，以训练学生的发散思维同时对平分弧的用法总结作准备工作】二、专题分析【设计意图：学生能够明确圆的综合题在中考考题中的位置、难易度、设问情况、考察知识点等，做到心中有数、思考有方向】三、课堂反馈活动一：针对第（1）小问学生个人方法展示与汇总图1图2图3【设计意图：讲解的学生要说清楚，添加辅助线的缘由，即：由题目的哪个条件想到了相关的哪条性质。
做辅助线对学生一直以来都是难点，通过对“D是AC的中点”的不同角度解析就得到了不同的辅助线】活动二：突破点小结【设计意图：一题多解、多法归一；通过具体题目对平分弧的用法进行总结】活动三：针对第（2）小问学生个人方法展示与汇总【设计意图：在第一问中已添加辅助线的基础上结合题目已知线段和需要求的线段确定相似型】活动四：模型整理：【设计意图：学生通过自己动手画图，能充分体验相似型的产生，从而对模型有更深一层的认识；整理归纳出与切线相关的两个相似型，即“A ”型和“切割线”相似型；并对这两个相似型涉及到的勾股定理、共线线段和差关系等进行梳理总结】活动五：变式练习1.若BE=5，FE=12，求FA.2.若 ，求 .3. 若BF=6，32=BD AD ，求FD.4.若tan ∠ABD=31，AB=8，求F.FD FA 34tan =B【设计意图：重点针对第二问，在基础图形不改变的情况下，改变已知条件和要求解的线段长使学生在解题的过程中进一步熟悉与切线相关的两个相似型，并能根据题目条件熟练选择合适的相似型解决问题】四、课堂小结与提升【设计意图：再次归纳“切割线”相似型并与三角函数——正切结合起来】五、布置作业：综合练习题及中考链接3道大题【设计意图：检验学生是否真正理解并掌握了本节课设计到的两个基本相似型】。
学习过程一、复习预习本章知识网络图二、知识讲解考点1 相似三角形的判定方法（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．考点2 常见的相似模型1.如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）2.如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）3.如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）4.如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
5.一线三角模型考点3 常用方法归纳（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”（2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形（3）找中间比： 若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。
方法：将等式左右两边的比表示出来。
①)(,为中间比nm n m d c n m b a == ②'',,n n n m d c n m b a === ③),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或（4）添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
平面直角坐标系常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。
（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。
三、例题精析考点一相似三角形与简单几何图形结合问题例1、如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．（1）证明：△ABE≌△CBD；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；（4）求线段BD的长．【规解答】：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°．（1分）∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，即∠BAE=∠BCD．（2分）在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，∴△ABE≌△CBD．（3分）（2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．证明：∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC，∴△ANB∽△CND．（5分）其相似比为：ABCD=21=2；（6分）（3）由（2）得ANCN=ABCD=2，∴CN=12AN=13AC，（8分）同理AM=13 AC，∴AM=MN=NC．（9分）（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，∵∠BCD =120°，∴∠DCF =60°．（1O 分）在Rt△CDF 中，∴∠CDF =30°，∴CF =12CD =12， ∴DF 22CD CF +2211()2+3； （11分） 在Rt△BDF 中，∵BF =BC +CF =2+12=52，DF 3， ∴BD 22BF DF +2253()()22+7（12分） 【分析】：（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =BC ，∠BAC =∠BCA =60°，由四边形ACDE 是等腰梯形，得AE =CD ，∠ACD =∠CAE =60°，利用“S A S”判定△ABE ≌△CBD ；（2）存在．可利用AB ∥CD 或AE ∥BC 得出相似三角形；（3）由（2）的结论得AN CN =AB CD=2，即CN =13AC ，同理，得AM =13AC ，可证AM =MN =NC ； （4）作DF ⊥BC 交BC 的延长线于F ，在Rt△CDF 中，由∠CDF =30°，CD =AE =1，可求CF ，DF ，在Rt△BDF 中，由勾股定理求BD ．例2 、已知：如图所示的一矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。
（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.【规解答】：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO，∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，设AB=a，BF=b，∵△ABF的面积为24cm2，∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），∴△ABF的周长为14+10=24cm；（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，∴△A O E∽△AEP，∴AEAP =AOAE，∴AE2=AO•AP，∵四边形AECF是菱形，∴AO=12AC，∴AE2=12AC•AP，∴2AE2=AC•AP．【分析】：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；考点二相似三角形与圆有关的综合问题例3、已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．【规解答】：（1）证明：连结OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠PBC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA•PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．【分析】：（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据三角形角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．例4、如图所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CEAC CB(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值围．【规解答】:证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE=.AC CB解： (2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE=，AC CB∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．AE＝4，OC=12，连接OB，在△OBC中，OB＝12∴8＜BC＜16．【分析】:利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE=．AC CB。
