杜集区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
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杜集区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的x 的值是( )A .2B .C .D .32. 设x ∈R ,则“|x ﹣2|<1”是“x 2+x ﹣2>0”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件3. 设集合{}|||2A x R x =∈≤,{}|10B x Z x =∈-≥,则A B =( )A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤≤C. {}2,1,1,2--D. {}1,2【命题意图】本题考查集合的概念,集合的运算等基础知识,属送分题.4. 设函数f (x )=,则f (1)=( )A .0B .1C .2D .35. 设()f x 是奇函数,且在(0,)+∞内是增函数,又(3)0f -=,则()0x f x ⋅<的解集是( ) A .{}|303x x x -<<>或 B . {}|3003x x x -<<<<或C .{}|33x x x <->或D . {}|303x x x <-<<或6. 在△ABC 中,sinB+sin (A ﹣B )=sinC 是sinA=的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也非必要条件7. △ABC 的三内角A ,B ,C 所对边长分别是a ,b ,c ,设向量,,若,则角B 的大小为( )A .B .C .D .8. 已知实数x ,y 满足,则目标函数z=x ﹣y 的最小值为( )A .﹣2B .5C .6D .79. 若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称,且当12172123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,,,12x x ≠时,()()12f x f x =,则()12f x x +等于( )AB D 10.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为 1的半圆,则其侧视图的面积是( )A .B .C .1D .11.已知命题p :对任意()0x ∈+∞,,48log log x x <,命题:存在x ∈R ,使得tan 13x x =-,则下列命题为真命题的是( )A .p q ∧B .()()p q ⌝∧⌝C .()p q ∧⌝D .()p q ⌝∧ 12.下列语句所表示的事件不具有相关关系的是( )A .瑞雪兆丰年B .名师出高徒C .吸烟有害健康D .喜鹊叫喜二、填空题13.将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中,则正四棱柱容器的高的最小值为 .14. 设函数()xf x e =,()lng x x m =+.有下列四个命题:①若对任意[1,2]x ∈,关于x 的不等式()()f x g x >恒成立,则m e <;②若存在0[1,2]x ∈,使得不等式00()()f x g x >成立,则2ln 2m e <-;③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈,不等式12()()f x g x >恒成立,则ln 22em <-;④若对任意1[1,2]x ∈,存在2[1,2]x ∈,使得不等式12()()f x g x >成立,则m e <. 其中所有正确结论的序号为 .【命题意图】本题考查对数函数的性质,函数的单调性与导数的关系等基础知识,考查运算求解,推理论证能力,考查分类整合思想.15.f (x )=x (x ﹣c )2在x=2处有极大值,则常数c 的值为 .14.已知集合,若3∈M ,5∉M ,则实数a 的取值范围是 .16.设m 是实数,若x ∈R 时,不等式|x ﹣m|﹣|x ﹣1|≤1恒成立,则m 的取值范围是 .17.已知f (x+1)=f (x ﹣1),f (x )=f (2﹣x ),方程f (x )=0在[0,1]内只有一个根x=,则f (x )=0在区间[0,2016]内根的个数 .18.抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4,则点M 的横坐标x= .三、解答题19.设定义在(0,+∞)上的函数f (x )=ax++b (a >0)(Ⅰ)求f (x )的最小值;(Ⅱ)若曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y=,求a ,b 的值.20.(本小题满分12分)已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ,点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上,且1PF 、21F F 、 2PF 构成等差数列. (I )求椭圆C 的方程;(II )设经过2F 的直线m 与曲线C 交于P Q 、两点,若22211PQ F P FQ =+,求直线m 的方程.21.已知x2﹣y2+2xyi=2i,求实数x、y的值.22.设函数f(x)=1+(1+a)x﹣x2﹣x3,其中a>0.(Ⅰ)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(Ⅱ)当x∈时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.23.斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.24.已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2,).(1)求a的值;(2)比较f(2)与f(b2+2)的大小;(3)求函数f(x)=a(x≥0)的值域.杜集区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1. 【答案】C解析:由三视图可知:原几何体是一个四棱锥,其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形,一条长为x 的侧棱垂直于底面.则体积为=,解得x=.故选:C .2. 【答案】A【解析】解:由“|x ﹣2|<1”得1<x <3,由x 2+x ﹣2>0得x >1或x <﹣2,即“|x ﹣2|<1”是“x 2+x ﹣2>0”的充分不必要条件,故选:A .3. 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及||2x ≤,得22x -≤≤,则{}|22A x x =-≤≤,所以{}1,2A B =,故选D.4. 【答案】D【解析】解:∵f (x )=,f (1)=f[f (7)]=f (5)=3. 故选:D .5. 【答案】B 【解析】试题分析:因为()f x 为奇函数且()30f -=,所以()30f =,又因为()f x 在区间()0,+∞上为增函数且()30f =,所以当()0,3x ∈时,()0f x <,当()3,x ∈+∞时,()0f x >,再根据奇函数图象关于原点对称可知:当()3,0x ∈-时,()0f x >,当(),3x ∈-∞-时,()0f x <,所以满足()0x f x ⋅<的x 的取值范围是:()3,0x ∈-或()0,3x ∈。
2018-2019学年度第二学期期中考试试题高二数学试卷第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是 ( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)2.函数y=f(x)的导函数y=()'f x 的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 ( )A. B.C. D.3.曲线C 经过伸缩变换后,对应曲线的方程为:122='+'y x ,则曲线C 的方程为( )A. B. C. D. 4x 2+9y 2=14. 31()i i-的虚部是( ) A. -8 B.i 8- C.8 D.05.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为( )A .201y y +==2x 或 B .1x = C .201y +==2x 或x D .1y =6.设点P 对应的复数为i 33+-,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P 的极坐标为( ) A. (23,π43) B. (23-,π45) C. (3,π45) D. (-3,π43) 7.用反证法证明“自然数a ,b ,c 中恰有一个偶数”时,下列假设正确的是( )A. 假设a ,b ,c 至少有两个偶数B. 假设a ,b ,c 都是奇数C. 假设a ,b ,c 都是奇数或至少有两个偶数D. 假设a ,b ,c 都是偶数8.若函数xax x x f 1)(2++=在),21(+∞是增函数,则a 的取值范围是( )A.[]-1,0B.[]-∞1,C.[]0,3D.[]3∞,+9.已知函数()cos 1x f x x =+ , ()f x 的导函数为()'f x , 则'2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .2π-B .1π-C .πD .2π10.用演绎推理证明函数y =x 3是增函数时的小前提是( )A .增函数的定义B .函数y =x 3满足增函数的定义 C .若x 1>x 2,则f (x 1)<f (x 2) D .若x 1>x 2,则f (x 1)>f (x 2)11.已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x >0,则a 的取值范围为A .(2,+∞)B .(-∞,-2)C .(1,+∞)D .(-∞,-1)12. 若x=-2是函数f(x)= (2x +ax-1)1x e -的极值点,则f(x)的极小值为 ( )A.-1B.-23e -C.53e -D.1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.) 13.在极坐标系中,以)2,2(πa 为圆心,2a为半径的圆的极坐标方程是 。
杜集区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 二项式(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项的系数为10,则n =( ) A .5 B .6 C .8 D .10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识,意在考查基本运算能力.2. 如图,正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是AA 1,AD 的中点,则CD 1与EF 所成角为( )A .0°B .45°C .60°D .90°3. 已知平面向量与的夹角为3π,且32|2|=+b a ,1||=b ,则=||a ( ) A . B .3 C . D .4. 已知,则tan2α=( )A .B .C .D .5. 函数y=sin2x+cos2x 的图象,可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象( )A .向左平移个单位得到B .向右平移个单位得到C .向左平移个单位得到 D .向左右平移个单位得到6. 设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现,任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ,其中0x 满足()0''0f x =.已知函数()3211533212f x x x x =-+-,则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭( )A .2013B .2014 C .2015 D .20161111] 7. 圆222(2)x y r -+=(0r >)与双曲线2213y x -=的渐近线相切,则r 的值为( )A B .2 C D .【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识,意在考查基本运算能力.8. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举,这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样,如图的程序框图源于“辗转相除法”.当输入a =6 102,b =2 016时,输出的a 为( )A .6B .9C .12D .189. 已知f (x )=m •2x +x 2+nx ,若{x|f (x )=0}={x|f (f (x ))=0}≠∅,则m+n 的取值范围为( ) A .(0,4) B .[0,4) C .(0,5] D .[0,5]10.已知向量(,2)a m =,(1,)b n =-(0n >),且0a b ⋅=,点(,)P m n 在圆225x y +=上,则|2|a b +=( )AB . C. D .3211.在等差数列{}n a 中,11a =,公差0d ≠,n S 为{}n a 的前n 项和.若向量13(,)m a a =,133(,)n a a =-, 且0m n ?,则2163n n S a ++的最小值为()A .4B .3C .2D .92【命题意图】本题考查等差数列的性质,等差数列的前n 项和,向量的数量积,基本不等式等基础知识,意在考查学生的学生运算能力,观察分析,解决问题的能力. 12.设a=0.5,b=0.8,c=log 20.5,则a 、b 、c 的大小关系是( )A .c <b <aB .c <a <bC .a <b <cD .b <a <c二、填空题13.已知两个单位向量,a b 满足:12a b ∙=-,向量2a b -与的夹角为,则cos θ= . 14.已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值,若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点,则实数m 的取值范围是 ▲ .15.x 为实数,[x]表示不超过x 的最大整数,则函数f (x )=x ﹣[x]的最小正周期是 .16.如图所示,正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1,E 、F 分别是棱AA ′,CC ′的中点,过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ,设BM=x ,x ∈[0,1],给出以下四个命题: ①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′;②当且仅当x=时,四边形MENF 的面积最小; ③四边形MENF 周长l=f (x ),x ∈0,1]是单调函数; ④四棱锥C ′﹣MENF 的体积v=h (x )为常函数; 以上命题中真命题的序号为 .三、解答题17.(本小题满分10分)求经过点()1,2P 的直线,且使()()2,3,0,5A B -到它的距离相等的直线 方程.18.(本小题满分12分) 已知函数21()(3)ln 2f x x a x x =+-+.(1)若函数()f x 在定义域上是单调增函数,求的最小值;(2)若方程21()()(4)02f x a x a x -+--=在区间1[,]e e上有两个不同的实根,求的取值范围.19.已知函数f (x )=ax 2+2x ﹣lnx (a ∈R ). (Ⅰ)若a=4,求函数f (x )的极值;(Ⅱ)若f ′(x )在(0,1)有唯一的零点x 0,求a 的取值范围;(Ⅲ)若a ∈(﹣,0),设g (x )=a (1﹣x )2﹣2x ﹣1﹣ln (1﹣x ),求证:g (x )在(0,1)内有唯一的零点x 1,且对(Ⅱ)中的x 0,满足x 0+x 1>1.20.(本题满分15分)已知函数c bx ax x f ++=2)(,当1≤x 时,1)(≤x f 恒成立. (1)若1=a ,c b =,求实数b 的取值范围;(2)若a bx cx x g +-=2)(,当1≤x 时,求)(x g 的最大值.【命题意图】本题考查函数单调性与最值,分段函数,不等式性质等基础知识,意在考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力.21.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =-∈.(1)当1a =时,解不等式()211f x x <--;(2)当(2,1)x ∈-时,121()x x a f x ->---,求的取值范围.22.如图,四边形ABCD 与A ′ABB ′都是边长为a 的正方形,点E 是A ′A 的中点,AA ′⊥平面ABCD . (1)求证:A ′C ∥平面BDE ;(2)求体积V A ′﹣ABCD 与V E ﹣ABD 的比值.杜集区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题(参考答案)一、选择题1. 【答案】B【解析】因为(1)(N )n x n *+?的展开式中3x 项系数是3C n ,所以3C 10n =,解得5n =,故选A . 2. 【答案】C 【解析】解:连结A 1D 、BD 、A 1B ,∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是AA 1,AD 的中点,∴EF ∥A 1D ,∵A 1B ∥D 1C ,∴∠DA 1B 是CD 1与EF 所成角,∵A 1D=A 1B=BD , ∴∠DA 1B=60°. ∴CD 1与EF 所成角为60°.故选:C .【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3. 【答案】C考点:平面向量数量积的运算. 4. 【答案】C【解析】解:∵,又sin 2α+cos 2α=1,联立解得,或故tan α==,或tan α=3,代入可得tan2α===﹣,或tan2α===故选C【点评】本题考查二倍角的正切公式,涉及同角三角函数的基本关系,属中档题.5. 【答案】C【解析】解:y=sin2x+cos2x=sin (2x+),y=sin2x ﹣cos2x=sin (2x ﹣)=sin[2(x ﹣)+)],∴由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象向左平移个单位得到y=sin (2x+),故选:C .【点评】本题主要考查三角函数的图象关系,利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键.6. 【答案】D 【解析】1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=,故选D. 1 考点:1、转化与划归思想及导数的运算;2、函数对称的性质及求和问题.【方法点睛】本题通过 “三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题,属于难题.遇到探索性结论问题,应耐心读题,分析新结论的特点,弄清新结论的性质,按新结论的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出()311533212f x x x x =-+-的对称中心后再利用对称性和的.第Ⅱ卷(非选择题共90分)7. 【答案】C8. 【答案】【解析】选D.法一:6 102=2 016×3+54,2 016=54×37+18,54=18×3,18是54和18的最大公约数,∴输出的a =18,选D.法二:a =6 102,b =2 016,r =54, a =2 016,b =54,r =18, a =54,b =18,r =0. ∴输出a =18,故选D. 9. 【答案】B【解析】解:设x 1∈{x|f (x )=0}={x|f (f (x ))=0}, ∴f (x 1)=f (f (x 1))=0, ∴f (0)=0, 即f (0)=m=0, 故m=0;故f (x )=x 2+nx ,f (f (x ))=(x 2+nx )(x 2+nx+n )=0, 当n=0时,成立;当n ≠0时,0,﹣n 不是x 2+nx+n=0的根, 故△=n 2﹣4n <0,故0<n <4;综上所述,0≤n+m <4; 故选B .【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用,同时考查了方程的根的判断,属于中档题.10.【答案】A【解析】考点:1、向量的模及平面向量数量积的运算;2、点和圆的位置关系.11.【答案】A【解析】12.【答案】B【解析】解:∵a=0.5,b=0.8,∴0<a<b,∵c=log20.5<0,∴c<a<b,故选B.【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较,常常与中间值进行比较,属于基础题.二、填空题13.【答案】【解析】考点:向量的夹角.【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量的数量积有三种方法:一是定义cos a b a b θ⋅=;二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+;三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量的数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简14.【答案】()53,44--【解析】试题分析:()23f x x m '=+,因为()10g =,所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点,须满足()10,0,0f f m ><<,解得51534244m m >-⇒-<<- 考点:函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.15.【答案】 [1,)∪(9,25] .【解析】解:∵集合,得 (ax ﹣5)(x 2﹣a )<0,当a=0时,显然不成立, 当a >0时,原不等式可化为,若时,只需满足,解得;若,只需满足,解得9<a≤25,当a<0时,不符合条件,综上,故答案为[1,)∪(9,25].【点评】本题重点考查分式不等式的解法,不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用,属于中档题.16.【答案】①②④.【解析】解:①连结BD,B′D′,则由正方体的性质可知,EF⊥平面BDD′B′,所以平面MENF⊥平面BDD′B′,所以①正确.②连结MN,因为EF⊥平面BDD′B′,所以EF⊥MN,四边形MENF的对角线EF是固定的,所以要使面积最小,则只需MN的长度最小即可,此时当M为棱的中点时,即x=时,此时MN长度最小,对应四边形MENF的面积最小.所以②正确.③因为EF⊥MN,所以四边形MENF是菱形.当x∈[0,]时,EM的长度由大变小.当x∈[,1]时,EM的长度由小变大.所以函数L=f(x)不单调.所以③错误.④连结C′E,C′M,C′N,则四棱锥则分割为两个小三棱锥,它们以C′EF为底,以M,N分别为顶点的两个小棱锥.因为三角形C′EF的面积是个常数.M,N到平面C'EF的距离是个常数,所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h(x)为常函数,所以④正确.故答案为:①②④.【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式,本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合,综合性较强,设计巧妙,对学生的解题能力要求较高.三、解答题17.【答案】420x y --=或1x =. 【解析】18.【答案】(1);(2)01a <<.1111] 【解析】则'()0f x ≥对0x >恒成立,即1()3a x x≥-++对0x >恒成立,而当0x >时,1()3231x x-++≤-+=,∴1a ≥.若函数()f x 在(0,)+∞上递减,则'()0f x ≤对0x >恒成立,即1()3a x x≤-++对0x >恒成立, 这是不可能的. 综上,1a ≥. 的最小值为1. 1(2)由21()()(2)2ln 02f x a x a x x =-+-+=,得21()(2)2ln 2a x a x x -+-=,即2ln x x a x +=,令2ln ()x x r x x +=,2331(1)2(ln )12ln '()x x x x x x x r x x x+-+--==, 得12ln 0x x --=的根为1,考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、函数零点问题及不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成(max ()a f x ≥即可);②数形结合;③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立;④讨论参数.本题(2)就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 19.【答案】【解析】满分(14分).解法一:(Ⅰ)当a=4时,f (x )=4x 2+2x ﹣lnx ,x ∈(0,+∞),.…(1分)由x ∈(0,+∞),令f ′(x )=0,得.xf′(x)﹣0 +f(x)↘极小值↗故函数f(x)在单调递减,在单调递增,…(3分)f(x)有极小值,无极大值.…(4分)(Ⅱ),令f′(x)=0,得2ax2+2x﹣1=0,设h(x)=2ax2+2x﹣1.则f′(x)在(0,1)有唯一的零点x0等价于h(x)在(0,1)有唯一的零点x0当a=0时,方程的解为,满足题意;…(5分)当a>0时,由函数h(x)图象的对称轴,函数h(x)在(0,1)上单调递增,且h(0)=﹣1,h(1)=2a+1>0,所以满足题意;…(6分)当a<0,△=0时,,此时方程的解为x=1,不符合题意;当a<0,△≠0时,由h(0)=﹣1,只需h(1)=2a+1>0,得.…(7分)综上,.…(8分)(说明:△=0未讨论扣1分)(Ⅲ)设t=1﹣x,则t∈(0,1),p(t)=g(1﹣t)=at2+2t﹣3﹣lnt,…(9分),由,故由(Ⅱ)可知,方程2at2+2t﹣1=0在(0,1)内有唯一的解x0,且当t∈(0,x0)时,p′(t)<0,p(t)单调递减;t∈(x0,1)时,p′(t)>0,p(t)单调递增.…(11分)又p(1)=a﹣1<0,所以p(x0)<0.…(12分)取t=e﹣3+2a∈(0,1),则p(e﹣3+2a)=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a(e﹣6+4a﹣2)+2e﹣3+2a>0,从而当t∈(0,x0)时,p(t)必存在唯一的零点t1,且0<t1<x0,即0<1﹣x1<x0,得x1∈(0,1),且x0+x1>1,从而函数g(x)在(0,1)内有唯一的零点x1,满足x0+x1>1.…(14分)解法二:(Ⅰ)同解法一;…(4分)(Ⅱ),令f ′(x )=0,由2ax 2+2x ﹣1=0,得.…(5分)设,则m ∈(1,+∞),,…(6分)问题转化为直线y=a 与函数的图象在(1,+∞)恰有一个交点问题.又当m ∈(1,+∞)时,h (m )单调递增,…(7分) 故直线y=a 与函数h (m )的图象恰有一个交点,当且仅当.…(8分)(Ⅲ)同解法一.(说明:第(Ⅲ)问判断零点存在时,利用t →0时,p (t )→+∞进行证明,扣1分)【点评】本题考查函数与导数等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能力.20.【答案】【解析】(1)]0,222[-;(2)2.(1)由1=a 且c b =,得4)2()(222b b b x b bx x x f -++=++=,当1=x 时,11)1(≤++=b b f ,得01≤≤-b ,…………3分故)(x f 的对称轴]21,0[2∈-=b x ,当1≤x 时,2min max ()()124()(1)11b b f x f b f x f ⎧=-=-≥-⎪⎨⎪=-=≤⎩,………… 5分 解得222222+≤≤-b ,综上,实数b 的取值范围为]0,222[-;…………7分112≤+=,…………13分且当2a =,0b =,1c =-时,若1≤x ,则112)(2≤-=x x f 恒成立, 且当0=x 时,2)(2+-=x x g 取到最大值2.)(x g 的最大值为2.…………15分21.【答案】(1){}11x x x ><-或;(2)(,2]-∞-. 【解析】试题解析:(1)因为()211f x x <--,所以1211x x -<--, 即1211x x ---<-,当1x >时,1211x x --+<-,∴1x -<-,∴1x >,从而1x >;当112x ≤≤时,1211x x --+<-,∴33x -<-,∴1x >,从而不等式无解; 当12x <时,1211x x -+-<-,∴1x <-,从而1x <-;综上,不等式的解集为{}11x x x ><-或.(2)由121()x x a f x ->---,得121x x a x a -+->--, 因为1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--,所以当(1)()0x x a --≥时,121x x a x a -+-=--; 当(1)()0x x a --<时,121x x a x a -+->--记不等式(1)()0x x a --<的解集为A ,则(2,1)A -⊆,故2a ≤-, 所以的取值范围是(,2]-∞-.考点:1.含绝对值的不等式;2.分类讨论. 22.【答案】【解析】(1)证明:设BD 交AC 于M ,连接ME . ∵ABCD 为正方形,∴M 为AC 中点, 又∵E 为A ′A 的中点, ∴ME 为△A ′AC 的中位线, ∴ME ∥A ′C .又∵ME ⊂平面BDE ,A ′C ⊄平面BDE , ∴A ′C ∥平面BDE .(2)解:∵V E﹣ABD====V A′﹣ABCD.∴V A′﹣ABCD:V E﹣ABD=4:1.。
杜集区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学一、选择题1. 已知数列{}n a 为等差数列,n S 为前项和,公差为d ,若201717100201717S S -=,则d 的值为( ) A .120 B .110C .10D .20 2. 已知实数x ,y满足约束条件,若y ≥kx ﹣3恒成立,则实数k 的数值范围是( )A .[﹣,0]B .[0,] C .(﹣∞,0]∪[,+∞)D .(﹣∞,﹣]∪[0,+∞)3. 下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为( ) A .y=sinxB .y=1g2xC .y=lnxD .y=﹣x 3【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用.【分析】根据正弦函数的单调性,对数的运算,一次函数的单调性,对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误,从而找出正确选项. 4.若函数是R 上的单调减函数,则实数a 的取值范围是( )A .(﹣∞,2) B.C .(0,2) D.5. 函数f (x )=()x2﹣9的单调递减区间为( ) A .(﹣∞,0) B .(0,+∞) C .(﹣9,+∞) D .(﹣∞,﹣9)6. 有下列说法:①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适.②相关指数R 2来刻画回归的效果,R 2值越小,说明模型的拟合效果越好.③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好.其中正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .37. 点集{(x ,y )|(|x|﹣1)2+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线,这条封闭曲线所围成的区域面积是( ) A. B.C.D.8. 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上单调递增,则实数的取值范围为( ) A .117⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B .117⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________C.1(][1)7-∞-+∞,,D .[1)+∞, 9. 如图是某几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为( )A .4B .5C .D .10.设0<a <b 且a+b=1,则下列四数中最大的是( )A .a 2+b 2B .2abC .aD .11.阅读右图所示的程序框图,若8,10m n ==,则输出的S 的值等于( ) A .28 B .36 C .45 D .12012.若函数y=|x|(1﹣x )在区间A 上是增函数,那么区间A 最大为( )A .(﹣∞,0)B .C .[0,+∞)D .二、填空题13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为14.已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值,若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点,则实数m 的取值范围是 ▲ .15.已知点M (x ,y )满足,当a >0,b >0时,若ax+by 的最大值为12,则+的最小值是 .16.设直线系M :xcos θ+(y ﹣2)sin θ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题: A .M 中所有直线均经过一个定点B.存在定点P不在M中的任一条直线上C.对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).17.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,对此图象,有如下结论:①在区间(﹣2,1)内f(x)是增函数;②在区间(1,3)内f(x)是减函数;③在x=2时,f(x)取得极大值;④在x=3时,f(x)取得极小值.其中正确的是.18.对于集合M,定义函数对于两个集合A,B,定义集合A△B={x|f A(x)f B(x)=﹣1}.已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合A△B的结果为.三、解答题19.已知抛物线C:x2=2y的焦点为F.(Ⅰ)设抛物线上任一点P(m,n).求证:以P为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n;(Ⅱ)若过动点M(x0,0)(x0≠0)的直线l与抛物线C相切,试判断直线MF与直线l的位置关系,并予以证明.20.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=,g(x)=,其中n∈N*(Ⅰ)求函数f(x)的最大值及函数g(x)的单调区间;(Ⅱ)若存在直线l:y=c(c∈R),使得曲线y=f(x)与曲线y=g(x)分别位于直线l的两侧,求n的最大值.(参考数据:ln4≈1.386,ln5≈1.609)21.(本题满分15分)已知函数c bx ax x f ++=2)(,当1≤x 时,1)(≤x f 恒成立. (1)若1=a ,c b =,求实数b 的取值范围;(2)若a bx cx x g +-=2)(,当1≤x 时,求)(x g 的最大值.【命题意图】本题考查函数单调性与最值,分段函数,不等式性质等基础知识,意在考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力.22.如图,四棱锥P ABC -中,,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====,M 为线段AD 上一点,2,AM MD N =为PC 的中点.(1)证明://MN 平面PAB ;(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值;23.(本题满分15分)正项数列}{n a 满足121223+++=+n n n n a a a a ,11=a .(1)证明:对任意的*N n ∈,12+≤n n a a ;(2)记数列}{n a 的前n 项和为n S ,证明:对任意的*N n ∈,32121<≤--n n S .【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性,不等式性质等基础知识,意在考查推理论证能力,分析和解决问题的能力.24..已知定义域为R 的函数f (x )=是奇函数.(1)求a 的值;(2)判断f (x )在(﹣∞,+∞)上的单调性.(直接写出答案,不用证明);(3)若对于任意t ∈R ,不等式f (t 2﹣2t )+f (2t 2﹣k )<0恒成立,求k 的取值范围.25.已知m ≥0,函数f (x )=2|x ﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3. (Ⅰ)求实数m 的值;(Ⅱ)若实数a ,b ,c 满足a ﹣2b+c=m ,求a 2+b 2+c 2的最小值.26.(本小题满分12分)1111]已知函数()()1ln 0f x a x a a x=+≠∈R ,.(1)若1a =,求函数()f x 的极值和单调区间;(2)若在区间(0]e ,上至少存在一点0x ,使得()00f x <成立,求实数的取值范围.杜集区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1. 【答案】B 【解析】试题分析:若{}n a 为等差数列,()()111212nn n na S d a n nn -+==+-⨯,则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列公差为2d ,2017171100,2000100,201717210S S d d ∴-=⨯==,故选B. 考点:1、等差数列的通项公式;2、等差数列的前项和公式. 2. 【答案】A【解析】解:由约束条件作可行域如图,联立,解得B (3,﹣3).联立,解得A().由题意得:,解得:.∴实数k的数值范围是. 故选:A .【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题.3. 【答案】B【解析】解:根据y=sinx 图象知该函数在(0,+∞)不具有单调性;y=lg2x =xlg2,所以该函数是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,所以选项B 正确; 根据y=lnx 的图象,该函数非奇非偶;根据单调性定义知y=﹣x 3在(0,+∞)上单调递减. 故选B .【点评】考查正弦函数的单调性,对数的运算,以及一次函数的单调性,对数函数的图象,奇偶函数图象的对称性,函数单调性的定义.4.【答案】B【解析】解:∵函数是R上的单调减函数,∴∴故选B【点评】本题主要考查分段函数的单调性问题,要注意不连续的情况.5.【答案】B【解析】解:原函数是由t=x2与y=()t﹣9复合而成,∵t=x2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数;又y=()t﹣9其定义域上为减函数,∴f(x)=()x2﹣9在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,+∞)为减函数,∴函数ff(x)=()x2﹣9的单调递减区间是(0,+∞).故选:B.【点评】本题考查复合函数的单调性,讨论内层函数和外层函数的单调性,根据“同増异减”再来判断是关键.6.【答案】C【解析】解:①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适,正确.②相关指数R2来刻画回归的效果,R2值越大,说明模型的拟合效果越好,因此②不正确.③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好,正确.综上可知:其中正确命题的是①③.故选:C.【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义,考查了理解能力和推理能力,属于中档题.7.【答案】A【解析】解:点集{(x,y)|(|x|﹣1)2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线,关于x,y轴对称,如图所示.由图可得面积S==+=+2.故选:A .【点评】本题考查线段的方程特点,由曲线的方程研究曲线的对称性,体现了数形结合的数学思想.8. 【答案】D 【解析】考点:1、导数;2、单调性;3、函数与不等式.9. 【答案】D 【解析】试题分析:因为根据几何体的三视图可得,几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直,面AEFG ⊥面,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,根据几何体的性质得:AC GC ==GE ===4,BG AD EF CE ====,所以最长为GC =.考点:几何体的三视图及几何体的结构特征. 10.【答案】A【解析】解:∵0<a <b 且a+b=1∴∴2b >1∴2ab ﹣a=a (2b ﹣1)>0,即2ab >a又a 2+b 2﹣2ab=(a ﹣b )2>0 ∴a 2+b 2>2ab∴最大的一个数为a 2+b 2故选A11.【答案】C【解析】解析:本题考查程序框图中的循环结构.121123mnn n n n m S C m---+=⋅⋅⋅⋅=,当8,10m n ==时,82101045m n C C C ===,选C .12.【答案】B【解析】解:y=|x|(1﹣x )=,再结合二次函数图象可知函数y=|x|(1﹣x )的单调递增区间是:. 故选:B .二、填空题13.【答案】 26【解析】解:由三视图知几何体为为三棱柱,去掉一个三棱锥的几何体,如图:三棱柱的高为5,底面是直角边为4,3,去掉的三棱锥,是底面是直角三角形直角边为4,3,高为2的三棱锥.∴几何体的体积V==26.故答案为:26.【点评】本题考查由三视图求几何体的体积,解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量.14.【答案】()53,44--【解析】试题分析:()23f x x m '=+,因为()10g =,所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点,须满足()10,0,0f f m ><<,解得51534244m m >->⇒-<<- 考点:函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 15.【答案】 4 .【解析】解:画出满足条件的平面区域,如图示:,由,解得:A (3,4),显然直线z=ax+by 过A (3,4)时z 取到最大值12,此时:3a+4b=12,即+=1,∴+=(+)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当3a=4b时“=”成立,故答案为:4.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了利用基本不等式求最值,解答此题的关键是对“1”的灵活运用,是基础题.16.【答案】BC【解析】【分析】验证发现,直线系M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圆x2+(y﹣2)2=1的切线的集合,A.M中所有直线均经过一个定点(0,2)是不对,可由圆的切线中存在平行线得出,B.存在定点P不在M中的任一条直线上,观察直线的方程即可得到点的坐标.C.对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上,由直线系的几何意义可判断,D.M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等,由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出.【解答】解:因为点(0,2)到直线系M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离d==1,直线系M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圆x2+(y﹣2)2=1的切线的集合,A.由于直线系表示圆x2+(y﹣2)2=1的所有切线,其中存在两条切线平行,M中所有直线均经过一个定点(0,2)不可能,故A不正确;B.存在定点P不在M中的任一条直线上,观察知点M(0,2)即符合条件,故B正确;C.由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线,所以对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上,故C正确;D.如下图,M中的直线所能围成的正三角形有两类,其一是如△ABB′型,是圆的外切三角形,此类面积都相等,另一类是在圆同一侧,如△BDC型,此一类面积相等,但两类之间面积不等,所以面积大小不一定相等,故本命题不正确.故答案为:BC.17.【答案】③.【解析】解:由y=f'(x)的图象可知,x∈(﹣3,﹣),f'(x)<0,函数为减函数;所以,①在区间(﹣2,1)内f(x)是增函数;不正确;②在区间(1,3)内f(x)是减函数;不正确;x=2时,y=f'(x)=0,且在x=2的两侧导数值先正后负,③在x=2时,f(x)取得极大值;而,x=3附近,导函数值为正,所以,④在x=3时,f(x)取得极小值.不正确.故答案为③.【点评】本题考察了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题.18.【答案】{1,6,10,12}.【解析】解:要使f A(x)f B(x)=﹣1,必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6,10}∪{1,12}={1,6,10,12,},所以A△B={1,6,10,12}.故答案为{1,6,10,12}.【点评】本题是新定义题,考查了交、并、补集的混合运算,解答的关键是对新定义的理解,是基础题.三、解答题19.【答案】【解析】证明:(Ⅰ)由抛物线C:x2=2y得,y=x2,则y′=x,∴在点P(m,n)切线的斜率k=m,∴切线方程是y﹣n=m(x﹣m),即y﹣n=mx﹣m2,又点P(m,n)是抛物线上一点,∴m2=2n,∴切线方程是mx﹣2n=y﹣n,即mx=y+n …(Ⅱ)直线MF与直线l位置关系是垂直.由(Ⅰ)得,设切点为P(m,n),则切线l方程为mx=y+n,∴切线l的斜率k=m,点M(,0),又点F(0,),此时,k MF====…∴k•k MF=m×()=﹣1,∴直线MF⊥直线l …【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,导数的几何意义,直线垂直的条件等,属于中档题.20.【答案】【解析】解:(Ⅰ)函数f(x)在区间(0,+∞)上不是单调函数.证明如下,,令f′(x)=0,解得.所以函数f(x)在区间上为单调递增,区间上为单调递减.所以函数f(x)在区间(0,+∞)上的最大值为f()==.g′(x)=,令g′(x)=0,解得x=n.x g′x g x↗(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)的最小值为g(n)=,∵存在直线l:y=c(c∈R),使得曲线y=f(x)与曲线y=g(x)分别位于直线l的两侧,∴≥,即e n+1≥n n﹣1,即n+1≥(n﹣1)lnn,当n=1时,成立,当n≥2时,≥lnn,即≥0,设h(n)=,n≥2,则h(n)是减函数,∴继续验证,当n=2时,3﹣ln2>0,当n=3时,2﹣ln3>0,当n=4时,,当n=5时,﹣ln5<﹣1.6<0, 则n 的最大值是4.【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,同时考查了函数的最值的求法,属于难题.21.【答案】【解析】(1)]0,222[-;(2)2.(1)由1=a 且c b =,得4)2()(222b b b x b bx x x f -++=++=,当1=x 时,11)1(≤++=b b f ,得01≤≤-b ,…………3分故)(x f 的对称轴]21,0[2∈-=b x ,当1≤x 时,2min max ()()124()(1)11b b f x f b f x f ⎧=-=-≥-⎪⎨⎪=-=≤⎩,………… 5分 解得222222+≤≤-b ,综上,实数b 的取值范围为]0,222[-;…………7分112≤+=,…………13分且当2a =,0b =,1c =-时,若1≤x ,则112)(2≤-=x x f 恒成立,且当0=x 时,2)(2+-=x x g 取到最大值2.)(x g 的最大值为2.…………15分22.【答案】(1)证明见解析;(2)25. 【解析】试题解析:(2)在三角形AMC 中,由22,3,cos 3AM AC MAC ==∠=,得 2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠=, 222AM MC AC +=,则AM MC ⊥, ∵PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面PAD ,∴平面ABCD ⊥平面PAD ,且平面ABCD平面PAD AD =,∴CM ⊥平面PAD ,则平面PNM ⊥平面PAD ,在平面PAD 内,过A 作AF PM ⊥,交PM 于F ,连结NF ,则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角。
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上......... 1.已知集合{}{}2,1,==A B a ,若{}0,1,2AB =,则实数a 的值为 ▲ .2.已知复数z 满足1i -=z (i 为虚数单位),则z 的模为 ▲ . 3.已知幂函数=m y x的图象过点(,则实数m 的值为 ▲ . 4.已知[)()1,4,,==-∞A B a ,若⊆A B ,则实数a 的取值范围为 ▲ .5.已知函数2,1,()2,1⎧>=⎨-≤⎩,x x f x x x 那么((3))-=f f ▲ .6.i 为虚数单位,234i i i i +++= ▲ .7.若函数2()21=--f x x mx 在区间(),2-∞上是单调减函数,则实数m 的取值范围为▲ . 8.已知17+=a a,则22-+=a a ▲ . 9.设,R ∈a b ,集合{}1,,0,,⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭b a b a b a ,则-b a 的值为 ▲ .10.有下面四个不等式:① 222++≥++a b c ab bc ca ;②()114-≤a a ;③2+≥b a a b ;④2+≥a b.其中恒成立的有 ▲ 个. 11.若函数()f x 是R 上的奇函数,当0≥x 时,()2=++x f x x a ,则(2)-=f ▲ . 12.已知ABC V 的三边长为,,a b c ,内切圆半径为r ,则ABC V 的面积1()2=++ABC S r a b c V .类比这一结论有:若三棱锥-A BCD 的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ,内切球半径为R ,则三棱锥-A BCD 的体积-=A BCD V ▲ .13.已知函数()()3,0ln ,0+≤⎧=∈⎨>⎩ax x h x a R x x ,若函数()=-y h x a 有三个零点,则实数a 的取值范围是 ▲ .14.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为15379111917151321232527291,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,…, 如图所示,在宝塔形数表中位于第i 行、第j 列的数 记为,i j a ,比如3,2=9a ,4,2=17a ,5,4=27a . 若,2019=i j a ,则+=i j ▲ .二、解答题:本大题共6小题,15~17题每题14分,18~20题每题16分,共计90分.请在答题卡指定区域内作答..........,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)设全集R =U ,集合{}{}39,3=≥=≤≤+xA xB x a x a . (1)当1=a 时,求⋂A B ;(2)若⋃=A B A ,求实数a 的取值范围.16.(本小题满分14分)已知复数12i(),12i R =-∈=-z a a z ,其中i 是虚数单位,且12z z 为纯虚数. (1)求实数a 的值;(2)若复数21(2)()R ++∈z b b 在复平面内对应的点在第四象限,求实数b 的取值范围.17.(本小题满分14分)(1)已知0,0>>>a b m ,求证:+<+b b ma a m.(2)已知,,a b c 成等差数列,且公差0≠d ,求证:111,,a b c不可能成等差数列.18.(本小题满分16分)据调查:人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加.据测,2015年,2016年,2017年大气中的CO 2浓度分别比2014年增加了1个单位,3个单位,6个单位.若用一个函数模拟每年CO 2浓度增加的单位数y 与年份增加数x 的关系,模拟函数可选用二次函数2=++y px qx r (其中,,p q r 为常数)或函数=⋅+x y a b c (其中a ,b ,c 为常数),又知2018年大气中的CO 2浓度比2014年增加了16.5个单位,请问用以上哪个函数作模拟函数较好?19.(本小题满分16分)函数()()2log 41=-xf x .(1)求函数()f x 的定义域; (2)若[]1,2∈x ,函数()()221=-⋅+f x x g x m ,是否存在实数m 使得()g x 的最小值为14,若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数()||f x x x a x =-+,a R ∈.(1)若0a =,判断函数()y f x =的奇偶性,并加以证明; (2)若函数()f x 在R 上是增函数,求实数a 的取值范围;(3)若存在实数[2,3]∈-a ,使得关于x 的方程()()0f x tf a -=有三个不相等的实数根,求实数t 的取值范围.高二数学试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上......... 1. 已知集合{}{}2,1,==A B a ,若{}0,1,2A B =,则实数a 的值为 ▲ .答案: 02.已知复数z 满足1i -=z (i 为虚数单位),则z 的模为 ▲ .3.已知幂函数=m y x 的图象过点(,则实数m 的值为 ▲ . 答案:124.已知[)()1,4,,==-∞A B a ,若⊆A B ,则实数a 的取值范围为 ▲ . 答案:4≥a5. 已知函数2,1,()2,1⎧>=⎨-≤⎩,x x f x x x 那么((3))-=f f ▲ .答案:256.i 为虚数单位,234i i i i +++= ▲ . 答案:07.若函数2()21=--f x x mx 在区间(),2-∞上是单调减函数,则实数m 的取值范围为 ▲ . 答案:2≥m 8.已知17+=a a,则22-+=a a ▲ . 答案:479.设,R ∈a b ,集合{}1,,0,,⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭b a b a b a ,则-b a 的值为 ▲ .答案: 210. 有下面四个不等式:①222++≥++a b c ab bc ca ;②()114-≤a a ;③2+≥b aa b;④2+≥a b.其中恒成立的有 ▲ 个.答案:211.若函数()f x 是R 上的奇函数,且当0≥x 时,()2=++x f x x a ,则(2)-=f ▲ . 答案:5-12.已知ABC V 的三边长为,,a b c ,内切圆半径为r ,则ABC V 的面积1()2=++ABC S r a b c V .类比这一结论有:若三棱锥-A BCD 的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ,内切球半径为R ,则三棱锥-A BCD 的体积-=A BCD V ▲ . 答案:12341()3+++R S S S S 13.已知函数()()3,0ln ,0+≤⎧=∈⎨>⎩ax x h x a R x x ,若函数()=-y h x a 有三个零点,则实数a 的取值范围是 ▲ . 答案:3>a14. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,…, 如图所示,在宝塔形数表中位于第i 行、第j 列的数 记为,i j a ,比如 3.29a =, 4.217=a , 5.427=a . 若,2019=i j a ,则i j += ▲ . 答案:65二、解答题:本大题共6小题,15~17题每题14分,18~20题每题16分,共计90分.请在答题卡指....定区域内作答......,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)设全集R =U ,集合{}{}39,3=≥=≤≤+xA xB x a x a . (1)当1=a 时,求⋂A B ;(2)若⋃=A B A ,求实数a 的取值范围.解:(1)当1=a 时,[1,4]=B . …………………2分由{}39=≥xA x [)2,⇒=+∞A …………………4分所以[2,4]⋂=A B . …………………7分1537911191715132123252729(2)由⋃=A B A 得⊆B A . …………………10分所以2≥a . …………………14分16.(本小题满分14分)已知复数12i(),12i R =-∈=-z a a z ,其中i 是虚数单位,且12z z 为纯虚数. (1)求实数a 的值;(2)若复数21(2)()R ++∈z b b 在复平面内对应的点在第四象限,求实数b 的取值范围. 解:(1) 12i (i)(12i)(2)(21)i 2(21)i 12i (12i)(12i)555--+++-+-====+--+z a a a a a a z .………3分因为12z z 为纯虚数,所以2=052105+⎧⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩a a ,所以2a =-. ………………7分(2) 2221(2)(i)12i ++=-=--z b b b b , ……………………9分由已知21020⎧->⎨-<⎩b b , ……………………11分 解得1>b ,所以实数b 的取值范围为()1,+∞. ……………………14分17.(本小题满分14分)(1)已知0,0>>>a b m ,求证:+<+b b ma a m. (2)已知,,a b c 成等差数列,且公差0≠d ,求证:111,,a b c不可能成等差数列. (1)证明:()()()()().()()++-++---==+++--==++b b m b a m a b m ba bm ab am a a m a a m a a m bm am b a m a a m a a m…………………4分因为0,0>>>a b m ,所以()0,0,()0.-<>+>b a m a a m从而()0()-<+b a m a a m ,即0+-<+b b m a a m .所以+<+b b ma a m. …………………7分 (2)证明:假设111,,a b c 成等差数列,则112+=a c b. …………………8分 又,,a b c 成等差数列,所以2=+b a c . 则22=b ac b,即2=b ac . …………………10分 故()24+=a c ac ,即有:()20-=a c ,所以=a c .从而==a b c .这与公差0≠d 矛盾. …………………13分 从而假设不成立,所以111,,a b c不可能成等差数列. …………………14分 18. (本小题满分16分)据调查:人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加.据测,2015年,2016年,2017年大气中的CO 2浓度分别比2014年增加了1个单位,3个单位,6个单位.若用一个函数模拟每年CO 2浓度增加的单位数y 与年份增加数x 的关系,模拟函数可选用二次函数2=++y px qx r (其中,,p q r 为常数)或函数=⋅+x y a b c (其中a ,b ,c 为常数),又知2018年大气中的CO 2浓度比2014年增加了16.5个单位,请问用以上哪个函数作模拟函数较好? 解: 若以2()f x px qx r =++作模拟函数,则依题意得:1423936p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩⇒12120p q r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,∴211()22f x x x =+. …………………5分若以()xg x a b c =∙+作模拟函数,则23136ab c ab c ab c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩⇒83323a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩,∴83()()332x g x =∙-. …………………10分利用()f x ,()g x 对2018年CO 2浓度作估算, 则其数值分别为:(4)10f =单位,(4)10.5g =单位,∵|(4)16.5f -|>|(4)16.5g -|, …………………14分 故83()()332x g x =∙-作模拟函数与2018年的实际数据较为接近,用83()()332xg x =∙-作模拟函数较好.…………………16分19.(本小题满分16分) 函数()()2log 41=-xf x .(1)求函数()f x 的定义域; (2)若[]1,2∈x ,函数()()221=-⋅+f x x g x m ,是否存在实数m 使得()g x 的最小值为14,若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意:410->x,∴41>x,则0>x , ……………2分所以函数()f x 的定义域为()0,+∞. ……………4分 (2)()()2log (41)221221412142xf x x x x x x xg x m m m m -=-⋅+=-⋅+=--⋅+=-⋅……………7分令2=xt , 因为[]1,2∈x ,所以[]2,4∈t . 则()[]2,2,4=-∈h t t mt t .……………9分对称轴为2=m t , ①若2,42=≤≤即mt m 时,()h t 在[]2,4上为增函数,此时当2=t 时,最小, 即()12424=-=h m ,解得158=m 成立; ……………11分 ②若4,82=≥≥即mt m 时,()h t 在[]2,4上为减函数,此时当4=t 时,最小, 即()141644=-=h m ,解得6316=m 不合,舍去; ……………13分③若()2,4,82=∈<<即4m t m 时,()2min 1424⎛⎫==-≠ ⎪⎝⎭m h m t h ,即此时不满足条件;……………15分综上,存在实数158=m 使得()g x 的最小值为14. ……………16分 20.(本小题满分16分)已知函数()||f x x x a x =-+,a R ∈.(1)若0a =,判断函数()y f x =的奇偶性,并加以证明; (2)若函数()f x 在R 上是增函数,求实数a 的取值范围;(3)若存在实数[2,3]∈-a ,使得关于x 的方程()()0f x tf a -=有三个不相等的实数根,求实数t 的取值范围.解:(1)函数()y f x =为奇函数. ……………1分当0a =时,()||f x x x x =+,x R ∈,∴ ()||()||()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-,∴ 函数()y f x =为奇函数; ……………4分(2)22(1),()()(1),()x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩,当x a ≥时,()y f x =的对称轴为:12a x -=; 当<x a 时,()y f x =的对称轴为:12a x +=;∴当1122a a a -+≤≤时,()y f x =在R 上是增函数, 即11a -≤≤时,函数()y f x =在R 上是增函数; ………………8分 (3)方程()()0f x tf a -=的解即为方程()()f x tf a =的解. ①当11a -≤≤时,函数()y f x =在R 上是增函数,∴关于x 的方程()()f x tf a =不可能有三个不相等的实数根; ………………9分②当1a >时,即1122a a a +->>, ∴()y f x =在1(,)2a +-∞上单调增,在1(,)2a a +上单调减,在(,)a +∞上单调增, ∴当1()()()2a f a tf a f +<<时,关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根;即2(1)4a a ta +<<,即244(1)a t a a <∙<+, ∵1a >,∴111(2)4t a a <<++. 设11()(2)4h a a a=++, ∵存在[2,3]∈-a 使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根, ∴max 1()t h a <<,又可证11()(2)4h a a a =++在(1,3]上单调增. ∴max 4()3=h a ,∴413<<t ; ………………………12分 ③当1a <-时,即1122a a a -+<<, ∴()y f x =在(,)a -∞上单调增,在1(,)2a a -上单调减,在1(,)2a -+∞上单调增, ∴当1()()()2a f tf a f a -<<时,关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根; 即2(1)4a ta a --<<,∵1a <-∴111(2)4t a a<<-+-, 设11()(2)4g a a a=-+- ∵存在[2,3]∈-a 使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根, ∴max 1()t g a <<,又可证11()(2)4g a a a =-+-在[2,1)--上单调减,∴max 9()8g a = ∴918t <<; …………………………15分 综上:413<<t . …………………………16分。
杜集区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1. 487被7除的余数为a (0≤a <7),则展开式中x ﹣3的系数为( )A .4320B .﹣4320C .20D .﹣202. 集合{}5,4,3,2,1,0=S ,A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.73. 已知圆C 1:x 2+y 2=4和圆C 2:x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称,则直线l 的方程为( ) A .x+y=0 B .x+y=2 C .x ﹣y=2 D .x ﹣y=﹣24. 某一简单几何体的三视图如所示,该几何体的外接球的表面积是( )A .13πB .16πC .25πD .27π5. 集合A={1,2,3},集合B={﹣1,1,3},集合S=A ∩B ,则集合S 的子集有( ) A .2个 B .3 个 C .4 个 D .8个6. 直线2x+y+7=0的倾斜角为( ) A .锐角 B .直角 C .钝角 D .不存在7. 已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+(a+2)y+1=0互相平行,则实数a 等于( ) A .1或﹣3 B .﹣1或3 C .1或3 D .﹣1或﹣38. 设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中x k 的系数不可能是( )A .10B .40C .50D .80 9. 空间直角坐标系中,点A (﹣2,1,3)关于点B (1,﹣1,2)的对称点C 的坐标为( ) A .(4,1,1) B .(﹣1,0,5)C .(4,﹣3,1)D .(﹣5,3,4)10.在△ABC 中,已知A=30°,C=45°,a=2,则△ABC 的面积等于( )A.B.C.D.11.已知两不共线的向量,,若对非零实数m ,n 有m+n与﹣2共线,则=( )A .﹣2B .2C.﹣ D.12.集合{}1,2,3的真子集共有( )A .个B .个C .个D .个班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________二、填空题13.已知函数y=f (x ),x ∈I ,若存在x 0∈I ,使得f (x 0)=x 0,则称x 0为函数y=f (x )的不动点;若存在x 0∈I ,使得f (f (x 0))=x 0,则称x 0为函数y=f (x )的稳定点.则下列结论中正确的是 .(填上所有正确结论的序号)①﹣,1是函数g (x )=2x 2﹣1有两个不动点;②若x 0为函数y=f (x )的不动点,则x 0必为函数y=f (x )的稳定点; ③若x 0为函数y=f (x )的稳定点,则x 0必为函数y=f (x )的不动点; ④函数g (x )=2x 2﹣1共有三个稳定点;⑤若函数y=f (x )在定义域I 上单调递增,则它的不动点与稳定点是完全相同.14.曲线在点(3,3)处的切线与轴x 的交点的坐标为 .15.已知正四棱锥O ABCD -的体积为2则该正四棱锥的外接球的半径为_________16.如果定义在R 上的函数f (x ),对任意x 1≠x 2都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2(fx 1),则称函数为“H 函数”,给出下列函数①f (x )=3x+1 ②f (x )=()x+1③f (x )=x 2+1 ④f (x )=其中是“H 函数”的有 (填序号)17.下列函数中,①;②y=;③y=log 2x+log x 2(x >0且x ≠1);④y=3x +3﹣x ;⑤;⑥;⑦y=log 2x 2+2最小值为2的函数是 (只填序号)18.若全集,集合,则三、解答题19.(本小题满分12分)数列{}n b 满足:122n n b b +=+,1n n n b a a +=-,且122,4a a ==. (1)求数列{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n a 的前项和n S .20.已知函数(a ≠0)是奇函数,并且函数f (x )的图象经过点(1,3),(1)求实数a ,b 的值; (2)求函数f (x )的值域.21.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f .(I )若R x ∈∃0,使得不等式m x f ≤)(0成立,求实数m 的最小值M ; (Ⅱ)在(I )的条件下,若正数,a b 满足3a b M +=,证明:313b a+≥.22.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数()f x x a =-,()a R ∈.(Ⅰ)若当04x ≤≤时,()2f x ≤恒成立,求实数a 的取值; (Ⅱ)当03a ≤≤时,求证:()()()()f x a f x a f ax af x ++-≥-.23.如图,已知AB是圆O的直径,C、D是圆O上的两个点,CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG.(Ⅰ)求证:C是劣弧的中点;(Ⅱ)求证:BF=FG.24.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入x i(单位:千元)与月储蓄y i(单位:千元)的数据资料,计算得x i=80,y i=20,x i y i=184,x i2=720.(1)求家庭的月储蓄对月收入的回归方程;(2)判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.杜集区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题(参考答案)一、选择题1. 【答案】B解析:解:487=(49﹣1)7=﹣+…+﹣1,∵487被7除的余数为a (0≤a <7), ∴a=6,∴展开式的通项为T r+1=,令6﹣3r=﹣3,可得r=3,∴展开式中x ﹣3的系数为=﹣4320,故选:B .. 2. 【答案】C 【解析】试题分析:根据题中“孤立元素”定义可知,若集合B 中不含孤立元素,则必须没有三个连续的自然数存在,所有B 的可能情况为:{}0,1,3,4,{}0,1,3,5,{}0,1,4,5,{}0,2,3,5,{}0,2,4,5,{}1,2,4,5共6个。
滩桥高中2017-2018学年度下学期中考试高二年级数学试卷考时:120 分值:150一、选择题(本大题共12小题,共60分)1.若曲线表示椭圆,则k的取值范围是()A. k>1B. k<-1C. -1<k<1D. -1<k<0或0<k<12.“a>1“是“<1“的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件3命题:“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是()A. 若a≠b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0B. 若a=b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0C. 若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0D. 若a≠0或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠04.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A. -B. -C.D. 25.椭圆的焦距为8,且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10,则该椭圆的标准方程是()A. +=1B. +=1或+=1C. + =1D. +=1或+=16.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.7.设F1,F2是椭圆的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|最大值为5,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.8椭圆中,以点M(1,2)为中点的弦所在直线斜率为()A. B. C. D.9.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为() A. 2 B. C. D.10.设P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=5,则|PF2|=()A. 1或9B. 6C. 9D. 以上都不对11.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A. 16B. 14C. 12D. 1012. (文科)点A(2,1)到抛物线y2=ax准线的距离为1,则a的值为()A. -4或-12B. 或C. 或D. 4或1212. (理科)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A. (0,1]∪[9,+∞)B. (0,]∪[9,+∞)C. (0,1]∪[4,+∞)D. (0,]∪[4,+∞)二、填空题(本大题共4小题,共20分)13.若命题“∃t∈R,t2-2t-a<0”是假命题,则实数a的取值范围是______.14.已知A(-1,4),B(3,-2),以AB为直径的圆的标准方程为______ ______ .15.已知双曲线-=1的离心率为,则m= ______ .16.(文科)椭圆C:+=1的上、下顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是______ .16.(理科)设椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2的内切圆的面积为π,设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则|y1-y2|值为______ .三、解答题(本大题共6小题,共72分)17.已知命题p:方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根;命题q:2m+1<4.(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.18.已知直线l:x-my+3=0和圆C:x2+y2-6x+5=0(1)当直线l与圆C相切时,求实数m的值;(2)当直线l与圆C相交,且所得弦长为时,求实数m的值.19.已知抛物线的标准方程是y2=6x,(1)求它的焦点坐标和准线方程,(2)直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°,且与抛物线的交点为A、B,求AB的长度.20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若=,求椭圆离心率的值.21.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.22.(文科)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且•=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.22(理科).已知双曲线的左右两个顶点是A1,A2,曲线C上的动点P,Q关于x轴对称,直线A1P与A2Q交于点M,(1)求动点M的轨迹D的方程;(2)点E(0,2),轨迹D上的点A,B满足,求实数λ的取值范围.滩桥高中2017-2018学年度下学期中考试高二年级文科数学试卷参考答案1-12 DADAB BADAC A A 13. (-∞,-1]14. (x-1)2+(y-1)2=13 15. 2或-5 16(文科)[] 16(理科)17. 解:(1)若p为真命题,则应有△=8-4m>0,…(3分)解得m<2.…(4分)(2)若q为真命题,则有m+1<2,即m<1,…(6分)因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p,q应一真一假.…(7分)①当p真q假时,有,得1≤m<2;…(8分)②当p假q真时,有,无解.…(9分)综上,m的取值范围是[1,2).…(10分)(注:若借助数轴观察且得出正确答案,则给满分,否则不得分)18. 解:(1)由x2+y2-6x+5=0得,(x-3)2+y2=4,∴圆心C为(3,0),r=2;∵直线x-my+3=0与圆C相切,∴解得m=或m=;(2)设圆心C到直线l的距离为d,且弦长为,由勾股定理得:,由点到直线的距离公式得,,∴=,解得m=±3.所以实数m的值为3或-3.19. 解:(1)抛物线的标准方程是y2=6x,焦点在x轴上,开口向右,2p=6,∴=∴焦点为F(,0),准线方程:x=-,(2)∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°,∴直线L的方程为y=x-,代入抛物线y2=6x化简得x2-9x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=9,所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12.故所求的弦长为12.20. 解:如图,由题意,A(-c,-),F2(c,0),C(x,y),∵+2=,(2c,)+2(-x+c,-y)=(0,0),∴y=,x=2c.∴C(2c,),代入椭圆,+=1,由b2=a2-c2,整理得:5c2=a2,解得e==.椭圆的离心率.故答案为:.21. 解:(1)由题意知,4a=8,则a=2,由椭圆离心率e===,则b2=3.∴椭圆C的方程;(2)由题意,当直线AB的斜率不存在,此时可设A(x0,x0),B(x0,-x0).又A,B两点在椭圆C上,∴,∴点O到直线AB的距离,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m.设A(x1,y1),B(x2,y2)联立方程,消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.由已知△>0,x1+x2=-,x1x2=,由OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,整理得:(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,∴.∴7m2=12(k2+1),满足△>0.∴点O到直线AB的距离d===为定值.综上可知:点O到直线AB的距离d=为定值.22【文科】解:(1)设M(x0,y0),由题意可得N(x0,0),设P(x,y),由点P满足=.可得(x-x0,y)=(0,y0),可得x-x0=0,y=y0,即有x0=x,y0=,代入椭圆方程+y2=1,可得+=1,即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2;(2)证明:设Q(-3,m),P(cosα,sinα),(0≤α<2π),•=1,可得(cosα,sinα)•(-3-cosα,m-sinα)=1,即为-3cosα-2cos2α+m sinα-2sin2α=1,解得m=,即有Q(-3,),椭圆+y2=1的左焦点F(-1,0),由k OQ=-,k PF=,由k OQ•k PF=-1,可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.22【理科】解:(1)由已知A1(-2,0),A2(2,0),设则直线,直线,两式相乘得,化简得,即动点M的轨迹D的方程为;(2)过E(0,2)的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率k存在,A(x1,y1),B(x2,y2),,则由(2)(4)解得x1,x2代入(3)式得,化简得,由(1)△≥0解得代入上式右端得,,解得,综上实数的取值范围是.。
2019学年第二学期期中考试高二文科数学一、选择题(每题只有一个正确选项,每题5分,共60分)1.观察下列各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10等于( )A .28B .76C .123D .1992. 已知x >0,若x +81x的值最小,则x 为( ). A . 81 B . 9 C . 3 D .163. 若2()31f x x x =-+,2()21g x x x =+-,则()f x 与()g x 的大小关系为( ). A .()()f x g x > B .()()f x g x = C .()()f x g x < D .随x 值变化而变化4. 点P 的直角坐标为(1,-3),则点P 的极坐标为( )A.⎪⎭⎫⎝⎛-32π,B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛32π,C.⎪⎭⎫⎝⎛322π, D.()π,2 5. 点M 的极坐标⎪⎭⎫⎝⎛66π,化成直角坐标为( )A.()33,3B.()3,1C.()13,D.()333,6.若,x y R +∈,且1x y +=,则11x y+的最小值是( ) A .1 B .2 C .3 D .47.已知1,,10,10++==<<<<y x Q xy P y x ,则P,Q 的大小关系是( ) A.Q P < B.Q P = C.Q P > D.不确定8.如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图,则直接影响“计划” 要素有( )A .1个B .2个C .3个D .4个9. ,0,0>>b a 比较 2b a +,b a ab +2,222b a +,ab 大小关系( )A.222b a +≤ab ≤2b a +≤b a ab +2 B.ab ≤b a ab +2≤2b a +≤222b a + C.b a ab +2≤2ba +≤ab ≤222b a + D.b a ab +2≤ab ≤2b a +≤222b a + 10.根据如下样本数据:得到的回归方程为y =bx +a ,则( )A.0a > ,0<bB.0a > ,0>bC.0a < ,0<bD.0a < ,0>b 11.下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量yy =-0.7x +a ,则a =( )A .10.5B .5.15C .5.2D .5.2512. 为了考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,北京市西城区教育研修学院在西城区的高中学生中随机地抽取300名学生调查,得到下表:则通过计算,可得统计量χ2的值是( ) χ2=n ad -bc 2a +bc +d a +cb +dA.4.512B.6.735C.3.325D.12.624二、填空题(每小题5分,共20分) 13.已知3x >,则1()3f x x x =+-的最小值为 . 14. 若0<x<3,则函数f(x)=x(3-x)的最大值为 . 15.不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是_______. (区间的形式)16.已知不等式|x+1|+|x-2|≥m 的解集是R ,则实数m 的取值范围是_______. (区间的形式) 三、解答题(写出必要的推理计算过程,17题10分,其他每题12分,共70分))用分析法证明:(2)设0>x ,求证:12162≥+xx .18.已知函数f (x )=|x +1|-|2x -3|.(1)写出y =f (x )的分段函数形式并画出y =f (x )的图象; (2)求不等式|f (x )|>9的解集.19.设函数f (x )=|2x +1|-|x -4|.(1)解不等式f (x )>0;(2)若f (x )+3|x -4|>m 对一切实数x 均成立,求实数m 的取值范围.20. 设边长为3的正方形白铁片,在它的四角各剪去一个小正方形(剪去的四个小正方形全等).然后弯折成一只无盖的盒子,问:剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?21.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了4次试验,得到数据如下:2 5 (1)画出散点图;(2)求y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ; (3)试预测加工10个零件需要的时间. 附:回归方程y =bx +a 中:1122211()(),().n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnxa y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑22.(1)已知a >0,b >0,且a +b =1.求ab 的最大值;(2)设a ,b ,c 为正数,且a +b +c =1,求证:3100111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+c c b b a a .北京临川学校2017--2019学年第二学期期中考试高二文科数学参考答案一、选择题(每题只有一个正确选项,每题5分,共60分)二、填空题(每小题5分,共20分) 13. 5 14.4915.(-∞,-4]∪[6,+∞) 16.(-∞,3] 三、解答题(写出必要的推理或计算过程,共70分) 17. (1)略(2)略 18.解 (1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤ 32,-x +4,x >32,y =f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的表达式及图象,当f (x )=-9时,可得x =5,f (x )<-1的解集为{}5-<x x .所以|f (x )|>1的解集为{}5-<x x . 19.解:(1)当x ≥4时,f (x )=2x +1-(x -4)=x +5>0,得x >-5,所以x ≥4.当-12≤x <4时,f (x )=2x +1+x -4=3x -3>0,得x >1,所以1<x <4.当x <-12时,f (x )=-x -5>0,得x <-5,所以x <-5.综上,原不等式的解集为(-∞,-5)∪(1,+∞).(2)f (x )+3|x -4|=|2x +1|+2|x -4|≥|2x +1-(2x -8)|=9, 当-12≤x ≤4时等号成立,所以m <9,即m 的取值范围为(-∞,9). 20.221.解:(1)散点图如图所示:(2)由题中表格数据得x -=3.5,y -=3.5, ∑4i =1 (x i -x -)(y i -y -)=3.5,∑4i =1(x i -x -)2=5, 由公式计算得b ^=0.7,a ^=y --b ^x -=1.05,所以所求线性回归方程为y ^=0.7x +1.05. (3)当x =10时,y ^=0.7×10+1.05=8.05, 所以预测加工10个零件需要8.05小时.(2)当x =10时,y ^=1.23×10+0.08=12.38(万元),即当使用10年时,估计维修费用是12.38万元.22. 解析 (1)∵a>0,b>0,且a+b=1,∴≤=,∴ab≤当且仅当a=b=时,等号成立,即ab 的最大值为.(2)证明:∵a,b,c为正数,且a+b+c=1,∴(a+)2+(b+)2+(c+)2====,当且仅当时取等号.所以原不等式成立.。
杜集区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学一、选择题1. 在△ABC 中,C=60°,AB=,AB边上的高为,则AC+BC 等于( )A. B .5 C .3 D.2. 若函数y=a x ﹣(b+1)(a >0,a ≠1)的图象在第一、三、四象限,则有( ) A .a >1且b <1 B .a >1且b >0 C .0<a <1且b >0 D .0<a <1且b <03. 若函数1,0,()(2),0,x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩则(3)f -的值为( )A .5B .1-C .7-D .2 4. 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,则m 的值为( )A .5B .7C .9D .115. 矩形ABCD 中,AD=mAB ,E 为BC的中点,若,则m=( )A.B.C .2D .36. 已知函数f (x )=a x ﹣1+log a x 在区间[1,2]上的最大值和最小值之和为a ,则实数a 为( ) A.B.C .2D .47. 执行如图所示的程序框图,若a=1,b=2,则输出的结果是( )A .9B .11C .13D .15班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________8. 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是( )A .B .C .D .9. 定义运算,例如.若已知,则=( )A .B .C .D .10.在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱AA 1=,M 为A 1B 1的中点,则AM 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为( )A .B .C .D .11.已知点A (1,1),B (3,3),则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A .y=﹣x+4 B .y=x C .y=x+4 D .y=﹣x12.十进制数25对应的二进制数是( )A .11001B .10011C .10101D .10001二、填空题13.若曲线f (x )=ae x +bsinx (a ,b ∈R )在x=0处与直线y=﹣1相切,则b ﹣a= .14.设不等式组表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 .15.若“x <a ”是“x 2﹣2x ﹣3≥0”的充分不必要条件,则a 的取值范围为 .16.【徐州市第三中学2017~2018学年度高三第一学期月考】函数()3f x x x =-+的单调增区间是__________. 17.设抛物线24y x =的焦点为F ,,A B 两点在抛物线上,且A ,B ,F 三点共线,过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ,若32PF =,则M 点的横坐标为 .18.在(1+x )(x 2+)6的展开式中,x 3的系数是 .三、解答题19.已知x 2﹣y 2+2xyi=2i ,求实数x 、y 的值.20.设常数λ>0,a>0,函数f(x)=﹣alnx.(1)当a=λ时,若f(x)最小值为0,求λ的值;(2)对任意给定的正实数λ,a,证明:存在实数x0,当x>x0时,f(x)>0.21.某中学为了普及法律知识,举行了一次法律知识竞赛活动.下面的茎叶图记录了男生、女生各10名学生在该次竞赛活动中的成绩(单位:分).已知男、女生成绩的平均值相同.(1)求的值;(2)从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生,求恰有2名学生是女生的概率.22.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asinC﹣ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.23.已知函数f (x )=的定义域为A ,集合B 是不等式x 2﹣(2a+1)x+a 2+a >0的解集.(Ⅰ) 求A ,B ;(Ⅱ) 若A ∪B=B ,求实数a 的取值范围.24.等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 32=9a 2a 6, (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{}的前n 项和.25.(本题满分15分)如图AB 是圆O 的直径,C 是弧AB 上一点,VC 垂直圆O 所在平面,D ,E 分别为VA ,VC 的中点. (1)求证:DE ⊥平面VBC ;(2)若6VC CA ==,圆O 的半径为5,求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系,线面等基础知识,意在考查空间想象能力和运算求解能力.26.双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点,直线y=x为C的一条渐近线.求双曲线C的方程.杜集区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1. 【答案】D【解析】解:由题意可知三角形的面积为S===AC •BCsin60°,∴AC •BC=.由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC •BCcos60°=(AC+BC )2﹣3AC •BC ,∴(AC+BC )2﹣3AC •BC=3,∴(AC+BC )2=11.∴AC+BC=故选:D【点评】本题考查解三角形,三角形的面积与余弦定理的应用,整体法是解决问题的关键,属中档题.2. 【答案】B【解析】解:∵函数y=a x﹣(b+1)(a >0,a ≠1)的图象在第一、三、四象限, ∴根据图象的性质可得:a >1,a 0﹣b ﹣1<0,即a >1,b >0, 故选:B3. 【答案】D111] 【解析】试题分析:()()()311112f f f -=-==+=. 考点:分段函数求值.4. 【答案】C【解析】解:若果树前n 年的总产量S 与n 在图中对应P (S ,n )点 则前n 年的年平均产量即为直线OP 的斜率 由图易得当n=9时,直线OP 的斜率最大 即前9年的年平均产量最高,故选C5. 【答案】A【解析】解:∵AD=mAB ,E 为BC 的中点,∴=+=+=+,=﹣,∵,∴•=(+)(﹣)=||2﹣||2+=(﹣1)||2=0,∴﹣1=0,解得m=或m=﹣(舍去),故选:A【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算,以及向量垂直的条件,属于中档题.6.【答案】A【解析】解:分两类讨论,过程如下:①当a>1时,函数y=a x﹣1和y=log a x在[1,2]上都是增函数,∴f(x)=a x﹣1+log a x在[1,2]上递增,∴f(x)max+f(x)min=f(2)+f(1)=a+log a2+1=a,∴log a2=﹣1,得a=,舍去;②当0<a<1时,函数y=a x﹣1和y=log a x在[1,2]上都是减函数,∴f(x)=a x﹣1+log a x在[1,2]上递减,∴f(x)max+f(x)min=f(2)+f(1)=a+log a2+1=a,∴log a2=﹣1,得a=,符合题意;故选A.7.【答案】C【解析】解:当a=1时,不满足退出循环的条件,故a=5,当a=5时,不满足退出循环的条件,故a=9,当a=9时,不满足退出循环的条件,故a=13,当a=13时,满足退出循环的条件,故输出的结果为13,故选:C【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.8.【答案】A【解析】解:直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离,就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是:=.故选:A.9.【答案】D【解析】解:由新定义可得,====.故选:D.【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查了两角和与差的三角函数,是基础题.10.【答案】D【解析】解:双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x联立方程组,解得A(,),B(,﹣),设直线x=与x轴交于点D∵F为双曲线的右焦点,∴F(C,0)∵△ABF为钝角三角形,且AF=BF,∴∠AFB>90°,∴∠AFD>45°,即DF<DA∴c﹣<,b<a,c2﹣a2<a2∴c2<2a2,e2<2,e<又∵e>1∴离心率的取值范围是1<e<故选D【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法,关键是找到含a,c的齐次式,再解不等式.11.【答案】A【解析】解:∵点A(1,1),B(3,3),∴AB的中点C(2,2),k AB==1,∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1,∴线段AB的垂直平分线的方程为:y﹣2=﹣(x﹣2),整理,得:y=﹣x+4.故选:A.12.【答案】A【解析】解:25÷2=12 (1)12÷2=6 06÷2=3 03÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故25(10)=11001(2)故选A.【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键.二、填空题13.【答案】2.【解析】解:f(x)=ae x+bsinx的导数为f′(x)=ae x+bcosx,可得曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率为k=ae0+bcos0=a+b,由x=0处与直线y=﹣1相切,可得a+b=0,且ae0+bsin0=a=﹣1,解得a=﹣1,b=1,则b﹣a=2.故答案为:2.14.【答案】.【解析】解:到坐标原点的距离大于2的点,位于以原点O为圆心、半径为2的圆外区域D:表示正方形OABC,(如图)其中O为坐标原点,A(2,0),B(2,2),C(0,2).因此在区域D内随机取一个点P,则P点到坐标原点的距离大于2时,点P位于图中正方形OABC内,且在扇形OAC的外部,如图中的阴影部分∵S正方形OABC=22=4,S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•22=4﹣π∴所求概率为P==故答案为:【点评】本题给出不等式组表示的平面区域,求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点,属于基础题.15.【答案】 a ≤﹣1 .【解析】解:由x 2﹣2x ﹣3≥0得x ≥3或x ≤﹣1,若“x <a ”是“x 2﹣2x ﹣3≥0”的充分不必要条件,则a ≤﹣1, 故答案为:a ≤﹣1.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键.16.【答案】(【解析】()2310f x x x ⎛=-+>⇒∈ ⎝'⎭ ,所以增区间是⎛ ⎝⎭17.【答案】2【解析】由题意,得2p =,(1,0)F ,准线为1x =-,设11(,)A x y 、22(,)B x y ,直线AB 的方程为(1)y k x =-,代入抛物线方程消去y ,得2222(24)0k x k x k -++=,所以212224k x x k ++=,121x x =.又设00(,)P x y ,则01212112()[(1)(1)]22y y y k x k x k =+=-+-=,所以021x k =,所以212(,)P k k.因为0213||112PF x k =+=+=,解得22k =,所以M 点的横坐标为2.18.【答案】 20 .【解析】解:(1+x )(x 2+)6的展开式中,x 3的系数是由(x 2+)6的展开式中x 3与1的积加上x 2与x 的积组成;又(x 2+)6的展开式中,通项公式为 T r+1=•x 12﹣3r ,令12﹣3r=3,解得r=3,满足题意;令12﹣3r=2,解得r=,不合题意,舍去;所以展开式中x 3的系数是=20.故答案为:20.三、解答题19.【答案】【解析】解:由复数相等的条件,得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)【点评】本题考查复数相等的条件,以及方程思想,属于基础题.20.【答案】【解析】(1)解:当a=λ时,函数f (x )=﹣alnx=﹣(x >0).f ′(x )=﹣=,∵λ>0,x >0,∴4x 2+9λx+3λ2>0,4x (λ+x )2>0.∴当x >λ时,f ′(x )>0,此时函数f (x )单调递增; 当0<x <λ时,f ′(x )<0,此时函数f (x )单调递减. ∴当x=λ时,函数f (x )取得极小值,即最小值,∴f ((λ)==0,解得λ=.(2)证明:函数f (x )=﹣alnx=﹣alnx=x ﹣﹣alnx >x ﹣λ﹣alnx .令u (x )=x ﹣λ﹣alnx .u ′(x )=1﹣=,可知:当x >a 时,u ′(x )>0,函数u (x )单调递增,x →+∞,u (x )→+∞.一定存在x 0>0,使得当x >x 0时,u (x 0)>0,∴存在实数x 0,当x >x 0时,f (x )>u (x )>u (x 0)>0.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.21.【答案】(1) 7a =;(2) 310P =. 【解析】试题分析: (1)由平均值相等很容易求得的值;(2)成绩高于86分的学生共五人,写出基本事件共10个,可得恰有两名为女生的基本事件的个数,则其比值为所求.其中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87),(96,91,87),(96,90,87)共3种情况. 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率310P =.1 考点:平均数;古典概型.【易错点睛】古典概型的两种破题方法:(1)树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件时,),(y x 可以看成是有序的,如()1,2与()2,1不同;有时也可以看成是无序的,如)1,2)(2,1(相同.(2)含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,考虑其反面,即对立事件,应用)(1)(A P A P -=求解较好. 22.【答案】【解析】解:(1)c=asinC ﹣ccosA ,由正弦定理有:sinAsinC ﹣sinCcosA ﹣sinC=0,即sinC •(sinA ﹣cosA ﹣1)=0,又,sinC ≠0,所以sinA ﹣cosA ﹣1=0,即2sin (A ﹣)=1,所以A=;(2)S△ABC =bcsinA=,所以bc=4,a=2,由余弦定理得:a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ,即4=b 2+c 2﹣bc , 即有,解得b=c=2.23.【答案】【解析】解:(Ⅰ)∵,化为(x ﹣2)(x+1)>0,解得x >2或x <﹣1,∴函数f (x )=的定义域A=(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞);由不等式x 2﹣(2a+1)x+a 2+a >0化为(x ﹣a )(x ﹣a ﹣1)>0,又a+1>a ,∴x >a+1或x <a , ∴不等式x 2﹣(2a+1)x+a 2+a >0的解集B=(﹣∞,a )∪(a+1,+∞);(Ⅱ)∵A ∪B=B ,∴A ⊆B .∴,解得﹣1≤a ≤1.∴实数a 的取值范围[﹣1,1].24.【答案】【解析】解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由a 32=9a 2a 6得a 32=9a 42,所以q 2=.由条件可知各项均为正数,故q=.由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q=1,所以a 1=.故数列{a n }的通项式为a n =.(Ⅱ)b n =++…+=﹣(1+2+…+n )=﹣,故=﹣=﹣2(﹣)则++…+=﹣2=﹣,所以数列{}的前n 项和为﹣.【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式,会进行数列的求和运算,是一道中档题.25.【答案】(1)详见解析;(2【解析】(1)∵D ,E 分别为VA ,VC 的中点,∴//DE AC ,…………2分∵AB 为圆O 的直径,∴AC BC ⊥,…………4分 又∵VC ⊥圆O ,∴VC AC ⊥,…………6分 ∴DE BC ⊥,DE VC ⊥,又∵VCBC C =,∴DE VBC ⊥面;…………7分(2)设点E 平面BCD 的距离为d ,由D BCE E BCD V V --=得1133BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯,解得2d =12分 设BE 与平面BCD 所成角为θ,∵8BC ==,BE =,则sin 146d BE θ==.…………15分 26.【答案】【解析】解:设双曲线方程为(a >0,b >0)由椭圆+=1,求得两焦点为(﹣2,0),(2,0),∴对于双曲线C:c=2.又y=x为双曲线C的一条渐近线,∴=解得a=1,b=,∴双曲线C的方程为.。
杜集区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 已知集合{}ln(12)A x y x ==-,{}2B x x x =≤,全集U AB =,则()UC A B =( )(A ) (),0-∞ ( B ) 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ (C ) ()1,0,12⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦ (D ) 1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦2. 已知函数 f (x )的定义域为R ,其导函数f ′(x )的图象如图所示,则对于任意x 1,x 2∈R ( x 1≠x 2),下列结论正确的是( ) ①f (x )<0恒成立;②(x 1﹣x 2)[f (x 1)﹣f (x 2)]<0; ③(x 1﹣x 2)[f (x 1)﹣f (x 2)]>0;④;⑤.A .①③B .①③④C .②④D .②⑤3. 已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f (x )=sin (ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )A .B .C .D .4. 已知集合M={1,4,7},M ∪N=M ,则集合N 不可能是( ) A .∅ B .{1,4}C .MD .{2,7}5. 如图所示,已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形,则原图形的周长为( )A.B. C. D.6.在下列区间中,函数f(x)=()x﹣x的零点所在的区间为()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3 )D.(3,4)7.已知集合M={0,1,2},则下列关系式正确的是()A.{0}∈M B.{0}∉M C.0∈M D.0⊆M8.已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是()A.=1.23x+4 B.=1.23x﹣0.08 C.=1.23x+0.8 D.=1.23x+0.089.双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于()A. B.﹣2t C.D.410.在△ABC中,若2cosCsinA=sinB,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形11.若f(x)=sin(2x+θ),则“f(x)的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件12.设集合M={(x,y)|x2+y2=1,x∈R,y∈R},N={(x,y)|x2﹣y=0,x∈R,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题13.函数y=lgx的定义域为.14.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是.15.已知函数f(x)=,g(x)=lnx,则函数y=f(x)﹣g(x)的零点个数为.16.log 3+lg25+lg4﹣7﹣(﹣9.8)0=.17.下列四个命题申是真命题的是(填所有真命题的序号)①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件;②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等;③在侧棱长为2,底面边长为3的正三棱锥中,侧棱与底面成30°的角;④动圆P过定点A(﹣2,0),且在定圆B:(x﹣2)2+y2=36的内部与其相内切,则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆.18.若命题“∀x∈R,|x﹣2|>kx+1”为真,则k的取值范围是.三、解答题19.已知P(m,n)是函授f(x)=e x﹣1图象上任一于点(Ⅰ)若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q(x,y),求Q点坐标满足的函数关系式(Ⅱ)已知点M(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=,当点M在函数y=h(x)图象上时,公式变为,请参考该公式求出函数ω(s,t)=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln(t﹣1)|,(s∈R,t>0)的最小值.20.生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽100(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(Ⅰ)的前提下,(ⅰ)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;(ⅱ)求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.21.(本小题满分10分)已知函数f(x)=|x-a|+|x+b|,(a≥0,b≥0).(1)求f(x)的最小值,并求取最小值时x的范围;(2)若f(x)的最小值为2,求证:f(x)≥a+b.22.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.(1)若左右手各取一球,问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少?(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为X,求X的分布列和数学期望.23.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐,其中高二代表队有6人.(1)求n的值;(2)把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a,b,c,d,e,f,现随机从中抽取2人上台抽奖.求a和b 至少有一人上台抽奖的概率.(3)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率.24.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为1()16t ay-=(a为常数),如图所示.据图中提供的信息,回答下列问题:(1)写出从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室。
杜集区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1. 执行如图的程序框图,如果输入的100N =, 则输出的x =( )A .0.95B .0.98C .0.99D .1.002. 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A (﹣1,2,﹣1),B (3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( ) A .4 B .2 C. D .23. 设1m >,在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数z x my =+的最大值小于2,则m 的取值范围为( )A.(1,1 B.(1)+∞ C. (1,3) D .(3,)+∞ 4. A={x|x <1},B={x|x <﹣2或x >0},则A ∩B=( )A .(0,1)B .(﹣∞,﹣2)C .(﹣2,0)D .(﹣∞,﹣2)∪(0,1)5. 方程1x -= )A .一个圆B . 两个半圆C .两个圆D .半圆 6. 已知e 是自然对数的底数,函数f (x )=e x +x ﹣2的零点为a ,函数g (x )=lnx+x ﹣2的零点为b ,则下列不等式中成立的是( )A .a <1<bB .a <b <1C .1<a <bD .b <1<a7. 若,,且,则λ与μ的值分别为()A .B .5,2C .D .﹣5,﹣28. 已知在平面直角坐标系xOy 中,点),0(n A -,),0(n B (0>n ).命题p :若存在点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上,使得2π=∠APB ,则31≤≤n ;命题:函数x xx f 3log 4)(-=在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是( )A .)(q p ⌝∧B .q p ∧C .q p ∧⌝)(D .q p ∨⌝)( 9. 直径为6的球的表面积和体积分别是( )A .144,144ππB .144,36ππC .36,144ππD .36,36ππ10.若x ,y 满足且z=y ﹣x 的最小值为﹣2,则k 的值为( ) A .1B .﹣1C .2D .﹣211.已知α,[,]βππ∈-,则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的( )班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识,意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 12.等差数列{a n }中,已知前15项的和S 15=45,则a 8等于( ) A.B .6C.D .3二、填空题13.的展开式中的系数为 (用数字作答).14.已知圆C 1:(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=1,圆C 2:(x ﹣3)2+(y ﹣4)2=9,M ,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值 .15.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为 . ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点(0,1)成中心对称; ②对∀x ,y ∈R .若x+y ≠0,则x ≠1或y ≠﹣1; ③若实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则的最大值为;④若△ABC 为锐角三角形,则sinA <cosB .⑤在△ABC 中,BC=5,G ,O 分别为△ABC的重心和外心,且•=5,则△ABC 的形状是直角三角形.16.抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4,则点M 的横坐标x= .17.在矩形ABCD 中,=(1,﹣3),,则实数k= . 18.若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +1≤02x -y +2≥0x +y -2≤0,z =3x +y +m 的最小值为1,则m =________.三、解答题19.如图,已知AC ,BD 为圆O 的任意两条直径,直线AE ,CF 是圆O 所在平面的两条垂线,且线段AE=CF=,AC=2.(Ⅰ)证明AD ⊥BE ;(Ⅱ)求多面体EF ﹣ABCD 体积的最大值.20.某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
规定:只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核,否则将被淘汰;三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。
学生甲三轮考试通过的概率分别为23,34,45,且各轮考核通过与否相互独立。
(1)求甲通过该高校自主招生考试的概率;(2)若学生甲每通过一轮考核,则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。
记学生甲得到教育基金的金额为X,求X的分布列和数学期望。
21.已知函数f(x)=x2﹣ax+(a﹣1)lnx(a>1).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若a=2,数列{a n}满足a n+1=f(a n).(1)若首项a1=10,证明数列{a n}为递增数列;(2)若首项为正整数,且数列{a n}为递增数列,求首项a1的最小值.22.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域;(2)判断并证明f(x)的奇偶性;(3)求证:f()=﹣f(x).23.已知函数f(x)=log2(m+)(m∈R,且m>0).(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)在(4,+∞)上单调递增,求m的取值范围.24.某港口的水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表:t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10经过长期观测,y=f(t)可近似的看成是函数y=Asinωt+b(1)根据以上数据,求出y=f(t)的解析式;(2)若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港?杜集区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题(参考答案)一、选择题1. 【答案】C 【解析】111112233499100x =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 111111199(1)()()()2233499100100=-+-+-+⋅⋅⋅+-=.2. 【答案】A【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点A (﹣1,2,﹣1),B (3,﹣2,3),∴AB 是正方体的体对角线,AB=,设正方体的棱长为x ,则,解得x=4.∴正方体的棱长为4,故选:A .【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题.3. 【答案】A【解析】考点:线性规划.【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目,采用线性规划的知识进行求解;关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为zm,作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值,⎩⎨⎧==+00001m x y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m的范围.4. 【答案】D【解析】解:∵A=(﹣∞,1),B=(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞),∴A ∩B=(﹣∞,﹣2)∪(0,1),故选:D .【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.5.【答案】A【解析】试题分析:由方程1x-=,即22x-=,两边平方得221-++=,所(1)(1)1x y以方程表示的轨迹为一个圆,故选A.考点:曲线的方程.6.【答案】A【解析】解:由f(x)=e x+x﹣2=0得e x=2﹣x,由g(x)=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x,作出计算y=e x,y=lnx,y=2﹣x的图象如图:∵函数f(x)=e x+x﹣2的零点为a,函数g(x)=lnx+x﹣2的零点为b,∴y=e x与y=2﹣x的交点的横坐标为a,y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b,由图象知a<1<b,故选:A.【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用函数转化为两个图象的交点问题,结合数形结合是解决本题的关键.7.【答案】A【解析】解:由,得.又,,∴,解得.故选:A.【点评】本题考查了平行向量与共线向量,考查向量的性质,大小和方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征和几何特征,借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化,该题是基础题.8.【答案】A【解析】试题分析:命题p :2π=∠APB ,则以AB 为直径的圆必与圆()()11322=-++y x 有公共点,所以121+≤≤-n n ,解得31≤≤n ,因此,命题p 是真命题.命题:函数()xxx f 3log 4-=,()0log 1443<-=f ,()0log 34333>-=f ,且()x f 在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f 在区间()4,3内有零点,因此,命题是假命题.因此只有)(q p ⌝∧为真命题.故选A .考点:复合命题的真假.【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P 满足2π=∠APB ,因此在以AB 为直径的圆上,又点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上,因此P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数x xx f 3log 4)(-=是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.9. 【答案】D 【解析】考点:球的表面积和体积. 10.【答案】B【解析】解:由z=y ﹣x 得y=x+z , 作出不等式组对应的平面区域如图:平移直线y=x+z 由图象可知当直线y=x+z 经过点A 时,直线y=x+z 的截距最小, 此时最小值为﹣2,即y ﹣x=﹣2,则x ﹣y ﹣2=0, 当y=0时,x=2,即A (2,0),同时A 也在直线kx ﹣y+2=0上,代入解得k=﹣1, 故选:B【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法.本题主要考查的难点在于对应的区域为线段.11.【答案】A.【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-,设()||cos f x x x =-,[,]x ππ∈-, 显然()f x 是偶函数,且在[0,]π上单调递增,故()f x 在[,0]π-上单调递减,∴()()||||f f αβαβ>⇔>,故是充分必要条件,故选A. 12.【答案】D【解析】解:由等差数列的性质可得:S 15==15a 8=45,则a 8=3.故选:D .二、填空题13.【答案】20【解析】【知识点】二项式定理与性质 【试题解析】通项公式为:令12-3r=3,r=3.所以系数为:故答案为:14.【答案】 5﹣4 .【解析】解:如图,圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A (2,﹣3),半径为1,圆C 2的圆心坐标(3,4),半径为3,|PM|+|PN|的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和,即:﹣4=5﹣4.故答案为:5﹣4.【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法,考查两个圆的位置关系,两点距离公式的应用,考查转化思想与计算能力,考查数形结合的数学思想,属于中档题.15.【答案】:①②③【解析】解:对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点(0,1)成中心对称,假设点(x0,y0)在函数图象上,则其关于①点(0,1)的对称点为(﹣x0,2﹣y0)也满足函数的解析式,则①正确;对于②对∀x,y∈R,若x+y≠0,对应的是直线y=﹣x以外的点,则x≠1,或y≠﹣1,②正确;对于③若实数x,y满足x2+y2=1,则=,可以看作是圆x2+y2=1上的点与点(﹣2,0)连线的斜率,其最大值为,③正确;对于④若△ABC为锐角三角形,则A,B,π﹣A﹣B都是锐角,即π﹣A﹣B<,即A+B>,B>﹣A,则cosB<cos(﹣A),即cosB<sinA,故④不正确.对于⑤在△ABC中,G,O分别为△ABC的重心和外心,取BC的中点为D,连接AD、OD、GD,如图:则OD⊥BC,GD=AD,∵=|,由则,即则又BC=5则有由余弦定理可得cosC<0,即有C为钝角.则三角形ABC为钝角三角形;⑤不正确.故答案为:①②③16.【答案】3.【解析】解:∵抛物线y2=4x=2px,∴p=2,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴|MF|=4=x+=4,∴x=3,故答案为:3.【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法.抛物线上的点到焦点的距离,叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.17.【答案】4.【解析】解:如图所示,在矩形ABCD中,=(1,﹣3),,∴=﹣=(k﹣1,﹣2+3)=(k﹣1,1),∴•=1×(k﹣1)+(﹣3)×1=0,解得k=4.故答案为:4.【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题,是基础题目.18.【答案】【解析】解析:可行域如图,当直线y=-3x+z+m与直线y=-3x平行,且在y轴上的截距最小时,z才能取最小值,此时l经过直线2x-y+2=0与x-2y+1=0的交点A(-1,0),z min=3×(-1)+0+m=-3+m=1,∴m=4.答案:4三、解答题19.【答案】【解析】(Ⅰ)证明:∵BD 为圆O 的直径,∴AB ⊥AD , ∵直线AE 是圆O 所在平面的垂线, ∴AD ⊥AE , ∵AB ∩AE=A , ∴AD ⊥平面ABE , ∴AD ⊥BE ;(Ⅱ)解:多面体EF ﹣ABCD 体积V=V B ﹣AEFC +V D ﹣AEFC =2V B ﹣AEFC . ∵直线AE ,CF 是圆O 所在平面的两条垂线, ∴AE ∥CF ,∥AE ⊥AC ,AF ⊥AC .∵AE=CF=,∴AEFC 为矩形,∵AC=2,∴S AEFC =2,作BM ⊥AC 交AC 于点M ,则BM ⊥平面AEFC ,∴V=2V B ﹣AEFC =2×≤=.∴多面体EF ﹣ABCD 体积的最大值为.【点评】本题考查线面垂直,线线垂直,考查体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,难度中等.20.【答案】(1)25(2)X 的分布列为数学期望为11124700()0100020003000361053E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-- 解析:(1)设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A ,则P (A )=23423455⨯⨯= 所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为25-------------4分 (2)X 的可能取值为0元,1000元,2000元,3000元--------------5分21(0)133P X ==-=,231(1000)(1)346P X ==⨯-=,2341(2000)(1)34510P X ==⨯⨯-= 2342(3000)3455P X ==⨯⨯=------------------9分所以,X 的分布列为数学期望为11124700()0100020003000361053E X =⨯+⨯+⨯+⨯=---------------------12分 21.【答案】【解析】解:(Ⅰ)∵,∴(x >0),当a=2时,则在(0,+∞)上恒成立,当1<a <2时,若x ∈(a ﹣1,1),则f ′(x )<0,若x ∈(0,a ﹣1)或x ∈(1,+∞),则f ′(x )>0, 当a >2时,若x ∈(1,a ﹣1),则f ′(x )<0,若x ∈(0,1)或x ∈(a ﹣1,+∞),则f ′(x )>0, 综上所述:当1<a <2时,函数f (x )在区间(a ﹣1,1)上单调递减, 在区间(0,a ﹣1)和(1,+∞)上单调递增; 当a=2时,函数(0,+∞)在(0,+∞)上单调递增;当a >2时,函数f (x )在区间(0,1)上单调递减,在区间(0,1)和(a ﹣1,+∞)上单调递增.(Ⅱ)若a=2,则,由(Ⅰ)知函数f (x )在区间(0,+∞)上单调递增,(1)因为a 1=10,所以a 2=f (a 1)=f (10)=30+ln10,可知a 2>a 1>0, 假设0<a k <a k+1(k ≥1),因为函数f (x )在区间(0,+∞)上单调递增, ∴f (a k+1)>f (a k ),即得a k+2>a k+1>0,由数学归纳法原理知,a n+1>a n 对于一切正整数n 都成立, ∴数列{a n }为递增数列.(2)由(1)知:当且仅当0<a 1<a 2,数列{a n }为递增数列,∴f (a 1)>a 1,即(a 1为正整数),设(x ≥1),则,∴函数g (x )在区间上递增,由于,g (6)=ln6>0,又a 1为正整数,∴首项a 1的最小值为6.【点评】本题考查导数的运用:求单调区间,同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用,考查运算能力,属于中档题.选做题:本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分7分.如果多做,则按所做的前两题计分.【选修4-2:矩阵与变换】22.【答案】【解析】解:(1)∵1+x2≥1恒成立,∴f(x)的定义域为(﹣∞,+∞);(2)∵f(﹣x)===f(x),∴f(x)为偶函数;(3)∵f(x)=.∴f()===﹣=﹣f(x).即f()=﹣f(x)成立.【点评】本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断,比较基础.23.【答案】【解析】解:(1)由m+>0,(x﹣1)(mx﹣1)>0,∵m>0,∴(x﹣1)(x﹣)>0,若>1,即0<m<1时,x∈(﹣∞,1)∪(,+∞);若=1,即m=1时,x∈(﹣∞,1)∪(1,+∞);若<1,即m>1时,x∈(﹣∞,)∪(1,+∞).(2)若函数f(x)在(4,+∞)上单调递增,则函数g(x)=m+在(4,+∞)上单调递增且恒正.所以,解得:.【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及单调性,不等关系,是函数与不等式的简单综合应用,难度中档.24.【答案】【解析】解:(1)由表中数据可以看到:水深最大值为13,最小值为7,∴=10,且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12,因此,,故(0≤t ≤24)(2)要想船舶安全,必须深度f (t )≥11.5,即∴,解得:12k+1≤t ≤5+12k k ∈Z又0≤t ≤24当k=0时,1≤t ≤5;当k=1时,13≤t ≤17;故船舶安全进港的时间段为(1:00﹣5:00),(13:00﹣17:00).【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题.解决本题的关键在于求出函数解析式.求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期,最大最小值等.。