江苏省 扬州市 2020届 高三上学期期末 检测数学试题 Word版含解析

2022/2023学年第一学期高三10月学情调研测试数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合][(){},14,,11A B x a x a ∞∞=-⋃+=-<<+，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围为（）A.()2,3 B.[)2,3 C.(]2,3 D.[]2,3【答案】D 【解析】【分析】利用数轴法解决集合的交集运算即可.【详解】因为][(){},14,,11A B x a x a ∞∞=-⋃+=-<<+，且A B =∅ ，所以1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a a ≥⎧⎨≤⎩，故23a ≤≤，即[]2,3a ∈.故选：D.2.已知i 为虚数单位，则复数13i12iz -=+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简，结合复数的几何意义，即可得到答案．【详解】13i (13i)(12i)1i 12i (12i)(12i)z ---===--++- ，∴复数z 在复平面内对应的点为(1,1)--，位于第三象限．故选：C ．3.已知单位向量,a b满足2a b -= ，则a 在b 方向上的投影向量为（）A.bB.b -C.2aD.a-【答案】B 【解析】【分析】先由条件计算得a b ⋅ 的值，再利用a 在b 方向上的投影向量为cos b a b ba b b bθ⋅⋅=⋅求得答案.【详解】因为,a b是单位向量，所以1,1a b == ，故22221,1a a b b ==== ，由2a b -= 得24a b -= ，即()24a b-=，则2224a b a b =⋅+- ，即1214a b ⋅=+- ，得1a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影向量为1cos 11b a b b ba b b bbθ⋅-⋅=⋅=⋅=-.故选：B.4.与直线310x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为（）A.310x y -+= B.310x y +-= C.310x y ++= D.310x y ++=【答案】B 【解析】【分析】设(,)P x y 为所求直线上任一点，则(,)P x y 关于y 轴对称的点为(,)x y -，将其代入310x y -+=中化简可得答案.【详解】设(,)P x y 为所求直线上任一点，则(,)P x y 关于y 轴对称的点为(,)x y -，由题意可得点(,)x y -在直线310x y -+=上，所以310x y --+=，即310x y +-，所以与直线310x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为310x y +-=，故选：B5.定义:若函数()f x 的图象经过Ω变换后所得图象的对应函数的值域与()f x 的值域相同，则称Ω变换是()f x 的”同值变换”.则下列正确的是（）A.()cos()6f x x π=+:Ω将函数()f x 的图象关于点(e 0)，对称B.2()=2f x x x -:Ω将函数()f x 的图象关于原点对称C.()=21xf x -:Ω将函数()f x 的图象关于x 轴对称D.2()=log f x x :Ω将函数()f x 的图象关于直线y x =对称【答案】A 【解析】【分析】讨论原函数和变化后的函数值域是否相同即可.【详解】因为函数()cos()6f x x π=+的图象关于x 轴上的点(e 0)，对称后得到的仍然为三角函数，值域仍然为[]1,1-，所以A 选项正确；因为2()=2f x x x -的值域为[)1,-+∞，关于原点对称后的函数为2()=2f x x x -+，值域为(],1-∞，所以B 选项错误；()=21x f x -的值域为(1,)-+∞，关于x 对称后的值域为(,1)-∞，所以C 选项错误；2()=log f x x 的值域为R ,2()=log f x x 关于直线y x=对称的函数为2()=log f x x 的反函数，即2x y =值域为(0,)+∞,所以D 选项错误.故选:A.6.椭圆E :22x a +22y b=1（a >b >0）左右焦点分别为12F F ，上顶点为A ，射线AF 1交椭圆E 于B ，以AB 为直径的圆过2F ，则椭圆E 的离心率是（）A.22B.33C.12D.5【答案】D 【解析】【分析】以AB 为直径的圆过2F ，即22AF BF ⊥，由勾股定理与椭圆定义用a 表示出1BF ，2BF ，然后在12AF F △和12BF F △中，由1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=得出,a c 的齐次等式，变形后可得离心率．【详解】由题意12AF AF a ==，设1BF t =，则22BF a t =-，又以AB 为直径的圆过2F ，即22AF BF ⊥，所以222(2)()a a t a t +-=+，解得23t a =，所以243BF a =，在12AF F △和12BF F △中，12cos c AF F a∠=，22222124164399cos 22223c a a c a BF F ac c a +--∠==⋅⋅，1212180AF F BF F ∠+∠=︒，所以1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，即22302c c a a ac-+=，整理得225a c =，所以55c e a ==．故选：D ．7.定义在[0，π]上的函数πsin(6y x ω=-(ω>0)存在极值点，且值域1[,)2M ⊆-+∞，则ω的范围是（）A.[76,2] B.24[,]33C.74(,63] D.[223，]【答案】B 【解析】【分析】由π[,]666x ωωππ-∈-π-，根据极值点和值域范围即可求得ω的范围.【详解】定义在[0,π]上的函数πsin()6y x ω=-,π[,]666x ωωππ-∈-π-,因为函数存在极值点，所以π62ωππ-≥，即ω≥23.又因为值域1[,)2M ⊆-+∞，所以π66ω7ππ-≤，即有：43ω≤,综上：24[,33ω∈.故选：B8.当0x >时，不等式2e 2ln 1x x mx x ≤++有解，则实数m 的范围为（）A.[)1,+∞ B.1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭C.2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)2,+∞【解析】【分析】先令1m =，构造导数证得在()0,1上存在0x 使得02000e2ln 1x x x x =++，即1m =满足题意，故排除D ；再利用一次函数的单调性证得当1m <时，2e 2ln 1x x x m x >++在()0,∞+上恒成立，即可排除BC ，实则至此已经可以选择A 选项，然而我们可以进一步证得当1m >时，题设不等式也成立，由此选项A 正确.【详解】当1m =时，题设不等式可化为2e 2ln 10x x x x ---≤有解，令()()2e 2ln 10xf x x x x x =--->，则问题转化为()0f x ≤有解，()()()()22e 2e 1212xxx x f x x x xx '+-=-+=-，令()()210e xx x g x =->，则()()2e 20xg x x x +=>'，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()010g =-<，()1e 10g =->，故()g x 在()0,1上存在唯一零点0x ，且0201e x x =，两边取自然对数得002ln 0x x +=，所以当00x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，故()f x 单调递减；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，故()f x 单调递增；所以()()()00220000000min e 2ln 1e 12ln 0xxf x f x x x x x x x ==---=--+=，即在()0,1上存在0x 使得02000e2ln x x x x =++，即()0f x ≤有解0x ，即1m =满足题意，故排除D.由上述证明可得2e 2ln 10x x x x ---≥，即2e 2ln 1x x x x ≥++在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1h m xm x =++，则()0h m x '=>，故()h m 在R 上单调递增；所以当1m <时，()()1h h m >，即2ln 12ln 1x x mx x ++>++，故2e 2ln 1x x x m x >++，即当1m <时，2e 2ln 1x x x m x >++在()0,∞+上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排除BC ；当1m >时，()()1h m h >，即2ln 12ln 1mx x x x ++>++，故00002ln 12ln 1mx x x x ++>++，又02000e2ln 1x x x x =++，故02000e 2ln 1x x mx x <++，即2e 2ln 1x x mx x ≤++至少有一解0x ；综上：m 1≥，即选项A 正确.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知0,0a b >>，且24a b +=，则下列结论正确的是（）A.2ab ≤ B.12a +1b1≥ C.426a b +≥ D.2248a b +≤【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，由42a b =+≥，可得2ab ≤，即可判断；对于B ，由12a +1b 111(2)(42a b a b=++，利用基本不等式求解即可；对于C ，由24222a b a b +=+≥=对于D ，由2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-，及2ab ≤即可求得2248a b +≥，从而即可判断.【详解】解：因为0,0a b >>，且24a b +=，对于A ，42a b =+≥2242ab ab ≤⇒≤⇒≤，当2a b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故正确；对于B ，因为24a b +=，所以1(2)14a b +=，12a +1b 111(2)()42a b a b =++1211(2)(2(22)14244a b b a =++≥+=+=，当22a b b a =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故正确；对于C ，因为24222248a b a b +=+≥===⨯=，当2a b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故错误；对于D ，因为2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-，又因为2ab ≤，所以48ab -≥-，所以1641688ab -≥-=，即2248a b +≥，当2a b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故错误.故选：AB ．10.已知向量()()1,1,cos ,sin (0)a b θθθπ==≤≤．则下列命题正确的是（）A.若22,22b ⎛= ⎝⎭ ，则4πθ= B.存在θ，使得a b a b+=-C.与a共线的单位向量为22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D.向量a与b夹角的余弦值范围是2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由特殊角的三角函数值与θ的取值范围可得到4πθ=，故A 正确；对于B ，利用向量的数量积运算由a b a b +=- 易得0a b ⋅= ，从而得到tan 1θ=-，故34πθ=，即说法成立，故B 正确；对于C ，利用a a± 易求得与a 共线的单位向量有两个，故C 错误；对于D ，利用向量数量积运算求得,a b夹角的余弦值的表达式，结合三角函数的图像即可得到其取值范围是2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.【详解】对于A ，由题意得2cos 2θ=，又0θπ≤≤，故4πθ=，故A 正确；对于B ，因为a b a b +=- ，即22a b a b +=- ，即()()22a b a b +=- ，整理得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0a b ⋅= ，故1cos 1sin 0θθ⨯+⨯=，即sin cos θθ=-，得sin tan 1cos θθθ==-，又0θπ≤≤，所以34πθ=，即存在θ，使得a b a b +=- ，故B 正确；对于C ，因为()1,1a =r，所以a ==a共线的单位向量为a a ⎛±=±=±± ⎝ ，故C 错误；对于D，22cos ,cos sin sin 224a b a b a bπθθθ⋅⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，又0θπ≤≤，所以5444p p p q £+£，所以2sin 124πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即向量a 与b 夹角的余弦值范围是22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.11.已知定义在R 上的函数()f x ，满足()cos f x x +是奇函数，且()sin f x x -是偶函数．则下列命题正确的是（）A.34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B.12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()()f k x f x π+=D.22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】由()cos f x x +是奇函数，可得()()2cos f x f x x -+=-，由()()2cos f x f x x -+=-，可得()()2sin x f x x --=-两方程联立求出()f x 的解析式，然后逐个分析判断.【详解】因为()cos f x x +是奇函数，所以()cos()()cos f x x f x x -+-=-⎡+⎤⎣⎦，()cos ()cos f x x f x x -+=--，所以()()2cos f x f x x -+=-，因为()sin f x x -是偶函数，所以()sin()()sin f x x f x x ---=-，所以()()2sin f x f x x --=-，所以()sin cos f x x x =-，对于A ，33322sin cos 044422f πππ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，所以A 错误，对于B ，sin cos 1222f πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，()()()sin cos f k x k x k x πππ+=+-+，当k 为偶数时，()()()sin cos sin cos ()f k x k x k x x x f x πππ+=+-+=-=，当k 为奇数时，()()()sin cos sin cos sin cos ()f k x k x k x x x x x f x πππ+=+-+=---=--≠，所以C 错误，对于D ，因为sin cos cos sin 222f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，sin cos cos sin cos sin 222f x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确，故选：BD12.过点()10P -，的直线l 与圆220:412C x y y +--=交于A ，B 两点，线段MN 是圆C的一条动弦，且MN =）A.AB 的最小值为B.△ABC 面积的最大值为8C.△ABCD.PM PN +uuu r uuu r的最小值为6-【答案】ACD 【解析】【分析】设圆心C 到直线AB 的距离为d ，求出AB ，即可判断A ；再由1||2ABC S AB d =⋅ ，求出ABC 面积的最大值即可判断B ，C ；取MN 的中点E ，求PM PN +uuu r uuu r的最小值转化为求PE的最小值即可判断D ．【详解】∵224120x y y +--=即22(2)16x y +-=，∴圆心()0,2C ，半径4r =()1,0P -在圆C 内，PC =，设圆心C 到直线AB 的距离为d ，由题意得0d ≤≤∵AB =min AB ==A 正确；1122ABC S AB d d =⋅=⨯=△∵205d ≤≤，∴当25d =时，()max ABC S =△，故B 错误，C 正确．取MN 的中点E ，则CE MN ⊥，又MN =3CE ==，∴点E 的轨迹是以()0,2C 为圆心，半径为3的圆．因为2PM PN PE +=，且min33PEPC =-= ，所以||PM PN +的最小值为6-，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=_________.【答案】725【解析】【分析】利用二倍角公式可求解.【详解】2247sin 2cos 22cos 12124525ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：725.14.若“[1,2]x ∀∈，都有2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________【答案】9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】求出命题为真时，参数范围，再求其在R 上的补集，则得命题为假时的范围．【详解】若[1,2]x ∀∈，都有2210x x λ-+<成立是真命题，则2108210λλ-+<⎧⎨-+<⎩，解得92λ>，所以若[1,2]x ∀∈，都有2210x x λ-+<成立是假命题时，92λ≤．故答案为：9(,]2-∞．15.已知实数x ，y 满足20x y >>，若2z x =+22x y y-（），则z 的最小值是_____【答案】8【解析】【分析】先由基本不等式放缩(2)x y y -，然后再用基本不等式得最小值．【详解】因为20x y >>，所以20x y ->，2211(2)2(2)22228x y y x x y y -+⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当22x y y -=，即4x y =时取等号，所以222216(2)z x x x y y x =+≥+-8≥=，当且仅当2216x x =，即2x =时等号成立，此时14y =．故答案为：8．16.椭圆E :22143x y +=内有一个圆C ，圆C 与椭圆内切，圆C 面积的最大值是________;若切点是椭圆的右顶点，则圆C 面积的最大值是_____【答案】①.3π②.9π4【解析】【分析】空1：当圆半径r b =是圆的面积最大.空2:切点是椭圆的右顶点,设半径为r ，圆心为()2,0r -，列出圆的方程，然后和椭圆方程联立得到含有r 的二次方程，因为和圆有一个切点，故0∆=，得到r ，求得圆的面积.【详解】空1：因为圆C 与椭圆内切，当r b =时，圆C 的面积最大，最大为22π=π=3πr b .空2:因为切点是椭圆的右顶点,设半径为r ，圆心为()2,0r -，所以圆C 的方程为：()2222x r y r --+=⎡⎤⎣⎦和椭圆方程22143x y +=联立得()()2222322234x r x r x r --+-+-=化解得()21227404x r x r --+-=因为有一个切点，所以()()22142474(23)04r r r ∆=--⨯-=-=故32r =.综上所述：圆C 面积的最大值为24ππ9r =.故答案为：3π，9π4.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知(){}22log 242A x x x =-->，11|327x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭（1）当2a =时，求R A B ⋂ð;（2）已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）R {2A B x x ⋂=<-ð或45}x <≤；（2）[)1,+∞．【解析】【分析】（1）先解对数不等式得到集合A ，再解指数不等式得到集合B ，由此利用数轴法对集合进行交并补运算即可；（2）先求得集合B ，再由题设条件得到B A ⊆，由由此利用数轴法对集合进行运算即可.【小问1详解】因为()22log 242x x -->，所以由2log y x =的单调性可得2244x x -->，即()()240x x +->，解得2x <-或4x >，故{2A x x =<-或4}x >，当2a =时，由11327x a-⎛⎫< ⎪⎝⎭，得231133x -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故23x ->，即5x >，故{}5B x x =>，所以{}R 5B x x =≤ð，所以R {2A B x x ⋂=<-ð或45}x <≤，【小问2详解】由11327x a-⎛⎫<⎪⎝⎭得31133x a-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3x a ->，即3x a >+，故{}3B x x a =>+，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆，所以34a +≥，解得1a ≥，即[)1,a ∈+∞.18.圆C ：22(2)(1)9x y -+-=，过点(1,3)P -向圆C 引两切线，A ，B 为切点，（1）求切线的方程:（2）求PA PB ⋅的值【答案】（1）1x =-或512410x y -+=（2）2013-【解析】【分析】（1）按斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时，设出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求得结论；（2）求出,,PC PA PB ，在直角三角形中得出sin APC ∠，用二倍角公式求得cos APB ∠，然后由数量积的定义计算．【小问1详解】若过P 点的直线斜率不存在，符合题意，切线方程为1x =-；若过P 点的直线斜率存在，设切线方程为3(1)y k x -=+，即30kx y k -++=，圆心C3=，解得512k =，则512410x y -+=，综上，切线方程为1x =-或512410x y -+=【小问2详解】|||||2PC PA PB ===sin CA CPA PC∠==，225cos 12sin 1213APB CPA ∠=-∠=-=-．520cos 221313PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．19.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力、在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐.某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的20n （n ∈N +）台汽车车主，统计得到以下22⨯列联表，经过计算可得2 5.556x ≈．喜欢不喜欢总计男性10n12n女性3n总计15n（1）完成表格并求出n 值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关:（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率．从该车企今年某月份售出的汽车中，随机抽取4辆汽车，设被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新能源购车者的辆数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：()22()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．a =P （2x ≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，5，有97.5%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；（2）列联表见解析，1【解析】【分析】(1)根据列联表算出2x ，利用独立性检验即可判断；（2）利用二项分布即可列出分布列，从而求期望.【小问1详解】补充表格数据如下:喜欢不喜欢总计男性10n 2n 12n 女性5n 3n 8n 总计15n5n20n根据数表可得2220(31052)10 5.5561551289n n n n n n x n n n n ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，又n *∈N ，得5n =；由题意，2 5.556(5.024,6.635)x ≈∈，故有97.5%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；【小问2详解】随机抽取1辆汽车属于不喜欢新能源购车者的概率为2511004=，被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新能源购车者的辆数为X ，X 的可能值为：0，1，2，3，4依题意，14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4041381(0)C 44256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，13141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22241354(2)C 44256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3134133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，444131(4)44256P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为：X 01234P812562764542563641256X 的数学期望81275431()0123412566425664256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以X 的数学期望为120.在三角形ABC 中，A =60︒，D AC 边上，AD =1，DC（1）BD ，求△ABD 的面积．（2）若E 点在AB 边上，AD =AE ，∠DBC =30°，求sin ∠EDB ．【答案】（1）4（2）sin 2EDB ∠=【解析】【分析】(1)在ABD △中利用余弦定理和面积公式即可；（2）在BDE 和BDC 中利用正弦定理分析求解.【小问1详解】在ABD △中，由余弦定理得2222cos 60BD AB AD AB AD =+-⋅⋅︒，即260AB AB --=，则3AB =（舍负）所以，11sin6031sin60224ABD S AB AD ︒︒=⋅⋅=⨯⨯⨯=△．【小问2详解】,60AD AE A ==︒，则ADE 为正三角形，1,60DE AD AED ADE ==∠=∠=︒，设EDB θ∠=，在BDE 中，120,60BED EBD θ∠=∠=︒-︒，由正弦定理得()1sin120sin 60BD θ=︒-︒．（*）在BDC 中，30,30,DBC BCD DC θ︒=+︒∠=∠=由正弦定理得()3sin 30sin 30BD θ=+︒︒（**）由（*）和（**）得()()1sin 30sin 604θθ︒+︒-=，即()1sin 6022θ︒+=，又060θ︒<<︒，则60602180θ︒<︒+<︒，故602150θ︒+=︒，所以45θ=︒，sin 2EDB ∠=.21.如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD 垂直，P 是半圆弧上一点（端点除外），AD 是半圆的直径，AB =1，AD =2．（1）求证：平面PAB ⊥平面PDC ；（2）是否存在P 点，使得二面角B PC D --的正弦值为32若存在，求四棱锥P -ABCD 的体积；若不存在，说明理由，【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据矩形性质和面面垂直性质定理可证CD ⊥平面ADP ，结合直径所对圆周角为直角可证AP ⊥平面PDC ，然后由面面垂直判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可得二面角B PC D --为正弦值为2时点P 坐标，然后计算可得体积.【小问1详解】在矩形ABCD 中，CD AD ⊥，又平面ABCD ⊥平面ADP ，平面ABCD 平面,ADP AD CD =⊂平面ABCD ，所以，CD ⊥平面ADP ，又AP ⊂平面ADP ，所以CD AP ⊥，P 是AD 为直径的半圆上一点，所以DP AP ⊥，又,,CD DP P CD DP =⊂ 平面PDC ，所以，AP ⊥平面PDC ，又AP ⊂平面PAB ，则平面PAB ⊥平面PDC 【小问2详解】取BC 中点E ，以AD 的中点O 为坐标原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示空间直角坐标系，由平面ABCD ⊥平面可知，半圆在平面xOz 平面内，设(,0,)P a b，则221,0a b b +=>，又(1,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,0,0)A B C D --，由（1）可知，平面PDC 的一个法向量为,(1,0,)AP AP a b =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，又(1,1,),(2,0,0)BP a b BC =--=- ，则(1)020BP n a x y bz BC n x ⎧⋅=--+=⎨⋅=-=⎩，取1z =，则(0,,1)n b = ，设二面角B PC D --的大小为α，|cos ||cos ,|AP n α==若3sin 2α=，则1|cos |2α=，又b =，12==，又(1,1)a ∈-，得0,1a b ==所以，四面体P ABCD -的体积1233ABCD V S b =⋅=22.已知函数()e a x f x -=，()ln g x a x =-，()f x 与()g x 在1x =处的切线相同．（1）求实数a 的值；（2）令(),1()(),1f x x m x g x x <⎧=⎨>⎩，若存在12x x <，使得12()()2m x m x +=，（i ）求12()x m x +的取值范围；（ii ）求证:122x x +>.【答案】（1）1；（2）①(,2)-∞；②证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设(1)(1)(1)(1)f g f g =⎧⎨''=⎩即可求a 的值；（2）由（1）1e ,1()1ln ,1x x m x x x -⎧<=⎨->⎩，（i ）根据()m x 区间单调性求对应值域，即可知只存在121x x <<使()()122m x m x +=，进而得()()111211e 21x x m x x x -+=-+<，构造1e 2(1)x y x x -=-+<研究其单调性求值域，即可得结果；（ii ）由（i ）得112e 1ln 2xx -+-=，（双变量变量统一）：首先有()11e11211e 1x x x x x --+=+<，令11e 10x t -=->得11ln(1)x t =-+，进而构造()1ln(1)e (0)t h t t t =-++>并利用导数证明()2h t >即可证；（极值点偏移）：构造()(2)[2()]x m x m x ϕ=---且1x <，利用导数研究其单调性可得min ()0x ϕ>，即(2)[2()]m x m x ->-，进而可得()()122m x m x ->，结合1221,1x x ->>及()1ln m x x =-单调性，即可证结论.【小问1详解】由题意(1)(1)(1)(1)f g f g =⎧⎨''=⎩，则11e ln1e 1a a a --⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，可得1a =.【小问2详解】由（1）得1e ,1()1ln ,1x x m x x x -⎧<=⎨->⎩，（i ）当121x x <<时，由()(1)1m x m >=，则()()122m x m x +>，不合题意，舍去；当121x x <<时，()1ln 1ln11m x x =-<-=，则()()122m x m x +<，不合题意，舍去；故只存在121x x <<时，才能使()()122m x m x +=，即112e 1ln 2xx -+-=，所以()()()111112121111ln 1e1e 21x x x m x x x x x x --+=+-=+--=-+<，令1e 2(1)x y x x -=-+<，则11e 0x y -=+'>，故1e 2x y x -=-+在(,1)-∞上递增，即2y <，故()12x m x +的取值范围为(,2)-∞.（ii ）证明：由（i ）知：121x x <<，且112e 1ln 2xx -+-=（*），法一（双变量变量统一）：由（*）得：111111e 1222e 1ln 2ln e 1e x x x x x x ----+-=⇔=-⇒=，故()11e11211e 1x x x x x --+=+<令11e 1x t -=-，而11<x ，则110t ->-=，且11ln(1)x t =-+，则()11e11211e 1()1ln(1)e (0)x t x x x x h t t t --+=+<⇔=-++>，要证122x x +>，即证()1ln(1)e (0)t h t t t =-++>的最小值大于2，又1()e 1th t t =-+'，且21()e 0(1)th x t ''=+>+，故()h t '在(0,)+∞上递增，则min ()(0)0h t h >'='，∴()h t 在(0,)+∞上单调递增，即0min ()(0)1ln1e 2h t h >=-+=，则122x x +>得证.法二（极值点偏移）：构造函数()(2)[2()]x m x m x ϕ=---且1x <，即()11()[1ln(2)]2e e ln(2)1x x x x x ϕ--=----=---且1x <，此时11()e2xx xϕ-'=-+-，且121()e 0(2)xx x ϕ-''=+>-，故()x ϕ'在(,1)-∞上递增，故max ()(1)0t ϕϕ<'='，∴()ϕx 在(,1)-∞上单调递减，且11min ()(1)e ln(21)10x ϕϕ->=---=，当(,1)x ∞∈-时，(2)[2()]m x m x ->-，∵11<x ，()()122m x m x +=，∴()()()1122[2]m x m x m x --=>，而121x x <<知：1221,1x x ->>，且()1ln m x x =-在(1,)x ∈+∞上单调递减，∴122x x -<，故122x x +>得证.【点睛】关键点点睛：第二问，利用等量关系构造12()x m x +关于1x 的表达式，构造函数研究其值域；应用双变量变量统一或极值点偏移，注意构造中间函数并利用导数研究不等式恒成立即可.。

2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题一、单选题1．已知集合3|0,2x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}|24,B x x x Z =≤≤∈，则A B =（ ） A ．[]2,3 B ．(]2,3 C ．{}2,3 D ．{}3【答案】D【分析】首先解分式不等式得到{}|23A x x =<≤，再求A B 即可. 【详解】{}3|0,|232x A x x R A x x x -⎧⎫=≤∈⇒=<≤⎨⎬-⎩⎭， {}{}|24,2,3,4B x x x Z =≤≤∈=，所以{}3A B ⋂=. 故选：D2．“m =-2”是“直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为m =-2，所以直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故充分； 当直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行时，24m =， 解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 1: x +2y +2=0与直线l 2: x +2y +1=0平行，当2m =-时，直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故不必要， 故选：A3．已知向量a =(3，2)， b =(2m -1，3)，若a 与b 共线，则实数m =（ ） A ．114B ．5C ．72D ．1【答案】A【分析】利用向量共线的坐标运算计算即可. 【详解】由已知a 与b 共线得()33221m ⨯=⨯-， 解得114m =4．若椭圆22x a +22y b =1(0a b >>)的离心率为32，短轴长为6，则椭圆的焦距为（ ）A ．43B ．8C ．63D ．83【答案】C【分析】根据离心率结合短轴长度，即可求得c ，再求焦距即可. 【详解】因为短轴长度为6，即26b =，故可得3b =；又离心率为22239112b a a=-=-，解得6a =；故可得22227c a b =-=，则33c =，故焦距263c =. 故选：C.5．己知等比数列{}n a 满足538a a -=，6424a a -=， 则3a =（ ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-【答案】C【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，根据已知条件可得出关于1a 、q 的方程组，解出这两个量的值，即可求得3a 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，由已知可得()()225313264118124a a a q q a a a q q ⎧-=-=⎪⎨-=-=⎪⎩，解得1193a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因此2311a a q ==.故选：C. 6．我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是()f x =（ ）A ．1|1|x - B ．1|||1|x -C ．211x - D ．211x +【分析】根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项.【详解】根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为{|1}x x ≠±， 判断四个选项，只有1|||1|x -和211x -符合，又因为()f x =211x -时，有的函数值是负数，例如1(2)3f =-不符合，所以只有()f x =1|||1|x -成立，故选：B.7．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 A ．5:6π B ．6:2πC ．:2πD ．5:12π【答案】B【分析】作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=，求得球的半径62R a =，利用体积公式，即可求解.【详解】作出过正方体的对角面的截面，如图所示， 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么2,2a CC a OC '==， 在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=, 即2222()2a a R +=，解得62R a =， 所以半球的体积为333114266()23322V R a a πππ=⨯=⨯=，正方体的体积为32V a =，所以半球与正方体的体积比为336:6:22a a ππ=，故选B.【点睛】本题主要考查了球的内接组合体的性质，以及球的体积与正方体的体积的计算，其中解答中正确认识组合体的结构特征，作出过正方体的对角面的截面，利用勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.8．已知向量a b c ，，，满足a =c =1，b =7a c ⋅，=12，若a b +=λc (R λ∈)， 则λ=A ．3B ．2-C ．3或2-D ．3-或2【答案】C【分析】根据题意，利用数量积的运算法则，结合已知条件，即可求得参数λ. 【详解】因为a b +=λc ，故可得b c a λ=-， 两边平方可得：22222b c a a c λλ=+-⋅， 代值可得：271λλ=+-，整理得：260λλ--=， 解得3λ=或2-. 故选：C.9．已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=，判断函数单调性，比大小. 【详解】由22a a =，33b b =，55c c =，得ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =， 又252ln5ln5ln 25ln 2=<=，即ln 5ln 252<， 同理323ln 2ln 2ln32ln3=<=，即ln 2ln 323<， 所以ln5ln 2ln3523<<，即ln ln ln c a b c a b<<， 设函数()ln x f x x=()0,x e ∈，()21ln 0xf x x -'=>在()0,e 上恒成立，故函数()f x 在()0,e 上单调递增， 所以c a b <<， 故选：A. 二、多选题10．已知i 为虚数单位，复数z 满足()10z 2i i +=，则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为1i 5B ．复数z 的共轭复数为21i 55-C ．复数zD ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限.【答案】CD【分析】根据复数的运算得21z i 55=-+，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()5102i i 1==-，所以()102i i 121z i 2i 2i 555---====-+++，所以复数z 的虚部为15,复数z 的共轭复数为21i 55--,故A ，B 选项错误；复数z复数z 在复平面内对应的点21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故CD 选项正确. 故选：CD11．已知正实数a ，b 满足a +b =2，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ≤1 B ．1a +2bCD ．ln a ln b ≤0【答案】ACD【分析】根据正实数a ，b 满足a +b =2，利用基本不等式逐项判断. 【详解】因为正实数a ，b 满足a +b =2，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故A 正确；所以1a+()(211212113332222b a a b b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当2b aa b=时，等号成立，故B 错误；因为2a b =++，故C 正确；因为ln a ln b 2222ln ln ln ln 20222a b a b ab ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪≤=≤= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，故D 正确； 故选：ACD12．已知互不相同的两条直线,m n 和两个平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=，则//m nB ．若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥C ．若m α⊥，βn//， 且m n ⊥，则//αβD ．若m α⊥，βn//， 且//m n ， 则αβ⊥【分析】根据直线与直线，直线与平面和平面与平面的位置关系和特殊图形依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若//m α，n αβ=，则m 与n 的位置关系为平行或异面，故A 错误；对选项B ，若m n ⊥，m α⊥，则n ⊂α或//n α， 又因为n β⊥，所以αβ⊥，故B 正确. 对选项C ，在长方体中，如图所示：满足m α⊥，βn//， 且m n ⊥，此时α与β的位置关系为相交，故C 错误. 对选项D ，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又因为βn//，则存在l β⊂，l α⊥，所以αβ⊥，故D 正确. 故选：BD13．下列关于L 型椭圆C ：42116y x +=的几何性质描述正确的是（ ）A ．图形关于原点成中心对称B ．44y -≤≤C ．其中一个顶点坐标是()0,2-D ．曲线上的点到原点的距离最大值为2【答案】ACD【分析】根据曲线方程，结合曲线的对称性、范围对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A ：对方程42116y x +=，用,x y --分别替换,x y ，可知还是同一个方程， 故该图形关于原点成中心对称，A 正确；B ：因为421016y x =-≥，故可得416y ≤，解得24y ≤，即[]2,2y ∈-，故B 错误；C ：令0x =，解得416y =，可得2y =±，故其一个顶点坐标为()0,2-，C 正确；D ：因为()42222211851616y x y y y +=-+=--+，由B 知：[]2,2y ∈-，故可得当2y =±时，22x y +取得最大值422x y +2，即曲线上的点到原点的距离最大值为2，D 正确.【点睛】本题考查由曲线方程研究曲线的性质，重点在于充分利用曲线方程，结合对称性以及范围的求解方法进行细致分析，属中档题. 三、填空题14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：()1,y kx k k R =-+∈，则直线l 被圆C 截得的最短弦长为______________【答案】【分析】根据直线方程求得直线l 恒过的定点，再结合几何关系以及弦长公式即可求得结果.【详解】因为1y kx k =-+，故可得()11y k x -=-， 则直线l 恒过定点()1,1A ，且点()1,1A 在圆C 内； 当且仅当AC 垂直于l 时，直线l 被圆截得的弦长最短，此时圆心C 到直线l 的距离d AC ==故最短的弦长为=故答案为：15．已知cos()4πα+=π(0,)2α∈，则sin α=__________【解析】【详解】试题分析：cos()(0,)sin()424πππααα+=∈∴+=sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】三角函数基本公式16．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P ，乙胜的概率为1-p ，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X 的数学期望为_____________ 【答案】97282187【分析】根据当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827，求得每局比赛甲胜的概率P ，再由采取7局4胜制得到X 的可能取值为：4，5，6，7，分别求得其【详解】因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827， 且每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为1-p ， 所以()2238127C p p p ⋅⋅-⋅=， 解得 21,133p p =-=，X 的可能取值为：4，5，6，7，则 ()()3333342216212644,53381333243p x C p x C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()323333562121602123206,73337293332187p x C p x C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x 的数学期望为：()1664160320972845678124372921872187E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：9728218717．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )= ln x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交x 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 【答案】11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】首先根据导数的几何意义得到切线为：()0001ln y x x x x -=-，切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，从而得到()000ln ,0M x x x -，000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得到00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再构造()ln 2ln xg x x x x x=-+，利用导数求解最大值即可. 【详解】设()00,ln P x x ，()1f x x'=，则()001k f x x '==， 则切线l 为：()0001ln y x x x x -=-， 令0y =，解得000ln x x x x =-，即()000ln ,0M x x x -. 切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，令0y =，解得000ln x x x x =+，即000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 设()ln 2ln xg x x x x x=-+， ()()()()22211ln 1ln 2ln 1x x x g x x x x +--'=-++=， 令()0g x '=，解得e x =，则()0,e x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，()e,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 为减函数. 所以()()max 1e e eg x g ==+，即t 的最大值为11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题18．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 值域.【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[3,2]-.【分析】（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式；（2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可. (1)周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0>ω，则2ω=， 从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ， 则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=-+，k Z ∈， 又||2ϕπ<，则3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象 故可得()2sin()6g x x π=-；[,]6x ππ∈-5[,]636x πππ∴-∈-，sin 6x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，()[2]g x ∴的值域为. 19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到左、右焦点1F 、2F 的距离之和为4，且右顶点A 到右焦点2F 的距离为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线y kx =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记MNA △的面积为S ，当3S =时求k 的值.【答案】(1)221.43x y += (2)32k =±【分析】（1）根据题意得到24a =，1a c -=，再根据222a b c =+求解即可. （2）首先设()11,M x y ，()22,N x y ，再根据122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-求解即可. (1)由题意24a =，2a =，则b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，且2OA = 根据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-， 联立方程组22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得223(4)12y k +=，解得y = 因为AMN 的面积为3，可得12||3y y -=，解得32k =±. 20．设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为Sn 满足4Sn =(an +1)2 (1)证明数列{an }为等差数列，并求其通项公式；(2)求数列{}3nn a ⋅的前n 项和Tn【答案】(1)证明见解析，21n a n =-(2)()1133n n T n +=-⋅+【分析】（1）直接采用作差法化简可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，变形可得12n n a a --=，可证{an }为等差数列，结合通项公式可求n a ；（2）由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，结合错位相减法化简可求n T .(1)()()()22-1-14=14=12n n n n S a S a n +∴+≥，， ()()22114411n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=-+-，()()1120n n n n a a a a --∴+--=，()10,22n n n a a a n ->∴-=≥，所以数列{}n a 为等差数列，11,1,n a == 21n a n ∴=-；由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，所以()121333213=⨯+⨯++-⋅n n T n ，()()21313233213n n n T n n +=⨯++-⋅+-⋅()()2123233213n n n T n +∴-=+⨯++--⋅，()()21131323221313n n n T n -+⨯-∴-=+⨯--⋅-，()122236n n T n +∴-=-⋅-， ()1133n n T n +∴=-⋅+.21．击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x 与组内女性人数y 统计结果如表: .(1)女性人数与组号x (组号变量x 依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数;（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx==-==--∑∑）(2)在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X 组，求X 的分布列与期望.【答案】(1)预测从第7组开始女性人数不低于男性人数 (2)分布列见解析，1.【分析】（1）根据题意，结合已知公式得0.6 1.2y x ∧=+，再解0.6 1.25x +≥即可估计得答案；（2）根据题意得X 的所有可能取值为0，1，2，3，再根据超几何分布求解即可.解：由题可得()11234535x =⨯++++=，51223443,515i i i y x y =++++===∑，522222211234555i i x ==++++=∑．则51522150.6,30.63 1.25i ii i i x y x yb a y b x x x∧∧∧==-===-=-⨯=-∑∑所以0.6 1.2y x ∧=+ 当0.6 1.25x +≥时，193x ≥所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数． (2)解：由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，36395(0)21C C P X === 21633915(1)28C C C P X === 1263393(2)14C C C P X === 33391(3)84C C P X ===则X 的分布列为()1E X ∴=22．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 (1)若1cos 4A =，求BDC 的面积; (2)若4CD AD -=，求CD 长. 【答案】 (2)6【分析】（1）根据题意，在三角形ABD 中由正弦定理得sin ADB ∠=，进而结合题意，在三角形BCD 中由余弦定理解得6CD =，在根据三角形面积公式计算即可；（2）设CD x =，由于cos cos ADB CDB ∠=∠，故在三角形ABD 和三角形CDB 中，结合余弦定理解方程得6x =.解：在三角形ABD 中，由1cos 4A =得15sin 4A = 由正弦定理可得sin sin BD ABA ADB =∠，即21sin sin A ADB=∠ 所以115sin sin 28ADB A ∠==因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以15sin sin 8CDB ADB ∠=∠=， 因为AB BD <，故ADB ∠为锐角，故CDB ∠为锐角，故27cos 1sin 8CDB CDB ∠=-∠=在三角形BCD 中由余弦定理得2222cos BC CD DB CD DB CDB =+-⋅⋅∠ 所以227300CD CD --=，解得6CD =或52CD =-（舍） .所以1115315sin 622284BDCS DC DB CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=(2)解：设CD x =，则4AD x =-在三角形ABD 中由余弦定理可得22224)41cos 24(4)DA DB AB x ADB DA DB x +--+-∠==⋅-（ 在三角形CDB 中由余弦定理可得2222419cos 24DC DB CB x CDB DC DB x+-+-∠==⋅ 因为cos cos ADB CDB ∠=∠所以22(4)414194(4)4x x x x -+-+-=-，解得6x =或52x =（舍）综上所述CD 的长为6.23．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AA D D ⊥平面11C CDD ，且1111122CC CD DD C D ====.(1)证明:11A D ⊥面11CC D D π【答案】(1)证明见解析； (2)34. 【解析】(1)如图在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=， 所以113DD C π∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =，因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂面11CC D D 所以1DC ⊥平面11AA D D ，因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为AD DC ⊥，1DC DC D ⋂=，1,DC DC ⊂面11CC D D ， 所以AD ⊥平面11CC D D . (2)连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ， 以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为11A D ⊥平面11CC D D ，所以1A C 在平面11CC D D 内的射影为1D C ， 所以1A C 与平面11CC D D 所成的角为11ACD ∠，即113ACD π∠=，在△1D DC 中，由余弦定理可得：2221112cos120D C DD DC DD DC =+-⨯⨯︒，即21144222122D C ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得1DC =在11Rt A CD中，因为1DC =116A D =， 则()10,0,0D ，()16,0,0A，(D，(C ，()10,4,0C ，所以(1D D =，()116,0,0D A =，()116,4,0AC =-，(1AC =- 设平面11AA D D 的法向量为(),,m x y z =， 则有11100m D D m D A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即060y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令3y =，则0x =，z =(0,3,m =， … 设平面11AAC C 的法向量为(),,n a b c =， 则有11100n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即640630a b a b -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2a =，则3b =，c =(2,3,3n =，所以6cos ,23m n m n m n⋅===⨯故锐二面角1C AA D --24．己知函数()e mxf x x =(其中e 为自然对数的底数)(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当1m =时，若()ln 1f x x ax ≥++恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(],1-∞【分析】（1）()()'1mxf x mx e =+，进而分0m =，0m >，0m <三种情况讨论求解即可；（2）由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立，故令ln 1()x x g x e x +=-，再根据导数研究函数的最小值，注意到01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()'00g x =，进而结合函数隐零点求解即可.(1)解：()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增； ②0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞> ⎪⎝⎭，单调增； ③0m <，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-> ⎪⎝⎭单调增()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞< ⎪⎝⎭，单调减. 综上，当0m =时，()f x 在R 上单调增；当0m >时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；当0m <时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. (2)解：由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立 ()2'2ln 1ln (),x xx x e xg x e g x x x ++=-=，令()2ln x h x x e x =+，()()'212xh x x x e x=++， ()()()'0,,0,x h x h x ∈+∞>单调递增∵()121110,10e h e h e e e⎛⎫=⨯-<=> ⎪⎝⎭，∴01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，即()'00g x =()()()'00,,0,x x g x g x ∈<单调递减；()()()'0,,0,x x g x g x ∈+∞>单调递增()()000min 0ln 1x x g x g x e x +∴==-， 0020000011ln 0,ln x x x e x x e x x +=∴=令()xm x xe =，则111ln ln m x x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()m x 在()0+∞，上单调增 000011ln,x x e x x ∴=∴=，0000000ln 111()=1x x x g x e x x x +-+∴=--= 1a ∴≤∴实数a 的取值范围是(],1-∞。

江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期11月期中检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、解答题15．中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：1．B【分析】1()2x f x -=是指数复合函数，先判断函数单调递增，通过求出2x =和x 趋于-¥时()f x 的值来确定值域.【详解】1()2x f x -=由(1,)2u x x u f ==-复合，两个都是增函数，则原函数为增函数.当2x =时，211(2)222f -===.当x 趋于-¥时，1x -也趋于-¥.因为指数函数2u y =（1u x =-），当u 趋于-¥时，2u 趋于0，所以()f x 趋于0，所以()0f x >.故原函数值域为(]0,2.故选：B.2．D【分析】解不等式化简集合B ，再利用并集的定义求解即得.【详解】解(2)(1)0x x +-<，得2<<1x -，则{1,0}B =-，而{}0,1,2A =，所以{}1,0,1,2A B È=-.故选：D 3．A【分析】根据函数零点存在定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.来判断两个条件之围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学试卷2020.1.14一、填空题1.已知集合 A ＝ {-1，0，2}， B ＝ {-1，1，2}， 则 A ∩B =________.2.已知复数 z 满足(1+ i ) z ＝ 2i ， 其中i 是虚数单位，则 z 的模为_______.3.某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_______.5.已知等差数列{a n } 的公差 d 不为 0 ，且 a 1，a 2，a 4 成等比数列，则1a d的值为_____. 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.7.在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥 A 1 - BB 1C 1 的体积为______.8.已如函数.若当 x ＝6π时，函数 f (x ) 取得最大值，则ω 的最小值为______.9. 已 知 函 数 f (x ) ＝ (m - 2)x 2 + (m - 8)x (m ∈R ) 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x ∈ R ， 关 于 x 的 不 等 式f ( x 2 +1) < f (a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是______.10.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A ，B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 ＝1 的两条渐近线上， 且双曲线C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝ 4.8 +1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.12. 已知△ABC 的面积为 3 ，且 AB ＝ AC .若2CD DA =，则 BD 的最小值为______.13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2 ＝ 8 与圆C 2 : x 2 + y 2 + 2x + y -a ＝ 0 相交于 A ，B 两点.若圆C 1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为______. 14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ( x ) + 2af (x )+1- a 2 ＝ 0 有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.二、解答题15. (本小题满分14 分)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，PC ⊥AB ，D，E 分别为BC，AC 的中点。

2024-2025学年第一学期高三年级期初学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“，”的否定是（）A ．，B ．，C ．，D ．，3．设集合，，若，则a ＝（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-24．已知a ，b ，c 为实数，下列说法正确的是（ ）A ．若，则 B ．若，则C ．若，则 D ．若，则5．已知函数f （x ）在[1，＋∞）上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．（3，＋∞）6．若不等式成立的充分条件是，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，若，则的最小值为（ ）A ．B ．3C ．2D ．8．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足，f （x ）的导函数为g （x ），函数为奇函数，则g （2024）＝（ ）{}1,0,1,2A =-1|02x B x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭≤A B (),1x ∃∈-∞3210x x +-<[1,]x ∃∈+∞3210x x +-≥(),1x ∃∈-∞3210x x +-≥[1,]x ∀∈+∞3210x x +-≥(),1x ∀∈-∞3210x x +-≥{}0,3A a ={}1,2,22B a a =-+-A B ⊆a bc c>a b >22ac bc >a b >a b >22ac bc >a b <22a b<x ∈R ()()2f x f x =-()()23f x f x ->()5,3,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭|1|x a +<04x <<1a -≤5a ≥1a -≥5a ≥()22ln f x x x x=-+()10f a f b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭13b a +()()32f x f x +-=()121y g x =+-A ．1B ．3C ．-1D ．-3二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（ ）A ．的一个必要不充分条件是B ．若集合中只有一个元素，则C ．若，使得成立是假命题，则实数m 的取值范围为D ．已知集合，则满足条件的集合N 的个数为410．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）A ．BC ．D ．11．设函数，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数f （x ）在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（-∞，0]B ．若函数f （x ）有3个零点，则实数a 的取值范围是（8，＋∞）C ．设函数f （x ）的3个零点分别是，，（），则的取值范围是D ．任意实数a ，函数f （x ）在（-1，1）内无最小值三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上．12．已知随机变量，且，则的值为________．13．设，，，则a ，b ，c 的大小关系为________（用“＜”连接）．14．若存在正实数x ，使得不等式成立，则a 的最大值为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合，．（1）分别求，；1a b +<a b<{}2|20A x ax x =-+=18a =1[,3]2x ∃∈2210x mx -+≥()+∞{}1,3M =M N N = 0a >0b >22a b +=12ab ≥2+244a b+≥123a b a b +++()22,0e ,0x x ax a x f x a x ⎧---<⎪=⎨-⎪⎩≥1x 2x 3x 123x x x <<12313x x x +-(),8ln 2-∞--()2~1,X N σ()30.8P X <=()11P X -<<4log 3a =3log 2b =23c =()2ln 2ln 00axa x a ->≤{}|228x A x =≤≤{}2|log 1B x x =<A B ()A B R ð（2）已知集合，若，求实数a 的取值范围．16．（15分）已知函数．（1）若不等式的解集为（1，2），求f （x ）的表达式；（2）解关于x 的不等式．17．（15分）随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取500人进行调查，得到如下表的统计数据：周平均锻炼时间少于6小时周平均锻炼时间不少于6小时合计60岁以下8012020060岁以上（含60）60240300合计140360500（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？（2）现从60岁以上（含60）的样本中按周平均锻炼时间是否少于6小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少于6小时的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式及数据：，其中．α0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.82818．（17分）如图，四棱锥P-ABCD 中，，，，．（1）若，证明：；（2）若，且二面角A-CP-DAD ．19．（17分）设函数f （x ）的导函数为f'（x ），若对任意恒成立，则称函数f （x ）为区间{}|2C x x a =<<C A ⊆()()2212f x kx k x =-++()0f x <()0f x <0.001α=()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++x αPA ABCD ⊥底面2PA AC ==1BC =AB =AD PB ⊥AD PBC 平面P AD DC ⊥()||1f x '≤x D ∈D 上的“一阶有界函数”．（1）判断函数和是否为R 上的“一阶有界函数”，并说明理由：（2）若函数f （x ）为R 上的“一阶有界函数”，且f （x ）在R 上单调递减，设A ，B 为函数f （x ）图像上相异的两点，直线AB 的斜率为k ，试判断“”是否正确，并说明理由；（3）若函数为区间[0，1]上的“一阶有界函数”，求a 的取值范围．参考答案1．C 2．D3．C4．B5．B6．D7．A8．A9．AD 10．BCD11．BCD12．0.313．14．15．（1）∵，∴ ∴ ∴（2）因为集合，，当时，，满足条件；当时，，则，即，综上所述，．16．（1）∵的解集为（1，2），∴1，2是方程的根且∴ ∴ ∴（2）当时，，∵ ∴，∴当时，，即，即当时，，∴或当时，（ⅰ）当时，无解()cos f x x =()2xg x =10k -<<()()32e e 1xh x ax x a x =+---b c a <<1eln 2{}|228[1,3]x A x ==≤≤{}()2|log 10,2B x x =<=[1,2)A B = ()(),13,A =-∞+∞R ð()()(),23,A B =-∞+∞R ð{}|2C x x a =<<C A ⊆2a ≤C =∅2a >C ≠∅3a ≤23a <≤(,3]a ∈-∞()0f x <()0f x =0k >2112212k k k +⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩1k =()232f x x x =-+0k =()2f x x =-+()0f x <20x -+<2x >0k ≠()()()21f x x kx =--()()210x kx --<()120k x x k ⎛⎫--< ⎪⎝⎭0k <()120x x k ⎛⎫--> ⎪⎝⎭2x >1x k <0k >()120x x k ⎛⎫--< ⎪⎝⎭12k =（ⅱ）当时，（ⅲ）当时，综上所述：当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为17．（1）提出假设：周平均锻炼时长与年龄无关联，由列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联；（2）抽取的10人中，周平均锻炼时长少于6小时的有（人），不少于6小时的有（人），则X 所有可能的取值为1，2，3，所以，，，所以随机变量X 的分布列为：X 123P所以数学期望．12k >12x k <<12k <12x k<<0k <1|2x x x k ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或0k ={}|2x x >102k <<1|2x x k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭12k =∅12k >1|2x x k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭0H 22⨯()220.001500802401206050023.8110.82820030014036021x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.001α=0H 60102300⨯=240108300⨯=()2128310C C 11C 15P X ===()1228310C C 72C 15P X ===()38310C 73C 15P X ===115715715()177121231515155E X =⨯+⨯+⨯=18．（1）因为，而，所以，又，，，所以，而，所以．因为，所以，根据平面知识可知，又，，所以．（2）法一：以DA ，DC 为x ，y 轴，过点D 作平面ABCD 垂直的线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz ：令，则A （t ，0，0），P （t ，0，2），D （0，0，0），，，设平面ACP 的法向量，所以，设，，所以，设平面CPD 的法向量为，所以，设，则，，所以，因为二面角A-CP-D，，解得，所以法二：如图所示，过点D 作于E ，再过点E 作于F ，连接DF ，PA ABCD ⊥平面AD ABCD ⊂平面PA AD ⊥AD PB ⊥PB PA P = ,PB PA PAB ⊂平面AD PAB ⊥平面AB PAB ⊂平面AD AB ⊥222BC AB AC +=BC AB ⊥AD BC P AD PBC ⊄平面BCPBC ⊂平面AD PBC 平面P AD t =DC =()C ()1111,,n x y z = 1111020n AC tx z ⎧⋅=-=⎪⎨=⎪⎩1x =1y t =10z =)1,0n t = ()2222,,n x y z = 2222220n DP tx z n DC ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 2z t =22x =-20y =()22,0,n t =-121212|cos ,|||||n n n n n n ⋅===t =AD =DE AC ⊥EF CP ⊥因为，所以，而，所以，又，所以，根据二面角的定义可知，即为二面角A-CP-D 的平面角，即，即．因为，设，则，又，而为等腰直角三角形，所以，故，解得，即注：其他做法相应给分．19．（1），在R 上恒成立，故是R 上的“一阶有界函数”；，，当时，，故不是R 上的“一阶有界函数”．（2）正确．若函数f （x ）为R 上的“一阶有界函数”，则，又f （x ）在R 上单调递减，即，所以，令，，所以F （x ）在R 上单调递增，设，，其中；又f （x ）在R 上单调递减，所以，，故；（3）函数，若h （x ）为区间[0，1]上的“一阶有界函数”，则，对恒成立PA ABCD ⊥平面PAC ABCD ⊥平面平面PAC ABCD AC = 平面平面DE PAC ⊥平面EF CP ⊥CP DEF ⊥平面DFE ∠sin DFE ∠=tan DFE ∠=AD DC ⊥AD x =CD =DE =242x CE -==EFC △EF =tan DFE ∠==x =AD =()cos f x x =()|||sin |1f x x '=-≤()cos f x x =()2x g x =()||2ln 2x g x '=1x >()1||2ln 21g x '>>=()2xg x =()||1f x '≤()0f x '≤()10f x '-≤≤()()F x f x x =+()()10F x f x ''=+≥()11,A x y ()22,B x y 12x x >1k >-()()12f x f x <()()12120f x f x k x x -=<-10k -<<()()32e e 1xh x ax x a x =+---()2e 32e 1xh x ax x a '=+--+()||1h x '≤()11h x '-≤≤[0,1]x ∀∈则，，；，，，则．令，，其中，因为，在区间[0，1]上单调递增，所以区间[0，1]上单调递增，∵，，所以存在，使，即，当时，，T （x ）单调递减；当，，T （x ）单调递增．所以，h ′（x ）在区间单调递减，在区间单调递增，所以，所以在区间时有解，因为对称轴为，在区间上单调递减，所以，∴，综上：．()|0|1h '≤|2|1a -≤13a ≤≤()|1|1h '≤|2e 1|1a -+≤e 2e22a -≤≤e12a ≤≤()()2e 32e 1xT x h x ax x a '==+--+()e 62e xT x ax '=+-e 12a ≤≤e xy =6y ax =()e 62e xT x ax '=+-()012e 0T '=-<()16e 0T a '=->()00,1x ∈()00T x '=00e 62e 0xax +-=00x x <<()0T x '<01x x <<()0T x '>()00,x ()0,1x ()()()02200000min e 32e 1362e 2e 1xh x h x ax x a ax a x a ''==+--+=-++-+()01h x '-≥()00,1x ∈62e e1163a x a a+==+>()0h x '()00,1x ∈()02e 11h a '=-+>-2e 2a <+e [1,2a ∈。

盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学2020.01注意事项：1. 本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．2. 答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体体积公式：V ＝Sh ，锥体体积公式：V ＝1Sh ，其中 S 为底面积，h 为高．3n n样本数据 x 1，x 2，···，x n 的方差 s 2＝1 ∑ (x i －)2，其中＝1 ∑ x i ．n i ＝1 n i ＝1一､ 填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合 A ＝(0，＋∞)，全集 U ＝R ，则∁ A ＝ ▲． U2. 设复数 z ＝2＋i ，其中 i 为虚数单位，则 z ·—z ＝▲．3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 则甲被选中的概率为 ▲ ． 4. 命题“ θ∈R ，cos θ＋sin θ＞1”的否定是 ▲ 命题．(填“真”或“假”) 5. 运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为 ▲ ． 6. 已知样本 7，8，9，x ，y 的平均数是 9，且 xy ＝110，则此样本的方差是 ▲ ．（第 5 题图）7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y 2＝4x 上的点 P 到其焦点的距离为 3，则点 P 到点 O的距离为 ▲ ．8. 若数列{a n }是公差不为0 的等差数列，ln a 1、ln a 2、ln a 5 成等差数列，则a 2的值为 ▲ ． a 19. 在三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，点 P 是棱 CC 1 上一点，记三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 与四棱锥 P －ABB 1A 1 的体积分别为 V 1 与 V 2，则V 2＝ ▲ ．V 110. 设函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象与 y y 轴右侧第一个22最低点的横坐标为π，则ω的值为 ▲．6S ←0I ←0 While S ≤10 S ←S ＋I I ←I ＋1End WhilePrint I→11.已知H 是△ABC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，AH ＝的值为▲．→AB ＋4→AC ，则cos∠BAC212.若无穷数列{cos(ωn)}(ω∈R)是等差数列，则其前10 项的和为▲．13．已知集合P＝{(x，y)|x|x|＋y|y|＝16}，集合Q＝{(x，y)|kx＋b1≤y≤kx＋b2}，若P Q，则|b1－b2|k2＋1 的最小值为▲．14.若对任意实数x∈(－∞，1]，都有| e xx2－2ax＋1|≤1 成立，则实数a 的值为▲．二､解答题:本大题共 6 小题，计90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．(本小题满分14 分)已知△ABC 满足sin(B＋π)＝2cos B．6（1）若cos C AC＝3，求AB；3（2）若A∈(0，π)，且cos(B－A)＝4，求sin A．3 516．(本小题满分14 分)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1 中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC1 上的一点．（1）若AC1//平面PBD，求PC1的值；PC（2）求证：BD⊥A1P．1A（第16 题图）11QA DOB CPyPA F1 O F2 xB如图，是一块半径为4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面(接缝忽略不计)，AB 为圆柱的一条母线，点A、B 在⊙O 上，点P、Q 在⊙O 的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q 分别与直线BC、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)（第17 题图）18．(本小题满分16 分)设椭圆C：x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P(x0，y0)在椭圆C 上a2 b2运动．当PF2⊥x 轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C 的方程；→→→→（2）延长PF ，PF 分别交椭圆C 于点A，B(A，B 不重合)．设＝，＝，1 2AF1λF1P BF2 μF2P 求λ＋μ的最小值．（第18 题图）定义：若无穷数列{a n}满足{a n＋1－a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M(q)数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M(q)数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n＋1＝2S n－1n＋λ，请判断数列{b n}是否为“M(q)数列”，2并说明理由；（3）若数列{b n}是“M(2)数列”，是否存在正整数m，n 使得4039＜b m＜4040?若存在，请求2019b n2019出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16 分)若函数f(x)＝e x－a e－x－mx(m∈R)为奇函数，且x＝x0时f(x)有极小值f(x0)．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若f(x0)≥－2恒成立，求实数m 的取值范围．e盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学附加题2020.01注意事项：1.附加题供选修物理的考生使用．2.本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸卡．21.【选做题】在A、B、C 三小题中只能选做2 题，每小题10 分，共计20 分．请在答．卷．卡．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4—2：矩阵与变换a 3已知圆C 经矩阵M＝3 －2 变换后得到圆C′：x2＋y2＝13，求实数a 的值．B.选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线ρcosθ＋2ρsinθ＝m 被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．C.选修4—5：不等式选讲已知正实数a，b，c 满足1＋2＋3＝1，求a＋2b＋3c 的最小值．a b c【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答．卷．卡．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10 分)如图，AA1、BB1 是圆柱的两条母线，A1B1、AB 分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C 与B1D 所成角的余弦值；（2）若二面角A1－CD－B1 的大小为π，求母线AA1 的长．3（第22 题图）23．(本小题满分10 分)2n设∑ (1－2x)i＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n(n∈N*)，记S n＝a0＋a2＋a4＋…＋a2n．i＝1（1）求S n；（2）记T n＝－S1C1＋S2C2－S3C3＋…＋(－1)n S n C n，求证：|T n|≥6n3恒成立．n n n n盐城市､南京市2020 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准2020.01说明：1.本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，计70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）4．真5．6 6．2 7．2 31．(－∞，0] 2．5 3．238．3 9．210．7 1112．10 13．414．－1332二、解答题：本大题共 6 小题，计90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．(本小题满分14 分)解：（1）由sin(B＋π)＝2cos B，可知B＋1cos B＝2cos B，即sin B＝3cos B．6 2 2因为cos B≠0，所以tan B＝3．又B∈(0，π)，故B＝π．........................................ 2 分3由cos C C∈(0，π)，3可知sin C＝1－cos2C................................... 4 分3AC ＝AB ，在△ABC 中，由正弦定理b ＝ c ，可得sin Csin B sin C sinπ3所以AB＝2．................................................ 7 分（2）由（1）知B＝π，所以A∈(0，π)时，π－A∈(0，π)，3 3 3 3由 cos(B －A )＝4，即 cos(π－A )＝4，所以 sin(π－A )＝ 1－cos 2(π－A )＝3， ................. 10 分3 3 5 所以 sin A ＝sin[π－(π－A )]＝sin πcos(π－A )－cos πsin(π－A )3 3 3 3 3 3＝ 3×4－1×3＝4 3－3． ............................. 14 分2 5 2 5 1016．(本小题满分 14 分)证明：（1）连结 AC 交 BD 于点 O ，连结 OP ．因为 AC 1//平面 PBD ，AC 1 平面 ACC 1， 平面 ACC 1∩平面 BDP ＝OP ，所以 AC 1//OP ． ............................. 3 分因为四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 交 BD 于点 O ， 所以点 O 是 AC 的中点，所以 AO ＝OC ，所以在△ACC 1 中，PC 1＝AO＝1． ................ 6 分D 1C 1A 1B 1PD C（2）连结 A 1C 1．PC OC O因为 ABCD －A 1B 1C 1D 1 为长方体，所以侧棱 C 1C ⊥平面 ABCD ． （第 16 题图）又 BD 平面 ABCD ，所以 CC 1⊥BD ． ...................... 8 分因为底面 ABCD 是正方形，所以 AC ⊥BD ． ................. 10 分又 AC ∩CC 1＝C ，AC 面 ACC 1A 1， CC 1面 ACC 1A 1，所以 BD ⊥面 ACC 1A 1． .......................................... 12 分又因为 A 1P 面 ACC 1A 1，所以 BD ⊥A 1P ． .......................... 14 分17．(本小题满分 14 分)解：（1）设⊙P 半径为 r ，则 AB ＝4(2－r )，所以⊙P 的周长 2πr ＝BC ≤2 16－4(2－r )2， ............................ 4 分 解 得 r ≤ 16 ，π2＋4故⊙P 半径的取值范围为(0， 16 ]． ................................. 6 分π2＋4 （2）在（1）的条件下，油桶的体积 V ＝πr 2·AB ＝4πr 2(2－r )． ..................... 8 分设函数 f (x )＝x 2(2－x )，x ∈(0， 16 ]，π2＋4所以 f '(x)＝4x－3x2，由于16 ＜4，π2＋4 3所以 f '(x)＞0 在定义域上恒成立，故f(x)在定义域上单调递增，即当r＝16 时，体积取到最大值．................................. 13 分π2＋4答：⊙P 半径的取值范围为(0，16 ]．当r＝16 米时，体积取到最大值． ....... 14 分18．(本小题满分16 分)π2＋4 π2＋4解：（1）由当PF2⊥x轴时，x0＝1，可知c＝1． ................................................... 2分将x0＝1，y0＝e 代入椭圆方程得1 ＋e2＝1．a2 b2由e＝c＝1，b2＝a2－c2＝a2－1，所以1 ＋ 1 ＝1，a a a2 a2(a2－1)解得a2＝2，故b2＝1，所以椭圆C 的方程为x2＋y2＝1．..................................... 4分2→→1－x1＝λ(x0＋1)，（2）方法一：设A(x1，y1)，由AF1＝λF1P y1＝λy0，1＝－λx0－λ－1，y1＝－λy0，代入椭圆方程，得(－λx0－λ－1)2＋(－λy)2＝1．...................... 8 分2x2(λx)2 2 2(λ＋1)(2λx0＋λ＋1) 2又由0＋y0＝1，得20 ＋(λy0) ＝λ ，两式相减得2 2＝1－λ ．因为λ＋1≠0，所以2λx0＋λ＋1＝2(1－λ)，故λ＝ 1 ．.................................................. 12 分3＋2x0同理可得μ＝ 1 ，............................................ 14 分3－2x0故λ＋μ＝ 1 ＋ 1 ＝ 6 ≥2，3＋2x0 3－2x0 9－4x23当且仅当x0＝0 时取等号，故λ＋μ的最小值为2． ....................... 16 分3方法二：由点A，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为x＝my－1，x2 22＋y ＝1，消去x，得(m2＋2)y2－2my－1＝0．x＝my－1，设A(x1，y1)，则y0y1＝－1m2＋2，所以y1＝－1 ．................ 8 分(m2＋2)y0将点P(x ，y ) x2 y 2＝1，0 0代入椭圆的方程得0＋020 0 0 0代入直线 PA 的方程得 x 0＝my 0－1，所以 m ＝x 0＋1．y 0→ → y 1 1 1 由AF 1＝λF 1P ，得－y 1＝λy 0，故λ＝－ ＝ ＝y 0 (m 2＋2)y 2 (x 0＋1)2＋2y 2＝ 1＝ 1 ． .................................... 12 分 (x 0＋1)2＋2(1－1x 2) 3＋2x 02同理可得μ＝ 1 ． ............................................. 14 分3－2x 0故λ＋μ＝ 1 ＋ 1 ＝ 6 ≥2，3＋2x 0 3－2x 0 9－4x 23 当且仅当 x 0＝0 时取等号，故λ＋μ的最小值为2． ...................... 16 分3注：（1）也可设 P ( 2cos θ，sin θ)得λ＝ 1 ，其余同理． 3＋2 2cos θ（2）也可由1＋1＝6，运用基本不等式求解λ＋μ的最小值．λ μ 19．(本小题满分 16 分)解：（1）因为 b 2＝4，且数列{b n }是“M (q )数列”，所以 q ＝b 3－b 2＝7－4＝1，所以b n ＋1－b n ＝1，n ≥2，b 2－b 1 4－1b n －b n －1 即 b n ＋1－b n ＝b n －b n －1 ，n ≥2， .................................................................. 2 分 所以数列{b n }是等差数列，其公差为 b 2－b 1＝3，所以数列{b n }通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×3，即 b n ＝3n －2． ............... 4 分 （2）由 b n ＋1＝2S n －1n ＋λ，得 b 2＝3＋λ，b 3＝4＋3λ＝7，故λ＝1．2 2方法一：由 b n ＋1＝2S n －1n ＋1，得 b n ＋2＝2S n ＋1－1(n ＋1)＋1，2 2 两式作差得 b n ＋2－b n ＋1＝2b n ＋1－1，即 b n ＋2＝3b n ＋1－1，n ∈N *．2 2又 b 2＝5，所以 b 2＝3b 1－1，22所以 b n ＋1＝3b n －1对 n ∈N *恒成立， ............................................ 6 分2b n ＋1－1则 b n ＋1－1＝3(b n －1)．因为 b 1－1＝3≠0，所以 b n －1≠0，所以4＝3， 4 4 4 4 4 b n －14 即{b n －1}是等比数列， ....................................... 8 分4＋ 所以 b n －1＝(1－1)×3n －1＝1×3n ，即 b n ＝1×3n ＋1，4 4 4 4 4(1×3n ＋2＋1)－(1×3n ＋1＋1)所以b n ＋2－b n ＋1＝ 44 4 4 ＝3， b n ＋1－b n(1×3n ＋1＋1)－(1×3n ＋1)4444所以{b n ＋1－b n }是公比为 3 的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10 分 方法二：同方法一得 b n ＋1＝3b n －1对 n ∈N *恒成立， ....................................... 6 分2 则 b n ＋2＝3b n ＋1－1，两式作差得 b n ＋2－b n ＋1＝3(b n ＋1－b n )． .............................. 8 分2因为 b 2－b 1＝3≠0，所以 b n ＋1－b n ≠0，所以b n ＋2－b n ＋1＝3，2b n ＋1－b n所以{b n ＋1－b n }是公比为 3 的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10 分（3）由数列{b n }是“M (2)数列”，得 b n 1－b n ＝(b 2－b 1)×2n －1． 又b 3－b 2＝2，即7－b 2＝2，所以 b 2＝3，所以 b 2－b 1＝2，所以 b n ＋1－b n ＝2n ，b 2－b 1 b 2－1 所以当 n ≥2 时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n －1．当 n ＝1 时上式也成立，所以 b n ＝2n －1． ...........................12 分 假设存在正整数 m ，n ，使得4039＜b m ＜4040，则4039＜2m－1＜4040．2019 b n 2019 2019 2n －1 2019由2m－1＞4039＞1，可知 2m －1＞2n －1，所以 m ＞n ．2n －1 2019又 m ，n 为正整数，所以 m －n ≥1．又2m －1＝2m －n (2n －1)＋2m －n －1＝2m －n ＋2m －n－1＜4040， 2n －1 2n －1 2n －1 2019所以 2m －n ＜4040＜3，所以 m －n ＝1， .............................................................. 14 分2019 所以2m－1＝2＋ 1 ，即4039＜2＋ 1 ＜4040，所以2021＜2n ＜2020，2n －12n －1 2019 2n －1 2019 2 所以 n ＝10，m ＝11，故存在满足条件的正整数 m ，n ，其中 m ＝11，n ＝10． ................... 16 分20．(本小题满分 16 分)解：（1）由函数 f (x )为奇函数，得 f (x )＋f (－x )＝0 在定义域上恒成立，所以 e x －a e －x －mx ＋e －x －a e x ＋mx ＝0，化简可得 (1－a )·(e x ＋e －x )＝0，所以 a ＝1． .................................................. 3 分（2）方法一：由（1）可得f(x)＝e x－e－x－mx，所以f'(x)＝e x＋e－x－m＝e2x－m e x＋1．e x①当m≤2 时，由于e2x－m e x＋1≥0 恒成立，即f '(x)≥0 恒成立，故不存在极小值．........................... 5 分②当m＞2 时，令e x＝t，则方程t2－mt＋1＝0 有两个不等的正根t1，t2 (t1＜t2)，故可知函数f(x)＝e x－e－x－mx在(－∞，ln t1)，(ln t2，＋∞)上单调递增，在(ln t1，ln t2)上单调递减，即在ln t2 处取到极小值，所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．................................. 9分方法二：由（1）可得f(x)＝e x－e－x－mx，令g(x)＝f'(x)＝e x＋e－x－m，则g′(x)＝e x－e－x＝e2x－1．e x故当x≥0 时，g′(x)≥0；当x＜0 时，g′(x)＜0，........................... 5 分故g(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，所以g(x)min＝g(0)＝2－m．①若2－m≥0，则g(x)≥0 恒成立，所以f(x)单调递增，此时f(x)无极值点．……6 分②若2－m＜0，即m＞2 时，g(0)＝2－m＜0．取t＝ln m，则g(t)＝1 ＞0．m又函数g(x)的图象在区间[0，t]上不间断，所以存在x0∈(0，t)，使得g(x0)＝0．又g(x)在(0，＋∞)上递增，所以x∈(0，x0)时，g(x)＜0，即f '(x)＜0；x∈(x0，＋∞)时，g(x)＞0，即f '(x)＞0，所以f(x0)为f(x)极小值，符合题意．所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．................................. 9 分（3）由x0满足e x0＋e－x0＝m，代入f(x)＝e x－e－x－mx,消去m，可得f(x0)＝(1－x0)e x0－(1＋x0)e－x0． ................................................ 11分构造函数h(x)＝(1－x)e x－(1＋x)e－x，所以h′(x)＝x(e－x－e x)．当x≥0时，e－x－e x＝1－e2x0，所以当x≥0 时，h′(x)≤0 恒成立，e x故h(x)在[0，＋∞)上为单调减函数，其中h(1)＝－2, ............................... 13 分e则f(x0)≥－2可转化为h(x0)≥h(1)，故x0≤1．.................... 15 分e由e x0＋e－x0＝m，设y＝e x＋e－x，可得当x≥0时，y’＝e x－e－x≥0，所以y＝e x＋e－x在(0，1]上递增，故m≤e＋1．e 综上，m 的取值范围是(2，e＋1]． .............................. 16 分e≤盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2020.01说明：1. 本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则．2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的 解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在 A 、B 、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答．卷．纸．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修 4—2：矩阵与变换解：设圆 C 上任一点(x ，y )，经矩阵 M 变换后得到圆 C’上一点(x’，y’)，a 3所以 3 －2x ＝x′y y′ ax ＋3y ＝x′，3x －2y ＝y′． ......................... 5 分又因为(x′)2＋(y′)2＝13，所以圆 C 的方程为(ax ＋3y )2＋(3x －2y )2＝13, 化简得(a 2＋9)x 2＋(6a －12)xy ＋13y 2＝13， a 2＋9＝13，6a －12＝0 解得 a ＝2．所以，实数 a 的值为 2． ........................................... 10 分B. 选修 4—4：坐标系与参数方程解：以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴(单位长度相同)建立平面直角坐标系，由直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m ，可得直角坐标方程为 x ＋2y －m ＝0．又曲线ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，其直角坐标方程为 x 2＋(y －2)2＝4， ........... 5 分所以曲线ρ＝4sin θ是以(0，2)为圆心，2 为半径的圆．为使直线被曲线(圆)截得的弦 AB 最长，所以直线过圆心(0，2)， 于是 0＋2×2－m ＝0，解得 m ＝4．所以，实数 m 的值为 4． ............................................ 10 分C. 选修 4—5：不等式选讲解：因为1＋2＋3＝1，所以1＋ 4 ＋ 9 ＝1． a b c a 2b 3c，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(1＋4 ＋9 )≥(1＋2＋3)2，a 2b 3c即a＋2b＋3c≥36，....................................................... 5分1 4 9当且仅当a＝2b＝3c，即a＝b＝c 时取等号，解得a＝b＝c＝6，a 2b 3c所以当且仅当a＝b＝c＝6 时，a＋2b＋3c 取最小值36．......................... 10 分22．（本小题满分10分）解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O－xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，0)，A1(0，－1，3)，B1(0，1，3)，→→从而A1C＝(－1，1，－3)，B1D＝(1，－1，－3)，→→－1×1＋1×(－1)＋(－3)×(－3) 7所以cos＜A1C，B1D＞＝＝，(－1)2＋12＋(－3)2×12＋(－1)2＋(－3)2 11所以异面直线A1C 与B1D 所成角的余弦值为7 ． ........... 4 分11（2）设AA1＝m＞0，则A1(0，－1，m)，B1(0，1，m)，→→→所以A1C＝(－1，1，－m)，B1D＝(1，－1，－m)，CD＝(2，0，0)，→n1·CD＝2x1＝0，设平面A1CD 的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD 的一个法向量n1＝(0，m，1)．→n1·A1C＝－x1＋y1－mz1＝0，同理可得平面B1CD 的一个法向量n2＝(0，－m，1)．因为二面角A1－CD－B1 的大小为π，3所以|cos＜n1，n2＞|＝|m×(－m)＋1×1 |＝1，m2＋12×(－m)2＋12 2解得m＝3或m＝3，3由图形可知当二面角A1－CD－B1 的大小为π时，m＝3．............... 10 分3注：用传统方法也可，请参照评分．23．（本小题满分10分）解：（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝0．令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝31＋32＋…＋32n＝3(9n－1)．2两式相加得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝3(9n－1)，2所以S n＝3(9n－1)．......................... 3 分4（2）T n＝－S1C1＋S2C2－S3C3＋…＋(－1)n S n C nn n n n＝3{[－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]－[－C1＋C2－C3＋…＋(－1)n C n]}n n n4n n n n n＝3{[90C0－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]－[C0－C1＋C2－C3＋…＋(－1)n C n]} n n n n4n n n n n n ＝3[90C0－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]n n n n n4＝3[C0(－9)0＋C1(－9)1＋C2(－9)2＋…＋C n(－9)n]n n n n4＝3[1＋(－9)]n＝3×(－8)n．...................................... 7 分4 4要证|T n|≥6n3，即证3×8n≥6n3，只需证明8n－1≥n3，即证2n－1≥n．4当n＝1，2时，2n－1≥n显然成立．当n≥3时，2n－1＝C0＋C1＋…＋C n－1≥C0＋C1＝1＋(n－1)＝n，即2n－1≥n，n－1 n－1 n－1 n－1 n－1所以2n－1≥n对n∈N*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．......................................... 10 分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明2n －1≥n 恒成立，请参照评分．。