下载文档原格式
专题六立体几何第 1课时1．(2015 年新课标Ⅱ )一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图Z6- 1，则截去部分体积与节余部分体积的比值为()图 Z6-11 1 1 1A. 8B. 7C.6D. 52．如图 Z6- 2，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()图 Z6-216 32 64A. 3B. 3C. 3 D ．323．某几何体的三视图如图Z6- 3，则该几何体的体积为()图 Z6-32 4A. 3B. 3816C.3D. 34．(2016 年河北“五校结盟”质量监测 )某四周体的三视图如图Z6-4，则其四个面中最大的面积是 ()图 Z6-4A ．2B ．22 C.3 D ．235．已知一个几何体的三视图如图 Z6- 5，则该几何体的体积为 ( )图 Z6-52223A ．8 B. 3 C. 3 D ．76．点 A ， B ，C ，D 均在同一球面上，且 AB ， AC ，AD 两两垂直，且AB ＝ 1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为 ( )7 7 14πA ． 7πB ． 14π C.2π D. 37．(2013 年新课标Ⅰ)如图 Z6-6，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水深为 6 cm ，假如不计容器厚度，则球的体积为()图 Z6-6500 π 3866 π3A. 3cm B. 3 cm C. 1372 π D. 2048 π3 cm 3 3cm 38． (2016 年北京 )某四棱柱的三视图如图 Z6-7，则该四棱柱的体积为 ________．图 Z6-7体9．球 O 半径为OABC 的体积是 (R＝13，球面上有三点)A， B，C， AB＝ 12 3， AC＝ BC＝ 12，则四周A．60C．6010．如图ABC 的距离为3 B．50 36 D．50 6Z6-8，已知正三角形ABC 三个极点都在半径为 2 的球面上，球心O1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是到平面( )图 Z6-87π9πA. 4 B． 2π C. 4 D． 3π11． (2017 年广东茂名一模 )过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦AB， AC， AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为 R，则△ BCD 的面积为 ____________．12．已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各极点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3， AB＝ 2， AC＝ 1，∠ BAC＝ 60°，则此球的表面积等于 ________．第 2课时1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ BAC＝ 90°，AB ＝AC＝ AA1，则异面直线BA1与 AC1 所成的角等于 ()A ． 30°B ．45° C．60° D ．90°2．(2016 年天津模拟 )如图 Z6-9，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ ACD 折成相互垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：图 Z6-9①BD⊥ AC；②△ BAC 是等边三角形；③三棱锥 D -ABC 是正三棱锥；④平面 ADC ⊥平面 ABC .()此中正确的选项是A ．①②④B ．①②③C．②③④D．①③④)分别相等，且3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱2 2长各为2， m， n，此中 m ＋n ＝6，则三棱锥体积的最大值为()3 1 8 3 2A. 3B. 2C. 27D. 34．(2016 年辽宁葫芦岛统测) 已知四棱锥P-ABCD 的五个极点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在△ PAD 中， PA＝ PD ＝2，∠ APD ＝120 °，AB＝2，则球 O 的外接球的表面积等于()A ． 16π B． 20π C． 24π D ．36π5．在矩形ABCD 中， AD＝ 2，AB ＝4， E，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A， F 折起后分别为点A′， F′，获得四棱锥A′ -BCDE .给出以下几个结论：① A′， B， C， F′四点共面；② EF′∥平面A′ BC；③若平面 A′DE ⊥平面 BCDE ，则 CE⊥ A′ D；④四棱锥 A′ -BCDE 体积的最大值为2，此中正确的选项是________(填上全部正确的序号)．6．(2017 年广东梅州一模 )如图 Z6-10 所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后获得的，此中∠ BAE＝∠ GAD ＝ 45°，AB ＝ 2AD＝ 2，∠ BAD ＝ 60°.(1)求证： BD ⊥平面 ADG；(2)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值．图 Z6- 107． (2017 年广东广州二模 )如图 Z6-11，ABCD 是边长为 a 的菱形，∠ BAD＝ 60°， EB⊥平面 ABCD ， FD ⊥平面 ABCD ， EB＝ 2FD ＝ 3a.(1)求证： EF ⊥ AC；(2)求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值．图 Z6-118． (2017 年广东揭阳一模)如图Z6-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB＝ BC＝BB1，AB1∩ A1B＝ E，D 为 AC 上的点， B1C∥平面 A1BD；(1)求证： BD ⊥平面 A1ACC1；(2)若 AB＝ 1，且 AC ·AD＝ 1，求二面角B-A1D -B1的余弦值．图 Z6- 12专题六 立体几何第 1课时1．D 分析： 由三视图，得在正方体 1 1 1 1 中，截去四周体A-A 1 1 1，如图ABCD-A B C DB DD164 ，图 D164设正方体棱长为 a ，则 V A- A 1B 1D 1 1 1 3 1 3＝ × a ＝ a .3 2 631 35 31则节余几何体体积为 a－ 6a ＝ 6a .因此截去部分体积与节余部分体积的比值为 5.应选D.2． B 分析： 几何体为如图 D165 所示的正方体中的三棱锥 E- BB 1C(E 为 AA 1 的中点 )，它的体积为1× 1× 4× 4× 4＝323 23 .应选 B.图 D165图 D1663． B分析： 由三视图知对应的几何体为如图D166 所示的正方体中的三棱锥P-ABC ，此中 PC ⊥平面 PAB ，PA ＝AB ， PC ＝ PB ＝ 2，A 到 PB 的距离为 2，故该几何体的体积为 1× 13 2 4×2× 2× 2＝ .应选 B.3 4．D分析： 如图 D167 ，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中复原出三视图的直观图，其是一个三个极点在正方体的右边面、一个极点在左边面的三棱锥，即 D 1-BCB 1，其四个面的面积分别为 2,22， 2 2， 2 3.应选 D.图 D1675．D 分析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为 2 的正方体截去两个三棱锥 A-A 1PQ和 D-PC 1D 1 后节余的部分，如图D168 ，此中 Q 是棱 A 11 的中点， P 是 A 11 的中点，因此B D该几何体的体积为V ＝ 8－1× 1× 1× 1×2－ 1×1× 1× 2×2＝ 7.应选 3 2 3 2D. 图 D1686．B分析： 三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相互垂直，因此把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，因此长方体的对角线长是 12＋ 22＋ 32＝14，它的外接球半径是14，外接球的表面积是 4π× 14 2＝ 14π故.选 B.2 27．A 分析： 如图 D169 ，作出球的一个截面，则 MC ＝ 8－ 6＝ 2(cm)，BM ＝ 1A B ＝ 1× 822 ＝ 4(cm) ．设球的半径为 R cm ，则 R 2＝OM 2＋ MB 2＝ (R － 2)2＋42，∴R ＝ 5.∴V 球＝43π× 53＝5003 π(cm 3)．图 D16938.2 分析： 由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高1 3为 1，故该四棱柱的体积 V ＝ Sh ＝ 2× (1＋2)× 1× 1＝2.9．A 分析： 设△ABC 外接圆半径为 r ，由 AB ＝ 12 3，AB ＝BC ＝ 12，得 A ＝B ＝ 30°，12 3 ＝24.解得 r ＝ 12.则 O 到平面 ABC 的距离 d ＝ R 2－ r 2＝ 132－ 122C ＝ 120 °.因此 2r ＝sin 120° 1× 36 3× 5＝ 60 3.应选 A. △1× 12× 12× sin 120 ＝°36 3，因此 V＝5.又 S ABC ＝ 2O-ABC ＝310．C 分析： 依据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点 E 的球 O的截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半 径的最小值，进而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连结 O 1A ，连结O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1 是正三角形 ABC 的中心， A ，B ，C 三点都在球面上， ∴O 1O ⊥平面 ABC. 联合 O 1C? 平面 ABC ，可得 O 1O ⊥O 1C.∵球的半径 R ＝ 2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝ R 2－ O 1O 2＝ 3.又∵E 为 AB 的中点， △ABC 是等边三角形． ∴32 27O 1E ＝ AO 1sin 30 ＝°2 .∴OE ＝OO 1＋ O 1E ＝ 2 .过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，2 2 329 截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝ R －OE ＝ 2.可得截面面积为 S ＝ πr ＝ 4π故.选 C.2 3 2分析： 方法一，由条件知 A-BCD 是正四周体，△ BCD 是正三角形， A ，B ，11. 3 R C ，D 为球上四点，将正三棱锥A-BCD 增补成一个正方体AGBH -FDEC ，如图 D170. 则正三棱锥 A-BCD 和正方体 AGBH -FDEC 有共同的外接球， △BCD 的边长就是正方风光的对角线，设正方体 AGBH -FDEC 的棱长为 a ，则正方体外接球半径 R 知足： a 2＋ a 2＋ a 2 ＝(2R)2，解得2422 228211823 ＝ 2 3a ＝ R .因此 BC ＝ a＋ a ＝R .因此△BCD 的面积 S ＝BC ×BD sin 60 ＝°× R ×2 333223R 2.图 D170图 D171方法二，由条件 A-BCD 是正四周体， △ BCD 是正三角形， A ， B ， C ， D 为球上四点， 球心 O 在正四周体中心，如图 D171.设 BC ＝ a ，CD 的中点为 E ， O 1 为过点 B ，C ， D 截面圆的圆心，2 23 3 则截面圆半径 r ＝O 1B ＝ 3BE ＝ 3×2 a ＝ 3 a.2 3 2 6正四周体 A-BCD 的高 AO 1＝ a － 3 a＝ 3 a.∴ 截面 BCD 与球心的距离d ＝ OO 1＝ 63 a －R.32 2622 6在 Rt △BOO 1 中， 3 a＝ R － 3 a －R，解得 a ＝ 3 R.∴△ BCD 的面积为11 2 6 2 3 2 32S ＝BC ×BCsin 60 ＝° ×3 R× 2 ＝ 3 R .2 212． 8π 分析： ∵三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3， AC ＝ 1，1 2 22AB ＝ 2，∠BAC ＝ 60°，∴2×1× 2× sin 60°× AA 1＝ 3.∴AA 1＝ 2.∵BC ＝ AB ＋ AC －2AB ·ACcos60°＝ 4＋ 1－ 2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为BC ＝ 2R.∴R ＝ 1.故外接球的 R ，则sin 60 °半径为12＋ 12＝ 2，外接球的表面积等于 4π× ( 2)2＝8π.第2课时1． C 分析： 延伸 CA 到 D ，使得 AD ＝ AC ，则 ADA 1C 1 为平行四边形，∠ DA 1B 就是异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的角．又△ A 1DB 为等边三角形．∴∠ DA 1B ＝ 60°.2． B 分析： 由题意知， BD ⊥平面 ADC ，故 BD ⊥AC ，①正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高， 平面 ABD ⊥平面 ACD ，因此 AB ＝ AC ＝ BC ，△BAC 是等边三角形， ②正确；易知 DA ＝ DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3． D 分析： 直接求三棱锥的体积很困难，由于不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥 A-CB 1 1 切合题意，设AA 1＝ x ， A 1 D 1＝ y ，Dx 2＋ y 2＝ 2，1 1＝ z ，有2＋ z2＝m 2， 2 22 222＝4，z ＝ 22x A By 2＋ z 2 ＝n 2 ，11 2 22三棱锥体积 V ＝ 3V 长方体 ＝ 3xyz ＝ 3 xy ≤ 3 .因此三棱锥体积的最大值为 3 .应选 D.图 D1724．B 分析： 取 AD 的中点为 E ，连结 PE ，则由平面 PAD 垂直于平面 ABCD 可得， PE ⊥平面 ABCD ，于是以点 E 为原点，以 ED ，EP 分别为 x ，z 轴成立空间直角坐标系，此中AC 与 BD 订交于 F 点．于是可得E(0,0,0) ， D( 3， 0,0)， A(－ 3， 0,0)， P(0,0,1) ， C( 3，2,0)，B(－ 3，2,0)，F(0,1,0) ，设球 O 的球心的坐标为 →O(0，1，z 0)，则 OP ＝ (0，－ 1,1－ z 0 )， → → → － 1 2 2 ＝ 2 OB ＝(－ 3，1，－ z 0)，由 |OP|＝ |OB|，得 ＋ 1－ z 0 3＋ 1＋ z 0.解之，得 z 0＝－ 1.因此球心→ 5，由球的表面积公式知， S ＝ 4πr 2 ＝4π× ( 5) 2O(0,1，－ 1)．于是其半径为 |OP|＝ ＝ 20π故.选 B.5． ②③6． (1) 证明： 在△BAD 中，∵AB ＝ 2AD ＝ 2，∠BAD ＝60°， ∴由余弦定理，可得 BD ＝ 3. ∵AB 2＝AD 2＋ BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面 ABCD ，BD ? 平面 ABCD ，∴GD ⊥BD .又 AD ∩ GD ＝ D ，∴BD ⊥平面 ADG.(2)解： 以 D 为坐标原点，成立如图 D173 所示的空间直角坐标系 D-xyz.图 D173∵∠ BAE ＝∠ GAD ＝ 45°， AB ＝ 2AD ＝ 2，∴ A(1,0,0) ，B(0， 3， 0)， G(0,0,1)， E(0， 3，2)， C(－ 1， 3，0)．→ →． ∴ AE ＝ (－ 1， 3， 2)，AG ＝ (－ 1,0,1) 设平面 AEFG 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)，→n ·AE ＝－ x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 0， 故有→n ·AG ＝－ x ＋ z ＝ 0.令 x ＝ 1，得 y ＝－ 33，z ＝ 1.n ＝ (1，－ 33， 1)．而平面 ABCD 的一个法向量为→，DG＝ (0,0,1)→→21 DG·n∴ cos 〈DG＝7 .， n〉＝→|DG | |·n|故平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为7．解： (1) 证明：连结 BD，如图 D174.由于 ABCD 是菱形，因此AC⊥BD.由于 FD ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，因此 AC ⊥FD .由于 BD ∩FD ＝ D，因此 AC⊥平面 BDF .由于EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，因此 EB ∥FD .因此 B， D， F，E 四点共面．由于 EF ? 平面 BDFE ，因此 EF⊥AC. 21 7 .图 D174 图 D175(2)如图 D175，以 D 为坐标原点，分别以→→的方向为 y 轴， z 轴的正方向，成立DC，DF空间直角坐标系D-xyz.能够求得3 1 3 1 3Aa，－2a， 0 ， B 2 a，2a， 0 ， F 0， 0，2 a ， C(0 ， a,0) ，23 1E 2 a，2a， 3a .→→＝3 1 3因此 AB＝ (0， a,0)， AF －2 a，2a，2 a . 设平面 ABF 的法向量为n＝( x， y， z)，→＝0，ay＝ 0，n·AB则→即－3 1 3 ＝0，n·AF 2 ax＋2ay＋2 az＝ 0.取 x＝ 1，则平面 ABF 的一个法向量为n＝(1,0,1)．→ 3 1，由于 CE＝2 a，－2a，3a→| →| 3 6n·CE因此 |cos〈n，CE〉|＝|n|CE→＝8 .| |因此直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值为38 6 .8． (1) 证明：如图 D176，连结 ED，∵平面 AB1C∩平面 A1BD ＝ED， B1C∥平面A1BD ，∴B1C∥ED.∵E 为 AB1的中点，∴ D 为 AC 的中点．∵AB＝ BC，∴BD ⊥AC.①方法一，由 A1A⊥平面 ABC， BD? 平面 ABC，得 A1A⊥BD ，②由①②及 A1A， AC 是平面 A1ACC1内的两条订交直线，∴BD ⊥平面 A1ACC1.方法二，∵ A1A⊥平面 ABC， A1A? 平面 A1 ACC1，∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC.又平面 A1ACC 1∩平面 ABC＝ AC，∴BD ⊥平面 A1ACC1.图 D176 图 D177(2)由 AB＝ 1，得 BC ＝BB1＝ 1.1 2由 (1)知 DA＝2AC，由 AC·DA＝1，得 AC ＝ 2.∵AC2＝ 2＝ AB2＋ BC2，∴ AB⊥ BC.以 B 为原点，成立空间直角坐标系B-xyz 如图 D177，1 1则 A1(1,0,1) ，B1(0,0,1) ， D 2，2， 0 .→→ 1 1.因此 B1A1＝ (1,0,0) ，B1D＝，，－12 2设 m＝(x，y，z)是平面A1B1D的一个法向量，→→m·B1A1＝x＝0，m⊥B1A1，则得→ 1 1→y－ z＝ 0.m⊥B1D，m·B1D＝x＋2 2令 z＝ 1，得m＝ (0,2,1) ．设 n＝(a，b，c)为平面A1BD的一个法向量，→，→ a bn⊥BD n·BD＝＋＝0，则得 2 2→→n⊥BA1，n·BA1＝a＋c＝0.令 c＝ 1，得n＝ (－1,1,1) ．依题意知二面角B-A1D -B1为锐二面角，设其大小为θ，则 cos θ＝ |cos〈n，m〉 |＝|n·m|＝3＝155. |n| ·|m| 5× 315 即二面角 B-A1 D-B1的余弦值为5 .。
![[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第11讲 抽象函数[配套课件]](https://img.taocdn.com/s1/m/d47adbeafab069dc50220121.png)
阶段检测卷 (四)(不等式 )时间： 50 分钟 满分： 100 分一、选择题：本大题共 6 小题，每题 6 分，共 36 分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．x ＋ 3y ≤ 3，1． (2017 年新课标Ⅰ)设 x ， y 知足拘束条件 x － y ≥1，则 z ＝ x ＋ y 的最大值为 ( )y ≥ 0，A ．0B ．1C ．2D ． 32x ＋ 3y － 3≤ 0，2． (2017 年新课标Ⅱ )设 x ， y 知足拘束条件 2x － 3y ＋ 3≥ 0， 则 z ＝2x ＋ y 的最小值是y ＋ 3≥0，()A ．－ 15B ．－ 9C ．1D ．91 ≥ a 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ()3．当 x>1 时，不等式 x ＋x － 1A ． (－∞， 2]B ． [2，＋∞ )C ．[3，＋∞ )D ． (－∞， 3] 4．某辆汽车购买时的花费是 15 万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5万元． 年维修养护花费第一年 3000 元，此后逐年递加 3000 元，则这辆汽车报废的最正确年限 (即便用多少年的年均匀花费最少)是 ()A ．8 年B ．10 年C ．12 年D ．15 年x ＋ y －3≥ 0，5．若平面地区 2x － y － 3≤ 0， 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直x － 2y ＋ 3≥ 0线间的距离的最小值是()3 5 A.B.2 532C. 2D. 56． (2017 年山东 )若 a>b>0 ，且 ab ＝ 1，则以下不等式建立的是( )1 bA ． a ＋ < a <log 2(a ＋ b) b 2b1 B. a <log 2(a ＋ b)<a ＋b21 <log 2(a ＋ b)< bC ．a ＋ ab 2 1 bD ． log 2(a ＋ b)< a ＋ b <2a二、填空题：本大题共4 小题，每题 6 分，共 24 分，把答案填在题中横线上．x≥0，7．(2013 年纲领 )记不等式组x＋3y≥ 4，所表示的平面地区为D，若直线 y＝ a(x＋ 1)3x＋ y≤ 4与 D 有公共点，则 a 的取值范围是 ________．8．定义运算“ ?”： x?y＝x2－ y2(x， y∈R， xy≠ 0)．当 x>0， y>0 时， x?y＋ (2y)?x 的最xy小值是 ________．9．已知 x， y∈R且知足 x2＋ 2xy＋ 4y2＝ 6，则 z＝ x2＋ 4y2的取值范围为 ________．n 是数列n n *恒建立，则n－ 1 n＋ n－ 1对全部n∈N10．已知 S 2 的前 n 项和，若不等式 |λ＋1|<S 2λ的取值范围是__________ ．三、解答题：本大题共 3 小题，共 40 分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．11．(12 分 )桑基鱼塘是某地一种独具地方特点的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购买一块1800 平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(暗影部分X6- 5-2)栽种桑树，池塘四周的基围宽均为2 米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用 x 表示 S；(2)当 x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．图 X6- 5-212．(12 分 )某玩具生产企业每日计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时．若生产一个卫兵可获收益 5 元，生产一个骑兵可获收益 6 元，生产一个伞兵可获收益 3 元．(1)试用每日生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每日的收益ω(单位：元)；(2)如何分派生产任务才能使每日的收益最大，最大收益是多少？mx13． (14 分)已知函数f(x)＝x2＋n(m，n∈R) 在 x＝ 1 处取到极值 2.(1) 求 f(x)的分析式；a 7(2) 设函数 g(x)＝ ln x＋x.若对随意的x1∈R，总存在 x2∈ [1，e]，使得 g(x2) ≤ f(x1) ＋2，求实数 a 的取值范围．阶段检测卷 (四)1．D分析：可行域如图D190，目标函数z＝ x＋ y 经过 A(3， 0)时最大，故z max＝ 3＋ 0 ＝3.应选 D.图D1902． A 分析：绘制不等式组表示的可行域 (如图 D191)，目标函数即 y＝－ 2x＋z，此中 z 表示斜率为 k＝－ 2 的直线系与可行域有交点时直线的截距，数形联合可得目标函数在点B(－ 6，－ 3)处获得最小值 z＝－ 12－ 3＝－ 15.应选 A.图 D1913． D15＋ 1.5n＋ 0.3n＋n n－ 1× 0.34．B 分析：汽车使用 n 年均匀花费为 2 3n＋ 1.65≥ 2n ＝15＋15× 3nn 20 15 3n 2 2n 20＋ 1.65＝ 4.65(万元 ) ，当且仅当n ＝20， 3n ＝300， n ＝ 100， n＝ 10，即 n＝ 10 时“＝” 建立，故这辆汽车报废的最正确年限为10 年．x－ 2y＋3＝ 0，5． B 分析：画出不等式的平面地区如图D192 ，则得 A(1,2) ．则x＋ y－ 3＝ 0.2x－ y－ 3＝ 0，得 B(2,1)．x＋ y－ 3＝ 0.由题意可知，当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小，即|AB|1 2 2＋ 2 1 2＝ 2. B.图 D192b6．B 分析：方法一，由于 a>b>0，且 ab ＝ 1，因此 a>1，0<b<1. 则2a <1 ，log 2 (a ＋ b)>log 22 ab1 1 1＝ 1,2a ＋ b >a ＋ b >a ＋ b? a ＋ b >log 2(a ＋ b)．应选 B.1 b 15 1方法二，取 a ＝2， b ＝ 2，2a＝ 8， log 2( a ＋ b)＝ log 22∈(1,2) ， a ＋ b ＝ 4.应选 B.1 7. 2，4 分析： 如图 D193 ，将点 A(0,4)， C(1,1)分别与点 B(－ 1,0)求斜率，得最小值为12，最大值为4.图 D193x 2－ y 22y 2－ x 24y 2－ x 28. 2 分析： 由新定义运算知， x?y ＝ xy ， (2y)?x ＝ 2yx ＝ 2xy .2 － y 2 2 2 2 ＋2y 2 2 2x4y －xx ≥ 2 x ·2y2 2xy由于 x>0，y>0 ，因此 x?y ＋(2y)?x ＝ ＋2xy ＝＝ ＝ 2.xy 2xy 2xy 2xy 当且仅当 x ＝ 2y 时取等号．因此 x?y ＋ (2y)?x 的最小值是2.x 2＋ 4y2x 2＋ 4y2.∴x 2＋ 9． [4,12] 分析： ∵2xy ＝ 6－ (x 2＋ 4y 2)，而 2xy ≤2 ，∴6－ (x 2＋ 4y 2)≤ 24y 2 ≥ 4(当且仅当x ＝ 2y 时取等号 )．又∵(x ＋ 2y)2＝ 6＋2xy ≥ 0，即 2xy ≥ － 6.∴z ＝ x 2＋ 4y 2＝ 6－2xy ≤ 12.综上所述， 4≤x 2＋ 4y 2≤ 12.10．－3<λ<11 1 1 11 1＋分析： 由 S n ＝ 1＋ 2× ＋ 3×2＋ ＋ (n － 1) · ＋ n ·， S n ＝1×222n－ 22n－ 1222× 11111 1 ＋ ＋ 1 1n ＋ 22＋＋ (n － 1)· 1＋ n ·n ，两式相减，得S n ＝ 1＋ ＋ 2 n－ n ·n ＝ 2－n .所2n222 21222－2 －以 S n ＝ 4－n ＋2.于是由不等式 |λ＋1|<4－ 2 对全部 n ∈N * 恒建立，得 |λ＋ 1|<2.解得－ 3<λ<1.n1n 12 －2－x － 611． 解： (1)由题图知， 3a ＋ 6＝ x ，∴a ＝3.1800 1800则总面积 S ＝x － 4 ·a ＋ 2ax － 65400x － 65400＝ ax － 16 ＝3x－1610 80016x＝ 1832－x ＋ 3 ，10 800 16x即 S ＝1832－x ＋ 3 (x ＞ 0)． (2)由 S ＝ 1832－ 10 800＋ 16x ，x 3 10 800 16x 得 S ≤1832－ 2 x·3 ＝ 1832－ 2×240 ＝ 1352.10 800 16x当且仅当 x ＝ 3 ，此时， x ＝ 45.即当 x 为 45 米时， S 最大，且 S 最大值为 1352 平方米．12． 解： (1) 依题意每日生产的伞兵个数为 100－ x －y ，因此收益 ω＝ 5x ＋ 6y ＋ 3(100 － x －y)＝ 2x ＋ 3y ＋ 300(x ，y ∈N )．5x ＋7y ＋ 4 100－ x － y ≤ 600，(2)拘束条件为100－ x － y ≥ 0，x ≥ 0，y ≥ 0， x ，y ∈N ，x ＋ 3y ≤ 200，整理，得x ＋y ≤ 100，x ≥0， y ≥ 0，x ， y ∈N .目标函数为 ω＝ 2x ＋3y ＋ 300，作出可行域如图 D194 ，图 D194作初始直线 l 0： 2x ＋ 3y ＝0，平移 l 0，当 l 0 经过点 A 时， ω有最大值，x ＋ 3y ＝ 200， x ＝ 50， 由得x ＋ y ＝100 y ＝ 50.因此最优解为 A(50,50) ，此时 ωmax ＝ 550 元．故每日生产卫兵50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时收益最大，且最大收益为550 元．222m x ＋ n － 2mx－ mx ＋ mn13． 解： (1) f ′ (x)＝2＋ n 2 ＝22.xx ＋ n由 f(x) 在 x ＝ 1 处取到极值 2，得 f ′ (1) ＝0， f(1) ＝ 2.mn － m1＋ n 2＝ 0， m ＝4， 即解得m＝ 2， n ＝ 1.1＋ n经查验，当 m ＝ 4， n ＝1 时， f(x)在 x ＝ 1 处获得极值． 故 f(x) ＝4x.x 2 ＋1(2)由 (1) 知， f(x)的定义域为 R ，且 f(－ x)＝－ f(x)． 故 f(x) 为奇函数，且 f(0)＝ 0.当 x ＞ 0 时， f(x)＞ 0,0<f(x)＝4≤ 2，1x ＋ x当且仅当 x ＝ 1 时取 “ ＝ ”；41 <0，当 x<0 时，－ 2≤ f(x)＝－－ x ＋－ x当且仅当 x ＝－ 1 时，取 “＝ ”．故 f(x) 的值域为 [ － 2,2] ．进而 f(x 1 )＋ 7≥ 3.2 2依题意有 g(x)最小值 ≤ 32.a函数 g(x)＝ ln x ＋ x 的定义域为 (0 ，＋ ∞)，1 a x －ag ′ (x)＝ x －x 2＝ x 2 .3①当 a ≤ 1 时， g ′ (x)＞ 0，函数 g(x)在 [1，e]上单一递加，其最小值为 g(1) ＝ a ≤ 1<2， 切合题意；②当 1< a<e 时，函数 g(x)在 [1， a)上有 g ′ (x)<0 ，单一递减，在 (a ， e]上有 g ′ (x)>0 ，单一递加，因此函数g(x)的最小值为g(a)＝ ln a ＋ 1.由3ln a ＋1≤ 2，得 0<a ≤ e.进而知 1<a ≤e 切合题意；③当a ≥ e 时，明显函数g(x)在 [1， e]上单一递减，其最小值为a3g(e)＝1＋e ≥2>2，不符合题意．综上所述，实数 a 的取值范围为 a ≤ e.。
第五章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．(2013年上海春季)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b2．已知下列不等式：①x 2＋3>2x ，②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R ＋)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)，其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N )，公比q ≠1，则( ) A ．a 1＋a 8>a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8<a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5 D ．不确定4．(2012年广东茂名二模)下列三个不等式中，恒成立的个数有( )①x ＋1x≥2(x ≠0)；②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0，a <b )． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个5．(2012年福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 6．(2013年浙江)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ， a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D．a ∨b ≥2，c ∨d ≥27．若不等式(－1)na <2＋－n ＋1n对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆．9．已知a ＞0，b ＞0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a 12＋b 12.10．已知α∈(0，π)，比较2sin2α与sin α1－cos α的大小．第2讲 一元二次不等式及其解法1．(2012年浙江)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)2．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ，－x ＋2，x ＞，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．(2011年湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)6．(2012年山东)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________.7．(2011年上海)不等式x ＋1x≤3的解为_____________．8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0，其中正确的结论的序号是____________．9．已知a ，b ，c ∈R 且a ＜b ＜c ，函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋c 满足f (1)＝0，且关于t 的方程f (t )＝－a 有实根(其中t ∈R 且t ≠1)．(1)求证：a ＜0，c ＞0；(2)求证：0≤b a<1.10．(2013年广东中山模拟)设函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．第3讲 算术平均数与几何平均数1．若A 为两正数a ，b 的等差中项，G 为两正数a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系为( )A ．ab ≤AGB ．ab ≥AGC ．ab >AGD ．ab <AG 2．(2012年陕西)小王从甲地到乙地的往返时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b 23．(2013年福建)若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]4．(2011年重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．45．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 36．(2013年山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3 7．(2012年上海)函数y ＝log 2x ＋4log 2x (x ∈[2,4])的最大值是________． 8．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝2 3，∠BAC ＝30°，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是________．9．已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋10x (x ∈R )．(1)若a ＝3，点P 为曲线y ＝f (x )上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2)若函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，试求a 的取值范围．10．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图K531)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x (单位：米)，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y (单位：米)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？ (3)当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．图K531第4讲 简单的线性规划1．已条变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，则x ＋y 的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．12．(2012年广东广州一模)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤t所表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．(2012年四川)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－3，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋4y 的最大值是( )A ．12B ．26C ．28D ．334．(2013年陕西)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．25．(2012年江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩(1亩≈666.7平方米)植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,506．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0，x ＋2y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]7．(2011年四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元8．(2012年广东广州调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0.若目标函数z ＝ax＋y (a ≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的值为( )A ．－1B ．－12 C.12D ．19．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是________．10．某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？第5讲 不等式的应用1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，则每辆客车营运( )年，其运营的年平均利润最大？( )A ．3B ．4C ．5D ．62．(2013年山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.943．已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，在[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则m 的取值范围为( )A ．m >2B ．m >4C ．m >6D ．m >84．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层5．(2013年山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值为________．6．一份印刷品，其排版面积为432 cm 2(矩形)，要求左右留有4 cm 的空白，上下留有3 cm 的空白，则当矩形的长为________cm ，宽为________cm 时，用纸最省．7．某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的维修费用为12万元，以后每年增加4万元，每年可收入50万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前5年的平均年利润最多；③前10年总利润最多；④第11年是亏损的；⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少(总利润＝总收入－投入资金－总维修费)．其中真命题是________．8．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q两点，则线段PQ 长的最小值是________．9．某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m 2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m 2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m 2森林损失费为60元．问：应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？10．(2012年江苏)如图K551，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－1(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐20标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问：当它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．图K551第五章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．D 解析：a <b <0，设a ＝－2，b ＝－1，则－12>－1；(－2)×(－1)>(－1)2；－(－2)×(－1)>－(－2)2.故A ，B ，C 错误．故选D.2．D 解析：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x . ∵a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )(a －b )2≥0，∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.∵a 2＋b2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)．3．A 解析：(a 1＋a 8)－(a 4＋a 5)＝(a 1＋a 1q 7)－(a 1q 3＋a 1q 4)＝a 1(1－q 3)＋a 1q 4(q 3－1)＝a 1(1－q 3)(1－q 4)＝a 1(1－q )2·(1＋q )(1＋q 2)(1＋q ＋q 2)＞0，∴a 1＋a 8＞a 4＋a 5.4．B 解析：当x <0时，x ＋1x≥2(x ≠0)显然不成立．由a >b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧1a <1bc >0⇒c a <cb，故②成立.a ＋mb ＋m －a b ＝m b －ab ＋m b>0，故③成立．故选B. 5．C 解析：此类题目多选用筛选法，对于A ：当x ＝12时，两边相等，故A 错误；对于B ：具有基本不等式的形式，但sin x 不一定大于零，故B 错误；对于C ：x 2＋1≥2|x |⇔x 2±2x＋1≥0⇔(x ±1)2≥0，显然成立；对于D ，任意x 都不成立．故选C.6．C 解析：∵a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b ， 正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，∴不妨令a ＝1，b ＝4，则a ∧b ＝1≥2错误，故可排除A ，B ；再令c ＝1，d ＝1，满足条件c ＋d ≤4，但不满足c ∨d ≥2，故可排除D.故选C. 7．A8．6 解析：设有x 辆汽车，则货物重为(4x ＋20)吨．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －＜4x ＋20，8x ＞4x ＋20，x ∈N *，解得5＜x ＜7，且x ∈N *.故只有x ＝6才满足要求．9．证法一：左边－右边＝a3＋b3ab－(a ＋b )＝a ＋b a －ab ＋b －ab a ＋bab＝a ＋ba －2ab ＋b ab ＝a ＋b a －b 2ab≥0.∴原不等式成立．证法二：左边>0，右边>0. 左边右边＝a ＋b a －ab ＋bab a ＋b ＝a －ab ＋b ab ≥2 ab －abab＝1.∴原不等式成立．10．解：2sin2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α－cos α－sin α1－cos α＝sin α1－cos α(－4cos 2α＋4cos α－1)＝－sin α1－cos α(2cos α－1)2. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0.∴－sin α1－cos α(2cos α－1)2≤0，即2sin2α－sin α1－cos α≤0.∴2sin2α≤sin α1－cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当α＝π3时取等号.第2讲 一元二次不等式及其解法1．B 解析：B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，A ∩(∁R B )＝{x |1＜x ＜4}∩{x |x <－1或x >3}＝{x |3<x <4}．2．C 解析：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，k 2－4k ·[－k ＋＜0.解得－1<k <0.∴－1＜k ≤0.3．A 解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x 2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.4．A5．B 解析：由题，可知：f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1.若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2. 6．2 解析：由|kx －4|≤2，可得2≤kx ≤6，∴1≤k 2x ≤3，∴k2＝1，故k ＝2.7．x <0或x ≥128．①②③④ 解析：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，∴a <0；－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，－13＋2＝－b a>0，∴b >0；f (0)＝c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0，f (1)＝a ＋b ＋c >0.故正确答案为①②③④.9．证明：(1)∵f (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∴f (1)＝a ＋2b ＋c ＝0. ① 又a ＜b ＜c ，∴2a ＜2b ＜2c ，∴4a ＜a ＋2b ＋c ＜4c . 即4a ＜0＜4c ，∴a ＜0，c ＞0.(2)由f (1)＝a ＋2b ＋c ＝0，得c ＝－a －2b .又a ＜b ＜c 及a ＜0，得－13<ba <1. ②将c ＝－a －2b 代入f (t )＝at 2＋2bt ＋c ＝－a ，得at 2＋2bt －2b ＝0.∵关于t 的方程at 2＋2bt －2b ＝0有实根，∴Δ＝4b 2＋8ab ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≥0，解得b a ≤－2或b a≥0. ③由②③，知：0≤b a <1.10．解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0成立；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0. 所以－4<m ≤0.(2)因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在x ∈[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.第3讲 算术平均数与几何平均数1．A 解析：∵A 为两正数a ，b 的等差中项，∴A ＝a ＋b2.又∵G 为两正数a ，b 的等比中项，∴G ＝ab .∵a ＋b2≥ab ，∴AG ＝a ＋b2ab ≥ab ·ab ＝ab .2．A 解析：设从甲地到乙地的距离为s ，则全程的平均时速v ＝2ss a ＋s b ＝21a ＋1b.∵a <b ，a＝21a ＋1a <21a ＋1b<ab .故选A. 3．D 解析：∵1＝2x ＋2y ≥2·2x ·2y，变形为2x ＋y≤14，即x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y 时取等号．则x ＋y 的取值范围是(－∞，－2]．4．C 解析：∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．5．B 解析：由条件知：(b 2＋1)－ab 2＝0，∴ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1b，即b ＝1时等号成立．6．B 解析：∵x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2，又x ，y ，z 均为正实数， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤12x y ·4yx－3＝1(当且仅当x ＝2y 时取“＝”)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫xy z max ＝1，此时，x ＝2y .∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3×2y ×y ＋4y 2＝2y 2.∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.∴2x ＋1y －2z的最大值为1. 故选B.7．5 解析：设log 2x ＝t ∈[1,2]，y ＝f (t )＝t ＋4t在[1,2]上单调递减，∴f (t )max ＝f (1)＝5.8．18 解析：∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos30°＝32|AB →|·|AC →|＝2 3，∴|AB →|·|AC →|＝4.由f (M )的定义，知：S △ABC ＝12＋x ＋y .又S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin30°＝1，∴x ＋y ＝12(x >0，y >0)，∴1x ＋4y＝2(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x＋4x y ≥2(5＋2 4)＝18.当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x ＝13时，等号成立．∴1x ＋4y的最小值为18.9．解：(1)设切线的斜率为k ，则f ′(x )＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 显然当x ＝3时切线斜率取最小值1，又f (3)＝12， ∴所求切线方程为y －12＝x －3，即x －y ＋9＝0.(2)f ′(x )＝x 2－2ax ＋10.∵y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)为单调递增函数， 即对任意的x ∈(0，＋∞)，恒有f ′(x )≥0，即f ′(x )＝x 2－2ax ＋10≥0，∴a ≤x 2＋102x ＝x 2＋5x.而x 2＋5x≥10，当且仅当x ＝10时，等号成立， ∴a ≤10.10．解：(1)9 3＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴9 3＝12(2BC ＋x )·32x ，得BC ＝18x －x2.由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x 2>0，得2≤x <6.∴y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x <6)．(2)y ＝18x ＋3x2≤10.5，得3≤x ≤4.∵[3,4]⊂[2,6)，∴腰长x 的范围是[3,4]．(3)y ＝18x ＋3x 2≥2 18x ·3x 2＝6 3，当且仅当18x ＝3x2，即x ＝2 3∈[2,6)时等号成立．∴外周长的最小值为6 3米，此时腰长为2 3米． 第4讲 简单的线性规划 1．C 解析：如图D52，得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1)，(1,2)，(2,2)，代入验证知在点(1,1)时，x ＋y 最小值是1＋1＝2.故选C.图D522．B3．C 解析：画出可行域如图D53，目标函数z ＝3x ＋4y 可以变形为y ＝－34x ＋z4，作函数y ＝－34x 的平行线，当其经过点B (4，4)时，z 有最大值为z ＝3x ＋4y ＝3×4＋4×4＝28.图D534．A 解析：画出可行域，如图D54所示．解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ，则直线经过点A 时z 取得最小值；所以z min ＝2×(－2)－2＝－6.故选A.图D545．B 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，则目标函数z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .作出约束条件如图D55的阴影部分．易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，当直线x ＋0.9y ＝0经过点B (30，20)时，z 取得最大值为48.故选B.图D556．C 解析：区域M 是一个三角形区域，三个顶点的坐标是(8,3)，(10,2)，(9,1)，结合图形检验可知：当a ∈[2,9]时，符合题目要求．7．C 解析：设派用甲型卡车x (单位：辆)，乙型卡车y (单位：辆)，获得的利润为u (单位：元)，u ＝450x ＋350y ，x ，y 满足关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ∈Z ，y ∈Z ，作出相应的可行区域u ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，在由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19确定的交点(7,5)处取得最大值4900元．故选C.8．A 解析：若目标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则直线y ＝－ax ＋z 与直线2x －2y ＋1＝0平行，有－a ＝1，即a ＝－1.故选A.9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －y ＋2＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92.∴k OA ＝95.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x ＝1，得B (1,6)．∴k OB ＝6.∵y x表示过可行域内一点(x ，y )及原点的直线的斜率， ∴由约束条件画出可行域(如图D56)， 则y x 的取值范围为[k OA ，k OB ]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6.图D5610．解：设该儿童分别预订x ，y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则z ＝2.5x ＋4y .可行域为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .作出可行域如图D57：经检验发现，当x ＝4，y ＝3时，花费最少，最少花费为z ＝2.5x ＋4y ＝2.5×4＋4×3＝22(元)．图D57第5讲 不等式的应用1．C 解析：y x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2x ×25x ＋12，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取等号．2．C 解析：x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，z ＝x 2－3xy ＋4y 2， z xy＝x 2－3xy ＋4y 2xy ≥2 x 2·4y 2－3xy xy ＝xy xy＝1.当且仅当x ＝2y 时取最小值，此时z ＝2y 2，x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y 2－2y )＝－2(y －1)2＋2，最大值为2.3．C 解析：f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，列表知：函数f (x )在[0,2]上有最小值f (1)＝m －2，最大值f (2)＝m ＋2.∵f (a )，f (b )，f (c )为三角形的边，由任意两边之和大于第三边，得m －2＋m －2>m ＋2，解得m >6.故选C.4．B 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×10 0002000x＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x≥560＋48×2 x ·225x＝2000(x ≥10，x ∈Z ＋)．当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，f (x )取得最小值为f (15)＝2000.5. 2 解析：不等式组表示的区域如图D58，|OM |的最小值为就是坐标原点O 到直线x＋y －2＝0的距离d ＝||0＋0－22＝ 2.图D586．24,18 解析：设矩形的长为x cm ，则宽为432xcm ，则总面积为y ＝(x ＋8)·⎝ ⎛⎭⎪⎫432x ＋6＝432＋48＋6x ＋432×8x ＝480＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋72×8x ≥480＋6×2x ·72×8x ＝768，当且仅当x ＝72×8x ，即x ＝24时取等号，此时宽为43224＝18 (cm)．7．①③④8．4 解析：设交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－2x ，则PQ ＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2≥4. 9．解：设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y 元，则t ＝5×10050x －100＝10x －2. y ＝125tx ＋100x ＋60(500＋100t )＝125x ·10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2＝1250·x －2＋2x －2＋100(x －2＋2)＋30 000＋60 000x －2＝31 450＋100(x －2)＋62 500x －2≥31 450＋2 100×62 500＝36 450(元)．当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值为36 450.故应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36 450元．10．解：(1)在y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)中，令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件，知：x >0，k >0，∴x ＝20k 1＋k 2＝201k＋k≤202＝10(千米)，当且仅当k ＝1时取等号． ∴炮的最大射程是10千米．(2)∵a >0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k >0，使ka －120(1＋k 2)a 2＝3.2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根．由Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0，得a ≤6.此时，k ＝20a ＋－20a 2－4a 2a 2＋2a2>0(不考虑另一根)， ∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标． 专题一 函数、导数与不等式 1．D2．D 解析：∵x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝1－a a ·1－b b ·1－cc＝b ＋c c ＋a a ＋b abc ≥2bc ·2ca ·2ab abc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴x ≥8.3．A 解析：在坐标平面上点(x ，y )所表示的区域如图D59的阴影部分．令t ＝yx，t 的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然k OA 最小，k OB 最大．图D59∵点A (3,1)，点B (1,2)，故13≤t ≤2.4．D 解析：f ′(x )＝e x－1，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (0)＝e 0－0＝1，又f (－1)＝1e ＋1<32，f (1)＝e－1>2.5－1＝32，∴最大值为e －1.5．B 解析：依题意f ′(x )＝1x ＋a ＝2有解，即a ＝2－1x，x ∈(0，＋∞)，故a <2.6．B 解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x .令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2.故选B.7．4x －y －4＝0 解析：设f (x )＝x α，∵f (x )的图象过点A (2,4)，∴4＝2α，∴α＝2，∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，故点A 处切线的斜率k ＝4，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.8.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 解析：当n 为奇数时，a n ＝－a ，b n ＝2＋1n ，(b n )min >2，∴－a ≤2，即a ≥－2；当n 为偶数时，a n ＝a ，b n ＝2－1n ，(b n )min ＝2－12＝32，∴a <32.综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32. 9．解：设楼高为x 层，总费用为y 元，则征地面积为2.5A x m 2，征地费用为5970Ax元，楼层建筑费用为{[445＋445＋(445＋30)＋(445＋30×2)＋…＋[445＋30×(x －2)]}×Ax＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋30x ＋400A (元)， 从而y ＝5970A x ＋15xA ＋30Ax＋400A (x >0)．整理化简，得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫15x ＋6000x＋400A ≥⎝⎛⎭⎪⎫215x ·6000x＋400A ＝1000A (元)，当且仅当15x ＝6000x，即x ＝20时，等号成立，其总费用y 最小．故当这幢宿舍的楼高层数为20层时，最小总费用为1000A 元．10．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3－3a ＝0，f ＝1－3a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.此时f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，x ∈(－1,1)，f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，满足f (x )在x ＝1处取得极小值．∴f (x )＝x 3－3x ＋4.(2)f ′(x )＝3x 2－3，∴g (x )＝m 3f ′(x )－2x ＋3＝m3(3x 2－3)－2x ＋3＝mx 2－2x －m ＋3. 当m ＝0时，g (x )＝－2x ＋3，∴g (x )在[0,2]上有一个零点x ＝32(符合题意)．当m ≠0时，①若方程g (x )＝0在[0,2]上有两个相等的实根，即函数g (x )在[0,2]上有一个零点． 由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m －m ＋＝0，0≤1m≤2，得m ＝3＋52.②若g (x )有两个零点，一个在[0,2]内，另一个在[0,2]外，则g (0)g (2)≤0，即(－m ＋3)(3m －1)≤0，解得m ≤13或m ≥3.经检验m ＝3有2个零点，不满足题意．综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ≤13或m ＝3＋52或m >3.。
