2011届高考数学复习好题精选 一元二次不等式及其解法
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一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式(20(0)ax bx c a ++>>)与相应的二次函数(2(0)y ax bx c a =++>)及一元二次方程(20(0)ax bx c a ++=>)的关系(简称三个二次之间的关系)判别式Δ=b 2-4acΔ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2+bx +c =0 (a >0)的根有两相异实根1212,()x x x x < 有两相等实根 122b x x a==-没有实数根 ax 2+bx +c >0 (a >0)的解集R ax 2+bx +c <0 (a >0)的解集∅ 注:(1)若0a <时,可以先将二次项系数化为正数,若对应方程有两实根,则可根据“大于取两边,小于取中间”求解集。
2.简单的分式不等式(1)()0()f x g x >⇔______________; (2)()0()f xg x <⇔____________ (3)()0()f x g x ≥⇔ ___________ (4)()0()f x g x ≤⇔_____________ 3.二次不等式恒成立的条件(1)ax 2+bx +c >0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________ (2)ax 2+bx +c <0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________1.(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2-x -1>0的解集是( )A .(-12,1) B .(1,+∞)C .(-∞,1)∪(2,+∞)D .(-∞,-12)∪(1,+∞)2.不等式x -12x +1≤0的解集为( )A .(-12,1]B .{x |x ≥1或x <-12}C .[-12,1]D .{x |x ≥1或x ≤-12} 3.(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2-ax +2a >0在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是________.4.一元二次不等式ax 2+bx +2>0的解集是(-12,13),则a +b 的值是________.(一)考向1 一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集(1)22730x x ++> (2)3+2x -x 2≥0;(3)2830x x -+-> (4)213502x x -+-> (5)22320x x -+-< (6)2xx -1≤1解一元二次不等式的步骤: (1)把二次项系数化为正数;(2)先考虑因式分解法,再考虑求根公式法或配方法或判别式法; (3)写出不等式的解集. 变式训练1 解下列不等式:(1)2310x x -+≤ (2)23520x x +-> (3)22530x x --+> (4)29610x x -+-<(5)3012x x+≤- (6)-1≤x 2+2x -1≤2;(二)考向2 三个二次的关系例2 已知关于x 的不等式x 2+ax +b <0的解集(-1,2),试求关于x 的不等式ax 2+x +b <0的解集. 【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根.(1)给出一元二次不等式的解集,则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根.(2)三个二次的关系体现了数形结合,以及函数与方程的思想方法.变式训练2 若关于x的不等式axx-1<1的解集是{x|x<1或x>2},求实数a的取值范围.(三)考向3含参数的一元二次不等式的解法例3求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.【思路点拨】先求方程12x2-ax=a2的根,讨论根的大小,确定不等式的解集.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程实根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定方程无实根时可直接写出解集,确定方程有两个相异实根时,要讨论两实根的大小关系,从而确定解集形式.变式训练3 解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0.(四)考向4 不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2-mx -1<0对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围.【思路点拨】分m =0与m ≠0两种情况讨论,当m ≠0时,用判别式法求解.1.不等式ax 2+bx +c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a =0时,b =0,c >0;当a ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ<0;不等式ax 2+bx +c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a =0时,b =0,c <0;当a ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ<0.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.变式训练4 对任意a ∈[-1,1]不等式x 2+(a -4)x +4-2a >0恒成立,则实数x 的取值范围是________.一个过程解一元二次不等式的一般过程是:一看(看二次项系数的符号),二算(计算判别式,判断方程根的情况),三写(写出不等式的解集).两点联想不等式ax 2+bx +c >0(或ax 2+bx +c <0)(a ≠0)的求解,善于联想:(1)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点,(2)方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根,运用好“三个二次”间的关系.三个防范1.二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘了二次项系数是否为零的情况.2.解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.3.不同参数范围的解集切莫取并集,应分类表述.课时训练1.设集合M={}2230x x x --<,N=12log 0,x x M N ⎧⎫<⋂⎨⎬⎩⎭则等于 ( )A .-(1,1) B.(1,3) C.(0,1) D.(-1,0)2.在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-,若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立,则 ( )A 、11a -<<B 、02a <<C 、1322a -<<D 、3122a -<<3.“|x -1|<2成立”是“x (x -3)<0成立”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.定义02x x <>或运算a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则不等式1011x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的解集为() A .(1,1)- B. (1,0)(0,1)-⋃C. (1)(1-⋃D.5.设A ={x ∈Z ||x -2|≤5},则A 中最小元素为( )A .2B .-3C .7D .06、不等式20x ax b --<的解集为{}223,10x x bx ax <<-->则的解集为( )A 、{}23x x <<B 、1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C 、1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D 、{}32x x -<<-7.设x ∈R ,则“x >12”是“2x 2+x -1>0”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件8.不等式102xx-≥+的解集为 ( ) A.[]2,1- B. (]2,1- C. ()(),21,-∞-⋃+∞ D. (](),21,-∞-⋃+∞ 9. “关于x 的不等式x 2-2ax +a >0的解集为R ”是“0≤a ≤1”( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 10.不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是 ( )A .0x ≥ B. 02x x <>或 C. 12x <- D. 132x x ≤-≥或 11.不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( )A .[]1,4- B. [)(,2)5,-∞-⋃+∞ C. (][),14,-∞-⋃+∞ D. []2,5-12、若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩是奇函数,则满足()f x a x >的的取值范围是________13.若不等式2(1)0x a x a --+≤的解集是[-4,3]的子集,则a 的取值范围是________14.已知不等式|x -2|>1的解集与不等式x 2+ax +b >0的解集相等,则a +b 的值为________.15. 设命题p :2x 2-3x +1≤0; 命题q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0, 若命题p 是命题q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________. 16.不等式ax 2+4x +a >1-2x 2对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是________.一元二次不等式及其解法答案1、D 【解析】 ∵2x 2-x -1=(x -1)(2x +1)>0, ∴x >1或x <-12.故原不等式的解集为(-∞,-12)∪(1,+∞).2、A 【解析】 原不等式等价于(1)(21)0210x x x -+≤⎧⎨+≠⎩.∴原不等式的解集为(-12,1].3、(0,8) 【解析】 ∵x 2-ax +2a >0在R 上恒成立, ∴Δ=a 2-4×2a <0,∴0<a <8.4、-14 【解析】 由已知得方程ax 2+bx +2=0的两根为-12,13.则⎩⎨⎧-b a =-12+132a =(-12)×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-12,b =-2, ∴a +b =-14.典例分析:例1:(1)原不等式可化为(3)(21)0x x ++> 故原不等式的解集为132x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或(2)原不等式化为x 2-2x -3≤0, 即(x -3)(x +1)≤0, 故原不等式的解集为{x |-1≤x ≤3}. (3)原不等式可化为2830x x -+<284(1)(3)520∆=-⨯-⨯-=>212830413413x x x x ∴-+-===方程有两个实根,故原不等式的解集为{}413413x x << (4)原不等式可化为26100x x -+≤ 26411040∆=-⨯⨯=-<∴原不等式的解集为∅(5)原不等式可化为22620x x -+> 2(6)42270∆=--⨯⨯=-<∴故原不等式的解集为R(6) ∵2x x -1≤1⇔2xx -1-1≤0 ⇔x +1x -1≤0 ⇔(1)(1)01110x x x x ≤⎧⇔-≤<⎨-≠⎩-+∴原不等式的解集为[-1,1).变式训练1 (1)9450∆=-=> 12353522x x ∴==对应的方程有两实数根 ∴原不等式的解集为35352x ⎧-+⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭(2)原不等式可化为(31)(2)0x x -+> ∴原不等式的解集为123x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或(3)∵-2x 2-5x +3>0, ∴2x 2+5x -3<0,∴(2x -1)(x +3)<0, ∴原不等式的解集为{x |-3<x <12}.(4)原不等式可化为2(31)0x -> ∴原不等式的解集为13x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭(5)原不等式可化为(3)(12)0120x x x +-≤⎧⎨-≠⎩ (3)(21)0120x x x +-≥⎧⎨-≠⎩则 13212x x x ⎧≤-≥⎪⎪∴⎨⎪≠⎪⎩或∴原不等式的解集为132x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或(6)这是一个双向不等式,可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -1≥-1,x 2+2x -1≤2,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x ≥0, ①x 2+2x -3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤-2; 由②得-3≤x ≤1. 故得所求不等式的解集为{x |-3≤x ≤-2或0≤x ≤1}.例2 由于x 2+ax +b <0的解集是(-1,2),所以⎩⎪⎨⎪⎧1-a +b =0,4+2a +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-2.故不等式即为-x 2+x -2<0, ∵⎩⎪⎨⎪⎧-1<0,Δ=1-8=-7<0∴不等式ax 2+x +b <0的解集为R .,变式训练2 解: axx -1<1⇔(a -1)x +1x -1<0⇔[(a -1)x +1](x -1)<0,由原不等式的解集是{x |x <1或x >2}, 知⎩⎪⎨⎪⎧a -1<0,-1a -1=2⇒a =12. ∴实数a 的取值范围是{12}. 例3 ∵12x 2-ax >a 2, ∴12x 2-ax -a 2>0,即(4x +a )(3x -a )>0,令(4x +a )(3x -a )=0, 得:x 1=-a 4,x 2=a3.①a >0时,-a 4<a 3,解集为{x |x <-a 4或x >a3};②a =0时,x 2>0,解集为{x |x ∈R 且x ≠0};③a <0时,-a 4>a 3,解集为{x |x <a 3或x >-a4}.综上所述:当a >0时,不等式的解集为{x |x <-a 4或x >a3};当a =0时,不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0};当a <0时,不等式的解集为{x |x <a3或x >-变式训练3 【解】 原不等式可化为(x -a )(x -1)<0.当a >1时,原不等式的解集为(1,a ); 当a =1时,原不等式的解集为空集; 当a <1时,原不等式的解集为(a ,例4 要使mx 2-mx -1<0对一切实数x 恒成立,若m =0,显然-1<0;若m ≠0,则⎩⎪⎨⎪⎧m <0,Δ=m 2+4m <0,解得-4<m <0, 故实数m 的取值范围是(-4,0].,变式训练4 【解析】 设f (a )=(x -2)a +x 2-4x +4,则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[-1,1]上恒正时x 应满足的条件,故应有⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)>0,f (1)>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-5x +6>0,x 2-3x +2>0, 化为⎩⎪⎨⎪⎧(x -2)(x -3)>0,(x -1)(x -2)>0. 解之,得x <1或x >3.课时训练1、B 解:由2230x x --<, 得13x -<<由12log 0x <,得1x > 所以{}13M N x x ⋂=<<2、C 解:()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立, 即()(1)1x a x a ---<对任意实数x 成立2210x x a a ∴--++>恒成立 214(1)0a a ∴∆=--++< 1322a ∴-<< 3. B 【解析】 ∵|x -1|<2⇔-1<x <3,又x (x -3)<0⇔0<x <3.则(0,3)(-1,3). 4、C 解:由题意可知原不等式即为2011x <-< ,212x ∴<<1221x x ∴<<<-或5. B 【解析】 由|x -2|≤5,得-3≤x ≤7, 又x ∈Z ,∴A 中的最小元素为-36、C 解:由题意知2,3是方程20x ax b --=的解235,236a ab b +==⎧⎧∴∴⎨⎨⨯=-=-⎩⎩ 22106510bx ax x x ∴-->--->不等式为2116+5+1023x x x x ⎧⎫<∴-<<-⎨⎬⎩⎭即, 7、 A 【解析】 2x 2+x -1>0的解集为{x |x >12或x <-1}, 故由x >12⇒2x 2+x -1>0,但2x 2+x -1>0D ⇒/x >12. 则“x >12”是“2x 2+x -1>0”的充分不必要条件. 8、B 解:由102x x -≥+,得(1)(2)020x x x -+≥⎧⎨+≠⎩ 则(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解得21x -<≤ (]2,1∴-原不等式的解集为9、A 【解析】 关于x 的不等式x 2-2ax +a >0的解集为R ,则Δ=4a 2-4a <0,解得0<a <1,由集合的包含关系可知选A.10、B 解:原不等式可化为(21)(3)0x x +-≥,解得132x x ≤-≥或 所以原不等式成立的一个必要不充分条件是02x x <>或11、A 解:由题意知,2225(1)4x x x -+=-+的最小值为4,所以22253x x a a -+≥- 对任意实数x 恒成立,只需234a a -≤,解得14a -≤≤12、(13,)-+∞ 解:()(1)(1)f x f f ∴-=-是奇函数, 即1(12)a --=--2()2a f x ∴=->-,则不等式等价于22002222x x x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨->--->-⎩⎩,或,解得030x x ≥<<,或-1- 即(13,)x ∈--+∞13、43a -≤≤ 解:原不等式可化为()(1)0x a x --≤,当1a <时,不等式的解集为[],1a , 此时只要4a ≥-即可,即41a -≤<,当1a =时,不等式的解集为1x =,此时符合要求; 当1a >时,不等式的解集为[]1,a ,此时只要3a ≤即可,即13a <≤,综上可得43a -≤≤14. -1 【解析】 由|x -2|>1得x -2<-1或x -2>1,即x <1或x >3.依题意得知,不等式x 2+ax +b >0的解集是(-∞,1)∪(3,+∞)于是有⎩⎪⎨⎪⎧1×3=b ,1+3=-a ,即a =-4,b =3,a +b =-1. 15、[0,12], 解:由2x 2-3x +1≤0,得12≤x ≤1, 由x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,得a ≤x ≤a +1,由命题p 是命题q 的必要不充分条件知,p 是q 的充分不必要条件,即{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a +1}, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12,a +1≥1,∴0≤a ≤12. 16、 (2,+∞) 【解析】 由题意知,不等式(a +2)x 2+4x +a -1>0对一切x ∈R 恒成立,则有⎩⎪⎨⎪⎧a +2>0,Δ=16-4(a +2)(a -1)<0,解得a >2.。
第2讲 一元二次不等式及其解法 考点一 一元二次不等式的解法【例1】 (2014·大连模拟)已知函数f (x )=(ax -1)(x +b ),如果不等式f (x )>0的解集是(-1,3),则不等式f (-2x )<0的解集是________.解析 由f (x )>0,得ax 2+(ab -1)x -b >0,又其解集是(-1,3),∴a <0.且⎩⎪⎨⎪⎧1-ab a =2,-ba =-3,解得a =-1或13,∴a =-1,b =-3.∴f (x )=-x 2+2x +3, ∴f (-2x )=-4x 2-4x +3,由-4x 2-4x +3<0,得4x 2+4x -3>0, 解得x >12或x <-32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞规律方法 解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.【训练1】 (2013·江西卷改编)使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是________. 解析 当x >0时,原不等式可化为x 2<1<x 3,解得x ∈∅,当x <0时,原不等式可化为⎩⎨⎧x 2>1,x 3<1,解得x <-1.答案 (-∞,-1)考点二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】 (2013·烟台期末)解关于x 的不等式:ax 2-2≥2x -ax (a ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2+(a -2)x -2≥0.①当a =0时,原不等式化为x +1≤0,解得x ≤-1.②当a >0时,原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2a (x +1)≥0,解得x ≥2a 或x ≤-1.③当a <0时,原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2a (x +1)≤0.当2a >-1,即a <-2时,解得-1≤x ≤2a ; 当2a =-1,即a =-2时,解得x =-1满足题意; 当2a <-1,即a >-2,解得2a ≤x ≤-1.综上所述,当a =0时,不等式的解集为{x |x ≤-1};当a >0时,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a ,或x ≤-1;当-2<a <0时,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤-1;当a =-2时,不等式的解集为{x |x =-1};当a <-2时,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-1≤x ≤2a . 【训练2】 (1)(2013·重庆卷改编)关于x 的不等式x 2-2ax -8a 2<0(a >0)的解集为(x 1,x 2),且x 2-x 1=15,则a 等于________. (2)解关于x 的不等式(1-ax )2<1.(1)解析 法一 ∵不等式x 2-2ax -8a 2<0的解集为(x 1,x 2),∴x 1,x 2是方程x 2-2ax -8a 2=0的两根.由根与系数的关系知⎩⎨⎧x 1+x 2=2a ,x 1x 2=-8a 2, ∴x 2-x 1=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(2a )2-4(-8a 2)=15,又∵a >0,∴a =52.法二 由x 2-2ax -8a 2<0,得(x +2a )(x -4a )<0, ∵a >0,∴不等式x 2-2ax -8a 2<0的解集为(-2a,4a ), 又∵不等式x 2-2ax -8a 2<0的解集为(x 1,x 2), ∴x 1=-2a ,x 2=4a .∵x 2-x 1=15, ∴4a -(-2a )=15,解得a =52. 答案 52(2)解 由(1-ax )2<1,得a 2x 2-2ax <0, 即ax (ax -2)<0,当a =0时,x ∈∅.当a >0时,由ax (ax -2)<0,得a 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2a <0,即0<x <2a .当a <0时,2a <x <0.综上所述:当a =0时,不等式解集为空集;当a >0时,不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <2a ;当a <0时,不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x <0.考点三 一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f (x )=mx 2-mx -1.(1)若对于x ∈R ,f (x )<0恒成立,求实数m 的取值范围; (2)若对于x ∈[1,3],f (x )<5-m 恒成立,求实数m 的取值范围.解 (1)由题意可得m =0或⎩⎨⎧m <0,Δ=m 2+4m <0⇔m =0或-4<m <0⇔-4<m ≤0.故m 的取值范围是(-4,0].(2)法一 要使f (x )<-m +5在[1,3]上恒成立,即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34m -6<0在x ∈[1,3]上恒成立.令g (x )=m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34m -6,x ∈[1,3].当m >0时,g (x )在[1,3]上是增函数, 所以g (x )max =g (3)⇒7m -6<0, 所以m <67,则0<m <67; 当m =0时,-6<0恒成立; 当m <0时,g (x )在[1,3]上是减函数, 所以g (x )max =g (1)⇒m -6<0, 所以m <6,所以m <0. 综上所述:m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 法二 ∵f (x )<-m +5⇔m (x 2-x +1)<6, ∵x 2-x +1>0,∴m <6x 2-x +1对于x ∈[1,3]恒成立,只需求6x 2-x +1的最小值,记g (x )=6x 2-x +1,x ∈[1,3],记h (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34,h (x )在x ∈[1,3]上为增函数.则g (x )在[1,3]上为减函数, ∴[g (x )]min =g (3)=67,∴m <67. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,67.【训练3】 (1)若关于x 的不等式ax 2+2x +2>0在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是________.(2)(2014·淄博模拟)若不等式(a -a 2)(x 2+1)+x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立,则a 的取值范围是________.解析 (1)当a =0时,原不等式可化为2x +2>0,其解集不为R ,故a =0不满足题意,舍去;当a ≠0时,要使原不等式的解集为R , 只需⎩⎨⎧a >0,Δ=22-4×2a <0,解得a >12.综上,所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞.(2)∵x ∈(0,2], ∴a 2-a ≥x x 2+1=1x +1x.要使a 2-a ≥1x +1x 在x ∈(0,2]时恒成立,则a 2-a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +1x max ,由基本不等式得x +1x ≥2,当且仅当x =1时,等号成立,即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +1x max =12. 故a 2-a ≥12,解得a ≤1-32或a ≥1+32.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ (2)⎝⎛⎦⎥⎤-∞,1-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1+32,+∞1.解不等式的基本思路是等价转化,分式不等式整式化,使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式,进而获得解决.2.当判别式Δ<0时,ax 2+bx +c >0(a >0)解集为R ;ax 2+bx +c <0(a >0)解集为∅.二者不要混为一谈.3.含参数的不等式的求解,注意选好分类标准,避免盲目讨论. 4.对于恒成立问题,常用到以下两个结论: (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ;(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .思想方法6——数形结合思想在“三个二次”间关系的应用【典例】 (2012·福建卷)对于实数a 和b ,定义运算“*”;a *b =⎩⎨⎧a 2-ab ,a ≤b ,b 2-ab ,a >b .设f (x )=(2x -1)*(x -1),且关于x 的方程f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1x 2x 3的取值范围是________.解析 由定义可知:f (x )=(2x -1)*(x -1)=⎩⎨⎧(2x -1)2-(2x -1)(x -1),x ≤0,(x -1)2-(2x -1)(x -1),x >0,∴f (x )=⎩⎨⎧(2x -1)x ,x ≤0,-(x -1)x ,x >0.作出函数f (x )的图象,如图所示.由图可知,当0<m <14时,f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3. 不妨设x 1<x 2<x 3,易知x 2>0,且x 2+x 3=2×12=1, ∴0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎪⎫x 2+x 322,即0<x 2x 3<14. 令⎩⎪⎨⎪⎧(2x -1)x =14,x <0,解得x =1-34或1+34(舍去).∴1-34>x 1>0,∴3-14>-x 1>0, ∴0<-x 1x 2x 3<3-116, ∴1-316<x 1x 2x 3<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-316,0【自主体验】1.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x 2+1,x ≥0,1,x <0,则满足不等式f (1-x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________.解析 由函数f (x )的图象可知(如下图),满足f (1-x 2)>f (2x )分两种情况:①⎩⎨⎧1-x 2≥0,x ≥0,1-x 2>2x⇒0≤x <2-1;②⎩⎨⎧1-x 2>0,x <0⇒-1<x <0. 综上可知:-1<x <2-1.答案 (-1,2-1)2.已知函数f (x )=⎩⎨⎧2x -1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,则实数m 的取值范围是________.解析 画出f (x )=⎩⎨⎧2x -1,x >0-x 2-2x ,x ≤0的图象,如图.由函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,结合图象得:0<m <1,即m ∈(0,1). 答案 (0,1)基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、填空题1.(2014·长春调研)已知集合P ={x |x 2-x -2≤0},Q ={x |log 2(x -1)≤1},则(∁R P )∩Q =________.解析 依题意,得P ={x |-1≤x ≤2},Q ={x |1<x ≤3},则(∁R P )∩Q =(2,3]. 答案 (2,3]2.(2014·沈阳质检)不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________.解析 不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,只需Δ=a 2-16>0,∴a <-4或a >4.答案 (-∞,-4)∪(4,+∞)3.(2013·南通二模)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≥0,-x 2+3x ,x <0,则不等式f (x )<f (4)的解集为________.解析 f (4)=42=2,不等式即为f (x )<2.当x ≥0时,由x2<2,得0≤x <4;当x <0时,由-x 2+3x <2,得x <1或x >2,因此x <0. 综上,f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}. 答案 {x |x <4}4.已知不等式ax 2-bx -1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,-13,则不等式x 2-bx -a <0的解集是________.解析 由题意知-12,-13是方程ax 2-bx -1=0的根,所以由根与系数的关系得-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=b a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=-1a .解得a =-6,b =5,不等式x 2-bx -a <0即为x 2-5x +6<0,解集为(2,3). 答案 (2,3)5.(2014·南京二模)在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ,则满足x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值范围为________.解析 根据给出的定义得x ⊙(x -2)=x (x -2)+2x +(x -2)=x 2+x -2=(x +2)(x -1),又x ⊙(x -2)<0,则(x +2)·(x -1)<0,故这个不等式的解集是(-2,1). 答案 (-2,1)6.已知关于x 的不等式ax -1x +1<0的解集是(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞,则a =________. 解析 由于不等式ax -1x +1<0的解集是(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞,故-12应是ax-1=0的根,∴a =-2. 答案 -27.(2013·重庆卷)设0≤α≤π,不等式8x 2-(8sin α)x +cos 2α≥0对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是________.解析 不等式8x 2-(8sin α)x +cos 2α≥0恒成立,所以Δ≤0,即Δ=(8sin α)2-4×8×cos 2α≤0,整理得2sin 2 α-cos 2α≤0,即4sin 2 α≤1,所以sin 2 α≤14,即-12≤sin α≤12,因为0≤α≤π,所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π,即α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π 8.(2014·福州期末)若不等式x 2-(a +1)x +a ≤0的解集是[-4,3]的子集,则a 的取值范围是________.解析 原不等式即(x -a )(x -1)≤0,当a <1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a ≥-4即可,即-4≤a <1;当a =1时,不等式的解为x =1,此时符合要求;当a >1时,不等式的解集为[1,a ],此时只要a ≤3即可,即1<a ≤3.综上可得-4≤a ≤3. 答案 [-4,3] 二、解答题9.求不等式12x 2-ax >a 2(a ∈R )的解集. 解 ∵12x 2-ax >a 2,∴12x 2-ax -a 2>0, 即(4x +a )(3x -a )>0,令(4x +a )(3x -a )=0, 得:x 1=-a 4,x 2=a3.①a >0时,-a 4<a3,解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <-a 4或x >a 3; ②a =0时,x 2>0,解集为{x |x ∈R 且x ≠0};③a <0时,-a 4>a3,解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >-a 4. 综上所述,当a >0时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <-a 4或x >a 3;当a =0时,不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}; 当a <0时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >-a 4. 10.(2014·长沙质检)已知f (x )=x 2-2ax +2(a ∈R ),当x ∈[-1,+∞)时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围.解 法一 f (x )=(x -a )2+2-a 2,此二次函数图象的对称轴为x =a . ①当a ∈(-∞,-1)时,f (x )在[-1,+∞)上单调递增, f (x )min =f (-1)=2a +3.要使f (x )≥a 恒成立,只需f (x )min ≥a ,即2a +3≥a ,解得-3≤a <-1; ②当a ∈[-1,+∞)时,f (x )min =f (a )=2-a 2, 由2-a 2≥a ,解得-1≤a ≤1.综上所述,所求a 的取值范围是[-3,1]. 法二 令g (x )=x 2-2ax +2-a ,由已知, 得x 2-2ax +2-a ≥0在[-1,+∞)上恒成立, 即Δ=4a 2-4(2-a )≤0或⎩⎨⎧Δ>0,a <-1,g (-1)≥0.解得-3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[-3,1].能力提升题组 (建议用时:25分钟)一、填空题1.(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)若存在正数x 使2x (x -a )<1成立,则a 的取值范围是________.解析 不等式2x(x -a )<1可变形为x -a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,在同一平面直角坐标系内作出直线y =x -a 与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象,由题意,在(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a <1,所以a >-1. 答案 (-1,+∞)2.(2013·西安二模)在R 上定义运算:⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd =ad -bc .若不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -1 a -2a +1 x ≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值为________.解析 原不等式等价于x (x -1)-(a -2)(a +1)≥1,即x 2-x -1≥(a +1)(a -2)对任意x 恒成立,x 2-x -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122-54≥-54,所以-54≥a 2-a -2,-12≤a ≤32.答案 323.(2014·铜陵一模)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ,且不等式f (x )>0的解集为(1,2),若f (x )的最大值小于1,则a 的取值范围是________.解析 由题意知a <0,可设f (x )=a (x -1)(x -2)=ax 2-3ax +2a ,∴f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=-a 4<1,∴a >-4,故-4<a <0.答案 (-4,0)二、解答题4.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ,且不等式f (x )>-2x 的解集为(1,3).(1)若方程f (x )+6a =0有两个相等的根,求f (x )的解析式;(2)若f (x )的最大值为正数,求a 的取值范围.解 (1)∵f (x )+2x >0的解集为(1,3),f (x )+2x =a (x -1)(x -3),且a <0,因而f (x )=a (x -1)(x -3)-2x =ax 2-(2+4a )x +3a .①由方程f (x )+6a =0,得ax 2-(2+4a )x +9a =0.②因为方程②有两个相等的根,所以Δ=[-(2+4a )]2-4a ·9a =0,即5a 2-4a -1=0,解得a =1或a =-15.由于a <0,舍去a =1,将a =-15代入①,得f (x )=-15x 2-65x -35.(2)由f (x )=ax 2-2(1+2a )x +3a =a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1+2a a 2-a 2+4a +1a 及a <0,可得f (x )的最大值为-a 2+4a +1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧ -a 2+4a +1a >0,a <0,解得a <-2-3或-2+3<a <0.故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围是(-∞,-2-3)∪(-2+3,0).。
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)1.一元二次不等式我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一:一元二次不等式解法1.解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.题型二:三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2+bx +2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,则a +b 的值为( )A .14B .-10C .10D .-143.已知一元二次不等式x 2+px +q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,求不等式qx 2+px +1>0的解集.题型三:解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2+(1-a )x -a <0.巩固练习:1.不等式6x 2+x -2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-23 2.设a <-1,则关于x 的不等式a (x -a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B .{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3.在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ,则满足x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值范围为( )A .(0,2)B .(-2,1)C .(-∞,-2)∪(1,+∞)D .(-1,2)4.不等式mx 2-ax -1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-1或x >14 B .R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-13<x <32 D .∅5.函数y =17-6x -x 2的定义域为( )A .[-7,1]B .(-7,1)C .(-∞,-7]∪[1,+∞)D .(-∞,-7)∪(1,+∞)6.已知全集U =R ,A ={x |x 2-1≥0},则∁U A =________.7.若二次函数y =ax 2+bx +c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(-1,0)和(3,0),则不等式ax 2+bx +c <0的解集是________.8.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x 2+2x ,x ≥0,-x 2+2x ,x <0.若f (a )≤3,则a 的取值范围是________.9.解关于x 的不等式x 2-3ax -18a 2>0. 10.若函数f (x )=2 018ax 2+2ax +2的定义域是R ,求实数a 的取值范围.参考答案:1.[解] (1)Δ=49>0,方程2x 2+5x -3=0的两根为x 1=-3,x 2=12, 作出函数y =2x 2+5x -3的图象,如图①所示.由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2-6x +2≥0.Δ=12>0,解方程3x 2-6x +2=0,得x 1=3-33,x 2=3+33,作出函数y =3x 2-6x +2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3-33或x ≥3+33. (3)∵Δ=0,∴方程4x 2+4x +1=0有两个相等的实根x 1=x 2=-12.作出函数y =4x 2+4x +1的图象如图所示.由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠-12,x ∈R.(4)原不等式可化为x 2-6x +10<0,∵Δ=-4<0, ∴方程x 2-6x +10=0无实根,∴原不等式的解集为∅. 2.解:由已知得,ax 2+bx +2=0的解为-12,13,且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧-b a =-12+13,2a =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×13,解得⎩⎨⎧a =-12,b =-2,∴a +b =-14.3.解:因为x 2+px +q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,所以x 1=-12与x 2=13是方程x 2+px +q =0的两个实数根,由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13-12=-p ,13×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=q ,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =16,q =-16 .所以不等式qx 2+px +1>0即为-16x 2+16x +1>0,整理得x 2-x -6<0,解得-2<x <3.即不等式qx 2+px +1>0的解集为{x |-2<x <3}.4.[解] 方程x 2+(1-a )x -a =0的解为x 1=-1,x 2=a ,函数y =x 2+(1-a )x -a 的图象开口向上,则当a <-1时,原不等式解集为{x |a <x <-1};当a =-1时,原不等式解集为∅;当a >-1时,原不等式解集为{x |-1<x <a }. 5.设a ∈R ,解关于x 的不等式ax 2+(1-2a )x -2>0.5.解:(1)当a =0时, 不等式可化为x -2>0,解得x >2,即原不等式的解集为{x |x >2}.(2)当a ≠0时,方程ax 2+(1-2a )x -2=0的两根分别为2和-1a .①当a <-12时,解不等式得-1a <x <2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-1a <x <2;②当a =-12时,不等式无解,即原不等式的解集为∅;③当-12<a <0时,解不等式得2<x <-1a ,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <-1a ; ④当a >0时,解不等式得x <-1a 或x >2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-1a 或x >2. 练习:1.解析:选A 因为6x 2+x -2≤0⇔(2x -1)·(3x +2)≤0,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-23≤x ≤12. 2.解析:选A ∵a <-1,∴a (x -a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0⇔(x -a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a >0.又a <-1,∴1a >a ,∴x >1a 或x <a .3.解析:选B 由a ⊙b =ab +2a +b ,得x ⊙(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2<0,所以-2<x <1.4.解析:选A 因为Δ=a 2+4m >0,所以函数y =mx 2-ax -1的图象与x 轴有两个交点,又m >0,所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ,故选A.5.解析:选B 由7-6x -x 2>0,得x 2+6x -7<0,即(x +7)(x -1)<0,所以-7<x <1,故选B.6.解析:∁U A ={x |x 2-1<0}={x |-1<x <1}. 答案:{x |-1<x <1}7.解析:根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)8.解析:当a ≥0时,a 2+2a ≤3,∴0≤a ≤1;当a <0时,-a 2+2a ≤3,∴a <0.综上所述,a 的取值范围是(-∞,1].9.解:将x 2-3ax -18a 2>0变形得(x -6a )(x +3a )>0, 方程(x -6a )(x +3a )=0的两根为6a ,-3a .所以当a >0时,6a >-3a ,原不等式的解集为{x |x <-3a 或x >6a };当a =0时,6a =-3a =0,原不等式的解集为{x |x ≠0}; 当a <0时,6a <-3a ,原不等式的解集为{x |x <6a 或x >-3a }. 10.解:因为f (x )的定义域为R ,所以不等式ax 2+2ax +2>0恒成立. (1)当a =0时,不等式为2>0,显然恒成立;(2)当a ≠0时,有⎩⎨⎧ a >0,Δ=4a 2-8a <0,即⎩⎨⎧a >0,0<a <2,所以0<a <2.综上可知,实数a 的取值范围是[0,2).。
一元二次不等式及其解法【课标要求】熟练运用转化与化归的思想,反复思考一元二次不等式与二次函数的关系.【学习目标】(1).理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.(2).掌握图象法解一元二次不等式的方法.(3).培养数形结合、分类讨论思想方法.【重难点】一元二次不等式的解法.【知识回顾】1、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在Δ=b2-4ac>0时,有两不等实根,此时对应的二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点,Δ=0时,有两相等实根,此时,对应二次函数y=ax2+bx+c与x轴有一个公共点;当Δ<0时,没有实数根,此时,对应二次函数y=ax2+bx+c与x轴没有公共点.2、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.“元”是未知数,“一元”就是含有一个未知数注意:(1)在一元二次不等式的表达式中,一定有条件a≠0,即二次项的系数不为零.(2)对于ax2+bx+c>0(或<0)的形式,如果不指明是二次不等式,那么它也可能是一次不等式,应特别注意分类讨论.3、利用二次函数图像解一元二次不等式设一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个不等实根分别为x1,x2(x1<x2),则不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2},不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}.当一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的判别式Δ<0时,此方程无实数根,y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方,所以ax2+bx+c>0的解集是R,而ax2+bx+c<0的解集是∅.注意:(1)上述给出的解集形式是在a>0的情况下的解集形式.若a<0,应将不等式两边同时乘-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式再解.(2)若ax2+bx+c=0(a>0)的判别式Δ=0,则方程有两个相等的实根,此时不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为{x|x≠-b2a},ax2+bx+c<0(a>0)的解集为∅.一元二次不等式的解集、二次方程的根与二次函数的图象之间的关系见下表:x1,2=-b±Δ2ax1=x2=-b2a没有实数根|x<x或x>x{x|x≠-b2a}R4、解一元二次不等式的一般步骤:[方法规律总结]第一步,将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0).第二步,求出相应二次方程的根,或判断出方程没有实根.第三步,画出相应二次函数示意草图,方程有根的将根标在图中.第四步,观察图象中位于x轴上方或下方的部分,对比不等式中不等号的方向,写出解集.5、含参一元二次不等式的解法解答含参数的不等式时,一般需对参数进行讨论,常见的有以下几种情况:(1)二次项系数含参数时,根据二次不等式化标准形式需要化二次项系数为正,所以要对参数符号进行讨论.(2)解“Δ”的过程中,若“Δ”表达式含有参数且参数的取值影响“Δ”符号,这时根据“Δ”符号确定的需要,要对参数进行讨论.(3)方程的两根表达式中如果有参数,必须对参数讨论才能确定根的大小,这时要对参数进行讨论.总之,参数讨论有三个方面:①二次项系数;②“Δ”;③根.但未必在这三个地方都进行讨论,是否讨论要根据需要而定.6、穿根法解高阶不等式解法:穿根法解高次不等式的步骤①将f(x)最高次项系数化为正数;②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积;③将每一个一次因式的根标在数轴上,自上而下,从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根穿过);④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律,写出不等式的解集.7、分式不等式等)(或00<>++dcx bax 的解法 [方法规律总结]1.对于不等号一端为0的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项、通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 8、一元二次不等式恒成立问题 [方法规律总结](1)ax 2+bx +c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0;(2)ax 2+bx +c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时,满足⎩⎨⎧ a >0Δ≤0;(3)ax 2+bx +c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0;(4)ax 2+bx +c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时,满足⎩⎨⎧a <0Δ≤0.2.不等式有解问题(1)若ax 2+bx +c >0(a ≠0)有解,则a >0或⎩⎨⎧a <0,Δ>0.(2)若ax 2+bx +c ≥0(a ≠0)有解,则a >0,或⎩⎨⎧a <0,Δ≥0.【随堂练习一】1.不等式9x 2+6x +1≤0的解集是( )A .{x |x ≠-13}B .{x |-13≤x ≤13}C .∅D .{-13} 2.不等式3x 2-x +2<0的解集为( )A .∅B .RC .{x |-13<x <12}D .{x ∈R |x ≠16} 3.函数y =x 2+x -12的定义域是( ) A .{x |x <-4,或x >3} B .{x |-4<x <3} C .{x |x ≤-4,或x ≥3}D .{x |-4≤x ≤3}4.(2015·东北三校二模)设集合M={x|x2-2x-3<0,x∈Z},则集合M的真子集个数为()A.8 B.7 C.4 D.3 5.不等式x2-4x-5>0的解集是()A.{x|x≥5或x≤-1} B.{x|x>5或x<-1}C.{x|-1<x<5} D.{x|-1≤x≤5}6.已知全集U=R,集合M={x|(x-1)(x+3)<0},N={x||x|≤1},则下图阴影部分表示的集合是()A.[-1,1)B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)D.(-3,-1)7.不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或x<-2},则m、n的值分别是() A.2,12 B.2,-2 C.2,-12 D.-2,-128.函数y=log 12(x2-1)的定义域是()A.[-2,-1)∪(1,2]B.[-2,-1)∪(1,2)C.[-2,-1)∪(1,2]D.(-2,-1)∪(1,2)9.已知集合A={x|3x-2-x2<0},B={x|x-a<0}且B A,则a的取值范围是()A.a≤1 B.1<a≤2 C.a>2 D.a≤2 10.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|log2(x+1)<1},则A∩B等于() A.(-∞,0) B.(2,+∞) C.(0,1) D.(-1,0)11、不等式x2+x-2<0的解集为________.12、不等式x2-4x+5<0的解集为________.13、不等式0≤x2-2x-3<5的解集为________【随堂练习二】1、若0<t<1,则不等式x2-(t+1t)x+1<0的解集是()A .{x |1t <x <t }B .{x |x >1t 或x <t }C .{x |x <1t 或x >t }D .{x |t <x <1t } 2.已知集合A ={-2,-1,0,1,2},B ={x |(x -1)(x +2)<0},则A ∩B =( ) A .{-1,0} B .{0,1} C .{-1,0,1} D .{0,1,2} 3.若a <0,则关于x 的不等式x 2-4ax -5a 2>0的解是( )A .x >5a 或x <-aB .x >-a 或x <5aC .5a <x <-aD .-a <x <5a4.不等式(x -2)2(x -3)x +1<0的解集为( )A .{x |-1<x <2或2<x <3}B .{x |1<x <3}C .{x |2<x <3}D .{x |-1<x <3}5.若{x |2<x <3}为x 2+ax +b <0的解集,则bx 2+ax +1>0的解集为( ) A .{x |x <2或x >3} B .{x |2<x <3} C .{x |13<x <12} D .{x |x <13或x >12}6.已知不等式x 2+ax +4<0的解集为空集,则a 的取值范围是( ) A .-4≤a ≤4 B .-4<a <4 C .a ≤-4或a ≥4 D .a <-4或a >47.若f (x )=-x 2+mx -1的函数值有正值,则m 的取值范围是( ) A .m <-2或m >2 B .-2<m <2 C .m ≠±2 D .1<m <38.已知关于x 的不等式x 2-4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,则有( ) A .m ≤-3 B .m ≥-3 C .-3≤m <0 D .m ≥-4 9.函数y =-x 2-3x +4x 的定义域为( )A .[-4,1]B .[-4,0)C .(0,1]D .[-4,0)∪(0,1]10.如果不等式2x 2+2mx +m4x 2+6x +3<1对一切实数x 均成立,则实数m 的取值范围是( )A .(1,3)B .(-∞,3)C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞)11、解不等式:(1)2x-13x+1>0;(2)axx+1<0.12.当a为何值时,不等式(a2-1)x2+(a-1)x-1<0的解集是R?13、解关于x的不等式:x2+2x-3-x2+x+6<0。
(3 )方法一:《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一:解一元二次不等式 例1.解下列一元二次不等式2 2 2(1)x 5x0 ; (2)x 4x 4 0 ; ( 3) x 4x 5 0所以,原不等式的解集是 {x|x 2}所以原不等式的解集是{x|x 2}原不等式整理得x 2 4x 50.思路点拨:转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答解析: (1) 方法一:因为所以方程 (5)2 4 1 0 25 0x 2 5x 0的两个实数根为:X iX 25x 0的解集是{x|05}.方法二: 2x 5x 0x(x 5)x x 解得x 0 或 x 0,即 0 x 55或xx 5 2x因而不等式 x 5x 0的解集是{x |0 x方法一:因为 0,方程x 2 4x 4 0的解为捲X 2 2 .函数y2x 4x 4的简图为:方法二:x 2 4x 4 (x 2)220 (当 x 2时,(x 2)0)2函数y5}.因而不等式x因为0,方程x2 4x 5 0无实数解,函数y x2 4x 5的简图为:所以不等式x2 4x 5 0的解集是方法二: 2 2x 4x 5 (x 2) 1 1 0所以原不等式的解集是•原不等式的解集是总结升华:1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力;2. 当0时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,3. 当二次项的系数小于举一反三:【变式1】解下列不等式(1) 2x2 3x(3) 4x2 4x【答案】(1 )方法一:0时, 般都转化为大于0后,2、3小题);当0且(如第1小题).再解答.因为方程2x23x22x6x2x0.(3)2 43x 2y 2x2 3x(2) 250的两个实数根为:2的简图为:函数0的解集是:X i12,x2{x|x(2x 1)(x1 、{x|x 或x2(2)整理,原式可化为3x2 6x 2 0,因为方法二:•••原不等式等价于•••原不等式的解集是:0,2方程3x 6x 2 0的解x, 12)1或x 2}.20,2}.,X2 1332所以不等式的解集是 (1八.(3 )方法一:因为 02由函数y 4x 4x 1的图象为:1原不等式的的解集是{—}•2方法二:•/原不等式等价于:(2x 1)2 0,•••原不等式的的解集是2方程 x 2x 3 0无实数解,3的简图为:函数2的简图为:方法二:x 2 2x 3 •原不等式解集为 . 【变式2】解不等式:6 x 2 【答案】原不等式可化为不等式组 x 2(x1)2 2 x 2x12,即(X 4)(xx(x 1)3) 0 03解得x•原不等式的解集为{x|类型二:已知一元二次不等式的解集求待定系数例2.不等式x 2 mx n 0的解集为x (4,5),求关于x 的不等式nx 解集。
1.一元二次不等式的解集 判别式Δ=b 2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象一元二次方程ax 2+bx +c =0(a >0) 的根 有两个相异实数 根x 1,x 2(x 1<x 2) 有两个相等实数 根x 1=x 2=-b2a没有实数根ax 2+bx +c >0(a >0)的解集 {x |x >x 2或x <x 1}{x |}x ≠x 1Rax 2+bx +c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ∅∅不等式解集 a <ba =b a >b (x -a )·(x -b )>0 {x |x <a 或x >b } {x |x ≠a }{x |x >a 或x <b } (x -a )·(x -b )<0 {x |a <x <b }∅{x |b <x <a }1.两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax 2+bx +c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0, b 2-4ac <0.(2)一元二次不等式ax 2+bx +c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0, b 2-4ac <0.2.四类分式不等式 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0.(2)f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0.(3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0,g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≤0,g (x )≠0.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若不等式ax 2+bx +c <0(a ≠0)的解集为(x 1,x 2),则必有a >0.( ) (2)若不等式ax 2+bx +c >0的解集是(-∞,x 1)∪(x 2,+∞),则方程ax 2+bx +c =0的两个实数根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根,则不等式ax 2+bx +c >0的解集为R .( )(4)不等式ax 2+bx +c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ=b 2-4ac ≤0.( )(5)若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下,则不等式ax 2+bx +c <0的解集一定不是空集.( )答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)解不等式时,变形必须等价; (2)忽视二次项系数的符号;(3)对系数的讨论,忽视二次项系数为0的情况; (4)解分式不等式时,忽视分母的符号. 1.不等式2x (x -7)>3(x -7)的解集为________.解析:2x (x -7)>3(x -7)⇔2x (x -7)-3(x -7)>0⇔(x -7)(2x -3)>0,解得x <32或x >7,所以,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x <32或x >7. 答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >72.不等式-x 2-3x +4>0的解集为________.(用区间表示)解析:由-x 2-3x +4>0可知(x +4)(x -1)<0, 解得-4<x <1. 答案:(-4,1)3.对于任意实数x ,不等式mx 2+mx -1<0恒成立,则实数m 的取值范围是________.解析:当m =0时,mx 2+mx -1=-1<0,不等式恒成立;当m ≠0时,由⎩⎪⎨⎪⎧m <0,Δ=m 2+4m <0,解得-4<m <0. 综上,m 的取值范围是(-4,0]. 答案:(-4,0] 4.不等式2x +1<1的解集是________. 解析:2x +1<1⇒2-(x +1)x +1<0⇒x -1x +1>0⇒x >1或x <-1.答案:{x |x >1或x <-1}一元二次不等式的解法(多维探究) 角度一 不含参数的一元二次不等式求不等式-x 2+8x -3>0的解集.【解】 因为Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,所以方程-x 2+8x -3=0有两个不相等的实数根x 1=4-13,x 2=4+13.又二次函数y =-x 2+8x -3的图象开口向下,所以原不等式的解集为{x |4-13<x <4+13}.角度二 含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<0.【解】 若a =0,原不等式等价于-x +1<0,解得x >1. 若a <0,原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a (x -1)>0,解得x <1a 或x >1.若a >0,原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a (x -1)<0.①当a =1时,1a =1,⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a (x -1)<0无解;②当a >1时,1a <1,解⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a (x -1)<0,得1a <x <1;③当0<a <1时,1a >1,解⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a (x -1)<0,得1<x <1a .综上所述,当a <0时,解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >1;当a =0时,解集为{x |x >1}; 当0<a <1时,解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ; 当a =1时,解集为∅; 当a >1时,解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <1.(1)解一元二次不等式的一般步骤 ①化为标准形式.②确定判别式Δ的符号,若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无实数根.③结合二次函数的图象得出不等式的解集,特别地,若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式,则可直接写出不等式的解集.(2)含有参数的不等式的求解,首先需要对二次项系数讨论,再比较(相应方程)根的大小,注意分类讨论思想的应用.1.不等式0<x 2-x -2≤4的解集为________. 解析:原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -2>0,x 2-x -2≤4,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -2>0,x 2-x -6≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧(x -2)(x +1)>0,(x -3)(x +2)≤0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <-1,-2≤x ≤3. 借助于数轴,如图所示,所以原不等式的解集为{x |-2≤x <-1或2<x ≤3}. 答案:[-2,-1)∪(2,3]2.求不等式12x 2-ax >a 2(a ∈R )的解集. 解:因为12x 2-ax >a 2,所以12x 2-ax -a 2>0, 即(4x +a )(3x -a )>0,令(4x +a )(3x -a )=0, 得x 1=-a 4,x 2=a 3. 当a >0时,-a 4<a3,不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <-a 4或x >a 3; 当a =0时,原不等式变形为x 2>0,解集为{x |x ∈R 且x ≠0}; 当a <0时,-a 4>a3,解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <a 3或x >-a 4. 综上所述,当a >0时,不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <-a 4或x >a 3;当a =0时,不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0};当a <0时,不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <a 3或x >-a 4.一元二次方程与一元二次不等式(师生共研)已知不等式ax 2-bx -1>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪-12<x⎭⎪⎬⎪⎫<-13,则不等式x 2-bx -a ≥0的解集是________.【解析】 由题意,知-12,-13是方程ax 2-bx -1=0的两个根,且a <0,所以⎩⎪⎨⎪⎧-12+⎝⎛⎭⎪⎫-13=b a ,-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=-1a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-6,b =5.故不等式x 2-bx -a ≥0为x 2-5x +6≥0, 解得x ≥3或x ≤2.【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}(1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.(2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应一元二次函数的开口方向及与x 轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.关于x 的不等式ax -b <0的解集是(1,+∞),则关于x 的不等式(ax +b )(x -3)>0的解集是( )A .(-∞,-1)∪(3,+∞)B .(1,3)C .(-1,3)D .(-∞,1)∪(3,+∞)解析:选C .关于x 的不等式ax -b <0即ax <b 的解集是(1,+∞),所以a =b <0,所以不等式(ax +b )(x -3)>0可化为(x +1)(x -3)<0,解得-1<x <3, 所以所求不等式的解集是(-1,3).一元二次不等式恒成立问题(多维探究) 角度一 在R 上的恒成立问题若不等式2kx 2+kx -38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A .(-3,0)B .[-3,0)C .[-3,0]D .(-3,0]【解析】 当k =0时,显然成立;当k ≠0时,即一元二次不等式2kx 2+kx -38<0对一切实数x 都成立,则⎩⎪⎨⎪⎧k <0,k 2-4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-38<0,解得-3<k <0. 综上,满足不等式2kx 2+kx -38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(-3,0].【答案】 D角度二 在给定区间上的恒成立问题(一题多解)设函数f (x )=mx 2-mx -1.若对于x ∈[1,3],f (x )<-m +5恒成立,求m 的取值范围.【解】 要使f (x )<-m +5在x ∈[1,3]上恒成立, 即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34m -6<0在x ∈[1,3]上恒成立.有以下两种方法:方法一:令g (x )=m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34m -6,x ∈[1,3].当m >0时,g (x )在[1,3]上是增函数, 所以g (x )max =g (3)=7m -6<0, 所以m <67,所以0<m <67; 当m =0时,-6<0恒成立;当m <0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1)=m -6<0,所以m <6,所以m <0. 综上所述,m的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67. 方法二:因为x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34>0,又因为m (x 2-x +1)-6<0, 所以m <6x 2-x +1. 因为函数y =6x 2-x +1=6⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34在[1,3]上的最小值为67, 所以只需m <67即可.所以,m的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67. 角度三 给定参数范围的恒成立问题函数f (x )=x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求实数a 的取值范围; (2)当x ∈[-2,2]时,f (x )≥a 恒成立,求实数a 的取值范围; (3)当a ∈[4,6]时,f (x )≥0恒成立,求实数x 的取值范围. 【解】 (1)因为当x ∈R 时,x 2+ax +3-a ≥0恒成立, 需Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0, 所以实数a 的取值范围是[-6,2].(2)当x ∈[-2,2]时,设g (x )=x 2+ax +3-a ≥0恒成立,分如下三种情况讨论(如图所示):(i)如图①,当g (x )的图象恒在x 轴或x 轴上方且满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a )≤0,即-6≤a ≤2.(ii)如图②,g (x )的图象与x 轴有交点,但当x ∈[-2,+∞)时,g (x )≥0,即⎩⎨⎧Δ≥0,x =-a 2≤-2,g (-2)≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4(3-a )≥0,-a2≤-2,4-2a +3-a ≥0,可得⎩⎨⎧a ≥2或a ≤-6,a ≥4,a ≤73,解得a ∈∅.(iii)如图③,g (x )的图象与x 轴有交点,但当x ∈(-∞,2]时,g (x )≥0.即⎩⎨⎧Δ≥0,x =-a 2≥2,g (2)≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4(3-a )≥0,-a2≥2,7+a ≥0,可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤-6,a ≤-4,a ≥-7.所以-7≤a ≤-6,综上,实数a 的取值范围是[-7,2]. (3)令h (a )=xa +x 2+3,当a ∈[4,6]时,h (a )≥0恒成立.只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0,h (6)≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4x +3≥0,x 2+6x +3≥0,解得x ≤-3-6或x ≥-3+ 6. 所以实数x 的取值范围是(-∞,-3-6]∪[-3+6,+∞).形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解策略(1)对x ∈R 的不等式确定参数的范围时,结合二次函数的图象,利用判别式来求解.(2)对x ∈[a ,b ]的不等式确定参数的范围时,①根据函数的单调性,求其最值,让最值大于等于或小于等于0,从而求出参数的范围;②数形结合,利用二次函数在端点a ,b 处的取值特点确定不等式参数的取值范围.(3)已知参数m ∈[a ,b ]的不等式确定x 的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.[提醒] 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数.1.若函数y =mx 2-(1-m )x +m 的定义域为R ,则m 的取值范围是________.解析:要使y =mx 2-(1-m )x +m 有意义,即mx 2-(1-m )x +m ≥0对∀x ∈R 恒成立,则⎩⎪⎨⎪⎧m >0,(1-m )2-4m 2≤0,解得m ≥13. 答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫13,+∞2.已知函数f (x )=-x 2+ax +b 2-b +1(a ∈R ,b ∈R ),对任意实数x 都有f (1-x )=f (1+x )成立,若当x ∈[-1,1]时,f (x )>0恒成立,求实数b 的取值范围.解:由f (1-x )=f (1+x )知f (x )的图象关于直线x =1对称,即a2=1,解得a =2.又因为f (x )的图象开口向下,所以当x ∈[-1,1]时,f (x )为增函数,所以当x ∈[-1,1]时,f (x )min =f (-1)=-1-2+b 2-b +1=b 2-b -2, 若当x ∈[-1,1]时,f (x )>0恒成立, 则b 2-b -2>0恒成立,解得b <-1或b >2. 所以实数b 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).[A 级 基础练]1.不等式2x 2-x -3>0的解集为( )A .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-1<x <32B .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >32或x <-1C .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-32<x <1D .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >1或x <32解析:选B .由2x 2-x -3>0,得(x +1)(2x -3)>0,解得x >32或x <-1. 所以不等式2x 2-x -3>0的解集为⎩⎨⎧x⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >32或x <-1. 2.不等式1-x2+x ≥1的解集为( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,-12B .⎝ ⎛⎦⎥⎤-2,-12C .(-∞,-2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞D .(-∞,-2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞解析:选B .1-x 2+x ≥1⇔1-x 2+x -1≥0⇔1-x -2-x2+x ≥0⇔-2x -12+x≥0⇔2x +1x +2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x +1)(x +2)≤0,x +2≠0⇔-2<x ≤-12.故选B . 3.若不等式ax 2+bx +2<0的解集为{x |x <-12或x >13},则a -b a 的值为( ) A .56B .16C .-16D .-56解析:选A .由题意得方程ax 2+bx +2=0的两根为-12与13,所以-b a =-12+13=-16,则a -b a =1-b a =1-16=56.4.若不等式x 2-(a +1)x +a ≤0的解集是[-4,3]的子集,则a 的取值范围是( )A .[-4,1]B .[-4,3]C .[1,3]D .[-1,3]解析:选B .原不等式为(x -a )(x -1)≤0,当a <1时,不等式的解集为[a ,1],此时只要a ≥-4即可,即-4≤a <1;当a =1时,不等式的解为x =1,此时符合要求;当a >1时,不等式的解集为[1,a ],此时只要a ≤3即可,即1<a ≤3.综上可得-4≤a ≤3.5.(2021·湖南益阳4月模拟)已知函数f (x )=ax 2+(a +2)x +a 2为偶函数,则不等式(x -2)f (x )<0的解集为( )A .(-2,2)∪(2,+∞)B .(-2,+∞)C .(2,+∞)D .(-2,2)解析:选A .因为函数f (x )=ax 2+(a +2)x +a 2为偶函数, 所以a +2=0,得a =-2,所以f (x )=-2x 2+4,所以不等式(x -2)f (x )<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x -2<0,f (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x -2>0,f (x )<0,即⎩⎪⎨⎪⎧x <2,-2x 2+4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2,-2x 2+4<0,解得-2<x <2或x >2. 故原不等式的解集为(-2,2)∪(2,+∞).故选A . 6.不等式|x (x -2)|>x (x -2)的解集是________.解析:不等式|x (x -2)|>x (x -2)的解集即x (x -2)<0的解集,解得0<x <2.答案:{x |0<x <2}7.若0<a <1,则不等式(a -x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a >0的解集是________.解析:原不等式可化为(x -a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0,由0<a <1得a <1a ,所以a <x <1a .答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,1a8.规定符号“⊙”表示一种运算,定义a ⊙b =ab +a +b (a ,b 为非负实数),若1⊙k 2<3,则k 的取值范围是________.解析:因为定义a ⊙b =ab +a +b (a ,b 为非负实数),1⊙k 2<3,所以k 2+1+k 2<3,化为(|k |+2)(|k |-1)<0,所以|k |<1,所以-1<k <1. 答案:(-1,1)9.求使不等式x 2+(a -6)x +9-3a >0,|a |≤1恒成立的x 的取值范围. 解:将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x -3)a +x 2-6x +9>0. 令f (a )=(x -3)a +x 2-6x +9, 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立,所以(1)若x =3,则f (a )=0,不符合题意,应舍去. (2)若x ≠3,则由一次函数的单调性,可得⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)>0,f (1)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-7x +12>0,x 2-5x +6>0,解得x <2或x >4.则实数x 的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞). 10.已知函数f (x )=ax 2+2ax +1的定义域为R . (1)求a 的取值范围;(2)若函数f (x )的最小值为22,解关于x 的不等式x 2-x -a 2-a <0. 解:(1)因为函数f (x )=ax 2+2ax +1的定义域为R ,所以ax 2+2ax +1≥0恒成立,当a =0时,1≥0恒成立.当a ≠0时,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=(2a )2-4a ≤0, 解得0<a ≤1,综上可知,a 的取值范围是[0,1]. (2)因为f (x )=ax 2+2ax +1=a (x +1)2+1-a ,因为a >0,所以当x =-1时,f (x )min =1-a ,由题意得,1-a =22,所以a =12,所以不等式x 2-x -a 2-a <0可化为x 2-x -34<0. 解得-12<x <32,所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32.[B 级 综合练]11.在关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a <0的解集中至多包含2个整数,则实数a 的取值范围是( )A .(-3,5)B .(-2,4)C .[-3,5]D .[-2,4]解析:选D .因为关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a <0可化为(x -1)(x -a )<0, 当a >1时,不等式的解集为{x |1<x <a }; 当a <1时,不等式的解集为{x |a <x <1},要使不等式的解集中至多包含2个整数,则a ≤4且a ≥-2,所以实数a 的取值范围是a ∈[-2,4],故选D .12.定义运算:x ⊗y =⎩⎨⎧x ,xy ≥0,y ,xy <0,例如:3⊗4=3,(-2)⊗4=4,则函数f (x )=x 2⊗(2x -x 2)的最大值为________.解析:由已知得f (x )=x 2⊗(2x -x 2)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x 2(2x -x 2)≥0,2x -x 2,x 2(2x -x 2)<0=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,0≤x ≤2,2x -x 2,x <0或x >2,易知函数f (x )的最大值为4. 答案:413.对于实数x ,当且仅当n ≤x <n +1(n ∈N *)时,[x ]=n ,则关于x 的不等式4[x ]2-36[x ]+45<0的解集为________.解析:由4[x ]2-36[x ]+45<0,得32<[x ]<152,又当且仅当n ≤x <n +1(n ∈N *)时,[x ]=n ,所以[x ]=2,3,4,5,6,7,所以所求不等式的解集为[2,8).答案:[2,8)14.设二次函数f (x )=ax 2+bx +c ,函数F (x )=f (x )-x 的两个零点为m ,n (m <n ).(1)若m =-1,n =2,求不等式F (x )>0的解集; (2)若a >0,且0<x <m <n <1a ,比较f (x )与m 的大小. 解:(1)由题意知,F (x )=f (x )-x =a (x -m )·(x -n ), 当m =-1,n =2时,不等式F (x )>0, 即a (x +1)(x -2)>0.当a >0时,不等式F (x )>0的解集为 {x |x <-1或x >2};当a <0时,不等式F (x )>0的解集为{x |-1<x <2}. (2)f (x )-m =a (x -m )(x -n )+x -m =(x -m )(ax -an +1),因为a >0,且0<x <m <n <1a , 所以x -m <0,1-an +ax >0. 所以f (x )-m <0,即f (x )<m .[C 级 提升练]15.已知f (x )=x 2+2x +1+a ,∀x ∈R ,f (f (x ))≥0恒成立,则实数a 的取值范围为( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫5-12,+∞B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫5-32,+∞C .[-1,+∞)D .[0,+∞)解析:选B .设t =f (x )=(x +1)2+a ≥a ,则f (t )≥0对任意的t ≥a 恒成立,即(t +1)2+a ≥0对任意的t ∈[a ,+∞)恒成立.当a ≤-1时,f (t )min =f (-1)=a ≤-1,不符合题意;当a >-1时,f (t )min =f (a )=a 2+3a +1,由a 2+3a +1≥0,得a ≥5-32,故选B .16.(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x 的一元二次方程ax 2+x +1=0(a >0)有两个实数根x 1,x 2.(1)求(1+x 1)(1+x 2)的值; (2)求证:x 1<-1且x 2<-1;(3)如果x 1x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤110,10,试求a 的取值范围.解:(1)因为关于x 的一元二次方程ax 2+x +1=0(a >0)有两个实数根x 1,x 2. 所以x 1+x 2=-1a ,x 1x 2=1a ,则(1+x 1)(1+x 2)=1+x 1+x 2+x 1·x 2=1-1a +1a =1. (2)证明:由Δ≥0,得0<a ≤14.设f (x )=ax 2+x +1,则f (x )的对称轴与x 轴交点横坐标x =-12a ≤-2,又由于f (-1)=a >0,所以f (x )的图象与x 轴的交点均位于点(-1,0)的左侧, 故x 1<-1且x 2<-1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-1a ,x 1·x 2=1a⇒(x 1+x 2)2x 1·x 2=x 1x 2+x 2x 1+2=1a .因为x 1x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤110,10,所以1a =x 1x 2+x 2x 1+2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4,12110⇒a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤10121,14.又⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=1-4a ≥0⇒0<a ≤14, 所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10121,14.。
典型例题一例1 解不等式:(1)015223>--x x x ;(2)0)2()5)(4(32<-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)(<x f )可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况.解:(1)原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中x 的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”,其法如下图.典型例题二例2 解下列分式不等式:(1)22123+-≤-x x ; (2)12731422<+-+-x x x x 分析:当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时,要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或(1)解:原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
一元二次不等式及其解法
1.不等式
x +5
(x -1)2
≥2的解集是 ( ) A . B . C .[1
2
,1)∪(1,3] D .
解析:法一:首先x ≠1,在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x +5≥2(x -1)2,即2x 2
-5x -3≤0,即(2x +1)(x -3)≤0,解得-12≤x ≤3,故原不等式的解集
是.
法二:特殊值检验法.首先x ≠1,排除B ,显然x =0,x =2是不等式的解,排除A 、C. 答案:D
2.解关于x 的不等式12x 2-ax >a 2(a ∈R).
解:由12x 2-ax -a 2>0⇔(4x +a )(3x -a )>0 ⇔(x +a 4)(x -a
3)>0,
①a >0时,-a 4<a 3
解集为{x |x <-a 4或x >a
3
};
②a =0时,x 2>0,解集为{x |x ∈R 且x ≠0}; ③a <0时,-a 4a
3,
解集为{x |x <a 3或x >-a
4}.
3.某产品的总成本000+20x -0.1x 2(0<x <240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产
量
是
( )
A .100台
B .120台
C .150台
D .180台 解析:依题意得25x ≥3 000+20x -0.1x 2,
整理得x 2+50x -30 000≥0,解得x ≥150或x ≤-200, 因为0<x <240,所以150≤x <240,即最低产量是150台. 答案:C
4.某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应地提高比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x ,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x 应在什么范围内?
解:(1)由题意得y =×1000(1+0.6x )(0<x <1), 整理得y =-60x 2+20x +200(0<x <1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有⎩⎪⎨
⎪
⎧
y -(1.2-1)×1000>0,0<x <1,
即⎩
⎪⎨⎪⎧
-60x 2
+20x >0,0<x <1. 解得0<x <13
.
∴投入成本增加的比例应在(0,1
3)范围内.
5.若不等式ax 2+4x +a >1-2x 2对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≥2或a ≤-3 B .a >2或a ≤-3 C .a >2 D .-2<a <2
解析:原不等式可化为(a +2)x 2+4x +a -1>0,显然a =-2时不等式不恒成立,所以要使不等式对于任意的x 均成立,必须有a +2>0,且Δ<0,即
⎩
⎪⎨⎪⎧
a +2>0,16-4(a +2)(a -1)<0, 解得a >2. 答案:C
6.(2010·宁波模拟)设奇函数f (x )在上是单调函数,且f (-1)=-1,若函数f (x )≤t 2
-2at +1对所有的x ∈都成立,当a ∈时,则t 的取值范围是________. 解析:∵f (x )为奇函数,f (-1)=-1,
∴f (1)=-f (-1)=1. 又∵f (x )在上是单调函数, ∴-1≤f (x )≤1,
∴当a ∈时,t 2-2at +1≥1恒成立, 即t 2
-2at ≥0恒成立, 令g (a )=t 2
-2at ,a ∈,
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
t 2-2t ≥0,t 2+2t ≥0, ∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
t ≥2或t ≤0,t ≤-2或t ≥0,
∴t ≥2或t =0或t ≤-2.
答案:(-∞,-2]∪{0}∪时,f (x )≥a 恒成立,求a 的范围.
解:(1)f (x )≥a 恒成立,即x 2
+ax +3-a ≥0恒成立,必须且只需Δ=a 2
-4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0, ∴-6≤a ≤2.
(2)f (x )=x 2
+ax +3=(x +a 2)2+3-a 24
①当-a
2<-2,即a >4时,f (x )min =f (-2)=-2a +7,
由-2a +7≥a 得a ≤7
3
,∴a ∈∅.
②当-2≤-a 2≤2,即-4≤a ≤4时,f (x )min =3-a 2
4,
由3-a 2
4
≥a ,得-6≤a ≤2.∴-4≤a ≤2.
③当-a
2>2,即a <-4时,f (x )min =f (2)=2a +7,
由2a +7≥a ,得a ≥-7,∴-7≤a <-4. 综上得a ∈.
8.不等式x 2
-|x |- ( ) A .{x |-2<x <2} B .{x |x <-2或x >2} C .{x |-1<x <1} D .{x |x <-1或x >1}
解析:原不等式⇔|x |2-|x |-2<0⇔(|x |-2)(|x |+1)<0⇔|x |-2<0⇔-2<x <2. 答案:A
9.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0
的解集是不等式2x 2
-9x +a <0的解集的子集,则实
数a 的取值范围是________.
解析:因为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0的解集是{x |2<x <3},设f (x )=2x 2-9x +a ,
则由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
f (2)≤0,
f (3)≤0,解得a ≤9.
答案:a ≤9
10.已知不等式ax 2-3x +6>4的解集为{x |x <1或x >b },
(1)求a ,b ;
(2)解不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0.
解:(1)因为不等式ax 2-3x +6>4的解集为{x |x <1或x >b },所以x 1=1与x 2=b 是方程ax 2
-3x +2=0的两个实数根,且b >1.由根与系数的关系,得
⎩⎨⎧
1+b =3
a ,
1×b =2a
.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =2.所以⎩⎪⎨⎪⎧
a =1,
b =2.
(2)所以不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0, 即x 2
-(2+c )x +2c <0,即(x -2)(x -c )<0.
①当c >2时,不等式(x -2)(x -c )<0的解集为{x |2<x <c }; ②当c <2时,不等式(x -2)(x -c )<0的解集为{x |c <x <2}; ③当c =2时,不等式(x -2)(x -c )<0的解集为∅.
综上所述:当c >2时,不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0的解集为{x |2<x <c }; 当c <2时,不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0的解集为{x |c <x <2}; 当c =2时,不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0的解集为∅.
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