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第五章 二次型§1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在数域P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式)1(222),,,(2222222112112211121n nn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f ++++++++= 称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.定义1 设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,(2) 称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式0≠ij c ,那么线性替换(2)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令.,j i a a ji ij <=由于,i j j i x x x x =所以二次型(1)可写成 )3(),,,(11222112222221221112112211121∑∑===++++++++++++=n i nj j i ij nnn n n n n nn nn n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f把(3)的系数排成一个n n ⨯矩阵,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A (4)它称为二次型(3)的矩阵.因为,,,2,1,,n j i a a ji ij ==所以A A ='把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令()()∑∑===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n i nj ji ij n nn n n n n n n n n nn n n n n n x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x x a a a a a a a a a x x x AX X 11221122221211212111212121222211121121,,,,,, 或AX X x x x f n '=),,,(21应该看到二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji ij a a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且B B A A ='=',,则B A =.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C 21212222111211,, 于是线性替换（4）可以写成 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者CY X =.经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21(7)是一个二次型，作非退化线性替换 CY X = (8)得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ' ，二、矩阵的合同关系现在来看矩阵A 与B 的关系.把（8）代入（7），有.)()()(),,,(21BY Y Y AC C Y ACY C Y CY A CY AX X x x x f n '=''=''='='= 易看出，矩阵AC C '也是对称的，由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵的关系。
第六章二次型·合同矩阵例在直角坐标系{O; x, y}中，任一条中心在原点的有心二次曲线(centered conic)的方程均有如下形式22++=ax bxy dcyΓ225564x y xy +-=例在直角坐标系{O; x , y }中，设二次曲线的方程为该方程等号左端是x , y 的二次齐次多项式(quadratic homogeneous polynomial)。
45{};,'O x y '将坐标系逆时针旋转得到坐标系相应的坐标变换公式为45454545cos sin sin cos x x y y x y ⎧''=-⎪⎨''=+⎪⎩Γ221224x y ''+=,'x y '由此可得曲线的新方程为其等号左端是的二次齐次多项式。
例在前面讨论过的弹簧振动系统中，利用两质点偏离平衡位置的位移可得系统的动能T 与势能V21 ,x x 22121[()()]2dx dx T m dt dt=+2221212111()()222V kx k x x k x =+-+-记dtdx x dt dx x 2211 ,==∙∙，则221211()()22T m x m x ∙∙=+221212V kx kx kx x =+-12, x x ∙∙12, x x 上式中，T 是关于的二次齐次多项式，V 是关于的二次齐次多项式。
§6.1二次型和它的标准形1．二次型与线性替换K 定义系数在数域中的n 个变量的二次齐次多项式12211112121313112222232322233333 ()222 22 2 n n nn nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x =+++++++++++++，，，2nn na x称为数域K 上的一个n 元二次型(quadratic form)2ixj i x x 称为二次型的平方项，称为二次型的交叉项或混合项。
高等代数第六章1第四章向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量n 维列向量=n a a a 21α与n 维行向量[]n Tb b b 21=β即为n n ??11及矩阵，因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。
注为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。
4.1.2 向量的内积设[]T n a a a 21=α，[]Tn b b b 21=β(1) 定义称∑==+++=ni ii n n b a b a b a b a 12211, βα为向量βα,的内积。
(2) 性质αββααββαT T ===,,γβγαγβα,,,+=+βαβα,,k k =0,≥αα 等号当且仅当0=α时成立(3) 有关概念向量的范数：αααααT ==,单位向量：若1=α，则称α为单位向量。
向量的标准化（规范化）；0≠α称αα1为α的标准化向量。
两向量的正交：若0,=βα，则称βα与正交。
4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义设m ααα,,,21 是一组n 维向量(1) 线性组合：设β是一个n 维向量，若存在一组数m t t t ,,,21 ，使m m t t t αααβ+++= 2211则称β为向量组m ααα,,,21 的一个线性组合，或称β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。
注设两组向量（I ）m ααα,,,21 ，（II ）m βββ,,,21 ，若每一个()m i i ,,2,1 =α都可由m βββ,,,21 线性表出，则称向量组（I ）可由向量组（II ）线性表出；当向量组（I ）与（II ）可互相表出时，称向量组（I ）与（II ）等价。
(2) 线性相关：若存在一组不全为零的数m t t t ,,,21 ，02211=+++m m t t t ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关。
(3) 线性无关：若当且仅当021====m t t t 时，02211=+++m m t t t ααα 才成立，则称m ααα,,,21 线性无关。
第六章 特征值习题精解1.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩阵为:1)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543 2)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00a a 3)A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111111111111111 4)A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121101365 5)A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 6)A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---031302120 7)A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----284014013解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A,且A 的特征多项式为A E -λ=2543----λλ=2λ-5λ-14=(7-λ)(2+λ)故A 的特征值为7,-2. 先求属于特征值λ=7的特征向量.解方程组⎩⎨⎧=+-=-0550442121x x x x它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛11,因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ (k 0≠),其中1ξ=1ε+2ε再解方程组⎩⎨⎧=--=--0450452121x x x x它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-54,因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ(k 0≠), 其中2ξ=41ε-52ε2)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A,且当a=0时,有A=0.所以A E -λ=λλ00=2λ 故A 的特征值为1λ=2λ=0 解方程组⎩⎨⎧=+=+0000002121x x x x它的基础解系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎪⎭⎫⎝⎛10因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε,2ξ=2ε,故A 以V 的任一非零向量为其特征向量. 当a ≠0时A E -λ=λλa a -=2λ+a 2=(ai +λ)(ai -λ)故A 的特征值为1λ=ai 2λ= -ai当1λ=ai 时,方程组⎩⎨⎧=+=-002121aix ax ax aix 的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1i ,故A 的属于特征值ai 的全部特征向量为k 1ξ(k 0≠),其中1ξ=-1εi +2ε 当2λ= -ai方程组⎩⎨⎧=-=--02121aix ax ax aix 的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1i ,故A 的属于特征值-ai 的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠),其中2ξ=1εi +2ε3)设A 在 给定基1ε,2ε,3ε,4ε下的矩阵为A 因为AE -λ=(2-λ)3(2+λ)故A 的特征值为1λ=2λ=2,243-==λλ当2=λ时,相应特征方程组的基础解系为X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,0101,0011321X X故A 的属于特征值2的全部特征向量为 11εk +k22ξ+k33ε (k 321,,k k 不全为零),其中1ξ=1ε+2ε,2ξ=1ε+3ε,3ξ=1ε+4ε当2-=λ时,特征方程组的基础解系为X =4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111故A 的属于特征值-2的全部特征向量为 k 4ξ (k 0≠),其中4ξ=1ε-2ε-43εε-4)设A,在给定基321,,εεε下的矩阵为 A.因A E -λ==+-----12111365λλλ43-λ422++λλ=(2-λ)(31--λ)(31+-λ) 故A 的特征值为1λ=2,2λ=1+,3=3λ1-,3当1λ=2时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+=+--032020363321321321x x x x x x x x x的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-012故A 的属于特征值2的全部特征向量为 k 1ξ (k 0≠),其中1ξ=12ε-2ε当λ=1+3时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++=+-+-0)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3213故A 的属于特征值1+3的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠),其中2ξ=13ε-2ε+(23-)3ε当λ=1-3时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=--+=+---0)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-3213故A 的属于特征值13-的全部特征向量为 k 3ξ (k 0≠),其中3ξ=13ε-2ε+(23+)3ε5) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A.因A E -λ=λλλ101010---=(1-λ)2(1+λ)故A 的特征值为1,1321-===λλλ当121==λλ,方程组⎩⎨⎧=+-=-003131x x x x 的基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛故A 的属于特征值1的全部特征向量为),,(212211不全为零k k k k ξξ+,其中311εεξ+=,22εξ=当13-=λ时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--002031231x x x x x 的基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-故A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中313εεξ-=6)设A在给定基321,,εεε下的矩阵为 A.因A E -λ==---λλλ313212)14(2+λλ=)14)(14(i i +-λλλ故A 的特征值为i i 14,14,0321-===λλλ当01=λ时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=--0303202213132x x x x x x 的基础解系为,213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-故A 的属于特征值0的全部特征向量为)0(1≠k k ξ,其中321123εεεξ+-=当i 142=λ时,该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+101432146ii,故A 的属于特征值i 14的全部特征向量为)0(2≠k k ξ,其中321210)1432()146(εεεξ-+-++=i i当i 14-=λ时,该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----101432146ii ,故A 的属于特征值i 14-的全部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中321310)1432()146(εεεξ---+-=i i 7) 设A在给定基321,,εεε下的矩阵为A.因A E -λ=28401413+-+--λλλ=(1-λ)2(2+λ) 故A 的特征值为2,1321-===λλλ当121==λλ,该特征方程组的基础解系为,2063⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-故A 的属于特征值1的全部特征向量为)0(1≠k k ξ,其中32112063εεεξ+-=当23-=λ,该特征方程组的基础解系为,100⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛故A 的属于特征值-2的全部特征向量为)0(2≠k k ξ,其中32εξ=2.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下,写出相应的基变换的过度矩阵T,并验算T1-AT.解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是必有n 个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T. 1) 因为(21,εε)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5141 所以过渡矩阵T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5141 2) 且T 1-AT=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-91919495⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2007.,0)2已是对角型时当=a⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=≠11),(),(,02121i i a εεξξ有时当即过渡矩阵 T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11i i且 T 1-AT=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ai ai i i a a i i0011002122123)因为 (4321,,,ξξξξ)=(4321,,,εεεε)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100101010011111即过渡矩阵 T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100101010011111 且 T 1-AT=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2222 4)因为 (),,321ξξξ=(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----32320111332),,321εεε即过渡矩阵T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----32320111332且 T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-313121AT 5)因为 (),,321ξξξ=(321,,εεε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010101即过渡矩阵 T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-10001000110101010100101010021021010210211AT T 且6)因为 (⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+---+=101021432143211461463),,(),,321321i i i i εεεξξξ即过渡矩阵为 T=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+---+101021432143211461463i i i i且T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i i AT 1400014013.在P[x]n (n>1)中,求微分变换D 的特征多项式,并证明,D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵.解 取P[x]n 的一组基1,x,,)!1(,...,212--n x x n 则D 在此基下的矩阵为D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0 (00)01...000...............0...1000 (010)从而n D E λλλλλ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-...0001 (00)0...............0...100 01 故D 的特征值是n (0=λ重),且D 的属于特征值0的特征向量ξ只能是非零常数.从而线性无关的特征向量个数是1,它小于空间的维数n,故D 在任一组基下的矩阵都不可能是对角形.4.设 A=,340430241⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-求A .k解:因为=---+---=-34430241λλλλA E ()5)(5)(1+--λλλ故A 的特征值为5,5,1321-===λλλ且A 的属于特征值1的一个特征向量为X '1)0,0,1(= A 的属于特征值5的一个特征向量为 X '2)2,1,2(= A 的属于特征值-5 的一个特征向量为X '3)1,2,1(-=于是只要记 T=(X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=120210121),,321X X则 T B AT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-5000500011且 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k kk )5(00050001 于是A ==-1TTB k k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5152052510101)5(00050001120210121k k =[][][][][][]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅--+⋅-+⋅⋅-+-+---+-k K k k k k k k k k k k )1(45)1(1520)1(152)1(41501)1(45)1(15211111111115.设εεε,,2143,ε是四维线性空间V 的一个基,线性变换A 在这组基下的矩阵为A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=7113102529213231334251) 求A 的基432112εεεεη+++=321232εεεη++=33εη=44εη=下的矩阵;2) 求A 的特征值与特征向量; 3) 求一可逆矩阵T,使TAT 1-成对角形.解 1)由已知得(X ),,,(10010*******0021),,,(),,,432143214321εεεεεεεεηηηη=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 故求得A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为B=X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-2500232700450056001AX 2) A 的特征多项式为=)(λf )1)(21(2--=-=-λλλλλB E A E所以A 的特征值为1,21,04321====λλλλ A 的属于特征值0=λ的全部特征向量为2211ξξk k +，其中21,k k 不全为零，且21=ξ,3321εεε++4212εεεξ+--=，A 的属于特征值21=λ的全部特征向量为33ξk ，其中 03≠k ，且321324εεεξ+--=+64εA 的属于特征值1=λ的全部特征向量为44ξk ,其中04≠k ，且4321423εεεεξ-++=3）因为（⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2610110112133412),,,(),,,43214321εεεεξξξξ所求可逆阵为 T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2610110112133412 且 T ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121001AT 为对角矩阵.6.1)设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值,21,εε是分别属于21,λλ的特征向量,证明:21εε+不是A 的特征向量;2)证明:如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量,那么A 是数乘变换.证 1)由题设,知A 111)(ελε=, A 222)(ελε=, 且21λλ≠若21εε+是A 的特征向量，则存在0≠λ使 A （21εε+）=)(21εελ+=21λελε+ A （21εε+）=2211ελελ+=21λελε+ 即 0)()(2211=-+-ελλελλ再由21,εε的线性无关性，知021=-=-λλλλ，即21λλλ==，这是不可能的。
高等代数特征值的求法与作用总结作者：孙眉来源：《新教育时代·学生版》2017年第10期摘要：针对学生难以理解高等代数中的基本概念，在高等代数的教学过程中，结合具体教学内容加入一些应用实例帮助学生更好的理解相关概念和体会数学的广泛应用。
以讲述矩阵特征值和特征向量为例，给学生展示了特征值和特征向量应用的例子，使得学生对特征值和特征向量有了更深入的理解。
关键词：高等代数矩阵特征值求法作用本文中我们以矩阵、特征值为例，介绍了在教学过程中如何将高等代数的相关理论与这些实际问题的分析结合起来，如何利用数学软件和计算机等工具对数学的理论知识进行实验和体会，让学生更深入的理解应用数学知识解决实际问题的过程，体会数学在解决实际问题中的巨大作用，增强他们学习数学知识和应用数学知识解决实际问题的积极性，以及训练和培养他们应用数学软件的能力.一、特征值的求法1.特征值的定义设A是数域上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数，存在一个非零向量，使得那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量。
2.特征值的求法设A为线性变换，则确定A的特征值和特征向量的方法为：（1）在线性空间V中取一组基写出在这组基下的矩阵；（2）求出的特征多项式在数域中全部的根，它们也就是线性变换A的全部特征值；（3）把所求得的特征值逐个的代入方程组，对于每一个特征值，解方程组，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样，我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。
矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值，而相应的线性方程组的解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量。
二、特征值的作用1.判别是否可对角化定理1：设A为维线性空间V的一个线性变换，A的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件为，A有个线性无关的特征向量。
定理2：属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
由定理1、2可得，推论1 如果在维线性空间V中，线性变换A的特征多项式在数域中有个不同的根，即A 有个不同的特征值，那么A在某组基下的矩阵是对角形的。
特征值在高等代数中的作用杨闻起【摘要】以高等代数中的定义、定理和例题为依据，论述了特征值具有化繁为简的作用，它还是实对称矩阵和二次型的本质所在。
特别地，它是解决许多代数问题的重要工具。
%On the basis of definitions,theorems and examples in higher algebra,the simplifiedrole of eigenvalues is discussed.Besides,the fact that the essence of real symmetric matrix and quadratic form can be reflected by eigenvalues is showed.In particular,pointed out that the eigenvalues is the important toole for solving many problems of algebra.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2016(036)006【总页数】3页(P64-66)【关键词】特征值;特征向量;矩阵;二次型;线性变换【作者】杨闻起【作者单位】宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡 721013【正文语种】中文【中图分类】O151.2;G642.0特征值作为高等代数中的基本概念，在矩阵、二次型和线性变换中起着十分重要的作用，而且为解决一些代数问题提供了很好的方法［1-8］.定义1［1］278设A是数域P上的n阶矩阵，λ∈P，如果存在数域P上的n维非零列向量α，使得Aα= λα，则称λ为A的一个特征值，α为A的属于λ的特征向量.设σ是线性空间V上的线性变换，λ∈P，如果存在V中的n维非零列向量α，使得σα=λα，则称λ为σ的一个特征值，α为σ的属于λ的特征向量.从定义1可以看出，特征值可以把矩阵与向量的乘法简化为数与向量的数乘，也可把向量在线性变换之下的像简化为数与向量的数乘，这种化复杂运算为简单运算的特点注定了特征值具有化繁为简的作用.定理1［2］379设A是n阶实对称矩阵，λ1, λ2, L, λn是A的全部特征值，那么必存在正交矩阵U，使得定理1表明，在相似关系下，实对称矩阵A都可以化简对角型矩阵，而该对角型矩阵完全由A的特征值决定.定理2表明，只要给出实二次型的矩阵的特征值，那么该二次型就可以化简为标准型.定理3［2］299设λ1, λ2, L, λn是n阶矩阵A的全部特征值，并且A有n个线性无关的特征向量，那么以它们为列的可逆矩阵P，使得定理3表明，在相似关系下，只要已知矩阵A的特征值及n个线性无关的特征向量，那么，A就可以化简为对角型矩阵.定理4［2］299设σ是n维线性空间V上的线性变换，λ1, λ2, L, λn是σ的全部特征值，并且σ有n个线性无关的特征向量，那么存在V的一组基，使得σ关于该基的矩阵为对角型.定理4表明，只要已知线性变换的全部特征值及n个线性无关的特征向量，那么，该线性变换就可以对角化.定理5［2］316设A是任意n阶矩阵，那么，必存在可逆矩阵P，使得，其中：均为Jordan块，并且Ji的主对角线元素必是A的特征值.定理5表明，在相似关系下，任意n阶矩阵可化简为Jordan标准型，且Jordan标准型与特征值有紧密联系.综上可见，不论从特征值的定义还是性质来看，特征值均起到了化繁为简的作用. 定理1说明，特征值相同的实对称矩阵是相似的，所以在相似关系下，实对称矩阵由它的特征值决定，也就是说，特征值是实对称矩阵的本质所在.定理2说明，只要已知实二次型的矩阵的特征值，那么，就可把二次型化为标准型，还可进一步确定出二次型的正定性、正负惯性指数和符号差等，所以，特征值也是实二次型的本质所在.定理3说明，只要已知实n阶矩阵A的全部特征值及n个线性无关的特征向量α1，，那么，即这样的矩阵A由它的特征值和特征向量完全决定.有些矩阵，只要已知它的特征值和个别特征向量，就可以完全决定这个矩阵.例1 三阶实对称矩阵A的特征值为3，3，6，与6对应的特征向量为，求A.高等代数中的许多问题，表面看无从下手，难以证明，但是，从特征值的角度来分析，却很容易得到解决.例2 设A是三阶实对称矩阵，A2=E，且rank(A-E)=1，求行列式的值.分析例2表面看似乎无从入手，但是只要注意到，利用已知条件可以求得A的特征值，就不难解决问题.解设λ是A的特征值，由于A2=E，所以λ2=1，从而λ=±1.由于rank(A-E)=1，故齐次线性方程组的解空间是二维的，故1为2重特征值.所以，A的全部特征值为1, 1, -1.所以，的全部特征值为-1，-1，-3，从而.例3 设A是n阶正定矩阵，S是n阶反对称矩阵，证明：证明设λ是A+S的任意特征值，则存在向量α≠0，使得，从而，由于S是n阶反对称矩阵，即αTSα=0，故. .由于A是n阶正定矩阵，即αTAα＞0，故λ＞ 0.因此.例4 设A是复数域上的方阵，存在正整数n，使得An=0，证明：.证明设λ是A的任意特征值，由于An=0，所以λn=0，从而λ=0.所以，A+E的全部特征值为1，故.例3和例4均是关于行列式值的问题，其中的已知条件与要证明的结果之间似乎逻辑上没有直接联系，给人无从下手的感觉.但是，由于矩阵的特征值等于它的所有特征值的乘积，因此，可借助特征值寻找解题思路.例5 实数域上的n维线性空间V上任一线性变换σ必有一维或二维不变子空间. 证明取V的一组基，设σ关于该基的矩阵为A，是σ（或A）的特征值，那么方程组是它的非零解向量，则必有非零解，设，整理得，设以α, β为坐标的向量为ξ, η，，显然，故W是σ的不变子空间，且dimW≤2.【相关文献】［1］张禾瑞.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，1990［2］北京大学数学系.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2003［3］徐仲，张凯院，陆全，等.矩阵论简明教程［M］.北京：科学出版社，2008［4］张红玉.矩阵特征值的理论及应用［J］.山西大同大学学报：自然科学版，2009，25（1）：15-16［5］王莲花.矩阵AB与BA的特征值问题及其应用［J］.大学数学，2007，23（1）：135-139 ［6］杨闻起.高等代数方法研究［M］.西安：西安出版社，2009［7］赵天绪，杨闻起.线性代数［M］.西安：陕西科技出版社，2014［8］杨闻起.论线性代数的应用型教学方法［J］.宝鸡文理学院学报：自然科学版，2015，35（1）：78-80。
教学大纲-厦门大学高等代数第一篇：教学大纲-厦门大学高等代数教学大纲一．课程的教学目的和要求通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。
要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。
突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。
二．课程的主要内容：代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。
代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统，线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。
本课程力求突出代数学的思想和方法。
《高等代数》分为两个部分主要内容。
一部分是基本工具性质的，包括多项式，行列式，矩阵初步，二次型。
既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容，以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。
另外一部分是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型，也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。
《高等代数》从三个角度进行研究。
从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间的运算和直和分解；从线性空间之间的关系来研究线性空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的像与核，Jordan标准形对应的空间分解。
而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。
在研究线性空间中，始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合，矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升，因而是本课程的精华内容。
本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。
我们强调矩阵理论，把握简洁和直观的代数方法，同时重视线性空间和线性映射（变换）的主导地位和分量，从几何观点理解和把握课程内容。
三．课程教材和参考书：教材：林亚南编著，高等代数，高等教育出版社，第一版参考书：1.姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社，第二版2.北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987）3.张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）4.樊恽、郑延履、刘合国，线性代数学习指导，科学出版社，北京（2003）5.林亚南编：高等代数方法选讲，2002年，见厦门大学精品课程“高等代数”网站四．课程内容及学时分配本课程开课时间：一学年（共两学期），共170学时，其中课堂讲授122学时,习题讨论课42学时，考试6学时。
