2018-2019学年最新湘教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教学设计-优质课教案

湘教版数学九年级上册《2.4 一元二次方程根与系数的关系》教学设计一. 教材分析《2.4 一元二次方程根与系数的关系》是湘教版数学九年级上册的一个重要内容。

这部分内容主要让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系公式，并能运用这些知识解决实际问题。

本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过实例和练习来引导学生理解和掌握。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元二次方程的解法，对一元二次方程有一定的了解。

但他们对根与系数之间的关系可能还不太清楚，需要通过实例和练习来加深理解。

此外，学生可能对抽象的数学概念和公式有一定的恐惧心理，需要教师通过生动有趣的实例和耐心细致的讲解来激发他们的学习兴趣。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系公式。

2.能运用根与系数的关系解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系，根的判别式、根与系数的关系公式。

2.教学难点：对根与系数之间关系的理解和运用。

五. 教学方法1.实例教学：通过生动有趣的实例，让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.小组合作：让学生在小组合作中探讨和发现根与系数之间的关系，培养学生的合作意识和团队精神。

3.练习巩固：通过大量的练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

4.引导探究：教师引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的探究能力和创新精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.练习题：准备一定数量的练习题，让学生在课堂上进行练习和巩固。

3.小组讨论材料：准备相关的小组讨论材料，让学生在小组合作中探讨和发现根与系数之间的关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生动有趣的实例，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间的关系。

——教学资料参考参考范本——【初中教育】2019湘教版初中数学九年级（初三）上册2-4 一元二次方程根与系数的关系______年______月______日____________________部门要点感知如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= .即：两根的和等于一次项系数与二次项系数的，两根的积等于常数项与二次项系数的 .注意：一元二次方程的根与系数的关系前提条件是：①a≠0；②≥0.预习练习1-1 (20xx·武汉)若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是( )A.3B.-3C.2D.-21-2 (20xx·泉州)已知一元二次方程x2-4x+3=0的两根为x1，x2，则x1x2=( )A.4B.3C.-4D.-31-3 (20xx·眉山)若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是( )A.-7B.7C.3D.-3知识点1 利用根与系数的关系求方程的两根的和与积1.(20xx·雅安)已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x1+x2的值是( )A.0B.2C.-2D.42.(20xx·天门)如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2-2x1-2x2-5=0，那么a的值为( )A.3B.-3C.13D.-133.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积.(1)2x2-4x-3=0； (2)x2-4x+3=7； (3)5x2-3=10x+4.4.已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，试求下列代数式的值：(1)x12+x22； (2)+； (3)(x1+1)(x2+1).21xx12xx知识点2 利用根与系数的关系解决已知一根求另一根的问题5.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，求另一根及c的值.知识点3 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的综合运用6.已知关于x的方程kx2+(k+2)x+=0有两个不相等的实数根.4k(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根的和等于0？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由.7.(20xx·南通)若3是关于方程x2-5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是( )A.-2B. 2C.-5D.58.(20xx ·株洲)已知关于x 的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b 与c 的值分别为( )A.b=-1，c=2B.b=1，c=-2C.b=1，c=2D.b=-1，c=-29.(20xx ·湖北)已知α，β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为( ) A.-1 B.9 C.23 D.2710.(20xx ·攀枝花)设x1，x2是方程2x2-3x-3=0的两个实数根，则+的值为 .12x x 21x x11.(20xx ·眉山)已知关于x 的一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)= .12.(20xx ·玉林)已知关于x 的方程x2+x+n=0有两个实数根-2，m.求m ，n 的值.13.已知x1、x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根.求(x1+x2)2÷的值.1211()x x14.关于x 的一元二次方程(x-2)(x-3)=m 有两个实数根x1、x2. (1)求m 的取值范围；(2)若x1、x2满足等式x1x2-x1-x2+1=0，求m 的值.15.(20xx ·孝感)已知关于x 的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1，x2是原方程的两根，且|x1-x2|=2，求m的值和此时方程的两根.2挑战自我16.(20xx·菏泽)已知：关于x的一元二次方程kx2-(4k+1)x+3k+3=0(k 是整数).(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)，设y=x2-x1-2，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由.参考答案课前预习要点感知 - 比的相反数比b a c a预习练习1-1 B 1-2 B1-3 B当堂训练1.B2.B3.(1)x1+x2=-=2，x1x2==-.42-32-32(2)原方程整理为x2-4x-4=0，∴x1+x2=4，x1x2=-4.(3)原方程整理为5x2-10x-7=0，x1+x2=2，x1x2=-.754.∵x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，∴x1+x2=-6，x1x2=3. (1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-6)2-2×3=30；(2)+===10；21x x 12x x 222112x x x x +303(3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=3+(-6)+1=-2. 5.设x2-6x+c=0的另一根为x2，则2+x2=6，解得x2=4. 由根与系数的关系，得c=2×4=8. 因此，方程的另一根为4，c 的值为8.6.(1)由Δ=(k+2)2-4×k ×>0，得k>-1.又∵k ≠0，∴k 的取值范围是k>-1且k ≠0.4k(2)不存在符合条件的实数k.理由：设方程kx2+(k+2)x+=0的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系有x1+x2=，4k 2k k +- 假设存在，则有-=0，解得k=-2.2k k +-由(1)知k=-2时，Δ<0，原方程无实数根，∴不存在符合条件的实数k. 课后作业7.B 8.D 9.D 10.- 11.9 7212.∵关于x 的方程x2+x+n=0有两个实数根-2，m ，∴解得2,2 1.m nm-=⎧⎨-+=-⎩1,2.mn=⎧⎨=-⎩即m，n的值分别是1、-2.13.∵x1、x2是方程x2-4x+1=0的两个实数根，∴x1+x2=4，x1·x2=1.∴原式=42÷=42÷4=4.1212 x x x x +14.(1)原方程整理为x2-5x+6-m=0，∵Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-m)=1+4m≥0，∴m≥-.1 4(2)∵x1+x2=5，x1·x2=6-m，∴x1x2-x1-x2+1=x1x2-(x1+x2)+1=6-m-5+1=0，∴m=2.15.(1)∵b2-4ac=(m+1)2+4＞0，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根.(2)∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=-(m+3)，x1·x2=m+1.∵|x1-x2|=2，∴(x1-x2)2=(2)2，∴(x1+x2)2-4x1x2=8，22∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8，即m2+2m-3=0，解得m1=-3，m2=1.当m=-3时，原方程化为x2-2=0，解得x1=，x2=-.22当m=1时，原方程化为x2+4x+2=0，解得x1=-2+，x2=-2-.22 16.(1)根据题意得k≠0.∵Δ=(4k+1)2-4k(3k+3)=4k2-4k+1=(2k-1)2，而k为整数，∴2k-1≠0，∴(2k-1)2＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.(2)y是变量k的函数.∵x1+x2=，x1·x2=，41kk+33kk+∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2=.222 22(4k1)1212(2k1)1(2)kk k k k++--==-∵k为整数，∴2-＞0，而x1＜x2，1 k∴x2-x1=2-，∴y=2--2=-(k≠0且k为整数)，1k1 k1k∴y是变量k的函数.。

*2.4一元二次方程根与系数的关系课题*2.4一元二次方程根与系数的关系授课人教学目标知识技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．数学思考通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．问题解决根据根与系数的关系确定两根之和与两根之积，并能根据这一关系解决简单的数学问题．情感态度通过情景教学过程，激发学生的求知欲，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感．教学重点根与系数的关系及其推导过程.教学难点根与系数的关系的推导过程及其应用．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题：(多媒体展示问题)1．一元二次方程的一般形式是什么？2．一元二次方程有实数根的条件是什么？3．当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程的根的情况如何？4．一元二次方程的求根公式是什么？通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为后面的学习做铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】(多媒体展示)问题：解下表中的方程，并完成填空：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x－3＝0x2－3x＋2＝0x2＋5x＋6＝0师生活动：学生自主选择适当的方法解方程，并完成填空，然后交流答案.问题：观察、思考方程的两根之和与两根之积与系数有何关系？你能从中发现什么规律？学生通过计算、观察、分析，发现方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程.活动二：实践探究交流新知1.填写上表后思考：(1)两根之和、两根之积与系数有何关系？(2)你能运用发现的规律解答下列问题吗？已知方程2x2－3x－2＝0的两根是x1和x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.(3)如何证明以上发现的规律呢？2.教师与学生共同整理证明过程.证明：当Δ>0时，由求根公式得x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a，所以x1＋x2＝－b＋b2－4ac2a＋－b－b2－4ac2a＝－2b2a＝－ba；x1x2＝－b＋b2－4ac2a×－b－b2－4ac2a＝4ac4a2＝ca.当Δ＝0时，x1＝x2＝－b2a，所以x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.1.进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性认识到理性认识打好基础.2.通过设置问题(2)使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.归纳：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a.3.探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度.活动三： 开放 训练 体现 应用【应用举例】例1 (多媒体展示)根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两个根x 1和x 2的和与积．(1)x 2－6x －15＝0；(2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2. 师生活动：学生自主进行解答，教师做好评价和总结． 注意：把一元二次方程整理为一般形式，确定a ，b ，c 的值，然后利用根与系数的关系代入求值．变式一 [昆明中考] 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4变式二 若x 1，x 2为方程x 2－2x －1＝0的两根，求x 1＋x 2－x 1x 2的值.设置问题，针对本课时的重点所学进行及时巩固，培养学生的计算能力和记忆公式的能力．【拓展提升】例2 解答下列问题：(1)已知方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根为2，求另一个根和c 的值．(2)关于x 的方程2x 2＋5x ＋m －1＝0的两根互为倒数，求m 的值．例3 若一元二次方程x 2－x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，求1x 1＋1x 2的值．师生活动：教师引导学生进行交流、讨论，确定解决问题的方法，并适时点拨，提示能否用多种方法进行解答．拓展提升是根与系数关系的综合应用，利于提高学生思考的广度和深度，能够给予学生必要的知识补充.活动四：课堂总结反思【达标测评】1．两根均为负数的一元二次方程是()A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝02．已知方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别为2和3，则a＝________，b＝________．3．已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一根及c的值．4．已知方程2x2－4x－5＝0的两个根分别为x1和x2，求下列式子的值．(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x21x2＋x1x22.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置达标测评，进一步巩固所学新知识，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.【当堂训练】1．(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！2．布置作业：教材P48习题2.4中的T1，T2，T3.指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在新知探究环节中，关于两根之和与两根之积的计算看似复杂，教师进行板演后，能够使学生清晰认识到结论的来由，能够顺利地进行应用．课堂训练中，学生运用新知识解答问题不甚灵活，教师的必要引导起了关键作用．②[讲授效果反思]重点应用过程中，注意到：(1)运用根与系数的关系前首先要保证方程有实数根；(2)运用根与系数的关系解答问反思，更进一步提升.题能方便运算．③[师生互动反思]从教学过程来看，学生能够在教师的引导下进行探索和交流，并能够运用知识解答问题，应增加其兴趣和思维敏捷性的训练．④[习题反思]好题题号_______________________________________ 错题题号_______________________________________。