全国初中数学竞赛试题及答案(1998年).

一九九八年全国初中数学竞赛试题及解答
陈宏伯
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1998(000)005
【摘要】根据国家教委的批示,中国教育学会中学数学教学专业委员会于1998年4月18日举办全国初中数学竞赛.这次竞赛在总结以往竞赛经验的基础上,其宗旨是:积极推进素质教育,根据国家教委颁布的义务教育初中课程方案和初中数学教学大纲提出的要求,促进初中活动课程的建设和初中数学课外活动的开展,激发学生学习数学的兴趣,培养学生应用数学的意识和能力,满足学有余力的学生学习数学的愿望,发展他们的才能.力求使竞赛活动成为学生课外主动的读书、学习活动,有利于他们数学知识、能力的发展和身心的健康成长,促进初中数学教学质量的提高.其命题的范围是:以义务教育初中数学教学大纲的内容、要求为基本依据,着重考查学生对数学知识的理解、技能的掌握和应用数学知识的能力.现将这次竞赛的试题及参考答案刊登如下,供读者研究.
【总页数】2页(P46-47)
【作者】陈宏伯
【作者单位】人民教育出版社
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
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1998年北京市中学生数学竞赛初中二年级初赛试题（1998年4月5日8：30～10：30）一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案．请将你的答案填在括号内，答对得6分，答错或不答均记0分）1．已知如下数组3，32-③12402，12240，1998 ④1998，640，2098其中可作为直角三角形三边长度的数组是（）A．①④B．②④C．②③D．③④2．在下面时间段内，时钟的时针与分针会出现重合的是（）A．5：25～5：26 B．5：26～5：27C．5：27～5：28 D．5：28～5：293．已知()=---A为正数的自然数x有（）A x25A．1个B．2个C．多于2的有限个D．无限多个4．将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形，那么不全等的三角形的个数是（）A．5 B．6 C．8 D．105．在ABC∠=°，12△的面积等于（）AC∠=°，15△中，90AB=．则ABCA．16 B．18 C．D．6．已知432c=，324b=，423a=，342d=，则a，b，c，d，e的大小关系是（）A．a b d e c===>===<B．a b d e cC．e d c b a<<<<D．e c d b a<<<<2．P为正方形ABCD内一点，10PA PB==，并且P点到CD边距离也等于10．求正方形ABCD 的面积．D CPAB 3．已知a为整数，2--是质数，试确定a的所有可能值的和．a a412274．如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，过点P 分别作AB ，AD 的平行线交平行四边形于E ，F ，G ，H 四点．若3AHPE S =，5PFCG S =．求PBD S △．HCA5．实数a ，b ，x ，y满足21y a =-，231x y b -=--，求22x ya b+++之值．6．多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-．试确定a b +的值．7．梯形的两条对角线互相垂直，其中一条对角线的长是5厘米，梯形的高等于4厘米．此梯形的面积是多少平方厘米？8．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后达到楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间乙、登楼梯级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上．问由楼下到楼上自动扶梯共有多少级？初中二年级复赛试题（1998年5月3日8：30～10：30）一、填空题（满分40分）1．若x y +x y -，则xy = ．2．等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别为腰AC 、BC 上（异于端点）的点，DE DF ⊥，10AB =，设x DE DF =+，则x 的取值范围是 ．FE DCBA3．实数a ，b1032b b -+--，则22a b +的最大值为 ． 4．若y ，z 均为质数，x yz =，且x ，y ，z 满足113x y z+=，则199853x y z ++= ． 5．黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作．每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添加上0，等等．如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，则另一个是 ． 二、（满分15分）今有浓度为5%，8%，9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7%的盐水100克．问：甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？三、（满分15分）矩形ABCD中，20AB=厘米，10BC=厘米．若在AC、AB上各取一点M，N（如右图），使BM MN+的值最小，求这个最小值．N MD CBA四、（满分15分）国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分．今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手手电分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名选手得分总和．问：前三名选手各得多少分？说明理由．五、（满分15分）正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定HAF∠的大小并证明你的结论．P HGF E DCB A1998年北京市中学生数学竞赛初中二年级初赛试题答案（1998年4月5日8：30～10：30）一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案．请将你的答案填在括号内，答对得6分，答错或不答均记0分）1．D验算222+≠，排除A ．)(((2231913+=-+- (23232=--，排除B ，C ．又()()2212402122401240212240124021224024642162-=+-=⨯ ()222231111998=⨯⨯=()()2222098199820981998209819984096100640-=+-=⨯= 所以③，④合于要求．选D ．2．C设5点x 分时，时针与分针重合．因为分针速度是时针速度的12倍，5点钟时，时针在分针前面25格，所以可得方程2512xx -=解得32711x =．因此5点32711分时时针与分针重合．选C ．算术解法：分针速度是时针速度的12倍，所以时针指到26格时，分针指到12格（即5点12分）．时针指到27格时，分针指到24格，分针落后于时针．当时针指到28格时，分针指到36格，此时分针已超过时针．所以在27格到28格之间时针与分针重合．3．C因为()2532A x x =----++由320x -++>，解得 3.02x <． 所以满足条件的自然数是1，2，3． 故选C ．4．C设三角形三边a ，b ，c 满足a b c ≤≤因为a b c +>，所以22010c a b c c <++=⇒<．又因为320c a b c ++=≥，所以2673c c ⇒≥≥．因此79c ≤≤．当7c =时，7b =，6a =．当8c =时，8b =，4a =；7b =，5a =；6b =，6a =．当9c =时，9b =，2a =；8b =，3a =；7b =，4a =；6b =，5a =．共有8组解． 选C ． 5．B如图，作CE AB ⊥于E ，D 为AB 中点，6CD =．因为230CDB A ∠=∠=°，所以132CE CD ==．1123182ABC S =⨯⨯=△．选B ．6．C因为432a =，342b =，423c =，234d =，324e =即812a =，642b =，163c =，91842d ==，81642e ==． 又643232162433b c ==>>=，186681628993d c ==<<==． 所以e d c b a <<<<．选C ．二、填空题（满分64分，每小题答对得8分，答错或不答均记0分）1．， 此式要有意义，应有1a ≤．2a <，3a ≠， 因为{1}{2}{3}{1}a a a a <= ≤≠≤，所以，原式=0==．2．256设CD 中点为M ，则PM CD ⊥．所以10PM =．延长MP 交AB 于N ，则AN NB =．MN AB ⊥．设正方形边长为2x ，则AN BN x ==，210PN x =-． 在Rt APN △中，由勾股定理得：()22210210x x =+-化简得25400x x -=即()580x x -=因为0x >，解得8x =．所以正方形的边长为16，面积为256． 3．6设241227a a --是质数p ，则241227a a --有因子1±及p ±． 由()()2412272329a a a a --=+-可得： 当231a +=时，1a =-．此时()21911--=-． 当231a +=-时，2a =-．此时()22913--=-． 当291a -=时，5a =．此时()25313+=． 当291a -=-时，4a =．此时()24311+=．ED CBAM xx NABCDP所以当a 取1-，2-，5，4时，241227a a --是质数．a 的所有可能值的和为()()12546-+-++=．4．1设PBD S x =△，ABD CDB S S s ==△△，则PBCD S s x =+，PDAB S s x =- 所以53s x s x +-=--． 解得1x =．即1PBD S =△．5．17由已知21y a =- ①231x y b -=-- ② ①+223x a b +-=--30x -≥，220a b --≤，30x +-=0=，30x -=；220a b --=，6．3-设()()22562f x y x axy by x y x y =++-++=+-，，()g x y ，是()f x y ，的另一个因式，于是，()()()2f x y x y g x y =+-⋅，，令1x y ==，则()110f =，，()0g x y =，，即得15160a b ++-++=， 所以3a b +=-．7．503 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC BD ⊥，5BD =，DH BC ⊥于H ，4DH =．于是3BH =．过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于E ，则DE AC =．令DE AC x ==，则HE 在Rt BDE △中，2DH BH HE =⨯，即243=解得203x =．所以梯形ABCD 的面积11205052233BD AC =⨯⨯=⨯⨯=（平方厘米）．8．66设自动扶梯共n 级．甲登梯速为每分钟y 级，则乙登梯速为每分钟2y 级．电梯速度为每分钟x 级． 则依题意列得关系式： ()55x y n y +=，()6022x y n y+=． 所以()()556022x y x y y y+=+得55553060x y x y +=+ 即255x y =所以15x y =．45xxHED CBA因此，()55551555555665x n x y y y =+=+=⨯+=． 也就是说，楼下到楼上自动扶梯共有66级．初中二年级复赛试题答案（1998年5月3日8：30～10：30）一、填空题（满分40分）1解：由x y +x y -①+②得x ①-②得y =2．10x < 连接CD ．易证ADE CDF △≌△，所以DE DF =． 因此2x DE =．因为D 为定点，E 为AC 边上的动点．而5AD CD ==．当E 为AC 中点时，DE AC ⊥，DE．当点E 向A 运动或向C 运动时，DE 增大，但5DE AD <=，所以55DE <，也就是10x <． 3．45由已知得()161032a a b b -+-=--+-，由绝对值的几何意义，易知 左边165a a -+-≥，右边()1032055b b --+--=≤1， 所以，左边=右边5=，此时16a ≤≤，32b -≤≤．因此22a b +的最大值为()226345+-=． 4．20005由已知x ，y ，z 满足113x y z+=得3yz xz xy +=． 因为x yz =，所以3x xz xy +=． 又0x ≠，所以13z y +=．若2z =，则1y =，与“y 与质数”的条件相矛盾，所以2z ≠，因此质数z 必为奇数，13z y +=为偶数．y 只能是偶数，又y 是质数，所以2y =．于是取2y =，5z =，则10x =．所以199853199810523520005x y z ++=⨯+⨯+⨯=． 5．6由操作规则知，每次操作后黑板上所有的数之和被10除的余数保持不变． 因为123199719981997001+++++=…，故黑板上的数之和被10除的余数为1始终不变．最后剩下的两个数中，至少有一个为新添加的数．而新添加的数只能是一位数，所以25不是新添加的数．因此另一个数必是新添加的数．他应是个F′E′ABCDE F一位数，且与25的和被10除余1．故只能是6．二、（满分15分）解：设甲、乙、丙三种盐水分别各取x 克，y 克，z 克可配成浓度为7%的盐水100克．依题意，得100589700x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② 其中060x ≤≤③ 060y ≤≤④047z ≤≤⑤由①，②解得2004y x =-，3100z x =-，所以由④0200460x -≤≤，解得3550x ≤≤⑥由⑤0310047x -≤≤，解得133493x ≤≤⑦综合③，⑥，⑦可知3549x ≤≤．事实上，当甲种盐水取35克时，乙种盐水取60克，丙种盐水取5克，可满足方程①，②； 当甲种盐水取49克时，乙种盐水取4克，丙种盐水取47克，也可满足方程①，②． 答：甲种盐水最多可用49克，最少可用35克．三、（满分15分）解：作B 关于AC 的对称点B '，连结AB '． 则N 点关于AC 的对称点为AB '上的N '点．这时，B 到M 到N 的最小值等于B M N '→→的最小值，等于B 到AB '的距离BH '．即BM MN +的最小值为BH '．现在求BH '的长．设AB '与DC 交于P 点，连结BP ，则ABP △的面积等于120101002⨯⨯=．注意到PA PC =（想一想为什么？） 设AP x =，则PC x =，20DP x =-． 根据勾股定理得222PA DP DA =+，即()22222201040040100x x x x x =-+⇒=-++， 解得12.5x =（cm ）．所以10021612.5BH ⨯'==（cm ）． 即BM MN +的最小值是16厘米．N′H′B′P HAB CD M N四、（满分15分）A 7A 654Ai j A A →表示i A 胜j A i j A A …表示i A 平j A解：设第i 名选手得分为i a ，则12345678a a a a a a a a >>>>>>> 由于8名选手每人比赛7局，最多可胜7场， 所以17a ≤．大家共赛78282⨯=场，总积分为28分．所以1234567828a a a a a a a a +++++++=①因为每局的积分为0，0.5，1这三种值，所以每人的积分只能取0，0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5，5.5，6，6.5，7这15个值．又知4 4.5a =，25678a a a a a =+++ ②若3 5.5a ≥，则26a ≥，1 6.5a ≥，此时123 6.56 5.518a a a ++++=≥． 由①4567810a a a a a ++++≤，但4 4.5a =，由②2567810 4.5 5.5a a a a a =+++-=≤，这与26a ≥矛盾．所以3 5.5a <，但34 4.5a a >=，所以35a =．这时由①得125678285 4.518.5a a a a a a +++++=--=，也就是12218.5a a += 若2 5.5a =，那么118.5117.57a =-=>，与17a ≤矛盾！若2 6.5a ≥，那么12218.5218.513 5.5a a a =--=<≤矛盾！所以只能26a =． 此时118.526 6.5a =-⨯=．所以前三名选手的积分分别为：6.5分，6分，5分．事实上，当第一名选手平第三名选手、胜其余六人，第二名选手负于第一名而胜其他六名选手，第三名选手平第一名、负于第二名、平第四名、胜其他各名选手时，这时第四名选手负于第一名、第二名，平第三名时即可达到．如图所示． 五、（满分15分）解：容易猜测到45HAF ∠=°． 我们证明如下．设AG a =，BG b =，AE x =，ED y =．则有关系式 2a b x y ax by +=+⎧⎨=⎩①② 由①a x y b -=-平方得22222a ax x y by b -+=-+，将②代入得222224a ax x y ax b -+=-+，M D H∴()222a xb y a x+++⇒+∵22222b y CH CF FH+=+=，∴a x FH+=．即DH BF FH+=．将Rt ADH△绕A旋转90°到Rt ABM△的位置．易证：AMF AHF△≌△，M AF H AF∠=∠．而90 MAH MAB BAH DAH BAH DAB∠=∠+∠=∠+∠=∠=°∴1452HAF MAH∠=∠=°。

1998年全国初中数学联赛试题(含答案)1998年全国数学联赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分） 1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ）（Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x的两根之差是1，那么p的值为（ ）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p ba c a cbc b a =+=+=+，那么直线ppx y +=一定通过第（ ）象限（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。

9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a ax a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。

1998年全国初中数学试题一、选择题（每小题6分，满分30分）1．已知a，b，c都是实数，并且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ]A．ab＞bc B．a+b＞b+c. C.a-b>b-c; D. a bc c >.2．如果方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为l，那么p等于[ ]3．在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于[ ] A． 12 B．14 C．16 D．184.已知abc≠0,,并且a b b c c apc a b+++===,那么直线y=px+p一定通过[ ]A．第一、二象限B．第二、三象限. C．第三、四象限D．第一、四象限5.如果不等式组9080x ax b-≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1,2,3,那么整数a,b的有序数对(a,b)共有[ ]A．17个B．64个. C．72个D．81个二、填空题（每小题6分，满分30分）6．在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=______．7．已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于______．8．已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为______cm．9．已知方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，那么a=＿＿．10.B船在A船的西偏北450,两船相距若A船向西航行,B船同时向南航行,且B船速度为A船速速度的2倍,那么A,B两船的最近距离是___________km.三、解答题（每小题20分，满分60分）11．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．12.设抛物线y=x2+(2a+1)x+2a+54的图象与x轴只有一个交点.(1)求a的值；(2)求a18+323a-6的值．13．A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台，现在决定把这些机器支援给D市18台、E市10台，已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市运费分别为400元和500元．(1)设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数式，并求W的最小值和最大值．(2)设从A市x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x，y表示总运费W（元），并求W的最小值和最大值．1998年全国初中数学联赛参考答案一、选择题1．B根据不等式性质．2．D由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程的两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=l．又由(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，得l2=(-p)2-4．∴p2=5，3．C如图连ED，又∵DE是△ABC两边中点连线．故选C．4．B得2(a+b+c)=p(a+b+c)．∴有p=2或a+b+c=0．当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是∴y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B．5．C在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图∴a=1，2，3…9，共9个．∴b=3×8+1，3×8+2，3×8+3，…，3×8+8．共8个．∵9×8=72（个），故选C．二、填空题6．解如图，过A作AG⊥BD于G，∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”．∴PE+PF=AG．∵AD=12，AB=5，∴BD=13．7．解如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)，作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，∴S△OAB=S梯形AA1B1B-S△AA1O-S△BB1O8．解如图，当圆环为3个时，链长为3a+故a可取1，3或5．10．解如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，于是BB1=2x．∴A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|．三、解答题11．解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽△CED，又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等．解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h．∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠FEH．∴Rt△EHF∽Rt△BAE．即EH=2h，又∵HC=FH，12．解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程(2)由(1)知，a2=a+1，反复利用此式可得a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2，a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13，a16=(21a+13)2=441a2+546a+169=987a+610．a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597．∵a2-a-1=0，∴64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1．∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796．13．解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x+17200．∴5≤x≤9．∴W=-800x+17200(5≤x≤9，x是整数)由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y-17200∴W=-500x-300y+17200，W=-200x-300(x+y)+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．当x=10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800．又W=-200x-300(x+y)+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．。

全国初中数学竞赛初赛试题汇编（1998-2018）目录1998年全国初中数学竞赛试卷 (1)1999年全国初中数学竞赛试卷 (6)2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9)2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14)2002年全国初中数学竞赛试题 (15)2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17)2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25)2005年全国初中数学竞赛试卷 (30)2006年全国初中数学竞赛试题 (32)2007年全国初中数学竞赛试题 (38)2008年全国初中数学竞赛试题 (46)2009年全国初中数学竞赛试题 (47)2010年全国初中数学竞赛试题 (52)2011年全国初中数学竞赛试题 (57)2012年全国初中数学竞赛试题 (60)2013年全国初中数学竞赛试题 (73)2014年全国初中数学竞赛预赛 (77)2015年全国初中数学竞赛预赛 (85)2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94)2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)2018 年初中数学联赛试题 (105)1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。

1988第五届全国九年级义务教育初中中考数学联赛第一试一、选择题1.下面四个数中最大的是( ) A.tan48cot 48︒+︒ B.sin48cos48︒+︒C.tan48cos48︒+︒D.cot 48sin48︒+︒2.在实数范围内,设198851111a x a a ⎫⎪+=+⎪+ ⎪+ ⎪-⎝⎭则x 的个位数字是( )A.1B.2C.4D.63.如图1,在直角梯形ABCD 中,7AB =,2AD =,3BC =,如果这AB 上的点P 使得以P ,A ,D 为顶点的三角形和以P ,B ,C 为顶点的三角形相似,那么这样的点P 有A.1个B.2个C.3个D.4个4.下面有四个命题:⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形,⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形,⑶一组对角相等且一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形, ⑷一组对角相等且一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.其中,正确的命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题1.如果质数p ,q 满足关系式3531p q +=,那么2log 31pq +的值是________.2.如图2,ABC △的边2AB =,3AC =,1,2,3分别表示以AB ,BC ,CA 为边的正方形,则图中三个阴影部分面积的和的最大值是_________.3.如果自然数1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,满足1234512345x x x x x x x x x x ++++=,那么5x 的最大值是_______.4.如图3,A ,B ,C ,D 四点在同一圆周上,且4BC CD ==,6AE =,线段BE 和DE 的长都是正整数,则BD 的长等于_________.第二试一、一串数1,4,7,10,…,697,700的规律是:第一个数是1,以后的每一个数等于它前面的一个数加3,直到700为止,将所有这些数相乘,试求所得数的尾部零的个数(例如12003000尾部零的个数是3).二、如果p ,q ,21p q -,21q p-都是整数,并且1p >,1q >,试求p q +的值. 三、如图4,PQR △和P Q R '''△是两个全等的等边三角形,六边形ABCDEF 图 1PD C B A 图 2CAB 132图 3E D CB A Pb 1a 3b 2b 3a 2a 1Q'P'R'RQF EDC B A的边长分别记为:1AB a =,1BC b =,2CD a =,2DE b =,3EF a =,3FA b =.求证:222222123123a a a b b b ++=++.1988第五届全国九年级义务教育初中中考数学联赛答案第一试一、选择题1.A【解析】 ∵0cos481<︒<,0sin481<︒<,sin 48cos48sin 48cos48tan 48cot 48cos48sin 48︒︒︒+︒<+=︒+︒︒︒,cos48tan 48cos48tan 48tan 48cot 48sin 48︒︒+︒<︒+=︒+︒︒,sin 48cot 48sin 48cot 48cot 48tan 48cos48︒︒+︒<︒+=︒+︒︒,所以最大的是tan48cot 48︒+︒. 故选A【点评】 这道题考的是三角函数的基本概念,并且需要知道三角函数在090-度时的取值范围,对于给出的48度,我们只要与45度角的三角函数数值比较即可.2.D【解析】 要使两个根式都有意义,必须(2)(||1)0a a --≥,且(2)(1||)0a a --≥,但(2)(1||)(2)(||1)a a a a --=---, 所以只能是(2)(||1)0a a --=,解得12a =,21a =,31a =-.若12a =,则1101a+=-,若21a =,则10a -=,均使分母为零. 因而仅有31a =-适用.此时1988198844974975(1)1(2)2161(1)x ⨯⎡⎤⨯-+==-==⎢⎥--⎣⎦. 所以x 的个位数字是6. 故选D.【点评】 题目的式子很复杂,但往往复杂的算式会有一个突破口,本题的突破口就是根据根式有意义得出a 的可能值,但是要注意的是对于分式我们一定要对求出的可能值进行检验,防止出现分母为零的情况. 3.C【解析】 如图1,设AP x =,则7PB x =-,⑴ 如果PAD PBC △∽△,则273x x =-, ∴1475x =<,符合条件.⑵如果PAD CBP △∽△,则237x x=-, ∴11x =,26x =也都符合条件. 所以满足条件的点p 有3个. 故选C. 4.A【解析】 对于⑴、⑵、⑷可分别给出反例,例如:⑴如图2中四边形ABCD ,其中ABD CDE △≌△.⑵如图3,作等腰ADE △,延长底边ED 至任意点O ,以O 为对角线的交点可作出平行四边形ABCE ,而此时的四边形ABCD 满足条件AD AE BC ==,且AO CO =,但不是平行四边形. ⑷如图3中的四边形ABCD ,其中B ,D 是AC 的垂直平分线上的任意两点. 以下证明命题⑶是正确的.如图4,已知BAD DCB ∠=∠,且OB OD =.以O 为中心,将ABD △逆时针旋转180度,由于OB OD =,所以D 与B 重合,B 与D 重合,点A 与射线OC 上的某点A '重合.如果A '不是C ,则BA D BCD '∠>∠(A '在线段OC 内部)或BA D BCD '∠<∠(A '在OC 的延长线上),都与BA D BAD BCD '∠=∠∠矛盾！从而A '即是C .即OA OA OC '==,所以四边形ABCD 是平行四边形. 综上,仅有命题⑶正确. 故选A.【点评】 题目的解法比较明显,根据相似的条件列出方程再求解即可.但在列方程的时候要注意相似有两种情况,要分情况求解,最后要注意验算,看得出的结果是否满足题意.二、填空题1.3-或0【解析】 由条件知,3p 和5q 中必有一个是偶数,而另一个是奇数,若3p 是偶数,则只有2p =,从而5q =,这时22221log log log 3313518p q ===-+⨯+若5q 是偶数,则只有2q =,从而7p =,这时2227log log log 1031321p q ===+⨯+.所以2log 31pq +的值是3-或0.【点评】 这道题的关键是要解出p ,q 的值,这其中要利用奇偶性来判断,并且要用到2是惟一的偶质数,这点在竞赛中经常会成为一道题目的突破口,我们要加以注意.2.9【解析】 利用公式1sin 2S ab C =和sin(180)sin αα︒-=,易知,三个阴影三角形的面积都分别等于ABC △的面积,如图5,因此三个阴影部分与面积的和133sin 9sin 92BAC BAC =⨯⨯⨯∠=∠≤.当90BAC ∠=︒时,等号成立.所以三个阴影部分面积的和的最大值是9. 正弦定理、三角形面积公式,图 1PD CB A正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即:2sin sin sin a b cR A B C===.面积公式:111sin sin sin 222S bc A ab C ac B ===△. 正弦定理的变形及应用, 变形:⑴2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =, ⑵sin :sin :sin ::A B C a b c =,⑶sin 2a A R =,sin 2b B R =,sin 2cC R=. 应用:⑴利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:①已知两角和任一边,求其他两边和一角.②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况.⑵正弦定理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化. 例如:在判断三角形形状时,经常把a ,b ,c ,分别用2sin R A ,2sin R B ,2sin R C 来代替.【点评】 这道题其实并不难,但需要大家对三角形的面积公式很熟悉,并且能够灵活运用三角函数的公式,这里面有些知识是高中的,同学们需要了解一下.3.5【解析】 由条件等式的对称性,不妨设12345x c x x x ≤≤≤≤,由23451345124512351234111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++4545455411111x x x x x x x x ++++≤45453x x x x ++=,得45453x x x x ++≤. ∴45(1)(1)4x x --≤.若41x =,则12341x x x x ====这时,题设等式成为554x x +=,矛盾！ 若41x >,则514x -≤,即55x ≤.若55x =时,容易找到满足条件的解组:(1,1,1,2,5), 所以,最大值是5.【点评】 给出一个一般的结论,满足等式1212n n x x x x x x +++=L L 的自然数(12)i x i n =L ，，，至少有一组: (2)111n -L 14243个，，，,2,n . 利用它我们不难解答下面的问题:试写出方程121987121987x x x x x x +++=L L 的在自然数集中的一组解.答案1219851x x x ====L ,19862x =,19871987x =. 4.7【解析】 如图6,设EC x =,BE y =,ED z =.由DCE ACD △∽△, 得CD EC CA DC =, 即464x x =+, 231B A C 图 5ABC DE 图 6解得22x =(8x =-不合题意), 又由AE EC BE ED ⋅=⋅, 得6212yz =⨯=,但在BCD △中,又可得448y z +<+=, 从而,只能求出正整数解组 34y z =⎧⎨=⎩或43y z =⎧⎨=⎩, 此时,都有7BD y z =+=.【点评】 这道题考的主要是圆的性质,这其中用到了相交弦定理、圆周角定理等,这样的圆内接四边形的图形是我们经常遇到的,我们要很熟悉这个图形中哪些三角形相似以及它们边之间的比例关系.第二试一、 【解析】 首先,求出积中含有因数5的个数.数组中:10,25,40,35,…,700均含有因数5.这一组数共有 (70010)15147-÷+=个,如果每一个数各计一个5,共47个5,但是,其中:25,100,175,…,700还有含有第二个因数5,这些数共计有 (70025)751100-÷+= 因此,就该再添上10个5.类似地,250,625还会有第三个因数5,625还会有第四个因数5. 这样,积中因数5的个数为47102160+++=个至于积中因数2的个数显然多于60个,所以,积的尾部共有60个零.【点评】 这种求尾数零的个数的问题相信大家不会陌生,这主要就是求含因数5的个数,在数的时候要注意不要漏算.二、 【解析】 解法1:首先有p q ≠.事实上,若p q =,则 212112p p q p p --==-,因为1p >,21p q-不是整数,与题设矛盾. 由对称性,不妨设p q >,且令21q m p-=,则m 为正整数.∵21212mp q p p =-<-<, ∴1m =.这样21p q =-,据此,214334p q q q q --==-,但21p q -也是正整数,且1q >,∴3q =,于是215p q =-=, ∴8p q +=.解法2:由解1知p q ≠,不妨设p q >, 令21p m q-=,①21q n p-=.② 则m ,n 都是正整数,且易知m n >.由②,12np q +=,③将③代入①,得1212np p mq m +-==⋅, ∴(4)2mn p m -=+, ∴4mn -是正整数.即1mn =,2mn =或3mn =, 再注意到m n >,因而仅有 21m n =⎧⎨=⎩，或31n n =⎧⎨=⎩, 当2m =,1n =时,由①、②解得2p =,32q =,不合题意.当3m =,1n =时,由①、②解得 5p =,3q =. ∴8p q +=.【点评】 这是一道综合性很强的题目,需要用到不定方程的解法,以及整除的性质等.题目的困难之处在于不知道具体21p q -和21q p-等于多少,为此我们多设一个未知数来求解,这样的方法以后也会经常用到,尤其是当多项式是整数时.三、 【解析】 证明:首先容易证明PAB Q CB QCD R ED REF P AF '''△∽△∽△∽△∽△∽△,依次记上述六个三角形的面积为1S ,1S ',2S ,2S ',3S ,3S '.易知 123123S S S S S S '''++=++, 由211211b S a S '=,222211b S a S '=,233211b S a S '=, 得222123123211b b b S S S a S '''++++= 即211222123123a S b b b S S S ='''++++, 同理222222123123a S b b b S S S ='''++++, 233222123123a S b b b S S S ='''++++, ∴2221231232221231231a a a S S S b b b S S S ++++=='''++++, ∴222222123123a a a b b b ++=++ 【点评】 这道题乍一看条件很多,要证明的关系也比较麻烦,但我们发现要证的关系式是边长的平方,所以我们可以利用三角形相似的关系和面积法来证明.。

1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a ，那么下列式子中正确的是（ ） A 、bc ab B 、c b b a ++ C 、c b b a -- D 、cb c a2、如果方程()0012 p px x =++的两根之差是1，那么p 的值为（ ） A 、2 B 、4 C 、3 D 、53、在ABC ∆中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且CE BD ⊥，4=BD ，6=CE ，那么ABC ∆的面积等于（ ）A 、12B 、14C 、16D 、18 4、已知0≠abc ，并且pba c ac b cb a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限A 、一、二B 、二、三C 、三、四D 、一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧-≥-0809 b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）A 、17个B 、64个C 、72个D 、81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边12=AD ，5=AB ，P 是AD 边上任意一点，BD PE ⊥，ACPF ⊥，E 、F 分别是垂足，那么=+PF PE ___________.27、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB ∆的面积等于___________.8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为cm__________.9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么_______=a .10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是km __________.三、解答题：（每小题20分，共60分）11、如图，在等腰ABC ∆中，1=AB ，︒=∠90A ，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且BE FE ⊥，求CEF ∆的面积。

1998年第10届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）1111111321616842(12)(12)(12)(12)(12)(12)---------++++=（ ）A ．11321(12)2---B ．1321(12)2--C ．12D ．1132(12)---2．（5分）凸n 边形的内角中至多有（ ）个锐角． A ．5B ．4C ．3D ．以上都不对3．（5分）正整数系数二次方程20ax bx c ++=有有理数根，则a ，b ，c 中（ ） A ．至少有一个偶数 B ．至少有一个质数 C ．至少有一个奇数D ．至少有一个合数4．（5分）三角形中长为a ，b ，c 的边上的高分别为a h ，b h ，c h ．若a a h ，b b h ，则此三角形为（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角非等腰三角形D ．以上结论都不对5．（5=（ ）组． A ．无数B ．4C ．2D ．06．（5分）设a 与b 是正整数，且33a b +=，最小公倍数[a ，]90b =，则最大公约数(a ，)b =（ ） A ．1B ．3C ．11D ．97．（5分）连续正整数a ，b ，c ，d ，e 之和为完全立方数，b ，c ，d 之和为完全平方数，则c 的最小值为（ ） A ．100B ．225C ．375D ．6758．（5分）平面上两点A ，B 距离为a b +，其中a ，0b >为定值，则平面上共有（ ）条直线，使AB 到此直线距离分别为a 和b ． A ．无穷多B ．3C ．2D ．19．（5分）三角形三边a ，b ，c 适合a a b cb c b c a++=+-，则此三角形是（ ） A ．以a 为腰的等腰三角形 B ．以a 为底的等腰三角形C ．等边三角形D ．以上答案都不对10．（5分）(,)x y 称为数对，其中x ，y 都是任意实数，定义数对的加法、乘法运算如下： 1(x ，12)(y x +，212)(y x x =+，12)y y +1(x ，12)(y x ，21212)(y x x y y =-，1212)x y y x +，则（ ）不成立．A ．乘法交换律：1(x ，12)(y x ，22)(y x =，21)(y x ，1)yB ．乘法结合律：1(x ，12)(y x ，23)(y x ，31)(y x =，12)[(y x ，2)y ，3(x ，3)]yC ．乘法对加法的分配律：(x ，1)[(y x ，12)(y x +，2)][(y x =，1)(y x ，1))(y x +，2)(y x ，2)]yD ．加法对乘法的分配律：(x ，1)[(y x +，12)(y x ，2)][(y x =，1)(y x +，1)][(y x ，2)(y x +，2)]y二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）设01x <<，化简1)x 得 ．12．（5分）设||1a =，b 为整数，方程2250ax x b --+=有两负实数根，则b = ． 13．（5分）设实数x ，y ，z 适合333987x y z ==，9871x y z++=，则，= ．14．（5分）设实数x ，y ，z 满足x y z ++=，则x = ，y = ，z = ．15．（5分）已知三角形三边a ，b ，c 满足9843a b c ，则三角形面积的最大值= ． 16．（5分）以[]x 表x 的整数部分，即不大于x 的最大整数．例如[3.4]3=，[ 3.4]4-=-．方程298[]1x x -=的所有有理数根是 ．17．（5分）设实数x ，y 满足222||64||270x x y y x y -+--+=，则y 的取值范围是 ． 18．（5分）如图，过P 点作3条线段MN ，IJ ，EF 分别平行于ABC ∆的三边，把ABC ∆分成三个三角形和三个平行四边形，图中标出了其中三个的面积：9IMP S ∆=，42BFPMS =，70CNPJS=，则ABC S ∆= ．19．（5分）方程32322(32)(47)615180x x x x x x x x -+---++-+=的全部相异实根是 ． 20．（5分）如图过Q 点的三条直线AA '，BB '，CC '把ABC ∆分成六个小三角形，已知4AQB BQA S S ''∆∆==，3CQA S '∆=，则AQC x S '∆== ，BQC y S '∆== ，CQB z S '∆== ．。