厦门大学高等代数教案第二章2

第二章 多项式教学目的要求 一元多项式在本章中占有突出的重要位置．它对培养、提高 学生的数学素质是非常必要的.应着重掌握以下问题：多项式的确切定义、多项 式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项 式与方程的联系与区别、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实 数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等．教学内容及学时分配 多项式的定义和运算（2 学时）；多项式的整除性（4 学时）；最大公因式（4 学时）；因式分解定理（4 学时）；重因式（4 学时）；多 项式函数及多项式的根（4 学时）；复数域和实数域上的多项式（4 学时）；有理 数域上的多项式（4 学时）多元多项式；对称多项式（2 学时）；习题课（2 学时）．重点、难点 理解基本概念，掌握一元多项式次数定理，多项式的乘法消去 律；带余除法定理的证明及应用，多项式因式分解的存在唯一性定理，多项式的 可约与数域有关，多项式没有重因式的充分必要条件，余数定理，综合除法，代 数基本定理，C 、R 、Q 上多项式，多元多项式的字典排列法，初等对称多项式表 示对称多项式．教学手段 传统教学和多媒体教学相结合．2．1 一元多项式的定义和运算教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 重点、难点 一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律． 教学过程 讲授练习．１.多项式的定义令 R 是一个数环,并且 R 含有数 1,因而 R 含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复 先讨论R 上一元多项式定义 1 数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式n n x a x a x a a ,2210 +++ ， （１）这里 n 是非负整数而n a a a a ,,,,210 都是 R 中的数.在多项式(1)中,0a 叫做零次项或常数项, x a 1 叫做一次项,一般, i i x a 叫做 i 次项, i a 叫做 i 次项的系数.一元多项式常用符号 f(x),g(x),⋯来表示.2. 相等多项式:定义 2 若是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么 f(x)和 g(x)说是相等;f (x)=g(x) 非负整数 n 叫做多项式n n x a x a x a a ,2210 +++ ,( 0≠n a )的次数.系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义2,零多项式总可以记为 0.以后谈到多项式 f(x)的次数时,总假定 f(x)≠0.多项式的次数有时就简单地记作()()x f 0∂.3. 多项式的运算:()n n x a x a a x f +++= 10 ()m m x b x b b x g +++= 10是数环 R 上两个多项式，并且设 m ≤n ，多项式 f(x)与 g(x)的和 f(x)+g(x)指的是多项式()()()()n n n m m m x b a x b a x b a b a +++++++++ 1100 这里当 m<n 时,取01===+n m b b多项式 f(x)与 g(x)的积 f(x)g(x)指的是多项式m n m n x c x c c +++++ 10 这里m n k b a b a b a b a c k k k k k +=++++=--,,1,0,011110 我们定义 f(x)和 g(x)的差f(x)-g(x)= f(x)+(-g(x)) 4. 多项式加法和乘法的运算规则① 加法交换律: f(x)+g(x)= g(x) + f(x)；② 加法结合律: (f(x)+g(x))+h(x)= f(x)+(g(x)+h(x)) ; ③ 乘法交换律: f(x)g(x)=g(x)f(x);④ 乘法结合律: (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));⑤ 乘法对加法的分配律: f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x) 有时候把一个多项式按"降幂"书写是方便的，这时将多项式写成 n n n n a x a x a x a ++++--1110 ⑵ 当00≠a 时，n x a 0叫做多项式⑵的首项 5. 多项式的运算性质定理 2.1.1 设 f(x)和 g(x)是数环 R 上两个多项式,并且 f(x)≠0, g(x)≠0.那么a) 当 f(x)+g(x)≠0 时,()()()()()()()()x g x f x g x f 000,max ∂∂≤+∂ b) ()()()()()()()x g x f x g x f o 00∂+∂=∂ 证： 设()()()()m x g n x f =∂=∂00,()0,10≠+++=n n n a x a x a a x f ， ()0,10≠+++=m m m b x b x b b x g ， 并且n m ≤.那么()()()()()n n n x b a x b a b a x g x f ++++++=+ 1100， ⑶ ()()()m n m n x b a b a b a b a x g x f +++++= 011000， ⑷由（3），f(x)+g(x)的次数显然不超过 n ，另一方面，由 a n ≠0，b m ≠0 得 a n b m ≠0．所以由(5)得 f(x)g(x)的次数是 n +m.推论 2.1.2 f(x)g(x)=0 必要且只要 f(x)和 g(x)中至少有一个是零多式．证 若是 f(x)和 g(x)中有一个是零多项式，那么由多项式乘法定义得f(x)g(x)=０(x)≠0 且 g(x)≠0，那么由上面定理的证明得 f(x)g(x)≠0．推论 2.1.3 若是 f(x)g(x)= f(x)h(x),且 f(x)≠0，那么 h(x)=g(x)证 由 f(x)g(x)= f(x)h(x)得 f(x)(g(x)-h(x))=0．f(x)≠0，所以由推论2.1.2 必有 g(x)-h(x)=0,即 g(x)=h(x).由于推论 2.1.3 成立,我们说,多项式的乘法适合消去法。

第二章 行 列 式引言：第一章给出了线性方程组有没有解，有多少个解的判别准则，它需要将方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵。

能不能直接用原来的线性方程组的系数和常数项判断它有没有解，有多少个解呢？看两个方程、两个未知量的方程组的情形： 1111222112222a x a x ba x a xb +=⎧⎨+=⎩， （1）其中1121,aa 不全为0（否则为一个未知量的方程），不妨设110a≠。

将此方程的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵：1112111121112212211122112122211110a a b a a b a a a a a b a b a a b a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪→--⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭。

11221220a a a a -≠。

此时原方程组有唯一解：122212111221221b a b a x a a a a -=-，112211211221221a b a b x a a a a -=-（2）11221220a a a a -=。

此时原方程组无解或有无穷多解。

（取决于112211a b a b -是否等于零）。

命题1 两个方程的二元一次方程组（12）表示。

11112213321122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，（3）可以仿照两个方程、两个未知量的情形给出： 方程组（3此时，唯一解可以表示为：2233112233133222332112332132231112233122331132132112332122133132231a ab a a b a a b a a b a a b a a b x a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---=++---，1133223311132131123321331133122112233122331132132112332122133132231a ab a a b a a b a a b a a b a a b x a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---=++---， （4）112231231321321113221221322311311223312233113213211233212213313223a ab a a b a a b a a b a a b a a b x a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---=++---。

授课章节 §2.3 n 级行列式 §2.4 n 级行列式的性质 教学方法与手段 课堂讲授 课时安排 3 教学目的与要求：1.掌握行列式的定义。

2.掌握行列式的性质。

教学重点、难点：1．行列式的定义 2．行列式的性质 教学内容：§2.3 n 级行列式二级行列式和三级行列式的定义如下：1112112212212122a a a a a a a a =- （1） 111213212223112233122331132132132231122133112332313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- （2）由三级行列式定义可看出：三级行列式（2）是一些乘积的代数和，而每一次乘积都是由行列式中位于不同行和不同列的元素构成，而所有可能的位于不同行和不同列的元素的乘积，根据排列理论中的乘法原则可知共有3！=6个，3阶行列式应是这六个乘积的代数和，3阶行列式的6项都具有如下形式：123123j j j a a a其中行标形成自然排列123，列标形成1，2，3的一个排列123j j j ，1，2，3的排列有六种，3阶行列式的每一项与这6个排列之一对应，例如，项122331a a a 与排列231对应，项112332a a a 与排列132对应。

另外，每一项乘积都带有符号，其符号规律如下：当项123123j j j a a a 中的列标所成排列为偶排列时，该项带τ号，因此该项前的符号可表为123()(1)j j j τ-，当项123123j j j a a a 中列标所形成的排列为奇排列时，该项带负号，因此该项前的符号也可表为123()(1)j j j τ-。

当然，3级行列式的定义也可写为：123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=-∑这里123j j j ∑表示对所有形式如123123()123(1)j j j j j j a a a τ-的项加起来，其中123j j j 取遍所有的3级排列，仿此可给出的n 级排列式的定义：定义41212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ-∑称为n 级行列式。

课程目标：1. 帮助学生全面掌握高等代数的基本概念、基本理论和基本方法。

2. 提高学生的解题能力和应用能力，为厦门大学高等代数考研做好充分准备。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

课程内容：一、行列式1. 行列式的定义和性质2. 克莱姆法则3. 行列式的计算方法4. 行列式在求解线性方程组中的应用二、矩阵1. 矩阵的定义和性质2. 矩阵的运算3. 矩阵的秩4. 矩阵的逆5. 矩阵的相似和特征值问题三、线性空间与线性映射1. 线性空间的概念和性质2. 线性映射的概念和性质3. 线性变换4. 核空间与像空间5. 伴随矩阵与行列式四、多项式1. 多项式的概念和性质2. 多项式的运算3. 多项式的因式分解4. 多项式方程的解法五、二次型1. 二次型的概念和性质2. 二次型的矩阵表示3. 二次型的正负惯性指数4. 二次型的正定与负定5. 二次型的标准形六、欧氏空间1. 欧氏空间的概念和性质2. 内积的定义和性质3. 投影与正交投影4. 欧氏空间的直角坐标系5. 欧氏空间的线性变换教学过程：一、导入1. 回顾线性代数的基本概念和性质。

2. 引入高等代数的研究对象和方法。

二、讲解1. 讲解每个章节的基本概念、基本理论和基本方法。

2. 结合实例，讲解如何运用所学知识解决实际问题。

三、练习1. 布置课后练习题，巩固所学知识。

2. 对学生提交的练习题进行批改和讲解。

四、讨论1. 组织课堂讨论，引导学生思考问题、解决问题。

2. 鼓励学生提出自己的见解和疑问。

五、总结1. 对每个章节的知识点进行总结，帮助学生梳理知识体系。

2. 分析厦门大学高等代数考研的常见题型和难点，指导学生进行针对性复习。

教学评价：1. 通过课后练习题和课堂讨论，评估学生的学习效果。

2. 关注学生的学习进度，及时调整教学策略。

教学时间：1. 每周2次课，每次课2小时。

2. 总计16周，共计32节课。

教学资料：1. 参考教材：《高等代数》2. 辅助教材：《高等代数考研指南》3. 厦门大学高等代数考研真题教学要求：1. 学生需提前预习课程内容，做好课堂笔记。

第二章 行列式 (1)§1 引 言 ................................................... 1 §2 排列 .................................................... 1 §3 n 级行列式 ............................................... 2 §4 n 级行列式的性质 .......................................... 4 §5 行列式的计算 ............................................. 6 §6 行列式按一行(列)展开 ...................................... 9 §7 克兰姆法则 . (12)第二章 行列式§1 引 言1.二阶行列式及其应用二阶行列式定义为 11122122a a a a =11221221a a a a -.例如1234=1×4-2×3=-2. co s sin sin co s xxx x -=1.二阶行列式可用来解二元一次方程组:11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩.令D =11122122a a aa ,1D =112222b a ba ,2D =111212a b ab ,当0D ≠时,方程组有唯一解11D x D=,22D x D=.例121210x x x x +=⎧⎨-=⎩,D=1111-=-2,1D =D =111-=-1,2D =1110=-1,方程组有唯一解111122D x D-===-,221122D x D-===-。

2. 三阶行列式及其应用三阶行列111213212223313233a a a aa a a a a =112233122331132132a a a a a a a a a ++-132231122133112332a a a a a a a a a --对方程组111122133121122223323113223333a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，令D =111213212223313233a a a a a a a a a ,1D =12132222333233b a a b a a b a a ,2D =111132122331333a b a ab a a b a ,3D =111212122231323a ab a a b a a b ，当0D ≠时,方程组有唯一解11D xD=,22D xD=,33D xD=.这一结果也适用于n 元一次方程组。